Matricele de tip diagonal sunt cel mai simplu aranjate. Se pune întrebarea dacă este posibil să se găsească o bază în care matricea unui operator liniar să aibă o formă diagonală. O astfel de bază există.
Să fie dat un spațiu liniar R n și un operator liniar A care acționează în el; în acest caz, operatorul A ia R n în sine, adică A:R n → R n .

Definiție. Un vector x diferit de zero este numit vector propriu al operatorului A dacă operatorul A transformă x într-un vector coliniar cu acesta, adică . Numărul λ se numește valoare proprie sau valoare proprie a operatorului A corespunzător vectorului propriu x .
Remarcăm câteva proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii.
1. Orice combinație liniară de vectori proprii al operatorului A corespunzător aceleiași valori proprii λ este un vector propriu cu aceeași valoare proprie.
2. Vectori proprii operatorul A cu valori proprii distincte în perechi λ 1 , λ 2 , …, λ m sunt liniar independenți.
3. Dacă valorile proprii λ 1 =λ 2 = λ m = λ, atunci valoarea proprie λ corespunde nu mai mult de m vectori proprii liniar independenți.

Deci, dacă există n vectori proprii liniar independenți corespunzătoare diferitelor valori proprii λ 1 , λ 2 , …, λ n , atunci ele sunt liniar independente, prin urmare, pot fi luate ca bază a spațiului R n . Să găsim forma matricei operatorului liniar A pe baza vectorilor proprii ai acestuia, pentru care acționăm cu operatorul A pe vectorii de bază: apoi .
Astfel, matricea operatorului liniar A pe baza vectorilor proprii are o formă diagonală, iar valorile proprii ale operatorului A sunt pe diagonală.
Există o altă bază în care matricea are o formă diagonală? Răspunsul la această întrebare este dat de următoarea teoremă.

Teorema. Matricea unui operator liniar A din bază (i = 1..n) are o formă diagonală dacă și numai dacă toți vectorii bazei sunt vectori proprii ai operatorului A.

Regula pentru găsirea valorilor proprii și vectorilor proprii

Fie vectorul , unde x 1 , x 2 , …, x n - coordonatele vectorului x relativ la bază și x este vectorul propriu al operatorului liniar A corespunzător valorii proprii λ, adică . Această relație poate fi scrisă sub formă de matrice

. (*)

Ecuația (*) poate fi considerată ca o ecuație pentru găsirea x , și , adică ne interesează soluții netriviale, deoarece vectorul propriu nu poate fi zero. Se știe că soluțiile netriviale ale unui sistem omogen de ecuații liniare există dacă și numai dacă det(A - λE) = 0. Astfel, pentru ca λ să fie o valoare proprie a operatorului A este necesar și suficient ca det(A - λE). ) = 0.
Dacă ecuația (*) este scrisă în detaliu sub formă de coordonate, atunci obținem un sistem de ecuații liniare omogene:

(1)
Unde este matricea operatorului liniar.

Sistemul (1) are o soluție diferită de zero dacă determinantul său D este egal cu zero

Avem o ecuație pentru găsirea valorilor proprii.
Această ecuație se numește ecuație caracteristică, iar partea stângă este numită polinomul caracteristic al matricei (operatorului) A. Dacă polinomul caracteristic nu are rădăcini reale, atunci matricea A nu are vectori proprii și nu poate fi redusă la o formă diagonală.
Fie λ 1 , λ 2 , …, λ n rădăcinile reale ale ecuației caracteristice și pot exista multipli între ele. Înlocuind aceste valori la rândul lor în sistemul (1), găsim vectorii proprii.

Exemplul 12. Operatorul liniar A acţionează în R 3 conform legii , unde x 1 , x 2 , .., x n sunt coordonatele vectorului din bază , , . Găsiți valorile proprii și vectorii proprii ai acestui operator.
Decizie. Construim matricea acestui operator:
.
Compunem un sistem pentru determinarea coordonatelor vectorilor proprii:

Compunem ecuația caracteristică și o rezolvăm:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Înlocuind λ = -1 în sistem, avem:
sau
La fel de , atunci există două variabile dependente și o variabilă liberă.
Fie x 1 o necunoscută liberă, atunci Rezolvăm acest sistem în orice mod și găsim soluția generală a acestui sistem: Sistemul fundamental de soluții constă dintr-o singură soluție, deoarece n - r = 3 - 2 = 1.
Mulțimea vectorilor proprii corespunzători valorii proprii λ = -1 are forma: , unde x 1 este orice număr altul decât zero. Să alegem un vector din această mulțime, de exemplu, setând x 1 = 1: .
Argumentând în mod similar, găsim vectorul propriu corespunzător valorii proprii λ = 3: .
În spațiul R 3 baza constă din trei vectori liniar independenți, dar am obținut doar doi vectori proprii liniar independenți, din care nu se poate forma baza din R 3. În consecință, matricea A a unui operator liniar nu poate fi redusă la o formă diagonală.

Exemplul 13 Dată o matrice .
1. Demonstrați că vectorul este un vector propriu al matricei A. Găsiți valoarea proprie corespunzătoare acestui vector propriu.
2. Găsiți o bază în care matricea A are formă diagonală.
Decizie.
1. Dacă , atunci x este un vector propriu

.
Vectorul (1, 8, -1) este un vector propriu. Valoare proprie λ = -1.
Matricea are o formă diagonală în baza constând din vectori proprii. Unul dintre ei este celebru. Hai să găsim restul.
Căutăm vectori proprii din sistem:

Ecuația caracteristică: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Găsiți vectorul propriu corespunzător valorii proprii λ = -3:

Rangul matricei acestui sistem este egal cu doi și este egal cu numărul de necunoscute, prin urmare acest sistem are doar o soluție zero x 1 = x 3 = 0. x 2 aici poate fi orice altceva decât zero, de exemplu, x 2 = 1. Astfel, vectorul (0 ,1,0) este un vector propriu corespunzător lui λ = -3. Sa verificam:
.
Dacă λ = 1, atunci obținem sistemul
Rangul matricei este doi. Tăiați ultima ecuație.
Fie x 3 necunoscuta liberă. Apoi x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
Presupunând x 3 = 1, avem (-3,-9,1) - un vector propriu corespunzător valorii proprii λ = 1. Verificați:

.
Deoarece valorile proprii sunt reale și diferite, vectorii corespunzători acestora sunt independenți liniar, deci pot fi luați ca bază în R 3 . Astfel, în bază , , matricea A are forma:
.
Nu orice matrice a unui operator liniar A:R n → R n poate fi redusă la o formă diagonală, deoarece pentru unii operatori liniari pot exista mai puțin de n vectori proprii liniar independenți. Cu toate acestea, dacă matricea este simetrică, atunci exact m vectori liniar independenți corespund rădăcinii ecuației caracteristice a multiplicității m.

Definiție. O matrice simetrică este o matrice pătrată în care elementele care sunt simetrice față de diagonala principală sunt egale, adică în care .
Observatii. 1. Toate valorile proprii ale unei matrice simetrice sunt reale.
2. Vectorii proprii ai unei matrice simetrice corespunzători diferitelor valori proprii în perechi sunt ortogonali.
Ca una dintre numeroasele aplicații ale aparatului studiat, considerăm problema determinării formei unei curbe de ordinul doi.

Definiție 9.3. Vector X numit propriul vector matrici DAR dacă există un astfel de număr λ, că egalitatea este valabilă: DAR X= λ X, adică rezultatul aplicării la X transformare liniară dată de matrice DAR, este înmulțirea acestui vector cu numărul λ . Numărul în sine λ numit propriul număr matrici DAR.

Înlocuirea în formule (9.3) x` j = λx j , obținem un sistem de ecuații pentru determinarea coordonatelor vectorului propriu:

. (9.5)

Acest sistem liniar omogen va avea o soluție netrivială numai dacă principalul său determinant este 0 (regula lui Cramer). Scriind această condiție sub forma:

obținem o ecuație pentru determinarea valorilor proprii λ numit ecuație caracteristică. Pe scurt, poate fi reprezentat astfel:

| A-λE | = 0, (9.6)

întrucât partea stângă a acesteia este determinantul matricei A-λE. Polinom în raport cu λ | A-λE| numit polinom caracteristic matrice a.

Proprietățile polinomului caracteristic:

1) Polinomul caracteristic al unei transformări liniare nu depinde de alegerea bazei. Dovada. (vezi (9.4)), dar prin urmare, . Astfel, nu depinde de alegerea bazei. Prin urmare, și | A-λE| nu se modifică la trecerea la o nouă bază.

2) Dacă matricea DAR transformarea liniară este simetric(acestea. a ij = a ji), atunci toate rădăcinile ecuației caracteristice (9.6) sunt numere reale.

Proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii:

1) Dacă alegem o bază din vectori proprii x 1, x 2, x 3 corespunzătoare valorilor proprii λ 1 , λ 2 , λ 3 matrici DAR, atunci în această bază transformarea liniară A are o matrice diagonală:

(9.7) Dovada acestei proprietăți rezultă din definiția vectorilor proprii.

2) Dacă valorile proprii de transformare DAR sunt diferiți, atunci vectorii proprii corespunzători acestora sunt independenți liniar.

3) Dacă polinomul caracteristic al matricei DAR are trei rădăcini diferite, apoi într-o anumită bază matricea DAR are formă diagonală.

Să găsim valorile proprii și vectorii proprii ai matricei Să facem ecuația caracteristică: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Aflați coordonatele vectorilor proprii corespunzători fiecărei valori găsite λ. Din (9.5) rezultă că dacă X (1) ={x 1 , x 2 , x 3) este vectorul propriu corespunzător λ 1 = -2, atunci

este un sistem colaborativ, dar nedeterminat. Soluția sa poate fi scrisă ca X (1) ={A,0,-A), unde a este orice număr. În special, dacă aveți nevoie de faptul că | X (1) |=1, X (1) =

Înlocuirea în sistem (9.5) λ 2 =3, obținem un sistem pentru determinarea coordonatelor celui de-al doilea vector propriu - X (2) ={y1,y2,y3}:

, Unde X (2) ={b,-b,b) sau, cu condiția | X (2) |=1, X (2) =

Pentru λ 3 = 6 găsiți vectorul propriu X (3) ={z1, z2, z3}:

, X (3) ={c,2c,c) sau în versiunea normalizată

x (3) = Se vede că X (1) X (2) = ab-ab= 0, X (1) X (3) = ac-ac= 0, X (2) X (3) = bc- 2bc + bc= 0. Astfel, vectorii proprii ai acestei matrice sunt ortogonali pe perechi.

Cursul 10

Formele pătratice și legătura lor cu matrici simetrice. Proprietăți ale vectorilor proprii și ale valorilor proprii ale unei matrice simetrice. Reducerea unei forme pătratice la o formă canonică.

Definiție 10.1.formă pătratică variabile reale x 1, x 2,…, x n este un polinom de gradul doi față de aceste variabile care nu conține termen liber și termeni de gradul I.

Exemple de forme pătratice:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Amintiți-vă definiția unei matrice simetrice dată în ultima prelegere:

Definiția 10.2. Matricea pătrată se numește simetric, dacă , adică dacă elementele matricei simetrice față de diagonala principală sunt egale.

Proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii ai unei matrice simetrice:

1) Toate valorile proprii ale unei matrice simetrice sunt reale.

Dovada (pentru n = 2).

Lasă matricea DAR se pare ca: . Să facem ecuația caracteristică:

(10.2) Aflați discriminantul:

Prin urmare, ecuația are doar rădăcini reale.

2) Vectorii proprii ai unei matrice simetrice sunt ortogonali.

Dovada (pentru n= 2).

Coordonatele vectorilor proprii și trebuie să satisfacă ecuațiile.

Cursul 9

Transformări liniare ale coordonatelor. Vectori proprii și valorile proprii ale unei matrice, proprietățile lor. Polinomul caracteristic al unei matrice, proprietățile acesteia.

Vom spune că pe mulțimea vectorilorRdat transformare DAR , dacă fiecare vector X R după o anumită regulă, vectorul DAR X R.

Definiție 9.1.transformare DAR numit liniar, dacă pentru orice vector X și la și pentru orice număr real λ egalitățile sunt îndeplinite:

DAR( X + la )=DAR X+ A la ,A(λ X ) = λ A X. (9.1)

Definiție 9.2.Transformarea liniară se numește identic, dacă transformă orice vector X în sine.

Se notează transformarea identităţii A EI X= X .

Luați în considerare un spațiu tridimensional cu o bază e 1 , e 2, e 3 , în care este specificată transformarea liniară DAR. Aplicând-o vectorilor de bază, obținem vectorii DAR e 1, DAR e 2, DAR e 3 aparţinând acestui spaţiu tridimensional. Prin urmare, fiecare dintre ele poate fi extins într-un mod unic în ceea ce privește vectorii de bază:

DAR e 1 = a 11 e 1+ un 21 e 2+a 31 e 3,

DAR e 2 = a 12 e 1+ un 22 e 2+ un 32 e 3 ,(9.2)

DAR e 3= a 13 e 1+ un 23 e 2+ un 33 e 3 .

Matrice numit matricea de transformare liniara DAR în bază e 1 , e 2, e 3 . Coloanele acestei matrice sunt compuse din coeficienții din formulele (9.2) ai transformării bazei.

Cometariu. Evident, matricea transformării identității este matricea identității E.

Pentru un vector arbitrar X = x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3 rezultatul aplicării unei transformări liniare acestuia DAR va vector DAR X, care poate fi extins în vectori de aceeași bază: DAR X =x` 1 e 1+ x` 2 e 2+ x` 3 e 3 , unde coordonateleX` ipoate fi găsit folosind formulele:

X` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,(9.3)

X` 3 = A 31 X 1 + A 32 X 2 + A 33 X 3 .

Coeficienții din formulele acestei transformări liniare sunt elemente ale rândurilor matricei DAR.

Transformarea matricei de transformare liniară

la trecerea la o nouă bază.

Luați în considerare o transformare liniară A și două baze în spațiul tridimensional: e1, e2, e 3 și e 1 , e 2 , e 3 . Fie matricea C să definească formulele de tranziție de la baza (e k) la bază ( e k). Dacă în prima dintre aceste baze transformarea liniară aleasă este dată de matricea A , iar în a doua - de matrice DAR, atunci putem găsi o relație între aceste matrici și anume:

A \u003d C -1 DAR C(9.4)

Într-adevăr, atunci DAR . Pe de altă parte, rezultatele aplicării aceleiași transformări liniare DAR in baza (e k), adică , iar în bază (e k ): respectiv - sunt conectate prin matrice Cu: , de unde rezultă că SA= DAR Cu. Înmulțind ambele părți ale acestei egalități din stânga cu Cu-1, primim Cu -1 CA = = C -1 DAR Cu, care demonstrează validitatea formulei (9.4).

Valori proprii și vectori proprii ai unei matrice.

Definiție 9.3.Vector X numit propriul vector matrici DAR dacă există un astfel de număr λ, că egalitatea este valabilă: DAR X= λ X, adică rezultatul aplicării la X transformare liniară dată de matrice DAR, este înmulțirea acestui vector cu numărul λ . Numărul în sine λ numit propriul număr matrici DAR.

Înlocuirea în formule (9.3)X` j = λ x j, obținem un sistem de ecuații pentru determinarea coordonatelor vectorului propriu:

.

De aici

.(9.5)

Acest liniar omogen sistemul va avea o soluție non-trivială numai dacă principalul său determinant este 0 (regula lui Cramer). Scriind această condiție sub forma:

obținem o ecuație pentru determinarea valorilor proprii λ numit ecuație caracteristică. Pe scurt, poate fi reprezentat astfel:

| A -λ E | = 0,(9.6)

întrucât partea stângă a acesteia este determinantul matricei DAR- λE. Polinom în raport cu λ| A -λ E| numit polinom caracteristic matrice a.

Proprietățile polinomului caracteristic:

1) Polinomul caracteristic unei transformări liniare nu depinde de alegerea bazei.Demonstraţie. (cu vezi (9.4)), dar prin urmare, . Astfel, nu depinde de alegerea bazei. Prin urmare, și |A-λ E| nu se modifică la trecerea la o nouă bază.

2) Dacă matricea DAR transformarea liniară este simetric(acestea. A ij= a ji), atunci toate rădăcinile ecuației caracteristice (9.6) sunt numere reale.

Proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii:

1) Dacă alegem o bază din vectori proprii x 1, x 2, x 3 corespunzătoare valorilor proprii λ 1 , λ 2 , λ 3 matrici DAR, atunci în această bază transformarea liniară A are o matrice diagonală:

(9.7) Dovada acestei proprietăți rezultă din definiția vectorilor proprii.

2) Dacă valorile proprii de transformare DAR sunt diferiți, atunci vectorii proprii corespunzători acestora sunt independenți liniar.

3) Dacă polinomul caracteristic al matricei DAR are trei rădăcini diferite, apoi într-o anumită bază matricea DAR are formă diagonală.

Exemplu.

Să găsim valorile proprii și vectorii proprii ai matricei C, lăsați ecuația caracteristică: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Aflați coordonatele vectorilor proprii corespunzători fiecărei valori găsite λ. Din (9.5) rezultă că dacă X (1) ={ X 1 , X 2 , X 3 ) este vectorul propriu corespunzător λ 1 = -2, atunci

este un sistem colaborativ, dar nedeterminat. Soluția sa poate fi scrisă ca X (1) ={ A,0,- A), unde a este orice număr. În special, dacă aveți nevoie de faptul că |X (1) |=1, X (1) =

Înlocuirea în sistem (9.5) λ 2 =3, obținem un sistem pentru determinarea coordonatelor celui de-al doilea vector propriu-X (2) ={ y 1 , y 2 , y 3

Transformări liniare ale coordonatelor. Vectori proprii și valorile proprii ale unei matrice, proprietățile lor. Polinomul caracteristic al unei matrice, proprietățile acesteia.

Vom spune că pe mulțimea vectorilor R dat transformareDAR , dacă fiecare vector X R după o anumită regulă, vectorul DARX R.

Definiție 9.1. transformare DAR numit liniar, dacă pentru orice vector X și la și pentru orice număr real λ egalitățile sunt îndeplinite:

DAR(X + la )=DARX + Ala ,A(λX ) =λ AX . (9.1)

Definiție 9.2. Transformarea liniară se numește identic, dacă transformă orice vector X în sine.

Se notează transformarea identităţii A EIX = X .

Luați în considerare un spațiu tridimensional cu o bază e 1 , e 2 , e 3 , în care este specificată transformarea liniară DAR. Aplicând-o vectorilor de bază, obținem vectorii DARe 1 , DARe 2 , DARe 3 aparţinând acestui spaţiu tridimensional. Prin urmare, fiecare dintre ele poate fi extins într-un mod unic în ceea ce privește vectorii de bază:

DARe 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 +a 31 e 3 ,

DARe 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + a 32 e 3 , (9.2)

DARe 3 = a 13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3 .

Matrice
numit matricea de transformare liniaraDAR în bază e 1 , e 2 , e 3 . Coloanele acestei matrice sunt compuse din coeficienții din formulele (9.2) ai transformării bazei.

Cometariu. Evident, matricea transformării identității este matricea identității E.

Pentru un vector arbitrar X =x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 rezultatul aplicării unei transformări liniare acestuia DAR va vector DARX , care poate fi extins în vectori de aceeași bază: DARX =x` 1 e 1 + x` 2 e 2 + x` 3 e 3 , unde coordonatele X` i poate fi găsit folosind formulele:

X` 1 = a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 ,

x` 2 = a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 , (9.3)

X` 3 = A 31 X 1 + A 32 X 2 + A 33 X 3 .

Coeficienții din formulele acestei transformări liniare sunt elemente ale rândurilor matricei DAR.

Transformarea matricei de transformare liniară

la trecerea la o nouă bază.

Luați în considerare o transformare liniară A și două baze în spațiul tridimensional: e 1 , e 2 , e 3 și e 1 , e 2 , e 3 . Fie matricea C să definească formulele de tranziție de la baza ( e k) la bază ( e k). Dacă în prima dintre aceste baze transformarea liniară aleasă este dată de matricea A, iar în a doua - de matrice DAR, atunci putem găsi o relație între aceste matrici și anume:

A \u003d C -1 DAR C (9,4)

Într-adevăr,
, apoi DAR
. Pe de altă parte, rezultatele aplicării aceleiași transformări liniare DAR in baza ( e k), adică , iar în bază ( e k ): respectiv - conectate printr-o matrice Cu:
, de unde rezultă că SA=DAR Cu. Înmulțind ambele părți ale acestei egalități din stânga cu Cu-1, primim Cu - 1 CA = = C -1 DAR Cu, care demonstrează validitatea formulei (9.4).

Valori proprii și vectori proprii ai unei matrice.

Definiție 9.3. Vector X numit propriul vector matrici DAR dacă există un astfel de număr λ, că egalitatea este valabilă: DARX = λ X , adică rezultatul aplicării la X transformare liniară dată de matrice DAR, este înmulțirea acestui vector cu numărul λ . Numărul în sine λ numit propriul număr matrici DAR.

Înlocuirea în formule (9.3) X` j = λ X j , obținem un sistem de ecuații pentru determinarea coordonatelor vectorului propriu:

.

. (9.5)

Acest sistem liniar omogen va avea o soluție netrivială numai dacă principalul său determinant este 0 (regula lui Cramer). Scriind această condiție sub forma:

obținem o ecuație pentru determinarea valorilor proprii λ numit ecuație caracteristică. Pe scurt, poate fi reprezentat astfel:

| A - λ E| = 0, (9.6)

întrucât partea stângă a acesteia este determinantul matricei A-λE. Polinom în raport cu λ | A - λ E| numit polinom caracteristic matrice a.

Proprietățile polinomului caracteristic:

Proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii:

Dacă alegem o bază din vectori proprii X 1 , X 2 , X 3 corespunzătoare valorilor proprii λ 1 , λ 2 , λ 3 matrici DAR, atunci în această bază transformarea liniară A are o matrice diagonală:

(9.7) Dovada acestei proprietăți rezultă din definiția vectorilor proprii.

Dacă valorile proprii de transformare DAR sunt diferiți, atunci vectorii proprii corespunzători acestora sunt independenți liniar.

Dacă polinomul caracteristic al matricei DAR are trei rădăcini diferite, apoi într-o anumită bază matricea DAR are formă diagonală.

Să găsim valorile proprii și vectorii proprii ai matricei Să facem ecuația caracteristică:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Aflați coordonatele vectorilor proprii corespunzători fiecărei valori găsite λ. Din (9.5) rezultă că dacă X (1) ={X 1 , X 2 , X 3 ) este vectorul propriu corespunzător λ 1 = -2, atunci

este un sistem colaborativ, dar nedeterminat. Soluția sa poate fi scrisă ca X (1) ={A,0,-A), unde a este orice număr. În special, dacă aveți nevoie de faptul că | X (1) |=1,X (1) =

Înlocuirea în sistem (9.5) λ 2 =3, obținem un sistem pentru determinarea coordonatelor celui de-al doilea vector propriu - X (2) ={y 1 , y 2 , y 3 }:

, Unde X (2) ={b,- b, b) sau, cu condiția | X (2) |=1,X (2) =

Pentru λ 3 = 6 găsiți vectorul propriu X (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,X (3) ={c,2 c, c) sau în versiunea normalizată

X (3) =
Se vede că X (1) X (2) =ab – ab = 0,X (1) X (3) =ac – ac = 0,X (2) X (3) =bc - 2bc + bc = 0. Astfel, vectorii proprii ai acestei matrice sunt ortogonali pe perechi.