INEGALITATI LOGARITMICE ÎN UTILIZARE
Sechin Mihail Alexandrovici
Mica Academie de Științe pentru Studenții din Republica Kazahstan „Căutător”
MBOU „Școala secundară sovietică Nr. 1”, clasa a 11-a, or. Districtul Sovietic Sovietsky
Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesor de MBOU „Școala secundară sovietică nr. 1”
districtul Sovietsky
Obiectiv: studiul mecanismului de rezolvare a inegalităților logaritmice C3 folosind metode non-standard, dezvăluind fapte interesante despre logaritm.
Subiect de studiu:
3) Învață să rezolvi inegalitățile logaritmice specifice C3 folosind metode non-standard.
Rezultate:
Conţinut
Introducere…………………………………………………………………………………………….4
Capitolul 1. Context………………………………………………………….5
Capitolul 2. Colecția de inegalități logaritmice ………………………… 7
2.1. Tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor…………… 7
2.2. Metoda raționalizării ………………………………………………………… 15
2.3. Înlocuirea non-standard……………………………………………………………………………………………………………. ..... 22
2.4. Sarcini cu capcane…………………………………………………… 27
Concluzie……………………………………………………………………………… 30
Literatură……………………………………………………………………. 31
Introducere
Sunt în clasa a XI-a și plănuiesc să intru într-o universitate în care matematica este o materie de bază. Și de aceea lucrez mult cu sarcinile din partea C. În sarcina C3, trebuie să rezolvați o inegalitate non-standard sau un sistem de inegalități, de obicei asociat cu logaritmi. În timpul pregătirii pentru examen, m-am confruntat cu problema lipsei de metode și tehnici de rezolvare a inegalităților logaritmice de examen oferite în C3. Metodele care sunt studiate în programa școlară pe această temă nu oferă o bază pentru rezolvarea sarcinilor C3. Profesorul de matematică mi-a sugerat să lucrez singur cu temele C3, sub îndrumarea ei. În plus, m-a interesat întrebarea: există logaritmi în viața noastră?
Având în vedere acest lucru, a fost aleasă tema:
„Inegalități logaritmice la examen”
Obiectiv: studiul mecanismului de rezolvare a problemelor C3 folosind metode non-standard, dezvăluind fapte interesante despre logaritm.
Subiect de studiu:
1) Găsiți informațiile necesare despre metodele nestandard de rezolvare a inegalităților logaritmice.
2) Găsiți informații suplimentare despre logaritmi.
3) Învață să rezolvi probleme specifice C3 folosind metode non-standard.
Rezultate:
Semnificația practică constă în extinderea aparatului de rezolvare a problemelor C3. Acest material poate fi folosit în unele lecții, pentru dirijarea cercurilor, orele opționale de matematică.
Produsul proiectului va fi colecția „Inegalități logaritmice C3 cu soluții”.
Capitolul 1. Context
În timpul secolului al XVI-lea, numărul de calcule aproximative a crescut rapid, în primul rând în astronomie. Îmbunătățirea instrumentelor, studiul mișcărilor planetare și alte lucrări au necesitat calcule colosale, uneori mulți ani. Astronomia era în pericol real de a se îneca în calcule neîmplinite. Au apărut dificultăți și în alte domenii, de exemplu, în domeniul asigurărilor, au fost necesare tabele de dobândă compusă pentru diferite valori procentuale. Principala dificultate a fost înmulțirea, împărțirea numerelor cu mai multe cifre, în special a cantităților trigonometrice.
Descoperirea logaritmilor sa bazat pe proprietățile binecunoscute ale progresiilor până la sfârșitul secolului al XVI-lea. Arhimede a vorbit despre legătura dintre membrii progresiei geometrice q, q2, q3, ... și progresia aritmetică a indicatorilor lor 1, 2, 3, ... în Psalmit. O altă condiție prealabilă a fost extinderea conceptului de grad la exponenți negativi și fracționari. Mulți autori au subliniat că înmulțirea, împărțirea, ridicarea la o putere și extragerea unei rădăcini corespund exponențial în aritmetică - în aceeași ordine - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea.
Aici a fost ideea logaritmului ca exponent.
În istoria dezvoltării doctrinei logaritmilor au trecut mai multe etape.
Etapa 1
Logaritmii au fost inventați nu mai târziu de 1594 independent de baronul scoțian Napier (1550-1617) și zece ani mai târziu de mecanicul elvețian Burgi (1552-1632). Ambele au vrut să ofere un nou mijloc convenabil de calcule aritmetice, deși au abordat această problemă în moduri diferite. Napier a exprimat cinematic funcția logaritmică și a intrat astfel într-un nou domeniu al teoriei funcțiilor. Bürgi a rămas pe baza luării în considerare a progresiilor discrete. Cu toate acestea, definiția logaritmului pentru ambele nu este similară cu cea modernă. Termenul „logaritm” (logaritm) îi aparține lui Napier. A luat naștere dintr-o combinație de cuvinte grecești: logos – „relație” și ariqmo – „număr”, care însemna „număr de relații”. Inițial, Napier a folosit un alt termen: numeri artificiales - „numere artificiale”, spre deosebire de numeri naturalts - „numere naturale”.
În 1615, într-o conversație cu Henry Briggs (1561-1631), profesor de matematică la Gresh College din Londra, Napier a sugerat să ia zero pentru logaritmul lui unu și 100 pentru logaritmul lui zece sau, ceea ce înseamnă același lucru. , doar 1. Așa au fost tipărite logaritmii zecimal și Primele tabele logaritmice. Mai târziu, tabelele Briggs au fost completate de librarul și matematicianul olandez Andrian Flakk (1600-1667). Napier și Briggs, deși au ajuns la logaritmi înaintea oricui, și-au publicat tabelele mai târziu decât alții - în 1620. Semnele log și Log au fost introduse în 1624 de I. Kepler. Termenul de „logaritm natural” a fost introdus de Mengoli în 1659, urmat de N. Mercator în 1668, iar profesorul londonez John Spadel a publicat tabele de logaritmi naturali ai numerelor de la 1 la 1000 sub denumirea de „New Logarithms”.
În limba rusă, primele tabele logaritmice au fost publicate în 1703. Dar în toate tabelele logaritmice au fost făcute erori în calcul. Primele tabele fără erori au fost publicate în 1857 la Berlin în prelucrarea matematicianului german K. Bremiker (1804-1877).
Etapa 2
Dezvoltarea ulterioară a teoriei logaritmilor este asociată cu o aplicare mai largă a geometriei analitice și calculului infinitezimal. Până în acel moment, a fost stabilită legătura dintre cuadratura unei hiperbole echilaterale și logaritmul natural. Teoria logaritmilor din această perioadă este asociată cu numele unui număr de matematicieni.
Matematicianul, astronomul și inginerul german Nikolaus Mercator în eseul său
„Logaritmotehnica” (1668) oferă o serie care dă expansiunea lui ln(x + 1) în termeni de
puteri x:
Această expresie corespunde exact cursului gândirii sale, deși, desigur, nu a folosit semnele d, ..., ci simboluri mai greoaie. Odată cu descoperirea seriei logaritmice, tehnica de calcul a logaritmilor s-a schimbat: au început să fie determinate folosind serii infinite. În prelegerile sale „Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior”, citite în 1907-1908, F. Klein a sugerat folosirea formulei ca punct de plecare pentru construirea teoriei logaritmilor.
Etapa 3
Definirea unei funcții logaritmice ca funcție a inversului
exponențial, logaritmul ca exponent al unei baze date
nu a fost formulată imediat. Opera lui Leonhard Euler (1707-1783)
„Introducere în analiza infinitezimale” (1748) a servit ca mai departe
dezvoltarea teoriei funcţiei logaritmice. În acest fel,
Au trecut 134 de ani de când logaritmii au fost introduși pentru prima dată
(numărând din 1614) înainte ca matematicienii să vină cu o definiție
conceptul de logaritm, care stă acum la baza cursului școlar.
Capitolul 2. Colecția inegalităților logaritmice
2.1. Tranziții echivalente și metoda generalizată a intervalelor.
Tranziții echivalente
dacă a > 1
daca 0 <
а <
1
Metoda intervalului generalizat
Această metodă este cea mai universală în rezolvarea inegalităților de aproape orice tip. Schema de soluții arată astfel:
1. Aduceți inegalitatea într-o astfel de formă, unde funcția este situată în partea stângă 
, și 0 în dreapta.
2. Găsiți domeniul de aplicare al funcției .
3. Aflați zerourile unei funcții , adică rezolvați ecuația 
(și rezolvarea unei ecuații este de obicei mai ușoară decât rezolvarea unei inegalități).
4. Desenați domeniul de definiție și zerourile funcției pe o dreaptă reală.
5. Determinați semnele funcției la intervalele primite.
6. Selectați intervalele în care funcția preia valorile necesare și notați răspunsul.
Exemplul 1
Soluţie:
Aplicați metoda intervalului
Unde
Pentru aceste valori, toate expresiile sub semnele logaritmilor sunt pozitive.
Răspuns:
Exemplul 2
Soluţie:
1 cale . ODZ este determinat de inegalitate X> 3. Luarea de logaritmi pentru astfel de Xîn baza 10, obținem
Ultima inegalitate ar putea fi rezolvată prin aplicarea regulilor de descompunere, i.e. compararea factorilor cu zero. Cu toate acestea, în acest caz este ușor de determinat intervalele de constanță ale funcției
deci se poate aplica metoda intervalului.
Funcţie f(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ este continuă pt X> 3 și dispare în puncte X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Astfel, determinăm intervalele de constanță ale funcției f(X):
Răspuns:
a 2-a cale . Să aplicăm ideile metodei intervalelor direct inegalității inițiale.
Pentru aceasta, amintim că expresiile A b- A c și ( A - 1)(b- 1) au un singur semn. Apoi inegalitatea noastră pentru X> 3 este echivalent cu inegalitatea
sau
Ultima inegalitate se rezolvă prin metoda intervalului
Răspuns:
Exemplul 3
Soluţie:
Aplicați metoda intervalului
Răspuns:
Exemplul 4
Soluţie:
Din 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pentru toate reale X, apoi
Pentru a rezolva a doua inegalitate, folosim metoda intervalului
În prima inegalitate, noi facem schimbarea
atunci ajungem la inegalitatea 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, care satisfac inegalitatea -0,5< y < 1.
De unde, pentru că
obținem inegalitatea
care se realizează cu X, pentru care 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Acum, ținând cont de soluția celei de-a doua inegalități a sistemului, obținem în sfârșit
Răspuns:
Exemplul 5
Soluţie:
Inegalitatea este echivalentă cu un set de sisteme
sau
Aplicați metoda intervalului sau
Răspuns:
Exemplul 6
Soluţie:
Inegalitatea echivalează cu un sistem
Lăsa
apoi y > 0,
și prima inegalitate
sistemul ia forma
sau, extinderea
trinom pătrat în factori,
Aplicând metoda intervalului la ultima inegalitate,
vedem că soluțiile sale satisfac condiția y> 0 va fi tot y > 4.
Astfel, inegalitatea originală este echivalentă cu sistemul:
Deci, soluțiile inegalității sunt toate
2.2. metoda de raționalizare.
Anterior, metoda de raționalizare a inegalității nu a fost rezolvată, nu era cunoscută. Aceasta este „o nouă metodă modernă eficientă pentru rezolvarea inegalităților exponențiale și logaritmice” (citat din cartea lui Kolesnikova S.I.)
Și chiar dacă profesorul l-a cunoscut, era o teamă - dar expertul USE îl cunoaște și de ce nu-l dau la școală? Au fost situații când profesorul i-a spus elevului: "De unde l-ai luat? Stai jos - 2."
Acum metoda este promovată peste tot. Și pentru experți, există linii directoare asociate cu această metodă, iar în „Cele mai complete ediții de opțiuni standard...” în soluția C3, se folosește această metodă.
METODA ESTE GENIALĂ!
„Masa magică”
În alte surse
dacă a >1 și b >1, apoi log a b >0 și (a -1)(b -1)>0;
dacă a >1 și 0 daca 0<A<1 и b
>1, apoi log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
daca 0<A<1 и 00 și (a -1)(b -1)>0. Raționamentul de mai sus este simplu, dar simplifică considerabil soluția inegalităților logaritmice. Exemplul 4
log x (x 2 -3)<0
Soluţie:
Exemplul 5
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Soluţie: Exemplul 6
Pentru a rezolva această inegalitate, scriem (x-1-1) (x-1) în loc de numitor și produsul (x-1) (x-3-9 + x) în loc de numărător. Exemplul 7
Exemplul 8
2.3. Înlocuire non-standard. Exemplul 1
Exemplul 2
Exemplul 3
Exemplul 4
Exemplul 5
Exemplul 6
Exemplul 7
log 4 (3 x -1) log 0,25 Să facem înlocuirea y=3 x -1; atunci această inegalitate ia forma log 4 log 0,25 pentru că log 0,25 Să facem o înlocuire t =log 4 y și să obținem inegalitatea t 2 -2t +≥0, a cărei soluție este intervalele - Astfel, pentru a găsi valorile lui y, avem un set de două cele mai simple inegalități Prin urmare, inegalitatea originală este echivalentă cu mulțimea a două inegalități exponențiale, Soluția primei inegalități a acestei mulțimi este intervalul 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Exemplul 8
Soluţie:
Inegalitatea echivalează cu un sistem Soluția celei de-a doua inegalități, care determină ODZ, va fi mulțimea celor X,
pentru care X > 0.
Pentru a rezolva prima inegalitate, facem schimbarea Apoi obținem inegalitatea sau Mulțimea soluțiilor ultimei inegalități se găsește prin metodă intervale: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, primim sau Multe dintre acestea X, care satisfac ultima inegalitate aparține ODZ ( X> 0), prin urmare, este o soluție a sistemului, și de aici inegalitatea inițială. Răspuns: 2.4. Sarcini cu capcane. Exemplul 1
Soluţie. ODZ a inegalității este tot x care satisface condiția 0 Exemplul 2
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.
Răspuns. (0; 0,5) U.
Răspuns :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , apoi rescriem ultima inegalitate ca 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Soluția acestei colecții este intervalele 0<у≤2 и 8≤у<+.
adică agregate 
. Astfel, inegalitatea originală este valabilă pentru toate valorile lui x din intervalele 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Prin urmare, toți x din intervalul 0
Concluzie
Nu a fost ușor să găsești metode speciale de rezolvare a problemelor C3 dintr-o mare varietate de surse educaționale diferite. Pe parcursul lucrărilor efectuate, am putut studia metode non-standard pentru rezolvarea inegalităților logaritmice complexe. Acestea sunt: tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor, metoda raționalizării , substituție non-standard , sarcini cu capcane pe ODZ. Aceste metode sunt absente în programa școlară.
Folosind diferite metode, am rezolvat 27 de inegalități oferite la USE în partea C și anume C3. Aceste inegalități cu soluții prin metode au stat la baza colecției „Inegalități logaritmice C3 cu soluții”, care a devenit produsul de proiect al activității mele. S-a confirmat ipoteza pe care am înaintat-o la începutul proiectului: problemele C3 pot fi rezolvate eficient dacă aceste metode sunt cunoscute.
În plus, am descoperit fapte interesante despre logaritmi. A fost interesant pentru mine să o fac. Produsele proiectului meu vor fi utile atât studenților, cât și profesorilor.
Concluzii:
Astfel, scopul proiectului este atins, problema este rezolvată. Și am obținut cea mai completă și versatilă experiență în activități de proiect în toate etapele de lucru. Pe parcursul lucrului la proiect, impactul meu principal de dezvoltare a fost asupra competenței mentale, activităților legate de operații mentale logice, dezvoltarea competenței creative, inițiativa personală, responsabilitate, perseverență și activitate.
O garanție a succesului la crearea unui proiect de cercetare pt Am devenit: o experiență școlară semnificativă, capacitatea de a extrage informații din diverse surse, de a le verifica fiabilitatea, de a o clasifica în funcție de semnificația ei.
Pe lângă cunoștințele direct de la matematică, și-a extins abilitățile practice în domeniul informaticii, a dobândit noi cunoștințe și experiență în domeniul psihologiei, a stabilit contacte cu colegii de clasă și a învățat să coopereze cu adulții. Pe parcursul activităților proiectului s-au dezvoltat abilități și abilități educaționale generale organizatorice, intelectuale și comunicative.
Literatură
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sisteme de inegalități cu o variabilă (sarcini tipice C3).
2. Malkova A. G. Pregătirea pentru examenul de stat unificat la matematică.
3. S. S. Samarova, Rezolvarea inegalităților logaritmice.
4. Matematică. Culegere de lucrări de formare editată de A.L. Semyonov și I.V. Iascenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
La hotărâre inegalități logaritmice luăm ca bază proprietățile funcțiilor logaritmice. Și anume că funcția la=log un x la A> 1 va fi în creștere monoton, iar la 0< A< 1 - монотонно убывающей.
Să analizăm transformări necesare pentru a rezolva inegalitatea
log 1/5 (x - l) > - 2.
Mai întâi trebuie să echilibrezi bazele logaritmilor, în acest caz, arată partea dreaptă sub forma unui logaritm cu necesarul bază. Să ne transformăm -2=-2 log 1/5 1/5= log 1/5 1/5 -2 = log 1/5 25, atunci indicăm inegalitatea aleasă sub forma:
log 1/5 (x-l) > log 1/5 25.
Funcţie la= log 1/5 X va fi monoton în scădere. Rezultă că valoarea mai mare a acestei funcții corespunde valorii mai mici a argumentului. Și în consecință avem X—1 < 25. К указанному неравенству требуется добавить еще неравенство X- 1 > 0 corespunzător faptului că sub semn logaritm nu poate fi decât pozitiv. Rezultă că această inegalitate este identică cu sistemul a două inegalități liniare. Având în vedere că baza logaritmului este mai mică de unu, într-un sistem identic, semnul inegalității este inversat:
Rezolvând ceea ce vedem că:
1 < х < 26.
Este de mare importanță să nu uităm condiția x-1 > 0, altfel concluzia nu va fi corectă: x< 26. Тогда бы в эти «решения» входило бы и значение х = 0, при котором левая часть первоначального неравенства не существует.
Cu ei sunt logaritmi în interior.
Exemple:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 ((x^2-3))< \log_3{(2x)}\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2((x+1))+10≤11 \lg((x+1))\)
Cum se rezolvă inegalitățile logaritmice:
Orice inegalitate logaritmică ar trebui redusă la forma \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) (simbolul \(˅\) înseamnă oricare dintre ). Această formă ne permite să scăpăm de logaritmi și bazele lor trecând la inegalitatea expresiilor sub logaritmi, adică la forma \(f(x) ˅ g(x)\).
Dar atunci când faceți această tranziție, există o subtilitate foarte importantă:
\(-\) dacă - un număr și este mai mare decât 1 - semnul inegalității rămâne același în timpul tranziției,
\(-\) dacă baza este un număr mai mare decât 0 dar mai mic decât 1 (între zero și unu), atunci semnul inegalității trebuie inversat, i.e.
|
\(\log_2((8-x))<1\) Soluţie: |
\(\log\)\(_(0,5)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) \(((x+ unu))\) Soluţie: |
Foarte important!În orice inegalitate, trecerea de la forma \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) la compararea expresiilor sub logaritmi se poate face numai dacă:
Exemplu . Rezolvați inegalitatea: \(\log\)\(≤-1\)
Soluţie:
|
\(\Buturuga\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) |
Să scriem ODZ. |
|
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) |
|
|
\(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) |
Deschidem parantezele, dăm . |
|
\(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) |
Înmulțim inegalitatea cu \(-1\), amintindu-ne să inversăm semnul de comparație. |
|
\(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) |
|
|
\(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) |
Să construim o dreaptă numerică și să marchem punctele \(\frac(7)(3)\) și \(\frac(3)(2)\) pe ea. Rețineți că punctul de la numitor este perforat, în ciuda faptului că inegalitatea nu este strictă. Cert este că acest punct nu va fi o soluție, deoarece la înlocuirea într-o inegalitate, ne va conduce la împărțirea la zero. |
|
|
Acum trasăm ODZ pe aceeași axă numerică și notăm ca răspuns intervalul care se încadrează în ODZ. |
|
|
Notează răspunsul final. |
Exemplu . Rezolvați inegalitatea: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Soluţie:
|
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Să scriem ODZ. |
|
ODZ: \(x>0\) |
Să trecem la decizie. |
|
Soluție: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
În fața noastră este o inegalitate tipică pătrat-logaritmică. Noi facem. |
|
\(t=\log_3x\) |
Extindeți partea stângă a inegalității în . |
|
\(D=1+8=9\) |
|
|
Acum trebuie să reveniți la variabila inițială - x. Pentru a face acest lucru, trecem la , care are aceeași soluție și facem înlocuirea inversă. |
|
|
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Transformă \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). |
|
\(\left[ \begin(gathered) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Să trecem la compararea argumentelor. Bazele logaritmilor sunt mai mari decât \(1\), deci semnul inegalităților nu se modifică. |
|
\(\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Să combinăm soluția inegalității și a ODZ într-o singură figură. |
|
|
Să scriem răspunsul. |
Când am studiat funcția logaritmică, am luat în considerare în principal inegalitățile formei
log un x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.
Rezolvați inegalitatea lg (x + 1) ≤ 2 (1).
Soluţie.
1) Partea dreaptă a inegalității luate în considerare are sens pentru toate valorile lui x, iar partea stângă - pentru x + 1 > 0, adică. pentru x > -1.
2) Intervalul x\u003e -1 se numește domeniul de definire al inegalității (1). Funcția logaritmică cu baza 10 este în creștere, prin urmare, în condiția x + 1 > 0, inegalitatea (1) este satisfăcută dacă x + 1 ≤ 100 (deoarece 2 = lg 100). Astfel, inegalitatea (1) și sistemul de inegalități
(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,
sunt echivalente, cu alte cuvinte, mulțimea soluțiilor inegalității (1) și sistemul de inegalități (2) sunt aceleași.
3) Rezolvând sistemul (2), găsim -1< х ≤ 99.
Răspuns. -unu< х ≤ 99.
Rezolvați inegalitatea log 2 (x - 3) + log 2 (x - 2) ≤ 1 (3).
Soluţie.
1) Domeniul funcției logaritmice considerate este mulțimea valorilor pozitive ale argumentului, prin urmare partea stângă a inegalității are sens pentru x - 3 > 0 și x - 2 > 0.
Prin urmare, domeniul acestei inegalități este intervalul x > 3.
2) După proprietățile logaritmului, inegalitatea (3) pentru х > 3 este echivalentă cu inegalitatea log 2 (х – 3)(х – 2) ≤ log 2 (4).
3) Funcția logaritmică de bază 2 este în creștere. Prin urmare, pentru х > 3, inegalitatea (4) este satisfăcută dacă (х – 3)(х – 2) ≤ 2.
4) Astfel, inegalitatea originală (3) este echivalentă cu sistemul de inegalități
((x - 3)(x - 2) ≤ 2,
(x > 3.
Rezolvând prima inegalitate a acestui sistem, obținem x 2 - 5x + 4 ≤ 0, de unde 1 ≤ x ≤ 4. Combinând acest segment cu intervalul x > 3, obținem 3< х ≤ 4.
Răspuns. 3< х ≤ 4.
Rezolvați inegalitatea log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ -4. (5)
Soluţie.
1) Domeniul de definire al inegalității se găsește din condiția x 2 + 2x - 8 > 0.
2) Inegalitatea (5) poate fi scrisă ca: 
log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ log 1/2 16.
3) Deoarece funcția logaritmică cu baza ½ este în scădere, atunci pentru tot x din întregul domeniu al inegalității obținem:
x 2 + 2x - 8 ≤ 16.
Astfel, egalitatea inițială (5) este echivalentă cu sistemul de inegalități
(x 2 + 2x - 8 > 0 sau (x 2 + 2x - 8 > 0,
(x 2 + 2x - 8 ≤ 16, (x 2 + 2x - 24 ≤ 0.
Rezolvând prima inegalitate pătratică, obținem x< -4, х >2. Rezolvând a doua inegalitate pătratică, obținem -6 ≤ x ≤ 4. Prin urmare, ambele inegalități ale sistemului sunt îndeplinite simultan la -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.
Răspuns. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.
site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Crezi că mai este timp înainte de examen și vei avea timp să te pregătești? Poate că așa este. Dar, în orice caz, cu cât studentul începe mai devreme antrenamentul, cu atât trece cu mai mult succes examenele. Astăzi am decis să dedicăm un articol inegalităților logaritmice. Aceasta este una dintre sarcini, ceea ce înseamnă o oportunitate de a obține un punct în plus.
Știți deja ce este un logaritm (log)? Chiar sperăm că da. Dar chiar dacă nu ai un răspuns la această întrebare, nu este o problemă. Este foarte ușor de înțeles ce este un logaritm.
De ce exact 4? Trebuie să ridicați numărul 3 la o astfel de putere pentru a obține 81. Când înțelegeți principiul, puteți trece la calcule mai complexe.
Ai trecut prin inegalități în urmă cu câțiva ani. Și de atunci, îi întâlnești constant la matematică. Dacă întâmpinați probleme la rezolvarea inegalităților, consultați secțiunea corespunzătoare.
Acum, când ne-am familiarizat cu conceptele separat, vom trece la analiza lor în general.
Cea mai simplă inegalitate logaritmică.
Cele mai simple inegalități logaritmice nu se limitează la acest exemplu, mai sunt trei, doar cu semne diferite. De ce este nevoie de asta? Pentru a înțelege mai bine cum se rezolvă inegalitatea cu logaritmi. Acum dăm un exemplu mai aplicabil, încă destul de simplu, lăsăm inegalități logaritmice complexe pentru mai târziu.
Cum să o rezolv? Totul începe cu ODZ. Ar trebui să știți mai multe despre asta dacă doriți să rezolvați întotdeauna cu ușurință orice inegalitate.
Ce este ODZ? DPV pentru inegalitățile logaritmice
Abrevierea reprezintă intervalul de valori valide. În temele pentru examen, această formulare apare adesea. DPV vă este util nu numai în cazul inegalităților logaritmice.
Privește din nou exemplul de mai sus. Vom lua în considerare ODZ pe baza acestuia, astfel încât să înțelegeți principiul, iar soluția inegalităților logaritmice nu ridică întrebări. Din definiția logaritmului rezultă că 2x+4 trebuie să fie mai mare decât zero. În cazul nostru, aceasta înseamnă următoarele.
Acest număr trebuie să fie pozitiv prin definiție. Rezolvați inegalitatea prezentată mai sus. Acest lucru se poate face chiar și oral, aici este clar că X nu poate fi mai mic de 2. Soluția inegalității va fi definirea intervalului de valori acceptabile.
Acum să trecem la rezolvarea celei mai simple inegalități logaritmice.
Aruncăm logaritmii înșiși din ambele părți ale inegalității. Ce ne rămâne ca rezultat? inegalitatea simplă.
Este ușor de rezolvat. X trebuie să fie mai mare de -0,5. Acum combinăm cele două valori obținute în sistem. În acest fel,
Aceasta va fi regiunea valorilor admisibile pentru inegalitatea logaritmică considerată.
De ce este nevoie de ODZ? Aceasta este o oportunitate de a elimina răspunsurile incorecte și imposibile. Dacă răspunsul nu se află în intervalul de valori acceptabile, atunci răspunsul pur și simplu nu are sens. Acest lucru merită amintit mult timp, deoarece la examen este adesea nevoie să căutați ODZ și nu se referă numai la inegalitățile logaritmice.
Algoritm pentru rezolvarea inegalității logaritmice
Soluția constă din mai mulți pași. În primul rând, este necesar să găsiți intervalul de valori acceptabile. Vor fi două valori în ODZ, am considerat acest lucru mai sus. Următorul pas este rezolvarea inegalității în sine. Metodele de rezolvare sunt următoarele:
- metoda de înlocuire a multiplicatorului;
- descompunere;
- metoda de raționalizare.
În funcție de situație, ar trebui utilizată una dintre metodele de mai sus. Să trecem direct la soluție. Vom dezvălui cea mai populară metodă care este potrivită pentru rezolvarea sarcinilor USE în aproape toate cazurile. În continuare, vom lua în considerare metoda de descompunere. Vă poate ajuta dacă întâlniți o inegalitate deosebit de „delicată”. Deci, algoritmul pentru rezolvarea inegalității logaritmice.
Exemple de soluții :
Nu degeaba am luat tocmai o asemenea inegalitate! Atenție la bază. Amintiți-vă: dacă este mai mare decât unu, semnul rămâne același la găsirea intervalului de valori valide; în caz contrar, semnul inegalității trebuie schimbat.
Ca rezultat, obținem inegalitatea:
Acum aducem partea stângă la forma ecuației egale cu zero. În loc de semnul „mai puțin decât”, punem „egal”, rezolvăm ecuația. Astfel, vom găsi ODZ. Sperăm că nu veți avea probleme cu rezolvarea unei astfel de ecuații simple. Răspunsurile sunt -4 și -2. Asta nu e tot. Trebuie să afișați aceste puncte pe diagramă, plasați „+” și „-”. Ce trebuie făcut pentru asta? Înlocuiți numerele din intervale în expresie. Acolo unde valorile sunt pozitive, punem „+” acolo.
Răspuns: x nu poate fi mai mare de -4 și mai mic de -2.
Am găsit intervalul de valori valide doar pentru partea stângă, acum trebuie să găsim intervalul de valori valide pentru partea dreaptă. Acest lucru nu este deloc mai ușor. Raspuns: -2. Intersectăm ambele zone primite.
Și abia acum începem să rezolvăm inegalitatea în sine.
Să simplificăm cât mai mult posibil pentru a fi mai ușor de decis.
Folosim din nou metoda intervalului în soluție. Să sărim peste calcule, cu el totul este deja clar din exemplul anterior. Răspuns.
Dar această metodă este potrivită dacă inegalitatea logaritmică are aceleași baze.
Rezolvarea ecuațiilor logaritmice și a inegalităților cu baze diferite implică reducerea inițială la o bază. Apoi utilizați metoda de mai sus. Dar există și un caz mai complicat. Luați în considerare unul dintre cele mai complexe tipuri de inegalități logaritmice.
Inegalități logaritmice cu bază variabilă
Cum se rezolvă inegalitățile cu astfel de caracteristici? Da, și așa ceva se găsește în examen. Rezolvarea inegalităților în felul următor va avea, de asemenea, un efect benefic asupra procesului tău educațional. Să ne uităm la problema în detaliu. Să lăsăm teoria deoparte și să trecem direct la practică. Pentru a rezolva inegalitățile logaritmice, este suficient să vă familiarizați o dată cu exemplul.
Pentru a rezolva inegalitatea logaritmică a formei prezentate, este necesar să reduceți partea dreaptă la logaritmul cu aceeași bază. Principiul seamănă cu tranzițiile echivalente. Ca urmare, inegalitatea va arăta astfel.
De fapt, rămâne să creăm un sistem de inegalități fără logaritmi. Folosind metoda raționalizării, trecem la un sistem echivalent de inegalități. Veți înțelege regula în sine atunci când înlocuiți valorile corespunzătoare și urmați modificările acestora. Sistemul va avea următoarele inegalități.
Folosind metoda de raționalizare atunci când rezolvați inegalitățile, trebuie să vă amintiți următoarele: trebuie să scădeți una din bază, x, prin definiția logaritmului, este scăzut din ambele părți ale inegalității (dreapta din stânga), cele două expresiile sunt înmulțite și stabilite sub semnul original relativ la zero.
Soluția ulterioară se realizează prin metoda intervalului, totul este simplu aici. Este important să înțelegeți diferențele dintre metodele de soluție, apoi totul va începe să funcționeze ușor.
Există multe nuanțe în inegalitățile logaritmice. Cele mai simple dintre ele sunt destul de ușor de rezolvat. Cum să faci astfel încât să rezolvi fiecare dintre ele fără probleme? Ați primit deja toate răspunsurile din acest articol. Acum ai un antrenament lung în față. Exersați constant rezolvarea diferitelor probleme din cadrul examenului și veți putea obține cel mai mare punctaj. Mult succes in munca ta grea!
