Navigare în pagină.

Metoda parabolelor (Simpson) - esența metodei, formulă, estimarea erorii, ilustrație.

Fie funcția y = f(x) continuă pe interval și trebuie să calculăm integrala definită .

Să împărțim segmentul în n segmente elementare de lungime prin puncte. Fie punctele mijlocii ale segmentelor, respectiv. În acest caz, toate „nodurile” sunt determinate din egalitate.

Esența metodei parabolelor.

Pe fiecare interval, integrandul este aproximat printr-o parabolă pătratică trecând prin puncte . De aici și numele metodei - metoda parabolelor.

Acest lucru se face pentru a lua ca valoare aproximativă a unei integrale definite , pe care o putem calcula folosind formula Newton-Leibniz. Acesta este ce esența metodei parabolelor.

Geometric arată astfel:

Ilustrare grafică a metodei parabolelor (Simpson).

Linia roșie arată graficul funcției y=f(x) , linia albastră arată aproximarea graficului funcției y=f(x) prin parabole pătratice pe fiecare segment elementar al partiției.

Derivarea formulei metodei Simpson (parabole).

În virtutea proprietății a cincea a integralei definite, avem .

Pentru a obține formula pentru metoda parabolelor (Simpson), trebuie să calculăm .

Fie (putem ajunge întotdeauna la aceasta efectuând transformarea de deplasare geometrică corespunzătoare pentru orice i = 1, 2, ..., n ).

Să facem un desen.

Să arătăm că doar o parabolă pătratică trece prin puncte . Cu alte cuvinte, demonstrăm că coeficienții sunt definiți în mod unic.

Deoarece sunt punctele parabolei, fiecare dintre ecuațiile sistemului este valabilă

Sistemul scris de ecuații este un sistem de ecuații algebrice liniare în variabile necunoscute. Determinantul matricei principale a acestui sistem de ecuații este determinantul Vandermonde , și este diferit de zero pentru punctele necoincidente . Acest lucru indică faptul că sistemul de ecuații are o soluție unică (aceasta este discutată în articol), adică coeficienții sunt determinați în mod unic și o singură parabolă pătratică trece prin puncte.

Să trecem la găsirea integralei .

Evident:

Folosim aceste egalități pentru a face ultima tranziție în următorul lanț de egalități:

Astfel, puteți obține formula metodei parabolelor:

Formula metodei Simpson (parabole) are forma
.

Estimarea erorii absolute a metodei Simpson.

Eroarea absolută a metodei lui Simpson cotat ca .

Exemple de calcul aproximativ al integralelor definite prin metoda Simpson (parabole).

Să analizăm aplicarea metodei Simpson (parabole) în calculul aproximativ al integralelor definite.

De obicei, există două tipuri de sarcini:

Apare o întrebare logică: „Cu ce ​​grad de precizie să efectuăm calcule intermediare”?

Răspunsul este simplu - precizia calculelor intermediare ar trebui să fie suficientă. Calculele intermediare trebuie efectuate cu o precizie de 3-4 ordine de mărime mai mare decât ordinul . De asemenea, acuratețea calculelor intermediare depinde de numărul n - cu cât n este mai mare, cu atât mai precis trebuie efectuate calculele intermediare.

Exemplu.

Calculați integrala definită folosind metoda Simpson, împărțind segmentul de integrare în 5 părți.

Decizie.

Din condiția știm că a = 0; b = 5; n = 5 .

Formula metodei Simpson (parabole) are forma . Pentru ao aplica, trebuie să calculăm pasul, să determinăm nodurile și să calculăm valorile corespunzătoare ale integrandului .

Calculele intermediare vor fi efectuate cu o precizie de patru zecimale (rotunjite la a cincea zecimală).

Deci, să calculăm pasul .

Să trecem la noduri și la valorile funcției din ele:

Pentru claritate și comoditate, rezumăm rezultatele într-un tabel:

Înlocuim rezultatele obținute în formula metodei parabolelor:

Am luat în mod specific o integrală definită, care poate fi calculată folosind formula Newton-Leibniz, pentru a compara rezultatele.

Rezultatele se potrivesc cu o sutimi.

Exemplu.

Calculați integrala definită prin metoda Simpson cu o precizie de 0,001 .

Decizie.

În exemplul nostru, a = 0, .

În primul rând, trebuie să definim n . Pentru a face acest lucru, apelăm la inegalitatea pentru estimarea erorii absolute a metodei Simpson. Putem spune că dacă găsim n pentru care inegalitatea va fi valabilă , atunci când utilizați metoda parabolelor pentru a calcula integrala definită inițială, eroarea absolută nu va depăși 0,001. Ultima inegalitate poate fi rescrisă ca .

Să aflăm care este valoarea maximă a modulului derivatei a patra a integrandului pe intervalul de integrare.

este un interval , iar segmentul de integrare conține puncte extreme, deci .

Inlocuim valoarea gasita in inegalitate si o rezolvam:

La fel de n este un număr natural (acesta este același număr de segmente în care se împarte segmentul de integrare), atunci putem lua n = 5, 6, 7, ... Pentru a nu face calcule inutile, luăm n = 5 .

Acum procedăm ca în exemplul anterior. În calculele intermediare, vom rotunji la ordinul al șaselea.

Calculați pasul .

Găsim nodurile și valorile integrandului în ele:

Combinăm rezultatele calculelor într-un tabel:

Înlocuim valorile în formula metodei parabolelor:

Astfel, folosind metoda Simpson, se obține o valoare aproximativă a unei integrale definite precisă la 0,001.

Într-adevăr, după ce am calculat integrala inițială folosind formula Newton-Leibniz, obținem

Cometariu.

Găsirea este dificilă în multe cazuri. Puteți ocoli acest lucru adoptând o abordare alternativă a utilizării metodei parabolelor. Principiul său este descris în secțiunea metoda trapezoidală, așa că nu îl vom repeta.

Ce metodă ar trebui utilizată pentru integrarea numerică?

Precizia metodei Simpson (parabole) este mai mare decât acuratețea metodei dreptunghiurilor și trapezelor pentru un n dat (acest lucru se poate vedea din estimarea erorii absolute), deci utilizarea acesteia este de preferat.

Trebuie amintit că eroarea de calcul afectează rezultatul pentru n mare, care poate îndepărta valoarea aproximativă de cea exactă.

(1710-1761).

Să luăm în considerare un segment. Fie cunoscute valorile funcției reale f(x) în punctele a, (a+b)/2, b. Există un singur polinom de gradul 2 p 2 (X) al cărui grafic trece prin punctele (a, f(a)), ((a+b)/2,f((a+b)/2), (b, f(b)). Formula Simpson se numește integrala acestui polinom pe intervalul:

Metoda lui Simpson are o ordine de eroare de 4 și o ordine algebrică de precizie de 3.

Eroare la integrarea peste segmentul [ A,b] cu pas h este determinată de formula:

,

Unde este maximul derivatei a patra a funcției.

De asemenea, dacă este imposibil să se estimeze eroarea folosind maximul derivatei a patra (de exemplu, nu există pe un interval dat sau tinde spre infinit), se poate folosi o estimare mai grosieră:

,

Unde este maximul derivatei a treia a funcției.

Legături

• Kostomarov D. P., Favorsky A. P. „Prelegeri introductive despre metodele numerice”

Fundația Wikimedia. 2010 .

• Metoda Runge-Kutta
• Metoda Fibonacci de a găsi un extremum

Vedeți ce este „Metoda Simpson” în alte dicționare:

Formula Simpson- Esența metodei este aproximarea funcției f (x) (graf albastru) printr-un polinom pătratic P (x) (roșu) Formula lui Simpson (de asemenea... Wikipedia

METODA ROMBERG- regula lui Romberg, o metodă de calcul a unei integrale definite bazată pe extrapolarea Richardson. Să fie calculată valoarea I a unei anumite funcționale, în timp ce valoarea aproximativă calculată T(h) depinde de parametrul h, astfel încât în ​​... ... Enciclopedie matematică

Integrare numerică- (denumire istorică: cuadratura (numerică)) calculul valorii unei integrale determinate (de obicei aproximativă). Integrarea numerică este înțeleasă ca un set de metode numerice de găsire a valorii unei anumite integrale. Numerică ...... Wikipedia

Formule de cuadratura

Formula de cuadratura- O integrală definită ca aria unei figuri Integrarea numerică (nume istoric: cuadratura) Calculul valorii unei integrale definite (de obicei aproximativă), pe baza faptului că valoarea integralei este numeric egală cu zona ...... Wikipedia

Formula dreptunghiulară- O integrală definită ca aria unei figuri Integrarea numerică (nume istoric: cuadratura) Calculul valorii unei integrale definite (de obicei aproximativă), pe baza faptului că valoarea integralei este numeric egală cu zona ...... Wikipedia

Formula dreptunghiulară- O integrală definită ca aria unei figuri Integrarea numerică (nume istoric: cuadratura) Calculul valorii unei integrale definite (de obicei aproximativă), pe baza faptului că valoarea integralei este numeric egală cu zona ...... Wikipedia

Formula trapezoidală- O integrală definită ca aria unei figuri Integrarea numerică (nume istoric: cuadratura) Calculul valorii unei integrale definite (de obicei aproximativă), pe baza faptului că valoarea integralei este numeric egală cu zona ...... Wikipedia

NAȘTERE- NAȘTERE. Cuprins: I. Definirea conceptului. Modificări ale organismului în timpul R. Cauzele declanșării R ............................ 109 II. Curent clinic de R. fiziologic . 132 Sh. Mecanica R. ................. 152 IV. P conducător .............. 169 V ... Marea Enciclopedie Medicală

Calcul integral- o ramură a matematicii care studiază proprietățile și metodele de calcul a integralelor și aplicațiile acestora. Eu si. este strâns legat de calculul diferențial (vezi. Calcul diferențial) și, împreună cu acesta, constituie una dintre părțile principale ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Să împărțim intervalul de integrare [ A, b] la un număr par n părți egale în trepte h. Pe fiecare segment [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [X i-1, X i+1],...,[ X n-2, X n] integrand f(X) se înlocuiește cu un polinom de interpolare de gradul doi:

Coeficienții acestor trinoame pătrate pot fi găsiți din condițiile de egalitate a polinomului în punctele datelor tabulare corespunzătoare. Poate fi luat ca polinomul de interpolare Lagrange de gradul doi care trece prin puncte :

Suma ariilor elementare și (Fig. 3.3) poate fi calculată folosind o anumită integrală. Ținând cont de egalități, obținem

-

Orez. 3.3. Ilustrație pentru metoda Simpson

După ce am efectuat astfel de calcule pentru fiecare segment elementar, însumăm expresiile rezultate:

Această expresie pentru S este luată ca valoare a unei integrale definite:

(3.35)

Raportul rezultat se numește Formula lui Simpson sau formula parabolă.

Această formulă poate fi obținută și în alte moduri, de exemplu, prin aplicarea metodei trapezului de două ori la partiționarea segmentului [ A, b] în părți cu pași hși 2 h sau prin combinarea formulelor dreptunghiurilor și trapezelor (vezi secțiunea 3.2.6).

Uneori formula lui Simpson este scrisă folosind indici pe jumătate întregi. În acest caz, numărul de segmente de partiție P arbitrar (nu neapărat chiar), iar formula lui Simpson este

(3.36)

Este ușor de observat că formula (3.36) coincide cu (3.35) dacă formula (3.35) este aplicată numărului de segmente de partiție 2 n si pas h/2.

Exemplu. Calculați integrala folosind metoda Simpson

Valorile funcției la n = 10, h = 0,1 sunt date în tabel. 3.3. Aplicând formula (3.35), găsim

Rezultatul integrării numerice folosind metoda Simpson sa dovedit a fi același cu valoarea exactă (șase cifre semnificative).

Unul dintre algoritmii posibili pentru calcularea unei integrale definite folosind metoda Simpson este prezentat în Fig. 3.4. Limitele intervalului de integrare [ A, b],eroare ε, precum și formula de calcul a valorilor integrandului y=f(X) .

Orez. 3.4. Algoritmul metodei Simpson

Inițial, segmentul este împărțit în două părți cu un pas h =(b- a)/2. Se calculează valoarea integralei eu 1. Apoi se dublează numărul de pași, se calculează valoarea eu 2 în trepte h/2. Condiția de sfârșit de numărare este considerată . Dacă această condiție nu este îndeplinită, are loc o nouă împărțire a treptei în jumătate și așa mai departe.

Rețineți că este prezentat în fig. 3.4 algoritmul nu este optim: la calcularea fiecărei aproximări eu 2 valori ale funcției nu sunt utilizate f(X), găsit deja la pasul anterior. Algoritmi mai economici vor fi discutați în Sec. 3.2.7.

Pentru a construi formula Simpson, luăm mai întâi în considerare următoarea problemă: calculați aria S a unui trapez curbiliniu mărginit de sus de graficul parabolei y \u003d Ax 2 + Bx + C, de la stânga de linia dreaptă x \u003d - h, de la dreapta de linia dreaptă x \u003d h și de jos de segmentul [-h; h]. Lasă parabola să treacă prin trei puncte (Fig. 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) și F (h; y 2), și x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h . Prin urmare,

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2h.

Atunci aria S este egală cu integrala:

Exprimăm această zonă în termeni de h, y 0 , y 1 și y 2 . Pentru a face acest lucru, calculăm coeficienții parabolei A, B, C. Din condiția ca parabola să treacă prin punctele D, E și F, avem:

Rezolvând acest sistem, obținem: C = y 1 ; A=

Înlocuind aceste valori A și C în (3), obținem aria dorită

Să ne întoarcem acum la derivarea formulei lui Simpson pentru calcularea integralei

Pentru a face acest lucru, împărțim segmentul de integrare în 2n părți egale de lungime

La punctele de divizare (Fig. 4). a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Se calculează valorile integrandului f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

Pe segment înlocuim integrandul cu o parabolă care trece prin punctele (x 0; y 0), (x 1; y 1) și (x 2; y 2), și se calculează valoarea aproximativă a integralei din x 0 la x 2, folosim formula (4 ). Apoi (zona umbrită din Fig. 4):

În mod similar, găsim:

................................................

Adunând egalitățile rezultate, avem:

Formula (5) se numește formula Simpson generalizată sau formula parabolă, deoarece la derivarea acestuia, graficul integrandului pe un segment parțial de lungime 2h este înlocuit cu un arc de parabolă.

Atribuirea de locuri de muncă:

1. Conform instrucțiunilor profesorului sau în conformitate cu o opțiune de la Mese 4 sarcini (vezi Anexa) pentru a lua condițiile - integrand, limitele integrării.

2. Întocmește o organigramă a programului și un program care ar trebui:

Solicitați acuratețea calculării unei integrale definite, limitele inferioare și superioare de integrare;

Calculați integrala dată prin metode: pentru opțiunile 1,4,7, 10... - dreapta, pentru opțiunile 2,5,8,... - medie; pentru opțiunile 2,5,8,... - dreptunghiuri din stânga. Ieșiți numărul de partiții ale intervalului de integrare la care este atinsă precizia de calcul specificată;

Calculați integrala dată folosind metoda trapezului (pentru opțiunile pare) și metoda lui Simpson (pentru opțiunile impare).

Ieșiți numărul de partiții ale intervalului de integrare la care este atinsă precizia de calcul specificată;

Ieșiți valorile funcției de control pentru valoarea dată a argumentului și comparați cu valorile calculate ale integralei. A trage concluzii.

întrebări de test

1. Ce este o integrală definită?

2. De ce, alături de metodele analitice, se folosesc metode numerice pentru calcularea integralelor definite.

3. Care este esența principalelor metode numerice de calcul a integralelor definite.

4. Influența numărului de partiții asupra preciziei calculării unei integrale definite prin metode numerice.

5. Cum se calculează integrala prin orice metodă cu o precizie dată?

În această metodă, se propune aproximarea integralandului pe un interval parțial printr-o parabolă care trece prin puncte.
(x j, f(xj)), Unde j = i-1; i-0.5; i, adică aproximăm integrandul prin polinomul de interpolare Lagrange de gradul doi:

(10.14)

După integrare, obținem:

(10.15)

Asta e formula lui Simpson sau formula parabolelor. Pe segment
[a, b] Formula lui Simpson ia forma

(10.16)

O reprezentare grafică a metodei lui Simpson este prezentată în fig. 2.4.

Orez. 10.4. Metoda Simpson

Să scăpăm de indicii fracționali din expresia (2.16) redenumind variabilele:

(10.17)

Apoi formula lui Simpson ia forma

(10.18)

Eroarea formulei (2.18) este estimată prin următoarea expresie:

, (10.19)

Unde h n = b-a, . Astfel, eroarea formulei lui Simpson este proporțională cu O(h 4).

Cometariu. Trebuie remarcat faptul că în formula Simpson, segmentul de integrare este în mod necesar împărțit în chiar numărul de intervale.

10.5. Calculul integralelor definite prin metode
Monte Carlo

Metodele discutate anterior sunt numite determinat , adică lipsit de elementul întâmplării.

Metode Monte Carlo(MMK) sunt metode numerice de rezolvare a problemelor matematice prin modelarea variabilelor aleatoare. MCM permit rezolvarea cu succes a problemelor matematice cauzate de procese probabilistice. Mai mult, atunci când rezolvăm probleme care nu sunt asociate cu nicio probabilitate, se poate veni în mod artificial un model probabilistic (și chiar mai mult de unul) care să permită rezolvarea acestor probleme. Luați în considerare calculul integralei definite

(10.20)

Când se calculează această integrală folosind formula dreptunghiurilor, intervalul [ a, b] împărțit în N intervale identice, în mijlocul cărora s-au calculat valorile integrandului. Prin calcularea valorilor funcției la noduri aleatorii, puteți obține un rezultat mai precis:

(10.21)

(10.22)

Aici γ i este un număr aleator distribuit uniform pe interval
. Eroarea în calcularea integralei MMK ~ , care este mult mai mare decât cea a metodelor deterministe studiate anterior.

Pe fig. 2.5 prezintă o implementare grafică a metodei Monte Carlo pentru calcularea unei integrale unice cu noduri aleatoare (2.21) și (2.22).

(2.23)

Orez. 10.6. Integrare Monte Carlo (al doilea caz)

După cum se vede în fig. 2.6, curba integrală se află în pătratul unității, iar dacă putem obține perechi de numere aleatoare distribuite uniform pe interval, atunci valorile obținute (γ 1, γ 2) pot fi interpretate ca coordonatele unui punct din pătrat unitar. Apoi, dacă există suficiente din aceste perechi de numere, putem presupune aproximativ că
. Aici S este numărul de perechi de puncte care se încadrează sub curbă și N este numărul total de perechi de numere.

Exemplul 2.1. Calculați următoarea integrală:

Problema a fost rezolvată prin diferite metode. Rezultatele obţinute sunt rezumate în tabel. 2.1.

Tabelul 2.1

Cometariu. Alegerea integralei de tabel ne-a permis să comparăm eroarea fiecărei metode și să aflăm influența numărului de partiții asupra preciziei calculelor.

11 SOLUȚIA APROXIMATĂ A NELINEARĂ
ȘI ECUATII TRANSCENDENTE