În acest articol vă voi arăta algoritmi pentru rezolvarea a șapte tipuri de ecuații raționale, care se reduc la pătrate prin modificarea variabilelor. În cele mai multe cazuri, transformările care duc la înlocuire sunt foarte netriviale și este destul de dificil să le ghiciți singur.
Pentru fiecare tip de ecuație, voi explica cum să faceți o modificare a variabilei în ea, iar apoi voi arăta o soluție detaliată în tutorialul video corespunzător.
Aveți ocazia să continuați să rezolvați singuri ecuațiile și apoi să vă verificați soluția cu tutorialul video.
Deci, să începem.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Rețineți că produsul dintre cele patru paranteze este în partea stângă a ecuației, iar numărul este în partea dreaptă.
1. Să grupăm parantezele cu două, astfel încât suma termenilor liberi să fie aceeași.
2. Înmulțiți-le.
3. Să introducem o schimbare de variabilă.
În ecuația noastră, grupăm prima paranteză cu a treia, iar a doua cu a patra, deoarece (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:
În acest moment, modificarea variabilei devine evidentă:
Obținem ecuația 
Răspuns: 
2 .
O ecuație de acest tip este similară cu cea anterioară cu o diferență: în partea dreaptă a ecuației se află produsul unui număr prin. Și se rezolvă într-un mod complet diferit:
1. Grupăm parantezele câte două, astfel încât produsul termenilor liberi să fie același.
2. Înmulțim fiecare pereche de paranteze.
3. Din fiecare factor, scoatem x din paranteză.
4. Împărțiți ambele părți ale ecuației la .
5. Introducem o schimbare de variabilă.
În această ecuație, grupăm prima paranteză cu a patra, iar a doua cu a treia, deoarece:
Rețineți că în fiecare paranteză coeficientul la și termenul liber sunt aceleași. Să scoatem multiplicatorul din fiecare paranteză:
Deoarece x=0 nu este rădăcina ecuației originale, împărțim ambele părți ale ecuației la . Primim:
Obtinem ecuatia: 
Răspuns: 
3
. 
Rețineți că numitorii ambelor fracții sunt trinoame pătrate, în care coeficientul principal și termenul liber sunt aceiași. Scoatem, ca în ecuația celui de-al doilea tip, x din paranteză. Primim:
Împărțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții la x:
Acum putem introduce o schimbare de variabilă:
Obținem ecuația pentru variabila t:
4 .
Rețineți că coeficienții ecuației sunt simetrici față de cel central. O astfel de ecuație se numește returnabil .
Pentru a o rezolva
1. Împărțiți ambele părți ale ecuației la (Putem face acest lucru deoarece x=0 nu este rădăcina ecuației.) Obținem:
2. Grupați termenii în acest fel:
3. În fiecare grup, scoatem factorul comun:
4. Să introducem un înlocuitor:
5. Să exprimăm expresia în termeni de t:
De aici 
Obținem ecuația pentru t:
Răspuns:
5. Ecuații omogene.
Ecuațiile care au o structură omogenă pot fi întâlnite la rezolvarea ecuațiilor exponențiale, logaritmice și trigonometrice, așa că trebuie să le poți recunoaște.
Ecuațiile omogene au următoarea structură:
În această egalitate, A, B și C sunt numere, iar aceleași expresii sunt indicate printr-un pătrat și un cerc. Adică, în partea stângă a ecuației omogene se află suma monomiilor care au același grad (în acest caz, gradul monomiilor este 2) și nu există termen liber.
Pentru a rezolva ecuația omogenă, împărțim ambele părți la
Atenţie! Când împărțiți părțile drepte și stângi ale ecuației la o expresie care conține o necunoscută, puteți pierde rădăcinile. Prin urmare, este necesar să verificăm dacă rădăcinile expresiei prin care împărțim ambele părți ale ecuației sunt rădăcinile ecuației originale.
Să mergem pe primul drum. Obtinem ecuatia:
Acum introducem o substituție de variabilă:
Simplificați expresia și obțineți o ecuație biquadratică pentru t:
Răspuns: sau
7
. 
Această ecuație are următoarea structură:
Pentru a o rezolva, trebuie să selectați pătratul complet din partea stângă a ecuației.
Pentru a selecta un pătrat complet, trebuie să adăugați sau să scădeți produsul dublu. Apoi obținem pătratul sumei sau al diferenței. Acest lucru este esențial pentru o înlocuire reușită a variabilei.
Să începem prin a găsi produsul dublu. Va fi cheia pentru a înlocui variabila. În ecuația noastră, produsul dublu este
Acum să ne dăm seama ce este mai convenabil să avem - pătratul sumei sau al diferenței. Luați în considerare, pentru început, suma expresiilor:
Excelent! această expresie este exact egală cu dublul produsului. Apoi, pentru a obține pătratul sumei între paranteze, trebuie să adăugați și să scădeți produsul dublu:
Vă invităm la o lecție despre cum să rezolvați ecuații cu fracții Cel mai probabil, ați mai întâlnit astfel de ecuații în trecut, așa că în această lecție vom repeta și rezuma informațiile pe care le cunoașteți.
Mai multe lecții pe site
O ecuație fracționară-rațională este o ecuație în care există fracții raționale, adică o variabilă la numitor. Cel mai probabil, v-ați ocupat deja de astfel de ecuații în trecut, așa că în această lecție vom repeta și vom rezuma informațiile pe care le cunoașteți.
În primul rând, îmi propun să mă refer la lecția anterioară a acestui subiect - la lecția „Rezolvarea ecuațiilor pătratice”. În acea lecție, a fost luat în considerare un exemplu de rezolvare a unei ecuații raționale fracționale. Ia in considerare
Rezolvarea acestei ecuații se realizează în mai multe etape:
- Transformarea unei ecuații care conține fracții raționale.
- Tranziția la întreaga ecuație și simplificarea acesteia;
- Rezolvarea unei ecuații pătratice.
Este necesar să parcurgeți primele 2 etape atunci când rezolvați orice ecuație fracțională-rațională. A treia etapă este opțională, deoarece ecuația obținută ca urmare a simplificărilor poate să nu fie pătrată, ci liniară; rezolvarea unei ecuații liniare este mult mai ușoară. Există un alt pas important în rezolvarea unei ecuații raționale fracționale. Va fi vizibil la rezolvarea următoarei ecuații.
ce ar trebui facut mai intai? - Desigur, aduceți fracțiile la un numitor comun. Și este foarte important să găsiți exact cel mai puţin numitor comun, altfel, mai departe, în procesul de rezolvare, ecuația va fi complicată. Aici observăm că numitorul ultimei fracții poate fi factorizat lași y+2. Tocmai acest produs va fi numitorul comun în această ecuație. Acum trebuie să determinați factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții. Mai degrabă, pentru ultima fracție, un astfel de factor nu este necesar, deoarece numitorul său este egal cu cel comun. Acum, când toate fracțiile au aceiași numitori, puteți merge la întreaga ecuație, formată din niște numărători. Dar trebuie făcută o remarcă, că valoarea găsită a necunoscutului nu poate dispărea niciunul dintre numitori. Acesta este ODZ: y≠0, y≠2. Aceasta completează prima dintre etapele descrise anterior ale soluției și trece la a doua - simplificăm întreaga ecuație rezultată. Pentru a face acest lucru, deschidem parantezele, transferăm toți termenii într-o parte a ecuației și dăm altele similare. Fă-o singur și verifică dacă calculele mele sunt corecte, în care se obține ecuația 3y 2 - 12y = 0. Această ecuație este pătratică, este scrisă în formă standard, iar unul dintre coeficienții ei este egal cu zero.
Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de interes public.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Menținerea confidențialității la nivel de companie
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
Am introdus ecuația de mai sus în § 7. În primul rând, ne amintim ce este o expresie rațională. Aceasta este o expresie algebrică formată din numere și variabila x folosind operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și exponențiere cu un exponent natural.
Dacă r(x) este o expresie rațională, atunci ecuația r(x) = 0 se numește ecuație rațională.
Cu toate acestea, în practică, este mai convenabil să folosiți o interpretare ceva mai largă a termenului „ecuație rațională”: aceasta este o ecuație de forma h(x) = q(x), unde h(x) și q(x) sunt expresii raționale.
Până acum nu am putut rezolva nicio ecuație rațională, ci doar una care, ca urmare a diferitelor transformări și raționamente, s-a redus la ecuație liniară. Acum posibilitățile noastre sunt mult mai mari: vom putea rezolva o ecuație rațională, care se reduce nu numai la liniară.
mu, dar și la ecuația pătratică.
Amintiți-vă cum am rezolvat mai devreme ecuațiile raționale și încercați să formulăm un algoritm de soluție.
Exemplul 1 rezolva ecuatia
Soluţie. Rescriem ecuația sub forma
În acest caz, ca de obicei, folosim faptul că egalitățile A \u003d B și A - B \u003d 0 exprimă aceeași relație între A și B. Acest lucru ne-a permis să transferăm termenul în partea stângă a ecuației cu semnul opus.
Să efectuăm transformări ale părții stângi a ecuației. Avem
Amintiți-vă condițiile de egalitate fractii zero: dacă și numai dacă două relații sunt satisfăcute simultan:
1) numărătorul fracției este zero (a = 0); 2) numitorul fracției este diferit de zero).
Echivalând cu zero numărătorul fracției din partea stângă a ecuației (1), obținem
Rămâne de verificat îndeplinirea celei de-a doua condiții menționate mai sus. Raportul înseamnă pentru ecuația (1) că . Valorile x 1 = 2 și x 2 = 0,6 satisfac relațiile indicate și, prin urmare, servesc ca rădăcini ale ecuației (1) și, în același timp, rădăcinile ecuației date.
1) Să transformăm ecuația în formă
2) Să efectuăm transformările părții stângi a acestei ecuații:
(a schimbat simultan semnele la numărător și
fracții).
Astfel, ecuația dată ia forma
3) Rezolvați ecuația x 2 - 6x + 8 = 0. Aflați
4) Pentru valorile găsite, verificați starea 
. Numărul 4 îndeplinește această condiție, dar numărul 2 nu. Deci 4 este rădăcina ecuației date, iar 2 este o rădăcină străină.
Raspuns: 4.
2. Rezolvarea ecuațiilor raționale prin introducerea unei noi variabile
Metoda de introducere a unei noi variabile vă este familiară, am folosit-o de mai multe ori. Să arătăm prin exemple cum este folosit în rezolvarea ecuațiilor raționale.
Exemplul 3 Rezolvați ecuația x 4 + x 2 - 20 = 0.
Soluţie. Introducem o nouă variabilă y \u003d x 2. Deoarece x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, atunci ecuația dată poate fi rescrisă sub forma
y 2 + y - 20 = 0.
Aceasta este o ecuație pătratică, ale cărei rădăcini le vom găsi folosind cunoscutul formule; obținem y 1 = 4, y 2 = - 5.
Dar y \u003d x 2, ceea ce înseamnă că problema a fost redusă la rezolvarea a două ecuații:
x2=4; x 2 \u003d -5.
Din prima ecuație găsim că a doua ecuație nu are rădăcini.
Răspuns: .
O ecuație de forma ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 se numește ecuație biquadratică („bi” - doi, adică, parcă, o ecuație „de două ori pătrată”). Ecuația tocmai rezolvată a fost exact biquadratică. Orice ecuație biquadratică este rezolvată în același mod ca și ecuația din exemplul 3: este introdusă o nouă variabilă y \u003d x 2, ecuația pătratică rezultată este rezolvată în raport cu variabila y și apoi revenită la variabila x.
Exemplul 4 rezolva ecuatia
Soluţie. Rețineți că aceeași expresie x 2 + 3x apare de două ori aici. Prin urmare, este logic să introduceți o nouă variabilă y = x 2 + Zx. Acest lucru ne va permite să rescriem ecuația într-o formă mai simplă și mai plăcută (care, de fapt, este scopul introducerii unui nou variabil- și înregistrarea este mai ușoară
, iar structura ecuației devine mai clară):
Și acum vom folosi algoritmul pentru rezolvarea unei ecuații raționale.
1) Să mutăm toți termenii ecuației într-o singură parte:
= 0
2) Să transformăm partea stângă a ecuației
Deci, am transformat ecuația dată în forma
3) Din ecuația - 7y 2 + 29y -4 = 0 găsim (am rezolvat deja destul de multe ecuații pătratice, așa că probabil că nu merită să oferim întotdeauna calcule detaliate în manual).
4) Să verificăm rădăcinile găsite folosind condiția 5 (y - 3) (y + 1). Ambele rădăcini îndeplinesc această condiție.
Deci, ecuația pătratică pentru noua variabilă y este rezolvată: 
Deoarece y \u003d x 2 + Zx și y, după cum am stabilit, ia două valori: 4 și, - mai trebuie să rezolvăm două ecuații: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Rădăcinile primei ecuații sunt numerele 1 și - 4, rădăcinile celei de-a doua ecuații sunt numerele
În exemplele luate în considerare, metoda de introducere a unei noi variabile a fost, după cum le place să spună matematicienii, adecvată situației, adică îi corespundea bine. De ce? Da, deoarece aceeași expresie a fost întâlnită în mod clar în înregistrarea ecuației de mai multe ori și a fost rezonabil să desemnăm această expresie cu o nouă literă. Dar nu este întotdeauna cazul, uneori o nouă variabilă „apare” doar în procesul transformărilor. Este exact ceea ce se va întâmpla în exemplul următor.
Exemplul 5 rezolva ecuatia
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Soluţie. Avem
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.
Deci ecuația dată poate fi rescrisă ca
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Acum a „apărut” o nouă variabilă: y = x 2 - Zx.
Cu ajutorul ei, ecuația poate fi rescrisă sub forma y (y + 2) \u003d 24 și apoi y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Rădăcinile acestei ecuații sunt numerele 4 și -6.
Revenind la variabila inițială x, obținem două ecuații x 2 - Zx \u003d 4 și x 2 - Zx \u003d - 6. Din prima ecuație găsim x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; a doua ecuație nu are rădăcini.
Răspuns: 4, - 1.
În primul rând, pentru a învăța cum să lucrezi cu fracții raționale fără erori, trebuie să înveți formulele de înmulțire abreviată. Și nu doar pentru a învăța - ele trebuie recunoscute chiar și atunci când sinusurile, logaritmii și rădăcinile acționează ca termeni.
Cu toate acestea, instrumentul principal este factorizarea numărătorului și numitorului unei fracții raționale. Acest lucru poate fi realizat în trei moduri diferite:
- De fapt, conform formulei de înmulțire prescurtată: vă permit să restrângeți un polinom în unul sau mai mulți factori;
- Prin factorizarea unui trinom pătrat în factori prin discriminant. Aceeași metodă face posibilă verificarea faptului că orice trinom nu poate fi factorizat deloc;
- Metoda de grupare este cel mai complex instrument, dar este singurul care funcționează dacă cele două anterioare nu au funcționat.
După cum probabil ați ghicit din titlul acestui videoclip, vom vorbi din nou despre fracțiile raționale. Literal acum câteva minute, am terminat o lecție cu un elev de clasa a zecea și acolo am analizat tocmai aceste expresii. Prin urmare, această lecție va fi destinată special elevilor de liceu.
Cu siguranță mulți vor avea acum o întrebare: „De ce elevii din clasele 10-11 învață lucruri atât de simple precum fracțiile raționale, pentru că asta se face în clasa a 8-a?”. Dar asta e necazul, că majoritatea oamenilor doar „trec prin” acest subiect. În clasele 10-11, ei nu își mai amintesc cum se fac înmulțirea, împărțirea, scăderea și adunarea fracțiilor raționale din clasa a 8-a și tocmai pe baza acestor cunoștințe simple se construiesc structuri mai complexe, cum ar fi rezolvarea ecuațiilor logaritmice, trigonometrice. și multe alte expresii complexe, așa că practic nu este nimic de făcut în liceu fără fracții raționale.
Formule pentru rezolvarea problemelor
Sa trecem la treaba. În primul rând, avem nevoie de două fapte - două seturi de formule. În primul rând, trebuie să cunoașteți formulele pentru înmulțirea prescurtată:
- $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ este diferența de pătrate;
- $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ este pătratul sumei sau al diferenței ;
- $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ este suma cuburilor;
- $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ este diferența de cuburi.
În forma lor pură, ele nu se găsesc în niciun exemplu și în expresii reale serioase. Prin urmare, sarcina noastră este să învățăm să vedem construcții mult mai complexe sub literele $a$ și $b$, de exemplu, logaritmi, rădăcini, sinusuri etc. Poate fi învățat doar printr-o practică constantă. De aceea rezolvarea fracțiilor raționale este absolut necesară.
A doua formulă, destul de evidentă, este factorizarea unui trinom pătrat:
$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ sunt rădăcini.
Ne-am ocupat de partea teoretică. Dar cum să rezolvi fracțiile raționale reale, care sunt luate în considerare în clasa a 8-a? Acum mergem să exersăm.
Sarcina 1
\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]
Să încercăm să aplicăm formulele de mai sus la rezolvarea fracțiilor raționale. În primul rând, vreau să explic de ce este necesară factorizarea. Cert este că, la prima vedere la prima parte a sarcinii, vreau să reduc cubul cu pătratul, dar acest lucru este absolut imposibil, deoarece sunt termeni la numărător și la numitor, dar în niciun caz nu sunt factori. .
Ce este mai exact o abreviere? Reducerea este utilizarea regulii de bază pentru lucrul cu astfel de expresii. Principala proprietate a unei fracții este că putem înmulți numărătorul și numitorul cu același număr, altul decât „zero”. În acest caz, când reducem, atunci, dimpotrivă, împărțim la același număr, altul decât „zero”. Cu toate acestea, trebuie să împărțim toți termenii din numitor la același număr. Nu poți face asta. Și avem dreptul să reducem numărătorul cu numitorul numai atunci când ambele sunt factorizate. Hai să o facem.
Acum trebuie să vedeți câți termeni sunt într-un anumit element, în conformitate cu acesta, aflați ce formulă trebuie să utilizați.
Să transformăm fiecare expresie într-un cub exact:
Să rescriem numărătorul:
\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]
Să ne uităm la numitor. Îl extindem conform formulei diferenței de pătrate:
\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \ dreapta)\]
Acum să ne uităm la a doua parte a expresiei:
Numărător:
Rămâne să ne ocupăm de numitorul:
\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]
Să rescriem întreaga construcție, ținând cont de faptele de mai sus:
\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]
\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]
Nuanțe ale înmulțirii fracțiilor raționale
Concluzia cheie a acestor construcții este următoarea:
- Nu orice polinom poate fi factorizat.
- Chiar dacă este descompus, este necesar să ne uităm cu atenție la ce formulă specială pentru înmulțirea prescurtată.
Pentru a face acest lucru, mai întâi, trebuie să estimăm câți termeni există (dacă sunt doi, atunci tot ce putem face este să-i extindem fie prin suma diferenței pătratelor, fie prin suma sau diferența cuburilor; și dacă sunt trei dintre ele, apoi aceasta , în mod unic, fie pătratul sumei, fie pătratul diferenței). Se întâmplă adesea ca fie numărătorul, fie numitorul să nu necesite factorizare deloc, poate fi liniar sau discriminantul său va fi negativ.
Sarcina #2
\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]
În general, schema de rezolvare a acestei probleme nu este diferită de cea anterioară - pur și simplu vor exista mai multe acțiuni și vor deveni mai diverse.
Să începem cu prima fracție: uită-te la numărătorul ei și fă posibile transformări:
Acum să ne uităm la numitor:
Cu a doua fracție: nu se poate face nimic la numărător, deoarece este o expresie liniară și este imposibil să scoți vreun factor din ea. Să ne uităm la numitor:
\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right) ))^(2))\]
Trecem la a treia fracțiune. Numărător:
Să ne ocupăm de numitorul ultimei fracții:
Să rescriem expresia ținând cont de faptele de mai sus:
\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]
\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \dreapta))\]
Nuanțe ale soluției
După cum puteți vedea, nu totul și nu întotdeauna se bazează pe formulele de înmulțire abreviate - uneori este suficient pentru a pune o constantă sau o variabilă. Există însă și situația inversă, când există atât de mulți termeni sau sunt construiți în așa fel încât formula de înmulțire prescurtată la ei este în general imposibilă. În acest caz, ne vine în ajutor un instrument universal și anume metoda grupării. Aceasta este ceea ce vom aplica acum în următoarea problemă.
Sarcina #3
\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]
Să aruncăm o privire la prima parte:
\[((a)^(2))+ab=a\stanga(a+b\dreapta)\]
\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right) ) )\dreapta)=\]
\[=\stanga(a-b\dreapta)\stanga(5-a-b\dreapta)\]
Să rescriem expresia originală:
\[\frac(a\left(a+b\right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]
Acum să ne ocupăm de a doua paranteză:
\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]
\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \dreapta)\]
Deoarece două elemente nu au putut fi grupate, am grupat trei. Rămâne să ne ocupăm doar de numitorul ultimei fracții:
\[((a)^(2))-((b)^(2))=\stanga(a-b \dreapta)\stanga(a+b \dreapta)\]
Acum să rescriem întreaga noastră structură:
\[\frac(a\left(a+b\right))(\left(a-b\right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \stanga(a-b \dreapta))^(2)))\]
Problema este rezolvată și nu se mai poate simplifica nimic aici.
Nuanțe ale soluției
Ne-am dat seama de grupare și am primit un alt instrument foarte puternic care extinde posibilitățile de factorizare. Dar problema este că în viața reală nimeni nu ne va oferi exemple atât de rafinate în care există mai multe fracții care trebuie doar să factorizeze numărătorul și numitorul și apoi, dacă este posibil, să le reducă. Expresiile reale vor fi mult mai complicate.
Cel mai probabil, pe lângă înmulțire și împărțire, vor exista scăderi și adunări, tot felul de paranteze - în general, va trebui să țineți cont de ordinea acțiunilor. Dar cel mai rău lucru este că atunci când se scad și se adună fracții cu numitori diferiți, acestea vor trebui reduse la una comună. Pentru a face acest lucru, fiecare dintre ele va trebui să fie descompus în factori, iar apoi aceste fracții vor fi transformate: dați altele similare și multe altele. Cum să o faci corect, rapid și, în același timp, să obții răspunsul corect fără ambiguități? Despre aceasta vom vorbi acum folosind exemplul construcției următoare.
Sarcina #4
\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \dreapta)\]
Să scriem prima fracție și să încercăm să o rezolvăm separat:
\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]
\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]
Să trecem la al doilea. Să calculăm discriminantul numitorului:
Nu se factorizează, așa că scriem următoarele:
\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]
Scriem separat numeratorul:
\[((x)^(2))-2x+12=0\]
Prin urmare, acest polinom nu poate fi factorizat.
Maximul pe care l-am putut face și descompune, l-am făcut deja.
În total, rescriem construcția noastră originală și obținem:
\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]
Totul, sarcina este rezolvată.
Sincer să fiu, nu a fost o sarcină atât de dificilă: totul a fost ușor de luat în calcul acolo, termeni similari au fost dați rapid și totul a fost frumos redus. Deci acum să încercăm să rezolvăm problema mai serios.
Sarcina numărul 5
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \dreapta)\]
În primul rând, să ne ocupăm de prima paranteză. De la bun început, factorăm separat numitorul celei de-a doua fracții:
\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \dreapta)\]
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]
\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ stânga(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]
\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \dreapta)\stanga(((x)^(2))+2x+4 \dreapta))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
Acum să lucrăm cu a doua fracție:
\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ stânga (x-2 \ dreapta))(\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (x+2 \ dreapta)) =\]
\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]
Revenim la designul nostru original și scriem:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]
Puncte cheie
Încă o dată, faptele cheie ale tutorialului video de astăzi:
- Trebuie să știi pe de rost formulele de înmulțire prescurtată - și nu doar să știi, ci să poți vedea în acele expresii pe care le vei întâlni în probleme reale. O regulă minunată ne poate ajuta cu asta: dacă există doi termeni, atunci aceasta este fie diferența de pătrate, fie diferența sau suma cuburilor; dacă trei, poate fi doar pătratul sumei sau al diferenței.
- Dacă orice construcție nu poate fi descompusă folosind formule de înmulțire abreviate, atunci ne vine în ajutor fie formula standard pentru factorizarea trinoamelor în factori, fie metoda grupării.
- Dacă ceva nu funcționează, priviți cu atenție expresia originală - și dacă sunt necesare transformări cu ea. Poate că va fi suficient doar să scoți multiplicatorul din paranteză, iar aceasta este deseori doar o constantă.
- În expresiile complexe în care trebuie să efectuați mai multe acțiuni la rând, nu uitați să aduceți la un numitor comun și numai după aceea, când toate fracțiile sunt reduse la acesta, asigurați-vă că aduceți același lucru în noul numărător și apoi factorizează din nou noul numărător - este posibil ca - să fie redus.
Atât am vrut să vă spun astăzi despre fracțiile raționale. Dacă ceva nu este clar, există încă o mulțime de tutoriale video pe site, precum și o mulțime de sarcini pentru o soluție independentă. Asa ca ramai cu noi!
