Definiție. O elipsă este locul punctelor dintr-un plan, suma distanțelor fiecăruia dintre ele față de două puncte date ale acestui plan, numite focare, este o valoare constantă (cu condiția ca această valoare să fie mai mare decât distanța dintre focare).

Să notăm focarele prin distanța dintre ele - prin , și o valoare constantă egală cu suma distanțelor de la fiecare punct al elipsei la focare, prin (prin condiție ).

Să construim un sistem de coordonate carteziene astfel încât focarele să fie pe axa absciselor, iar originea coordonatelor să coincidă cu mijlocul segmentului (Fig. 44). Apoi focalizările vor avea următoarele coordonate: focalizare stânga și focalizare dreapta. Să derivăm ecuația elipsei în sistemul de coordonate pe care l-am ales. În acest scop, luați în considerare un punct arbitrar al elipsei. Prin definiția unei elipse, suma distanțelor de la acest punct la focare este:

Folosind formula pentru distanța dintre două puncte, obținem, prin urmare,

Pentru a simplifica această ecuație, o scriem sub forma

Apoi la pătrat ambele părți ale ecuației dă

sau, după simplificări evidente:

Acum, din nou, pătram ambele părți ale ecuației, după care vom avea:

sau, după transformări identice:

Deoarece conform condiției din definiția unei elipse, atunci este un număr pozitiv. Introducem notația

Atunci ecuația va lua următoarea formă:

Prin definiția unei elipse, coordonatele oricăruia dintre punctele sale satisfac ecuația (26). Dar ecuația (29) este o consecință a ecuației (26). Prin urmare, satisface și coordonatele oricărui punct al elipsei.

Se poate arăta că coordonatele punctelor care nu se află pe elipsă nu satisfac ecuația (29). Astfel, ecuația (29) este ecuația unei elipse. Se numește ecuația canonică a elipsei.

Să stabilim forma elipsei folosind ecuația ei canonică.

În primul rând, rețineți că această ecuație conține doar puteri pare ale lui x și y. Aceasta înseamnă că, dacă orice punct aparține unei elipse, atunci include și un punct care este simetric cu un punct în jurul axei absciselor și un punct care este simetric cu un punct în jurul axei y. Astfel, elipsa are două axe de simetrie reciproc perpendiculare, care în sistemul de coordonate ales coincid cu axele de coordonate. Axele de simetrie ale elipsei vor fi numite axele elipsei, iar punctul de intersecție a acestora - centrul elipsei. Axa pe care se află focarele elipsei (în acest caz, axa absciselor) se numește axă focală.

Să determinăm forma elipsei mai întâi în primul trimestru. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația (28) în raport cu y:

Este evident că aici, deoarece y ia valori imaginare pentru . Cu o creștere de la 0 la a, y scade de la b la 0. Partea elipsei situată în primul sfert va fi un arc delimitat de punctele B (0; b) și situată pe axele de coordonate (Fig. 45). Folosind acum simetria elipsei, ajungem la concluzia că elipsa are forma prezentată în Fig. 45.

Punctele de intersecție ale elipsei cu axele se numesc vârfuri ale elipsei. Din simetria elipsei rezultă că, pe lângă vârfuri, elipsa mai are două vârfuri (vezi Fig. 45).

Segmentele și care leagă vârfurile opuse ale elipsei, precum și lungimile lor, se numesc axele majore și, respectiv, minore ale elipsei. Numerele a și b sunt numite semiaxele majore și, respectiv, minore ale elipsei.

Raportul dintre jumătate din distanța dintre focare și semi-axa majoră a elipsei se numește excentricitatea elipsei și este de obicei notat cu litera:

Deoarece , atunci excentricitatea elipsei este mai mică de unu: Excentricitatea caracterizează forma elipsei. Într-adevăr, rezultă din formula (28), din aceasta se poate observa că cu cât excentricitatea elipsei este mai mică, cu atât semiaxa sa minoră b diferă mai puțin de semiaxa majoră a, adică cu atât elipsa este mai puțin extinsă (de-a lungul focalei). axă).

În cazul limitativ, când obțineți un cerc cu raza a: , sau . În același timp, focarele elipsei, așa cum ar fi, fuzionează într-un punct - centrul cercului. Excentricitatea cercului este zero:

Legătura dintre elipsă și cerc poate fi stabilită din alt punct de vedere. Să arătăm că o elipsă cu semi-axele a și b poate fi considerată ca o proiecție a unui cerc cu raza a.

Să considerăm două plane P și Q, formând între ele un astfel de unghi a, pentru care (Fig. 46). Să construim un sistem de coordonate în planul P și un sistem Oxy în planul Q cu o origine comună O și o axă comună de abscisă care coincide cu linia de intersecție a planurilor. Se consideră în planul P cercul

centrat la origine și raza a. Fie un punct ales arbitrar al cercului, fie proiecția lui pe planul Q și proiecția punctului M pe axa Ox. Să arătăm că punctul se află pe o elipsă cu semiaxele a și b.

Linii de ordinul doi.
Elipsa și ecuația ei canonică. Cerc

După un studiu amănunțit linii drepte pe plan continuăm să studiem geometria lumii bidimensionale. Miza este dublată și vă invit să vizitați pitoreasca galerie de elipse, hiperbole, parabole, care sunt reprezentanți tipici ai linii de ordinul doi. Turul a început deja și, mai întâi, o scurtă informare despre întreaga expoziție de la diferite etaje ale muzeului:

Conceptul de dreptă algebrică și ordinea acesteia

O linie pe un plan se numește algebric, dacă în sistem de coordonate afine ecuația sa are forma , unde este un polinom format din termeni de forma ( este un număr real, sunt numere întregi nenegative).

După cum puteți vedea, ecuația unei linii algebrice nu conține sinusuri, cosinusuri, logaritmi și alte frumoase monde funcționale. Doar „x” și „y” în întreg nenegativ grade.

Ordine de linie este egală cu valoarea maximă a termenilor incluși în acesta.

Conform teoremei corespunzătoare, conceptul de dreptă algebrică, precum și ordinea acesteia, nu depind de alegere sistem de coordonate afine, prin urmare, pentru ușurința de a fi, considerăm că toate calculele ulterioare au loc în coordonate carteziene.

Ecuația generală linia de ordinul doi are forma , unde sunt numere reale arbitrare (se obișnuiește să scrieți cu un multiplicator - „două”), iar coeficienții nu sunt simultan egali cu zero.

Dacă , atunci ecuația se simplifică la , iar dacă coeficienții nu sunt simultan egali cu zero, atunci acesta este exact ecuația generală a unei linii drepte „plate”., care reprezintă prima linie de comandă.

Mulți au înțeles sensul noilor termeni, dar, cu toate acestea, pentru a asimila materialul 100%, băgăm degetele în priză. Pentru a determina ordinea liniilor, repetați toți termenii ecuațiile sale și pentru fiecare dintre ele găsiți suma puterilor variabilele de intrare.

De exemplu:

termenul conține „x” până la gradul I;
termenul conține „Y” la puterea 1;
nu există variabile în termen, deci suma puterilor lor este zero.

Acum să ne dăm seama de ce ecuația stabilește linia al doilea Ordin:

termenul conține „x” în gradul II;
termenul are suma gradelor variabilelor: 1 + 1 = 2;
termenul conține „y” în gradul II;
toți ceilalți termeni - mai puțin grad.

Valoarea maximă: 2

Dacă adăugăm în plus la ecuația noastră, să spunem, , atunci va determina deja linia de ordine a treia. Este evident că forma generală a ecuației liniei de ordinul 3 conține un „mult complet” de termeni, suma gradelor de variabile în care este egală cu trei:
, unde coeficienții nu sunt simultan egali cu zero.

În cazul în care se adaugă unul sau mai mulți termeni potriviți care conțin , atunci vom vorbi despre linii de ordinul 4, etc.

Va trebui să ne ocupăm de linii algebrice de ordinul 3, 4 și superior de mai multe ori, în special, atunci când ne familiarizăm cu sistem de coordonate polare.

Cu toate acestea, să revenim la ecuația generală și să ne amintim cele mai simple variații școlare ale acesteia. Exemple sunt parabola, a cărei ecuație poate fi ușor redusă la o formă generală, și hiperbola cu o ecuație echivalentă. Cu toate acestea, nu totul este atât de lin ....

Un dezavantaj semnificativ al ecuației generale este că aproape întotdeauna nu este clar ce linie definește. Chiar și în cel mai simplu caz, nu îți vei da seama imediat că aceasta este o hiperbolă. Astfel de amenajări sunt bune numai la o mascarada, prin urmare, în cursul geometriei analitice, este considerată o problemă tipică reducerea ecuației liniei de ordinul 2 la forma canonică.

Care este forma canonică a unei ecuații?

Aceasta este forma standard acceptată în general a ecuației, când în câteva secunde devine clar ce obiect geometric definește. În plus, forma canonică este foarte convenabilă pentru rezolvarea multor sarcini practice. Deci, de exemplu, conform ecuației canonice „plat” drept, în primul rând, este imediat clar că aceasta este o linie dreaptă, iar în al doilea rând, punctul care îi aparține și vectorul de direcție sunt pur și simplu vizibile.

Evident, oricare Prima linie de comandă reprezintă o linie dreaptă. La etajul doi, nu ne mai așteaptă un portar, ci o companie mult mai diversă de nouă statui:

Clasificarea liniilor de ordinul doi

Cu ajutorul unui set special de acțiuni, orice ecuație de linie de ordinul doi este redusă la unul dintre următoarele tipuri:

(și sunt numere reale pozitive)

1) este ecuația canonică a elipsei;

2) este ecuația canonică a hiperbolei;

3) este ecuația canonică a parabolei;

4) – imaginar elipsă;

5) - o pereche de drepte care se intersectează;

6) - cuplu imaginar linii de intersectare (cu singurul punct real de intersecție la origine);

7) - o pereche de drepte paralele;

8) - cuplu imaginar linii paralele;

9) este o pereche de linii care coincid.

Unii cititori pot avea impresia că lista este incompletă. De exemplu, în paragraful numărul 7, ecuația stabilește perechea direct, paralel cu axa, și se pune întrebarea: unde este ecuația care determină dreptele paralele cu axa y? Raspunde nu este considerat canon. Liniile drepte reprezintă același caz standard rotit cu 90 de grade, iar o intrare suplimentară în clasificare este redundantă, deoarece nu conține nimic fundamental nou.

Astfel, există nouă și doar nouă tipuri diferite de linii de ordinul 2, dar în practică cele mai comune sunt elipsa, hiperbola si parabola.

Să ne uităm mai întâi la elipsă. Ca de obicei, mă concentrez asupra acelor puncte care sunt de mare importanță pentru rezolvarea problemelor, iar dacă aveți nevoie de o derivare detaliată a formulelor, demonstrații de teoreme, vă rugăm să consultați, de exemplu, manualul lui Bazylev / Atanasyan sau Aleksandrov.

Elipsa și ecuația ei canonică

Ortografie ... vă rugăm să nu repetați greșelile unor utilizatori Yandex care sunt interesați de „cum să construiți o elipsă”, „diferența dintre o elipsă și un oval” și „excentricitatea elbs”.

Ecuația canonică a unei elipse are forma , unde sunt numere reale pozitive și . Voi formula mai târziu definiția unei elipse, dar deocamdată este timpul să luăm o pauză de la vorbire și să rezolvăm o problemă comună:

Cum se construiește o elipsă?

Da, ia-l și desenează-l. Sarcina este obișnuită, iar o parte semnificativă a studenților nu se descurcă destul de competent cu desenul:

Exemplul 1

Construiți o elipsă dată de ecuație

Soluţie: mai întâi aducem ecuația la forma canonică:

De ce să aduci? Unul dintre avantajele ecuației canonice este că vă permite să determinați instantaneu vârfuri de elipsă, care sunt la punctele . Este ușor de observat că coordonatele fiecăruia dintre aceste puncte satisfac ecuația .

În acest caz :


Segment de linie numit axa mare elipsă;
segment de linie – axa minoră;
număr numit semi-axa mare elipsă;
număr – semi-axă minoră.
în exemplul nostru: .

Pentru a vă imagina rapid cum arată aceasta sau acea elipsă, priviți doar valorile „a” și „fi” ale ecuației sale canonice.

Totul este bine, îngrijit și frumos, dar există o avertizare: am finalizat desenul folosind programul. Și poți desena cu orice aplicație. Cu toate acestea, în realitate dură, o bucată de hârtie în carouri stă pe masă, iar șoarecii dansează în jurul mâinilor noastre. Oamenii cu talent artistic, desigur, se pot certa, dar ai și șoareci (deși mai mici). Nu degeaba omenirea a inventat o riglă, o busolă, un raportor și alte dispozitive simple pentru desen.

Din acest motiv, este puțin probabil să reușim să desenăm cu precizie o elipsă, cunoscând doar vârfurile. Totuși, în regulă, dacă elipsa este mică, de exemplu, cu semiaxele. Alternativ, puteți reduce scara și, în consecință, dimensiunile desenului. Dar, în cazul general, este foarte de dorit să găsiți puncte suplimentare.

Există două abordări pentru construirea unei elipse - geometrică și algebrică. Nu îmi place să construiesc cu o busolă și o riglă din cauza algoritmului scurt și a dezordinei semnificative a desenului. În caz de urgență, vă rugăm să consultați manualul, dar în realitate este mult mai rațional să folosiți instrumentele algebrei. Din ecuația elipsei de pe schiță, exprimăm rapid:

Ecuația este apoi împărțită în două funcții:
– definește arcul superior al elipsei;
– definește arcul inferior al elipsei.

Elipsa dată de ecuația canonică este simetrică față de axele de coordonate, precum și față de origine. Și asta este grozav - simetria este aproape întotdeauna un prevestitor al unui om gratuit. Evident, este suficient să ne ocupăm de primul trimestru de coordonate, așa că avem nevoie de o funcție . Sugerează găsirea de puncte suplimentare cu abscise . Am lovit trei SMS-uri pe calculator:

Desigur, este și plăcut că, dacă se face o eroare gravă în calcule, aceasta va deveni imediat clară în timpul construcției.

Marcați puncte pe desen (culoare roșie), puncte simetrice pe celelalte arce (culoare albastră) și conectați cu atenție întreaga companie cu o linie:


Este mai bine să desenați schița inițială subțire și subțire și abia apoi să aplicați presiune pe creion. Rezultatul ar trebui să fie o elipsă destul de decentă. Apropo, ai vrea să știi ce este această curbă?

Definiţia an elipse. Focare de elipsă și excentricitate de elipsă

O elipsă este un caz special al unui oval. Cuvântul „oval” nu trebuie înțeles în sensul filistean („copilul a desenat un oval”, etc.). Acesta este un termen matematic cu o formulare detaliată. Scopul acestei lecții nu este de a lua în considerare teoria ovalelor și diferitele lor tipuri, cărora practic nu li se acordă atenție în cursul standard de geometrie analitică. Și, în conformitate cu nevoile mai actuale, trecem imediat la definiția strictă a unei elipse:

Elipsă- aceasta este multimea tuturor punctelor planului, suma distantelor pana la fiecare dintre care de la doua puncte date, numite trucuri elipsa, este o valoare constanta, numeric egala cu lungimea axei majore a acestei elipse: .
În acest caz, distanța dintre focare este mai mică decât această valoare: .

Acum va deveni mai clar:

Imaginează-ți că punctul albastru „călărește” pe o elipsă. Deci, indiferent de ce punct al elipsei luăm, suma lungimilor segmentelor va fi întotdeauna aceeași:

Să ne asigurăm că în exemplul nostru valoarea sumei este într-adevăr egală cu opt. Puneți mental punctul „em” în vârful din dreapta al elipsei, apoi: , care trebuia verificat.

O altă modalitate de a desena o elipsă se bazează pe definiția unei elipse. Matematica superioară, uneori, este cauza tensiunii și a stresului, așa că este timpul să mai avem o sesiune de descărcare. Vă rugăm să luați o bucată de hârtie sau o coală mare de carton și fixați-o pe masă cu două cuie. Acestea vor fi trucuri. Legați un fir verde de capetele proeminente ale unghiilor și trageți-l până la capăt cu un creion. Gâtul creionului va fi la un moment dat, care aparține elipsei. Acum începeți să ghidați creionul pe foaia de hârtie, păstrând firul verde foarte întins. Continuați procesul până reveniți la punctul de plecare... excelent... desenul poate fi depus spre verificare de către medic profesorului =)

Cum să găsești focalizarea unei elipse?

În exemplul de mai sus, am descris punctele de focalizare „gata”, iar acum vom învăța cum să le extragem din adâncimea geometriei.

Dacă elipsa este dată de ecuația canonică , atunci focarele sale au coordonate , unde este distanța de la fiecare focar până la centrul de simetrie al elipsei.

Calculele sunt mai ușoare decât napii aburiți:

! Cu sensul „ce” este imposibil de identificat coordonatele specifice trucurilor! Repet, asta este DISTANTA de la fiecare focalizare la centru(care în cazul general nu trebuie să fie situat exact la origine).
Și, prin urmare, distanța dintre focare nu poate fi legată nici de poziția canonică a elipsei. Cu alte cuvinte, elipsa poate fi mutată în alt loc, iar valoarea va rămâne neschimbată, în timp ce focarele își vor schimba în mod natural coordonatele. Luați în considerare acest momentîn timpul studierii ulterioare a subiectului.

Excentricitatea unei elipse și semnificația ei geometrică

Excentricitatea unei elipse este un raport care poate lua valori în interiorul .

În cazul nostru:

Să aflăm cum forma unei elipse depinde de excentricitatea acesteia. Pentru asta fixați vârfurile stânga și dreapta a elipsei luate în considerare, adică valoarea semiaxei majore va rămâne constantă. Atunci formula excentricității va lua forma: .

Să începem să aproximăm valoarea excentricității la unitate. Acest lucru este posibil doar dacă . Ce înseamnă? ...amintind trucuri . Aceasta înseamnă că focarele elipsei se vor „dispersa” de-a lungul axei absciselor către vârfurile laterale. Și, deoarece „segmentele verzi nu sunt cauciuc”, elipsa va începe inevitabil să se aplatizeze, transformându-se într-un cârnați din ce în ce mai subțiri înșirat pe o axă.

În acest fel, cu cât excentricitatea elipsei este mai aproape de unul, cu atât elipsa este mai alungită.

Acum să simulăm procesul opus: focarele elipsei s-au îndreptat unul spre celălalt, apropiindu-se de centru. Aceasta înseamnă că valoarea lui „ce” este din ce în ce mai mică și, în consecință, excentricitatea tinde spre zero: .
În acest caz, „segmentele verzi”, dimpotrivă, vor „deveni aglomerate” și vor începe să „împingă” linia elipsei în sus și în jos.

În acest fel, cu cât valoarea excentricității este mai aproape de zero, cu atât elipsa arată mai mult... uitați-vă la cazul limitativ, când focarele sunt reunite cu succes la origine:

Un cerc este un caz special al unei elipse

Într-adevăr, în cazul egalității semiaxelor, ecuația canonică a elipsei ia forma, care se transformă reflexiv în binecunoscuta ecuație a cercului din școala cu centrul la originea razei „a”.

În practică, notația cu litera „vorbitoare” „er” este mai des folosită:. Raza se numește lungimea segmentului, în timp ce fiecare punct al cercului este îndepărtat din centru cu distanța razei.

Rețineți că definiția unei elipse rămâne complet corectă: focarele s-au potrivit, iar suma lungimilor segmentelor potrivite pentru fiecare punct de pe cerc este o valoare constantă. Deoarece distanța dintre focare este excentricitatea oricărui cerc este zero.

Un cerc se construiește ușor și rapid, este suficient să te înarmezi cu o busolă. Cu toate acestea, uneori este necesar să aflăm coordonatele unora dintre punctele sale, în acest caz mergem pe calea familiară - aducem ecuația la forma unui Matan vesel:

este funcția semicercului superior;
este funcția semicercului inferior.

Apoi găsim valorile dorite, diferentiabil, integrași să faci alte lucruri bune.

Articolul, desigur, este doar pentru referință, dar cum se poate trăi fără iubire în lume? Sarcină creativă pentru soluție independentă

Exemplul 2

Scrieți ecuația canonică a unei elipse dacă unul dintre focarele sale și semiaxa mică sunt cunoscute (centrul este la origine). Găsiți vârfuri, puncte suplimentare și trageți o linie pe desen. Calculați excentricitatea.

Rezolvare și desen la sfârșitul lecției

Să adăugăm o acțiune:

Rotiți și traduceți o elipsă

Să revenim la ecuația canonică a elipsei, și anume la condiția, a cărei ghicitoare chinuie mințile iscoditoare încă de la prima mențiune a acestei curbe. Aici am considerat o elipsă , dar în practică nu poate ecuația ? La urma urmei, aici, însă, pare a fi ca o elipsă!

O astfel de ecuație este rară, dar apare. Și definește o elipsă. Să risipim misticul:

În urma construcției, se obține elipsa noastră nativă, rotită cu 90 de grade. Acesta este, - aceasta este intrare necanonică elipsă . Record!- ecuația nu specifică nicio altă elipsă, deoarece nu există puncte (focale) pe axă care să satisfacă definiția unei elipse.

O elipsă este locul punctelor dintr-un plan, suma distanțelor de la fiecare dintre ele la două puncte date F_1, iar F_2 este o valoare constantă (2a), mai mare decât distanța (2c) dintre aceste puncte date (Fig. 3.36, a). Această definiție geometrică exprimă proprietatea focală a unei elipse.

Proprietatea focală a unei elipse

Punctele F_1 și F_2 sunt numite focare ale elipsei, distanța dintre ele 2c=F_1F_2 este distanța focală, punctul mijlociu O al segmentului F_1F_2 este centrul elipsei, numărul 2a este lungimea axei majore a elipsei. elipsa (respectiv, numărul a este semiaxa majoră a elipsei). Segmentele F_1M și F_2M care leagă un punct arbitrar M al elipsei cu focarele sale se numesc razele focale ale punctului M . Un segment de linie care leagă două puncte ale unei elipse se numește coardă a elipsei.

Raportul e=\frac(c)(a) se numește excentricitatea elipsei. Din definiţia (2a>2c) rezultă că 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Definiția geometrică a unei elipse, care își exprimă proprietatea focală, este echivalent cu definiția sa analitică - o linie dată de ecuația canonică a unei elipse:

Într-adevăr, să introducem un sistem de coordonate dreptunghiular (Fig. 3.36, c). Centrul O al elipsei este luat ca origine a sistemului de coordonate; linia dreaptă care trece prin focare (axa focală sau prima axă a elipsei), o vom lua drept axa absciselor (direcția pozitivă pe aceasta de la punctul F_1 la punctul F_2); linia dreaptă perpendiculară pe axa focală și care trece prin centrul elipsei (a doua axă a elipsei) este luată drept axa y (direcția pe axa y este aleasă astfel încât sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy să fie drept ).

Să formulăm ecuația unei elipse folosind definiția sa geometrică, care exprimă proprietatea focală. În sistemul de coordonate selectat, determinăm coordonatele focarelor F_1(-c,0),~F_2(c,0). Pentru un punct arbitrar M(x,y) aparținând elipsei, avem:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Scriind această egalitate sub formă de coordonate, obținem:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Transferăm al doilea radical în partea dreaptă, pătram ambele părți ale ecuației și dăm termeni similari:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Împărțind la 4, pătratăm ambele părți ale ecuației:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Denotand b=\sqrt(a^2-c^2)>0, primim b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Împărțind ambele părți la a^2b^2\ne0 , ajungem la ecuația canonică a elipsei:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Prin urmare, sistemul de coordonate ales este canonic.

Dacă focarele elipsei coincid, atunci elipsa este un cerc (Fig. 3.36.6), deoarece a=b. În acest caz, orice sistem de coordonate dreptunghiular cu originea în punct O\equiv F_1\equiv F_2, iar ecuația x^2+y^2=a^2 este ecuația unui cerc cu centrul O și raza a .

Prin rationamentul invers, se poate arata ca toate punctele ale caror coordonate satisfac ecuatia (3.49), si numai ele, apartin locului punctelor, numit elipsa. Cu alte cuvinte, definiția analitică a unei elipse este echivalentă cu definiția ei geometrică, care exprimă proprietatea focală a elipsei.

Proprietatea directorului unei elipse

Directricele unei elipse sunt două drepte care trec paralele cu axa y a sistemului de coordonate canonic la aceeași distanță \frac(a^2)(c) de acesta. Pentru c=0 , când elipsa este un cerc, nu există directrice (putem presupune că directricele sunt îndepărtate la infinit).

Elipsa cu excentricitate 0 locul punctelor din plan, pentru fiecare dintre ele raportul dintre distanța la un punct dat F (focalizare) și distanța la o linie dreaptă dată d (directrice) care nu trece printr-un punct dat este constant și egal cu excentricitatea e ( proprietatea directorului elipse). Aici F și d sunt unul dintre focarele elipsei și una dintre directricele sale, situate pe aceeași parte a axei y a sistemului de coordonate canonice, i.e. F_1,d_1 sau F_2,d_2 .

Într-adevăr, de exemplu, pentru focus F_2 și directrix d_2 (Fig. 3.37.6) condiția \frac(r_2)(\rho_2)=e poate fi scris sub formă de coordonate:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

A scăpa de iraționalitate și a înlocui e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, ajungem la ecuația canonică a elipsei (3.49). Un raționament similar poate fi efectuat pentru focusul F_1 și directrice d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Ecuația elipsei în coordonate polare

Ecuația elipsei din sistemul de coordonate polar F_1r\varphi (Fig.3.37,c și 3.37(2)) are forma

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

unde p=\frac(b^2)(a) este parametrul focal al elipsei.

De fapt, să alegem focarul din stânga F_1 al elipsei ca pol al sistemului de coordonate polare și raza F_1F_2 ca axă polară (Fig. 3.37, c). Atunci pentru un punct arbitrar M(r,\varphi) , conform definiției geometrice (proprietatea focală) a unei elipse, avem r+MF_2=2a . Exprimăm distanța dintre punctele M(r,\varphi) și F_2(2c,0) (vezi punctul 2 din observațiile 2.8):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned)

Prin urmare, sub formă de coordonate, ecuația elipsei F_1M+F_2M=2a are forma

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Izolăm radicalul, pătratăm ambele părți ale ecuației, împărțim la 4 și dăm termeni similari:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Exprimăm raza polară r și facem substituția e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Semnificația geometrică a coeficienților din ecuația elipsei

Să găsim punctele de intersecție ale elipsei (vezi Fig. 3.37, a) cu axele de coordonate (vârfurile zllips-urilor). Substituind y=0 în ecuație, găsim punctele de intersecție ale elipsei cu axa absciselor (cu axa focală): x=\pm a . Prin urmare, lungimea segmentului axei focale închise în elipsă este egală cu 2a. Acest segment, după cum sa menționat mai sus, este numit axa majoră a elipsei, iar numărul a este semiaxa majoră a elipsei. Înlocuind x=0 , obținem y=\pm b . Prin urmare, lungimea segmentului celei de-a doua axe a elipsei închis în interiorul elipsei este egală cu 2b. Acest segment se numește axa mică a elipsei, iar numărul b se numește semiaxa mică a elipsei.

Într-adevăr, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, iar egalitatea b=a se obține numai în cazul c=0 când elipsa este un cerc. Atitudine k=\frac(b)(a)\leqslant1 se numește factor de contracție al elipsei.

Observații 3.9

1. Dreptele x=\pm a,~y=\pm b limitează dreptunghiul principal pe planul de coordonate, în interiorul căruia se află elipsa (vezi Fig. 3.37, a).

2. O elipsă poate fi definită ca locul punctelor obtinut prin contractarea unui cerc la diametrul acestuia.

Într-adevăr, lăsăm în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy ecuația cercului are forma x^2+y^2=a^2 . Când este comprimat pe axa x cu un factor de 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Înlocuind x=x" și y=\frac(1)(k)y" în ecuația cercului, obținem o ecuație pentru coordonatele imaginii M"(x",y") ale punctului M(x ,y):

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

întrucât b=k\cdot a . Aceasta este ecuația canonică a elipsei.

3. Axele de coordonate (ale sistemului de coordonate canonic) sunt axele de simetrie ale elipsei (numite axe principale ale elipsei), iar centrul acesteia este centrul de simetrie.

Într-adevăr, dacă punctul M(x,y) aparține elipsei . atunci aceleiași elipse aparțin și punctele M"(x,-y) și M""(-x,y) , simetrice față de punctul M față de axele de coordonate.

4. Din ecuația unei elipse într-un sistem de coordonate polare r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(vezi Fig. 3.37, c), semnificația geometrică a parametrului focal este clarificat - aceasta este jumătate din lungimea coardei elipsei care trece prin focarul său perpendicular pe axa focală ( r = p la \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Excentricitatea e caracterizează forma elipsei și anume diferența dintre elipsă și cerc. Cu cât e mai mare, cu atât elipsa este mai alungită și cu cât e mai aproape de zero, cu atât elipsa este mai aproape de cerc (Fig. 3.38, a). Într-adevăr, având în vedere că e=\frac(c)(a) și c^2=a^2-b^2 , obținem

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

unde k este factorul de contracție al elipsei, 0

6. Ecuația \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 Pentru o

7. Ecuația \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definește o elipsă centrată în punctul O "(x_0, y_0), ale cărei axe sunt paralele cu axele de coordonate (Fig. 3.38, c). Această ecuație se reduce la cea canonică folosind translația paralelă (3.36).

Pentru a=b=R ecuația (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 descrie un cerc de raza R centrat în punctul O"(x_0,y_0) .

Ecuația parametrică a unei elipse

Ecuația parametrică a unei elipseîn sistemul de coordonate canonic are forma

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Într-adevăr, înlocuind aceste expresii în ecuația (3.49), ajungem la identitatea trigonometrică de bază \cos^2t+\sin^2t=1 .

Exemplul 3.20. desenează elipsa \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1în sistemul de coordonate canonic Oxy . Găsiți semiaxele, distanța focală, excentricitatea, raportul de aspect, parametrul focal, ecuațiile directrice.

Soluţie. Comparând ecuația dată cu cea canonică, determinăm semiaxele: a=2 - semiaxa majoră, b=1 - semiaxa minoră a elipsei. Construim dreptunghiul principal cu laturile 2a=4,~2b=2 centrate la origine (Fig.3.39). Având în vedere simetria elipsei, o potrivim în dreptunghiul principal. Dacă este necesar, determinăm coordonatele unor puncte ale elipsei. De exemplu, înlocuind x=1 în ecuația elipsei, obținem

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Prin urmare, puncte cu coordonate \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- aparțin unei elipse.

Calculați raportul de compresie k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); distanta focala 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); excentricitate e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parametru focal p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Compunem ecuațiile directrice: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Controalele ActiveX trebuie să fie activate pentru a face calcule!

11.1. Noțiuni de bază

Luați în considerare liniile definite prin ecuații de gradul doi în raport cu coordonatele curente

Coeficienții ecuației sunt numere reale, dar cel puțin unul dintre numerele A, B sau C este diferit de zero. Astfel de linii se numesc linii (curbe) de ordinul doi. Se va stabili mai jos că ecuația (11.1) definește un cerc, elipsă, hiperbolă sau parabolă în plan. Înainte de a trece la această afirmație, să studiem proprietățile curbelor enumerate.

11.2. Cerc

Cea mai simplă curbă de ordinul doi este un cerc. Reamintim că un cerc de rază R centrat într-un punct este mulțimea tuturor punctelor Μ ale planului care îndeplinesc condiția . Fie ca un punct dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular să aibă coordonatele x 0, y 0 a - un punct arbitrar al cercului (vezi Fig. 48).

Apoi din condiție obținem ecuația

(11.2)

Ecuația (11.2) este satisfăcută de coordonatele oricărui punct din cercul dat și nu este satisfăcută de coordonatele niciunui punct care nu se află pe cerc.

Ecuația (11.2) se numește ecuația canonică a cercului

În special, presupunând și , obținem ecuația unui cerc centrat la origine .

Ecuația cercului (11.2) după transformări simple va lua forma . Când comparăm această ecuație cu ecuația generală (11.1) a unei curbe de ordinul doi, este ușor de observat că sunt îndeplinite două condiții pentru ecuația unui cerc:

1) coeficienții la x 2 și y 2 sunt egali între ei;

2) nu există niciun membru care să conţină produsul xy al coordonatelor curente.

Să luăm în considerare problema inversă. Punând în ecuația (11.1) valorile și , obținem

Să transformăm această ecuație:

(11.4)

Rezultă că ecuația (11.3) definește un cerc sub condiția . Centrul său este în punct , și raza

.

Dacă , atunci ecuația (11.3) are forma

.

Este satisfăcut de coordonatele unui singur punct . În acest caz, ei spun: „cercul a degenerat într-un punct” (are rază zero).

În cazul în care un , atunci ecuația (11.4) și, prin urmare, ecuația echivalentă (11.3), nu va determina nicio dreaptă, deoarece partea dreaptă a ecuației (11.4) este negativă, iar partea stângă nu este negativă (să spunem: „cerc imaginar”).

11.3. Elipsă

Ecuația canonică a unei elipse

Elipsă este mulțimea tuturor punctelor planului, suma distanțelor de la fiecare dintre ele la două puncte date ale acestui plan, numite trucuri , este o valoare constantă mai mare decât distanța dintre focare.

Notează focarele prin F1și F2, distanța dintre ele în 2 c, și suma distanțelor de la un punct arbitrar al elipsei la focare - prin 2 A(vezi fig. 49). Prin definiție 2 A > 2c, adică A > c.

Pentru a deriva ecuația unei elipse, alegem un sistem de coordonate astfel încât focarele F1și F2 se află pe axa , iar originea coincide cu punctul de mijloc al segmentului F 1 F 2. Atunci focarele vor avea următoarele coordonate: și .

Fie un punct arbitrar al elipsei. Apoi, conform definiției unei elipse, i.e.

Aceasta, de fapt, este ecuația unei elipse.

Transformăm ecuația (11.5) într-o formă mai simplă după cum urmează:

pentru că A>Cu, apoi . Sa punem

(11.6)

Apoi ultima ecuație ia forma sau

(11.7)

Se poate demonstra că ecuația (11.7) este echivalentă cu ecuația inițială. Se numeste ecuația canonică a elipsei .

Elipsa este o curbă de ordinul doi.

Studiul formei unei elipse conform ecuației sale

Să stabilim forma elipsei folosind ecuația ei canonică.

1. Ecuația (11.7) conține x și y numai în puteri pare, deci dacă un punct aparține unei elipse, atunci îi aparțin și punctele ,,. Rezultă că elipsa este simetrică față de axele și , precum și față de punctul , care se numește centrul elipsei.

2. Aflați punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate. Punând , găsim două puncte și , la care axa intersectează elipsa (vezi Fig. 50). Punând în ecuația (11.7), găsim punctele de intersecție ale elipsei cu axa: și . puncte A 1 , A2 , B1, B2 numit vârfurile elipsei. Segmente A 1 A2și B1 B2, precum și lungimile acestora 2 Ași 2 b sunt numite respectiv axele majore și minore elipsă. Numerele Ași b sunt numite mari și, respectiv, mici. arbori de osie elipsă.

3. Din ecuația (11.7) rezultă că fiecare termen din partea stângă nu depășește unitatea, i.e. există inegalităţi şi sau şi . Prin urmare, toate punctele elipsei se află în interiorul dreptunghiului format din liniile drepte.

4. În ecuația (11.7), suma termenilor nenegativi și este egală cu unu. În consecință, pe măsură ce un termen crește, celălalt va scădea, adică dacă crește, atunci scade și invers.

Din cele spuse, rezultă că elipsa are forma prezentată în Fig. 50 (curbă ovală închisă).

Mai multe despre elipsă

Forma elipsei depinde de raport. Când elipsa se transformă într-un cerc, ecuația elipsei (11.7) ia forma . Ca o caracteristică a formei unei elipse, raportul este mai des folosit. Raportul dintre jumătate din distanța dintre focare și semi-axa majoră a elipsei se numește excentricitatea elipsei și o6o este notat cu litera ε ("epsilon"):

cu 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Aceasta arată că cu cât excentricitatea elipsei este mai mică, cu atât elipsa va fi mai puțin oblata; dacă punem ε = 0, atunci elipsa se transformă într-un cerc.

Fie M(x; y) un punct arbitrar al elipsei cu focare F 1 și F 2 (vezi Fig. 51). Lungimile segmentelor F 1 M=r 1 și F 2 M = r 2 se numesc razele focale ale punctului M. Evident,

Există formule

Se numesc linii drepte

Teorema 11.1. Dacă este distanța de la un punct arbitrar al elipsei la un focar, d este distanța de la același punct la directrixa corespunzătoare acestui focar, atunci raportul este o valoare constantă egală cu excentricitatea elipsei:

Din egalitatea (11.6) rezultă că . Dacă , atunci ecuația (11.7) definește o elipsă, a cărei axă majoră se află pe axa Oy, iar axa minoră se află pe axa Ox (vezi Fig. 52). Focarele unei astfel de elipse sunt în punctele și , unde .

11.4. Hiperbolă

Ecuația canonică a unei hiperbole

Hiperbolă se numește mulțimea tuturor punctelor planului, modulul diferenței de distanțe de la fiecare dintre ele la două puncte date ale acestui plan, numit trucuri , este o valoare constantă, mai mică decât distanța dintre focare.

Notează focarele prin F1și F2 distanta dintre ele prin 2s, și modulul diferenței de distanțe de la fiecare punct al hiperbolei la focare prin 2a. Prin definitie 2a < 2s, adică A < c.

Pentru a deriva ecuația hiperbolei, alegem un sistem de coordonate astfel încât focarele F1și F2 se află pe axa , iar originea a coincis cu punctul de mijloc al segmentului F 1 F 2(vezi fig. 53). Apoi focarele vor avea coordonate și

Fie un punct arbitrar al hiperbolei. Apoi, conform definiției unei hiperbole sau , adică După simplificări, așa cum s-a făcut la derivarea ecuației elipsei, obținem ecuația canonică a unei hiperbole

(11.9)

(11.10)

O hiperbola este o linie de ordinul doi.

Investigarea formei unei hiperbole conform ecuației sale

Să stabilim forma hiperbolei folosind ecuația sa caconică.

1. Ecuația (11.9) conține x și y numai la puteri pare. Prin urmare, hiperbola este simetrică față de axele și , precum și față de punctul , care se numește centrul hiperbolei.

2. Aflați punctele de intersecție ale hiperbolei cu axele de coordonate. Punând în ecuația (11.9), găsim două puncte de intersecție ale hiperbolei cu axa : și . Punând în (11.9), obținem , care nu poate fi. Prin urmare, hiperbola nu intersectează axa y.

Punctele și sunt numite culmi hiperbole și segmentul

axa reală , segment de linie - semiaxa reală hiperbolă.

Segmentul de dreaptă care leagă punctele se numește axa imaginară , numărul b - axa imaginară . Dreptunghi cu laturi 2ași 2b numit dreptunghiul principal al unei hiperbole .

3. Din ecuația (11.9) rezultă că minuendul nu este mai mic de unu, adică că sau . Aceasta înseamnă că punctele hiperbolei sunt situate la dreapta liniei (ramura dreaptă a hiperbolei) și la stânga liniei (ramura stângă a hiperbolei).

4. Din ecuația (11.9) a hiperbolei se poate observa că atunci când crește, atunci crește și ea. Aceasta rezultă din faptul că diferența păstrează o valoare constantă egală cu unu.

Din cele spuse rezultă că hiperbola are forma prezentată în Figura 54 (o curbă formată din două ramuri nemărginite).

Asimptotele unei hiperbole

Linia L se numește asimptotă a unei curbe nemărginite K dacă distanța d de la punctul M al curbei K la această dreaptă tinde spre zero pe măsură ce punctul M se deplasează de-a lungul curbei K la nesfârșit de la origine. Figura 55 ilustrează conceptul de asimptotă: linia L este o asimptotă pentru curba K.

Să arătăm că hiperbola are două asimptote:

(11.11)

Deoarece liniile (11.11) și hiperbola (11.9) sunt simetrice față de axele de coordonate, este suficient să luăm în considerare doar acele puncte ale dreptelor indicate care sunt situate în primul cadran.

Luați pe o dreaptă un punct N având aceeași abscisă x ca un punct de pe o hiperbolă (vezi Fig. 56) și găsiți diferența ΜN dintre ordonatele dreptei și ramura hiperbolei:

După cum puteți vedea, pe măsură ce x crește, numitorul fracției crește; numărătorul este o valoare constantă. Prin urmare, lungimea segmentului ΜN tinde spre zero. Deoarece ΜN este mai mare decât distanța d de la punctul Μ la linie, atunci d cu atât mai mult tinde spre zero. Astfel, liniile sunt asimptote ale hiperbolei (11.9).

Când construiți o hiperbolă (11.9), este recomandabil să construiți mai întâi dreptunghiul principal al hiperbolei (vezi Fig. 57), să trasați linii care trec prin vârfurile opuse ale acestui dreptunghi - asimptotele hiperbolei și să marcați vârfurile și , hiperbola .

Ecuația unei hiperbole echilaterale.

ale căror asimptote sunt axele de coordonate

Hiperbola (11.9) se numește echilaterală dacă semiaxele sale sunt egale (). Ecuația sa canonică

(11.12)

Asimptotele unei hiperbole echilaterale au ecuații și, prin urmare, sunt bisectoare ale unghiurilor de coordonate.

Considerăm ecuația acestei hiperbole într-un nou sistem de coordonate (vezi Fig. 58), obținut din cel vechi prin rotirea axelor de coordonate cu un unghi. Folosim formulele de rotație a axelor de coordonate:

Inlocuim valorile lui x si y in ecuatia (11.12):

Ecuația unei hiperbole echilaterale, pentru care axele Ox și Oy sunt asimptote, va avea forma .

Mai multe despre hiperbolă

excentricitate hiperbola (11.9) este raportul dintre distanța dintre focare și valoarea axei reale a hiperbolei, notat cu ε:

Deoarece pentru o hiperbolă , excentricitatea hiperbolei este mai mare decât unu: . Excentricitatea caracterizează forma unei hiperbole. Într-adevăr, din egalitate (11.10) rezultă că i.e. și .

Acest lucru arată că cu cât excentricitatea hiperbolei este mai mică, cu atât raportul dintre semi-axele sale este mai mic, ceea ce înseamnă că cu cât dreptunghiul său principal este mai extins.

Excentricitatea unei hiperbole echilaterale este . Într-adevăr,

Raze focale și pentru punctele ramului drept al hiperbolei au forma și , iar pentru stânga - și .

Liniile drepte se numesc directrice ale unei hiperbole. Deoarece pentru hiperbola ε > 1, atunci . Aceasta înseamnă că directricea dreaptă este situată între centrul și vârful drept al hiperbolei, directricea stângă este între centru și vârful stâng.

Direcricele unei hiperbole au aceeași proprietate ca și directricele unei elipse.

Curba definită de ecuație este, de asemenea, o hiperbolă, a cărei axă reală 2b este situată pe axa Oy, iar axa imaginară 2 A- pe axa Bou. În Figura 59, este prezentat ca o linie punctată.

Evident, hiperbolele și au asimptote comune. Astfel de hiperbole se numesc conjugate.

11.5. Parabolă

Ecuația parabolei canonice

O parabolă este mulțimea tuturor punctelor dintr-un plan, fiecare dintre ele fiind la fel de îndepărtat de un punct dat, numit focar, și de o linie dată, numită directrice. Distanța de la focarul F la directrice se numește parametrul parabolei și se notează cu p (p > 0).

Pentru a deriva ecuația parabolei, alegem sistemul de coordonate Oxy astfel încât axa Oxy să treacă prin focarul F perpendicular pe directrice în direcția de la directrice la F, iar originea O să fie situată la mijloc între focar și directrice (vezi Fig. 60). În sistemul selectat, focusul F are coordonatele , iar ecuația directrice are forma , sau .

1. În ecuația (11.13), variabila y este inclusă într-un grad par, ceea ce înseamnă că parabola este simetrică față de axa Ox; axa x este axa de simetrie a parabolei.

2. Deoarece ρ > 0, din (11.13) rezultă că . Prin urmare, parabola este situată în dreapta axei y.

3. Când avem y \u003d 0. Prin urmare, parabola trece prin origine.

4. Cu o creștere nelimitată a x, și modulul y crește la nesfârșit. Parabola are forma (forma) prezentată în figura 61. Punctul O (0; 0) se numește vârful parabolei, segmentul FM \u003d r se numește raza focală a punctului M.

Ecuații , , ( p>0) definesc de asemenea parabole, acestea fiind prezentate în Figura 62

Este ușor de arătat că graficul unui trinom pătrat, unde , B și C sunt numere reale, este o parabolă în sensul definiției sale de mai sus.

11.6. Ecuația generală a liniilor de ordinul doi

Ecuații de curbe de ordinul doi cu axe de simetrie paralele cu axele de coordonate

Să găsim mai întâi ecuația unei elipse centrate într-un punct ale cărui axe de simetrie sunt paralele cu axele de coordonate Ox și Oy, iar semiaxele sunt, respectiv, egale cu Ași b. Să plasăm în centrul elipsei O 1 originea noului sistem de coordonate, ale cărui axe și semiaxe Ași b(vezi fig. 64):

Și în sfârșit, parabolele prezentate în Figura 65 au ecuații corespunzătoare.

Ecuația

Ecuațiile unei elipse, hiperbole, parabole și ecuația unui cerc după transformări (deschideți paranteze, mutați toți termenii ecuației într-o direcție, aduceți termeni similari, introduceți o nouă notație pentru coeficienți) pot fi scrise folosind o singură ecuație de forma

unde coeficienții A și C nu sunt egali cu zero în același timp.

Se pune întrebarea: vreo ecuație de forma (11.14) determină una dintre curbele (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă) de ordinul doi? Răspunsul este dat de următoarea teoremă.

Teorema 11.2. Ecuația (11.14) definește întotdeauna: fie un cerc (pentru A = C), fie o elipsă (pentru A C > 0), fie o hiperbolă (pentru A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Ecuație generală de ordinul doi

Luați în considerare acum ecuația generală de gradul doi cu două necunoscute:

Diferă de ecuația (11.14) prin prezența unui termen cu produsul coordonatelor (B¹ 0). Este posibil, prin rotirea axelor de coordonate cu un unghi a, să se transforme această ecuație astfel încât termenul cu produsul coordonatelor să fie absent în ea.

Folosirea formulelor pentru rotirea axelor

Să exprimăm coordonatele vechi în termenii celor noi:

Alegem unghiul a astfel încât coeficientul de la x „y” să dispară, adică astfel încât egalitatea

Astfel, atunci când axele sunt rotite printr-un unghi a care îndeplinește condiția (11.17), ecuația (11.15) se reduce la ecuația (11.14).

Concluzie: ecuaţia generală de ordinul doi (11.15) defineşte pe plan (cu excepţia cazurilor de degenerare şi dezintegrare) următoarele curbe: cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă.

Notă: Dacă A = C, atunci ecuația (11.17) își pierde sensul. În acest caz cos2α = 0 (vezi (11.16)), apoi 2α = 90°, adică α = 45°. Deci, la A = C, sistemul de coordonate ar trebui rotit cu 45 °.