Mulți oameni cred că inegalitățile exponențiale sunt ceva atât de complicat și de neînțeles. Și că a învăța să le rezolvi este aproape o mare artă, pe care numai Aleșii sunt capabili să o înțeleagă...
Prostii complete! Inegalitățile exponențiale sunt ușoare. Și sunt întotdeauna ușor de rezolvat. Ei bine, aproape întotdeauna. :)
Astăzi vom analiza acest subiect pe larg. Această lecție va fi foarte utilă pentru cei care abia încep să înțeleagă această secțiune a matematicii școlare. Să începem cu sarcini simple și să trecem la probleme mai complexe. Nu va fi asprime astăzi, dar ceea ce urmează să citiți va fi suficient pentru a rezolva majoritatea inegalităților din toate tipurile de control și muncă independentă. Și la acest examen, de asemenea.
Ca întotdeauna, să începem cu o definiție. O inegalitate exponențială este orice inegalitate care conține o funcție exponențială. Cu alte cuvinte, poate fi întotdeauna redusă la o inegalitate a formei
\[((a)^(x)) \gt b\]
Unde rolul lui $b$ poate fi un număr obișnuit, sau poate ceva mai dur. Exemple? Da, te rog:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(X))). \\\end(align)\]
Cred că sensul este clar: există o funcție exponențială $((a)^(x))$, este comparată cu ceva și apoi i se cere să găsească $x$. În cazuri mai ales clinice, în locul variabilei $x$, pot pune o funcție $f\left(x \right)$ și astfel pot complica puțin inegalitatea. :)
Desigur, în unele cazuri, inegalitatea poate părea mai gravă. De exemplu:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Sau chiar asta:
În general, complexitatea unor astfel de inegalități poate fi foarte diferită, dar până la urmă ele se rezumă totuși la o construcție simplă $((a)^(x)) \gt b$. Și ne vom ocupa cumva de un astfel de design (în special în cazuri clinice, când nu ne vine nimic în minte, logaritmii ne vor ajuta). Prin urmare, acum vom învăța cum să rezolvăm astfel de construcții simple.
Rezolvarea celor mai simple inegalități exponențiale
Să ne uităm la ceva foarte simplu. De exemplu, aici este:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Evident, numărul din dreapta poate fi rescris ca o putere a doi: $4=((2)^(2))$. Astfel, inegalitatea originală este rescrisă într-o formă foarte convenabilă:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Iar acum mâinile sunt mâncărime să „trisească” zeii, stând în bazele gradelor, pentru a obține răspunsul $x \gt 2$. Dar înainte de a tăia ceva, să ne amintim puterile a doi:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
După cum puteți vedea, cu cât este mai mare numărul din exponent, cu atât este mai mare numărul de ieșire. — Mulțumesc, Cap! va exclama unul dintre elevi. Se întâmplă altfel? Din păcate, se întâmplă. De exemplu:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ dreapta))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Și aici totul este logic: cu cât gradul este mai mare, cu atât numărul 0,5 este înmulțit cu el însuși (adică se împarte la jumătate). Astfel, succesiunea de numere rezultată este în scădere, iar diferența dintre prima și a doua secvență este doar în bază:
- Dacă baza gradului $a \gt 1$, atunci pe măsură ce exponentul $n$ crește, va crește și numărul $((a)^(n))$;
- În schimb, dacă $0 \lt a \lt 1$, atunci pe măsură ce exponentul $n$ crește, numărul $((a)^(n))$ va scădea.
Rezumând aceste fapte, obținem cea mai importantă afirmație, pe care se bazează întreaga soluție a inegalităților exponențiale:
Dacă $a \gt 1$, atunci inegalitatea $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $x \gt n$. Dacă $0 \lt a \lt 1$, atunci inegalitatea $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $x \lt n$.
Cu alte cuvinte, dacă baza este mai mare decât unu, o puteți elimina pur și simplu - semnul inegalității nu se va schimba. Și dacă baza este mai mică de unu, atunci poate fi, de asemenea, eliminată, dar și semnul inegalității va trebui schimbat.
Rețineți că nu am luat în considerare opțiunile $a=1$ și $a\le 0$. Pentru că în aceste cazuri există incertitudine. Să presupunem cum se rezolvă o inegalitate de forma $((1)^(x)) \gt 3$? Un unu oricărei puteri va da din nou unul - nu vom primi niciodată un trei sau mai mult. Acestea. nu exista solutii.
Cu baze negative, este și mai interesant. Luați în considerare, de exemplu, următoarea inegalitate:
\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]
La prima vedere, totul este simplu:
Corect? Dar nu! Este suficient să înlocuiți câteva numere pare și câteva impare în loc de $x$ pentru a vă asigura că soluția este greșită. Aruncă o privire:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
După cum puteți vedea, semnele se alternează. Dar există încă grade fracționale și alte staniu. Cum, de exemplu, ați comanda să numărați $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus doi ridicați la rădăcina lui șapte)? În nici un caz!
Prin urmare, pentru certitudine, presupunem că în toate inegalitățile exponențiale (și ecuațiile, de altfel, de asemenea) $1\ne a \gt 0$. Și apoi totul este rezolvat foarte simplu:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(aliniere) \dreapta.\]
În general, amintiți-vă încă o dată regula principală: dacă baza din ecuația exponențială este mai mare decât unu, o puteți elimina pur și simplu; iar dacă baza este mai mică de unu, poate fi, de asemenea, eliminată, dar acest lucru va schimba semnul inegalității.
Exemple de soluții
Deci, luați în considerare câteva inegalități exponențiale simple:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]
Sarcina principală este aceeași în toate cazurile: reducerea inegalităților la cea mai simplă formă $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Aceasta este ceea ce vom face acum cu fiecare inegalitate și, în același timp, vom repeta proprietățile puterilor și funcția exponențială. Deci să mergem!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Ce se poate face aici? Ei bine, în stânga avem deja o expresie demonstrativă - nimic nu trebuie schimbat. Dar în dreapta este un fel de porcărie: o fracție și chiar o rădăcină în numitor!
Cu toate acestea, amintiți-vă regulile de lucru cu fracții și puteri:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]
Ce înseamnă? În primul rând, putem scăpa cu ușurință de fracție transformând-o într-un exponent negativ. Și în al doilea rând, deoarece numitorul este rădăcina, ar fi bine să-l transformăm într-un grad - de data aceasta cu un exponent fracționar.
Să aplicăm secvențial aceste acțiuni în partea dreaptă a inegalității și să vedem ce se întâmplă:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Nu uitați că atunci când ridicați un grad la o putere, se adaugă exponenții acestor grade. Și, în general, atunci când lucrați cu ecuații și inegalități exponențiale, este absolut necesar să cunoașteți cel puțin cele mai simple reguli pentru lucrul cu puteri:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]
De fapt, tocmai am aplicat ultima regulă. Prin urmare, inegalitatea noastră originală va fi rescrisă după cum urmează:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Acum scăpăm de zeul de la bază. Deoarece 2 > 1, semnul inegalității rămâne același:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
Asta e toata solutia! Principala dificultate nu este deloc în funcția exponențială, ci în transformarea competentă a expresiei originale: trebuie să o aduceți cu atenție și cât mai repede posibil la forma sa cea mai simplă.
Luați în considerare a doua inegalitate:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Asa si asa. Aici așteptăm fracțiile zecimale. După cum am spus de multe ori, în orice expresii cu puteri, ar trebui să scapi de fracțiile zecimale - adesea aceasta este singura modalitate de a vedea o soluție rapidă și ușoară. Iată de ce vom scăpa:
\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ dreapta))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]
În fața noastră este din nou cea mai simplă inegalitate, și chiar și cu baza 1/10, i.e. mai putin de unul. Ei bine, eliminăm bazele, schimbând simultan semnul de la „mai puțin” la „mai mare”, și obținem:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]
Am primit răspunsul final: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Vă rugăm să rețineți că răspunsul este exact mulțimea și în niciun caz nu este construcția formei $x \lt -1$. Pentru că formal, o astfel de construcție nu este deloc o mulțime, ci o inegalitate față de variabila $x$. Da, este foarte simplu, dar nu este răspunsul!
Notă importantă. Această inegalitate ar putea fi rezolvată într-un alt mod - prin reducerea ambelor părți la o putere cu o bază mai mare de unu. Aruncă o privire:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
După o astfel de transformare, obținem din nou o inegalitate exponențială, dar cu o bază de 10 > 1. Și asta înseamnă că puteți tăia pur și simplu zece - semnul inegalității nu se va schimba. Primim:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]
După cum puteți vedea, răspunsul este exact același. În același timp, ne-am salvat de nevoia de a schimba semnul și, în general, ne-am amintit câteva reguli de acolo. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Totuși, nu lăsa asta să te sperie. Indiferent ce se află în indicatori, tehnologia de rezolvare a inegalității în sine rămâne aceeași. Prin urmare, observăm mai întâi că 16 = 2 4 . Să rescriem inegalitatea inițială ținând cont de acest fapt:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Ura! Avem inegalitatea pătrată obișnuită! Semnul nu s-a schimbat nicăieri, deoarece baza este un doi - un număr mai mare decât unu.
Funcția zerouri pe linia numerică
Aranjam semnele functiei $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - evident, graficul acesteia va fi o parabolă cu ramuri în sus, deci vor fi „plusuri” ” pe laterale. Ne interesează regiunea în care funcția este mai mică decât zero, adică. $x\in \left(2;5 \right)$ este răspunsul la problema inițială.
În cele din urmă, luați în considerare o altă inegalitate:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Din nou vedem o funcție exponențială cu o fracție zecimală în bază. Să transformăm această fracție într-o fracție comună:
\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
În acest caz, am profitat de observația făcută mai devreme - am redus baza la numărul 5\u003e 1 pentru a simplifica decizia noastră ulterioară. Să facem același lucru cu partea dreaptă:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ dreapta))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Să rescriem inegalitatea inițială, ținând cont de ambele transformări:
\[(((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \dreapta)))\ge ((5)^(-2))\]
Bazele de pe ambele părți sunt aceleași și mai mari decât una. Nu există alți termeni la dreapta și la stânga, așa că pur și simplu „tașăm” cei cinci și obținem o expresie foarte simplă:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Aici trebuie să fii atent. Mulți studenți le place să ia pur și simplu rădăcina pătrată a ambelor părți ale inegalității și să scrie ceva de genul $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Nu ar trebui să faceți niciodată acest lucru, deoarece rădăcina pătratului exact este modulul și în niciun caz variabila inițială:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\dreapta|\]
Cu toate acestea, lucrul cu module nu este cea mai plăcută experiență, nu? Deci nu vom lucra. În schimb, pur și simplu mutăm toți termenii la stânga și rezolvăm inegalitatea obișnuită folosind metoda intervalului:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$
Din nou, notăm punctele obținute pe linia numerică și ne uităm la semnele:
Vă rugăm să rețineți: punctele sunt umbrite. Deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă, toate punctele din grafic sunt umbrite. Prin urmare, răspunsul va fi: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nu este un interval, ci un segment.
În general, aș dori să observ că nu este nimic complicat în inegalitățile exponențiale. Semnificația tuturor transformărilor pe care le-am efectuat astăzi se rezumă la un simplu algoritm:
- Găsiți baza la care vom reduce toate gradele;
- Efectuați cu atenție transformări pentru a obține o inegalitate de forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Desigur, în locul variabilelor $x$ și $n$ pot exista funcții mult mai complexe, dar asta nu schimbă sensul;
- Tăiați bazele gradelor. În acest caz, semnul de inegalitate se poate schimba dacă baza $a \lt 1$.
De fapt, acesta este un algoritm universal pentru rezolvarea tuturor acestor inegalități. Și tot ceea ce vi se va spune pe această temă este doar trucuri și trucuri specifice pentru a simplifica și accelera transformarea. Iată unul dintre acele trucuri despre care vom vorbi acum. :)
metoda de raționalizare
Luați în considerare un alt lot de inegalități:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right)))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \dreapta))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Ei bine, ce este atât de special la ei? De asemenea, sunt ușoare. Deși, oprește-te! Este pi ridicat la putere? Ce fel de prostii?
Și cum să ridici numărul $2\sqrt(3)-3$ la o putere? Sau $3-2\sqrt(2)$? Compilatorii problemelor au băut, evident, prea mult „păducel” înainte de a se așeza la muncă. :)
De fapt, nu este nimic în neregulă cu aceste sarcini. Permiteți-mi să vă reamintesc: o funcție exponențială este o expresie de forma $((a)^(x))$, unde baza $a$ este orice număr pozitiv, cu excepția unuia. Numărul π este pozitiv - știm deja acest lucru. Numerele $2\sqrt(3)-3$ și $3-2\sqrt(2)$ sunt de asemenea pozitive - acest lucru este ușor de văzut dacă le comparăm cu zero.
Se dovedește că toate aceste inegalități „terifiante” nu diferă cu nimic de cele simple discutate mai sus? Și ei o fac la fel? Da, absolut corect. Cu toate acestea, folosind exemplul lor, aș dori să iau în considerare un truc care economisește mult timp pentru munca independentă și examene. Vom vorbi despre metoda raționalizării. Deci atentie:
Orice inegalitate exponențială de forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ dreapta) \gt 0 $.
Asta e toată metoda. :) Te-ai gândit că va exista un fel de următor joc? Nimic de genul asta! Dar acest simplu fapt, scris literalmente într-o singură linie, ne va simplifica foarte mult munca. Aruncă o privire:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
Aici nu mai există funcții exponențiale! Și nu trebuie să vă amintiți dacă semnul se schimbă sau nu. Dar apare o nouă problemă: ce să faci cu multiplicatorul nenorocit \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nu știm care este valoarea exactă a lui pi. Cu toate acestea, căpitanul pare să sugereze ceea ce este evident:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]
În general, valoarea exactă a lui π nu ne deranjează prea mult - este important doar pentru noi să înțelegem că în orice caz $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. este o constantă pozitivă și putem împărți ambele părți ale inegalității cu aceasta:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
După cum puteți vedea, la un moment dat, a trebuit să împărțim cu minus unu, iar semnul inegalității s-a schimbat. La final, am extins trinomul pătrat conform teoremei Vieta - este evident că rădăcinile sunt egale cu $((x)_(1))=5$ și $((x)_(2))=- 1 $. Apoi totul este rezolvat prin metoda clasică a intervalelor:
Rezolvăm inegalitatea prin metoda intervalelor Toate punctele sunt perforate deoarece inegalitatea originală este strictă. Ne interesează zona cu valori negative, deci răspunsul este $x\in \left(-1;5 \right)$. asta e solutia. :)
Să trecem la următoarea sarcină:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Totul este simplu aici, pentru că în dreapta este o unitate. Și ne amintim că o unitate este orice număr ridicat la puterea lui zero. Chiar dacă acest număr este o expresie irațională, stând la baza din stânga:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \dreapta))^(0)); \\\end(align)\]
Deci hai sa rationalizam:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Rămâne doar să ne ocupăm de semne. Multiplicatorul $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ nu conține variabila $x$ - este doar o constantă și trebuie să aflăm semnul acesteia. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrice)\]
Se pare că al doilea factor nu este doar o constantă, ci o constantă negativă! Și la împărțirea cu acesta, semnul inegalității originale se va schimba în opus:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Acum totul devine destul de evident. Rădăcinile trinomului pătrat din dreapta sunt $((x)_(1))=0$ și $((x)_(2))=2$. Le marchem pe linia numerică și ne uităm la semnele funcției $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Cazul când ne interesează intervalele laterale Ne interesează intervalele marcate cu semnul plus. Rămâne doar să scrieți răspunsul:
Să trecem la următorul exemplu:
\[((\left(\frac(1)(3) \right)))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ dreapta))^(16-x))\]
Ei bine, totul este destul de evident aici: bazele sunt puteri de același număr. Prin urmare, voi scrie totul pe scurt:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \În jos \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrice)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ stânga(16-x\dreapta))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
După cum puteți vedea, în procesul transformărilor, a trebuit să înmulțim cu un număr negativ, așa că semnul inegalității s-a schimbat. La final, am aplicat din nou teorema lui Vieta pentru a factoriza un trinom pătrat. Ca urmare, răspunsul va fi următorul: $x\in \left(-8;4 \right)$ - cei care doresc pot verifica acest lucru prin trasarea unei linii numerice, marcarea punctelor și numărarea semnelor. Între timp, vom trece la ultima inegalitate din „setul” nostru:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
După cum puteți vedea, baza este din nou un număr irațional, iar unitatea este din nou în dreapta. Prin urmare, rescriem inegalitatea noastră exponențială după cum urmează:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ dreapta))^(0))\]
Să raționalizăm:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Cu toate acestea, este destul de evident că $1-\sqrt(2) \lt 0$, deoarece $\sqrt(2)\aproximativ 1,4... \gt 1$. Prin urmare, al doilea factor este din nou o constantă negativă, prin care ambele părți ale inegalității pot fi împărțite:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrice)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Schimbați-vă la altă bază
O problemă separată în rezolvarea inegalităților exponențiale este căutarea bazei „corecte”. Din păcate, la prima vedere asupra sarcinii, este departe de a fi întotdeauna evident ce să ia ca bază și ce să faci ca grad de bază.
Dar nu vă faceți griji: aici nu există magie și tehnologii „secrete”. În matematică, orice abilitate care nu poate fi algoritmizată poate fi dezvoltată cu ușurință prin practică. Dar pentru aceasta va trebui să rezolvați probleme de diferite niveluri de complexitate. De exemplu, acestea sunt:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ sfârşitul (alinierea)\]
Complicat? Infricosator? Da, e mai ușor decât un pui pe asfalt! Sa incercam. Prima inegalitate:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Ei bine, cred că totul este clar aici:
Rescriem inegalitatea originală, reducând totul la baza „două”:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Da, da, ați înțeles bine: tocmai am aplicat metoda de raționalizare descrisă mai sus. Acum trebuie să lucrăm cu atenție: avem o inegalitate fracțională-rațională (aceasta este una care are o variabilă la numitor), așa că înainte de a echivala ceva cu zero, trebuie să reduceți totul la un numitor comun și să scăpați de factorul constant .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Acum folosim metoda intervalului standard. Zerourile numeratorului: $x=\pm 4$. Numitorul ajunge la zero numai atunci când $x=0$. În total, sunt trei puncte care ar trebui marcate pe linia numerică (toate punctele sunt scoase, deoarece semnul inegalității este strict). Primim:
Caz mai complicat: trei rădăcini După cum ați putea ghici, hașura marchează intervalele la care expresia din stânga ia valori negative. Prin urmare, două intervale vor intra în răspunsul final simultan:
Capetele intervalelor nu sunt incluse în răspuns deoarece inegalitatea inițială a fost strictă. Nu este necesară nicio validare suplimentară a acestui răspuns. În acest sens, inegalitățile exponențiale sunt mult mai simple decât cele logaritmice: fără DPV, fără restricții etc.
Să trecem la următoarea sarcină:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Nici aici nu există probleme, deoarece știm deja că $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, deci întreaga inegalitate poate fi rescrisă astfel:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\stânga(-2\dreapta)\dreapta. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Vă rugăm să rețineți: în a treia linie, am decis să nu pierd timpul cu fleacuri și să împart imediat totul la (−2). Minul a intrat în prima paranteză (acum sunt plusuri peste tot), iar deuce a fost redus cu un multiplicator constant. Este exact ceea ce ar trebui să faceți atunci când faceți calcule reale pentru munca independentă și de control - nu trebuie să pictați direct fiecare acțiune și transformare.
În continuare, intră în joc metoda familiară a intervalelor. Zerurile numărătorului: dar nu există. Pentru că discriminantul va fi negativ. La rândul său, numitorul este setat la zero numai atunci când $x=0$ - la fel ca data trecută. Ei bine, este clar că fracția va lua valori pozitive la dreapta lui $x=0$ și negative la stânga. Deoarece ne interesează doar valorile negative, răspunsul final este $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]
Și ce ar trebui făcut cu fracțiile zecimale în inegalități exponențiale? Așa este: scapă de ele transformându-le în altele obișnuite. Aici traducem:
\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \right))^(x)). \\\end(align)\]
Ei bine, ce am obținut în bazele funcțiilor exponențiale? Și avem două numere reciproc reciproce:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ dreapta))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ stânga(\frac(4)(25) \dreapta))^(-x))\]
Astfel, inegalitatea originală poate fi rescrisă după cum urmează:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \dreapta))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]
Desigur, la înmulțirea puterilor cu aceeași bază, indicatorii lor se adună, ceea ce s-a întâmplat în a doua linie. In plus, am reprezentat unitatea in dreapta, tot ca putere in baza 4/25. Rămâne doar să raționalizezi:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Rețineți că $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, adică. cel de-al doilea factor este o constantă negativă, iar atunci când este împărțit la acesta, semnul inegalității se va schimba:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
În cele din urmă, ultima inegalitate din „mulțimea” actuală:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
În principiu, ideea unei soluții aici este de asemenea clară: toate funcțiile exponențiale care compun inegalitatea trebuie reduse la baza „3”. Dar pentru asta trebuie să te joci puțin cu rădăcini și grade:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac((((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]
Având în vedere aceste fapte, inegalitatea inițială poate fi rescrisă după cum urmează:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]
Atenție la rândul 2 și 3 de calcule: înainte de a face ceva cu inegalitatea, asigurați-vă că îl aduceți la forma despre care am vorbit încă de la începutul lecției: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Atâta timp cât aveți multiplicatori stânga sau dreapta stânga, constante suplimentare etc., nu poate fi efectuată nicio raționalizare și „radiere” a terenurilor! Nenumărate sarcini au fost greșite din cauza unei neînțelegeri a acestui simplu fapt. Eu însumi observ constant această problemă cu studenții mei când abia începem să analizăm inegalitățile exponențiale și logaritmice.
Dar să revenim la sarcina noastră. Să încercăm de data asta să facem fără raționalizare. Ne amintim: baza gradului este mai mare decât unu, astfel încât triplele pot fi pur și simplu tăiate - semnul inegalității nu se va schimba. Primim:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]
Asta e tot. Răspuns final: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Evidențierea unei expresii stabile și înlocuirea unei variabile
În concluzie, îmi propun să rezolvăm încă patru inegalități exponențiale, care sunt deja destul de dificile pentru elevii nepregătiți. Pentru a le face față, trebuie să vă amintiți regulile de lucru cu grade. În special, scoaterea din paranteze a factorilor comuni.
Dar cel mai important lucru este să înveți să înțelegi: ce anume poate fi pus în paranteze. O astfel de expresie se numește stabilă - poate fi notată printr-o nouă variabilă și astfel scăpați de funcția exponențială. Deci, să ne uităm la sarcini:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Să începem cu prima linie. Să scriem separat această inegalitate:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Rețineți că $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, astfel încât partea dreaptă poate fi rescris:
Rețineți că nu există alte funcții exponențiale cu excepția $((5)^(x+1))$ în inegalitate. Și, în general, variabila $x$ nu apare în altă parte, așa că să introducem o nouă variabilă: $((5)^(x+1))=t$. Obținem următoarea construcție:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]
Revenim la variabila originală ($t=((5)^(x+1))$), și în același timp ne amintim că 1=5 0 . Noi avem:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]
Asta e toata solutia! Răspuns: $x\în \left[ -1;+\infty \right)$. Să trecem la a doua inegalitate:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Totul este la fel aici. Rețineți că $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Apoi partea stângă poate fi rescrisă:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \dreapta. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]
Cam așa trebuie să elaborezi o decizie privind controlul real și munca independentă.
Ei bine, hai să încercăm ceva mai dificil. De exemplu, iată o inegalitate:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Care este problema aici? În primul rând, bazele funcțiilor exponențiale din stânga sunt diferite: 5 și 25. Cu toate acestea, 25 \u003d 5 2, deci primul termen poate fi transformat:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left((((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align) )\]
După cum puteți vedea, la început am adus totul la aceeași bază, apoi am observat că primul termen este ușor redus la al doilea - este suficient doar să extindeți exponentul. Acum putem introduce în siguranță o nouă variabilă: $((5)^(2x+2))=t$, iar întreaga inegalitate va fi rescrisă astfel:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]
Din nou, nicio problemă! Răspuns final: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Trecând la inegalitatea finală în lecția de astăzi:
\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Primul lucru la care ar trebui să acordați atenție este, desigur, fracția zecimală din baza primului grad. Este necesar să scăpați de el și, în același timp, să aduceți toate funcțiile exponențiale la aceeași bază - numărul „2”:
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Grozav, am făcut primul pas - totul a dus la aceeași fundație. Acum trebuie să evidențiem expresia stabilă. Rețineți că $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Dacă introducem o nouă variabilă $((2)^(4x+6))=t$, atunci inegalitatea originală poate fi rescrisă după cum urmează:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]
Desigur, poate apărea întrebarea: cum am aflat că 256 = 2 8? Din păcate, aici trebuie doar să cunoști puterile lui doi (și în același timp puterile lui trei și cinci). Ei bine, sau împărțiți 256 la 2 (puteți împărți, deoarece 256 este un număr par) până când obținem rezultatul. Va arata cam asa:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
La fel este și cu cele trei (numerele 9, 27, 81 și 243 sunt puterile sale), și cu cele șapte (numerele 49 și 343 ar fi, de asemenea, bine de reținut). Ei bine, cei cinci au și grade „frumoase” pe care trebuie să le știi:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]
Desigur, toate aceste numere, dacă se dorește, pot fi restaurate în minte, pur și simplu înmulțindu-le succesiv unele cu altele. Totuși, atunci când trebuie să rezolvi mai multe inegalități exponențiale, iar fiecare următoare este mai dificilă decât cea anterioară, atunci ultimul lucru la care vrei să te gândești este puterile unor numere de acolo. Și în acest sens, aceste probleme sunt mai complexe decât inegalitățile „clasice”, care se rezolvă prin metoda intervalului.
Sper că această lecție te-a ajutat să stăpânești acest subiect. Dacă ceva nu este clar, întrebați în comentarii. Și ne vedem în următoarele tutoriale. :)
Tema 6. Ecuații și inecuații exponențiale și logaritmice (11 ore)
Subiectul lecției. Inegalități care se reduc la cele mai simple prin înlocuirea necunoscutului.
Scopul lecției: Formarea deprinderilor de rezolvare a inegalităților exponențiale și logaritmice, prin reducerea la cele mai simple, prin înlocuirea necunoscutului.
Sarcini:
Educativ: repetați și consolidați cunoștințele pe tema „rezolvarea celor mai simple inegalități exponențiale și logaritmice”, învățați cum să rezolvați inegalitățile logaritmice și exponențiale prin metoda înlocuirii.
Dezvoltarea: formarea capacității elevului de a distinge două tipuri de inegalități și determinarea modalităților de rezolvare a acestora (gândirea logică și intuitivă, fundamentarea judecăților, clasificarea, compararea), formarea abilităților de autocontrol și autoexaminare, capacitatea de a se mișca conform unui algoritm dat, evaluați și corectați rezultatul.
Educațional: să continue formarea unor astfel de calități ale elevilor precum: capacitatea de a se asculta unii pe alții; capacitatea de a exercita control reciproc și autoevaluare.
Tip de lecție: combinată.
Manual de Algebră Clasa 10 S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin
În timpul orelor
Organizarea timpului.
Verificarea temelor.
Actualizarea cunoștințelor de bază.
Frontal:
1. Ce inegalități se numesc cele mai simple inegalități exponențiale?
2. Explicați care este sensul rezolvării celor mai simple inegalități exponențiale.
3. Ce inegalități se numesc cele mai simple inegalități logaritmice?
4. Explicați care este sensul rezolvării celor mai simple inegalități logaritmice.
Cu o notă pe tablă (1 elev fiecare):
Rezolvați inegalitățile
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Explicarea noului material și consolidarea treptată a acestuia.
1.1. Explicația noului material.
1. Rezolvați inegalitatea:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, atunci
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Suntem interesați de semnul „−−”, apoi obținem
Răspuns:x∈(1;2)
2. Rezolvați inegalitatea
1.2. Întărire pas cu pas.
Nr. 6.49(a, c).
Nr. 6.52(e).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4x2=1
Răspuns: -∞;1∪54;+∞v) (13) 5x2-4x-3> 95x2-4x-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Răspuns: -15; 1e) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3
Răspuns: -2;-1∪3;42.1. Explicația noului material.
3. Rezolvați inegalitatea
Atunci 1 inegalitate are sens pentru tot x, iar a doua
2.2. Întărire pas cu pas.
Rezolvați inegalitatea #6.56(c)
3.1. Explicația noului material.
4. Rezolvați inegalitatea
3.2. Întărire pas cu pas.
Rezolvați inegalitatea #6.60(a)
Rezumând lecția.
Reflecţie.
Teme pentru acasă.
P. 6.6
nr. 6.49 (b, d)
nr. 6.52 (a, b)
nr. 6.56 (d)
nr. 6.60 (b)
Fișiere atașate
MOU profesor de matematică - școala secundară Nr. 2 r.p. Stepnoe Trufyakova Galina Ivanovna site-ul
slide 2
Rezumatul lecției
Tema „Inegalități exponative” este cea mai importantă temă a matematicii. Conform manualului de S. M. Nikolsky, se studiază în clasa a X-a și se alocă 2 ore pentru studiul său în planificare: 1 oră - Cele mai simple inegalități exponențiale; 1 oră - Inegalități care se reduc la cea mai simplă înlocuire a necunoscutului. În acest timp, este necesar să se prezinte elevilor materiale noi și foarte voluminoase, să-i învețe să rezolve toate tipurile de inegalități exponențiale și să elaboreze bine aceste abilități și abilități.De aceea, lecții de formare a noilor cunoștințe sub formă de prelegeri folosind tehnologia informaţiei şi comunicaţiilor permit rezolvarea rapidă şi cu mare succes a acestor probleme.
slide 3
slide 4
Albert Einstein
„Trebuie să-mi împart timpul între politică și rezolvarea ecuațiilor și inegalităților. Totuși, soluția ecuațiilor și inegalităților, după părerea mea, este mult mai importantă, pentru că politica există doar pentru acest moment, iar ecuațiile și inegalitățile vor exista pentru totdeauna.
slide 5
Structura lecției
Moment organizatoric Stabilirea scopurilor si obiectivelor Planul cursului Actualizarea cunostintelor elevilor sub forma repetarii materialelor studiate anterior Introducerea cunostintelor noi Consolidarea cunostintelor sub forma unui interviu Rezumarea lectiei Tema pentru casa
slide 6
Organizarea timpului
Salutați elevii Înregistrați în jurnalul clasei numele elevilor care lipsesc de la clasă
Slide 7
Stabilirea scopurilor si obiectivelor
Anunțați studenților la începutul lecției scopurile și obiectivele acesteia. Prezentați studenților planul de curs și notați-l într-un caiet
Slide 8
Obiectivele lecției
Educațional Formarea conceptului de inegalități exponențiale Familiarizarea elevilor cu tipuri de inegalități exponențiale Formarea deprinderilor și abilităților de rezolvare a inegalităților exponențiale
Slide 9
Educație Educație pentru harnicie Educație pentru independență în atingerea scopului Formarea abilităților de calcul Formarea abilităților estetice la notarea
Slide 10
Dezvoltarea Dezvoltarea activității mentale Dezvoltarea inițiativei creative Dezvoltarea activității cognitive Dezvoltarea vorbirii și a memoriei
diapozitivul 11
Obiectivele lecției
Repetați proprietățile unei funcții exponențiale Repetați regulile de rezolvare a inegalităților pătrate și fracționale raționale Elaborați un algoritm pentru rezolvarea celor mai simple inegalități exponențiale Învățați elevii să facă distincția între tipurile de inegalități exponențiale Învățați elevii să rezolve inegalitățile exponențiale
slide 12
Tipul de lecție
Lecție de formare a noilor cunoștințe
diapozitivul 13
Tipul de lecție
Lecție - prelegere
Slide 14
Metode de predare
Căutare euristică explicativă-ilustrativă problematică
diapozitivul 15
Tehnologia de învățare
Tehnologia informației și comunicațiilor bazată pe învățarea bazată pe probleme
slide 16
Planul cursului
Repetarea proprietăților unei funcții exponențiale Cele mai simple inegalități exponențiale Inegalitățile exponențiale care se reduc la cele mai simple Inegalitățile exponențiale care se reduc la inegalități pătratice Inegalități exponențiale omogene de gradul I Inegalități exponențiale omogene de gradul doi Inegalități exponențiale care reduc la inegalități raționale de gradul doi. Inegalități exponențiale non-standard
Slide 17
Repetarea materialului studiat anterior
Rezolvați pe tablă și în caiete: a) inegalități pătrate: x² - 2x - 1≥0 x² - 2x - 3 ≤0 b) inegalități fracționare-raționale: (x - 5) \ (x - 2) ≤ 0
Slide 18
Repetarea proprietăților funcției exponențiale
Slide 19
descrescătoare monoton pe R Axa x este o asimptotă orizontală care crește monoton pe R 8. Pentru orice valori reale ale lui x și y; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Asimptotă 6. Extrema 5. Monotonicitate 4. Uniformitate, ciudățenie 3. Intervale de comparare a valorilor unei funcții cu unitatea 2. Gama de valori ale unei funcții nu are extreme Funcția nu este nici par, nici impar (general) funcţie).
Slide 20
Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare Sarcina numărul 1 Aflați domeniul funcției
diapozitivul 21
Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare Sarcina numărul 2 Determinați valorile
slide 22
Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de soluționare Sarcina № 3 Determinați tipul funcției crescătoare descrescătoare crescătoare descrescătoare
slide 23
Introducerea de noi cunoștințe
slide 24
Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de soluție DEFINIȚIA celor mai simple inegalități exponențiale: Fie a un număr pozitiv dat nu egal cu unu și b un număr real dat. Atunci inegalitățile ax>b (ax≥b) și ax
Slide 25
Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare Soluția unei inegalități cu x necunoscut este numărul x0, la substituirea lui în inegalitate se obține o inegalitate numerică adevărată.
slide 26
Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare CE ÎNSEAMNĂ a rezolva o inegalitate? A rezolva o inegalitate înseamnă a găsi toate soluțiile ei sau a arăta că nu există.
Slide 27
Se consideră poziția relativă a graficului funcției y=ax, a>0, a≠1 și a dreptei y=b. Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare y x y x y=b, b 0 y=b, b> 0 0 1 0 1 x0 x0
Slide 28
Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare este situat sub curba y=ax, deci inegalitățile ax>b(ax≥b) sunt valabile pentru xR, iar inegalitățile ax
Slide 29
CONCLUZIA №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Inegalități exponențiale, tipurile și metodele lor de soluție Dacă a>1 și b > 0, atunci pentru fiecare x1 x0- sub linia y=b. 1 Pentru b> 0, dreapta y = b intersectează graficul funcției y= ax într-un singur punct, a cărui abscisă este x0 = logab
slide 30
CONCLUZIA №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 1 Inegalități exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare a fiecărui x2 0, dreapta y = b intersectează graficul funcției y= ax într-un singur punct , a cărei abscisă este x0 = logab x2
Slide 31
Cele mai simple inegalități exponențiale Inegalități exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare
slide 32
Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare Exemplul nr. 1.1 Răspuns: crește pe întregul domeniu de definiție, Soluție:
Slide 33
Inegalitatile exponentiale, tipurile lor si metode de rezolvare Exemplul nr. 1.2 Rezolvare: Raspuns: scade pe intregul domeniu de definitie,
slide 34
Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de soluționare Exemplul nr. 1.3 Soluție: Răspuns: crește pe întregul domeniu de definiție,
Slide 35
Inegalități exponențiale, tipurile lor și metode de rezolvare Tipuri de inegalități exponențiale și metode de rezolvare a acestora
slide 36
Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele de rezolvare ale acestora Exemplul nr. 1.4 Rezolvare: crește pe întregul domeniu de definiție, Răspuns:
Slide 37
Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele de rezolvare ale acestora
Slide 38
Inegalitati exponentiale, tipurile lor si metode de rezolvare Tipuri de inegalitati exponentiale si metode de rezolvare a acestora 2) Inegalitati exponentiale care se reduc la inegalitati patratice
Slide 39
Inegalitatile exponentiale, tipurile lor si metode de rezolvare Tipuri de inegalitati exponentiale si metode de rezolvare a acestora 3) Inegalitati exponentiale omogene de gradul I si II. Inegalități exponențiale omogene de gradul I Exemplul nr. 1 crește pe întregul domeniu de definiție Răspuns: Soluție:
Inegalități exponențiale, tipurile lor și metode de rezolvare Tipuri de inegalități exponențiale și metode de rezolvare a acestora 4) Inegalități exponențiale care se reduc la inegalități raționale
slide 43
Inegalități exponențiale, tipurile lor și metode de rezolvare Tipuri de inegalități exponențiale și metode de rezolvare a acestora 5) Inegalități exponențiale nestandardizate Exemplu Soluție: Să rezolvăm fiecare enunț al mulțimii separat. Inegalitatea este egală cu agregat
Slide 44
Inegalități exponențiale, tipurile lor și metode de rezolvare Tipuri de inegalități exponențiale și metode de rezolvare a acestora nu este o soluție a ecuației. Asa de,
Slide 45
Consolidarea cunoștințelor
Ce inegalități se numesc exponențiale? Când o inegalitate exponențială are o soluție pentru orice valoare a lui x? Când o inegalitate exponențială nu are soluții? Ce tipuri de inegalități ați învățat în această lecție? Cum se rezolvă inegalitățile simple? Cum se rezolvă inegalitățile reduse la pătrate? Cum se rezolvă inegalitățile omogene? Cum se rezolvă inegalitățile la cele raționale?
Slide 46
Rezumatul lecției
Aflați ce au învățat elevii în această lecție. Atribuiți note elevilor pentru lucrul din lecție cu comentarii detaliate
Slide 47
Teme pentru acasă
Manual pentru clasa a 10-a „Algebra și începutul analizei” Autor S.M. Nikolsky Pentru a studia paragrafele 6.4 și 6.6, nr. 6.31-6.35 și nr. 6.45-6.50 rezolvați
Slide 48
Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare
Locul de lucru, postul: — MOU-SOSH r.p. Pușkino, profesor
Regiunea: — Regiunea Saratov
Caracteristicile lecției (clasei) Nivelul de studii: - studii medii (complete) generale
Public țintă: – Student (student)
Public țintă: – Profesor (profesor)
Clasa(ele): – Nota a 10-a
Subiect(e): – Algebră
Scopul lecției: - didactic: să perfecționeze tehnicile și metodele de bază de rezolvare a inegalităților logaritmice și exponențiale și să se asigure că toți elevii stăpânesc metodele algoritmice de bază pentru rezolvarea inegalităților exponențiale și logaritmice; dezvoltarea: dezvoltarea gândirii logice, a memoriei, a interesului cognitiv, a continua formarea vorbirii matematice, a dezvolta capacitatea de a analiza și compara; educațional: să se obișnuiască cu designul estetic al notelor dintr-un caiet, capacitatea de a-i asculta pe ceilalți și capacitatea de a comunica, insufla acuratețe și diligență.
Tipul lecției: - Lecție de generalizare și sistematizare a cunoștințelor
Elevi din clasă (audiență): - 25
Scurtă descriere: - Rezolvarea inegalităților exponențiale și logaritmice este considerată una dintre cele mai dificile subiecte din matematică și cere elevilor să aibă cunoștințe teoretice bune, capacitatea de a le aplica în practică, necesită atenție, sârguință și inteligență rapidă. Tema discutată în lecție este depusă și la examenele de admitere la universități și la examenele finale. Acest tip de lecție dezvoltă gândirea logică, memoria, interesul cognitiv, contribuie la dezvoltarea capacității de a analiza, compara și asculta pe ceilalți.
Etapele lecției și conținutul acestora
Timp
(min)
activitate
profesori
student
1. Etapa organizatorică
organizatoric
Raportați absenții.
2. Stabilirea obiectivelor
Astăzi, în lecție, vom continua să elaborăm metodele și metodele de bază studiate pentru rezolvarea inegalităților exponențiale și logaritmice și vom lua în considerare și alte modalități de rezolvare a inegalităților logaritmice și exponențiale: aceasta este trecerea la inegalitățile raționale prin înlocuirea necunoscutului și, de asemenea, o modalitate de împărțire a ambelor părți ale inegalității la un număr pozitiv.
Informează subiectul lecției, data lecției, scopul lecției
Notează într-un caiet
3.Verificarea temelor
La cererea elevilor, cheamă 3 persoane la consiliu, în paralel conduce o conversație frontală pe probleme teoretice
Patru oameni lucrează la tablă, restul participă la un sondaj teoretic
Acasă, vi s-a cerut să rezolvați inegalitățile logaritmice și exponențiale pentru două niveluri de complexitate. Să vedem soluția unora dintre ele
6,49(a); 6.52(d) 6.56(b), 6.54(b).
4. Actualizarea cunoștințelor elevilor
Să ne amintim ce metode am discutat în ultima lecție.
Astăzi vom lua în considerare inegalitățile, care, după introducerea unei noi necunoscute, se transformă în inegalități raționale.
Pentru a face acest lucru, amintiți-vă care este soluția unei inegalități raționale de forma A(x) / B(x)>0? Ce metodă este folosită pentru a rezolva inegalitățile raționale?
5. Îmbunătățirea cunoștințelor și aptitudinilor elevilor
xx
Exemplul 1)2 - 9 / (2 -1)0
3 min
x +0,5xx +0,5
3). 25- 710+4>0
3 min
5).Repararea unuia nou.
Făcând exerciții la tablă
6.48(.g);6.58(b);6.59(b) -la consiliu 6.62(c)
Se referă la alegerea unei metode de soluție rațională. monitorizează alfabetizarea raționamentului și înregistrarea corectă a soluției inegalității. Oferă o estimare pentru muncă
Un elev decide la tablă. Restul notează soluția într-un caiet.
6) Muncă independentă diferențiată (sarcină pe ecran)
nivelul 1:
1 opțiune 2 opțiune
nr. 6.48(b), nr. 6.48(e);
nr. 6.58 (a); nr. 6.58 (c)
Nivelul 2:
1 opțiune 2 opțiune
nr. 6.61(b), nr. 6.61(d);
Nr. 6.62 (c) Nr. 6.62 (g).
5 minute
2 persoane lucrează individual pe bordul lateral. Restul efectuează lucrări independente pe mai multe niveluri pe teren.
7) Verificare de lucru pe cont propriu
3 min
8) Tema pentru acasă (pe ecran)
Nivelul 1 p.6.6; Nr. 6.48 (a.); Nr. 6.57 (1 articol); Nr. 6.50 (a).
Nivelul 2: p.6.6;Nr.6.59(c); nr. 6.62 (a); nr. 158 (pag. 382); nr. 168 (a, b) (pag. 383)
2 minute
Explică temele, atrăgând atenția elevilor asupra faptului că teme similare au fost rezolvate în clasă.
Ultimele două sarcini au fost oferite la admiterea la Universitatea de Stat din Moscova și MTITF.
După ce ai ascultat cu atenție profesorul, notează temele. Nivelul de dificultate îl alegeți singur.
8) Rezumatul lecției: Rezolvarea inegalităților exponențiale și logaritmice este considerată una dintre subiectele dificile ale cursului școlar de matematică și presupune ca elevii să aibă cunoștințe teoretice bune, capacitatea de a le aplica în practică, necesită atenție, diligență, inteligență rapidă, aceasta tocmai din acest motiv inegalitățile avute în vedere la lecție sunt supuse la examenele introductive pentru universități și la examenele finale.Azi la lecție toți au lucrat foarte bine și au primit următoarele note
Mulțumiri tuturor.
2 minute
Fișiere:
Mărime fișier: 6789120 octeți.
