Capitoleu. EVENIMENTE ALEATORII. PROBABILITATE

1.1. Regularitate și aleatorie, variabilitate aleatorie în științele exacte, biologie și medicină

Teoria probabilității este o ramură a matematicii care studiază tiparele în fenomene aleatorii. Un fenomen aleatoriu este un fenomen care, atunci când aceeași experiență se repetă de mai multe ori, poate apărea ușor diferit de fiecare dată.

Evident, nu există un singur fenomen în natură în care elementele aleatoriei să nu fie prezente într-o măsură sau alta, dar în diferite situații le luăm în considerare în moduri diferite. Astfel, într-o serie de probleme practice ele pot fi neglijate și, în locul unui fenomen real, se poate lua în considerare diagrama lui simplificată – un „model” –, presupunând că în condiții experimentale date fenomenul decurge într-un mod foarte definit. Totodată, sunt evidenţiaţi cei mai importanţi, decisivi factori care caracterizează fenomenul. Această schemă pentru studierea fenomenelor este cea mai des folosită în fizică, tehnologie și mecanică; așa se dezvăluie tiparul principal , caracteristică unui fenomen dat și făcând posibilă prezicerea rezultatului unui experiment pe baza unor condiții inițiale date. Iar influența factorilor minori aleatorii asupra rezultatului experimentului este luată în considerare aici de erori aleatorii de măsurare (vom lua în considerare metoda de calcul a acestora mai jos).

Cu toate acestea, schema clasică descrisă a așa-numitelor științe exacte este puțin potrivită pentru rezolvarea multor probleme în care numeroși factori aleatori strâns legați joacă un rol vizibil (adesea decisiv). Aici iese în prim plan natura aleatorie a fenomenului, care nu mai poate fi neglijat. Acest fenomen trebuie studiat tocmai din punctul de vedere al tiparelor inerente lui ca fenomen aleatoriu. În fizică, exemple de astfel de fenomene sunt mișcarea browniană, dezintegrarea radioactivă, o serie de procese mecanice cuantice etc.

Subiectul de studiu al biologilor și medicilor este un organism viu, a cărui origine, dezvoltare și existență este determinată de factori externi și interni mulți și variați, adesea întâmplători. De aceea, fenomenele și evenimentele lumii vii sunt în multe privințe și aleatorii în natură.

Elementele de incertitudine, complexitate și multicauzalitate inerente fenomenelor aleatoare necesită crearea unor metode matematice speciale pentru studierea acestor fenomene. Dezvoltarea unor astfel de metode și stabilirea unor modele specifice inerente fenomenelor aleatoare sunt principalele sarcini ale teoriei probabilităților. Este caracteristic că aceste tipare sunt îndeplinite numai atunci când fenomenele aleatorii sunt larg răspândite. Mai mult, caracteristicile individuale ale cazurilor individuale par să se anuleze reciproc, iar rezultatul mediu pentru o masă de fenomene aleatorii se dovedește a nu mai fi întâmplător, ci complet natural. . În mare măsură, această circumstanță a fost motivul pentru utilizarea pe scară largă a metodelor de cercetare probabilistică în biologie și medicină.

Să luăm în considerare conceptele de bază ale teoriei probabilităților.

1.2. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu

Fiecare știință care dezvoltă o teorie generală a oricărei game de fenomene se bazează pe o serie de concepte de bază. De exemplu, în geometrie acestea sunt conceptele de punct, de linie dreaptă; în mecanică - conceptele de forță, masă, viteză etc. Concepte de bază există și în teoria probabilității, unul dintre ele este un eveniment aleatoriu.

Un eveniment aleatoriu este orice fenomen (fapt) care poate sau nu să apară ca urmare a experienței (testului).

Evenimentele aleatoare sunt indicate prin litere A, B, C... etc. Iată câteva exemple de evenimente aleatorii:

A– aspectul unui vultur (stamă) la aruncarea unei monede standard;

ÎN– nașterea unei fete într-o familie dată;

CU– nașterea unui copil cu o greutate corporală prestabilită;

D– apariția unei boli epidemice într-o anumită regiune într-o anumită perioadă de timp etc.

Principala caracteristică cantitativă a unui eveniment aleatoriu este probabilitatea acestuia. Lăsa A- un eveniment aleatoriu. Probabilitatea unui eveniment aleator A este o mărime matematică care determină posibilitatea apariției acestuia. Este desemnat R(A).

Să luăm în considerare două metode principale pentru determinarea acestei valori.

Definiția clasică a probabilității unui eveniment aleatoriu de obicei, pe baza rezultatelor analizei experimentelor (testelor) speculative, a căror esență este determinată de condițiile sarcinii. În acest caz, probabilitatea unui eveniment aleatoriu P(A) este egal cu:

Unde m– numărul de cazuri favorabile producerii evenimentului A; n– numărul total de cazuri la fel de posibile.

Exemplul 1: Un șobolan de laborator este plasat într-un labirint în care doar una dintre cele patru căi posibile duce la o recompensă alimentară. Determinați probabilitatea ca șobolanul să aleagă această cale.

Soluţie: conform condițiilor problemei din patru cazuri la fel de posibile ( n=4) eveniment A(șobolanul găsește mâncare)
numai unul este favorabil, adică. m= 1 Atunci R(A) = R(șobolanul găsește hrană) = = 0,25 = 25%.

Exemplul 2. Într-o urnă sunt 20 de bile negre și 80 de bile albe. Din el se extrage o minge la întâmplare. Determinați probabilitatea ca această minge să fie neagră.

Soluţie: numărul tuturor bilelor din urnă este numărul total de cazuri egal posibile n, adică n = 20 + 80 = 100, din care eveniment A(eliminarea bilei negre) este posibilă doar la 20, adică. m= 20. Apoi R(A) = R(h.s.) = = 0,2 = 20%.

Să enumerăm proprietățile probabilității care urmează din definiția sa clasică – formula (1):

1. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este o mărime adimensională.

2. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este întotdeauna pozitivă și mai mică de unu, adică 0< P (A) < 1.

3. Probabilitatea unui eveniment de încredere, adică un eveniment care se va întâmpla cu siguranță ca urmare a experienței ( m = n), este egal cu unu.

4. Probabilitatea unui eveniment imposibil ( m= 0) este egal cu zero.

5. Probabilitatea oricărui eveniment este o valoare care nu este negativă și nu depășește unul:
0 £ P (A) 1 GBP.

Determinarea statistică a probabilității unui eveniment aleatoriu este utilizat atunci când este imposibil să se utilizeze definiția clasică (1). Acesta este adesea cazul în biologie și medicină. În acest caz, probabilitatea R(A) sunt determinate prin rezumarea rezultatelor unor serii de teste (experimente) efectuate efectiv.

Să introducem conceptul de frecvență relativă de apariție a unui eveniment aleatoriu. Să se realizeze o serie formată din N experimente (număr N poate fi selectat în prealabil); eveniment de interes pentru noi A s-a întâmplat în M dintre ei ( M < N). Raportul dintre numărul de experimente M, în care s-a produs acest eveniment, la numărul total de experimente efectuate N se numește frecvența relativă de apariție a unui eveniment aleatoriu Aîn această serie de experimente - R* (A)

R*(A) = .

S-a stabilit experimental că dacă se efectuează o serie de teste (experimente) în aceleași condiții și în fiecare dintre ele numărul N este suficient de mare, atunci frecvența relativă prezintă proprietatea de stabilitate : se schimba putin de la episod la episod , apropiindu-se cu un număr tot mai mare de experimente la o valoare constantă . Este considerată probabilitatea statistică a unui eveniment aleatoriu A:

R(A)= lim , cu N , (2)

Deci, probabilitate statistică R(A) eveniment aleatoriu A numiți limita la care tinde frecvența relativă de apariție a acestui eveniment cu o creștere nelimitată a numărului de încercări (cu N → ∞).

Probabilitatea statistică a unui eveniment aleatoriu este aproximativ egală cu frecvența relativă de apariție a acestui eveniment într-un număr mare de încercări:

R(A)≈ P*(A)= (pentru mare N) (3)

De exemplu, în experimentele privind aruncarea monedelor, frecvența relativă a căderii stemei cu 12.000 de aruncări s-a dovedit a fi egală cu 0,5016 și cu 24.000 de aruncări - 0,5005. În conformitate cu formula (1):

P(steamă) = = 0,5 = 50%

Exemplu . În cadrul unui examen medical a 500 de persoane, 5 dintre acestea au fost diagnosticate cu o tumoare la plămâni (l.l.). Determinați frecvența relativă și probabilitatea acestei boli.

Soluţie: conform condiţiilor problemei M = 5, N= 500, frecvență relativă R*(o.l.) = M/N= 5/500 = 0,01; deoarece N este suficient de mare, putem presupune cu o bună acuratețe că probabilitatea de a avea o tumoare în plămâni este egală cu frecvența relativă a acestui eveniment:

R(o.l.) = R*(v.l.) = 0,01 = 1%.

Proprietățile enumerate anterior ale probabilității unui eveniment aleatoriu sunt păstrate în determinarea statistică a acestei valori.

1.3. Tipuri de evenimente aleatorii. Teoreme de bază ale teoriei probabilităților

Toate evenimentele aleatoare pot fi împărțite în:

¾ incompatibil;

¾ independent;

¾ dependent.

Fiecare tip de eveniment are propriile sale caracteristici și teoreme ale teoriei probabilităților.

1.3.1. Evenimente aleatoare incompatibile. Teorema de adunare a probabilității

Evenimente aleatoare (A, B, C,D...) se numesc incompatibile , dacă apariţia unuia dintre ele exclude apariţia altor evenimente în cadrul aceluiaşi proces.

Exemplul 1 . Se aruncă o monedă. Când cade, aspectul „stemei” elimină aspectul „cozilor” (inscripția care determină prețul monedei). Evenimentele „a căzut stema” și „a căzut capul” sunt incompatibile.

Exemplul 2 . Un student care primește nota „2”, sau „3”, sau „4” sau „5” la un examen sunt evenimente incompatibile, deoarece una dintre aceste note o exclude pe cealaltă la același examen.

Pentru evenimentele aleatoare inconsecvente, se aplică următoarele: teorema de adunare a probabilității: probabilitatea de apariție unul, dar indiferent care, dintre mai multe evenimente incompatibile A1, A2, A3 ... Ak egală cu suma probabilităților lor:

P(A1 sau A2...sau Ak) = P(A1) + P(A2) + …+ P(Ak). (4)

Exemplul 3. O urnă conține 50 de bile: 20 albe, 20 negre și 10 roșii. Găsiți probabilitatea apariției albului (eveniment A) sau mingea roșie (eveniment ÎN), când o minge este extrasă la întâmplare din urnă.

Rezolvare: R(A sau B)= P(A)+ R(ÎN);

R(A) = 20/50 = 0,4;

R(ÎN) = 10/50 = 0,2;

R(A sau ÎN)= P(b. sh. sau k. sh.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

Exemplul 4 . În clasă sunt 40 de copii. Dintre aceștia, cu vârsta cuprinsă între 7 și 7,5 ani, 8 băieți ( A) și 10 fete ( ÎN). Găsiți probabilitatea de a avea copii de această vârstă în clasă.

Rezolvare: R(A)= 8/40 = 0,2; R(ÎN) = 10/40 = 0,25.

P(A sau B) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%

Următorul concept important este grup complet de evenimente: mai multe evenimente incompatibile formează un grup complet de evenimente dacă numai unul dintre evenimentele acestui grup și niciun altul poate avea loc în urma fiecărei încercări.

Exemplul 5 . Trăgătorul a tras un foc în țintă. Unul dintre următoarele evenimente se va întâmpla cu siguranță: intrarea în „zece”, „nouă”, „opt”,..., „unu” sau ratare. Aceste 11 evenimente incompatibile formează un grup complet.

Exemplul 6 . La un examen universitar, un student poate primi una dintre următoarele patru note: 2, 3, 4 sau 5. Aceste patru evenimente incompatibile formează, de asemenea, un grup complet.

Dacă evenimentele incompatibile A1, A2...Ak formați un grup complet, atunci suma probabilităților acestor evenimente este întotdeauna egală cu unu:

R(A1)+ R(A2)+ … R(Ak) = 1, (5)

Această afirmație este adesea folosită în rezolvarea multor probleme aplicate.

Dacă două evenimente sunt singurele posibile și incompatibile, atunci ele sunt numite opuse și notate AȘi . Astfel de evenimente formează un grup complet, astfel încât suma probabilităților lor este întotdeauna egală cu unu:

R(A)+ R() = 1. (6)

Exemplul 7. Fie R(A) – probabilitatea decesului din cauza unei anumite boli; este cunoscut și egal cu 2%. Atunci probabilitatea unui rezultat de succes pentru această boală este de 98% ( R() = 1 – R(A) = 0,98), deoarece R(A) + R() = 1.

1.3.2. Evenimente aleatoare independente. Teorema înmulțirii probabilităților

Evenimentele aleatoare sunt numite independente dacă apariția unuia dintre ele nu afectează în niciun fel probabilitatea apariției altor evenimente.

Exemplul 1 . Dacă există două sau mai multe urne cu bile colorate, atunci extragerea oricărei bile dintr-o urna nu va afecta probabilitatea de a extrage alte bile din urnele rămase.

Pentru evenimente independente este adevărat teorema înmulțirii probabilităților: probabilitate comună(simultan)apariția mai multor evenimente aleatoare independente este egală cu produsul probabilităților lor:

P(A1 și A2 și A3... și Ak) = P(A1) ∙P(A2) ∙…∙P(Ak). (7)

Apariția comună (simultană) a evenimentelor înseamnă că evenimentele au loc și A1,Și A2,Și A3… Și Ak .

Exemplul 2 . Sunt două urne. Unul conține 2 bile negre și 8 albe, celălalt conține 6 bile negre și 4 albe. Lasă evenimentul A-alegerea la întâmplare a unei mingi albe din prima urna, ÎN- din a doua. Care este probabilitatea de a alege o minge albă la întâmplare din aceste urne în același timp, adică ce este egală cu R (AȘi ÎN)?

Soluţie: probabilitatea de a extrage o minge albă din prima urna
R(A) = = 0,8 din secunda – R(ÎN) = = 0,4. Probabilitatea de a extrage simultan o minge albă din ambele urne este
R(AȘi ÎN) = R(A)· R(ÎN) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Exemplul 3: O dietă săracă în iod determină mărirea glandei tiroide la 60% dintre animalele dintr-o populație mare. Pentru experiment sunt necesare 4 glande mărite. Găsiți probabilitatea ca 4 animale alese aleatoriu să aibă o glanda tiroidă mărită.

Soluţie: Eveniment aleatoriu A– selecția aleatorie a unui animal cu glanda tiroidă mărită. În funcție de condițiile problemei, probabilitatea acestui eveniment R(A) = 0,6 = 60%. Atunci probabilitatea apariției comune a patru evenimente independente - o selecție aleatorie a 4 animale cu o glanda tiroidă mărită - va fi egală cu:

R(A 1 și A 2 și A 3 și A 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. Evenimente dependente. Teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente dependente

Evenimentele aleatoare A și B se numesc dependente dacă apariția unuia dintre ele, de exemplu, A, modifică probabilitatea apariției unui alt eveniment, B. Prin urmare, două valori de probabilitate sunt utilizate pentru evenimente dependente: probabilități necondiționate și condiționate .

Dacă AȘi ÎN evenimente dependente, apoi probabilitatea producerii evenimentului ÎN primul (adică înainte de eveniment A) se numește necondiţionat probabilitate acest eveniment este desemnat R(ÎN). Probabilitatea apariției unui eveniment ÎN cu condiția ca evenimentul A sa întâmplat deja, se numește probabilitate condițională evenimente ÎN si este desemnat R(ÎN/A) sau RA(ÎN).

neconditionat - R(A) și condiționată – R(A/B) probabilitatea unui eveniment A.

Teorema de multiplicare a probabilității pentru două evenimente dependente: probabilitatea apariției simultane a două evenimente dependente A și B este egală cu produsul probabilității necondiționate a primului eveniment cu probabilitatea condiționată a celui de-al doilea:

R(A și B)= P(A)∙P(V/A) , (8)

A, sau

R(A și B)= P(ÎN)∙P(A/B), (9)

dacă evenimentul are loc mai întâi ÎN.

Exemplul 1. Într-o urnă sunt 3 bile negre și 7 bile albe. Găsiți probabilitatea ca 2 bile albe să fie extrase din această urnă una după alta (fără ca prima bilă să fie returnată în urnă).

Soluţie: probabilitatea de a obține prima bilă albă (eveniment A) este egal cu 7/10. După ce este îndepărtat, în urnă au rămas 9 bile, dintre care 6 sunt albe. Apoi, probabilitatea apariției celei de-a doua bile albe (eveniment ÎN) este egal cu R(ÎN/A) = 6/9, iar probabilitatea de a obține două bile albe la rând este

R(AȘi ÎN) = R(A)∙R(ÎN/A) = = 0,47 = 47%.

Teorema dată pentru înmulțirea probabilităților pentru evenimente dependente poate fi generalizată la orice număr de evenimente. Mai exact, pentru trei evenimente legate între ele:

R(AȘi ÎNȘi CU)= P(A)∙ R(V/A)∙ R(S/AB). (10)

Exemplul 2. Un focar de boală infecțioasă a apărut în două grădinițe, fiecare frecventată de 100 de copii. Proporțiile bolnavilor sunt de 1/5, respectiv 1/4, iar în prima instituție 70%, iar în a doua - 60% dintre bolnavi - copii sub 3 ani. Un copil este selectat aleatoriu. Determinați probabilitatea ca:

1) copilul selectat aparține primei grădinițe (eveniment A) și bolnav (eveniment ÎN).

2) este selectat un copil din a doua grădiniță (eveniment CU), bolnav (eveniment D) și mai vechi de 3 ani (eveniment E).

Soluţie. 1) probabilitatea cerută -

R(AȘi ÎN) = R(A) ∙ R(ÎN/A) = = 0,1 = 10%.

2) probabilitatea cerută:

R(CUȘi DȘi E) = R(CU) ∙ R(D/C) ∙ R(E/CD) = = 5%.

1.4. Formula Bayes

Dacă probabilitatea de apariţie concomitentă a evenimentelor dependente AȘi ÎN nu depinde de ordinea în care apar, deci R(AȘi ÎN)= P(A)∙P(V/A)= P(ÎN) × R(A/B). În acest caz, probabilitatea condiționată a unuia dintre evenimente poate fi găsită cunoscând probabilitățile ambelor evenimente și probabilitatea condiționată a celui de-al doilea:

R(V/A) = (11)

O generalizare a acestei formule pentru cazul multor evenimente este formula Bayes.

Lăsa " n» evenimente aleatoare incompatibile Н1, Н2, …, Нn, formează un grup complet de evenimente. Probabilităţile acestor evenimente sunt R(H1), R(H2), …, R(Nn) sunt cunoscute și deoarece formează un grup complet, atunci = 1.

Un eveniment întâmplător A legate de evenimente Н1, Н2, …, Нn, iar probabilitățile condiționate de apariție a evenimentului sunt cunoscute A cu fiecare dintre evenimente Ni, adică cunoscut R(A/H1), R(A/H2), …, R(UNn). În acest caz, suma probabilităților condiționate R(UNi) poate să nu fie egal cu unitatea, adică ≠ 1.

Apoi probabilitatea condiționată a producerii evenimentului Ni când se realizează un eveniment A(adică, cu condiția ca evenimentul Aîntâmplat) este determinată de formula lui Bayes :

Mai mult, pentru aceste probabilități condiționate .

Formula lui Bayes și-a găsit o largă aplicație nu numai în matematică, ci și în medicină. De exemplu, este folosit pentru a calcula probabilitățile anumitor boli. Astfel, dacă N 1,…, Nn– diagnostice așteptate pentru acest pacient, A– unele semne legate de acestea (simptom, un anumit indicator al unui test de sânge, test de urină, detaliu al unei radiografii etc.) și probabilități condiționate R(UNi) manifestări ale acestui simptom cu fiecare diagnostic Ni (i = 1,2,3,…n) sunt cunoscute dinainte, atunci formula Bayes (12) ne permite să calculăm probabilitățile condiționate ale bolilor (diagnosticelor) R(Ni/A) după ce s-a stabilit că trăsătura caracteristică A prezente la pacient.

Exemplul 1. În timpul examinării inițiale a pacientului, se presupun 3 diagnostice N 1, N 2, N 3. Probabilitățile lor, potrivit medicului, sunt distribuite după cum urmează: R(N 1) = 0,5; R(N 2) = 0,17; R(N 3) = 0,33. Prin urmare, primul diagnostic pare provizoriu cel mai probabil. Pentru a o clarifica, de exemplu, este prescris un test de sânge, în care este de așteptat o creștere a VSH (eveniment A). Se știe dinainte (pe baza rezultatelor cercetării) că probabilitățile de creștere a VSH în bolile suspectate sunt egale:

R(A/N 1) = 0,1; R(A/N 2) = 0,2; R(A/N 3) = 0,9.

Analiza rezultată a înregistrat o creștere a VSH (eveniment A s-a întâmplat). Apoi, calculul folosind formula Bayes (12) oferă probabilitățile de boli așteptate cu o valoare VSH crescută: R(N 1/A) = 0,13; R(N 2/A) = 0,09;
R(N 3/A) = 0,78. Aceste cifre arată că, luând în considerare datele de laborator, cel mai realist nu este primul, ci al treilea diagnostic, a cărui probabilitate s-a dovedit acum destul de mare.

Exemplul de mai sus este cea mai simplă ilustrare a modului în care, folosind formula Bayes, puteți oficializa logica unui medic atunci când faceți un diagnostic și, datorită acestuia, puteți crea metode de diagnosticare pe computer.

Exemplul 2. Determinați probabilitatea care estimează gradul de risc de mortalitate infantilă perinatală* la femeile cu pelvis îngust anatomic.

Soluţie: lăsați evenimentul N 1 – naștere reușită. Conform rapoartelor clinice, R(N 1) = 0,975 = 97,5%, atunci dacă H2– faptul mortalității perinatale, deci R(N 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Să notăm A– faptul că o femeie în travaliu are bazinul îngust. Din studiile efectuate se cunoaște: a) R(A/N 1) – probabilitatea unui bazin îngust în timpul unei nașteri favorabile, R(A/N 1) = 0,029, b) R(A/N 2) – probabilitatea unui bazin îngust cu mortalitate perinatală,
R(A/N 2) = 0,051. Apoi probabilitatea dorită de mortalitate perinatală la o femeie în travaliu cu pelvis îngust este calculată folosind formula Bays (12) și este egală cu:

Astfel, riscul de mortalitate perinatală într-un pelvis anatomic îngust este semnificativ mai mare (aproape de două ori) decât riscul mediu (4,4% versus 2,5%).

Astfel de calcule, efectuate de obicei folosind un computer, stau la baza metodelor de formare a grupurilor de pacienți cu risc crescut asociat cu prezența unui anumit factor agravant.

Formula Bayes este foarte utila pentru evaluarea multor alte situatii medicale si biologice, care vor deveni evidente la rezolvarea problemelor date in manual.

1.5. Despre evenimente aleatoare cu probabilități apropiate de 0 sau 1

Când se rezolvă multe probleme practice, trebuie să se ocupe de evenimente a căror probabilitate este foarte mică, adică aproape de zero. Pe baza experienței cu privire la astfel de evenimente, a fost adoptat următorul principiu. Dacă un eveniment aleatoriu are o probabilitate foarte mică, atunci putem presupune practic că nu va apărea într-un singur test, cu alte cuvinte, posibilitatea apariției sale poate fi neglijată. Răspunsul la întrebarea cât de mică ar trebui să fie această probabilitate este determinat de esența problemelor care se rezolvă și de cât de important este rezultatul predicției pentru noi. De exemplu, dacă probabilitatea ca o parașută să nu se deschidă în timpul unui salt este de 0,01, atunci utilizarea unor astfel de parașute este inacceptabilă. Totuși, aceeași probabilitate de 0,01 ca un tren de lungă distanță să ajungă târziu ne face aproape siguri că va ajunge la timp.

Se numește o probabilitate suficient de mică la care (într-o anumită problemă specifică) un eveniment poate fi considerat practic imposibil nivelul de semnificație.În practică, nivelul de semnificație este de obicei luat egal cu 0,01 (nivel de semnificație unu la sută) sau 0,05 (nivel de semnificație de cinci procente), mult mai rar este luat egal cu 0,001.

Introducerea unui nivel de semnificație ne permite să afirmăm că dacă vreun eveniment A aproape imposibil, apoi evenimentul opus - practic de încredere, adică pentru el R() » 1.

CapitolII. VARIABILE ALEATOARE

2.1. Variabile aleatoare, tipurile lor

În matematică, cantitatea este un nume general pentru diferite caracteristici cantitative ale obiectelor și fenomenelor. Lungimea, suprafața, temperatura, presiunea etc. sunt exemple de cantități diferite.

O cantitate care ia diferit valori numerice sub influența unor circumstanțe aleatoare, numite variabilă aleatoare. Exemple de variabile aleatorii: numărul de pacienți la o programare la medic; dimensiunile exacte ale organelor interne umane etc.

Distingeți între variabile aleatoare discrete și continue .

O variabilă aleatorie se numește discretă dacă ia doar anumite valori distincte care pot fi identificate și enumerate.

Exemple de variabile aleatoare discrete sunt:

– numărul de elevi din audiență – poate fi doar un întreg pozitiv: 0,1,2,3,4….. 20…..;

– numărul care apare pe fața de sus la aruncarea unui zar – poate lua doar valori întregi de la 1 la 6;

– frecvența relativă de lovire a țintei cu 10 lovituri – valorile acesteia: 0; 0,1; 0,2; 0,3…1

– numărul de evenimente care au loc în aceleași perioade de timp: frecvența cardiacă, numărul de apeluri la ambulanță pe oră, numărul de operații pe lună cu rezultat fatal etc.

O variabilă aleatoare se numește continuă dacă poate lua orice valoare într-un anumit interval, care uneori are limite clar definite și alteori nu.*. Variabilele aleatoare continue includ, de exemplu, greutatea corporală și înălțimea adulților, greutatea corporală și volumul creierului, conținutul cantitativ de enzime la oamenii sănătoși, dimensiunea celulelor sanguine, R N sânge etc.

Conceptul de variabilă aleatoare joacă un rol decisiv în teoria probabilității moderne, care a dezvoltat tehnici speciale pentru trecerea de la evenimente aleatoare la variabile aleatoare.

Dacă o variabilă aleatoare depinde de timp, atunci putem vorbi despre un proces aleatoriu.

2.2. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete

Pentru a oferi o descriere completă a unei variabile aleatoare discrete, este necesar să se indice toate valorile posibile ale acesteia și probabilitățile acestora.

Corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete și probabilitățile acestora se numește legea distribuției acestei variabile.

Să notăm valorile posibile ale variabilei aleatoare X prin Xi, iar probabilitățile corespunzătoare – prin Ri *. Atunci legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete poate fi specificată în trei moduri: sub forma unui tabel, grafic sau formulă.

Într-un tabel numit serie de distribuție, listează toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete Xși probabilitățile corespunzătoare R(X):

X

…..

…..

P(X)

…..

…..

În acest caz, suma tuturor probabilităților Ri trebuie să fie egal cu unitatea (condiția de normalizare):

Ri = p1 + p2 + ... + pn = 1. (13)

Grafic legea este reprezentată printr-o linie întreruptă, care se numește de obicei poligon de distribuție (Fig. 1). Aici, toate valorile posibile ale variabilei aleatoare sunt reprezentate grafic de-a lungul axei orizontale Xi, , iar de-a lungul axei verticale – probabilitățile corespunzătoare Ri

Analitic legea se exprimă prin formula. De exemplu, dacă probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este R, apoi probabilitatea de a lovi ținta de 1 dată la n lovituri este dată de formula R(n) = n qn-1 × p, Unde q= 1 – p– probabilitatea de ratare cu o singură lovitură.

2.3. Legea distribuției unei variabile aleatoare continue. Funcția de densitate de probabilitate

Pentru variabile aleatoare continue, este imposibil să se aplice legea distribuției în formele prezentate mai sus, deoarece o astfel de variabilă are un set nenumărat („nenumărabil”) de valori posibile care umple complet un anumit interval. Prin urmare, este imposibil să creați un tabel care să enumere toate valorile sale posibile sau să construiți un poligon de distribuție. În plus, probabilitatea unei anumite valori este foarte mică (aproape de 0)*. În același timp, diferite regiuni (intervale) ale valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue nu sunt la fel de probabile. Astfel, și în acest caz operează o anumită lege a distribuției, deși nu în sensul anterior.

Luați în considerare o variabilă aleatoare continuă X, ale căror posibile valori umplu complet un anumit interval (A, b)**. Legea distribuției probabilității a unei astfel de valori ar trebui să permită găsirea probabilității ca valoarea acesteia să se încadreze în orice interval dat ( x1, x2), întins înăuntru ( A,b), Fig.2.

Această probabilitate este notă R(x1< Х < х2 ), sau
R(x1£ X£ x2).

Să luăm în considerare mai întâi un interval foarte mic de valori X– de la X inainte de ( x +DX); vezi Fig.2. Probabilitate scăzută dR că variabila aleatoare X va lua o anumită valoare din interval ( x, x +DX), va fi proporțională cu mărimea acestui interval DX:dR~ DX, sau prin introducerea coeficientului de proporționalitate f, de care poate depinde în sine X, primim:

dP =f(X) × D x =f(X) × dx (14)

Funcția introdusă aici f(X) se numește densitatea distribuției de probabilitate variabilă aleatorie X, sau, pe scurt, probabilitate densitate, densitatea distributiei. Ecuația (13) este o ecuație diferențială, a cărei soluție dă probabilitatea de a atinge valoarea Xîn interval ( x1,x2):

R(x1<X<x2) = f(X) dX. (15)

Probabilitate grafică R(x1<X<x2) este egală cu aria unui trapez curbiliniu delimitat de axa absciselor curbei f(X) și drept X = x1 și X = x2(Fig. 3). Aceasta rezultă din sensul geometric al integralei definite (15) Curba f(X) se numește curbă de distribuție.

Din (15) rezultă că dacă funcţia este cunoscută f(X), apoi, prin modificarea limitelor de integrare, putem găsi probabilitatea pentru orice intervale de interes pentru noi. Prin urmare, este sarcina funcției f(X) determină complet legea distribuției pentru variabile aleatoare continue.

Pentru densitatea de probabilitate f(X) condiția de normalizare trebuie îndeplinită sub forma:

f(X) dx = 1, (16)

dacă se ştie că toate valorile X se află în interval ( A,b), sau sub forma:

f(X) dx = 1, (17)

dacă limitele intervalului pentru valori X nesigur nesigur. Condițiile pentru normalizarea densității de probabilitate (16) sau (17) sunt o consecință a faptului că valorile variabilei aleatoare X se află în mod sigur în ( A,b) sau (-¥, +¥). Din (16) și (17) rezultă că aria figurii delimitată de curba de distribuție și de axa x este întotdeauna egală cu 1 .

2.4. Caracteristicile numerice de bază ale variabilelor aleatoare

Rezultatele prezentate în paragrafele 2.2 și 2.3 arată că o descriere completă a variabilelor aleatoare discrete și continue poate fi obținută prin cunoașterea legilor distribuției lor. Cu toate acestea, în multe situații practic semnificative, sunt utilizate așa-numitele caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare; scopul principal al acestor caracteristici este de a exprima într-o formă concisă cele mai semnificative trăsături ale distribuției variabilelor aleatoare. Este important ca acești parametri să reprezinte valori specifice (constante) care pot fi evaluate folosind datele obținute în experimente. Aceste estimări sunt tratate de „Statistici descriptive”.

În teoria probabilităților și statistica matematică, sunt folosite destul de multe caracteristici diferite, dar le vom lua în considerare doar pe cele mai utilizate. Mai mult decât atât, doar pentru unii dintre ei vom prezenta formulele prin care se calculează valorile lor; în alte cazuri, vom lăsa calculele pe seama computerului.

Sa luam in considerare caracteristicile poziției - așteptare matematică, mod, mediană.

Ele caracterizează poziția unei variabile aleatoare pe axa numerelor , adică indică o valoare aproximativă în jurul căreia sunt grupate toate valorile posibile ale variabilei aleatoare. Dintre acestea, cel mai important rol îl joacă așteptarea matematică M(X).

ACADEMIA RUSĂ DE ECONOMIE NAȚIONALĂ ȘI SERVICIUL PUBLIC sub președintele FEDERATIEI RUSĂ

SUCURSALA ORYOL

Departamentul de Sociologie și Tehnologii Informaționale

Calcul tipic nr. 1

la disciplina „Teoria probabilității și statistică matematică”

pe tema „Fundamentele teoriei probabilităților”

Vultur - 2016.

Scopul lucrării: consolidarea cunoștințelor teoretice pe tema bazelor teoriei probabilităților prin rezolvarea unor probleme standard. Stăpânirea conceptelor principalelor tipuri de evenimente aleatoare și dezvoltarea abilităților de operații algebrice pe evenimente.

Cerințe pentru înregistrarea muncii: lucrarea se realizează în formă scrisă de mână, lucrarea trebuie să conţină toate explicaţiile şi concluziile necesare, formulele trebuie să conţină o decodare a notaţiilor acceptate, paginile trebuie numerotate.

Numărul opțiunii corespunde numărului de serie al elevului din lista grupului.

Informații teoretice de bază

Teoria probabilității– o ramură a matematicii care studiază tiparele fenomenelor aleatorii.

Conceptul de eveniment. Clasificarea evenimentelor.

Unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilităților este conceptul de eveniment. Evenimentele sunt indicate cu majuscule latine A, ÎN, CU,…

Eveniment este un posibil rezultat (rezultat) al unui test sau experiment.

Testarea se referă la orice acțiune intenționată.

Exemplu : trăgătorul trage în țintă. O lovitură este un test, lovirea unei ținte este un eveniment.

Evenimentul este numit Aleatoriu , dacă în condițiile unui experiment dat se poate întâmpla sau nu.

Exemplu : Tragerea cu pistolul - un test

Suspin. A- lovirea țintei,

Suspin. ÎN– dor – evenimente aleatorii.

Evenimentul este numit de încredere , dacă în urma testului trebuie neapărat să apară.

Exemplu : Maxim 6 puncte la aruncarea unui zar.

Evenimentul este numit imposibil , dacă în condițiile unui experiment dat nu se poate întâmpla deloc.

Exemplu : Se aruncă mai mult de 6 puncte la aruncarea unui zar.

Evenimentele sunt numite incompatibil , dacă apariția unuia dintre ele exclude posibilitatea apariției oricărei alte. În caz contrar, evenimentele se numesc comune.

Exemplu : Se aruncă un zar. Rolul de 5 puncte elimină rularea a 6 puncte. Acestea sunt evenimente incompatibile. Un student care primește note „bune” și „excelent” la examene la două discipline diferite este un eveniment comun.

Sunt numite două evenimente incompatibile, dintre care unul trebuie neapărat să apară opus . Eveniment opus evenimentului A denota Ā .

Exemplu : Apariția unei „steme” și apariția unei „cozi” atunci când aruncați o monedă sunt evenimente opuse.

Mai multe evenimente din acest experiment sunt numite la fel de posibil , dacă există motive să credem că niciunul dintre aceste evenimente nu este mai posibil decât celelalte.

Exemplu : extragerea unui as, zece, regină dintr-un pachet de cărți - evenimente la fel de posibile.

Se formează mai multe evenimente grup complet , dacă unul și numai unul dintre aceste evenimente trebuie să se producă în mod necesar ca rezultat al testului.

Exemplu : Dați 1, 2, 3, 4, 5, 6 când aruncați un zar.

Definiția clasică a probabilității unui eveniment. Proprietăți ale probabilității

Pentru activitățile practice, este important să se poată compara evenimentele în funcție de gradul de posibilitate de apariție a acestora.

Probabilitate evenimentul este o măsură numerică a gradului de posibilitate obiectivă a producerii unui eveniment.

Hai sa sunăm rezultat elementar fiecare dintre rezultatele testelor la fel de posibile.

Rezultatul se numește favorabil eveniment (de bun augur). A, dacă apariția ei atrage apariția unui eveniment A.

Definiție clasică : probabilitatea evenimentului A este egal cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile pentru un anumit eveniment și numărul total de rezultate posibile.

(1) unde P(A) – probabilitatea evenimentului A,

m- numărul de rezultate favorabile,

n– numărul tuturor rezultatelor posibile.

Exemplu : Există 1000 de bilete la loterie, dintre care 700 sunt necâștigătoare. Care este probabilitatea de a câștiga la un bilet achiziționat?

Eveniment A– bilet câștigător achiziționat

Numărul de rezultate posibile n=1000 este numărul total de bilete la loterie.

Numărul de rezultate favorabile evenimentului A– este numărul de bilete câștigătoare, adică m=1000-700=300.

Conform definiției clasice a probabilității:

Răspuns:
.

Notă proprietățile probabilității evenimentului:

1) Probabilitatea oricărui eveniment se află între zero și unu, adică 0≤ P(A)≤1.

2) Probabilitatea unui eveniment de încredere este 1.

3) Probabilitatea unui eveniment imposibil este 0.

Pe lângă cea clasică, există și definiții geometrice și statistice ale probabilității.

Elemente de combinatorie.

Pentru a calcula numărul de rezultate favorabile evenimentului luat în considerare sau numărul total de rezultate, formulele combinatorice sunt utilizate pe scară largă.

Să fie dat un set N din n diverse elemente.

Definiția 1: Combinații, fiecare dintre ele include totul n sunt numite elemente și care diferă între ele numai prin ordinea elementelor permutări din n elemente.

P n=n! (2), unde n! (n-factorial) – produs n primele numere ale seriei naturale, i.e.

n! = 1∙2∙3∙…∙(n–1)∙n

Deci, de exemplu, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120

Definiția 2: m elemente ( m≤n) și se deosebesc între ele fie prin alcătuirea elementelor, fie prin ordinea lor plasamente din n De m elemente.

(3) 
Definiția 3: Combinații, fiecare dintre ele conține m elemente ( m≤n) și care se deosebesc între ele numai prin alcătuirea elementelor se numesc combinatii din n De m elemente.

(4)
Cometariu: modificarea ordinii elementelor într-o combinație nu duce la o nouă combinație.

Să formulăm două reguli importante care sunt adesea folosite atunci când rezolvăm probleme combinatorii

Regula sumei: dacă obiect A poate fi selectat m moduri și obiectul ÎN – n moduri, atunci alegerea este fie A sau ÎN poate fi implementat m+n moduri.

Regula produsului: dacă obiect A poate fi selectat m moduri și obiectul ÎN după fiecare astfel de alegere poți alege n moduri, apoi o pereche de obiecte AȘi ÎN poate fi selectat în ordinea afișată m ∙ n moduri.

Este puțin probabil ca mulți oameni să se gândească dacă este posibil să se calculeze evenimente care sunt mai mult sau mai puțin aleatorii. În termeni simpli, este posibil să știm care parte a cubului va apărea în continuare? Aceasta a fost întrebarea pe care și-au pus-o doi mari oameni de știință, care au pus bazele unei astfel de științe precum teoria probabilității, în care probabilitatea unui eveniment este studiată destul de amplu.

Origine

Dacă încercați să definiți un astfel de concept ca teoria probabilității, veți obține următoarele: aceasta este una dintre ramurile matematicii care studiază constanța evenimentelor aleatoare. Desigur, acest concept nu dezvăluie cu adevărat întreaga esență, așa că este necesar să îl luăm în considerare mai detaliat.

Aș vrea să încep cu creatorii teoriei. După cum am menționat mai sus, au fost doi dintre ei și au fost unul dintre primii care au încercat să calculeze rezultatul unui eveniment sau al unuia folosind formule și calcule matematice. În general, începuturile acestei științe au apărut în Evul Mediu. La acea vreme, diverși gânditori și oameni de știință au încercat să analizeze jocurile de noroc, cum ar fi ruleta, zarurile și așa mai departe, stabilind astfel tiparul și procentul căderii unui anumit număr. Fundația a fost pusă în secolul al XVII-lea de oamenii de știință menționați mai sus.

La început, lucrările lor nu puteau fi considerate mari realizări în acest domeniu, deoarece tot ce au făcut au fost pur și simplu fapte empirice, iar experimentele au fost efectuate vizual, fără a folosi formule. De-a lungul timpului, s-a putut obține rezultate grozave, care au apărut ca urmare a observării aruncării zarurilor. Acesta a fost instrumentul care a ajutat la derivarea primelor formule inteligibile.

Oameni cu aceeasi gandire

Este imposibil să nu menționăm o astfel de persoană ca Christiaan Huygens în procesul de studiu a unui subiect numit „teoria probabilității” (probabilitatea unui eveniment este acoperită tocmai în această știință). Această persoană este foarte interesantă. El, ca și oamenii de știință prezentați mai sus, a încercat să derive tiparul evenimentelor aleatorii sub formă de formule matematice. Este de remarcat faptul că nu a făcut acest lucru împreună cu Pascal și Fermat, adică toate lucrările sale nu s-au intersectat cu aceste minți. a dedus Huygens

Un fapt interesant este că munca lui a apărut cu mult înainte de rezultatele muncii descoperitorilor, sau mai degrabă, cu douăzeci de ani mai devreme. Dintre conceptele identificate, cele mai cunoscute sunt:

• conceptul de probabilitate ca valoare a hazardului;
• așteptări matematice pentru cazuri discrete;
• teoreme ale înmulțirii și adunării probabilităților.

De asemenea, este imposibil să nu ne amintim cine a avut și o contribuție semnificativă la studiul problemei. Efectuându-și propriile teste, independent de oricine, a putut prezenta o dovadă a legii numerelor mari. La rândul lor, oamenii de știință Poisson și Laplace, care au lucrat la începutul secolului al XIX-lea, au reușit să demonstreze teoremele originale. Din acest moment, teoria probabilității a început să fie folosită pentru a analiza erorile din observații. Oamenii de știință ruși, sau mai degrabă Markov, Cebyshev și Dyapunov, nu au putut ignora această știință. Pe baza muncii făcute de mari genii, au stabilit acest subiect ca ramură a matematicii. Aceste cifre au funcționat deja la sfârșitul secolului al XIX-lea și, datorită contribuției lor, s-au dovedit următoarele fenomene:

• legea numerelor mari;
• teoria lanțului Markov;
• teorema limitei centrale.

Deci, cu istoria nașterii științei și cu principalii oameni care au influențat-o, totul este mai mult sau mai puțin clar. Acum a sosit momentul să clarificăm toate faptele.

Noțiuni de bază

Înainte de a atinge legi și teoreme, merită să studiezi conceptele de bază ale teoriei probabilităților. Evenimentul joacă un rol principal în el. Acest subiect este destul de voluminos, dar fără el nu va fi posibil să înțelegeți totul.

Un eveniment în teoria probabilității este orice set de rezultate ale unui experiment. Există destul de multe concepte ale acestui fenomen. Astfel, omul de știință Lotman, care lucrează în acest domeniu, a spus că în acest caz vorbim despre ceea ce „s-a întâmplat, deși s-ar putea să nu se fi întâmplat”.

Evenimentele aleatoare (teoria probabilității le acordă o atenție deosebită) este un concept care implică absolut orice fenomen care are posibilitatea să se producă. Sau, dimpotrivă, acest scenariu s-ar putea să nu se întâmple dacă sunt îndeplinite multe condiții. De asemenea, merită să știți că evenimentele aleatoare sunt cele care surprind întregul volum de fenomene care au avut loc. Teoria probabilității indică faptul că toate condițiile pot fi repetate în mod constant. Conduita lor se numește „experiență” sau „test”.

Un eveniment de încredere este un fenomen care are o probabilitate sută la sută să se întâmple într-un anumit test. Prin urmare, un eveniment imposibil este unul care nu se va întâmpla.

Combinația unei perechi de acțiuni (condițional, cazul A și cazul B) este un fenomen care are loc simultan. Ele sunt desemnate ca AB.

Suma perechilor de evenimente A și B este C, cu alte cuvinte, dacă se întâmplă cel puțin unul dintre ele (A sau B), atunci se va obține C. Formula pentru fenomenul descris se scrie după cum urmează: C = A + B.

Evenimentele incongruente în teoria probabilității implică faptul că două cazuri se exclud reciproc. Sub nicio formă nu se pot întâmpla în același timp. Evenimentele comune în teoria probabilității sunt antipodul lor. Ceea ce se înțelege aici este că, dacă s-a întâmplat A, atunci nu îl împiedică pe B în niciun fel.

Evenimentele opuse (teoria probabilității le consideră în detaliu) sunt ușor de înțeles. Cel mai bun mod de a le înțelege este prin comparație. Sunt aproape la fel ca evenimentele incompatibile din teoria probabilității. Dar diferența lor constă în faptul că unul dintre multele fenomene trebuie să se întâmple în orice caz.

Evenimente la fel de probabile sunt acele acțiuni a căror repetare este egală. Pentru a fi mai clar, vă puteți imagina că aruncați o monedă: pierderea uneia dintre părțile sale este la fel de probabil să cadă din cealaltă.

Este mai ușor să luați în considerare un eveniment de bun augur cu un exemplu. Să presupunem că există un episod B și un episod A. Primul este aruncarea zarurilor cu un număr impar, iar al doilea este apariția numărului cinci pe zar. Apoi se dovedește că A îl favorizează pe B.

Evenimentele independente în teoria probabilității sunt proiectate doar pe două sau mai multe cazuri și implică independența oricărei acțiuni față de alta. De exemplu, A este pierderea capetelor la aruncarea unei monede, iar B este extragerea unui cric de pe punte. Sunt evenimente independente în teoria probabilității. În acest moment a devenit mai clar.

Evenimentele dependente în teoria probabilității sunt, de asemenea, permise numai pentru un set dintre ele. Ele implică dependența unuia de celălalt, adică fenomenul B poate apărea numai dacă A s-a întâmplat deja sau, dimpotrivă, nu s-a întâmplat, atunci când aceasta este condiția principală pentru B.

Rezultatul unui experiment aleatoriu constând dintr-o componentă este evenimente elementare. Teoria probabilității explică că acesta este un fenomen care s-a întâmplat o singură dată.

Formule de bază

Deci, conceptele de „eveniment” și „teoria probabilității” au fost discutate mai sus; a fost dată și o definiție a termenilor de bază ai acestei științe. Acum este timpul să vă familiarizați direct cu formulele importante. Aceste expresii confirmă matematic toate conceptele principale dintr-un subiect atât de complex precum teoria probabilității. Probabilitatea unui eveniment joacă și aici un rol important.

Este mai bine să începeți cu cele de bază și înainte de a începe cu ele, merită să vă gândiți care sunt.

Combinatoria este în primul rând o ramură a matematicii; se ocupă cu studiul unui număr mare de numere întregi, precum și cu diverse permutări atât ale numerelor în sine, cât și ale elementelor lor, diferite date etc., ducând la apariția unui număr de combinații. Pe lângă teoria probabilității, această ramură este importantă pentru statistică, informatică și criptografie.

Deci, acum putem trece la prezentarea formulelor în sine și a definiției lor.

Prima dintre ele va fi expresia pentru numărul de permutări, arată astfel:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Ecuația se aplică numai dacă elementele diferă doar în ordinea aranjamentului lor.

Acum va fi luată în considerare formula de plasare, arată astfel:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Această expresie este aplicabilă nu numai ordinii de plasare a elementului, ci și compoziției acestuia.

A treia ecuație din combinatorică și este și ultima, se numește formula pentru numărul de combinații:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

O combinație se referă la selecții care nu sunt ordonate; în consecință, această regulă se aplică acestora.

A fost ușor de înțeles formulele combinatorice; acum puteți trece la definiția clasică a probabilităților. Această expresie arată astfel:

În această formulă, m este numărul de condiții favorabile evenimentului A și n este numărul absolut al tuturor rezultatelor la fel de posibile și elementare.

Există un număr mare de expresii; articolul nu le va acoperi pe toate, dar vor fi atinse cele mai importante, cum ar fi, de exemplu, probabilitatea sumei evenimentelor:

P(A + B) = P(A) + P(B) - această teoremă este pentru a adăuga doar evenimente incompatibile;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - și acesta este pentru adăugarea doar a celor compatibile.

Probabilitatea apariției evenimentelor:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - această teoremă este pentru evenimente independente;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - iar acesta este pentru dependent.

Lista evenimentelor va fi completată de formula evenimentelor. Teoria probabilității ne spune despre teorema lui Bayes, care arată astfel:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

În această formulă, H 1, H 2, ..., H n este un grup complet de ipoteze.

Exemple

Dacă studiezi cu atenție orice secțiune de matematică, aceasta nu este completă fără exerciții și soluții mostre. La fel este și teoria probabilității: evenimentele și exemplele de aici sunt o componentă integrală care confirmă calculele științifice.

Formula pentru numărul de permutări

Să presupunem că există treizeci de cărți într-un pachet de cărți, începând cu o valoare de unu. Urmatoarea intrebare. Câte moduri există de a stivui pachetul astfel încât cărțile cu valoarea unu și doi să nu fie una lângă alta?

Sarcina a fost stabilită, acum să trecem la rezolvarea ei. Mai întâi trebuie să determinați numărul de permutări a treizeci de elemente, pentru aceasta luăm formula prezentată mai sus, rezultă că P_30 = 30!.

Pe baza acestei reguli, aflăm câte opțiuni există pentru a plia pachetul în moduri diferite, dar trebuie să scădem din ele pe acelea în care prima și a doua carte sunt una lângă alta. Pentru a face acest lucru, să începem cu opțiunea când primul este deasupra celui de-al doilea. Se pare că prima carte poate ocupa douăzeci și nouă de locuri - de la prima la a douăzeci și nouă, iar a doua carte de la a doua la a treizecea, făcând un total de douăzeci și nouă de locuri pentru o pereche de cărți. La rândul lor, restul poate accepta douăzeci și opt de locuri și în orice ordine. Adică, pentru a rearanja douăzeci și opt de cărți, există douăzeci și opt de opțiuni P_28 = 28!

Ca urmare, reiese că dacă luăm în considerare soluția când prima carte este deasupra celei de-a doua, vor exista 29 ⋅ 28 de posibilități suplimentare! = 29!

Folosind aceeași metodă, trebuie să calculați numărul de opțiuni redundante pentru cazul în care primul card este sub al doilea. De asemenea, se dovedește a fi 29 ⋅ 28! = 29!

De aici rezultă că există 2 ⋅ 29 de opțiuni suplimentare!, în timp ce modalitățile necesare pentru a asambla o punte sunt 30! - 2 ⋅ 29!. Tot ce rămâne este să numere.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Acum trebuie să înmulțiți toate numerele de la unu la douăzeci și nouă și apoi să înmulțiți totul cu 28. Răspunsul este 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Exemplu de soluție. Formula pentru numărul de plasare

În această problemă, trebuie să aflați câte moduri există de a pune cincisprezece volume pe un raft, dar cu condiția să existe treizeci de volume în total.

Soluția la această problemă este puțin mai simplă decât cea anterioară. Folosind formula deja cunoscută, este necesar să se calculeze numărul total de aranjamente de treizeci de volume de cincisprezece.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 7270 3

Răspunsul, în consecință, va fi egal cu 202.843.204.931.727.360.000.

Acum să luăm o sarcină ceva mai dificilă. Trebuie să aflați câte moduri există de a aranja treizeci de cărți pe două rafturi, având în vedere că un raft poate conține doar cincisprezece volume.

Înainte de a începe soluția, aș dori să clarific că unele probleme pot fi rezolvate în mai multe moduri, iar aceasta are două metode, dar ambele folosesc aceeași formulă.

În această problemă, puteți lua răspunsul din cea anterioară, pentru că acolo am calculat de câte ori puteți umple un raft cu cincisprezece cărți în moduri diferite. S-a dovedit A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Vom calcula al doilea raft folosind formula de permutare, deoarece în el pot fi plasate cincisprezece cărți, în timp ce rămân doar cincisprezece. Folosim formula P_15 = 15!.

Se pare că totalul va fi A_30^15 ⋅ P_15 moduri, dar, în plus, produsul tuturor numerelor de la treizeci la șaisprezece va trebui să fie înmulțit cu produsul numerelor de la unu la cincisprezece, în cele din urmă, va obține produsul tuturor numerelor de la unu la treizeci, adică răspunsul este egal cu 30!

Dar această problemă poate fi rezolvată într-un alt mod - mai ușor. Pentru a face acest lucru, vă puteți imagina că există un raft pentru treizeci de cărți. Toate sunt așezate pe acest plan, dar din moment ce condiția cere să existe două rafturi, am văzut unul lung în jumătate, așa că obținem două din cincisprezece. Din aceasta rezultă că pot exista P_30 = 30 de opțiuni de aranjare!.

Exemplu de soluție. Formula pentru numărul combinației

Acum vom lua în considerare o versiune a celei de-a treia probleme din combinatorică. Este necesar să aflați câte moduri există de a aranja cincisprezece cărți, cu condiția să alegeți dintre treizeci de cărți absolut identice.

Pentru a rezolva, desigur, se va aplica formula pentru numărul de combinații. Din condiție devine clar că ordinea celor cincisprezece cărți identice nu este importantă. Prin urmare, inițial trebuie să aflați numărul total de combinații de treizeci de cărți de cincisprezece.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Asta e tot. Folosind această formulă, am reușit să rezolvăm această problemă în cel mai scurt timp posibil; răspunsul, în consecință, este 155.117.520.

Exemplu de soluție. Definiția clasică a probabilității

Folosind formula de mai sus, puteți găsi răspunsul la o problemă simplă. Dar acest lucru vă va ajuta să vedeți și să urmăriți în mod clar progresul acțiunilor.

Problema spune că există zece bile absolut identice în urnă. Dintre acestea, patru sunt galbene și șase albastre. Se ia o minge din urna. Trebuie să aflați probabilitatea de a obține albastru.

Pentru a rezolva problema, este necesar să se desemneze obținerea bilei albastre ca eveniment A. Acest experiment poate avea zece rezultate, care, la rândul lor, sunt elementare și la fel de posibile. În același timp, din zece, șase sunt favorabile evenimentului A. Rezolvăm folosind formula:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Aplicând această formulă, am aflat că probabilitatea de a obține mingea albastră este de 0,6.

Exemplu de soluție. Probabilitatea sumei evenimentelor

Acum va fi prezentată o opțiune care este rezolvată folosind formula probabilității sumei evenimentelor. Deci, este dată condiția ca să fie două cutii, prima să conțină o bile gri și cinci albe, iar a doua să conțină opt bile gri și patru albe. Drept urmare, au luat una dintre ele din prima și a doua cutie. Trebuie să aflați care este șansa ca bilele pe care le obțineți să fie gri și albe.

Pentru a rezolva această problemă, este necesară identificarea evenimentelor.

• Deci, A - a luat o minge gri din prima casetă: P(A) = 1/6.
• A’ - a luat și o minge albă din prima casetă: P(A") = 5/6.
• B - o minge gri a fost scoasă din a doua casetă: P(B) = 2/3.
• B’ - a luat o minge gri din a doua cutie: P(B") = 1/3.

În funcție de condițiile problemei, este necesar ca unul dintre fenomene să se întâmple: AB’ sau A’B. Folosind formula, obținem: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Acum a fost folosită formula de înmulțire a probabilității. În continuare, pentru a afla răspunsul, trebuie să aplicați ecuația adunării lor:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Acesta este modul în care puteți rezolva probleme similare folosind formula.

Concluzie

Articolul a prezentat informații despre tema „Teoria probabilității”, în care probabilitatea unui eveniment joacă un rol vital. Desigur, nu a fost luat în considerare totul, dar, pe baza textului prezentat, te poți familiariza teoretic cu această secțiune de matematică. Știința în cauză poate fi utilă nu numai în chestiuni profesionale, ci și în viața de zi cu zi. Cu ajutorul lui, puteți calcula orice posibilitate a oricărui eveniment.

Textul a atins, de asemenea, date semnificative din istoria formării teoriei probabilității ca știință și numele oamenilor a căror activitate a fost investită în ea. Acesta este modul în care curiozitatea umană a dus la faptul că oamenii au învățat să calculeze chiar și evenimente aleatorii. Pe vremuri erau pur și simplu interesați de asta, dar astăzi toată lumea știe deja despre asta. Și nimeni nu va spune ce ne așteaptă în viitor, ce alte descoperiri strălucitoare legate de teoria luată în considerare se vor face. Dar un lucru este sigur - cercetarea nu sta pe loc!

Probabilitatea unui eveniment este înțeleasă ca o anumită caracteristică numerică a posibilității producerii acestui eveniment. Există mai multe abordări pentru a determina probabilitatea.

Probabilitatea evenimentului A se numește raportul dintre numărul de rezultate favorabile acestui eveniment și numărul total al tuturor rezultatelor elementare incompatibile la fel de posibile care formează grupul complet. Deci, probabilitatea evenimentului A este determinat de formula

Unde m– numărul de rezultate elementare favorabile A, n– numărul tuturor rezultatelor posibile ale testelor elementare.

Exemplul 3.1.Într-un experiment care implică aruncarea unui zar, numărul tuturor rezultatelor n este egal cu 6 și toate sunt la fel de posibile. Lasă evenimentul Aînseamnă apariția unui număr par. Apoi, pentru acest eveniment, rezultatele favorabile vor fi apariția numerelor 2, 4, 6. Numărul lor este 3. Prin urmare, probabilitatea evenimentului A egal cu

Exemplul 3.2. Care este probabilitatea ca un număr din două cifre ales la întâmplare să aibă aceleași cifre?

Numerele din două cifre sunt numere de la 10 la 99, există în total 90 de astfel de numere. 9 numere au cifre identice (acestea sunt numerele 11, 22, ..., 99). Întrucât în ​​acest caz m=9, n=90, atunci

Unde A– eveniment, „un număr cu aceleași cifre”.

Exemplul 3.3.Într-un lot de 10 părți, 7 sunt standard. Găsiți probabilitatea ca dintre șase părți luate la întâmplare, 4 să fie standard.

Numărul total de rezultate posibile ale testului elementar este egal cu numărul de moduri în care 6 părți pot fi extrase din 10, adică numărul de combinații a 10 elemente a câte 6 elemente fiecare. Să stabilim numărul de rezultate favorabile evenimentului care ne interesează A(dintre cele șase părți luate există 4 standard). Patru părți standard pot fi luate din șapte părți standard în moduri diferite; în același timp, restul de 6-4=2 părți trebuie să fie non-standard, dar puteți lua două părți non-standard din 10-7=3 părți non-standard în moduri diferite. Prin urmare, numărul de rezultate favorabile este egal cu .

Atunci probabilitatea necesară este egală cu

Următoarele proprietăți rezultă din definiția probabilității:

1. Probabilitatea unui eveniment de încredere este egală cu unu.

Într-adevăr, dacă evenimentul este de încredere, atunci fiecare rezultat elementar al testului favorizează evenimentul. În acest caz m=n, prin urmare

2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.

Într-adevăr, dacă un eveniment este imposibil, atunci niciunul dintre rezultatele elementare ale testului nu favorizează evenimentul. În acest caz înseamnă

3. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este un număr pozitiv între zero și unu.

Într-adevăr, doar o parte din numărul total de rezultate elementare ale testului este favorizată de un eveniment aleatoriu. În acest caz< m< n, înseamnă 0 < m/n < 1, adică 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Construcția unei teorii a probabilității complete din punct de vedere logic se bazează pe definiția axiomatică a unui eveniment aleatoriu și a probabilității acestuia. În sistemul de axiome propus de A. N. Kolmogorov, conceptele nedefinite sunt un eveniment și probabilitate elementară. Iată axiomele care definesc probabilitatea:

1. Fiecare eveniment A atribuit un număr real nenegativ P(A). Acest număr se numește probabilitatea evenimentului A.

2. Probabilitatea unui eveniment de încredere este egală cu unu.

3. Probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre evenimentele incompatibile în perechi este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.

Pe baza acestor axiome, proprietățile probabilităților și dependențele dintre ele sunt derivate ca teoreme.

Întrebări de autotest

1. Cum se numește caracteristica numerică a posibilității de a avea loc un eveniment?

2. Care este probabilitatea unui eveniment?

3. Care este probabilitatea unui eveniment de încredere?

4. Care este probabilitatea unui eveniment imposibil?

5. Care sunt limitele probabilității unui eveniment aleatoriu?

6. Care sunt limitele probabilității oricărui eveniment?

7. Ce definiție a probabilității se numește clasică?

Pentru a compara cantitativ evenimentele între ele după gradul de posibilitate al acestora, evident, este necesar să se asocieze un anumit număr fiecărui eveniment, care este mai mare, cu atât evenimentul este mai posibil. Vom numi acest număr probabilitatea unui eveniment. Prin urmare, probabilitatea unui eveniment este o măsură numerică a gradului de posibilitate obiectivă a acestui eveniment.

Prima definiție a probabilității ar trebui considerată cea clasică, care a apărut din analiza jocurilor de noroc și a fost aplicată inițial intuitiv.

Metoda clasică de determinare a probabilității se bazează pe conceptul de evenimente la fel de posibile și incompatibile, care sunt rezultatele unei experiențe date și formează un grup complet de evenimente incompatibile.

Cel mai simplu exemplu de evenimente la fel de posibile și incompatibile care formează un grup complet este apariția uneia sau alteia mingi dintr-o urnă care conține mai multe bile de aceeași dimensiune, greutate și alte caracteristici tangibile, care diferă doar prin culoare, bine amestecate înainte de a fi îndepărtate.

Prin urmare, un test ale cărui rezultate formează un grup complet de evenimente incompatibile și la fel de posibile se spune că este reductibil la un model de urne, sau un model de cazuri sau se încadrează în modelul clasic.

Evenimentele la fel de posibile și incompatibile care alcătuiesc un grup complet vor fi numite pur și simplu cazuri sau șanse. Mai mult, în fiecare experiment, alături de cazuri, pot apărea evenimente mai complexe.

Exemplu: Când aruncăm un zar, împreună cu cazurile A i - pierderea punctelor i din partea superioară, putem considera evenimente precum B - pierderea unui număr par de puncte, C - pierderea unui număr de puncte. puncte care sunt multiplu de trei...

În raport cu fiecare eveniment care poate apărea în timpul experimentului, cazurile sunt împărțite în favorabil, în care se produce acest eveniment, și nefavorabile, în care evenimentul nu are loc. În exemplul anterior, evenimentul B este favorizat de cazurile A 2, A 4, A 6; eveniment C - cazurile A 3, A 6.

Probabilitate clasică apariția unui anumit eveniment se numește raportul dintre numărul de cazuri favorabile apariției acestui eveniment și numărul total de cazuri la fel de posibile, incompatibile, care alcătuiesc grupul complet dintr-un experiment dat:

Unde P(A)- probabilitatea apariţiei evenimentului A; m- numărul de cazuri favorabile evenimentului A; n- numărul total de cazuri.

Exemple:

1) (vezi exemplul de mai sus) P(B)= , P(C) =.

2) Urna conține 9 bile roșii și 6 albastre. Găsiți probabilitatea ca una sau două bile extrase la întâmplare să devină roșii.

A- o bila rosie extrasa la intamplare:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- două bile roșii extrase la întâmplare:

Următoarele proprietăți rezultă din definiția clasică a probabilității (arată-te):

1) Probabilitatea unui eveniment imposibil este 0;

2) Probabilitatea unui eveniment de încredere este 1;

3) Probabilitatea oricărui eveniment se situează între 0 și 1;

4) Probabilitatea unui eveniment opus evenimentului A,

Definiția clasică a probabilității presupune că numărul de rezultate ale unui proces este finit. În practică, de foarte multe ori există teste, al căror număr de cazuri posibile este infinit. În plus, slăbiciunea definiției clasice este că de foarte multe ori este imposibil să se reprezinte rezultatul unui test sub forma unui set de evenimente elementare. Este și mai dificil de indicat motivele pentru care se consideră că rezultatele elementare ale unui test sunt la fel de posibile. De obicei, echiposibilitatea rezultatelor testelor elementare este concluzionată din considerente de simetrie. Cu toate acestea, astfel de sarcini sunt foarte rare în practică. Din aceste motive, alături de definiția clasică a probabilității, sunt utilizate și alte definiții ale probabilității.

Probabilitate statistică evenimentul A este frecvența relativă de apariție a acestui eveniment în testele efectuate:

unde este probabilitatea de apariție a evenimentului A;

Frecvența relativă de apariție a evenimentului A;

Numărul de încercări în care a apărut evenimentul A;

Numărul total de încercări.

Spre deosebire de probabilitatea clasică, probabilitatea statistică este o caracteristică a probabilității experimentale.

Exemplu: Pentru a controla calitatea produselor dintr-un lot, au fost selectate aleatoriu 100 de produse, dintre care 3 produse s-au dovedit a fi defecte. Determinați probabilitatea căsătoriei.

Metoda statistică de determinare a probabilității este aplicabilă numai acelor evenimente care au următoarele proprietăți:

Evenimentele luate în considerare ar trebui să fie doar rezultatele acelor teste care pot fi reproduse de un număr nelimitat de ori în același set de condiții.

Evenimentele trebuie să aibă stabilitate statistică (sau stabilitate a frecvențelor relative). Aceasta înseamnă că în diferite serii de teste frecvența relativă a evenimentului se modifică puțin.

Numărul de încercări care rezultă în evenimentul A trebuie să fie destul de mare.

Este ușor de verificat că proprietățile probabilității care decurg din definiția clasică sunt păstrate și în definiția statistică a probabilității.