Geometria este o știință cu multe fațete. Ea dezvoltă logica, imaginația și inteligența. Desigur, din cauza complexității sale și a numărului mare de teoreme și axiome, școlarilor nu le place întotdeauna. În plus, este nevoie să-și dovedească în mod constant concluziile folosind standarde și reguli general acceptate.

Unghiurile adiacente și verticale sunt parte integrantă a geometriei. Cu siguranță mulți școlari le adoră pur și simplu pentru că proprietățile lor sunt clare și ușor de dovedit.

Formarea colțurilor

Orice unghi se formează prin intersecția a două drepte sau prin trasarea a două raze dintr-un punct. Ele pot fi numite fie o literă, fie trei, care desemnează succesiv punctele de construcție ale colțului.

Unghiurile sunt măsurate în grade și pot fi numite diferit (în funcție de valoarea lor). Deci, există un unghi drept, acut, obtuz și desfășurat. Fiecare dintre nume corespunde unei anumite măsurători de grad sau intervalului acesteia.

Un unghi ascuțit este un unghi a cărui măsură nu depășește 90 de grade.

Un unghi obtuz este un unghi mai mare de 90 de grade.

Un unghi se numește drept când măsura lui este de 90.

În cazul în care este format dintr-o linie dreaptă continuă, iar gradul său este 180, se numește desfășurat.

Unghiurile care au o latură comună, a cărei latură a doua se continuă între ele, se numesc adiacente. Ele pot fi fie ascuțite, fie contondente. Intersecția dreptei formează unghiuri adiacente. Proprietățile lor sunt după cum urmează:

1. Suma acestor unghiuri va fi egală cu 180 de grade (există o teoremă care demonstrează acest lucru). Prin urmare, unul dintre ele poate fi ușor de calculat dacă celălalt este cunoscut.
2. Din primul punct rezultă că unghiurile adiacente nu pot fi formate din două unghiuri obtuze sau două unghiuri acute.

Datorită acestor proprietăți, se poate calcula întotdeauna măsura gradului unui unghi având în vedere valoarea altui unghi, sau cel puțin raportul dintre ele.

Unghiuri verticale

Unghiurile ale căror laturi sunt o continuare una a celeilalte se numesc verticale. Oricare dintre soiurile lor poate acționa ca o astfel de pereche. Unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele.

Ele se formează atunci când liniile se intersectează. Împreună cu acestea, colțurile adiacente sunt întotdeauna prezente. Un unghi poate fi atât adiacent pentru unul, cât și vertical pentru celălalt.

Când traversați o linie arbitrară, sunt luate în considerare și mai multe tipuri de unghiuri. O astfel de linie se numește secantă și formează unghiurile corespunzătoare, unilaterale și încrucișate. Sunt egali unul cu altul. Ele pot fi vizualizate în lumina proprietăților pe care le au unghiurile verticale și adiacente.

Astfel, subiectul colțurilor pare a fi destul de simplu și de înțeles. Toate proprietățile lor sunt ușor de reținut și de dovedit. Rezolvarea problemelor nu este dificilă atâta timp cât unghiurile corespund unei valori numerice. Deja mai departe, când începe studiul păcatului și cosului, va trebui să memorezi multe formule complexe, concluziile și consecințele lor. Până atunci, vă puteți bucura de puzzle-uri ușoare în care trebuie să găsiți colțuri adiacente.

CAPITOLUL I.

NOȚIUNI DE BAZĂ.

§unsprezece. UNGHIURI ADJACENTE SI VERTICALE.

1. Colțuri adiacente.

Dacă continuăm partea unui colț dincolo de vârful său, vom obține două colțuri (Fig. 72): / Un soare și / SVD, în care o parte BC este comună, iar celelalte două AB și BD formează o linie dreaptă.

Două unghiuri care au o latură în comun și celelalte două formează o linie dreaptă se numesc unghiuri adiacente.

Unghiurile adiacente se pot obține și în acest fel: dacă desenăm o rază dintr-un punct de pe o dreaptă (nu se află pe o dreaptă dată), atunci obținem unghiuri adiacente.
De exemplu, / ADF și / FDВ - colțuri adiacente (Fig. 73).

Colțurile adiacente pot avea o mare varietate de poziții (Fig. 74).

Unghiurile adiacente se adaugă la un unghi drept, deci umma a două unghiuri adiacente este 2d.

Prin urmare, un unghi drept poate fi definit ca un unghi egal cu unghiul său adiacent.

Cunoscând valoarea unuia dintre unghiurile adiacente, putem afla valoarea celuilalt unghi adiacent.

De exemplu, dacă unul dintre unghiurile adiacente este 3/5 d, atunci al doilea unghi va fi egal cu:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Unghiuri verticale.

Dacă extindem laturile unui unghi dincolo de vârful său, obținem unghiuri verticale. În desenul 75, unghiurile EOF și AOC sunt verticale; unghiurile AOE și COF sunt de asemenea verticale.

Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt prelungiri ale laturilor celuilalt unghi.

Lasa / 1 = 7 / 8 d(Fig. 76). Adiacent acestuia / 2 va fi egal cu 2 d- 7 / 8 d, adică 1 1/8 d.

În același mod, puteți calcula cu ce sunt egale / 3 și / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Fig. 77).

Vedem asta / 1 = / 3 și / 2 = / 4.

Puteți rezolva mai multe probleme din aceleași, și de fiecare dată obțineți același rezultat: unghiurile verticale sunt egale între ele.

Cu toate acestea, pentru a vă asigura că unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele, nu este suficient să luați în considerare exemple numerice individuale, deoarece concluziile trase din exemple particulare pot fi uneori eronate.

Este necesar să se verifice validitatea proprietății unghiurilor verticale prin raționament, prin demonstrație.

Dovada poate fi efectuată după cum urmează (Fig. 78):

/ un +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(deoarece suma unghiurilor adiacente este 2 d).

/ un +/ c = / b +/ c

(deoarece partea stângă a acestei egalități este egală cu 2 d, iar partea sa dreaptă este, de asemenea, egală cu 2 d).

Această egalitate include același unghi cu.

Dacă scadem în mod egal din valori egale, atunci va rămâne egal. Rezultatul va fi: / A = / b, adică unghiurile verticale sunt egale între ele.

Când luăm în considerare problema unghiurilor verticale, am explicat mai întâi care unghiuri sunt numite verticale, adică am dat definiție colțuri verticale.

Apoi am făcut o judecată (afirmație) despre egalitatea unghiurilor verticale și ne-am convins de validitatea acestei judecăți prin demonstrație. Se numesc astfel de hotărâri, a căror validitate trebuie dovedită teoreme. Astfel, în această secțiune am dat definiția unghiurilor verticale și am enunțat și demonstrat o teoremă despre proprietatea acestora.

În viitor, atunci când studiem geometria, va trebui să ne întâlnim constant cu definiții și dovezi ale teoremelor.

3. Suma unghiurilor care au un vârf comun.

Pe desenul 79 / 1, / 2, / 3 și / 4 sunt situate pe aceeași parte a unei linii drepte și au un vârf comun pe această linie dreaptă. În concluzie, aceste unghiuri formează un unghi drept, adică.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Pe desenul 80 / 1, / 2, / 3, / 4 și / 5 au un vârf comun. În concluzie, aceste unghiuri formează un unghi complet, adică / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Exerciții.

1. Unul dintre unghiurile adiacente este 0,72 d. Calculați unghiul format de bisectoarele acestor unghiuri adiacente.

2. Demonstrați că bisectoarele a două unghiuri adiacente formează un unghi drept.

3. Demonstrați că, dacă două unghiuri sunt egale, atunci și unghiurile lor adiacente sunt egale.

4. Câte perechi de colțuri adiacente sunt în desenul 81?

5. Poate o pereche de unghiuri adiacente să fie formată din două unghiuri ascuțite? din două colțuri obtuze? din unghiuri drepte și obtuze? dintr-un unghi drept si ascutit?

6. Dacă unul dintre unghiurile adiacente este drept, atunci ce se poate spune despre valoarea unghiului adiacent acestuia?

7. Dacă la intersecția a două drepte există un unghi drept, atunci ce se poate spune despre mărimea celorlalte trei unghiuri?

Lecția 8 Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt o prelungire a laturilor celuilalt. TEOREMA. Unghiurile verticale sunt egale. Dovada: = = 180 Similar = = = 3 2 = 4 Rezolvarea problemelor: 64, 66 Teme: itemii 11, 66, 67

Dictarea matematică. 1 opțiune. 1. Completați propoziția: „Dacă unghiurile 1 și 2 sunt adiacente, atunci suma lor...” 2. Va fi unghiul adiacent unghiului de 30 de grade acut, obtuz sau drept? 3. Suma a două unghiuri este de 180 de grade. Aceste unghiuri trebuie să fie adiacente? 4. Dreptele AM ​​și CE se intersectează în punctul O, care se află între ele. Acest lucru a dus la unghiuri verticale? Dacă da, numiți-i. 5. Care este unghiul dacă unghiul vertical cu acesta este de 34 de grade? 6. Unul dintre cele patru unghiuri rezultate din intersecția a două drepte este de 140 de grade. Care sunt restul unghiurilor? 7. Două colțuri au un vârf comun, primul colț are 40 de grade, al doilea este de 140 de grade. Aceste colțuri sunt verticale? Opțiunea 2. 1. Completați propoziția: „Două unghiuri se numesc adiacente dacă o latură este comună și cealaltă...” 2. Va fi unghiul adiacent unghiului de 130 de grade acut, obtuz sau drept? 3. Suma a două unghiuri cu o latură comună de 180 de grade. Aceste unghiuri trebuie să fie adiacente? 4. Elevul a construit 2 colturi verticale. Câte perechi de linii drepte a rezultat? 5. Două colțuri au un vârf comun, fiecare dintre aceste colțuri este egal cu 60 de grade. Aceste unghiuri trebuie să fie verticale? 6. Unul dintre cele patru unghiuri rezultate din intersecția a două drepte este de 80 de grade. Care sunt restul unghiurilor? 7. Care este unghiul dacă unghiul vertical cu acesta este de 120 de grade?

Răspunsuri. 1. Egal cu 180 de grade 2. Unghi obtuz 3. Nu 4. Unghiuri AOC și EOM, AOE și grade COM și 40 de grade 7. Da 1. Raze suplimentare 2. Unghi ascuți 3. Nu 4. O pereche 5. Nu și 100 grade grade