3.1. Coordonate polare

Deseori folosit în avion sistem de coordonate polare . Se definește dacă este dat un punct O, numit pol, și un fascicul care emană din stâlp (pentru noi, aceasta este axa Ox) este axa polară. Poziția punctului M este fixată de două numere: raza (sau raza vector) și unghiul φ dintre axa polară și vectorul . Unghiul φ se numește unghi polar; Se măsoară în radiani și se numără în sens invers acelor de ceasornic de la axa polară.

Poziția unui punct în sistemul de coordonate polar este dată de o pereche ordonată de numere (r; φ). La stâlp r = 0 iar φ nu este definit. Pentru toate celelalte puncte r > 0 iar φ este definit până la un multiplu de 2π. În acest caz, perechilor de numere (r; φ) și (r 1 ; φ 1) li se atribuie același punct dacă .

Pentru un sistem de coordonate dreptunghiular xOy coordonatele carteziene ale unui punct sunt ușor de exprimat în termeni de coordonatele sale polare, după cum urmează:

3.2. Interpretarea geometrică a unui număr complex

Se consideră în plan sistemul de coordonate dreptunghiular carteziene xOy.

Orice număr complex z=(a, b) i se atribuie un punct al planului cu coordonate ( X y), Unde coordonata x = a, i.e. partea reală a numărului complex, iar coordonata y = bi este partea imaginară.

Un plan ale cărui puncte sunt numere complexe este un plan complex.

În figură, numărul complex z = (a, b) punct decisiv M(x, y).

Exercițiu.Desenați numere complexe pe planul de coordonate:

3.3. Forma trigonometrică a unui număr complex

Un număr complex din plan are coordonatele unui punct M(x; y). în care:

Scrierea unui număr complex - forma trigonometrică a unui număr complex.

Se numește numărul r modul număr complex z si se noteaza. Modulul este un număr real nenegativ. Pentru .

Modulul este zero dacă și numai dacă z = 0, adică a=b=0.

Se numește numărul φ argument z și notat. Argumentul z este definit ambiguu, ca și unghiul polar din sistemul de coordonate polar, și anume, până la un multiplu de 2π.

Apoi acceptăm: , unde φ este cea mai mică valoare a argumentului. Este evident că

.

Cu un studiu mai profund al temei se introduce un argument auxiliar φ*, astfel încât

Exemplul 1. Aflați forma trigonometrică a unui număr complex.

Decizie. 1) considerăm modulul: ;

2) căutând φ: ;

3) forma trigonometrică:

Exemplul 2 Găsiți forma algebrică a unui număr complex .

Aici este suficient să înlocuiți valorile funcțiilor trigonometrice și să transformați expresia:

Exemplul 3 Aflați modulul și argumentul unui număr complex;

1) ;

2) ; φ - în 4 sferturi:

3.4. Operații cu numere complexe în formă trigonometrică

· Adunare si scadere este mai convenabil să efectuați cu numere complexe în formă algebrică:

· Multiplicare– cu ajutorul unor transformări trigonometrice simple se poate demonstra că la înmulțire, modulele de numere sunt înmulțite și se adaugă argumentele: ;

NUMERE COMPLEXE XI

§ 256. Forma trigonometrică a numerelor complexe

Fie numărul complex a + bi corespunde vectorului OA> cu coordonate ( a, b ) (vezi Fig. 332).

Se notează lungimea acestui vector cu r , și unghiul pe care îl face cu axa X , prin φ . Prin definiția sinusului și cosinusului:

A / r = cos φ , b / r = păcat φ .

Asa de A = r cos φ , b = r păcat φ . Dar în acest caz numărul complex a + bi poate fi scris ca:

a + bi = r cos φ + ir păcat φ = r (cos φ + i păcat φ ).

După cum știți, pătratul lungimii oricărui vector este egal cu suma pătratelor coordonatelor sale. Asa de r 2 = A 2 + b 2, de unde r = √a 2 + b 2

Asa de, orice număr complex a + bi poate fi reprezentat ca :

a + bi = r (cos φ + i păcat φ ), (1)

unde r = √a 2 + b 2 și unghiul φ determinată din condiția:

Această formă de scriere a numerelor complexe se numește trigonometric.

Număr r în formula (1) se numește modul, și unghiul φ - argument, număr complex a + bi .

Dacă un număr complex a + bi nu este egal cu zero, atunci modulul său este pozitiv; dacă a + bi = 0, atunci a = b = 0 și apoi r = 0.

Modulul oricărui număr complex este determinat în mod unic.

Dacă un număr complex a + bi nu este egal cu zero, atunci argumentul său este determinat de formulele (2) categoric până la un unghi multiplu de 2 π . Dacă a + bi = 0, atunci a = b = 0. În acest caz r = 0. Din formula (1) este ușor de înțeles că ca argument φ în acest caz, puteți alege orice unghi: la urma urmei, pentru orice φ

0 (cos φ + i păcat φ ) = 0.

Prin urmare, argumentul zero nu este definit.

Modulul numărului complex r uneori denotă | z |, iar argumentul arg z . Să ne uităm la câteva exemple de reprezentare a numerelor complexe în formă trigonometrică.

Exemplu. unu. 1 + i .

Să găsim modulul r și argumentare φ acest număr.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Prin urmare păcatul φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2 , de unde φ = π / 4 + 2nπ .

Prin urmare,

1 + i = √ 2 ,

Unde P - orice număr întreg. De obicei, dintr-un set infinit de valori ale argumentului unui număr complex, se alege unul care este între 0 și 2 π . În acest caz, această valoare este π / 4 . Asa de

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i păcat π / 4)

Exemplul 2 Scrieți în formă trigonometrică un număr complex √ 3 - i . Noi avem:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3 / 2 , sin φ = - 1 / 2

Prin urmare, până la un unghi divizibil cu 2 π , φ = 11 / 6 π ; prin urmare,

√ 3 - i = 2(cos 11 / 6 π + i păcatul 11/6 π ).

Exemplul 3 Scrieți în formă trigonometrică un număr complex eu .

număr complex i corespunde vectorului OA> se termină în punctul A al axei la cu ordonata 1 (Fig. 333). Lungimea unui astfel de vector este egală cu 1, iar unghiul pe care îl formează cu axa absciselor este egal cu π / 2. Asa de

i = cos π / 2 + i păcat π / 2 .

Exemplul 4 Scrieți numărul complex 3 în formă trigonometrică.

Numărul complex 3 corespunde vectorului OA > X abscisa 3 (Fig. 334).

Lungimea unui astfel de vector este 3, iar unghiul pe care îl formează cu axa x este 0. Prin urmare

3 = 3 (cos 0 + i păcat 0),

Exemplul 5 Scrieți în formă trigonometrică numărul complex -5.

Numărul complex -5 corespunde vectorului OA> se termină în punctul axei X cu abscisă -5 (Fig. 335). Lungimea unui astfel de vector este 5, iar unghiul pe care îl formează cu axa x este π . Asa de

5 = 5(cos π + i păcat π ).

Exerciții

2047. Scrieți aceste numere complexe în formă trigonometrică, definindu-și modulele și argumentele:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Indicați în plan mulțimile de puncte reprezentând numere complexe ale căror module r și argumente φ îndeplinesc condițiile:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Pot numerele să fie în același timp modulul unui număr complex? r și - r ?

2050. Argumentul unui număr complex poate fi unghiuri în același timp φ și - φ ?

Prezentați aceste numere complexe în formă trigonometrică prin definirea modulelor și argumentelor lor:

2051*. 1 + cos α + i păcat α . 2054*. 2(cos 20° - i păcat 20°).

2052*. păcat φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i păcatul 15°).

2.3. Forma trigonometrică a numerelor complexe

Fie vectorul dat pe plan complex prin numărul .

Notați cu φ unghiul dintre semiaxa pozitivă Ox și vector (unghiul φ este considerat pozitiv dacă este numărat în sens invers acelor de ceasornic, iar negativ în caz contrar).

Se notează lungimea vectorului cu r. Apoi . Notăm și noi

Scrierea unui număr complex diferit de zero z ca

se numește forma trigonometrică a numărului complex z. Numărul r se numește modulul numărului complex z, iar numărul φ se numește argumentul acestui număr complex și se notează cu Arg z.

Forma trigonometrică de scriere a unui număr complex - (formula lui Euler) - o formă exponențială de scriere a unui număr complex:

Numărul complex z are infinit de argumente: dacă φ0 este orice argument al numărului z, atunci toate celelalte pot fi găsite prin formula

Pentru un număr complex, argumentul și forma trigonometrică nu sunt definite.

Astfel, argumentul unui număr complex diferit de zero este orice soluție a sistemului de ecuații:

(3)

Valoarea φ a argumentului unui număr complex z care satisface inegalitățile se numește valoare principală și se notează cu arg z.

Argumentele Arg z și arg z sunt legate prin egalitate

, (4)

Formula (5) este o consecință a sistemului (3), deci toate argumentele numărului complex satisfac egalitatea (5), dar nu toate soluțiile φ ale ecuației (5) sunt argumente ale numărului z.

Valoarea principală a argumentului unui număr complex diferit de zero se găsește prin formulele:

Formulele de înmulțire și împărțire a numerelor complexe în formă trigonometrică sunt următoarele:

. (7)

Când se ridică un număr complex la o putere naturală, se folosește formula lui de Moivre:

La extragerea unei rădăcini dintr-un număr complex, se utilizează formula:

, (9)

unde k=0, 1, 2, …, n-1.

Problema 54. Calculați , unde .

Să reprezentăm soluția acestei expresii în forma exponențială a scrierii unui număr complex: .

Daca atunci .

Apoi , . Prin urmare, atunci și , Unde .

Răspuns: , la .

Problema 55. Scrieți numere complexe în formă trigonometrică:

A) ; b) ; în); G) ; e) ; e) ; g).

Deoarece forma trigonometrică a unui număr complex este , atunci:

a) Într-un număr complex: .

,

Asa de

b) , Unde ,

G) , Unde ,

e) .

g) , A , apoi .

Asa de

Răspuns: ; 4; ; ; ; ; .

Problema 56. Aflați forma trigonometrică a unui număr complex

.

Lasa , .

Apoi , , .

Pentru că și , , apoi , și

Prin urmare, deci

Răspuns: , Unde .

Problema 57. Folosind forma trigonometrică a unui număr complex, efectuați următoarele acțiuni: .

Imaginează-ți numere și în formă trigonometrică.

1), unde apoi

Găsirea valorii argumentului principal:

Înlocuiți valorile și în expresia , obținem

2) atunci unde

Apoi

3) Aflați coeficientul

Presupunând k=0, 1, 2, obținem trei valori diferite ale rădăcinii dorite:

Daca atunci

daca atunci

daca atunci .

Răspuns: :

:

: .

Problema 58. Fie , , , numere complexe diferite și . Demonstrează asta

un număr este un număr real pozitiv;

b) egalitatea are loc:

a) Să reprezentăm aceste numere complexe în formă trigonometrică:

La fel de .

Să ne prefacem că. Apoi

.

Ultima expresie este un număr pozitiv, deoarece există numere din intervalul sub semnele sinusului.

deoarece numărul reale și pozitive. Într-adevăr, dacă a și b sunt numere complexe și sunt reale și mai mari decât zero, atunci .

În afară de,

deci se dovedeşte egalitatea cerută.

Problema 59. Notează numărul în formă algebrică .

Reprezentăm numărul în formă trigonometrică, apoi găsim forma sa algebrică. Noi avem . Pentru obținem sistemul:

De aici rezultă egalitatea: .

Aplicând formula lui De Moivre:

primim

Se găsește forma trigonometrică a numărului dat.

Acum scriem acest număr în formă algebrică:

.

Răspuns: .

Problema 60. Aflați suma , ,

Luați în considerare suma

Aplicând formula De Moivre, găsim

Această sumă este suma a n termeni ai unei progresii geometrice cu numitor și primul membru .

Aplicând formula pentru suma termenilor unei astfel de progresii, avem

Separând partea imaginară în ultima expresie, găsim

Separând partea reală, obținem și următoarea formulă: , , .

Problema 61. Aflați suma:

A) ; b) .

Conform formulei lui Newton pentru ridicarea la putere, avem

Conform formulei lui De Moivre, găsim:

Echivalând părțile reale și imaginare ale expresiilor obținute pentru , avem:

și .

Aceste formule pot fi scrise într-o formă compactă după cum urmează:

,

, unde este partea întreagă a numărului a.

Problema 62. Găsiți toate pentru care .

În măsura în care , apoi, aplicând formula

, Pentru a extrage rădăcinile, obținem ,

Prin urmare, , ,

, .

Punctele corespunzătoare numerelor sunt situate la vârfurile unui pătrat înscris într-un cerc de rază 2 centrat în punctul (0;0) (Fig. 30).

Răspuns: , ,

, .

Problema 63. Rezolvați ecuația , .

După condiție; prin urmare, această ecuație nu are rădăcină și, prin urmare, este echivalentă cu ecuația.

Pentru ca numărul z să fie rădăcina acestei ecuații, numărul trebuie să fie rădăcina a n-a a numărului 1.

Prin urmare, concluzionăm că ecuația originală are rădăcini determinate din egalități

,

Prin urmare,

,

adică ,

Răspuns: .

Problema 64. Rezolvați ecuația din mulțimea numerelor complexe.

Deoarece numărul nu este rădăcina acestei ecuații, atunci pentru această ecuație este echivalentă cu ecuația

Adică ecuația.

Toate rădăcinile acestei ecuații sunt obținute din formula (vezi problema 62):

; ; ; ; .

Problema 65. Desenați pe planul complex o mulțime de puncte care satisfac inegalitățile: . (a doua modalitate de a rezolva problema 45)

Lasa .

Numerele complexe cu aceleași module corespund punctelor planului situate pe un cerc centrat la origine, deci inegalitatea satisface toate punctele unui inel deschis delimitate de cercuri cu un centru comun la origine și razele și (Fig. 31). Fie ca un punct al planului complex să corespundă numărului w0. Număr , are un modul de ori mai mic decât modulul w0, un argument care este mai mare decât argumentul w0. Din punct de vedere geometric, punctul corespunzător lui w1 poate fi obținut folosind o homotezie centrată la origine și coeficient, precum și o rotație în sens invers acelor de ceasornic față de origine. Ca urmare a aplicării acestor două transformări la punctele inelului (Fig. 31), acesta din urmă se va transforma într-un inel delimitat de cercuri cu același centru și raze 1 și 2 (Fig. 32).

transformare este implementat folosind translația paralelă pe vector. Transferând inelul centrat într-un punct către vectorul indicat, obținem un inel de aceeași dimensiune centrat într-un punct (Fig. 22).

Metoda propusă, care folosește ideea transformărilor geometrice ale planului, este probabil mai puțin convenabilă în descriere, dar este foarte elegantă și eficientă.

Problema 66. Aflați dacă .

Să , atunci și . Egalitatea originală va lua forma . Din condiția de egalitate a două numere complexe se obține , , de unde , . Prin urmare, .

Să scriem numărul z în formă trigonometrică:

, Unde , . Conform formulei lui De Moivre, găsim .

Răspuns: - 64.

Problema 67. Pentru un număr complex, găsiți toate numerele complexe astfel încât , și .

Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică:

. Prin urmare, . Pentru un număr pe care îl obținem, poate fi egal cu oricare.

In primul caz , in secunda

.

Răspuns: , .

Problema 68. Aflați suma numerelor astfel încât . Specificați unul dintre aceste numere.

Rețineți că deja din formularea problemei se poate înțelege că suma rădăcinilor ecuației poate fi găsită fără a calcula rădăcinile în sine. Într-adevăr, suma rădăcinilor ecuației este coeficientul lui , luat cu semnul opus (teorema Vieta generalizată), adică.

Elevii, documentația școlară, trag concluzii despre gradul de asimilare a acestui concept. Rezumați studiul trăsăturilor gândirii matematice și procesul de formare a conceptului de număr complex. Descrierea metodelor. Diagnostic: I stadiu. Interviul a fost realizat cu un profesor de matematică care predă algebră și geometrie în clasa a X-a. Conversația a avut loc după ce a trecut ceva timp...

Rezonanța „(!)), care include și o evaluare a propriului comportament. 4. Evaluarea critică a înțelegerii situației de către cineva (îndoieli). 5. În sfârșit, utilizarea recomandărilor psihologiei juridice (contul de către un avocat al aspectele psihologice ale acțiunilor profesionale efectuate este pregătirea psihologică profesională). Să luăm acum în considerare analiza psihologică a faptelor juridice. ...

Matematica substituirii trigonometrice si verificarea eficacitatii metodologiei de predare elaborate. Etapele lucrării: 1. Elaborarea unui curs opțional pe tema: „Aplicarea substituției trigonometrice la rezolvarea problemelor algebrice” cu elevii din clasele cu studiul aprofundat al matematicii. 2. Desfășurarea unui curs opțional dezvoltat. 3. Efectuarea unui control de diagnosticare...

Sarcinile cognitive sunt destinate doar să completeze mijloacele didactice existente și ar trebui să fie într-o combinație adecvată cu toate mijloacele și elementele tradiționale ale procesului educațional. Diferența dintre problemele educaționale în predarea științelor umaniste din probleme exacte, matematice este doar că nu există formule, algoritmi rigidi etc. în problemele istorice, ceea ce complică rezolvarea acestora. ...

Acțiuni asupra numerelor complexe scrise în formă algebrică

Forma algebrică a numărului complex z =(A,b).se numeşte expresie algebrică a formei

z = A + bi.

Operatii aritmetice pe numere complexe z 1 = a 1 +b 1 iși z 2 = a 2 +b 2 i, scrise sub formă algebrică, se realizează după cum urmează.

1. Suma (diferența) numerelor complexe

z 1 ±z 2 = (A 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

acestea. adunarea (scăderea) se efectuează după regula adunării polinoamelor cu reducerea termenilor similari.

2. Produsul numerelor complexe

z 1 ∙z 2 = (A 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (A 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

acestea. înmulţirea se face după regula uzuală de înmulţire a polinoamelor, ţinând cont de faptul că i 2 = 1.

3. Împărțirea a două numere complexe se face după următoarea regulă:

, (z 2 ≠ 0),

acestea. împărțirea se realizează prin înmulțirea dividendului și a divizorului cu conjugatul divizorului.

Exponentiația numerelor complexe este definită după cum urmează:

Este ușor să arăți asta

Exemple.

1. Aflați suma numerelor complexe z 1 = 2 – iși z 2 = – 4 + 3i.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Aflați produsul numerelor complexe z 1 = 2 – 3iși z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3eu∙ 5i = 7+22i.

3. Găsiți privat z din diviziune z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – i.

z= .

4. Rezolvați ecuația:, Xși y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

În virtutea egalității numerelor complexe, avem:

Unde x=–1 , y= 4.

5. Calculați: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Calculați dacă .

.

7. Calculați reciproca unui număr z=3-i.

Numere complexe în formă trigonometrică

plan complex se numeste plan cu coordonate carteziene ( X y), dacă fiecare punct cu coordonatele ( a, b) i se atribuie un număr complex z = a + bi. În acest caz, se numește axa absciselor axa reală, iar axa y este imaginar. Apoi fiecare număr complex a+bi reprezentat geometric pe un plan ca punct A (a, b) sau vector .

Prin urmare, poziția punctului DAR(și de aici numărul complex z) poate fi stabilit de lungimea vectorului | | = rși unghi j format din vectorul | | cu direcția pozitivă a axei reale. Lungimea unui vector se numește modulul numerelor complexeși se notează cu | z|=r, și unghiul j numit argument de număr complexși notat j = argz.

Este clar că | z| ³ 0 și | z | = 0 Û z= 0.

Din fig. 2 arată că.

Argumentul unui număr complex este definit ambiguu și până la 2 pk,kÎ Z.

Din fig. 2 mai arată că dacă z=a+biși j=argz, apoi

cos j =, păcat j =, tg j = .

În cazul în care un zОRși z > 0 atunci argz = 0 +2pk;

dacă z ОRși z< 0 atunci argz = p + 2pk;

dacă z= 0,argz nedeterminat.

Valoarea principală a argumentului este determinată pe intervalul 0 £argz£2 p,

sau -p£ arg z £ p.

Exemple:

1. Aflați modulul numerelor complexe z 1 = 4 – 3iși z 2 = –2–2i.

2. Determinați pe planul complex ariile specificate de condițiile:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 GBP; 3) | z – (2+i) | 3 lire sterline; 4) 6 GBP | z – i| £7.

Solutii si raspunsuri:

1) | z| = 5 Û Û este ecuația unui cerc cu raza 5 și centrat la origine.

2) Cerc cu raza 6 centrat la origine.

3) Cerc cu raza 3 centrată într-un punct z0 = 2 + i.

4) Un inel delimitat de cercuri cu razele 6 și 7 centrate într-un punct z 0 = i.

3. Găsiți modulul și argumentul numerelor: 1) ; 2).

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b=-2 Þ ,

.

Notă: Când definiți argumentul principal, utilizați planul complex.

Prin urmare: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j4 = , .