Principiul celei mai mici acțiuni, afirmat mai întâi în mod explicit de Jacobi, este similar cu principiul lui Hamilton, dar mai puțin general și mai greu de demonstrat. Acest principiu este aplicabil numai în cazul în care conexiunile și funcția de forță nu depind de timp și când, deci, există o integrală a forței vii.
Această integrală arată astfel:
Principiul lui Hamilton enunţat mai sus prevede că variaţia integralei
este egal cu zero atunci când mișcarea reală trece la orice altă mișcare infinit apropiată care duce sistemul din aceeași poziție inițială în aceeași poziție finală în același interval de timp.
Principiul Jacobi, dimpotrivă, exprimă o proprietate, mișcare, care nu depinde de timp. Jacobi consideră integrala
acţiune definitorie. Principiul pe care l-a stabilit afirmă că variația acestei integrale este zero atunci când comparăm mișcarea reală a sistemului cu orice altă mișcare infinit apropiată care duce sistemul din aceeași poziție inițială în aceeași poziție finală. În acest caz, nu acordăm atenție intervalului de timp petrecut, dar observăm ecuația (1), adică ecuația forței de muncă cu aceeași valoare a constantei h ca în mișcarea reală.
Această condiție extremum necesară conduce, în general, la minimul integralei (2), de unde vine denumirea principiului celei mai mici acțiuni. Condiția minimă pare a fi cea mai naturală, deoarece valoarea lui T este în esență pozitivă și, prin urmare, integrala (2) trebuie să aibă în mod necesar un minim. Existenţa unui minim poate fi dovedită riguros numai dacă intervalul de timp este suficient de mic. Dovada acestei propoziții poate fi găsită în binecunoscutul curs al lui Darboux despre teoria suprafețelor. Cu toate acestea, nu o vom prezenta aici și ne vom limita la derivarea condiției
432. Dovada principiului celei mai mici acțiuni.
În calculul efectiv întâlnim o dificultate care nu este prezentă în demonstrarea teoremei lui Hamilton. Variabila t nu mai rămâne independentă de variație; deci variațiile lui q i și q. sunt legate de variația lui t printr-o relație complexă care decurge din ecuația (1). Cel mai simplu mod de a ocoli această dificultate este schimbarea variabilei independente cu una ale cărei valori se află între limite constante independente de timp. Fie k o nouă variabilă independentă ale cărei limite se presupune că sunt independente de t. La mutarea sistemului, parametrii și t vor fi funcții ale acestei variabile
Fie literele primare q indică derivatele parametrilor q în raport cu timpul.
Deoarece se presupune că legăturile sunt independente de timp, coordonatele carteziene x, y, z sunt funcții ale lui q care nu conțin timp. Prin urmare, derivatele lor vor fi funcții liniare omogene ale lui q și 7 va fi o formă pătratică omogenă a lui q ai cărei coeficienți sunt funcții ale lui q. Noi avem
Pentru a distinge derivatele în timp ale lui q, notăm cu paranteze, (q), derivatele lui q, luate în raport cu aceasta și puse în conformitate cu aceasta.
atunci vom avea
iar integrala (2), exprimată prin noua variabilă independentă A, va lua forma;
Derivata poate fi eliminată folosind teorema forței vii. Într-adevăr, integrala forței vii va fi
Înlocuind această expresie în formula pentru , aducem integrala (2) la forma
Integrala care definește acțiunea a luat astfel forma finală (3). Integrandul este rădăcina pătrată a formei pătratice a mărimilor
Să arătăm că ecuațiile diferențiale ale extremelor integralei (3) sunt exact ecuațiile Lagrange. Ecuațiile extreme, bazate pe formulele generale ale calculului variațiilor, vor fi:
Înmulțim ecuațiile cu 2 și efectuăm diferențieri parțiale, ținând cont de faptul că nu conține atunci obținem, dacă nu scriem indicele ,
Acestea sunt ecuațiile extreme exprimate în termeni de variabilă independentă. Sarcina acum este de a reveni la variabila independentă
Deoarece Г este o funcție omogenă de gradul II și este o funcție omogenă de gradul I, avem
Pe de altă parte, factorilor derivatelor din ecuațiile extremelor, se poate aplica teorema forței vii, care duce, așa cum am văzut mai sus, la substituție.
Ca rezultat al tuturor substituțiilor, ecuațiile extreme sunt reduse la forma
Am ajuns astfel la ecuațiile Lagrange.
433. Cazul când nu există forţe motrice.
În cazul în care nu există forțe motrice, există o ecuație pentru forța de muncă și avem
Condiția ca integrala să fie minimă este, în acest caz, ca valoarea corespunzătoare a lui -10 să fie cea mai mică. Astfel, atunci când nu există forțe motrice, atunci dintre toate mișcările în care forța vie păstrează aceeași valoare dată, mișcarea efectivă este aceea care aduce sistemul din poziția inițială în poziția finală în cel mai scurt timp.
Dacă sistemul este redus la un singur punct care se deplasează de-a lungul unei suprafețe fixe, atunci mișcarea reală, dintre toate mișcările de-a lungul suprafeței, efectuate cu aceeași viteză, este o astfel de mișcare în care punctul trece din poziția inițială în poziția finală. la cel mai scurt
interval de timp. Cu alte cuvinte, un punct descrie pe suprafață cea mai scurtă linie dintre cele două poziții ale sale, adică o linie geodezică.
434. Observaţie.
Principiul celei mai mici acțiuni presupune că sistemul are mai multe grade de libertate, deoarece dacă ar exista un singur grad de libertate, atunci o ecuație ar fi suficientă pentru a determina mișcarea. Deoarece mișcarea poate fi în acest caz complet determinată de ecuația forței vii, mișcarea reală va fi singura care satisface această ecuație și, prin urmare, nu poate fi comparată cu nicio altă mișcare.
Am trecut în revistă pe scurt unul dintre cele mai remarcabile principii fizice - principiul celei mai mici acțiuni și ne-am oprit la un exemplu care părea să îl contrazică. În acest articol, vom arunca o privire mai atentă asupra acestui principiu și vom vedea ce se întâmplă în acest exemplu.
De data asta avem nevoie de puțin mai multă matematică. Cu toate acestea, voi încerca din nou să prezint partea principală a articolului la un nivel elementar. Puncte ceva mai stricte și complexe pe care le voi evidenția în culoare, ele pot fi sărite fără a aduce atingere înțelegerii principale a articolului.
Condiții de frontieră
Să începem cu cel mai simplu obiect - o minge care se mișcă liber în spațiu, care nu este afectată de nicio forță. O astfel de minge, după cum se știe, se mișcă uniform și rectiliniu. Pentru simplitate, să presupunem că se mișcă de-a lungul axei:
Pentru a descrie cu exactitate mișcarea sa, de regulă, sunt date condiții inițiale. De exemplu, se precizează că la momentul inițial de timp mingea era în punctul cu coordonatele și avea o viteză . Prin stabilirea condițiilor inițiale în această formă, determinăm în mod unic mișcarea ulterioară a mingii - se va mișca cu o viteză constantă, iar poziția sa în momentul de timp va fi egală cu poziția inițială plus viteza înmulțită cu timpul scurs. : . Acest mod de a seta condițiile inițiale este foarte firesc și intuitiv familiar. Am oferit toate informațiile necesare despre mișcarea mingii în momentul inițial de timp, iar apoi mișcarea acesteia este determinată de legile lui Newton.
Cu toate acestea, aceasta nu este singura modalitate de a specifica mișcarea mingii. O altă modalitate alternativă este de a specifica poziția mingii în două momente diferite și . Acestea. seteaza ca:
1) în momentul în care mingea se afla într-un punct (cu coordonată);
2) în momentul în care mingea se afla într-un punct (cu coordonatele ).
Expresia „era la punct” nu înseamnă că mingea era în repaus la punct. În momentul de față ar putea zbura prin punct. Înseamnă că poziția sa în momentul de timp a coincis cu punctul . Același lucru este valabil și pentru punct.
Aceste două condiții determină, de asemenea, în mod unic mișcarea mingii. Mișcarea sa este ușor de calculat. Pentru a satisface ambele condiții, viteza mingii trebuie să fie evident . Poziția mingii la momentul respectiv va fi din nou egală cu poziția inițială plus viteza înmulțită cu timpul scurs:
Rețineți că, în condițiile problemei, nu a fost nevoie să setăm viteza inițială. A fost determinată în mod unic din condițiile 1) și 2).
Stabilirea condițiilor în al doilea mod pare neobișnuită. Poate că nu este clar de ce ar putea fi necesar să le setați în această formă. Cu toate acestea, în principiul celei mai mici acțiuni, sunt utilizate condițiile din forma 1) și 2) și nu sub forma precizării poziției inițiale și a vitezei inițiale.
Traiectorie cu cea mai mică acțiune
Acum să ne abatem puțin de la mișcarea liberă reală a mingii și să luăm în considerare următoarea problemă pur matematică. Să presupunem că avem o minge pe care o putem mișca manual în orice mod ne place. În acest caz, trebuie să îndeplinim condițiile 1) și 2). Acestea. in intervalul de timp dintre si trebuie sa il mutam din punct in punct . Acest lucru se poate face în moduri complet diferite. Fiecare astfel de mod le vom numi traiectoria mingii și poate fi descrisă ca o funcție a poziției mingii din timp. Să reprezentăm mai multe astfel de traiectorii pe graficul poziției mingii în funcție de timp:
De exemplu, putem muta mingea cu aceeași viteză egală cu (traiectoria verde). Sau îl putem păstra la jumătate din timp și apoi îl putem muta în punct cu viteză dublă (cale albastră). Mai întâi îl puteți muta în direcția opusă, apoi îl puteți muta în (cale maro). Îl poți muta înainte și înapoi (cale roșie). În general, îl puteți muta după cum doriți, atâta timp cât sunt îndeplinite condițiile 1) și 2).
Pentru fiecare astfel de traiectorie, putem potrivi un număr. În exemplul nostru, i.e. în absența oricăror forțe care acționează asupra mingii, acest număr este egal cu energia cinetică totală acumulată pe toată durata mișcării acesteia în intervalul de timp dintre și și se numește acțiune.
În acest caz, cuvântul „acumulat” energie cinetică nu transmite cu exactitate sensul. În realitate, energia cinetică nu se acumulează nicăieri, acumularea este folosită doar pentru a calcula acțiunea pentru traiectorie. În matematică, există un concept foarte bun pentru o astfel de acumulare - integrala:De exemplu, să luăm o minge de 1 kg, să stabilim niște condiții de limită și să calculăm acțiunea pentru două traiectorii diferite. Lăsați punctul să fie la o distanță de 1 metru față de punctul , iar timpul este la 1 secundă față de timp. Acestea. trebuie să deplasăm mingea, care în momentul inițial de timp se afla în punct, într-o secundă la o distanță de 1 m de-a lungul axei.Acțiunea este de obicei indicată cu litera . Simbolul înseamnă energie cinetică. Această integrală înseamnă că acțiunea este egală cu energia cinetică acumulată a mingii pe intervalul de timp de la până la .
În primul exemplu (traiectoria verde), am deplasat mingea uniform, adică. cu aceeași viteză, care, evident, ar trebui să fie egală cu: m / s. Energia cinetică a mingii în fiecare moment de timp este: = 1/2 J. Într-o secundă se va acumula 1/2 J de energie cinetică. Acestea. acţiunea pentru o astfel de traiectorie este: J s.
Acum să nu mișcăm imediat mingea dintr-un punct în altul, ci să o ținem în acel punct timp de o jumătate de secundă, apoi, pentru timpul rămas, să o transferăm uniform în punct. În prima jumătate de secundă, mingea este în repaus și energia sa cinetică este zero. Prin urmare, contribuția la acțiunea acestei părți a traiectoriei este, de asemenea, egală cu zero. Pentru a doua jumătate de secundă, mișcăm mingea cu viteză dublă: m/s. Energia cinetică în acest caz va fi egală cu = 2 J. Contribuția acestui interval de timp la acțiune va fi egală cu 2 J înmulțit cu o jumătate de secundă, adică. 1 J s. Prin urmare, acțiunea totală pentru o astfel de traiectorie este egală cu J s.
În mod similar, orice altă traiectorie cu condițiile la limită 1) și 2) date de noi corespunde unui anumit număr egal cu acțiunea pentru această traiectorie. Dintre toate astfel de traiectorii, există o traiectorie cu cea mai mică acțiune. Se poate dovedi că această traiectorie este o traiectorie verde, adică. mișcarea uniformă a mingii. Pentru orice altă traiectorie, oricât de complicată ar fi, acțiunea va fi mai mare de 1/2.
În matematică, o astfel de comparație pentru fiecare funcție a unui anumit număr se numește funcțională. Destul de des în fizică și matematică apar probleme asemănătoare cu ale noastre, adică. pentru a găsi o astfel de funcție pentru care valoarea unei anumite funcționale este minimă. De exemplu, una dintre problemele care a avut o mare semnificație istorică pentru dezvoltarea matematicii este problema bachistocronului. Acestea. Găsirea curbei de-a lungul căreia mingea se rostogolește cel mai repede. Din nou, fiecare curbă poate fi reprezentată de funcția h(x), iar fiecărei funcții i se poate atribui un număr, în acest caz, timpul în care mingea se rostogolește. Din nou, problema se reduce la găsirea unei funcții pentru care valoarea funcționalei este minimă. Ramura matematicii care se ocupa de astfel de probleme se numeste calculul variatiilor.
Principiul minimei acțiuni
În exemplele discutate mai sus, avem două traiectorii speciale obținute în două moduri diferite.Prima traiectorie este obținută din legile fizicii și corespunde traiectoriei reale a unei mingi libere, care nu este afectată de nicio forță și pentru care condițiile la limită sunt stabilite în forma 1) și 2).
A doua traiectorie se obține din problema matematică a găsirii unei traiectorii cu condițiile limită date 1) și 2), pentru care acțiunea este minimă.
Principiul acțiunii minime prevede că aceste două căi trebuie să coincidă. Cu alte cuvinte, dacă se știe că mingea s-a deplasat în așa fel încât au fost îndeplinite condițiile de limită 1) și 2), atunci ea s-a deplasat în mod necesar de-a lungul unei traiectorii pentru care acțiunea este minimă în comparație cu orice altă traiectorie cu aceleași condiții la limită. .
Acest lucru ar putea fi considerat o simplă coincidență. Nu știi niciodată problemele în care apar traiectorii uniforme și liniile drepte. Totuși, principiul celei mai mici acțiuni se dovedește a fi un principiu foarte general, care este valabil și în alte situații, de exemplu, pentru mișcarea unei mingi într-un câmp gravitațional uniform. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să înlocuiți energia cinetică cu diferența dintre energiile cinetice și potențiale. Această diferență se numește funcția Lagrangiană sau Lagrange și acțiunea devine acum egală cu Lagrangianul total acumulat. De fapt, funcția Lagrange conține toate informațiile necesare despre proprietățile dinamice ale sistemului.
Dacă lansăm o minge într-un câmp gravitațional uniform în așa fel încât să zboare pe lângă un punct în timp și să ajungă într-un punct în timp, atunci ea, conform legilor lui Newton, va zbura de-a lungul unei parabole. Această parabolă este cea care va coincide cu traiectoriile pentru care acțiunea va fi minimă.
Astfel, pentru un corp care se deplasează într-un câmp potențial, de exemplu, în câmpul gravitațional al Pământului, funcția Lagrange este: . Energia cinetică depinde de viteza corpului, iar energia potențială depinde de poziția acestuia, adică. coordonate . În mecanica analitică, întregul set de coordonate care determină poziția sistemului este de obicei notat cu o literă. Pentru o minge care se mișcă liber în câmpul gravitațional, înseamnă coordonatele , și .Pentru a indica rata de modificare a unei mărimi, în fizică este foarte obișnuit să puneți pur și simplu un punct peste această cantitate. De exemplu, denotă viteza de schimbare a coordonatei sau, cu alte cuvinte, viteza corpului în direcția . Folosind aceste convenții, viteza mingii noastre în mecanica analitică este notă ca . Acestea. înseamnă componente ale vitezei.
Deoarece funcția Lagrange depinde de viteză și coordonate și poate depinde și în mod explicit de timp (depinde explicit de timp, ceea ce înseamnă că valoarea este diferită în momente diferite, pentru aceleași viteze și poziții ale mingii), atunci acțiunea în general se scrie ca
Nu întotdeauna minim
Cu toate acestea, la sfârșitul părții anterioare, am luat în considerare un exemplu în care principiul celei mai mici acțiuni în mod clar nu funcționează. Pentru a face acest lucru, am luat din nou o minge liberă, asupra căreia nu acționează nicio forță, și am plasat lângă ea un perete elastic.
Am stabilit condițiile la limită astfel încât punctele și să coincidă. Acestea. iar in momentul de timp si in momentul de timp mingea trebuie sa fie in acelasi punct . Una dintre traiectorii posibile va fi mingea care sta pe loc. Acestea. întregul interval de timp dintre și acesta va sta la punctul . Energia cinetică și potențială în acest caz vor fi egale cu zero, deci acțiunea pentru o astfel de traiectorie va fi, de asemenea, egală cu zero.
Strict vorbind, energia potențială poate fi luată egală nu cu zero, ci cu orice număr, deoarece diferența de energie potențială în diferite puncte din spațiu este importantă. Cu toate acestea, o modificare a valorii energiei potențiale nu afectează căutarea unei traiectorii cu acțiune minimă. Doar că pentru toate traiectoriile valoarea acțiunii se va modifica cu același număr, iar traiectoria cu acțiunea minimă va rămâne traiectoria cu acțiunea minimă. Pentru comoditate, pentru mingea noastră vom alege energia potențială egală cu zero.O altă posibilă traiectorie fizică cu aceleași condiții la limită va fi traiectoria în care mingea zboară mai întâi spre dreapta, depășind punctul în timp. Apoi se ciocnește cu arcul, îl comprimă, arcul, îndreptându-se, împinge mingea înapoi și zboară din nou pe lângă punct. Puteți alege viteza mingii astfel încât, după ce a sărit de pe perete, aceasta să zboare deasupra punctului exact în acest moment. Acțiunea pe o astfel de traiectorie va fi practic egală cu energia cinetică acumulată în timpul zborului dintre punct și perete și înapoi. Va exista o anumită perioadă de timp în care mingea comprimă arcul și energia potențială a acestuia crește, iar în această perioadă de timp energia potențială va avea o contribuție negativă la acțiune. Dar o astfel de perioadă de timp nu va fi foarte mare și nu va reduce foarte mult efectul.
Figura arată ambele traiectorii fizice posibile ale mingii. Traiectoria verde corespunde unei mingi în repaus, în timp ce cea albastră corespunde unei mingi care sări de pe un perete elastic.
Totuși, doar unul dintre ele are un efect minim, și anume primul! A doua traiectorie are mai multă acțiune. Se dovedește că în această problemă există două traiectorii posibile fizic și doar una cu acțiune minimă. Acestea. În acest caz, principiul minimei acțiuni nu funcționează.
Puncte staționare
Pentru a înțelege ce se întâmplă aici, să ne abatem deocamdată de la principiul acțiunii minime și să ne ocupăm de funcțiile obișnuite. Să luăm o funcție și să desenăm graficul acesteia:
Pe grafic, am marcat patru puncte speciale cu verde. Ce este comun pentru aceste puncte? Imaginați-vă că graficul unei funcții este un diapozitiv real de-a lungul căruia se poate rostogoli o minge. Cele patru puncte desemnate sunt speciale prin faptul că, dacă plasați mingea exact în acest punct, atunci nu se va rostogoli nicăieri. În toate celelalte puncte, de exemplu, punctul E, el nu va putea sta nemișcat și va începe să alunece în jos. Astfel de puncte sunt numite staționare. Găsirea unor astfel de puncte este o sarcină utilă, deoarece orice maxim sau minim al unei funcții, dacă nu are întreruperi ascuțite, trebuie să fie neapărat un punct staționar.
Dacă clasificăm aceste puncte mai precis, atunci punctul A este minimul absolut al funcției, adică. valoarea sa este mai mică decât orice altă valoare a funcției. Punctul B nu este nici maxim, nici minim și se numește punct de șa. Punctul C se numește maxim local, adică. valoarea în ea este mai mare decât în punctele învecinate ale funcției. Iar punctul D este un minim local, i.e. valoarea în ea este mai mică decât în punctele învecinate ale funcției.
Ramura matematicii numită calcul este angajată în căutarea unor astfel de puncte. Într-un alt mod, uneori este numită și analiză infinitezimală, deoarece poate funcționa cu cantități infinitezimale. Din punctul de vedere al analizei matematice, punctele staționare au o proprietate specială, datorită căreia se găsesc. Pentru a înțelege care este această proprietate, trebuie să înțelegem cum arată funcția la distanțe foarte mici de aceste puncte. Pentru a face acest lucru, luăm un microscop și ne uităm la punctele noastre. Figura arată cum arată funcția în vecinătatea diferitelor puncte la diferite măriri.
Se poate observa că la o mărire foarte mare (adică, pentru abateri foarte mici ale lui x), punctele staționare arată exact la fel și sunt foarte diferite de punctul nestaționar. Este ușor de înțeles care este această diferență - graficul unei funcții într-un punct staționar devine o linie strict orizontală cu o creștere, iar într-un punct nestaționar devine o linie înclinată. De aceea mingea, instalată într-un punct staționar, nu se va rostogoli.
Orizontalitatea unei funcții într-un punct staționar poate fi exprimată într-un alt mod: o funcție într-un punct staționar practic nu se schimbă cu o schimbare foarte mică a argumentului său, chiar și în comparație cu schimbarea argumentului în sine. Funcția într-un punct nestaționar cu o mică modificare se modifică proporțional cu modificarea. Și cu cât panta funcției este mai mare, cu atât funcția se schimbă mai mult când . De fapt, pe măsură ce funcția crește, ea devine din ce în ce mai mult ca o tangentă la grafic în punctul în cauză.
În limbajul matematic strict, expresia „funcția practic nu se schimbă într-un punct cu o schimbare foarte mică” înseamnă că raportul dintre modificarea funcției și schimbarea argumentului acesteia tinde spre 0, deoarece tinde spre 0:$$afisare$$\lim_(∆x \to 0) \frac (∆y(x_0))(∆x) = \lim_(x \to 0) \frac (y(x_0+∆x)-y(x_0) )(∆x) = 0$$afisare$$
Pentru un punct nestaționar, acest raport tinde către un număr diferit de zero, care este egal cu tangentei pantei funcției în acest punct. Același număr se numește derivată a funcției într-un punct dat. Derivata unei funcții arată cât de repede se schimbă o funcție în jurul unui punct dat cu o mică modificare a argumentului său. Astfel, punctele staționare sunt puncte în care derivata unei funcții este 0.
Traiectorii staționare
Prin analogie cu punctele staţionare, putem introduce conceptul de traiectorii staţionare. Reamintim că pentru fiecare traiectorie avem o anumită valoare a acțiunii, adică. oarecare număr. Atunci poate exista o astfel de traiectorie încât, pentru traiectorii apropiate de ea, cu aceleași condiții de limită, valorile corespunzătoare ale acțiunii practic nu vor diferi de acțiunea pentru cea mai staționară traiectorie. O astfel de traiectorie se numește staționară. Cu alte cuvinte, orice traiectorie apropiată de staționar va avea o valoare de acțiune foarte puțin diferită de acțiunea pentru acea traiectorie staționară.Din nou, în limbajul matematic, „puțin diferit” are următorul sens precis. Să presupunem că avem un funcțional pentru funcții cu condițiile la limită necesare 1) și 2), adică. și . Să presupunem că traiectoria este staționară.Putem lua orice altă funcție astfel încât să ia valori zero la capete, adică. = = 0. Luați și o variabilă , pe care o vom face din ce în ce mai mică. Din aceste două funcții și o variabilă, putem compune o a treia funcție care va îndeplini și condițiile la limită și . Pe măsură ce scade, traiectoria corespunzătoare funcției se va apropia din ce în ce mai mult de traiectoria .
În acest caz, pentru traiectorii staționari pentru traiectorii mici, valoarea funcționalei pentru traiectorii va diferi foarte puțin de valoarea funcționalei pentru chiar și în comparație cu . Acestea.
$$afisare$$\lim_(ε \to 0) \frac (S(x"(t))-S(x(t)))ε=\lim_(ε \to 0) \frac (S(x( t)+εg(t))-S(x(t)))ε = 0$$afisare$$
Mai mult, acest lucru ar trebui să fie adevărat pentru orice traiectorie care satisface condițiile la limită = = 0.Modificarea funcționalului cu o mică modificare a funcției (mai precis, partea liniară a modificării funcționalului, proporțională cu modificarea funcției) se numește variația funcționalului și se notează cu . De la termenul „variație” provine denumirea de „calcul variațiilor”.
Pentru traiectorii staționari, variația funcționalului .
Metoda de găsire a funcțiilor staționare (nu numai pentru principiul acțiunii minime, ci și pentru multe alte probleme) a fost găsită de doi matematicieni - Euler și Lagrange. Rezultă că o funcție staționară a cărei funcțională este exprimată printr-o integrală precum integrala de acțiune trebuie să satisfacă o anumită ecuație, numită acum ecuația Euler-Lagrange.
Principiul acțiunii staționare
Situația cu acțiune minimă pentru traiectorii este similară cu situația cu minim pentru funcții. Pentru ca o traiectorie să aibă cea mai mică acțiune, trebuie să fie o traiectorie staționară. Cu toate acestea, nu toate traiectorii staționari sunt traiectorii cu acțiune minimă. De exemplu, o traiectorie staționară poate avea o acțiune minimă local. Acestea. va avea o acţiune mai mică decât orice altă traiectorie vecină. Totuși, undeva departe pot exista și alte traiectorii pentru care acțiunea va fi și mai mică.Se pare că corpurile reale s-ar putea să nu se miște neapărat pe traiectorii cu cea mai mică acțiune. Ele se pot deplasa de-a lungul unui set mai larg de traiectorii speciale, și anume, traiectorii staționare. Acestea. traiectoria reală a corpului va fi întotdeauna staționară. Prin urmare, principiul celei mai mici acțiuni este mai corect numit principiul acțiunii staționare. Cu toate acestea, conform tradiției stabilite, este adesea numit principiul celei mai mici acțiuni, implicând nu numai minimalitatea, ci și staționarea traiectoriilor.
Acum putem scrie principiul acțiunii staționare în limbaj matematic, așa cum este de obicei scris în manuale:.Dacă revenim la exemplu cu o minge și un perete elastic, atunci explicația acestei situații devine foarte simplă acum. În condițiile de limită date în care mingea trebuie să fie în punct atât la momentul respectiv, cât și la momentul respectiv, există două traiectorii staționare. Și mingea se poate deplasa de-a lungul oricăreia dintre aceste traiectorii. Pentru a alege în mod explicit una dintre traiectorii, puteți impune o condiție suplimentară asupra mișcării mingii. De exemplu, spuneți că mingea ar trebui să sară de pe perete. Atunci traiectoria va fi determinată fără ambiguitate.Aici, sunt coordonate generalizate, i.e. un set de variabile care specifică în mod unic poziția sistemului.
- rata de schimbare a coordonatelor generalizate.
- Funcția Lagrange, care depinde de coordonatele generalizate, de vitezele acestora și, eventual, de timp.
- o acțiune care depinde de traiectoria specifică a sistemului (adică de la).Traiectoriile reale ale sistemului sunt staţionare, adică. pentru ei, o variație a acțiunii.
Din principiul acțiunii minime (mai precis, staționare) decurg câteva consecințe remarcabile, pe care le vom discuta în secțiunea următoare.
Când am aflat pentru prima dată despre acest principiu, am avut un sentiment de un fel de misticism. Se pare că natura sortează în mod misterios prin toate căile posibile de mișcare a sistemului și le alege pe cea mai bună dintre ele.
Astăzi vreau să vorbesc puțin despre unul dintre cele mai remarcabile principii fizice - principiul minimei acțiuni.
fundal
Din vremea lui Galileo, se știe că corpurile asupra cărora nu sunt acționate de nicio forță se deplasează în linii drepte, adică pe calea cea mai scurtă. Razele de lumină călătoresc și ele în linii drepte.Când este reflectată, lumina se mișcă și ea în așa fel încât să ajungă dintr-un punct în altul în cel mai scurt mod. În imagine, cea mai scurtă cale va fi calea verde, la care unghiul de incidență este egal cu unghiul de reflexie. Orice altă cale, cum ar fi cea roșie, va fi mai lungă.
Acest lucru este ușor de demonstrat prin simpla reflectare a căilor razelor spre partea opusă a oglinzii. Ele sunt afișate în linii punctate în imagine.
Se poate observa că calea verde ACB se transformă într-o linie dreaptă ACB'. Iar calea roșie se transformă într-o linie întreruptă ADB', care, desigur, este mai lungă decât cea verde.
În 1662, Pierre Fermat a sugerat că viteza luminii într-o substanță densă, cum ar fi sticla, este mai mică decât în aer. Înainte de aceasta, versiunea general acceptată era Descartes, conform căreia viteza luminii în materie trebuie să fie mai mare decât în aer pentru a obține legea corectă a refracției. Pentru Fermat, presupunerea că lumina se poate mișca mai repede într-un mediu mai dens decât într-un mediu rarefiat părea nefirească. Prin urmare, a presupus că totul a fost exact invers și s-a dovedit un lucru uimitor - în această presupunere, lumina este refractă astfel încât să ajungă la destinație în timp minim.
Din nou, în figură, culoarea verde arată calea pe care o parcurge de fapt fasciculul de lumină. Calea marcată cu roșu este cea mai scurtă, dar nu cea mai rapidă, deoarece lumina are o cale mai lungă de parcurs în sticlă, iar viteza ei este mai mică în ea. Cea mai rapidă este calea reală a fasciculului de lumină.
Toate aceste fapte sugerau că natura acționează într-un mod rațional, lumina și corpurile se mișcă în cel mai optim mod, depunând cât mai puțin efort posibil. Dar care au fost aceste eforturi și cum să le calculăm, au rămas un mister.
În 1744, Maupertuis a introdus conceptul de „acțiune” și a formulat principiul conform căruia adevărata traiectorie a unei particule diferă de oricare alta prin faptul că acțiunea pentru aceasta este minimă. Cu toate acestea, Maupertuis însuși nu a putut da o definiție clară a ceea ce este egală această acțiune. O formulare matematică riguroasă a principiului acțiunii minime a fost dezvoltată de alți matematicieni - Euler, Lagrange și a fost în cele din urmă dată de William Hamilton:
În limbajul matematic, principiul celei mai mici acțiuni este formulat destul de sumar, dar nu toți cititorii pot înțelege sensul notației folosite. Vreau să încerc să explic acest principiu mai clar și în termeni mai simpli.
corp liber
Așadar, imaginați-vă că sunteți într-o mașină la un moment dat și la un moment dat vi se dă o sarcină simplă: la un moment dat trebuie să conduceți o mașină la un punct.
Combustibilul pentru mașină este scump și, desigur, vrei să-l cheltuiești cât mai puțin. Mașina dvs. este realizată folosind cele mai recente super-tehnologii și poate accelera sau decelera cât de repede doriți. Cu toate acestea, este proiectat în așa fel încât, cu cât merge mai repede, cu atât consumă mai mult combustibil. În plus, consumul de combustibil este proporțional cu pătratul vitezei. Dacă conduci de două ori mai repede, consumi de 4 ori mai mult combustibil în același timp. Pe lângă viteză, consumul de combustibil este, desigur, afectat de masa mașinii. Cu cât mașina noastră este mai grea, cu atât consumă mai mult combustibil. Consumul de combustibil al mașinii noastre în fiecare moment este de , i.e. este exact egală cu energia cinetică a mașinii.
Deci, cum trebuie să conduceți pentru a ajunge la momentul potrivit și pentru a folosi cât mai puțin combustibil? Este clar că trebuie să mergi în linie dreaptă. Odată cu creșterea distanței parcurse, combustibilul se va consuma exact nu mai puțin. Și apoi poți alege diferite tactici. De exemplu, puteți ajunge rapid la punctul în avans și doar stați, așteptați să vină timpul. Viteza de condus și, prin urmare, consumul de combustibil în fiecare moment de timp, va fi mare, dar și timpul de condus va fi redus. Poate că consumul total de combustibil în acest caz nu va fi atât de mare. Sau poți merge uniform, cu aceeași viteză, astfel încât, fără să te grăbești, să ajungi exact în momentul de timp. Sau o parte din drum pentru a merge rapid și o parte mai încet. Care este cea mai bună cale de a merge?
Se pare că cel mai optim, cel mai economic mod de a conduce este să conduci cu o viteză constantă, astfel încât să fii la punctul exact la ora stabilită. Orice altă opțiune va folosi mai mult combustibil. Puteți verifica singuri cu câteva exemple. Motivul este că consumul de combustibil crește odată cu pătratul vitezei. Prin urmare, pe măsură ce viteza crește, consumul de combustibil crește mai repede decât scade timpul de condus și, de asemenea, crește consumul total de combustibil.
Așadar, am aflat că, dacă o mașină consumă combustibil la un moment dat proporțional cu energia sa cinetică, atunci cel mai economic mod de a ajunge dintr-un punct în altul exact la ora stabilită este să conduci uniform și în linie dreaptă, la fel ca un corp se mişcă în absenţa forţelor care acţionează asupra lui.forţe. Orice alt mod de a conduce va duce la un consum total de combustibil mai mare.
În câmpul gravitației
Acum să ne îmbunătățim puțin mașina. Să atașăm motoare cu reacție la el, astfel încât să poată zbura liber în orice direcție. În general, designul a rămas același, astfel încât consumul de combustibil a rămas din nou strict proporțional cu energia cinetică a mașinii. Dacă sarcina este acum dată să plece dintr-un punct în timp și să ajungă la un punct la momentul t, atunci cel mai economic mod, ca înainte, desigur, va zbura uniform și în linie dreaptă pentru a ajunge la punctul exact la ora stabilită t. Aceasta din nou corespunde mișcării libere a corpului în spațiul tridimensional.
Cu toate acestea, un dispozitiv neobișnuit a fost instalat în cel mai recent model de mașină. Această unitate este capabilă să producă combustibil literalmente din nimic. Dar designul este de așa natură încât cu cât mașina este mai înaltă, cu atât dispozitivul produce mai mult combustibil la un moment dat. Debitul de combustibil este direct proporțional cu înălțimea la care se află vehiculul în prezent. De asemenea, cu cât mașina este mai grea, cu atât dispozitivul este instalat pe ea mai puternic și cu atât produce mai mult combustibil, iar puterea este direct proporțională cu masa mașinii. Aparatul s-a dovedit a fi astfel încât puterea de combustibil este exact egală cu (unde este accelerația în cădere liberă), adică energia potenţială a maşinii.
Consumul de combustibil în fiecare moment de timp este egal cu energia cinetică minus energia potențială a mașinii (minus energia potențială, deoarece vehiculul instalat produce combustibil și nu cheltuiește). Acum sarcina noastră este cea mai economică mișcare a mașinii între puncte și devine mai dificilă. Mișcarea uniformă rectilinie nu este în acest caz cea mai eficientă. Se dovedește că este mai optim să urcăm puțin, să zăboviți acolo o vreme, după ce a dezvoltat mai mult combustibil și apoi să coborâți la punct. Cu calea de zbor corectă, consumul total de combustibil datorat urcării va acoperi costurile suplimentare de combustibil pentru creșterea lungimii traseului și creșterea vitezei. Dacă ar fi calculat cu atenție, cel mai economic mod pentru o mașină ar fi să zboare într-o parabolă, exact în aceeași traiectorie și exact cu aceeași viteză cu care ar zbura o piatră în câmpul gravitațional al Pământului.
Aici merită să faci o explicație. Desigur, este posibil să aruncați o piatră dintr-un punct în multe moduri diferite, astfel încât să lovească punctul. Dar trebuie să-l aruncați în așa fel încât, după ce a zburat dintr-un punct la timp, să lovească un punct exact la timp. Această mișcare va fi cea mai economică pentru mașina noastră.
Funcția Lagrange și principiul celei mai mici acțiuni
Acum putem transfera această analogie la corpuri fizice reale. Un analog al intensității consumului de combustibil pentru corpuri se numește funcția Lagrange sau Lagrangian (în onoarea lui Lagrange) și este notat cu litera . Lagrangianul arată cât „combustibil” consumă organismul la un moment dat. Pentru un corp care se mișcă într-un câmp potențial, Lagrangianul este egal cu energia sa cinetică minus energia sa potențială.Un analog al cantității totale de combustibil consumat pentru întreaga perioadă de mișcare, adică valoarea Lagrangianului acumulată de-a lungul întregului timp de mișcare se numește „acțiune”.
Principiul celei mai mici acțiuni este că corpul se mișcă în așa fel încât acțiunea (care depinde de traiectoria mișcării) să fie minimă. În acest caz, nu trebuie uitat că sunt date condițiile inițiale și finale, adică. unde se află corpul la timp și la timp .
În acest caz, corpul nu trebuie să se miște într-un câmp gravitațional uniform, lucru pe care l-am considerat pentru mașina noastră. Puteți lua în considerare situații complet diferite. Un corp poate oscila pe o bandă de cauciuc, se poate balansa pe un pendul sau poate zbura în jurul Soarelui, în toate aceste cazuri se mișcă în așa fel încât să minimizeze „consumul total de combustibil” adică. acțiune.
Dacă sistemul este format din mai multe corpuri, atunci Lagrangianul unui astfel de sistem va fi egal cu energia cinetică totală a tuturor corpurilor minus energia potențială totală a tuturor corpurilor. Și din nou, toate corpurile se vor mișca în mod concertat, astfel încât efectul întregului sistem în timpul unei astfel de mișcări să fie minim.
Nu atât de simplu
De fapt, am înșelat puțin spunând că corpurile se mișcă întotdeauna în așa fel încât să minimizeze acțiunea. Deși în foarte multe cazuri acest lucru este adevărat, este posibil să ne gândim la situații în care acțiunea nu este în mod clar minimă.De exemplu, să luăm o minge și să o punem într-un spațiu gol. La o oarecare distanta de el, punem un perete elastic. Să presupunem că vrem ca mingea să ajungă în același loc după ceva timp. În aceste condiții date, mingea se poate mișca în două moduri diferite. În primul rând, el poate rămâne pe loc. În al doilea rând, îl poți împinge spre perete. Mingea va ajunge la perete, va sări de pe el și va reveni. Este clar că îl poți împinge cu atâta viteză încât se va întoarce exact la momentul potrivit.
Ambele variante ale mișcării mingii sunt posibile, dar acțiunea în al doilea caz va fi mai mare, deoarece în tot acest timp mingea se va deplasa cu energie cinetică diferită de zero.
Cum poate fi salvat principiul celei mai mici acțiuni astfel încât să fie valabil în astfel de situații? Vom vorbi despre asta în.
Îi ascultă, în legătură cu care acest principiu este una dintre prevederile cheie ale fizicii moderne. Ecuațiile de mișcare obținute cu ajutorul ei se numesc ecuații Euler-Lagrange.
Prima formulare a principiului a fost dată de P. Maupertuis în 1999, subliniind imediat natura sa universală, considerându-l a fi aplicabil opticii și mecanicii. Din acest principiu, el a derivat legile reflexiei și refracției luminii.
Poveste
Maupertuis a ajuns la acest principiu de la sentimentul că perfecțiunea universului necesită o anumită economie în natură și este contrară oricărei cheltuiri inutile de energie. Mișcarea naturală trebuie să fie de așa natură încât să facă o anumită cantitate la minimum. Nu trebuia decât să găsească această valoare, ceea ce a continuat să facă. A fost produsul duratei (timpului) mișcării în cadrul sistemului cu dublul cantității, pe care o numim acum energia cinetică a sistemului.
Euler (în „Reflexions sur câteva loi generale ale naturii”, 1748) adoptă principiul celei mai mici acțiuni, numind acțiunea „efort”. Expresia lui în statică corespunde cu ceea ce am numi acum energie potențială, astfel încât afirmația sa de cea mai mică acțiune în statică este echivalentă cu condiția minimă de energie potențială pentru configurația de echilibru.
În mecanica clasică
Principiul acțiunii minime servește ca bază fundamentală și standard pentru formulările lagrangiene și hamiltoniene ale mecanicii.
Să luăm mai întâi în considerare construcția într-un astfel de mod mecanica lagrangiană. Folosind exemplul unui sistem fizic cu un grad de libertate, amintim că o acțiune este o acțiune funcțională în raport cu coordonatele (generalizate) (în cazul unui grad de libertate - o coordonată), adică este exprimată prin așa că fiecare versiune imaginabilă a funcției este asociată cu un anumit număr - o acțiune (în acest sens, putem spune că o acțiune ca funcțională este o regulă care permite, pentru orice funcție dată, să se calculeze un număr bine definit - numită și acțiune). Acțiunea arată astfel:
unde este Lagrangianul sistemului în funcție de coordonata generalizată , derivata sa prima față de timp și, de asemenea, posibil, explicit de timp . Dacă sistemul are mai multe grade de libertate, atunci Lagrangianul depinde de un număr mai mare de coordonate generalizate și de derivatele lor primare. Astfel, acțiunea este o funcțională scalară în funcție de traiectoria corpului.
Faptul că acțiunea este un scalar face ușor să o scrieți în orice coordonate generalizate, principalul lucru este că poziția (configurația) sistemului este caracterizată în mod unic de acestea (de exemplu, în loc de coordonate carteziene, acestea pot fi polare coordonatele, distanțele dintre punctele sistemului, unghiurile sau funcțiile acestora etc. d.).
Acțiunea poate fi calculată pentru o traiectorie complet arbitrară, oricât de „sălbatică” și „nenaturală” ar fi aceasta. Cu toate acestea, în mecanica clasică, printre întregul set de traiectorii posibile, există doar una de-a lungul căreia corpul va merge efectiv. Principiul staționarității acțiunii oferă doar răspunsul la întrebarea cum se va mișca de fapt corpul:
Aceasta înseamnă că, dacă este dat Lagrangianul sistemului, atunci folosind calculul variațiilor putem stabili exact cum se va mișca corpul, obținând mai întâi ecuațiile de mișcare - ecuațiile Euler-Lagrange, apoi rezolvându-le. Aceasta permite nu numai generalizarea serioasă a formulării mecanicii, ci și alegerea coordonatelor cele mai convenabile pentru fiecare problemă specifică, fără a se limita la cele carteziene, care pot fi foarte utile pentru obținerea celor mai simple și mai ușor de rezolvat ecuații.
unde este funcția Hamilton a sistemului dat; - coordonate (generalizate), - impulsuri conjugate (generalizate), care caracterizează împreună la fiecare moment dat de timp starea dinamică a sistemului și, fiecare fiind o funcție a timpului, caracterizând astfel evoluția (mișcarea) sistemului. În acest caz, pentru a obține ecuațiile de mișcare ale sistemului sub forma ecuațiilor Hamilton canonice, este necesar să se varieze acțiunea scrisă astfel independent pentru toate și .
Trebuie remarcat faptul că, dacă este posibil, în principiu, să găsiți legea mișcării din condițiile problemei, atunci aceasta este automat nuînseamnă că este posibil să se construiască un funcțional care ia o valoare staționară în timpul mișcării adevărate. Un exemplu este mișcarea comună a sarcinilor electrice și a monopolurilor - sarcini magnetice - într-un câmp electromagnetic. Ecuațiile lor de mișcare nu pot fi derivate din principiul staționarității acțiunii. În mod similar, unele sisteme hamiltoniene au ecuații de mișcare care nu decurg din acest principiu.
Exemple
Exemple banale ajută la evaluarea utilizării principiului de funcționare prin ecuațiile Euler-Lagrange. Particulă liberă (masă m si viteza v) în spațiul euclidian se mișcă în linie dreaptă. Folosind ecuațiile Euler-Lagrange, acest lucru poate fi afișat în coordonate polare, după cum urmează. În absența potențialului, funcția Lagrange este pur și simplu egală cu energia cinetică
într-un sistem de coordonate ortogonal.
În coordonatele polare, energia cinetică și, prin urmare, funcția Lagrange, devine
Componentele radială și unghiulară ale ecuațiilor devin, respectiv:
Rezolvarea acestor două ecuații
Aici, este o înregistrare condiționată a integrării funcționale cu ori infinit pe toate traiectoriile x(t) și este constanta lui Planck. Subliniem că, în principiu, acțiunea în exponențial apare (sau poate apărea) însăși, la studierea operatorului de evoluție în mecanica cuantică, însă, pentru sistemele care au un analog exact clasic (non-cuantic), este exact egal cu acţiunea clasică obişnuită.
Analiza matematică a acestei expresii în limita clasică - pentru suficient de mare, adică pentru oscilații foarte rapide ale exponentului imaginar - arată că marea majoritate a tuturor traiectoriilor posibile din această integrală se anulează reciproc în limită (formal, la ) . Pentru aproape orice cale, există o cale pe care incursiunea de fază va fi exact opusă, iar acestea se vor adăuga la zero contribuție. Nu sunt reduse doar acele traiectorii pentru care acțiunea este aproape de valoarea extremă (pentru majoritatea sistemelor - minim). Acesta este un fapt pur matematic din teoria funcțiilor unei variabile complexe; de exemplu, metoda fazei staționare se bazează pe aceasta.
Ca urmare, particula, în deplină concordanță cu legile mecanicii cuantice, se deplasează de-a lungul tuturor traiectoriilor simultan, dar în condiții normale, doar traiectorii care sunt aproape de staționare (adică clasice) contribuie la valorile observate. Deoarece mecanica cuantică devine clasică în limita energiilor înalte, putem presupune că aceasta este - derivarea mecanică cuantică a principiului clasic al staționarității acțiunii.
În teoria câmpului cuantic
În teoria câmpului cuantic, principiul staționarității acțiunii este de asemenea aplicat cu succes. Densitatea lagrangiană include aici operatorii câmpurilor cuantice corespunzătoare. Deși aici este mai corect în esență (cu excepția limitei clasice și parțial semiclasice) să vorbim nu despre principiul staționarității acțiunii, ci despre integrarea Feynman pe traiectorii în configurația sau spațiul de fază al acestor câmpuri - folosind Densitatea lagrangiană tocmai menționată.
Alte generalizări
Mai larg, o acțiune este înțeleasă ca o funcționalitate care definește o mapare din spațiul de configurare la mulțimea numerelor reale și, în general, nu trebuie să fie integrală, deoarece acțiunile non-locale sunt în principiu posibile, cel puțin teoretic. Mai mult, un spațiu de configurare nu este neapărat un spațiu funcțional deoarece poate avea o geometrie necomutativă.
2.2. Principiul minimei acțiuni
În secolul al XVIII-lea, a avut loc acumularea și sistematizarea ulterioară a rezultatelor științifice, marcate de tendința de a combina realizările științifice individuale într-o imagine strict ordonată, coerentă a lumii, prin aplicarea sistematică a metodelor de analiză matematică la studiul fenomenelor fizice. Munca multor minți strălucite în această direcție a condus la crearea teoriei de bază a unui program de cercetare mecanicistă - mecanica analitică, pe baza căreia au fost create diverse teorii fundamentale care descriu o anumită clasă de con-
fenomene: hidrodinamică, teoria elasticității, aerodinamică etc. Unul dintre cele mai importante rezultate ale mecanicii analitice este principiul celei mai mici acțiuni (principiul variațional), care este important pentru înțelegerea proceselor care au loc în fizică la sfârșitul secolului al XX-lea.
Rădăcinile apariției principiilor variaționale în știință se întorc în Grecia Antică și sunt asociate cu numele de Stârc din Alexandria. Ideea oricărui principiu variațional este de a varia (schimba) o anumită valoare care caracterizează un proces dat și de a selecta dintre toate procesele posibile pe cel pentru care această valoare capătă o valoare extremă (maximum sau minim). Heron a încercat să explice legile reflexiei luminii variind valoarea care caracterizează lungimea drumului parcurs de un fascicul de lumină de la o sursă la un observator atunci când este reflectat de o oglindă. A ajuns la concluzia că dintre toate căile posibile, o rază de lumină o alege pe cea mai scurtă (dintre toate posibilele din punct de vedere geometric).
În secolul al XVII-lea, două mii de ani mai târziu, matematicianul francez Fermat a atras atenția asupra principiului lui Heron, l-a extins la medii cu indici diferiți de refracție și, prin urmare, l-a reformulat în termeni de timp. Principiul lui Fermat afirmă că într-un mediu de refracție, ale cărui proprietăți nu depind de timp, un fascicul de lumină care trece prin două puncte își alege o cale astfel încât timpul necesar pentru a călători de la primul punct la al doilea este minim. Principiul lui Heron se dovedește a fi un caz special al principiului lui Fermat pentru medii cu indice de refracție constant.
Principiul lui Fermat a atras atenția contemporanilor. Pe de o parte, el a fost cea mai bună dovadă a „principiului economiei” în natură, a planului divin rațional realizat în structura lumii, pe de altă parte, a contrazis teoria corpusculară a luminii a lui Newton. Potrivit lui Newton, s-a dovedit că în mediile mai dense viteza luminii ar trebui să fie mai mare, în timp ce din principiul lui Fermat a rezultat că în astfel de medii viteza luminii devine mai mică.
În 1740, matematicianul Pierre Louis Moreau de Maupertuis, analizând critic principiul lui Fermat și urmând principiul teologic
motive logice despre perfecțiune și dispozitivul cel mai economic al Universului, proclamat în lucrarea „Despre diversele legi ale naturii care păreau incompatibile” principiul celei mai mici acțiuni. Maupertuis a abandonat cel mai scurt timp al lui Fermat și a introdus un nou concept - acțiune. Acțiunea este egală cu produsul dintre impulsul corpului (momentum Р = mV) și calea parcursă de corp. Timpul nu are niciun avantaj față de spațiu și invers. Prin urmare, lumina nu alege calea cea mai scurtă și nu timpul cel mai scurt pentru a o parcurge, ci, potrivit lui Maupertuis, „alege calea care dă o economie mai reală: calea pe care o urmează este calea pe care amploarea acțiunea este minimă.” Principiul acțiunii minime a fost dezvoltat în continuare în lucrările lui Euler și Lagrange; el a fost baza pe care Lagrange a dezvoltat o nouă zonă de analiză matematică - calculul variațiilor. Acest principiu a fost generalizat și completat în continuare în lucrările lui Hamilton. Într-o formă generalizată, principiul celei mai mici acțiuni folosește conceptul de acțiune exprimat nu în termeni de impuls, ci în termeni ai funcției Lagrange. Pentru cazul unei particule care se mișcă într-un câmp potențial, funcția Lagrange poate fi reprezentată ca diferența cineticii 
și energie potențială:
(Conceptul de „energie” este discutat în detaliu în capitolul 3 al acestei secțiuni.)
Produsul se numește acțiune elementară. Acțiunea totală este suma tuturor valorilor pe întregul interval de timp luat în considerare, cu alte cuvinte, acțiunea totală A:
Ecuațiile de mișcare ale unei particule pot fi obținute folosind principiul celei mai mici acțiuni, conform căruia mișcarea reală are loc în așa fel încât acțiunea se dovedește a fi extremă, adică variația ei devine 0:
Principiul variațional Lagrange-Hamilton permite cu ușurință extinderea la sisteme care constau din non-
câte (cate) particule. Mișcarea unor astfel de sisteme este de obicei considerată într-un spațiu abstract (o tehnică matematică convenabilă) de un număr mare de dimensiuni. Să spunem, pentru N puncte, este introdus un spațiu abstract de 3N coordonate de N particule, formând un sistem numit spațiu de configurare. Secvența diferitelor stări ale sistemului este reprezentată de o curbă în acest spațiu de configurare - o traiectorie. Luând în considerare toate căile posibile care leagă două puncte date ale acestui spațiu 3N-dimensional, se poate asigura că mișcarea reală a sistemului are loc în conformitate cu principiul celei mai mici acțiuni: dintre toate traiectoriile posibile, cea pentru care acțiunea este extremă peste se realizează întreg intervalul de timp al mișcării.
La minimizarea acțiunii în mecanica clasică se obțin ecuațiile Euler-Lagrange, a căror legătură cu legile lui Newton este bine cunoscută. Ecuațiile Euler-Lagrange pentru Lagrangianul câmpului electromagnetic clasic se dovedesc a fi ecuațiile lui Maxwell. Astfel, vedem că utilizarea Lagrangianului și a principiului acțiunii minime permite stabilirea dinamicii particulelor. Cu toate acestea, Lagrangianul mai are o caracteristică importantă, ceea ce a făcut din formalismul lagrangian principalul în rezolvarea aproape a tuturor problemelor fizicii moderne. Cert este că odată cu mecanica newtoniană în fizică, deja în secolul al XIX-lea, s-au formulat legi de conservare pentru unele mărimi fizice: legea conservării energiei, legea conservării momentului, legea conservării momentului unghiular, legea de conservare a sarcinii electrice. Numărul legilor de conservare în legătură cu dezvoltarea fizicii cuantice și a fizicii particulelor elementare în secolul nostru a devenit și mai mare. Se pune întrebarea cum să găsim o bază comună pentru scrierea atât a ecuațiilor de mișcare (să zicem, legile lui Newton sau ecuațiile lui Maxwell), cât și a cantităților conservate în timp. S-a dovedit că o astfel de bază este utilizarea formalismului lagrangian, deoarece lagrangianul unei anumite teorii se dovedește a fi invariant (neschimbat) în raport cu transformările corespunzătoare spațiului abstract specific considerat în această teorie, ceea ce are ca rezultat conservarea legi. Aceste trăsături ale Lagrangianului
nu a condus la oportunitatea formulării teoriilor fizice în limbajul lagrangianilor. Realizarea acestei circumstanțe a venit în fizică datorită apariției teoriei relativității a lui Einstein.
| " |
