În această lecție, ne vom uita la funcții trigonometrice de bază, proprietățile și graficele acestora, și, de asemenea, lista principalele tipuri de ecuații și sisteme trigonometrice. În plus, indicăm soluții generale ale celor mai simple ecuații trigonometrice și cazurile lor speciale.

Această lecție vă va ajuta să vă pregătiți pentru unul dintre tipurile de sarcini. B5 și C1.

Pregătirea pentru examenul la matematică

Experiment

Lecția 10 Ecuații trigonometrice și sistemele lor.

Teorie

Rezumatul lecției

Am folosit deja în mod repetat termenul „funcție trigonometrică”. În prima lecție a acestui subiect, le-am definit folosind un triunghi dreptunghic și un cerc trigonometric unitar. Folosind astfel de metode de definire a funcțiilor trigonometrice, putem deja concluziona că pentru ele o valoare a argumentului (sau unghiului) corespunde exact unei valori a funcției, adică. avem dreptul de a numi exact funcții sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.

În această lecție, este timpul să încercăm să faceți abstracție de la metodele discutate anterior pentru calcularea valorilor funcțiilor trigonometrice. Astăzi vom trece la abordarea algebrică obișnuită a lucrului cu funcții, vom lua în considerare proprietățile acestora și vom desena grafice.

În ceea ce privește proprietățile funcțiilor trigonometrice, o atenție deosebită trebuie acordată:

Domeniul definiției și intervalul de valori, deoarece pentru sinus și cosinus există restricții asupra domeniului de valori, iar pentru tangentă și cotangentă există restricții asupra domeniului de definiție;

Periodicitatea tuturor funcțiilor trigonometrice, deoarece am observat deja prezența celui mai mic argument diferit de zero, a cărui adăugare nu modifică valoarea funcției. Un astfel de argument se numește perioada funcției și este notat cu litera . Pentru sinus/cosinus și tangentă/cotangentă, aceste perioade sunt diferite.

Luați în considerare o funcție:

1) Domeniul de definire;

2) Gama de valori ;

3) Funcția este impară ;

Să diagramăm funcția. În acest caz, este convenabil să începeți construcția din imaginea zonei, care limitează graficul de sus cu numărul 1 și de jos cu numărul , care este asociat cu intervalul funcției. În plus, pentru trasare, este util să vă amintiți valorile sinusurilor mai multor unghiuri principale ale tabelului, de exemplu, că Acest lucru vă va permite să construiți primul „val” complet al graficului și apoi să îl redesenați la dreapta si la stanga, profitand de faptul ca poza se va repeta cu un decalaj cu un punct, i.e. pe .

Acum să ne uităm la funcția:

Principalele proprietăți ale acestei funcții:

1) Domeniul de definire;

2) Gama de valori ;

3) Funcția este pară Aceasta implică simetria graficului funcției față de axa y;

4) Funcția nu este monotonă în tot domeniul său de definire;

Să diagramăm funcția. Ca și în construcția sinusului, este convenabil să începeți cu imaginea zonei care limitează graficul de sus cu numărul 1 și de jos cu numărul , care este legat de intervalul funcției. Vom reprezenta, de asemenea, coordonatele mai multor puncte pe grafic, pentru care este necesar să ne amintim valorile cosinusului mai multor unghiuri principale ale tabelului, de exemplu, folosind aceste puncte, putem construi primul „val” complet al graficul și apoi redesenați-l la dreapta și la stânga, profitând de faptul că imaginea se va repeta cu o schimbare de punct, adică. pe .

Să trecem la funcția:

Principalele proprietăți ale acestei funcții:

1) Domeniul de definiție cu excepția , unde . Am indicat deja în lecțiile anterioare că nu există. Această afirmație poate fi generalizată luând în considerare perioada tangentei;

2) Intervalul de valori, i.e. valorile tangentei nu sunt limitate;

3) Funcția este impară ;

4) Funcția crește monoton în cadrul așa-numitelor sale ramuri tangente, pe care le vom vedea acum în figură;

5) Funcția este periodică cu punct

Să diagramăm funcția. În acest caz, este convenabil să începeți construcția de la imaginea asimptotelor verticale ale graficului în puncte care nu sunt incluse în domeniul definiției, i.e. etc. În continuare, înfățișăm ramurile tangentei în interiorul fiecăreia dintre benzile formate de asimptote, apăsându-le pe asimptota stângă și pe cea dreaptă. În același timp, nu uitați că fiecare ramură crește monoton. Înfățișăm toate ramurile în același mod, pentru că funcția are o perioadă egală cu . Acest lucru se poate observa din faptul că fiecare ramură se obține prin deplasarea celei vecine de-a lungul axei x.

Și încheiem cu o privire asupra funcției:

Principalele proprietăți ale acestei funcții:

1) Domeniul de definiție cu excepția , unde . Conform tabelului de valori ale funcțiilor trigonometrice, știm deja că nu există. Această afirmație poate fi generalizată ținând cont de perioada cotangentei;

2) Intervalul de valori, i.e. valorile cotangente nu sunt limitate;

3) Funcția este impară ;

4) Funcția scade monoton în cadrul ramurilor sale, care sunt similare cu ramurile tangente;

5) Funcția este periodică cu punct

Să diagramăm funcția. În acest caz, în ceea ce privește tangenta, este convenabil să începem construcția de la imaginea asimptotelor verticale ale graficului în puncte care nu sunt incluse în domeniul definiției, adică. etc. În continuare, înfățișăm ramurile cotangentei în interiorul fiecăreia dintre benzile formate de asimptote, apăsându-le spre asimptota stângă și pe cea dreaptă. În acest caz, ținem cont de faptul că fiecare ramură este monoton în scădere. Toate ramurile, similar cu tangentei, sunt reprezentate în același mod, deoarece funcția are o perioadă egală cu .

Separat, trebuie remarcat faptul că funcțiile trigonometrice cu un argument complex pot avea o perioadă nestandard. Acestea sunt funcții de forma:

Au aceeasi perioada. Și despre funcții:

Au aceeasi perioada.

După cum puteți vedea, pentru a calcula o nouă perioadă, perioada standard este pur și simplu împărțită la factorul din argument. Nu depinde de alte modificări ale funcției.

Puteți înțelege și înțelege mai detaliat de unde provin aceste formule în lecția despre construirea și convertirea graficelor de funcții.

Am ajuns la una dintre cele mai importante părți ale subiectului „Trigonometrie”, pe care o vom dedica rezolvării ecuațiilor trigonometrice. Abilitatea de a rezolva astfel de ecuații este importantă, de exemplu, atunci când descriem procesele oscilatorii din fizică. Să ne imaginăm că ai condus câteva ture pe un kart într-o mașină sport, rezolvarea unei ecuații trigonometrice va ajuta la determinarea de cât timp participi deja la cursă, în funcție de poziția mașinii pe pistă.

Să scriem cea mai simplă ecuație trigonometrică:

Soluția unei astfel de ecuații sunt argumentele, al căror sinus este egal cu. Dar știm deja că, din cauza periodicității sinusului, există un număr infinit de astfel de argumente. Astfel, soluția acestei ecuații va fi etc. Același lucru este valabil și pentru rezolvarea oricărei alte ecuații trigonometrice simple, vor exista un număr infinit de ele.

Ecuațiile trigonometrice sunt împărțite în mai multe tipuri de bază. Separat, ar trebui să ne oprim pe cel mai simplu, pentru că. toate celelalte se reduc la ele. Există patru astfel de ecuații (în funcție de numărul de funcții trigonometrice de bază). Pentru ei se cunosc soluții comune, trebuie reținute.

Cele mai simple ecuații trigonometrice și soluțiile lor generale arata asa:

Vă rugăm să rețineți că valorile sinus și cosinus trebuie să țină cont de limitările cunoscute de noi. Dacă, de exemplu, , atunci ecuația nu are soluții și această formulă nu trebuie aplicată.

În plus, aceste formule rădăcină conțin un parametru sub forma unui număr întreg arbitrar. În programa școlară, acesta este singurul caz în care soluția unei ecuații fără parametru conține un parametru. Acest număr întreg arbitrar arată că este posibil să scrieți un număr infinit de rădăcini ale oricăreia dintre ecuațiile indicate pur și simplu prin înlocuirea tuturor numerelor întregi pe rând.

Vă puteți familiariza cu primirea detaliată a acestor formule prin repetarea capitolului „Ecuații trigonometrice” din programul de algebră de clasa a X-a.

Separat, este necesar să se acorde atenție soluționării cazurilor particulare ale celor mai simple ecuații cu sinus și cosinus. Aceste ecuații arată astfel:

Formulele pentru găsirea de soluții generale nu trebuie aplicate acestora. Astfel de ecuații sunt rezolvate cel mai convenabil folosind un cerc trigonometric, care dă un rezultat mai simplu decât formulele de soluție generale.

De exemplu, soluția ecuației este . Încercați să obțineți singur acest răspuns și rezolvați restul ecuațiilor indicate.

Pe lângă cel mai comun tip de ecuații trigonometrice indicate, există mai multe altele standard. Le enumerăm, ținând cont de cele pe care le-am indicat deja:

1) Protozoare, De exemplu, ;

2) Cazuri particulare ale celor mai simple ecuații, De exemplu, ;

3) Ecuații cu argumente complexe, De exemplu, ;

4) Ecuații reduse la forma lor cea mai simplă prin eliminarea unui factor comun, De exemplu, ;

5) Ecuații reduse la forma lor cea mai simplă prin transformarea funcțiilor trigonometrice, De exemplu, ;

6) Ecuații reductibile la cele mai simple prin substituție, De exemplu, ;

7) Ecuații omogene, De exemplu, ;

8) Ecuații care se rezolvă folosind proprietățile funcțiilor, De exemplu, . Nu vă lăsați intimidați de faptul că această ecuație are două variabile, se rezolvă în același timp;

Precum și ecuații care se rezolvă folosind diverse metode.

Pe lângă rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, este necesar să se poată rezolva sistemele acestora.

Cele mai comune tipuri de sisteme sunt:

1) În care una dintre ecuații este o lege a puterii, De exemplu, ;

2) Sisteme de ecuații trigonometrice simple, De exemplu, .

În lecția de astăzi, ne-am uitat la funcțiile trigonometrice de bază, proprietățile și graficele acestora. Și, de asemenea, sa familiarizat cu formulele generale pentru rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice, a indicat principalele tipuri de astfel de ecuații și sistemele lor.

În partea practică a lecției, vom analiza metodele de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și sistemele acestora.

Caseta 1.Rezolvarea cazurilor speciale ale celor mai simple ecuații trigonometrice.

După cum am spus în partea principală a lecției, cazuri speciale de ecuații trigonometrice cu sinus și cosinus de forma:

au soluții mai simple decât dau formulele generale de soluție.

Pentru aceasta, se folosește un cerc trigonometric. Să analizăm metoda de rezolvare a acestora folosind ecuația ca exemplu.

Desenați un punct pe un cerc trigonometric la care valoarea cosinusului este zero, care este și coordonata de-a lungul axei x. După cum puteți vedea, există două astfel de puncte. Sarcina noastră este să indicăm care este unghiul care corespunde acestor puncte de pe cerc.

Începem să numărăm din direcția pozitivă a axei absciselor (axa cosinusului) și, la amânarea unghiului, ajungem la primul punct afișat, adică. o soluție ar fi această valoare a unghiului. Dar suntem totuși mulțumiți de unghiul care corespunde celui de-al doilea punct. Cum să intri în el?

Funcții trigonometrice ale unui argument numeric. Proprietăți și grafice ale funcțiilor trigonometrice.

Definiția 1: Funcția numerică dată de formula y=sin x se numește sinus.

Această curbă se numește sinusoid.

Proprietățile funcției y=sin x

2. Domeniu de funcții: E(y)=[-1; unu]

3. Funcția de paritate:

y=sin x – impar,.

4. Periodicitate: sin(x+2πn)=sin x, unde n este un număr întreg.

Această funcție ia aceleași valori după un anumit interval. Această proprietate a unei funcții este numită periodicitate. Intervalul este perioada funcției.

Pentru funcția y=sin x, perioada este 2π.

Funcția y=sin x este periodică, cu perioada T=2πn, n este un număr întreg.

Cea mai mică perioadă pozitivă T=2π.

Matematic, aceasta poate fi scrisă ca: sin(x+2πn)=sin x, unde n este un număr întreg.

Definiția 2: Funcția numerică dată de formula y=cosx se numește cosinus.

Proprietățile funcției y=cos x

1. Domeniul de aplicare: D(y)=R

2. Domeniul de aplicare al funcției: E(y)=[-1;1]

3. Funcția de paritate:

y=cos x este par.

4. Periodicitate: cos(x+2πn)=cos x, unde n este un număr întreg.

Funcția y=cos x este periodică, cu perioada Т=2π.

Definiția 3: Funcția numerică dată de formula y=tg x se numește tangentă.

Proprietățile funcției y=tg x

1. Domeniul funcției: D(y) - toate numerele reale cu excepția π/2+πk, k este un număr întreg. Pentru că în aceste puncte tangenta nu este definită.

2. Domeniul de aplicare al funcției: E(y)=R.

3. Funcția de paritate:

y=tg x este impar.

4. Periodicitate: tg(x+πk)=tg x, unde k este un număr întreg.

Funcția y=tg x este periodică cu perioada π.

Definiția 4: Funcția numerică dată de formula y=ctg x se numește cotangentă.

Proprietățile funcției y=ctg x

1. Domeniul funcției: D(y) - toate numerele reale, cu excepția πk, k este un număr întreg. Pentru că în aceste puncte cotangenta nu este definită.

Funcții trigonometrice sunt funcţii elementare al căror argument este injecţie. Funcțiile trigonometrice descriu relațiile dintre laturi și unghiuri ascuțite în triunghi dreptunghic. Domeniile de aplicare a funcțiilor trigonometrice sunt extrem de diverse. Deci, de exemplu, orice proces periodic poate fi reprezentat ca o sumă de funcții trigonometrice (). Aceste funcții apar adesea la rezolvarea ecuațiilor funcționale.

Funcțiile trigonometrice includ următoarele 6 funcții: sinusului , cosinus , tangentă , cotangentă , secantăși cosecant. Pentru fiecare dintre aceste funcții, există funcția trigonometrică inversă .

Definiția geometrică a funcțiilor trigonometrice este introdusă convenabil folosind cerc unitar . Figura de mai jos prezintă un cerc cu raza \(r = 1\). Punctul \(M\left((x,y)\right)\) este marcat pe cerc. Unghiul dintre vectorul rază \(OM\) și direcția pozitivă a axei \(Ox\) este egal cu \(\alpha\).

sinusului unghiul \(\alpha\) este raportul dintre ordonata \(y\) punctului \(M\left((x,y) \right)\) și raza \(r\):
\(\sin \alpha = y/r\).
Deoarece \(r = 1\), atunci sinusul este egal cu ordonata punctului \(M\left((x,y) \right)\).

cosinus unghiul \(\alpha\) este raportul dintre abscisa \(x\) punctului \(M\left((x,y) \right)\) și raza \(r\):
\(\cos \alpha = x/r\)


tangentă unghiul \(\alpha\) este raportul dintre ordonata \(y\) punctului \(M\left((x,y) \right)\) și abscisa sa \(x\):
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)


Cotangentă unghiul \(\alpha\) este raportul dintre abscisa \(x\) punctului \(M\left((x,y) \right)\) și ordonata sa \(y\):
\(\cot \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)


Secantă unghiul \(\alpha\) este raportul dintre raza \(r\) și abscisa \(x\) punctului \(M\left((x,y) \right)\):
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)


Cosecant unghiul \(\alpha\) este raportul dintre raza \(r\) și ordonata \(y\) a punctului \(M\left((x,y) \right)\):
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)


În cercul unității de proiecție \(x\), \(y\) punctele \(M\left((x,y) \right)\) și raza \(r\) formează un triunghi dreptunghic în care \( x,y \) sunt catete, iar \(r\) este ipotenuza. Prin urmare, definițiile de mai sus ale funcțiilor trigonometrice aplicate unui triunghi dreptunghic sunt formulate după cum urmează:
sinusului unghiul \(\alpha\) este raportul dintre catetul opus și ipotenuză.
cosinus unghiul \(\alpha\) este raportul catetei adiacente la ipotenuză.
tangentă unghiul \(\alpha\) se numește picior opus celui adiacent.
Cotangentă unghiul \(\alpha\) se numește picior adiacent celui opus.
Secantă unghiul \(\alpha\) este raportul dintre ipotenuză și catetul adiacent.
Cosecant unghiul \(\alpha\) este raportul dintre ipotenuză și catetul opus.


graficul funcției sinus
\(y = \sin x\), domeniul: \(x \in \mathbb(R)\), domeniul: \(-1 \le \sin x \le 1\)




Graficul funcției cosinus
\(y = \cos x\), domeniul: \(x \in \mathbb(R)\), domeniul: \(-1 \le \cos x \le 1\)

Sunt date rapoartele dintre principalele funcții trigonometrice - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și din moment ce există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică și abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcțiile trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcțiile unui unghi multiplu, altele - vă permit să scădeți gradul, al patrulea - să exprimați toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc.

În acest articol, enumeram în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa în funcție de scopul lor și le vom introduce în tabele.

Navigare în pagină.

Identități trigonometrice de bază

Identități trigonometrice de bază stabiliți relația dintre sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Vă permit să exprimați o funcție trigonometrică prin oricare alta.

Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.

Formule turnate

Formule turnate rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea simetriei și, de asemenea, proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.

Rațiunea acestor formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a acestora pot fi studiate în articol.

Formule de adunare

Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.

Formule pentru dublu, triplu etc. unghi

Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată cum funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.

Informații mai detaliate sunt adunate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi .

Formule cu jumătate de unghi

Formule cu jumătate de unghi arătați cum funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi sunt exprimate în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.

Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.

Formule de reducere

Formule trigonometrice pentru grade descrescătoare sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele permit reducerea puterilor funcțiilor trigonometrice la prima.

Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice

Scopul principal formule de sumă și diferență pentru funcțiile trigonometrice constă în trecerea la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util la simplificarea expresiilor trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece permit factorizarea sumei și diferențelor sinusurilor și cosinusurilor.

Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus

Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la sumă sau diferență se realizează prin formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.

Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Drepturi de autor de către studenți inteligenți

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului www.site, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.

Reamintim informațiile de bază din trigonometrie care sunt necesare pentru ceea ce urmează.

Funcțiile trigonometrice sunt considerate inițial ca funcții ale unghiului, deoarece valoarea numerică a fiecăruia dintre ele (dacă are sens) este determinată prin specificarea unghiului. Corespondența unu-la-unu dintre arcele de cerc și unghiurile centrale face posibilă considerarea funcțiilor trigonometrice ca funcții ale unui arc. De exemplu, argumentul funcției sin φ avem opțiunea de a interpreta ca unghi sau arc după bunul plac. Astfel, inițial argumentul funcției trigonometrice acționează ca un obiect geometric - un unghi sau un arc. Cu toate acestea, atât în ​​matematică în sine, cât și în aplicațiile sale, este nevoie de a considera funcțiile trigonometrice ca funcții ale unui argument numeric. Chiar și în matematica școlară, argumentul unei funcții trigonometrice nu este întotdeauna considerat ca un unghi. Deci, de exemplu, mișcarea oscilativă armonică este dată de ecuația: s = A sinat. Aici argumentul t este timpul, nu unghiul (coeficientul a este un număr care caracterizează frecvența de oscilație).

Procesul de măsurare a unghiurilor (sau arcelor) atribuie fiecărui unghi (arc) un anumit număr ca măsură. Ca rezultat al măsurării unui unghi (arc), puteți obține orice un număr real, deoarece putem considera unghiuri direcționate (arcuri) de orice dimensiune. Alegând o anumită unitate de măsură pentru unghiuri (arce), este posibil să se atribuie oricărui unghi (arc) un număr care îl măsoară și, invers, oricărui număr să se asocieze un unghi (arc) măsurat printr-un număr dat. Acest lucru vă permite să interpretați argumentul funcției trigonometrice ca număr. Luați în considerare o funcție trigonometrică, de exemplu, sinus. Fie x orice număr real, acest număr corespunde unui unghi bine definit (arc), măsurat cu numărul x, iar unghiul rezultat (arc) corespunde unei valori sinusului bine definite, sin x. În final, se obține o corespondență între numere: pentru fiecare număr real x îi corespunde un număr real bine definit y \u003d sin x. Prin urmare, sin x poate fi interpretat ca o funcție argument numeric. Când luăm în considerare funcțiile trigonometrice ca funcții ale unui argument numeric, am convenit să luăm ca unitate de măsură pentru arce și unghiuri radian.În virtutea acestei convenții, simbolurile sin x, cos x, tgx și ctg x ar trebui interpretate ca sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unghiului (arc), a cărui măsură în radian este exprimată prin numărul x. De exemplu, păcatul 2 este sinusul unui arc măsurat în doi radiani *.

* (Rețineți că în unele manuale, măsura radianului este extrem de din păcate numită abstractă, spre deosebire de măsura gradului. Între ambele metode de măsurare nici o diferenta fundamentala, sunt selectate doar unități de măsură diferite. Din nefericire, și totuși această întrebare dă uneori naștere la discuții inactiv pseudoștiințifice, dăunătoare „metodologice”.)

Selectarea unității de măsură pentru arce și unghiuri nu are de o importanta fundamentala. Alegerea unui radian nu dictat necesitate. Radianul se dovedește a fi doar cea mai convenabilă unitate, deoarece în măsurarea radianului, formulele de analiză matematică referitoare la funcțiile trigonometrice iau forma cea mai simplă * .

* (Această simplificare se explică prin faptul că într-o măsură în radian Să luăm, de exemplu, un grad ca unitate de măsură a unghiurilor. Fie t și x, respectiv măsurile de grad și radian ale unghiului dat, atunci avem:

Legea corespondenței dintre valorile argumentului și funcția trigonometrică se stabilește nu printr-o indicare directă a operațiilor (formula) matematice care trebuie efectuate asupra argumentului, ci geometric*. Totuși, pentru a putea vorbi despre o funcție, este necesar să existe o lege a corespondenței, în virtutea căreia fiecărei valori valide a argumentului îi corespunde o anumită valoare a funcției, dar nu esential cum este instituită această lege.

* (Cu ajutorul matematicii elementare este imposibil să se construiască formule care exprimă valorile funcțiilor trigonometrice folosind operații algebrice pe argument. Formule cunoscute din matematica superioară care exprimă valorile funcțiilor trigonometrice direct prin valoarea argumentului,

Funcțiile sin x și cos x au sens pentru orice valoare reală a lui x și, prin urmare, domeniul lor de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale.

Funcția tg x este definită pentru toate valorile reale ale lui x, în afară de numere de forma π / 2 + kπ.

Funcția ctg x este definită pentru toate valorile reale ale lui x, în afară de numere de forma kπ.

Asa de, argumentul funcției trigonometrice, la discreția noastră, poate fi interpretat ca un unghi, sau ca un arc, sau, în sfârșit, ca un număr. Numind un argument arc (sau unghi), puteți înțelege prin el nu arcul (sau unghiul) în sine, ci numărul care îl măsoară. Păstrând terminologia geometrică, ne vom permite în loc, de exemplu, ca o astfel de frază: „sinusul numărului π/2” să spunem: „sinusul arcului π/2”.

Terminologia geometrică este convenabilă deoarece ne amintește de imaginile geometrice corespunzătoare.

Una dintre cele mai importante proprietăți ale funcțiilor trigonometrice este periodicitatea lor. Funcțiile sin x și cos x au o perioadă de 2π. Aceasta înseamnă că pentru orice valoare a lui x au loc egalitățile:

sin x \u003d sin (x + 2π) \u003d sin (x + 4π) \u003d ... \u003d sin (x + 2kπ);

cos x \u003d cos (x + 2π) \u003d cos (x + 4π) \u003d ... \u003d cos (x + 2kπ),

Unde k- orice număr întreg.

Strict vorbind, funcțiile sin x și cos x au set infinit perioade:

±2π, ±4π, ±6π, ... ±2kπ,

numărul 2n, care este cea mai mică perioadă pozitivă, se numește de obicei pur și simplu perioadă.

Proprietatea periodicității are următoarea interpretare geometrică: valoarea funcțiilor trigonometrice sin xși cos x nu se modifică dacă la arcul x se adaugă (sau se scad) un număr întreg de cercuri. Dacă funcţia sin x sau cos x are o proprietate când valoarea argumentului x = a, atunci are aceeași proprietate pentru oricare dintre valori a + 2kπ.

Funcțiile tg x și ctg x sunt și ele periodice, perioada lor (cea mai puțin pozitivă) este numărul π.

Când studiem proprietățile unei funcții periodice, este suficient să o considerăm într-un interval egal ca mărime cu perioada.

Să enumerăm principalele proprietăți ale funcțiilor trigonometrice.

1°. funcția sin x pe segment (I și eu sferturi negative) crește. Valorile sinusului la capetele segmentului, adică la x = π / 2 și la x = - π / 2 sunt egale cu 1 și, respectiv, -1.

2°. Oricare ar fi numărul real k, valoarea absolută nu este mai mare de 1, pe segmentul - π / 2 ≤x≤ π / 2 există un singur arc x = x 1, al cărui sinus este egal cu k. Cu alte cuvinte, pe segment sinusul are, cu o singură valoare a argumentului x \u003d x 1, o valoare dată arbitrară care nu depășește 1 în valoare absolută.

De fapt, în funcție de valoarea dată a sinusului, este posibil să se construiască arcul corespunzător în sferturile I și I negative ale cercului trigonometric (raza cercului trigonometric va fi întotdeauna considerată egală cu 1). Este suficient să puneți un segment cu valoarea k pe diametrul vertical (în sus pentru k>0 și în jos pentru k

Proprietățile 1° și 2° sunt de obicei combinate sub forma următoarei declarații condiționale.

Pe segmentul - π / 2 ≤x≤ π / 2, sinusul crește de la -1 la 1.

Folosind un raționament geometric similar sau folosind formula de reducere sin (π - x) \u003d sin x, este ușor de stabilit că pe segmentul π / 2 ≤x≤ 3π / 2 (adică, în sferturile II și III) sinusul scade de la 1 la -1. Segmentele - π / 2 ≤x≤ π / 2 și π / 2 ≤x≤ 3π / 2 formează împreună un cerc complet, adică acoperă întreaga perioadă a sinusului. Studiul suplimentar al sinusului devine redundant și putem afirma că pe orice segment [- π / 2 + 2kπ, π / 2 + 2kπ] sinusul crește de la -1 la 1, iar pe orice segment [ π / 2 + 2kπ, 3π / 2 +2kπ] sinusul scade de la 1 la -1. Graficul sinus este prezentat în desenul 11.

Studiul cosinusului se realizează într-un mod similar. Principalele proprietăți ale cosinusului sunt:

Funcția cos x pe segment (adică în sferturile I și II) scade de la 1 la -1. Pe segmentul [π, 2π] (adică în sferturile III și IV), cosinusul crește de la -1 la 1. Datorită periodicității, cosinusul scade de la 1 la -1 pe segmente și crește de la -1 la 1 pe segmentele [(2k-1)π, 2kπ] (Fig. 12).

Se consideră funcția y = tg x în intervalul (- π / 2 , π / 2).

Valorile limită ± π / 2 ar trebui excluse, deoarece tg (± π / 2) nu există.

1°. În intervalul (- π / 2 , π / 2) funcția tg x crește.

2°. Oricare ar fi numărul real k, în intervalul - - π / 2

Existența și unicitatea arcului x 1 este ușor de verificat din construcția geometrică prezentată în desenul 13.

Deci, în intervalul (- π / 2, π / 2) tangenta crește și, cu o singură valoare a argumentului, are o valoare reală dată arbitrară. Proprietățile 1° și 2° sunt formulate pe scurt ca următoarea afirmație:

în intervalul (- π / 2 , π / 2) tangenta crește de la -∞ la ∞.

Indiferent de un număr pozitiv dat (arbitrar de mare) N, valorile tangentei sunt mai mari decât N pentru toate valorile lui x mai mici decât π/2 și suficient de apropiate de π/2. În mod simbolic, această afirmație este scrisă după cum urmează:

Pentru valorile x mai mari decât - π / 2 și suficient de apropiate de - π / 2 y valorile tg x

* (Adesea ei scriu tan π / 2 = ∞ și spun că valoarea tangentei π / 2 este ∞. Această afirmație în cursul matematicii elementare nu poate duce decât la idei antiștiințifice ridicole. Simbolul ∞ nu este un număr și nu poate fi o valoare a funcției. Sensul exact în care trebuie folosite simbolurile ±∞ este explicat în text.)

Studiul suplimentar al tangentei nu este necesar, deoarece valoarea intervalului (- π / 2, π / 2) este egală cu π, adică întreaga perioadă a tangentei. Prin urmare, în orice interval (- π / 2 + π, π / 2 + π) tangenta crește de la -∞ la ∞, iar în punctele x = (2k+1)π / 2 are sens. Graficul tangentei este prezentat în desenul 14.

Funcția ctg x în intervalul (0, π), precum și în fiecare dintre intervalele (kπ, (k+1)π) scade de la ∞ la -∞, iar în punctele x = kπ cotangenta este lipsită de sens. Graficul cotangent este prezentat în desenul 15.