Aria unui triunghi ABC este egal cu 12 . Pe o linie dreaptă AC punct luat D asa de
punct C este punctul de mijloc al segmentului ANUNȚ. Punct K- partea de mijloc AB,
Drept KD traversează lateral î.Hr la punct L.
a) Demonstrați că BL:LC=2:1.
b) Aflați aria triunghiului BLK.

Pentru început, vom face cu atenție un desen, marcând egalitatea segmentelor pe parcurs.

Acum este ușor să vezi asta prin conectarea punctelor LAși D, obținem un triunghi ABD,
în care DKși Soare sunt mediane prin definiție (ți-l amintești?)

Și medianele din punctul de intersecție sunt împărțite la 2: 1 numărând de sus.
E gata. Scrieți, puteți dovedi singur această proprietate?
Găsiți aria unui triunghi BLK poate fi diferit. Lasa AE- a treia mediană

triunghi ABD, va trece prin punct L intersectia primelor doua.
Median Soareîmparte triunghiul ABDîn două triunghiuri egale.
Prin urmare, zona ABD de două ori suprafața ABC si egal cu 12 2 = 24.
Trei mediane împart triunghiul în șase triunghiuri de arie egală.
De aici este ușor să găsiți aria triunghiului dorit BLK. 24:6 = 4 .
Observ că ambele afirmații ar trebui, de asemenea, să poată dovedi.
========================================
Puteți compara ariile triunghiurilor BLKși ABC fără a atinge mediana.

Aceste triunghiuri au un unghi comun LA Să folosim acest fapt.

Să găsim raportul de suprafață:

Deci zona BLK de trei ori suprafața ABC.

Aria triunghiului ABC este 198. Bisectoarea AL intersectează mediana BM în punctul K. Aflați aria patrulaterului MCLK dacă se cunoaște BL:CL=7:4.

Construirea unei schițe:

Este destul de dificil să vedem imediat progresul rezolvării problemei, dar putem oricând să punem întrebarea: ce poate fi găsit folosind datele din starea și proprietățile cunoscute de noi?

Putem determina ariile unor triunghiuri, luam in considerare:

Deoarece AM \u003d MC, atunci ariile triunghiurilor vor fi egale, adică:

Luați în considerare triunghiurile ALB și ALC. Condiția spune BL:CL=7:4. Să introducem coeficientul de proporționalitate „x” și să scriem formulele pentru ariile lor:

Raportul de suprafață va fi:

De asemenea, știm că S ALB +S ALC =198. Putem calcula aria:

Vă rugăm să rețineți că nu ni se oferă niciun unghi și dimensiuni liniare (lungimi ale elementelor) în condiție, așa că nu ar trebui să depuneți efort pentru a calcula unghiuri și lungimi (laturile, mediane, bisectoare etc.). De ce?

Când rapoartele segmentelor (unghiurilor) sunt date în condiție și nu există o singură valoare specifică, atunci cel mai probabil cu astfel de date este posibil să se construiască multe variante ale figurii. *Nu pentru fiecare student este posibil să-l vadă imediat, este nevoie de experiență.

Prin urmare, în astfel de cazuri, străduiți-vă să utilizați rapoarte - și anume: rapoarte ale elementelor, zonelor, utilizați asemănarea triunghiurilor dacă este posibil.

Aici putem afla raportul laturilor triunghiului. Să exprimăm ariile triunghiurilor:

Pe baza faptului că AM=MC rezultă că

Acum atentie! Suntem aproape de deznodământ. Există o altă relație din care putem stabili raportul ariilor a două triunghiuri. Exprimați ariile triunghiurilor.

Să fie necesar să se determine aria triunghiului ABC. Să trasăm drepte prin vârfurile C și B, paralele cu laturile AB și AC.

Obținem un paralelogram ABDC. Aria sa este egală cu produsul bazei AB și înălțimea CO. Paralelogramul ABDC este format din două triunghiuri egale ABC și BCD, prin urmare, aria triunghiului ABC este egală cu jumătate din aria paralelogramului, adică S\(\Delta\)ABC = 1/2 AB CO.

De aici: Aria unui triunghi este jumătate din produsul bazei sale cu înălțimea sa.

S \(\Delta\) = \(\frac(a h)(2)\)

Această formulă poate fi reprezentată după cum urmează:

S \(\Delta\) = \(\frac(a)(2)\) h, sau S \(\Delta\) = A\(\frac(h)(2)\).

Formule pentru calcularea ariei unui triunghi

1. Din geometrie, formula Heron este cunoscută:

$$ S = \sqrt(p (p - a)(p - b) (p - c)),$$

(unde p = ( a + b + c) / 2 - semi-perimetru), care vă permite să calculați aria unui triunghi pe laturile sale.

2 . Teorema. Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul a două laturi și sinusul unghiului dintre ele:

S=1/2 bc sinA.

Dovada. Din geometrie se știe că aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturii triunghiului și înălțimea coborâtă în această latură de la vârful opus.

S=1/2 b h b (1)

Dacă unghiul A este ascuțit, atunci din triunghiul ABH găsim BH = h b = c sinA.

Dacă unghiul A este obtuz, atunci

HH = h b = c sin (π - A)= cu sinA.

Dacă unghiul A este drept, atunci sin A = 1 și
hb=AB= cu = cu sinA.

Prin urmare, în toate cazurile h b = c sin A. Inlocuind in egalitate (1), obtinem formula de demonstrat.

În același mod, obținem formulele: S = 1 / 2 ab sin C= 1 / 2 ac păcatul B

3. Pe baza teoremei sinusului:

$$ b = \frac(a sinB)(sinA); \;\; c = \frac(a sinC)(sinA) $$

Înlocuind aceste expresii în formula (1), obținem următoarea formulă:

$$ S = \frac(a^2 sinB sinC)(2sinA) $$