Conținutul lecției

Ecuații liniare cu două variabile

Elevul are 200 de ruble pentru a lua prânzul la școală. Un tort costă 25 de ruble, iar o ceașcă de cafea costă 10 ruble. Câte prăjituri și cești de cafea poți cumpăra cu 200 de ruble?

Indicați numărul de prăjituri prin X, și numărul de cești de cafea prin y. Apoi costul prăjiturii va fi notat cu expresia 25 X, iar costul ceștilor de cafea în 10 y .

25X- Preț X prăjituri
10y- Preț y cesti de cafea

Suma totală ar trebui să fie de 200 de ruble. Apoi obținem o ecuație cu două variabile Xși y

25X+ 10y= 200

Câte rădăcini are această ecuație?

Totul depinde de apetitul elevului. Dacă cumpără 6 prăjituri și 5 căni de cafea, atunci rădăcinile ecuației vor fi numerele 6 și 5.

Se spune că perechea de valori 6 și 5 este rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 . Scris ca (6; 5) , primul număr fiind valoarea variabilei X, iar al doilea - valoarea variabilei y .

6 și 5 nu sunt singurele rădăcini care inversează ecuația 25 X+ 10y= 200 la identitate. Dacă doriți, pentru aceleași 200 de ruble, un student poate cumpăra 4 prăjituri și 10 căni de cafea:

În acest caz, rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 este perechea de valori (4; 10) .

În plus, un student poate să nu cumpere cafea deloc, ci să cumpere prăjituri pentru toate cele 200 de ruble. Apoi rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 vor fi valorile 8 și 0

Sau invers, nu cumpărați prăjituri, ci cumpărați cafea pentru toate cele 200 de ruble. Apoi rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 vor fi valorile 0 și 20

Să încercăm să enumerăm toate rădăcinile posibile ale ecuației 25 X+ 10y= 200 . Să fim de acord că valorile Xși y aparțin mulțimii numerelor întregi. Și să fie aceste valori mai mari sau egale cu zero:

X∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Deci, va fi convenabil pentru student însuși. Este mai convenabil să cumpărați prăjituri întregi decât, de exemplu, mai multe prăjituri întregi și o jumătate de prăjitură. Cafeaua este, de asemenea, mai convenabil să luați în căni întregi decât, de exemplu, mai multe căni întregi și o jumătate de ceașcă.

Rețineți că pentru ciudat X este imposibil să se obțină egalitate sub niciuna y. Apoi valorile X vor fi următoarele numere 0, 2, 4, 6, 8. Și știind X poate fi ușor de determinat y

Astfel, am obținut următoarele perechi de valori (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Aceste perechi sunt soluții sau rădăcini ale ecuației 25 X+ 10y= 200. Ei transformă această ecuație într-o identitate.

Tip ecuație ax + by = c numit ecuație liniară cu două variabile. O soluție sau rădăcini ale acestei ecuații sunt o pereche de valori ( X; y), care o transformă într-o identitate.

De asemenea, rețineți că dacă o ecuație liniară cu două variabile este scrisă ca ax + b y = c , apoi spun că este scris în canonic formă (normală).

Unele ecuații liniare în două variabile pot fi reduse la formă canonică.

De exemplu, ecuația 2(16X+ 3y- 4) = 2(12 + 8X − y) poate fi adus în minte ax + by = c. Să deschidem parantezele din ambele părți ale acestei ecuații, obținem 32X + 6y − 8 = 24 + 16X − 2y . Termenii care conțin necunoscute sunt grupați în partea stângă a ecuației, iar termenii fără necunoscute sunt grupați în dreapta. Apoi primim 32X - 16X+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Aducem termeni similari în ambele părți, obținem ecuația 16 X+ 8y= 32. Această ecuație se reduce la forma ax + by = cși este canonică.

Ecuația 25 considerată mai devreme X+ 10y= 200 este, de asemenea, o ecuație liniară cu două variabile în formă canonică. În această ecuație, parametrii A , bși c sunt egale cu valorile 25, 10 și, respectiv, 200.

De fapt, ecuația ax + by = c are un număr infinit de soluții. Rezolvarea ecuației 25X+ 10y= 200, i-am căutat rădăcinile doar pe mulțimea numerelor întregi. Drept urmare, am obținut mai multe perechi de valori care au transformat această ecuație într-o identitate. Dar pe setul de numere raționale ecuația 25 X+ 10y= 200 va avea un număr infinit de soluții.

Pentru a obține perechi noi de valori, trebuie să luați o valoare arbitrară pentru X, apoi exprima y. De exemplu, să luăm o variabilă X valoarea 7. Apoi obținem o ecuație cu o variabilă 25×7 + 10y= 200 în care să se exprime y

Lasa X= 15 . Apoi ecuația 25X+ 10y= 200 devine 25 × 15 + 10y= 200. De aici aflăm că y = −17,5

Lasa X= −3 . Apoi ecuația 25X+ 10y= 200 devine 25 × (−3) + 10y= 200. De aici aflăm că y = −27,5

Sistem de două ecuații liniare cu două variabile

Pentru ecuație ax + by = c puteți lua de câte ori valori arbitrare pentru Xși găsiți valori pentru y. Luată separat, o astfel de ecuație va avea un număr infinit de soluții.

Dar se întâmplă și ca variabilele Xși y legate nu de una, ci de două ecuații. În acest caz, ele formează așa-numitul sistem de ecuații liniare cu două variabile. Un astfel de sistem de ecuații poate avea o pereche de valori (sau cu alte cuvinte: „o soluție”).

De asemenea, se poate întâmpla ca sistemul să nu aibă deloc soluții. Un sistem de ecuații liniare poate avea un număr infinit de soluții în cazuri rare și excepționale.

Două ecuații liniare formează un sistem când valorile Xși y sunt incluse în fiecare dintre aceste ecuații.

Să revenim la prima ecuație 25 X+ 10y= 200 . Una dintre perechile de valori pentru această ecuație a fost perechea (6; 5). Acesta este cazul când 200 de ruble ar putea cumpăra 6 prăjituri și 5 căni de cafea.

Compunem problema astfel încât perechea (6; 5) să devină singura soluție pentru ecuația 25 X+ 10y= 200 . Pentru a face acest lucru, compunem o altă ecuație care ar conecta aceeași X prajituri si y cesti de cafea.

Să punem textul sarcinii după cum urmează:

„Un școlar a cumpărat mai multe prăjituri și câteva cești de cafea pentru 200 de ruble. Un tort costă 25 de ruble, iar o ceașcă de cafea costă 10 ruble. Câte prăjituri și cești de cafea a cumpărat elevul dacă se știe că numărul de prăjituri este cu unul mai mult decât numărul de cești de cafea?

Avem deja prima ecuație. Aceasta este ecuația 25 X+ 10y= 200 . Acum să scriem o ecuație pentru condiție „numărul de prăjituri este cu o unitate mai mult decât numărul de cești de cafea” .

Numărul de prăjituri este X, iar numărul de cești de cafea este y. Puteți scrie această expresie folosind ecuația x − y= 1. Această ecuație ar însemna că diferența dintre prăjituri și cafea este 1.

x=y+ 1 . Această ecuație înseamnă că numărul de prăjituri este cu unul mai mult decât numărul de cești de cafea. Prin urmare, pentru a obține egalitate, la numărul de cești de cafea se adaugă una. Acest lucru poate fi ușor de înțeles dacă folosim modelul de greutate pe care l-am luat în considerare atunci când studiem cele mai simple probleme:

Am două ecuații: 25 X+ 10y= 200 și x=y+ 1. Deoarece valorile Xși y, și anume 6 și 5 sunt incluse în fiecare dintre aceste ecuații, apoi împreună formează un sistem. Să scriem acest sistem. Dacă ecuațiile formează un sistem, atunci ele sunt încadrate de semnul sistemului. Semnul de sistem este o acoladă:

Să rezolvăm acest sistem. Acest lucru ne va permite să vedem cum ajungem la valorile 6 și 5. Există multe metode de rezolvare a unor astfel de sisteme. Luați în considerare cele mai populare dintre ele.

Metoda de înlocuire

Numele acestei metode vorbește de la sine. Esența sa este de a substitui o ecuație în alta, după ce a exprimat anterior una dintre variabile.

În sistemul nostru, nimic nu trebuie exprimat. În a doua ecuație X = y+ 1 variabilă X deja exprimat. Această variabilă este egală cu expresia y+ 1 . Apoi puteți înlocui această expresie în prima ecuație în loc de variabilă X

După înlocuirea expresiei y+ 1 în prima ecuație X, obținem ecuația 25(y+ 1) + 10y= 200 . Aceasta este o ecuație liniară cu o variabilă. Această ecuație este destul de ușor de rezolvat:

Am găsit valoarea variabilei y. Acum înlocuim această valoare într-una dintre ecuații și găsim valoarea X. Pentru aceasta, este convenabil să folosiți a doua ecuație X = y+ 1 . Să punem valoare în ea y

Deci perechea (6; 5) este o soluție a sistemului de ecuații, așa cum ne-am propus. Verificăm și ne asigurăm că perechea (6; 5) satisface sistemul:

Exemplul 2

Înlocuiți prima ecuație X= 2 + yîn a doua ecuație 3 X - 2y= 9 . În prima ecuație, variabila X este egală cu expresia 2 + y. Înlocuim această expresie în a doua ecuație în loc de X

Acum să găsim valoarea X. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valoarea yîn prima ecuație X= 2 + y

Deci soluția sistemului este valoarea perechii (5; 3)

Exemplul 3. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

Aici, spre deosebire de exemplele anterioare, una dintre variabile nu este exprimată în mod explicit.

Pentru a înlocui o ecuație în alta, mai întâi aveți nevoie de .

Este de dorit să se exprime variabila care are un coeficient de unu. Unitatea de coeficient are o variabilă X, care este cuprinsă în prima ecuație X+ 2y= 11 . Să exprimăm această variabilă.

După o expresie variabilă X, sistemul nostru va arăta astfel:

Acum înlocuim prima ecuație în a doua și găsim valoarea y

Substitui y X

Deci soluția sistemului este o pereche de valori (3; 4)

Desigur, puteți exprima și o variabilă y. Rădăcinile nu se vor schimba. Dar dacă exprimi y, rezultatul nu este o ecuație foarte simplă, a cărei soluție va dura mai mult timp. Va arata asa:

Vedem că în acest exemplu pentru a exprima X mult mai convenabil decât exprimarea y .

Exemplul 4. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

Exprimați în prima ecuație X. Apoi sistemul va lua forma:

y

Substitui yîn prima ecuație și găsiți X. Puteți folosi ecuația originală 7 X+ 9y= 8 , sau utilizați ecuația în care este exprimată variabila X. Vom folosi această ecuație, deoarece este convenabil:

Deci soluția sistemului este perechea de valori (5; −3)

Metoda de adunare

Metoda adunării este de a adăuga termen cu termen ecuațiile incluse în sistem. Această adăugare are ca rezultat o nouă ecuație cu o singură variabilă. Și este destul de ușor să rezolvi această ecuație.

Să rezolvăm următorul sistem de ecuații:

Adăugați partea stângă a primei ecuații la partea stângă a celei de-a doua ecuații. Și partea dreaptă a primei ecuații cu partea dreaptă a celei de-a doua ecuații. Obținem următoarea egalitate:

Iată termeni similari:

Ca rezultat, am obținut cea mai simplă ecuație 3 X= 27 a cărui rădăcină este 9. Cunoscând valoarea X puteți găsi valoarea y. Înlocuiți valoarea Xîn a doua ecuație x − y= 3 . Obținem 9 − y= 3 . De aici y= 6 .

Deci soluția sistemului este o pereche de valori (9; 6)

Exemplul 2

Adăugați partea stângă a primei ecuații la partea stângă a celei de-a doua ecuații. Și partea dreaptă a primei ecuații cu partea dreaptă a celei de-a doua ecuații. În egalitatea rezultată, prezentăm termeni similari:

Ca rezultat, am obținut cea mai simplă ecuație 5 X= 20, a cărui rădăcină este 4. Cunoscând valoarea X puteți găsi valoarea y. Înlocuiți valoarea Xîn prima ecuație 2 x+y= 11 . Să obținem 8 + y= 11 . De aici y= 3 .

Deci soluția sistemului este perechea de valori (4;3)

Procesul de adăugare nu este descris în detaliu. Trebuie făcut în minte. Când se adună, ambele ecuații trebuie reduse la formă canonică. Adică la minte ac+by=c .

Din exemplele luate în considerare, se poate observa că scopul principal al adunării ecuațiilor este acela de a scăpa de una dintre variabile. Dar nu este întotdeauna posibil să se rezolve imediat sistemul de ecuații prin metoda adunării. Cel mai adesea, sistemul este adus preliminar într-o formă în care este posibilă adăugarea ecuațiilor incluse în acest sistem.

De exemplu, sistemul poate fi rezolvată direct prin metoda adunării. Când se adună ambele ecuații, termenii yși −y dispar deoarece suma lor este zero. Ca rezultat, cea mai simplă ecuație este formată 11 X= 22 , a cărui rădăcină este 2. Atunci se va putea determina y egal cu 5.

Și sistemul de ecuații metoda adunării nu poate fi rezolvată imediat, deoarece aceasta nu va duce la dispariția uneia dintre variabile. Adunarea va rezulta în ecuația 8 X+ y= 28 , care are un număr infinit de soluții.

Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr care nu este egal cu zero, atunci se va obține o ecuație echivalentă cu cea dată. Această regulă este valabilă și pentru un sistem de ecuații liniare cu două variabile. Una dintre ecuații (sau ambele ecuații) poate fi înmulțită cu un anumit număr. Rezultatul este un sistem echivalent, ale cărui rădăcini vor coincide cu cel anterior.

Să revenim la primul sistem, care descria câte prăjituri și cești de cafea a cumpărat studentul. Soluția acestui sistem a fost o pereche de valori (6; 5).

Înmulțim ambele ecuații incluse în acest sistem cu câteva numere. Să presupunem că înmulțim prima ecuație cu 2 și a doua cu 3

Rezultatul este un sistem
Soluția acestui sistem este încă perechea de valori (6; 5)

Aceasta înseamnă că ecuațiile incluse în sistem pot fi reduse la o formă adecvată pentru aplicarea metodei de adunare.

Înapoi la sistem , pe care nu l-am putut rezolva prin metoda adunării.

Înmulțiți prima ecuație cu 6 și a doua cu −2

Apoi obținem următorul sistem:

Adăugăm ecuațiile incluse în acest sistem. Adăugarea componentelor 12 Xși -12 X va rezulta 0, adunare 18 yși 4 y va da 22 y, iar adunând 108 și −20 dă 88. Apoi obțineți ecuația 22 y= 88, prin urmare y = 4 .

Dacă la început este dificil să adaugi ecuații în mintea ta, atunci poți scrie cum se adaugă partea stângă a primei ecuații la partea stângă a celei de-a doua ecuații și partea dreaptă a primei ecuații în partea dreaptă a a doua ecuatie:

Știind că valoarea variabilei y este 4, puteți găsi valoarea X. Substitui yîntr-una dintre ecuații, de exemplu în prima ecuație 2 X+ 3y= 18 . Apoi obținem o ecuație cu o variabilă 2 X+ 12 = 18 . Transferăm 12 în partea dreaptă, schimbând semnul, obținem 2 X= 6, prin urmare X = 3 .

Exemplul 4. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Înmulțiți a doua ecuație cu −1. Apoi sistemul va lua următoarea formă:

Să adăugăm ambele ecuații. Adăugarea componentelor Xși −x va rezulta 0, adunare 5 yși 3 y va da 8 y, iar adunând 7 și 1 rezultă 8. Rezultatul este ecuația 8 y= 8 , a cărui rădăcină este 1. Știind că valoarea y este 1, puteți găsi valoarea X .

Substitui yîn prima ecuație, obținem X+ 5 = 7, prin urmare X= 2

Exemplul 5. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Este de dorit ca termenii care conțin aceleași variabile să fie amplasați unul sub celălalt. Prin urmare, în a doua ecuație, termenii 5 yși −2 X schimba locurile. Ca urmare, sistemul va lua forma:

Înmulțiți a doua ecuație cu 3. Apoi sistemul va lua forma:

Acum să adăugăm ambele ecuații. Ca rezultat al adunării, obținem ecuația 8 y= 16, a cărui rădăcină este 2.

Substitui yîn prima ecuație, obținem 6 X− 14 = 40 . Transferăm termenul −14 în partea dreaptă, schimbând semnul, obținem 6 X= 54 . De aici X= 9.

Exemplul 6. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Să scăpăm de fracții. Înmulțiți prima ecuație cu 36 și a doua cu 12

În sistemul rezultat prima ecuație poate fi înmulțită cu −5 și a doua cu 8

Să adăugăm ecuațiile din sistemul rezultat. Apoi obținem cea mai simplă ecuație −13 y= −156 . De aici y= 12 . Substitui yîn prima ecuație și găsiți X

Exemplul 7. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Aducem ambele ecuații la forma normală. Aici este convenabil să se aplice regula proporției în ambele ecuații. Dacă în prima ecuație partea dreaptă este reprezentată ca , iar partea dreaptă a celei de-a doua ecuații ca , atunci sistemul va lua forma:

Avem o proporție. Îi înmulțim termenii extremi și medii. Apoi sistemul va lua forma:

Înmulțim prima ecuație cu −3 și deschidem parantezele în a doua:

Acum să adăugăm ambele ecuații. Ca rezultat al adunării acestor ecuații, obținem o egalitate, în ambele părți din care va fi zero:

Se dovedește că sistemul are un număr infinit de soluții.

Dar nu putem lua pur și simplu valori arbitrare din cer pentru Xși y. Putem specifica una dintre valori, iar cealalta va fi determinata in functie de valoarea pe care o specificam. De exemplu, lasa X= 2 . Înlocuiți această valoare în sistem:

Ca urmare a rezolvării uneia dintre ecuații, valoarea pt y, care va satisface ambele ecuații:

Perechea rezultată de valori (2; −2) va satisface sistemul:

Să găsim o altă pereche de valori. Lasa X= 4. Înlocuiți această valoare în sistem:

Se poate determina cu ochii că y este egal cu zero. Apoi obținem o pereche de valori (4; 0), care ne satisface sistemul:

Exemplul 8. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Înmulțiți prima ecuație cu 6 și a doua cu 12

Să rescriem ce a mai rămas:

Înmulțiți prima ecuație cu −1. Apoi sistemul va lua forma:

Acum să adăugăm ambele ecuații. Ca rezultat al adunării, se formează ecuația 6 b= 48 , a cărui rădăcină este 8. Înlocuitor bîn prima ecuație și găsiți A

Sistem de ecuații liniare cu trei variabile

O ecuație liniară cu trei variabile include trei variabile cu coeficienți, precum și o intersecție. În formă canonică, se poate scrie după cum urmează:

ax + by + cz = d

Această ecuație are un număr infinit de soluții. Dând două variabile valori diferite, poate fi găsită o a treia valoare. Soluția în acest caz este triplul valorilor ( X; y; z) care transformă ecuația într-o identitate.

Dacă variabile x, y, z sunt interconectate prin trei ecuații, apoi se formează un sistem de trei ecuații liniare cu trei variabile. Pentru a rezolva un astfel de sistem, puteți aplica aceleași metode care se aplică ecuațiilor liniare cu două variabile: metoda substituției și metoda adunării.

Exemplul 1. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

Exprimăm în a treia ecuație X. Apoi sistemul va lua forma:

Acum să facem înlocuirea. Variabil X este egală cu expresia 3 − 2y − 2z . Înlocuiți această expresie în prima și a doua ecuație:

Să deschidem parantezele din ambele ecuații și să dăm termeni similari:

Am ajuns la un sistem de ecuații liniare cu două variabile. În acest caz, este convenabil să aplicați metoda de adăugare. Ca urmare, variabila y va dispărea și putem găsi valoarea variabilei z

Acum să găsim valoarea y. Pentru aceasta, este convenabil să folosiți ecuația − y+ z= 4. Înlocuiți valoarea z

Acum să găsim valoarea X. Pentru aceasta, este convenabil să folosiți ecuația X= 3 − 2y − 2z . Înlocuiți valorile în el yși z

Astfel, triplul valorilor (3; −2; 2) este soluția sistemului nostru. Prin verificare, ne asigurăm că aceste valori satisfac sistemul:

Exemplul 2. Rezolvați sistemul prin metoda adunării

Să adunăm prima ecuație cu a doua înmulțită cu −2.

Dacă a doua ecuație este înmulțită cu −2, atunci ea va lua forma −6X+ 6y- 4z = −4 . Acum adăugați-l la prima ecuație:

Vedem că în urma transformărilor elementare s-a determinat valoarea variabilei X. Este egal cu unu.

Să revenim la sistemul principal. Să adunăm a doua ecuație cu a treia înmulțită cu −1. Dacă a treia ecuație este înmulțită cu −1, atunci ea va lua forma −4X + 5y − 2z = −1 . Acum adăugați-l la a doua ecuație:

Am primit ecuația X - 2y= −1 . Înlocuiți valoarea în ea X pe care le-am găsit mai devreme. Apoi putem determina valoarea y

Acum cunoaștem valorile Xși y. Acest lucru vă permite să determinați valoarea z. Folosim una dintre ecuațiile incluse în sistem:

Astfel, triplul valorilor (1; 1; 1) este soluția sistemului nostru. Prin verificare, ne asigurăm că aceste valori satisfac sistemul:

Sarcini pentru compilarea sistemelor de ecuații liniare

Sarcina de compilare a sistemelor de ecuații este rezolvată prin introducerea mai multor variabile. În continuare, ecuațiile sunt compilate pe baza condițiilor problemei. Din ecuațiile compilate, ele formează un sistem și îl rezolvă. După rezolvarea sistemului, este necesar să se verifice dacă soluția acestuia îndeplinește condițiile problemei.

Sarcina 1. O mașină Volga a părăsit orașul spre ferma colectivă. S-a întors înapoi pe un alt drum, care era cu 5 km mai scurt decât primul. În total, mașina a parcurs 35 de km în ambele sensuri. Câți kilometri are fiecare drum?

Soluţie

Lasa X- lungimea primului drum, y- lungimea secundei. Dacă mașina a condus 35 km în ambele sensuri, atunci prima ecuație poate fi scrisă ca X+ y= 35. Această ecuație descrie suma lungimilor ambelor drumuri.

Se spune că mașina se întorcea înapoi pe drum, care era mai scurt decât primul cu 5 km. Atunci a doua ecuație poate fi scrisă ca X− y= 5. Această ecuație arată că diferența dintre lungimile drumurilor este de 5 km.

Sau a doua ecuație poate fi scrisă ca X= y+ 5 . Vom folosi această ecuație.

Din moment ce variabilele Xși yîn ambele ecuații notăm același număr, atunci putem forma un sistem din ele:

Să rezolvăm acest sistem folosind una dintre metodele studiate anterior. În acest caz, este convenabil să folosiți metoda substituției, deoarece în a doua ecuație variabila X deja exprimat.

Înlocuiți a doua ecuație în prima și găsiți y

Înlocuiți valoarea găsită yîn a doua ecuație X= y+ 5 și găsiți X

Lungimea primului drum a fost notata cu variabila X. Acum i-am găsit sensul. Variabil X este 20. Deci lungimea primului drum este de 20 km.

Iar lungimea celui de-al doilea drum era indicată de y. Valoarea acestei variabile este 15. Deci lungimea celui de-al doilea drum este de 15 km.

Hai să facem o verificare. Mai întâi, să ne asigurăm că sistemul este rezolvat corect:

Acum să verificăm dacă soluția (20; 15) satisface condițiile problemei.

Se spunea că în total mașina a parcurs 35 de km în ambele sensuri. Adunăm lungimile ambelor drumuri și ne asigurăm că soluția (20; 15) îndeplinește această condiție: 20 km + 15 km = 35 km

Următoarea condiție: mașina s-a întors înapoi pe un alt drum, care era cu 5 km mai scurt decât primul . Vedem că soluția (20; 15) îndeplinește și această condiție, deoarece 15 km este mai scurt decât 20 km cu 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

La compilarea unui sistem, este important ca variabilele să desemneze aceleași numere în toate ecuațiile incluse în acest sistem.

Deci sistemul nostru conține două ecuații. Aceste ecuații conțin la rândul lor variabilele Xși y, care denotă aceleași numere în ambele ecuații și anume lungimile drumurilor egale cu 20 km și 15 km.

Sarcina 2. Pe platformă au fost încărcate traverse de stejar și pin, în total 300 de traverse. Se știe că toate traversele de stejar cântăreau cu 1 tonă mai puțin decât toate traversele de pin. Stabiliți câte traverse de stejar și pin au fost separat, dacă fiecare traversă de stejar cântărea 46 kg și fiecare traversă de pin 28 kg.

Soluţie

Lasa X stejar şi y traverse de pin au fost încărcate pe platformă. Dacă au fost 300 de traverse în total, atunci prima ecuație poate fi scrisă ca x+y = 300 .

Toate traversele de stejar cântăreau 46 X kg, iar pinul cântărea 28 y kg. Deoarece traversele de stejar cântăreau cu 1 tonă mai puțin decât traversele de pin, a doua ecuație poate fi scrisă ca 28y- 46X= 1000 . Această ecuație arată că diferența de masă dintre traversele de stejar și pin este de 1000 kg.

Tonele au fost convertite în kilograme deoarece masa traverselor de stejar și pin se măsoară în kilograme.

Ca rezultat, obținem două ecuații care formează sistemul

Să rezolvăm acest sistem. Exprimați în prima ecuație X. Apoi sistemul va lua forma:

Înlocuiți prima ecuație în a doua și găsiți y

Substitui yîn ecuație X= 300 − y si afla ce X

Aceasta înseamnă că 100 de traverse de stejar și 200 de pin au fost încărcate pe platformă.

Să verificăm dacă soluția (100; 200) satisface condițiile problemei. Mai întâi, să ne asigurăm că sistemul este rezolvat corect:

Se spunea că erau 300 de dormitoare în total. Adunăm numărul de traverse de stejar și pin și ne asigurăm că soluția (100; 200) îndeplinește această condiție: 100 + 200 = 300.

Următoarea condiție: toate traversele de stejar cântăreau cu 1 tonă mai puțin decât toți cei de pin . Vedem că soluția (100; 200) îndeplinește și această condiție, deoarece 46 × 100 kg de traverse de stejar sunt mai ușoare decât 28 × 200 kg de traverse de pin: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Sarcina 3. Am luat trei bucăți dintr-un aliaj de cupru și nichel în raporturi de 2: 1, 3: 1 și 5: 1 în greutate. Dintre acestea, o piesă cu greutatea de 12 kg a fost topită cu un raport de conținut de cupru și nichel de 4: 1. Aflați masa fiecărei piese originale dacă masa primei dintre ele este de două ori masa celei de-a doua.

Să luăm mai întâi în considerare cazul în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile, i.e. m = n. Atunci matricea sistemului este pătrată, iar determinantul său se numește determinantul sistemului.

Metoda matricei inverse

Considerăm în termeni generali sistemul de ecuații AX = B cu o matrice pătrată nesingulară A. În acest caz, există o matrice inversă A -1 . Să înmulțim ambele părți cu A -1 din stânga. Obținem A -1 AX \u003d A -1 B. De aici EX \u003d A -1 B și

Ultima egalitate este o formulă matriceală pentru găsirea de soluții la astfel de sisteme de ecuații. Utilizarea acestei formule se numește metoda matricei inverse

De exemplu, să folosim această metodă pentru a rezolva următorul sistem:

;

La sfârșitul soluției sistemului, se poate face o verificare prin înlocuirea valorilor găsite în ecuațiile sistemului. În acest caz, ele trebuie să se transforme în adevărate egalități.

Pentru acest exemplu, să verificăm:

Metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare cu matrice pătrată folosind formulele lui Cramer

Fie n=2:

Dacă ambele părți ale primei ecuații sunt înmulțite cu 22 și ambele părți ale celei de-a doua cu (-a 12), și apoi se adună ecuațiile rezultate, atunci vom exclude variabila x 2 din sistem. În mod similar, puteți elimina variabila x 1 (înmulțind ambele părți ale primei ecuații cu (-a 21) și ambele părți ale celei de-a doua cu a 11). Ca rezultat, obținem sistemul:

Expresia dintre paranteze este determinantul sistemului

Denota

Apoi sistemul va lua forma:

Din sistemul rezultat rezultă că dacă determinantul sistemului este 0, atunci sistemul va fi consistent și definit. Soluția sa unică poate fi calculată prin formulele:

Dacă = 0, a 1 0 și/sau  2 0, atunci ecuațiile sistemului vor lua forma 0*х 1 = 2 și/sau 0*х 1 = 2. În acest caz, sistemul va fi inconsecvent.

În cazul în care = 1 = 2 = 0, sistemul va fi consistent și nedefinit (va avea un număr infinit de soluții), deoarece va lua forma:

teorema lui Cramer(omitem dovada). Dacă determinantul matricei sistemului n de ecuații  nu este egal cu zero, atunci sistemul are o soluție unică, determinată de formulele:

,

unde  j este determinantul matricei obţinute din matricea A prin înlocuirea coloanei j-a cu o coloană de termeni liberi.

Formulele de mai sus se numesc formulele lui Cramer.

De exemplu, să folosim această metodă pentru a rezolva un sistem care a fost rezolvat anterior folosind metoda matricei inverse:

Dezavantajele metodelor luate în considerare:

1) complexitate semnificativă (calculul determinanților și găsirea matricei inverse);

2) domeniu limitat (pentru sisteme cu matrice pătrată).

Situațiile economice reale sunt adesea modelate prin sisteme în care numărul de ecuații și variabile este destul de semnificativ și există mai multe ecuații decât variabile.De aceea, următoarea metodă este mai comună în practică.

Metoda Gauss (metoda eliminării succesive a variabilelor)

Această metodă este utilizată pentru a rezolva un sistem de m ecuații liniare cu n variabile într-un mod general. Esența sa constă în aplicarea unui sistem de transformări echivalente la matricea extinsă, cu ajutorul căruia sistemul de ecuații este transformat în forma când soluțiile sale devin ușor de găsit (dacă există).

Aceasta este o astfel de vedere în care partea din stânga sus a matricei sistemului va fi o matrice în trepte. Acest lucru se realizează folosind aceleași tehnici care au fost utilizate pentru a obține o matrice în trepte pentru a determina rangul. În acest caz, la matricea extinsă se aplică transformări elementare, ceea ce va permite obținerea unui sistem echivalent de ecuații. După aceea, matricea augmentată va lua forma:

Obținerea unei astfel de matrice se numește în linie dreaptă metoda Gauss.

Găsirea valorilor variabilelor din sistemul de ecuații corespunzător se numește înapoi metoda Gauss. Să luăm în considerare.

Rețineți că ultimele (m – r) ecuații vor lua forma:

Dacă cel puţin unul dintre numere
nu este egal cu zero, atunci egalitatea corespunzătoare va fi falsă, iar întregul sistem va fi inconsecvent.

Prin urmare, pentru orice sistem comun
. În acest caz, ultimele (m – r) ecuații pentru orice valoare ale variabilelor vor fi identități 0 = 0 și pot fi ignorate la rezolvarea sistemului (doar să aruncați rândurile corespunzătoare).

După aceea, sistemul va arăta astfel:

Luați în considerare mai întâi cazul când r=n. Apoi sistemul va lua forma:

Din ultima ecuație a sistemului se poate găsi în mod unic x r .

Cunoscând x r , se poate exprima în mod unic x r -1 din acesta. Apoi din ecuația anterioară, cunoscând x r și x r -1 , putem exprima x r -2 și așa mai departe. până la x 1 .

Deci, în acest caz, sistemul va fi colaborativ și definit.

Acum luați în considerare cazul când r de bază(de bază), și toate celelalte - nebază(minor, gratuit). Ultima ecuație a sistemului va arăta astfel:

Din această ecuație, putem exprima variabila de bază x r în termeni de variabile nebazice:

Penultima ecuație va arăta astfel:

Înlocuind expresia rezultată în loc de x r, se va putea exprima variabila de bază x r -1 prin variabile nebazice. etc. la variabila x 1 . Pentru a obține o soluție a sistemului, puteți echivala variabilele non-bazice cu valori arbitrare și apoi calculați variabilele de bază folosind formulele obținute. Astfel, în acest caz, sistemul va fi consistent și nedeterminat (are un număr infinit de soluții).

De exemplu, să rezolvăm sistemul de ecuații:

Se va apela setul de variabile de bază bază sisteme. Se va numi și setul de coloane de coeficienți pentru ei bază(coloane de bază), sau minor de bază matrice de sistem. Acea soluție a sistemului, în care toate variabilele non-bazice sunt egale cu zero, va fi numită solutie de baza.

În exemplul anterior, soluția de bază va fi (4/5; -17/5; 0; 0) (variabilele x 3 și x 4 (c 1 și c 2) sunt setate la zero, iar variabilele de bază x 1 și prin ele se calculează x 2) . Pentru a da un exemplu de soluție nebază, este necesar să echivalăm x 3 și x 4 (c 1 și c 2) cu numere arbitrare care nu sunt egale cu zero în același timp și să se calculeze restul variabilelor prin lor. De exemplu, cu c 1 = 1 și c 2 = 0, obținem o soluție nebază - (4/5; -12/5; 1; 0). Prin înlocuire, este ușor de verificat dacă ambele soluții sunt corecte.

Evident, într-un sistem nedefinit de soluții nebazice, poate exista un număr infinit de soluții. Câte soluții de bază pot exista? Fiecare rând al matricei transformate trebuie să corespundă unei variabile de bază. În total, există n variabile în problemă și r rânduri de bază. Prin urmare, numărul de seturi posibile de variabile de bază nu poate depăși numărul de combinații de la n la 2 . Poate fi mai puțin de , deoarece nu este întotdeauna posibil să se transforme sistemul într-o astfel de formă încât acest set particular de variabile să fie baza.

Ce fel este acesta? Aceasta este o astfel de formă când matricea formată din coloanele coeficienților pentru aceste variabile va fi în trepte și, în acest caz, va fi formată din rânduri. Acestea. rangul matricei de coeficienți pentru aceste variabile trebuie să fie egal cu r. Nu poate fi mai mare, deoarece numărul de coloane este egal cu r. Dacă se dovedește a fi mai mic decât r, atunci aceasta indică o dependență liniară a coloanelor cu variabile. Astfel de coloane nu pot constitui o bază.

Să luăm în considerare ce alte soluții de bază pot fi găsite în exemplul de mai sus. Pentru a face acest lucru, luați în considerare toate combinațiile posibile de patru variabile cu două de bază. Astfel de combinații vor
, iar unul dintre ele (x 1 și x 2) a fost deja luat în considerare.

Să luăm variabilele x 1 și x 3 . Găsiți rangul matricei de coeficienți pentru ei:

Deoarece este egal cu doi, ele pot fi de bază. Echivalăm variabilele nebaze x 2 și x 4 cu zero: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Apoi, din formula x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 rezultă că x 1 \u003d 4/5, iar din formula x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 rezultă că x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. Astfel, obținem soluția de bază (4/5; 0; 17/5; 0).

În mod similar, puteți obține soluții de bază pentru variabilele de bază x 1 și x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 şi x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 și x 4 - (0; 0; 9; 4).

Variabilele x 2 și x 3 din acest exemplu nu pot fi luate ca fiind de bază, deoarece rangul matricei corespunzătoare este egal cu unul, adică. mai putin de doua:

.

O altă abordare este posibilă pentru a determina dacă este sau nu posibil să se formeze o bază din unele variabile. La rezolvarea exemplului, ca rezultat al transformării matricei sistemului într-o formă în trepte, acesta a luat forma:

Prin alegerea perechilor de variabile a fost posibil să se calculeze minorele corespunzătoare acestei matrice. Este ușor de observat că pentru toate perechile, cu excepția x 2 și x 3 , acestea nu sunt egale cu zero, adică. coloanele sunt liniar independente. Și numai pentru coloanele cu variabile x 2 și x 3
, ceea ce indică dependența lor liniară.

Să luăm în considerare încă un exemplu. Să rezolvăm sistemul de ecuații

Deci, ecuația corespunzătoare celui de-al treilea rând al ultimei matrice este inconsecventă - a condus la egalitatea greșită 0 = -1, prin urmare, acest sistem este inconsecvent.

metoda Jordan-Gauss 3 este o dezvoltare a metodei gaussiene. Esența sa este că matricea extinsă a sistemului este transformată în forma când coeficienții variabilelor formează o matrice de identitate până la o permutare a rândurilor sau coloanelor 4 (unde este rangul matricei sistemului).

Să rezolvăm sistemul folosind această metodă:

Luați în considerare matricea augmentată a sistemului:

În această matrice, selectăm elementul de identitate. De exemplu, coeficientul la x 2 în a treia constrângere este 5. Să ne asigurăm că în rândurile rămase din această coloană există zerouri, adică. face coloana unică. În procesul transformărilor, vom numi asta coloanăpermisiv(conducere, cheie). A treia constrângere (a treia şir) va fi de asemenea apelat permisiv. Eu insumi element, care se află la intersecția rândului și coloanei care permit (aici este o unitate), se mai numește permisiv.

Prima linie conține acum coeficientul (-1). Pentru a obține zero în locul său, înmulțiți al treilea rând cu (-1) și scădeți rezultatul din primul rând (adică doar adăugați primul rând la al treilea).

A doua linie conține un coeficient de 2. Pentru a obține zero în locul său, înmulțiți a treia linie cu 2 și scădeți rezultatul din prima linie.

Rezultatul transformărilor va arăta astfel:

Această matrice arată clar că una dintre primele două constrângeri poate fi ștearsă (rândurile corespunzătoare sunt proporționale, adică aceste ecuații se succed unele de altele). Să o tăiem pe a doua:

Deci, există două ecuații în noul sistem. Se primește o singură coloană (a doua), iar unitatea de aici se află pe al doilea rând. Să ne amintim că variabila de bază x 2 va corespunde celei de-a doua ecuații a noului sistem.

Să alegem o variabilă de bază pentru primul rând. Poate fi orice variabilă cu excepția x 3 (deoarece la x 3 prima constrângere are un coeficient zero, adică setul de variabile x 2 și x 3 nu poate fi de bază aici). Puteți lua prima sau a patra variabilă.

Să alegem x 1. Apoi elementul de rezolvare va fi 5, iar ambele părți ale ecuației de rezolvare vor trebui împărțite la cinci pentru a obține una în prima coloană a primului rând.

Să ne asigurăm că restul rândurilor (adică al doilea rând) au zerouri în prima coloană. Deoarece acum a doua linie conține nu zero, ci 3, este necesar să se scadă din a doua linie elementele primei linii convertite, înmulțite cu 3:

O soluție de bază poate fi extrasă direct din matricea rezultată prin echivalarea variabilelor nebazice la zero și a variabilelor de bază la termenii liberi din ecuațiile corespunzătoare: (0,8; -3,4; 0; 0). De asemenea, puteți obține formule generale care exprimă variabile de bază prin cele nebazice: x 1 \u003d 0,8 - 1,2 x 4; x 2 \u003d -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Aceste formule descriu întregul set infinit de soluții ale sistemului (echivalând x 3 și x 4 cu numere arbitrare, puteți calcula x 1 și x 2).

Rețineți că esența transformărilor în fiecare etapă a metodei Jordan-Gauss a fost următoarea:

1) șirul permisiv a fost împărțit la elementul permisiv pentru a obține o unitate în locul său,

2) din toate celelalte rânduri, puterea de rezolvare transformată înmulțită cu elementul care se afla în linia dată în coloana de rezolvare a fost scăzută pentru a obține zero în locul acestui element.

Luați în considerare încă o dată matricea augmentată transformată a sistemului:

Din această intrare se poate observa că rangul matricei sistemului A este r.

În cursul raționamentului de mai sus, am stabilit că sistemul este consecvent dacă și numai dacă
. Aceasta înseamnă că matricea augmentată a sistemului va arăta astfel:

Renunțând la zero rânduri, obținem că și rangul matricei extinse a sistemului este egal cu r.

Teorema Kronecker-Capelli. Un sistem de ecuații liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a acestui sistem.

Amintiți-vă că rangul unei matrice este egal cu numărul maxim al rândurilor sale liniar independente. Rezultă din aceasta că, dacă rangul matricei extinse este mai mic decât numărul de ecuații, atunci ecuațiile sistemului sunt dependente liniar și una sau mai multe dintre ele pot fi excluse din sistem (deoarece sunt liniare combinație a celorlalte). Sistemul de ecuații va fi liniar independent numai dacă rangul matricei extinse este egal cu numărul de ecuații.

Mai mult, pentru sisteme consistente de ecuații liniare, se poate argumenta că, dacă rangul matricei este egal cu numărul de variabile, atunci sistemul are o soluție unică, iar dacă este mai mic decât numărul de variabile, atunci sistemul este nedefinit si are infinit de solutii.

1De exemplu, să presupunem că există cinci rânduri în matrice (ordinea inițială a rândurilor este 12345). Trebuie să schimbăm a doua linie și a cincea. Pentru ca a doua linie să cadă în locul celei de-a cincea, să se „miște” în jos, schimbăm secvențial liniile adiacente de trei ori: a doua și a treia (13245), a doua și a patra (13425) și a doua și a cincea (13452). Apoi, pentru ca al cincilea rând să cadă în locul celui de-al doilea în matricea originală, este necesar să „deplasați” al cincilea rând în sus cu doar două modificări consecutive: al cincilea și al patrulea rând (13542) și al cincilea și a treia (15342).

2 Numărul de combinații de la n la r se numește numărul tuturor submulților diferite de elemente r ale unei mulțimi de n elemente (mulțimi diferite sunt cele care au o compoziție diferită de elemente, ordinea de selecție nu este importantă). Se calculează prin formula:
. Amintește-ți semnificația semnului „!” (factorial):
0!=1.)

3Deoarece această metodă este mai comună decât metoda Gauss discutată mai devreme și, în esență, este o combinație a metodei Gauss direct și invers, este uneori numită și metoda Gauss, omițând prima parte a numelui.

4 De exemplu,
.

5Dacă nu ar exista unități în matricea sistemului, atunci ar fi posibil, de exemplu, să se împartă ambele părți ale primei ecuații la două, iar apoi primul coeficient ar deveni unitate; Sau altele asemănătoare.

Rezolvați sistemul cu două necunoscute - aceasta înseamnă găsirea tuturor perechilor de valori variabile care satisfac fiecare dintre ecuațiile date. Fiecare astfel de pereche este numită soluție de sistem.

Exemplu:
Perechea de valori \(x=3\);\(y=-1\) este o soluție pentru primul sistem, deoarece prin înlocuirea acestor triple și minus în sistem în loc de \(x\) și \ (y\), ambele ecuații devin egalități valide \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) \)

Dar \(x=1\); \(y=-2\) - nu este o soluție pentru primul sistem, deoarece după înlocuire a doua ecuație „nu converge” \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Rețineți că astfel de perechi sunt adesea scrise mai scurt: în loc de „\(x=3\); \(y=-1\)” se scriu astfel: \((3;-1)\).

Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare?

Există trei moduri principale de a rezolva sisteme de ecuații liniare:

1. Metoda de substituire.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cazuri)\)\(\Săgeată la stânga\)

Înlocuiți expresia rezultată în locul acestei variabile într-o altă ecuație a sistemului.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   În a doua ecuație, fiecare termen este par, așa că simplificăm ecuația împărțind-o la \(2\).
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Acest sistem poate fi rezolvat în oricare dintre moduri, dar mi se pare că metoda de substituție este cea mai convenabilă aici. Să exprimăm y din a doua ecuație.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Înlocuiți \(6x-13\) cu \(y\) în prima ecuație.
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Prima ecuație a devenit normală. O rezolvam.

   Să deschidem mai întâi parantezele.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Să ne deplasăm \(117\) la dreapta și să dăm termeni similari.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   Împărțiți ambele părți ale primei ecuații la \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Ura, am găsit \(x\)! Înlocuiți valoarea acesteia în a doua ecuație și găsiți \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )\)

   Să scriem răspunsul.

Vom analiza două tipuri de sisteme de rezolvare de ecuații:

1. Rezolvarea sistemului prin metoda substituției.
2. Rezolvarea sistemului prin adunarea (scăderea) termen cu termen a ecuațiilor sistemului.

Pentru a rezolva sistemul de ecuaţii metoda de substitutie trebuie să urmați un algoritm simplu:
1. Ne exprimăm. Din orice ecuație, exprimăm o variabilă.
2. Înlocuitor. Inlocuim intr-o alta ecuatie in locul variabilei exprimate, valoarea rezultata.
3. Rezolvăm ecuația rezultată cu o variabilă. Găsim o soluție la sistem.

A rezolva sistem prin adunare (scădere) termen cu termen nevoie:
1. Selectați o variabilă pentru care vom face aceiași coeficienți.
2. Adunăm sau scădem ecuațiile, ca rezultat obținem o ecuație cu o variabilă.
3. Rezolvăm ecuația liniară rezultată. Găsim o soluție la sistem.

Soluția sistemului este punctele de intersecție ale graficelor funcției.

Să luăm în considerare în detaliu soluția sistemelor folosind exemple.

Exemplul #1:

Să rezolvăm prin metoda substituției

Rezolvarea sistemului de ecuații prin metoda substituției

2x+5y=1 (1 ecuație)
x-10y=3 (a doua ecuație)

1. Express
Se poate observa că în cea de-a doua ecuație există o variabilă x cu coeficientul 1, deci rezultă că este mai ușor să exprimăm variabila x din a doua ecuație.
x=3+10y

2. După exprimare, înlocuim 3 + 10y în prima ecuație în locul variabilei x.
2(3+10y)+5y=1

3. Rezolvăm ecuația rezultată cu o variabilă.
2(3+10y)+5y=1 (paranteze deschise)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Soluția sistemului de ecuații este punctele de intersecție ale graficelor, de aceea trebuie să găsim x și y, deoarece punctul de intersecție este format din x și y. Să găsim x, în primul paragraf unde am exprimat înlocuim y acolo.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Se obișnuiește să scriem puncte în primul rând, scriem variabila x, iar în al doilea rând variabila y.
Răspuns: (1; -0,2)

Exemplul #2:

Să rezolvăm prin adunare (scădere) termen cu termen.

Rezolvarea unui sistem de ecuații prin metoda adunării

3x-2y=1 (1 ecuație)
2x-3y=-10 (a doua ecuație)

1. Selectați o variabilă, să presupunem că selectăm x. În prima ecuație, variabila x are un coeficient de 3, în a doua - 2. Trebuie să facem coeficienții la fel, pentru aceasta avem dreptul să înmulțim ecuațiile sau să împărțim cu orice număr. Înmulțim prima ecuație cu 2, iar a doua cu 3 și obținem un coeficient total de 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Din prima ecuație, scădeți a doua pentru a scăpa de variabila x. Rezolvați ecuația liniară.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Găsiți x. Înlocuim y găsit în oricare dintre ecuații, să spunem în prima ecuație.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Punctul de intersecție va fi x=4,6; y=6,4
Răspuns: (4,6; 6,4)

Vrei să te pregătești pentru examene gratuit? Tutor online este gratuit. Fara gluma.

Mai fiabilă decât metoda grafică discutată în paragraful anterior.

Metoda de înlocuire

Am folosit această metodă în clasa a VII-a pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare. Algoritmul care a fost dezvoltat în clasa a VII-a este destul de potrivit pentru rezolvarea sistemelor de oricare două ecuații (nu neapărat liniare) cu două variabile x și y (desigur, variabilele pot fi notate cu alte litere, ceea ce nu contează). De fapt, am folosit acest algoritm în paragraful anterior, când problema unui număr de două cifre a condus la un model matematic, care este un sistem de ecuații. Am rezolvat mai sus acest sistem de ecuații prin metoda substituției (vezi exemplul 1 din § 4).

Algoritm pentru utilizarea metodei substituției la rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două variabile x, y.

1. Exprimați y în termeni de x dintr-o ecuație a sistemului.
2. Înlocuiți expresia rezultată în loc de y într-o altă ecuație a sistemului.
3. Rezolvați ecuația rezultată pentru x.
4. Înlocuiți pe rând fiecare dintre rădăcinile ecuației găsite la a treia etapă în loc de x în expresia de la y la x obținută la prima etapă.
5. Notați răspunsul sub formă de perechi de valori (x; y), care au fost găsite, respectiv, în pasul al treilea și al patrulea.

4) Înlocuiți pe rând fiecare dintre valorile găsite ale lui y în formula x \u003d 5 - Zy. Daca atunci
5) Perechi (2; 1) și soluții ale unui sistem de ecuații dat.

Răspuns: (2; 1);

Metoda adunării algebrice

Această metodă, ca și metoda substituției, vă este familiară de la cursul de algebră de clasa a VII-a, unde a fost folosită pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Reamintim esența metodei în exemplul următor.

Exemplul 2 Rezolvați un sistem de ecuații

Înmulțim toți termenii primei ecuații a sistemului cu 3 și lăsăm neschimbată a doua ecuație:
Scădeți a doua ecuație a sistemului din prima sa ecuație:

Ca rezultat al adunării algebrice a două ecuații ale sistemului original, s-a obținut o ecuație care este mai simplă decât prima și a doua ecuație a sistemului dat. Cu această ecuație mai simplă, avem dreptul de a înlocui orice ecuație a unui sistem dat, de exemplu, pe a doua. Apoi sistemul de ecuații dat va fi înlocuit cu un sistem mai simplu:

Acest sistem poate fi rezolvat prin metoda substituției. Din a doua ecuație găsim Înlocuind această expresie în loc de y în prima ecuație a sistemului, obținem

Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale x în formulă

Dacă x = 2 atunci

Astfel, am găsit două soluții la sistem:

Metoda de introducere a noilor variabile

Te-ai familiarizat cu metoda de introducere a unei noi variabile la rezolvarea ecuațiilor raționale cu o variabilă la cursul de algebră de clasa a VIII-a. Esența acestei metode de rezolvare a sistemelor de ecuații este aceeași, dar din punct de vedere tehnic există câteva caracteristici pe care le vom discuta în exemplele următoare.

Exemplul 3 Rezolvați un sistem de ecuații

Să introducem o nouă variabilă. Atunci prima ecuație a sistemului poate fi rescrisă într-o formă mai simplă: Să rezolvăm această ecuație în raport cu variabila t:

Ambele valori satisfac condiția și, prin urmare, sunt rădăcinile unei ecuații raționale cu variabila t. Dar asta înseamnă fie de unde găsim că x = 2y, fie
Astfel, folosind metoda introducerii unei noi variabile, am reușit, parcă, să „stratificăm” prima ecuație a sistemului, care este destul de complexă în aparență, în două ecuații mai simple:

x = 2 y; y - 2x.

Ce urmeaza? Și apoi fiecare dintre cele două ecuații simple obținute trebuie luată în considerare pe rând într-un sistem cu ecuația x 2 - y 2 \u003d 3, pe care nu ne-am amintit încă. Cu alte cuvinte, problema se reduce la rezolvarea a două sisteme de ecuații:

Este necesar să găsiți soluții pentru primul sistem, al doilea sistem și să includeți toate perechile de valori rezultate în răspuns. Să rezolvăm primul sistem de ecuații:

Să folosim metoda substituției, mai ales că totul este gata pentru asta aici: înlocuim expresia 2y în loc de x în a doua ecuație a sistemului. obține

Deoarece x \u003d 2y, găsim x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Astfel, se obțin două soluții pentru sistemul dat: (2; 1) și (-2; -1). Să rezolvăm al doilea sistem de ecuații:

Să folosim din nou metoda substituției: înlocuim expresia 2x în loc de y în a doua ecuație a sistemului. obține

Această ecuație nu are rădăcini, ceea ce înseamnă că sistemul de ecuații nu are soluții. Astfel, doar soluțiile primului sistem ar trebui incluse în răspuns.

Răspuns: (2; 1); (-2;-1).

Metoda introducerii de noi variabile în rezolvarea sistemelor de două ecuații cu două variabile este utilizată în două versiuni. Prima opțiune: o nouă variabilă este introdusă și utilizată într-o singură ecuație a sistemului. Este exact ceea ce sa întâmplat în exemplul 3. A doua opțiune: două variabile noi sunt introduse și utilizate simultan în ambele ecuații ale sistemului. Acesta va fi cazul în exemplul 4.

Exemplul 4 Rezolvați un sistem de ecuații

Să introducem două variabile noi:

Învățăm asta atunci

Acest lucru ne va permite să rescriem sistemul dat într-o formă mult mai simplă, dar cu privire la noile variabile a și b:

Deoarece a \u003d 1, atunci din ecuația a + 6 \u003d 2 găsim: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Astfel, pentru variabilele a și b, avem o soluție:

Revenind la variabilele x și y, obținem sistemul de ecuații

Aplicam metoda adunarii algebrice pentru a rezolva acest sistem:

De atunci din ecuația 2x + y = 3 găsim:
Astfel, pentru variabilele x și y, avem o soluție:

Să încheiem această secțiune cu o scurtă, dar destul de serioasă discuție teoretică. Ai acumulat deja ceva experiență în rezolvarea diverselor ecuații: liniare, pătrate, raționale, iraționale. Știți că ideea principală a rezolvării unei ecuații este trecerea treptat de la o ecuație la alta, mai simplă, dar echivalentă cu cea dată. În secțiunea anterioară, am introdus noțiunea de echivalență pentru ecuațiile cu două variabile. Acest concept este folosit și pentru sistemele de ecuații.

Definiție.

Se spune că două sisteme de ecuații cu variabile x și y sunt echivalente dacă au aceleași soluții sau dacă ambele sisteme nu au soluții.

Toate cele trei metode (substituție, adunare algebrică și introducere de noi variabile) pe care le-am discutat în această secțiune sunt absolut corecte din punct de vedere al echivalenței. Cu alte cuvinte, folosind aceste metode, înlocuim un sistem de ecuații cu altul, mai simplu, dar echivalent cu sistemul original.

Metoda grafica de rezolvare a sistemelor de ecuatii

Am învățat deja cum să rezolvăm sisteme de ecuații în moduri atât de comune și de încredere, cum ar fi metoda de substituție, adunarea algebrică și introducerea de noi variabile. Și acum să ne amintim metoda pe care ați studiat-o deja în lecția anterioară. Adică să repetăm ​​ceea ce știi despre metoda soluției grafice.

Metoda de rezolvare grafică a sistemelor de ecuații este construirea unui grafic pentru fiecare dintre ecuațiile specifice care sunt incluse în acest sistem și se află în același plan de coordonate și, de asemenea, acolo unde este necesar să se găsească intersecția punctelor acestor grafice. . Pentru a rezolva acest sistem de ecuații sunt coordonatele acestui punct (x; y).

Trebuie amintit că pentru un sistem grafic de ecuații este obișnuit să existe fie o singură soluție corectă, fie un număr infinit de soluții, fie să nu aibă deloc soluții.

Acum să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre aceste soluții. Și astfel, sistemul de ecuații poate avea o soluție unică dacă liniile, care sunt graficele ecuațiilor sistemului, se intersectează. Dacă aceste drepte sunt paralele, atunci un astfel de sistem de ecuații nu are absolut nicio soluție. În cazul coincidenței graficelor directe ale ecuațiilor sistemului, atunci un astfel de sistem vă permite să găsiți multe soluții.

Ei bine, acum să aruncăm o privire la algoritmul pentru rezolvarea unui sistem de două ecuații cu 2 necunoscute folosind o metodă grafică:

Mai întâi, la început construim un grafic al primei ecuații;
Al doilea pas va fi trasarea unui grafic care se referă la a doua ecuație;
În al treilea rând, trebuie să găsim punctele de intersecție ale graficelor.
Și, ca rezultat, obținem coordonatele fiecărui punct de intersecție, care va fi soluția sistemului de ecuații.

Să ne uităm la această metodă mai detaliat cu un exemplu. Ni se oferă un sistem de ecuații de rezolvat:

Rezolvarea ecuațiilor

1. Mai întâi, vom construi un grafic al acestei ecuații: x2+y2=9.

Dar trebuie remarcat faptul că acest grafic al ecuațiilor va fi un cerc centrat la origine, iar raza lui va fi egală cu trei.

2. Următorul nostru pas va fi reprezentarea unei ecuații precum: y = x - 3.

În acest caz, trebuie să construim o dreaptă și să găsim punctele (0;−3) și (3;0).

3. Să vedem ce avem. Vedem că linia intersectează cercul în două dintre punctele sale A și B.

Acum căutăm coordonatele acestor puncte. Vedem că coordonatele (3;0) corespund punctului A, iar coordonatele (0;−3) corespund punctului B.

Și ce obținem ca rezultat?

Numerele (3;0) și (0;−3) obținute la intersecția unei drepte cu un cerc sunt exact soluțiile ambelor ecuații ale sistemului. Și de aici rezultă că aceste numere sunt și soluții ale acestui sistem de ecuații.

Adică răspunsul acestei soluții sunt numerele: (3;0) și (0;−3).