Sa incepem cu proprietățile logaritmului unității. Formularea sa este următoarea: logaritmul unității este egal cu zero, adică log a 1=0 pentru orice a>0, a≠1. Demonstrarea este simplă: deoarece a 0 =1 pentru orice a care îndeplinește condițiile de mai sus a>0 și a≠1 , atunci egalitatea dovedită log a 1=0 urmează imediat din definiția logaritmului.
Să dăm exemple de aplicare a proprietății considerate: log 3 1=0 , lg1=0 și .
Să trecem la următoarea proprietate: logaritmul unui număr egal cu baza este egal cu unu, adică log a a=1 pentru a>0, a≠1. Într-adevăr, deoarece a 1 =a pentru orice a , atunci prin definiția logaritmului log a a=1 .
Exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor sunt log 5 5=1 , log 5.6 5.6 și lne=1 .
De exemplu, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 și 
.
Logaritmul produsului a două numere pozitive x și y este egal cu produsul logaritmilor acestor numere: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Să demonstrăm proprietatea logaritmului produsului. Datorită proprietăților gradului a log a x+log a y =a log a x a log a y, și deoarece prin identitatea logaritmică principală un log a x =x și un log a y =y , atunci un log a x a log a y =x y . Astfel, un log a x+log a y =x y , de unde egalitatea cerută urmează prin definiția logaritmului.
Să arătăm exemple de utilizare a proprietății logaritmului produsului: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 și 
.
Proprietatea logaritmului produsului poate fi generalizată la produsul unui număr finit n de numere pozitive x 1 , x 2 , …, x n ca log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Această egalitate este ușor de demonstrat.
De exemplu, logaritmul natural al unui produs poate fi înlocuit cu suma a trei logaritmi naturali ai numerelor 4 , e , și .
Logaritmul câtului a două numere pozitive x și y este egal cu diferența dintre logaritmii acestor numere. Proprietatea logaritmului coeficientului corespunde unei formule de forma , unde a>0 , a≠1 , x și y sunt niște numere pozitive. Valabilitatea acestei formule este dovedită ca formula pentru logaritmul produsului: din moment ce 
, apoi prin definiția logaritmului .
Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți a logaritmului: 
.
Să trecem la proprietatea logaritmului gradului. Logaritmul unui grad este egal cu produsul exponentului și logaritmul modulului bazei acestui grad. Scriem această proprietate a logaritmului gradului sub forma unei formule: log a b p =p log a |b|, unde a>0 , a≠1 , b și p sunt numere astfel încât gradul lui b p are sens și b p >0 .
Mai întâi demonstrăm această proprietate pentru b pozitiv. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca un log a b , apoi b p =(a log a b) p , iar expresia rezultată, datorită proprietății puterii, este egală cu a p log a b . Ajungem deci la egalitatea b p =a p log a b , din care, prin definiția logaritmului, concluzionăm că log a b p =p log a b .
Rămâne de demonstrat această proprietate pentru negativul b . Aici observăm că expresia log a b p pentru negativ b are sens doar pentru exponenții pari p (deoarece valoarea gradului b p trebuie să fie mai mare decât zero, altfel logaritmul nu va avea sens), iar în acest caz b p =|b| p . Apoi b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, de unde log a b p =p log a |b| .
De exemplu, 
și ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Rezultă din proprietatea anterioară proprietatea logaritmului de la rădăcină: logaritmul rădăcinii de gradul al n-lea este egal cu produsul fracției 1/n și logaritmul expresiei rădăcinii, adică 
, unde a>0 , a≠1 , n este un număr natural mai mare decât unu, b>0 .
Dovada se bazează pe egalitatea (vezi ), care este valabilă pentru orice b pozitiv și pe proprietatea logaritmului gradului: 
.
Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: 
.
Acum să demonstrăm formula de conversie la noua bază a logaritmului drăguț 
. Pentru a face acest lucru, este suficient să dovedim validitatea egalității log c b=log a b log c a . Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca log a b , apoi log c b=log c a log a b . Rămâne să folosim proprietatea logaritmului gradului: log c a log a b = log a b log c a. Astfel, se demonstrează egalitatea log c b=log a b log c a, ceea ce înseamnă că se dovedește și formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului.
Să arătăm câteva exemple de aplicare a acestei proprietăți a logaritmilor: și 
.
Formula pentru trecerea la o nouă bază vă permite să treceți la lucrul cu logaritmi care au o bază „convenabilă”. De exemplu, poate fi folosit pentru a merge la logaritmi naturali sau zecimali, astfel încât să puteți calcula valoarea logaritmului din tabelul de logaritmi. Formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului permite, de asemenea, în unele cazuri să se găsească valoarea unui logaritm dat, când sunt cunoscute valorile unor logaritmi cu alte baze.
Deseori folosit este un caz special al formulei pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului pentru c=b de forma 
. Aceasta arată că log a b și log b a – . De exemplu, 
.
De asemenea, este des folosită formula 
, care este util pentru găsirea valorilor logaritmice. Pentru a ne confirma cuvintele, vom arăta cum se calculează valoarea logaritmului formei folosindu-l. Noi avem 
. Pentru a demonstra formula 
este suficient să folosiți formula de tranziție la noua bază a logaritmului a: 
.
Rămâne de demonstrat proprietățile de comparație ale logaritmilor.
Să demonstrăm că pentru orice numere pozitive b 1 și b 2 , b 1 log a b 2 , iar pentru a>1, inegalitatea log a b 1 În cele din urmă, rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale logaritmilor. Ne limităm la demonstrarea primei sale părți, adică demonstrăm că dacă a 1 >1 , a 2 >1 și a 1 1 este adevărat log a 1 b>log a 2 b . Enunțurile rămase ale acestei proprietăți a logaritmilor sunt dovedite printr-un principiu similar. Să folosim metoda opusă. Să presupunem că pentru a 1 >1 , a 2 >1 și a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b este adevărat. Prin proprietățile logaritmilor, aceste inegalități pot fi rescrise ca 
și 
respectiv, iar din acestea rezultă că log b a 1 ≤log b a 2 și, respectiv, log b a 1 ≥log b a 2. Atunci, prin proprietățile puterilor cu aceleași baze, trebuie îndeplinite egalitățile b log b a 1 ≥b log b a 2 și b log b a 1 ≥b log b a 2, adică a 1 ≥a 2 . Astfel, am ajuns la o contradicție cu condiția a 1
Bibliografie.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).
Logaritmul unui număr N prin rațiune A se numeste exponent X , la care trebuie să ridici A pentru a obține numărul N
Cu conditia ca 
,
,
Din definiţia logaritmului rezultă că 
, adică
- această egalitate este identitatea logaritmică de bază.
Logaritmii la baza 10 se numesc logaritmi zecimali. În loc de 
scrie 
.
logaritmi de bază e
sunt numite naturale și notate 
.
Proprietățile de bază ale logaritmilor.
Logaritmul unității pentru orice bază este zero
Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor.
3) Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor
Factor 
se numește modulul de tranziție de la logaritmi la bază A
la logaritmi la bază b
.
Folosind proprietățile 2-5, este adesea posibil să se reducă logaritmul unei expresii complexe la rezultatul operațiilor aritmetice simple pe logaritmi.
De exemplu, 
Astfel de transformări ale logaritmului se numesc logaritmi. Transformările reciproce ale logaritmilor se numesc potențare.
Capitolul 2. Elemente de matematică superioară.
1. Limite
limita functiei 
este un număr finit A dacă, când se străduiește xx
0
pentru fiecare prestabilit 
, există un număr 
că de îndată ce 
, apoi 
.
O funcție care are o limită diferă de aceasta printr-o sumă infinitezimală: 
, unde - b.m.w., i.e. 
.
Exemplu. Luați în considerare funcția 
.
Când te străduiești 
, funcție y
merge la zero: 
1.1. Teoreme de bază despre limite.
Limita unei valori constante este egală cu această valoare constantă
.
Limita sumei (diferenței) unui număr finit de funcții este egală cu suma (diferenței) limitelor acestor funcții.
Limita unui produs al unui număr finit de funcții este egală cu produsul limitelor acestor funcții.
Limita câtului a două funcții este egală cu câtul limitelor acestor funcții dacă limita numitorului nu este egală cu zero.
Limite remarcabile
,
, Unde 
1.2. Exemple de calcul al limitelor
Cu toate acestea, nu toate limitele sunt calculate atât de simplu. Mai des, calculul limitei se reduce la dezvăluirea incertitudinii de tip: 
sau .
.
2. Derivata unei functii
Să avem o funcție 
, continuu pe segment 
.
Argument 
am primit un impuls 
. Apoi funcția va fi incrementată 
.
Valoarea argumentului 
corespunde valorii funcției 
.
Valoarea argumentului 
corespunde valorii funcției .
Prin urmare, .
Să găsim limita acestei relații la 
. Dacă această limită există, atunci se numește derivată a funcției date.
Definiția derivatei 3 a unei funcții date 
prin argumentare 
numită limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, când incrementul argumentului tinde în mod arbitrar la zero.
Derivată de funcție 
poate fi notat astfel:
;
;
;
.
Definiția 4 Operația de găsire a derivatei unei funcții se numește diferenţiere.
2.1. Sensul mecanic al derivatului.
Luați în considerare mișcarea rectilinie a unui corp rigid sau punct material.
Lasă la un moment dat 
punct de mișcare 
era la distanta 
din pozitia de start 
.
După o perioadă de timp 
ea sa deplasat o distanta 
. Atitudine 
=
- viteza medie a unui punct material 
. Să găsim limita acestui raport, ținând cont de faptul că 
.
În consecință, determinarea vitezei instantanee a unui punct material se reduce la găsirea derivatei traseului în raport cu timpul.
2.2. Valoarea geometrică a derivatei
Să presupunem că avem o anumită funcție definită grafic 
.
Orez. 1. Sensul geometric al derivatului
În cazul în care un 
, apoi punctul 
, se va deplasa de-a lungul curbei, apropiindu-se de punct 
.
Prin urmare 
, adică valoarea derivatei având în vedere valoarea argumentului 
este egal numeric cu tangentei unghiului format de tangenta intr-un punct dat cu directia pozitiva a axei 
.
2.3. Tabelul formulelor de diferențiere de bază.
Funcția de putere
|
|
|
|
|
|
|
Functie exponentiala
|
|
|
|
|
funcţie logaritmică
|
|
|
|
|
functie trigonometrica
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funcția trigonometrică inversă
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Reguli de diferențiere.
Derivat din 
Derivată a sumei (diferenței) funcțiilor
Derivată a produsului a două funcții
Derivata coeficientului a doua functii
2.5. Derivată a unei funcții complexe.
Lasă funcția 
astfel încât să poată fi reprezentat ca
și 
, unde variabila 
este un argument intermediar, atunci 
Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei functiei date fata de argumentul intermediar cu derivata argumentului intermediar fata de x.
Exemplul 1. 
Exemplul2. 
3. Diferenţial de funcţie.
Să fie 
, diferentiabil pe un anumit interval 
lăsați-l să plece la
această funcție are o derivată
,
atunci poti sa scrii
(1),
Unde 
- o cantitate infinitezimală,
deoarece la 
Înmulțirea tuturor termenilor de egalitate (1) cu 
noi avem:
Unde 
- b.m.v. de ordin superior.
Valoare 
se numește diferența funcției 
și notat 
.
3.1. Valoarea geometrică a diferenţialului.
Lasă funcția 
.
Fig.2. Sensul geometric al diferenţialului.
.
Evident, diferența funcției 
este egală cu incrementul ordonatei tangentei în punctul dat.
3.2. Derivate și diferențiale de diverse ordine.
În cazul în care există 
, apoi 
se numeste prima derivata.
Derivata primei derivate se numeste derivata de ordinul doi si se scrie 
.
Derivată de ordinul al n-lea al funcției 
se numește derivată de ordinul (n-1) și se scrie:
.
Diferenţialul diferenţialului unei funcţii se numeşte a doua diferenţială sau diferenţială de ordinul doi.
.
.
3.3 Rezolvarea problemelor biologice folosind diferențierea.
Sarcina 1. Studiile au arătat că creșterea unei colonii de microorganisme respectă legea 
, Unde N
– numărul de microorganisme (în mii), t
– timp (zile).
b) Populația coloniei va crește sau va scădea în această perioadă?
Răspuns. Colonia va crește în dimensiune.
Sarcina 2. Apa din lac este testată periodic pentru a controla conținutul de bacterii patogene. Prin t zile după testare, concentrația de bacterii este determinată de raport
.
Când va veni concentrația minimă de bacterii în lac și se va putea înota în el?
Soluție O funcție atinge max sau min atunci când derivata ei este zero.
,
Să stabilim că max sau min va fi în 6 zile. Pentru a face acest lucru, luăm derivata a doua.
Răspuns: După 6 zile va exista o concentrație minimă de bacterii.
Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Menținerea confidențialității la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
Astăzi vom vorbi despre formule logaritmiceși dați o demonstrație exemple de solutie.
Prin ele însele, ele implică modele de soluție conform proprietăților de bază ale logaritmilor. Înainte de a aplica formulele logaritmice la soluție, reamintim pentru dvs., mai întâi toate proprietățile:
Acum, pe baza acestor formule (proprietăți), arătăm exemple de rezolvare a logaritmilor.
Exemple de rezolvare a logaritmilor pe bază de formule.
Logaritm un număr pozitiv b în baza a (notat log a b) este exponentul la care trebuie ridicat a pentru a obține b, cu b > 0, a > 0 și 1.
Conform definiției log a b = x, care este echivalent cu a x = b, deci log a a x = x.
Logaritmi, exemple:
log 2 8 = 3, deoarece 2 3 = 8
log 7 49 = 2 deoarece 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, deoarece 5 -1 = 1/5
Logaritm zecimal este un logaritm obișnuit, a cărui bază este 10. Notat cu lg.
log 10 100 = 2 deoarece 10 2 = 100
logaritmul natural- și logaritmul obișnuit, dar cu baza e (e \u003d 2,71828 ... - un număr irațional). Denumită ln.
Este de dorit să ne amintim formulele sau proprietățile logaritmilor, deoarece vom avea nevoie de ele mai târziu când rezolvăm logaritmi, ecuații logaritmice și inegalități. Să lucrăm din nou prin fiecare formulă cu exemple.
- Identitatea logaritmică de bază
un log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Proprietățile gradului unui număr logaritmabil și ale bazei logaritmului
Exponentul unui număr logaritmic log a b m = mlog a b
Exponent al bazei logaritmului log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
dacă m = n, obținem log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Trecerea la o nouă fundație
log a b = log c b / log c a,dacă c = b, obținem log b b = 1
atunci log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
După cum puteți vedea, formulele logaritmului nu sunt atât de complicate pe cât par. Acum, având în vedere exemple de rezolvare a logaritmilor, putem trece la ecuații logaritmice. Vom lua în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor logaritmice mai detaliat în articolul: „”. Nu ratați!
Dacă mai aveți întrebări despre soluție, scrieți-le în comentariile articolului.
Notă: am decis să obțin o educație dintr-o altă clasă de studii în străinătate ca opțiune.
Deci, avem puteri de doi. Dacă luați numărul din linia de jos, atunci puteți găsi cu ușurință puterea la care trebuie să ridicați un doi pentru a obține acest număr. De exemplu, pentru a obține 16, trebuie să ridici doi la a patra putere. Și pentru a obține 64, trebuie să ridici doi la a șasea putere. Acest lucru se vede din tabel.
Și acum - de fapt, definiția logaritmului:
Logaritmul la baza a a argumentului x este puterea la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărul x .
Notație: log a x \u003d b, unde a este baza, x este argumentul, b este de fapt egal cu logaritmul.
De exemplu, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritmul de bază 2 al lui 8 este trei deoarece 2 3 = 8). Ar putea la fel de bine să înregistreze 2 64 = 6 pentru că 2 6 = 64 .
Operația de găsire a logaritmului unui număr la o bază dată se numește logaritm. Deci, să adăugăm un nou rând la tabelul nostru:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Din păcate, nu toți logaritmii sunt considerați atât de ușor. De exemplu, încercați să găsiți log 2 5 . Numărul 5 nu este în tabel, dar logica dictează că logaritmul va fi undeva pe segment. Pentru că 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Astfel de numere se numesc iraționale: numerele de după virgulă pot fi scrise la nesfârșit și nu se repetă niciodată. Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, este mai bine să-l lăsați astfel: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .
Este important de înțeles că logaritmul este o expresie cu două variabile (bază și argument). La început, mulți oameni confundă unde este baza și unde este argumentul. Pentru a evita neînțelegerile enervante, aruncați o privire la imagine:
În fața noastră nu este nimic altceva decât definiția logaritmului. Tine minte: logaritmul este puterea, la care trebuie să ridicați baza pentru a obține argumentul. Este baza care este ridicată la o putere - în imagine este evidențiată cu roșu. Se dovedește că baza este întotdeauna în jos! Le spun studenților mei această regulă minunată chiar de la prima lecție - și nu există nicio confuzie.
Ne-am dat seama de definiție - rămâne să învățăm cum să numărăm logaritmii, de exemplu. scapă de semnul „bușten”. Pentru început, observăm că din definiție rezultă două fapte importante:
- Argumentul și baza trebuie să fie întotdeauna mai mari decât zero. Aceasta rezultă din definirea gradului de către un exponent rațional, la care se reduce definiția logaritmului.
- Baza trebuie să fie diferită de unitate, deoarece o unitate pentru orice putere este încă o unitate. Din această cauză, întrebarea „la ce putere trebuie ridicat cineva pentru a obține doi” este lipsită de sens. Nu există o astfel de diplomă!
Se numesc astfel de restricții interval valid(ODZ). Rezultă că ODZ a logaritmului arată astfel: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .
Rețineți că nu există restricții cu privire la numărul b (valoarea logaritmului) nu este impus. De exemplu, logaritmul poate fi negativ: log 2 0,5 \u003d -1, deoarece 0,5 = 2 −1 .
Totuși, acum luăm în considerare doar expresii numerice, unde nu este necesar să cunoaștem ODZ a logaritmului. Toate restricțiile au fost deja luate în considerare de către compilatorii problemelor. Dar când intră în joc ecuațiile logaritmice și inegalitățile, cerințele DHS vor deveni obligatorii. Într-adevăr, în bază și argument pot exista construcții foarte puternice, care nu corespund neapărat restricțiilor de mai sus.
Acum luați în considerare schema generală de calcul a logaritmilor. Acesta constă din trei etape:
- Exprimați baza a și argumentul x ca o putere cu cea mai mică bază posibilă mai mare decât unu. Pe parcurs, este mai bine să scapi de fracțiile zecimale;
- Rezolvați ecuația pentru variabila b: x = a b ;
- Numărul rezultat b va fi răspunsul.
Asta e tot! Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, acest lucru se va vedea deja la primul pas. Cerința ca baza să fie mai mare decât unu este foarte relevantă: aceasta reduce probabilitatea de eroare și simplifică foarte mult calculele. La fel și cu fracțiile zecimale: dacă le convertiți imediat în cele obișnuite, vor exista de multe ori mai puține erori.
Să vedem cum funcționează această schemă pe exemple specifice:
Sarcină. Calculați logaritmul: log 5 25
- Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a lui cinci: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- A primit un raspuns: 2.
Să facem și să rezolvăm ecuația:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Sarcină. Calculați logaritmul:
Sarcină. Calculați logaritmul: log 4 64
- Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a doi: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Să facem și să rezolvăm ecuația:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - A primit un raspuns: 3.
Sarcină. Calculați logaritmul: log 16 1
- Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a doi: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Să facem și să rezolvăm ecuația:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - A primit un raspuns: 0.
Sarcină. Calculați logaritmul: log 7 14
- Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere de șapte: 7 = 7 1 ; 14 nu este reprezentat ca o putere a șapte, deoarece 7 1< 14 < 7 2 ;
- Din paragraful anterior rezultă că logaritmul nu este luat în considerare;
- Răspunsul este fără schimbare: log 7 14.
O mică notă despre ultimul exemplu. Cum să vă asigurați că un număr nu este o putere exactă a altui număr? Foarte simplu - doar descompuneți-l în factori primi. Dacă există cel puțin doi factori diferiți în expansiune, numărul nu este o putere exactă.
Sarcină. Aflați dacă puterile exacte ale numărului sunt: 8; 48; 81; 35; paisprezece .
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - gradul exact, deoarece există un singur multiplicator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nu este o putere exactă deoarece există doi factori: 3 și 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grad exact;
35 = 7 5 - din nou nu este un grad exact;
14 \u003d 7 2 - din nou nu este un grad exact;
De asemenea, rețineți că numerele prime în sine sunt întotdeauna puteri exacte ale lor.
Logaritm zecimal
Unii logaritmi sunt atât de comune încât au un nume și o denumire specială.
Logaritmul zecimal al argumentului x este logaritmul de bază 10, adică. puterea la care trebuie să ridici numărul 10 pentru a obține numărul x. Denumire: lg x .
De exemplu, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.
De acum înainte, când în manual apare o expresie precum „Găsiți lg 0.01”, să știți că aceasta nu este o greșeală de tipar. Acesta este logaritmul zecimal. Cu toate acestea, dacă nu sunteți obișnuit cu o astfel de desemnare, o puteți rescrie oricând:
log x = log 10 x
Tot ceea ce este adevărat pentru logaritmii obișnuiți este valabil și pentru zecimale.
logaritmul natural
Există un alt logaritm care are propria sa notație. Într-un fel, este chiar mai important decât zecimală. Acesta este logaritmul natural.
Logaritmul natural al lui x este logaritmul de bază e, adică. puterea la care trebuie ridicat numărul e pentru a obține numărul x. Denumire: ln x .
Mulți se vor întreba: ce altceva este numărul e? Acesta este un număr irațional, valoarea lui exactă nu poate fi găsită și notă. Iată doar primele numere:
e = 2,718281828459...
Nu vom aprofunda ce este acest număr și de ce este necesar. Nu uitați că e este baza logaritmului natural:
ln x = log e x
Astfel ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - etc. Pe de altă parte, ln 2 este un număr irațional. În general, logaritmul natural al oricărui număr rațional este irațional. Cu excepția, desigur, unității: ln 1 = 0.
Pentru logaritmii naturali, toate regulile care sunt adevărate pentru logaritmii obișnuiți sunt valabile.
