Mai devreme am vorbit deja despre ce este o putere a unui număr. Are anumite proprietăți care sunt utile în rezolvarea problemelor: ei și toți exponenții posibili îi vom analiza în acest articol. De asemenea, vom demonstra prin exemple cum pot fi dovedite și aplicate corect în practică.

Să ne amintim conceptul de grad cu exponent natural, pe care l-am formulat deja mai devreme: acesta este produsul celui de-al n-lea număr de factori, fiecare dintre care este egal cu a. De asemenea, trebuie să ne amintim cum să înmulțim corect numerele reale. Toate acestea ne vor ajuta să formulăm următoarele proprietăți pentru un grad cu un indicator natural:

Definiția 1

1. Proprietatea principală a gradului: a m a n = a m + n

Poate fi generalizat la: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Proprietatea coeficientului pentru puteri care au aceeași bază: a m: a n = a m − n

3. Proprietatea gradului de produs: (a b) n = a n b n

Egalitatea poate fi extinsă la: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Proprietatea unui grad natural: (a: b) n = a n: b n

5. Ridicam puterea la putere: (a m) n = a m n ,

Poate fi generalizat la: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. Comparați gradul cu zero:

• dacă a > 0, atunci pentru orice n natural, a n va fi mai mare decât zero;
• cu a egal cu 0, a n va fi de asemenea egal cu zero;
• Pentru o< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• Pentru o< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Egalitatea a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Inegalitatea a m > a n va fi adevărată cu condiția ca m și n să fie numere naturale, m este mai mare decât n și a este mai mare decât zero și nu mai mic decât unu.

Drept urmare, am obținut mai multe egalități; daca indepliniti toate conditiile indicate mai sus, atunci acestea vor fi identice. Pentru fiecare dintre egalități, de exemplu, pentru proprietatea principală, puteți schimba părțile din dreapta și din stânga: a m · a n = a m + n - la fel ca a m + n = a m · a n . În această formă, este adesea folosit la simplificarea expresiilor.

1. Să începem cu proprietatea principală a gradului: egalitatea a m · a n = a m + n va fi adevărată pentru orice m natural și n și real a . Cum să dovedesc această afirmație?

Definiția de bază a puterilor cu exponenți naturali ne va permite să transformăm egalitatea într-un produs de factori. Vom primi o intrare ca aceasta:

Acesta poate fi scurtat la (amintiți-vă proprietățile de bază ale înmulțirii). Ca rezultat, am obținut gradul numărului a cu exponent natural m + n. Astfel, a m + n , ceea ce înseamnă că proprietatea principală a gradului este dovedită.

Să luăm un exemplu concret pentru a demonstra acest lucru.

Exemplul 1

Deci avem două puteri cu baza 2. Indicatorii lor naturali sunt 2, respectiv 3. Obținem egalitatea: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Să calculăm valorile pentru a verifica corectitudinea acestei egalități.

Să efectuăm operațiile matematice necesare: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 și 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Ca rezultat, am obținut: 2 2 2 3 = 2 5 . Proprietatea a fost dovedită.

Datorită proprietăților înmulțirii, putem generaliza proprietatea formulând-o sub forma a trei sau mai multe puteri, pentru care exponenții sunt numere naturale, iar bazele sunt aceleași. Dacă notăm numărul de numere naturale n 1, n 2 etc. cu litera k, obținem egalitatea corectă:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Exemplul 2

2. În continuare, trebuie să demonstrăm următoarea proprietate, care se numește proprietatea coeficientului și este inerentă puterilor cu aceleași baze: aceasta este egalitatea a m: a n = a m − n , care este valabilă pentru orice m și n natural (și m este mai mare decât n)) și orice real diferit de zero a .

Pentru început, să explicăm care este sensul exact al condițiilor care sunt menționate în formulare. Dacă luăm un egal cu zero, atunci în final vom obține o împărțire la zero, ceea ce nu se poate face (la urma urmei, 0 n = 0). Condiția ca numărul m să fie mai mare decât n este necesară pentru a ne rămâne în cadrul exponenților naturali: scăzând n din m, obținem un număr natural. Dacă condiția nu este îndeplinită, vom obține un număr negativ sau zero și, din nou, vom trece dincolo de studiul grade cu indicatori naturali.

Acum putem trece la dovadă. Din cele studiate anterior, amintim proprietățile de bază ale fracțiilor și formulăm egalitatea după cum urmează:

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

Din ea putem deduce: a m − n a n = a m

Amintiți-vă legătura dintre împărțire și înmulțire. Din aceasta rezultă că a m − n este un coeficient de puteri a m și a n . Aceasta este dovada proprietății de gradul doi.

Exemplul 3

Înlocuiți numere specifice pentru claritate în indicatori și notați baza gradului π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. În continuare, vom analiza proprietatea gradului produsului: (a · b) n = a n · b n pentru orice a și b real și n natural .

Conform definiției de bază a unui grad cu exponent natural, putem reformula egalitatea după cum urmează:

Reamintindu-ne proprietatile inmultirii, scriem: . Înseamnă la fel ca a n · b n .

Exemplul 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Dacă avem trei sau mai mulți factori, atunci această proprietate se aplică și în acest caz. Introducem notatia k pentru numarul de factori si scriem:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Exemplul 5

Cu numere specifice, obținem următoarea egalitate corectă: (2 (- 2 , 3) ​​​​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​​​7 a

4. După aceea, vom încerca să demonstrăm proprietatea coeficientului: (a: b) n = a n: b n pentru orice a și b real dacă b nu este egal cu 0 și n este un număr natural.

Pentru demonstrație, putem folosi proprietatea gradului anterior. Dacă (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n și (a: b) n b n = a n , atunci rezultă că (a: b) n este un coeficient de împărțire a a n la b n .

Exemplul 6

Să numărăm exemplul: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Exemplul 7

Să începem imediat cu un exemplu: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Și acum formulăm un lanț de egalități care ne vor dovedi corectitudinea egalității:

Dacă avem grade de grade în exemplu, atunci această proprietate este adevărată și pentru ei. Dacă avem numere naturale p, q, r, s, atunci va fi adevărat:

a p q y s = a p q y s

Exemplul 8

Să adăugăm detalii: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. O altă proprietate a gradelor cu exponent natural pe care trebuie să o dovedim este proprietatea de comparație.

Mai întâi, să comparăm exponentul cu zero. De ce a n > 0 cu condiția ca a să fie mai mare decât 0?

Dacă înmulțim un număr pozitiv cu altul, vom obține și un număr pozitiv. Cunoscând acest fapt, putem spune că acesta nu depinde de numărul de factori - rezultatul înmulțirii oricărui număr de numere pozitive este un număr pozitiv. Și ce este un grad, dacă nu rezultatul înmulțirii numerelor? Atunci pentru orice putere un n cu o bază pozitivă și un exponent natural, acest lucru va fi adevărat.

Exemplul 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 și 34 9 13 51 > 0

De asemenea, este evident că o putere cu o bază egală cu zero este ea însăși zero. La orice putere vom ridica zero, acesta va rămâne zero.

Exemplul 10

0 3 = 0 și 0 762 = 0

Dacă baza gradului este un număr negativ, atunci demonstrația este puțin mai complicată, deoarece conceptul de exponent par / impar devine important. Să începem cu cazul în care exponentul este par și să-l notăm cu 2 · m , unde m este un număr natural.

Să ne amintim cum să înmulțim corect numerele negative: produsul a · a este egal cu produsul modulelor și, prin urmare, va fi un număr pozitiv. Apoi iar gradul a 2 · m sunt de asemenea pozitive.

Exemplul 11

De exemplu, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 și - 2 9 6 > 0

Ce se întâmplă dacă exponentul cu bază negativă este un număr impar? Să-l notăm 2 · m − 1 .

Apoi

Toate produsele a · a , conform proprietăților înmulțirii, sunt pozitive, la fel și produsul lor. Dar dacă o înmulțim cu singurul număr rămas a , atunci rezultatul final va fi negativ.

Atunci obținem: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Cum să demonstrezi?

un n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Exemplul 12

De exemplu, inegalitățile sunt adevărate: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Rămâne să demonstrăm ultima proprietate: dacă avem două grade, ale căror baze sunt aceleași și pozitive, iar exponenții sunt numere naturale, atunci unul dintre ele este mai mare, al cărui exponent este mai mic; iar de două grade cu indicatori naturali și aceleași baze mai mari decât unul, gradul al cărui indicator este mai mare este mai mare.

Să demonstrăm aceste afirmații.

Mai întâi trebuie să ne asigurăm că un m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Scoatem un n din paranteze, după care diferența noastră va lua forma a n · (am − n − 1) . Rezultatul acestuia va fi negativ (deoarece rezultatul înmulțirii unui număr pozitiv cu unul negativ este negativ). Într-adevăr, conform condițiilor inițiale, m − n > 0, atunci a m − n − 1 este negativ, iar primul factor este pozitiv, ca orice putere naturală cu bază pozitivă.

S-a dovedit că a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Rămâne de demonstrat a doua parte a afirmației formulate mai sus: a m > a este adevărat pentru m > n și a > 1 . Indicăm diferența și scoatem un n din paranteze: (a m - n - 1) Puterea unui n cu un mai mare de unu va da un rezultat pozitiv; iar diferența în sine se va dovedi pozitivă din cauza condițiilor inițiale, iar pentru a > 1 gradul a m − n este mai mare decât unu. Rezultă că a m − a n > 0 și a m > a n , ceea ce trebuia să demonstrăm.

Exemplul 13

Exemplu cu numere specifice: 3 7 > 3 2

Proprietățile de bază ale grade cu exponenți întregi

Pentru grade cu exponenți întregi pozitivi, proprietățile vor fi similare, deoarece numerele întregi pozitive sunt naturale, ceea ce înseamnă că toate egalitățile dovedite mai sus sunt valabile și pentru ele. Sunt potrivite și pentru cazurile în care exponenții sunt negativi sau egali cu zero (cu condiția ca baza gradului în sine să fie diferită de zero).

Astfel, proprietățile puterilor sunt aceleași pentru orice baze a și b (cu condiția ca aceste numere să fie reale și nu egale cu 0) și orice exponenți m și n (cu condiția ca acestea să fie numere întregi). Le scriem pe scurt sub formă de formule:

Definiția 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n cu întreg pozitiv n , pozitiv a și b , a< b

7 dimineata< a n , при условии целых m и n , m >n și 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Dacă baza gradului este egală cu zero, atunci intrările a m și a n au sens numai în cazul m și n natural și pozitiv. Ca urmare, constatăm că formulările de mai sus sunt potrivite și pentru cazurile cu un grad cu o bază zero, dacă sunt îndeplinite toate celelalte condiții.

Dovezile acestor proprietăți în acest caz sunt simple. Va trebui să ne amintim ce este un grad cu un exponent natural și întreg, precum și proprietățile acțiunilor cu numere reale.

Să analizăm proprietatea gradului în grad și să demonstrăm că este adevărată atât pentru numerele întregi pozitive, cât și pentru numerele întregi nepozitive. Începem prin a demonstra egalitățile (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) și (a − p) − q = a (− p) (−q)

Condiții: p = 0 sau număr natural; q - la fel.

Dacă valorile lui p și q sunt mai mari decât 0, atunci obținem (a p) q = a p · q . Am demonstrat deja o egalitate similară înainte. Dacă p = 0 atunci:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Prin urmare, (a 0) q = a 0 q

Pentru q = 0 totul este exact la fel:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Rezultat: (a p) 0 = a p 0 .

Dacă ambii indicatori sunt zero, atunci (a 0) 0 = 1 0 = 1 și a 0 0 = a 0 = 1, atunci (a 0) 0 = a 0 0 .

Amintiți-vă proprietatea coeficientului în puterea demonstrată mai sus și scrieți:

1 a p q = 1 q a p q

Dacă 1 p = 1 1 … 1 = 1 și a p q = a p q , atunci 1 q a p q = 1 a p q

Putem transforma această notație în virtutea regulilor de înmulțire de bază în a (− p) · q .

De asemenea: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

ȘI (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Proprietățile rămase ale gradului pot fi demonstrate în mod similar prin transformarea inegalităților existente. Nu ne vom opri asupra acestui lucru în detaliu, vom indica doar punctele dificile.

Dovada penultimei proprietăți: reamintim că a - n > b - n este adevărată pentru orice valori întregi negative ale lui n și orice a și b pozitive, cu condiția ca a să fie mai mic decât b.

Atunci inegalitatea poate fi transformată după cum urmează:

1 a n > 1 b n

Scriem părțile din dreapta și din stânga ca diferență și efectuăm transformările necesare:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Reamintim că în condiția a este mai mică decât b , atunci, conform definiției unui grad cu exponent natural: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n ajunge să fie un număr pozitiv deoarece factorii săi sunt pozitivi. Ca rezultat, avem o fracție b n - a n a n · b n , care în final dă și un rezultat pozitiv. De aici 1 a n > 1 b n de unde a − n > b − n , ceea ce a trebuit să dovedim.

Ultima proprietate a gradelor cu exponenți întregi este dovedită în mod similar cu proprietatea gradelor cu exponenți naturali.

Proprietățile de bază ale gradelor cu exponenți raționali

În articolele anterioare, am discutat despre ce este un grad cu un exponent rațional (fracțional). Proprietățile lor sunt aceleași cu cele ale gradelor cu exponenți întregi. Hai să scriem:

Definiția 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 pentru a > 0, iar dacă m 1 n 1 > 0 și m 2 n 2 > 0, atunci pentru a ≥ 0 (puteri de proprietate a produsului cu aceeași bază).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 dacă a > 0 (proprietatea coeficientului).

3. a b m n = a m n b m n pentru a > 0 și b > 0, iar dacă m 1 n 1 > 0 și m 2 n 2 > 0, atunci pentru a ≥ 0 și (sau) b ≥ 0 (proprietatea produsului în grad fracționar).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n pentru a > 0 și b > 0, iar dacă m n > 0, atunci pentru a ≥ 0 și b > 0 (proprietatea unui coeficient la o putere fracțională).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 pentru a > 0, iar dacă m 1 n 1 > 0 și m 2 n 2 > 0, atunci pentru a ≥ 0 (proprietatea gradului în grade).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; dacă p< 0 - a p >b p (proprietatea de a compara grade cu exponenți raționali egali).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q la 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Pentru a demonstra aceste prevederi, trebuie să ne amintim ce este un grad cu un exponent fracționar, care sunt proprietățile rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea și care sunt proprietățile unui grad cu un exponent întreg. Să aruncăm o privire la fiecare proprietate.

În funcție de ce este un grad cu exponent fracționar, obținem:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 și a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, prin urmare, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

Proprietățile rădăcinii ne vor permite să obținem egalități:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Din aceasta obținem: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Să transformăm:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Exponentul poate fi scris astfel:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Aceasta este dovada. A doua proprietate este dovedită exact în același mod. Să scriem lanțul de egalități:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Dovezi ale egalităților rămase:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Următoarea proprietate: să demonstrăm că pentru orice valori ale lui a și b mai mari decât 0, dacă a este mai mică decât b, se va executa a p< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Să reprezentăm un număr rațional p ca m n . În acest caz, m este un număr întreg, n este un număr natural. Apoi condițiile p< 0 и p >0 va fi extins la m< 0 и m >0 . Pentru m > 0 și a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Folosim proprietatea rădăcinilor și derivăm: a m n< b m n

Ținând cont de pozitivitatea valorilor a și b, rescriem inegalitatea ca a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

În același mod, pentru m< 0 имеем a a m >b m , obținem a m n > b m n deci a m n > b m n și a p > b p .

Rămâne să dovedim ultima proprietate. Să demonstrăm că pentru numerele raționale p și q , p > q pentru 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 ar fi adevărat a p > a q .

Numerele raționale p și q pot fi reduse la un numitor comun și obțin fracțiile m 1 n și m 2 n

Aici m 1 și m 2 sunt numere întregi, iar n este un număr natural. Dacă p > q, atunci m 1 > m 2 (ținând cont de regula de comparare a fracțiilor). Apoi la 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – inegalitatea a 1 m > a 2 m .

Ele pot fi rescrise în următoarea formă:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Apoi puteți face transformări și obțineți ca rezultat:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Pentru a rezuma: pentru p > q și 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Proprietățile de bază ale grade cu exponenți iraționali

Toate proprietățile descrise mai sus pe care le posedă un grad cu exponenți raționali pot fi extinse până la un asemenea grad. Aceasta rezultă din însăși definiția sa, pe care am dat-o într-unul din articolele anterioare. Să formulăm pe scurt aceste proprietăți (condiții: a > 0 , b > 0 , indicatorii p și q sunt numere iraționale):

Definiția 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , apoi a p > a q .

Astfel, toate puterile ai căror exponenți p și q sunt numere reale, cu condiția ca a > 0, au aceleași proprietăți.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Conținutul lecției

Ce este o diplomă?

grad numit produsul mai multor factori identici. De exemplu:

2×2×2

Valoarea acestei expresii este 8

2 x 2 x 2 = 8

Partea stângă a acestei ecuații poate fi scurtată - mai întâi notați factorul de repetare și indicați peste el de câte ori se repetă. Multiplicatorul care se repetă în acest caz este 2. Se repetă de trei ori. Prin urmare, peste doi, scriem triplul:

2 3 = 8

Această expresie se citește astfel: doi la a treia putere este egal cu opt sau " a treia putere a lui 2 este 8.

Forma scurtă de scriere a înmulțirii acelorași factori este folosită mai des. Prin urmare, trebuie să ne amintim că, dacă un alt număr este înscris peste un număr, atunci aceasta este înmulțirea mai multor factori identici.

De exemplu, dacă este dată expresia 5 3, atunci trebuie avut în vedere că această expresie este echivalentă cu scrierea 5 × 5 × 5.

Numărul care se repetă este numit baza gradului. În expresia 5 3 baza gradului este numărul 5 .

Și numărul care este înscris deasupra numărului 5 se numește exponent. În expresia 5 3, exponentul este numărul 3. Exponentul arată de câte ori se repetă baza gradului. În cazul nostru, baza 5 se repetă de trei ori.

Operația de multiplicare a factorilor identici se numește exponentiare.

De exemplu, dacă trebuie să găsiți produsul a patru factori identici, fiecare dintre care este egal cu 2, atunci ei spun că numărul 2 ridicat la puterea a patra:

Vedem că numărul 2 la puterea a patra este numărul 16.

Rețineți că în această lecție ne uităm grade cu un indicator natural. Acesta este un fel de grad, al cărui exponent este un număr natural. Amintiți-vă că numerele naturale sunt numere întregi mai mari decât zero. De exemplu, 1, 2, 3 și așa mai departe.

În general, definiția unui grad cu un indicator natural este următoarea:

Gradul de A cu un indicator natural n este o expresie a formei un n, care este egal cu produsul n multiplicatori, fiecare dintre care este egal cu A

Exemple:

Aveți grijă când ridicați un număr la o putere. Adesea, prin neatenție, o persoană înmulțește baza gradului cu exponent.

De exemplu, numărul 5 la a doua putere este produsul a doi factori, fiecare dintre care este egal cu 5. Acest produs este egal cu 25

Acum imaginați-vă că am înmulțit din greșeală baza 5 cu exponentul 2

A apărut o eroare, deoarece numărul 5 la a doua putere nu este egal cu 10.

În plus, trebuie menționat că puterea unui număr cu exponentul 1 este numărul însuși:

De exemplu, numărul 5 la prima putere este numărul 5 însuși.

În consecință, dacă numărul nu are un indicator, atunci trebuie să presupunem că indicatorul este egal cu unul.

De exemplu, numerele 1, 2, 3 sunt date fără exponent, deci exponenții lor vor fi egali cu unu. Fiecare dintre aceste numere poate fi scris cu un exponent de 1

Și dacă ridici 0 la orice putere, obții 0. Într-adevăr, indiferent de câte ori nimic nu este înmulțit de la sine, nimic nu va ieși. Exemple:

Iar expresia 0 0 nu are sens. Dar în unele ramuri ale matematicii, în special analiza și teoria mulțimilor, expresia 0 0 poate avea sens.

Pentru antrenament, vom rezolva mai multe exemple de ridicare a numerelor la o putere.

Exemplul 1 Ridicați numărul 3 la a doua putere.

Numărul 3 la a doua putere este produsul a doi factori, fiecare dintre care este egal cu 3

3 2 = 3 × 3 = 9

Exemplul 2 Ridicați numărul 2 la a patra putere.

Numărul de la 2 la a patra putere este produsul a patru factori, fiecare dintre care este egal cu 2

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Exemplul 3 Ridicați numărul 2 la a treia putere.

Numărul 2 la a treia putere este produsul a trei factori, fiecare dintre care este egal cu 2

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

Exponentiarea numarului 10

Pentru a ridica numărul 10 la o putere, este suficient să adăugați numărul de zerouri după unitate, egal cu exponentul.

De exemplu, să ridicăm numărul 10 la a doua putere. În primul rând, scriem însuși numărul 10 și indicăm numărul 2 ca indicator

10 2

Acum punem un semn egal, notăm unul și după acesta notăm două zerouri, deoarece numărul de zerouri ar trebui să fie egal cu exponentul

10 2 = 100

Deci, numărul 10 la a doua putere este numărul 100. Acest lucru se datorează faptului că numărul 10 la a doua putere este produsul a doi factori, fiecare dintre care este egal cu 10.

10 2 = 10 × 10 = 100

Exemplul 2. Să ridicăm numărul 10 la a treia putere.

În acest caz, vor fi trei zerouri după unul:

10 3 = 1000

Exemplul 3. Să ridicăm numărul 10 la a patra putere.

În acest caz, vor exista patru zerouri după unul:

10 4 = 10000

Exemplul 4. Să ridicăm numărul 10 la prima putere.

În acest caz, va fi un zero după unul:

10 1 = 10

Reprezentând numerele 10, 100, 1000 ca o putere cu baza 10

Pentru a reprezenta numerele 10, 100, 1000 și 10000 ca o putere cu baza 10, trebuie să scrieți baza 10 și să specificați un număr egal cu numărul de zerouri din numărul original ca exponent.

Să reprezentăm numărul 10 ca o putere cu baza 10. Vedem că are un zero. Deci, numărul 10 ca putere cu baza 10 va fi reprezentat ca 10 1

10 = 10 1

Exemplul 2. Să reprezentăm numărul 100 ca o putere cu baza 10. Vedem că numărul 100 conține două zerouri. Deci, numărul 100 ca putere cu baza 10 va fi reprezentat ca 10 2

100 = 10 2

Exemplul 3. Să reprezentăm numărul 1000 ca o putere cu baza 10.

1 000 = 10 3

Exemplul 4. Să reprezentăm numărul 10.000 ca o putere cu baza 10.

10 000 = 10 4

Exponentiarea unui numar negativ

Când ridicați un număr negativ la o putere, acesta trebuie inclus între paranteze.

De exemplu, să ridicăm numărul negativ -2 la a doua putere. Numărul −2 la a doua putere este produsul a doi factori, fiecare dintre care este egal cu (−2)

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

Dacă nu am pune în paranteză numărul -2 , atunci s-ar dovedi că calculăm expresia -2 2 , care nu este egal 4 . Expresia -2² va fi egală cu -4 . Pentru a înțelege de ce, să atingem câteva puncte.

Când punem un minus în fața unui număr pozitiv, performam astfel operația de luare a valorii inverse.

Să presupunem că este dat numărul 2 și trebuie să-i găsiți numărul opus. Știm că opusul lui 2 este −2. Cu alte cuvinte, pentru a găsi numărul opus pentru 2, este suficient să puneți un minus în fața acestui număr. Introducerea unui minus în fața unui număr este deja considerată o operație cu drepturi depline în matematică. Această operație, așa cum am menționat mai sus, se numește operația de luare a valorii opuse.

În cazul expresiei -2 2 se produc două operații: operația de luare a valorii inverse și exponențiarea. Ridicarea la o putere este o operație cu prioritate mai mare decât luarea valorii opuse.

Prin urmare, expresia −2 2 se calculează în doi pași. În primul rând, se efectuează operația de exponențiere. În acest caz, numărul pozitiv 2 a fost ridicat la a doua putere.

Apoi a fost luată valoarea opusă. Această valoare opusă a fost găsită pentru valoarea 4. Și valoarea opusă pentru 4 este −4

−2 2 = −4

Parantezele au cea mai mare prioritate de execuție. Prin urmare, în cazul calculării expresiei (−2) 2, se ia mai întâi valoarea opusă, iar apoi se ridică numărul negativ −2 la a doua putere. Rezultatul este un răspuns pozitiv de 4, deoarece produsul numerelor negative este un număr pozitiv.

Exemplul 2. Ridicați numărul −2 la a treia putere.

Numărul −2 la a treia putere este produsul a trei factori, fiecare dintre care este egal cu (−2)

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

Exemplul 3. Ridicați numărul −2 la a patra putere.

Numărul −2 la a patra putere este produsul a patru factori, fiecare dintre care este egal cu (−2)

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Este ușor de observat că atunci când ridicați un număr negativ la o putere, se poate obține fie un răspuns pozitiv, fie unul negativ. Semnul răspunsului depinde de exponentul gradului inițial.

Dacă exponentul este par, atunci răspunsul este da. Dacă exponentul este impar, răspunsul este negativ. Să arătăm acest lucru pe exemplul numărului −3

În primul și al treilea caz, indicatorul a fost ciudat număr, așa că răspunsul a devenit negativ.

În al doilea și al patrulea caz, indicatorul a fost chiar număr, așa că răspunsul a devenit pozitiv.

Exemplul 7 Ridicați numărul -5 la a treia putere.

Numărul -5 la a treia putere este produsul a trei factori, fiecare dintre care este egal cu -5. Exponentul 3 este un număr impar, așa că putem spune în avans că răspunsul va fi negativ:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

Exemplul 8 Ridicați numărul -4 la a patra putere.

Numărul -4 la a patra putere este produsul a patru factori, fiecare dintre care este egal cu -4. În acest caz, indicatorul 4 este par, așa că putem spune în avans că răspunsul va fi pozitiv:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

Găsirea valorilor expresiei

La găsirea valorilor expresiilor care nu conțin paranteze, se va efectua mai întâi exponențiarea, apoi înmulțirea și împărțirea în ordinea lor, iar apoi adunarea și scăderea în ordinea lor.

Exemplul 1. Aflați valoarea expresiei 2 + 5 2

În primul rând, se efectuează exponențiarea. În acest caz, numărul 5 este ridicat la a doua putere - se dovedește 25. Apoi acest rezultat este adăugat la numărul 2

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

Exemplul 10. Aflați valoarea expresiei −6 2 × (−12)

În primul rând, se efectuează exponențiarea. Rețineți că numărul −6 nu este între paranteze, deci numărul 6 va fi ridicat la a doua putere, apoi va fi plasat un minus în fața rezultatului:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

Terminăm exemplul înmulțind −36 cu (−12)

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

Exemplul 11. Aflați valoarea expresiei −3 × 2 2

În primul rând, se efectuează exponențiarea. Apoi rezultatul se înmulțește cu numărul −3

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

Dacă expresia conține paranteze, atunci mai întâi trebuie să efectuați operații în aceste paranteze, apoi exponențiarea, apoi înmulțirea și împărțirea, apoi adăugarea și scăderea.

Exemplul 12. Aflați valoarea expresiei (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5

Să facem mai întâi parantezele. În interiorul parantezelor, aplicăm regulile învățate anterior, și anume, mai întâi ridicăm numărul 3 la a doua putere, apoi efectuăm înmulțirea 1 × 3, apoi adunăm rezultatele ridicării numărului 3 la putere și înmulțind 1 × 3. Apoi scăderea și adunarea sunt efectuate în ordinea în care apar. Să aranjam următoarea ordine de efectuare a acțiunii pe expresia originală:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

Exemplul 13. Aflați valoarea expresiei 2 × 5 3 + 5 × 2 3

Mai întâi, ridicăm numerele la o putere, apoi efectuăm înmulțirea și adunăm rezultatele:

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

Transformări identitare ale puterilor

Pot fi efectuate diferite transformări identice asupra puterilor, simplificându-le astfel.

Să presupunem că a fost necesar să se calculeze expresia (2 3) 2 . În acest exemplu, doi la a treia putere este ridicat la a doua putere. Cu alte cuvinte, un grad este ridicat la un alt grad.

(2 3) 2 este produsul a două puteri, fiecare dintre ele egală cu 2 3

În plus, fiecare dintre aceste puteri este produsul a trei factori, fiecare dintre care este egal cu 2

Se obține produsul 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 , care este egal cu 64. Deci valoarea expresiei (2 3) 2 sau egală cu 64

Acest exemplu poate fi foarte simplificat. Pentru aceasta, indicatorii expresiei (2 3) 2 pot fi înmulțiți și acest produs se poate scrie peste baza 2

Am 26. Doi la a șasea putere este produsul a șase factori, fiecare dintre care este egal cu 2. Acest produs este egal cu 64

Această proprietate funcționează deoarece 2 3 este produsul lui 2 × 2 × 2 , care la rândul său se repetă de două ori. Apoi se dovedește că baza 2 se repetă de șase ori. De aici putem scrie că 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 este 2 6

În general, din orice motiv A cu indicatori mși n, este valabilă următoarea egalitate:

(un n)m = a n × m

Această transformare identică se numește exponentiare. Se poate citi astfel: „Când ridicați o putere la o putere, baza este lăsată neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți” .

După înmulțirea indicatorilor, obțineți un alt grad, a cărui valoare poate fi găsită.

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei (3 2) 2

În acest exemplu, baza este 3, iar numerele 2 și 2 sunt exponenții. Să folosim regula exponențiației. Lăsăm baza neschimbată și înmulțim indicatorii:

Am 3 4 . Și numărul de la 3 la a patra putere este 81

Să ne uităm la restul transformărilor.

Înmulțirea puterii

Pentru a multiplica grade, trebuie să calculați separat fiecare grad și să înmulțiți rezultatele.

De exemplu, să înmulțim 2 2 cu 3 3 .

2 2 este numărul 4 și 3 3 este numărul 27 . Înmulțim numerele 4 și 27, obținem 108

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

În acest exemplu, bazele puterilor erau diferite. Dacă bazele sunt aceleași, atunci se poate scrie o bază și, ca indicator, scrieți suma indicatorilor gradelor inițiale.

De exemplu, înmulțiți 2 2 cu 2 3

În acest exemplu, exponenții au aceeași bază. În acest caz, puteți scrie o bază 2 și scrieți suma exponenților 2 2 și 2 3 ca indicator. Cu alte cuvinte, lăsați baza neschimbată și adăugați exponenții gradelor originale. Va arata asa:

Am 25. Numărul 2 la puterea a cincea este 32

Această proprietate funcționează deoarece 2 2 este produsul lui 2 × 2 și 2 3 este produsul lui 2 × 2 × 2 . Apoi se obține produsul a cinci factori identici, fiecare dintre care este egal cu 2. Acest produs poate fi reprezentat ca 2 5

În general, pentru orice Ași indicatori mși n este valabilă următoarea egalitate:

Această transformare identică se numește principala proprietate a gradului. Se poate citi astfel: PLa înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții. .

Rețineți că această transformare poate fi aplicată la orice număr de grade. Principalul lucru este că baza este aceeași.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei 2 1 × 2 2 × 2 3 . Fundația 2

În unele probleme, poate fi suficient să se efectueze transformarea corespunzătoare fără a calcula gradul final. Acest lucru este, desigur, foarte convenabil, deoarece nu este atât de ușor să calculați puteri mari.

Exemplul 1. Exprimați ca putere expresia 5 8 × 25

În această problemă, trebuie să faceți astfel încât în ​​loc de expresia 5 8 × 25, să se obțină un grad.

Numărul 25 poate fi reprezentat ca 5 2 . Apoi obținem următoarea expresie:

În această expresie, puteți aplica proprietatea principală a gradului - lăsați baza 5 neschimbată și adăugați indicatorii 8 și 2:

Să scriem soluția pe scurt:

Exemplul 2. Exprimați ca putere expresia 2 9 × 32

Numărul 32 poate fi reprezentat ca 2 5 . Apoi obținem expresia 2 9 × 2 5 . Apoi, puteți aplica proprietatea de bază a gradului - lăsați baza 2 neschimbată și adăugați indicatorii 9 și 5. Aceasta va avea ca rezultat următoarea soluție:

Exemplul 3. Calculați produsul 3 × 3 folosind proprietatea de bază a puterii.

Toată lumea știe bine că trei ori trei este egal cu nouă, dar sarcina necesită utilizarea proprietății principale a gradului în cursul rezolvării. Cum să o facă?

Reamintim că dacă un număr este dat fără indicator, atunci indicatorul trebuie considerat egal cu unu. Deci factorii 3 și 3 pot fi scriși ca 3 1 și 3 1

3 1 × 3 1

Acum folosim proprietatea principală a gradului. Lăsăm baza 3 neschimbată și adăugăm indicatorii 1 și 1:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

Exemplul 4. Calculați produsul 2 × 2 × 3 2 × 3 3 folosind proprietatea de bază a puterii.

Înlocuim produsul 2 × 2 cu 2 1 × 2 1 , apoi cu 2 1 + 1 , apoi cu 2 2 . Produsul lui 3 2 × 3 3 este înlocuit cu 3 2 + 3 și apoi cu 3 5

Exemplul 5. Efectuați înmulțirea x × x

Aceștia sunt doi factori alfabetici identici cu indicatorii 1. Pentru claritate, notăm acești indicatori. Baza mai departe X lăsați-l neschimbat și adăugați indicatorii:

Fiind la tablă, nu ar trebui să scrieți multiplicarea puterilor cu aceleași baze atât de detaliat cum se face aici. Astfel de calcule trebuie făcute în minte. O intrare detaliată îl va enerva cel mai probabil pe profesor și va scădea nota pentru asta. Aici se oferă o înregistrare detaliată, astfel încât materialul să fie cât mai accesibil pentru înțelegere.

Soluția acestui exemplu ar trebui scrisă astfel:

Exemplul 6. Efectuați înmulțirea X 2 × x

Indicele celui de-al doilea factor este egal cu unu. Să-l notăm pentru claritate. Apoi, lăsăm baza neschimbată și adăugăm indicatorii:

Exemplul 7. Efectuați înmulțirea y 3 y 2 y

Indicele celui de-al treilea factor este egal cu unu. Să-l notăm pentru claritate. Apoi, lăsăm baza neschimbată și adăugăm indicatorii:

Exemplul 8. Efectuați înmulțirea aa 3 a 2 a 5

Indicele primului factor este egal cu unu. Să-l notăm pentru claritate. Apoi, lăsăm baza neschimbată și adăugăm indicatorii:

Exemplul 9. Exprimați puterea lui 3 8 ca produs de puteri cu aceeași bază.

În această problemă, trebuie să faceți un produs de puteri, ale cărui baze vor fi egale cu 3 și suma exponenților cărora va fi egală cu 8. Puteți folosi orice indicator. Reprezentăm gradul 3 8 ca produs al puterilor 3 5 și 3 3

În acest exemplu, ne-am bazat din nou pe proprietatea principală a gradului. La urma urmei, expresia 3 5 × 3 3 poate fi scrisă ca 3 5 + 3, de unde 3 8 .

Desigur, a fost posibil să se reprezinte puterea 3 8 ca un produs al altor puteri. De exemplu, sub forma 3 7 × 3 1 , deoarece acest produs este, de asemenea, 3 8

Reprezentarea unei diplome ca un produs de puteri cu aceeași bază este în mare parte muncă creativă. Așa că nu vă fie frică să experimentați.

Exemplul 10. Trimiteți gradul X 12 ca diverse produse ale puterilor cu baze X .

Să folosim proprietatea principală a gradului. Imagina X 12 ca produse cu baze X, iar suma exponenților cărora este egală cu 12

Construcțiile cu sume de indicatori au fost înregistrate pentru claritate. De cele mai multe ori ele pot fi sărite. Apoi obținem o soluție compactă:

Exponentiarea unui produs

Pentru a ridica un produs la o putere, trebuie să ridicați fiecare factor al acestui produs la puterea indicată și să înmulțiți rezultatele.

De exemplu, să ridicăm produsul 2 × 3 la a doua putere. Luăm acest produs între paranteze și indicăm 2 ca indicator

Acum să ridicăm fiecare factor al produsului 2 × 3 la a doua putere și să înmulțim rezultatele:

Principiul de funcționare al acestei reguli se bazează pe definiția gradului, care a fost dată chiar de la început.

Ridicarea produsului de 2 × 3 la a doua putere înseamnă repetarea acestui produs de două ori. Și dacă o repeți de două ori, poți obține următoarele:

2×3×2×3

Din permutarea locurilor factorilor, produsul nu se schimbă. Acest lucru vă permite să grupați aceiași multiplicatori:

2×2×3×3

Multiplicatorii repetați pot fi înlocuiți cu intrări scurte - baze cu exponenți. Produsul 2 × 2 poate fi înlocuit cu 2 2 , iar produsul 3 × 3 poate fi înlocuit cu 3 2 . Apoi expresia 2 × 2 × 3 × 3 se transformă în expresia 2 2 × 3 2 .

Lasa ab lucrare originală. Pentru a ridica acest produs la putere n, trebuie să ridicați separat factorii Ași b la gradul specificat n

Această proprietate este valabilă pentru orice număr de factori. Sunt valabile și următoarele expresii:

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei (2 × 3 × 4) 2

În acest exemplu, trebuie să ridicați produsul 2 × 3 × 4 la a doua putere. Pentru a face acest lucru, trebuie să ridicați fiecare factor al acestui produs la a doua putere și să înmulțiți rezultatele:

Exemplul 3. Ridicați produsul la a treia putere a×b×c

Introducem acest produs între paranteze și indicăm numărul 3 ca indicator

Exemplul 4. Ridicați produsul la a treia putere 3 xyz

Anexăm acest produs între paranteze și indicăm 3 ca indicator

(3xyz) 3

Să ridicăm fiecare factor al acestui produs la a treia putere:

(3xyz) 3 = 3 3 X 3 y 3 z 3

Numărul de la 3 la a treia putere este egal cu numărul 27. Restul il lasam neschimbat:

(3xyz) 3 = 3 3 X 3 y 3 z 3 = 27X 3 y 3 z 3

În unele exemple, înmulțirea puterilor cu aceiași exponenți poate fi înlocuită cu produsul bazelor cu același exponent.

De exemplu, să calculăm valoarea expresiei 5 2 × 3 2 . Ridicați fiecare număr la a doua putere și înmulțiți rezultatele:

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

Dar nu puteți calcula fiecare grad separat. În schimb, acest produs de puteri poate fi înlocuit cu un produs cu un singur exponent (5 × 3) 2 . Apoi, calculați valoarea dintre paranteze și ridicați rezultatul la a doua putere:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

În acest caz, a fost folosită din nou regula exponențiării produsului. La urma urmei, dacă (a x b)n = a n × b n , apoi a n × b n = (a × b) n. Adică, părțile stânga și dreaptă ale ecuației sunt inversate.

Exponentiație

Am considerat această transformare ca un exemplu atunci când am încercat să înțelegem esența transformărilor identice de grade.

Când ridicați o putere la o putere, baza este lăsată neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți:

(un n)m = a n × m

De exemplu, expresia (2 3) 2 este ridicarea unei puteri la o putere - doi la a treia putere este ridicat la a doua putere. Pentru a găsi valoarea acestei expresii, baza poate fi lăsată neschimbată, iar exponenții pot fi înmulțiți:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Această regulă se bazează pe regulile anterioare: exponențiarea produsului și proprietatea de bază a gradului.

Să revenim la expresia (2 3) 2 . Expresia dintre paranteze 2 3 este produsul a trei factori identici, fiecare dintre ei egal cu 2. Apoi, în expresia (2 3) 2 puterea din paranteze poate fi înlocuită cu produsul 2 × 2 × 2.

(2×2×2) 2

Și aceasta este exponențiația produsului pe care l-am studiat mai devreme. Amintiți-vă că pentru a crește un produs la o putere, trebuie să creșteți fiecare factor al acestui produs la puterea specificată și să înmulțiți rezultatele:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

Acum avem de-a face cu principala proprietate a gradului. Lăsăm baza neschimbată și adăugăm indicatorii:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Ca și înainte, am primit 2 6 . Valoarea acestui grad este 64

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Un produs ai carui factori sunt si puteri poate fi de asemenea ridicat la o putere.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei (2 2 × 3 2) 3 . Aici, indicatorii fiecărui multiplicator trebuie înmulțiți cu indicatorul total 3. Apoi, găsiți valoarea fiecărui grad și calculați produsul:

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

Aproximativ același lucru se întâmplă atunci când creșteți puterea unui produs. Am spus că la ridicarea unui produs la o putere, fiecare factor al acestui produs este ridicat la puterea indicată.

De exemplu, pentru a crește produsul lui 2 × 4 la a treia putere, trebuie să scrieți următoarea expresie:

Dar mai devreme s-a spus că dacă un număr este dat fără un indicator, atunci indicatorul ar trebui considerat egal cu unul. Se pare că factorii produsului 2 × 4 au inițial exponenți egali cu 1. Aceasta înseamnă că expresia 2 1 × 4 1 ​​a fost ridicată la a treia putere. Și aceasta este ridicarea unui grad la putere.

Să rescriem soluția folosind regula exponențiației. Ar trebui să obținem același rezultat:

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei (3 3) 2

Lăsăm baza neschimbată și înmulțim indicatorii:

Am 36. Numărul de la 3 la a șasea putere este numărul 729

Exemplul 3X y)³

Exemplul 4. Efectuați exponențierea în expresia ( abc)⁵

Să ridicăm fiecare factor al produsului la a cincea putere:

Exemplul 5topor) 3

Să ridicăm fiecare factor al produsului la a treia putere:

Deoarece numărul negativ -2 a fost ridicat la a treia putere, a fost luat între paranteze.

Exemplul 6. Efectuați exponențiarea în expresie (10 X y) 2

Exemplul 7. Efectuați exponențiarea în expresia (−5 X) 3

Exemplul 8. Efectuați exponențiarea în expresia (−3 y) 4

Exemplul 9. Efectuați exponențiarea în expresia (−2 abx)⁴

Exemplul 10. Simplificați expresia X 5×( X 2) 3

grad X 5 va rămâne neschimbat deocamdată, iar în expresia ( X 2) 3 efectuează exponențiarea la putere:

X 5 × (X 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6

Acum să facem înmulțirea X 5 × x 6. Pentru a face acest lucru, folosim proprietatea principală a gradului - baza X lăsați-l neschimbat și adăugați indicatorii:

X 5 × (X 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = X 5 + 6 = X 11

Exemplul 9. Aflați valoarea expresiei 4 3 × 2 2 folosind proprietatea de bază a gradului.

Proprietatea principală a gradului poate fi utilizată dacă bazele gradelor inițiale sunt aceleași. În acest exemplu, bazele sunt diferite, prin urmare, pentru început, expresia originală trebuie să fie ușor modificată, și anume, pentru a face ca bazele gradelor să devină aceleași.

Să ne uităm îndeaproape la puterea lui 4 3 . Baza acestui grad este numărul 4, care poate fi reprezentat ca 2 2 . Atunci expresia originală va lua forma (2 2) 3 × 2 2 . Exponențiând la o putere în expresia (2 2) 3 , obținem 2 6 . Apoi expresia originală va lua forma 2 6 × 2 2 , care poate fi calculată folosind proprietatea principală a gradului.

Să scriem soluția acestui exemplu:

Împărțirea gradelor

Pentru a efectua împărțirea puterii, trebuie să găsiți valoarea fiecărei puteri, apoi să efectuați împărțirea numerelor obișnuite.

De exemplu, să împărțim 4 3 la 2 2 .

Calculați 4 3 , obținem 64 . Calculăm 2 2 , obținem 4. Acum împărțim 64 la 4, obținem 16

Dacă, la împărțirea gradelor bazei, acestea se dovedesc a fi aceleași, atunci baza poate fi lăsată neschimbată, iar exponentul divizorului poate fi scăzut din exponentul dividendului.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei 2 3: 2 2

Lăsăm baza 2 neschimbată și scădem exponentul divizorului din exponentul dividendului:

Deci valoarea expresiei 2 3: 2 2 este 2 .

Această proprietate se bazează pe înmulțirea puterilor cu aceleași baze sau, după cum spuneam, pe proprietatea principală a gradului.

Să revenim la exemplul anterior 2 3: 2 2 . Aici dividendul este 2 3 iar divizorul este 2 2 .

A împărți un număr cu altul înseamnă a găsi un număr care, atunci când este înmulțit cu un divizor, va da dividendul ca rezultat.

În cazul nostru, împărțirea 2 3 la 2 2 înseamnă găsirea unei puteri care, atunci când este înmulțită cu divizorul 2 2, va avea ca rezultat 2 3 . Ce putere poate fi înmulțită cu 2 2 pentru a obține 2 3? Evident, doar gradul 2 1 . Din proprietatea principală a gradului avem:

Puteți verifica dacă valoarea expresiei 2 3: 2 2 este 2 1 evaluând direct expresia 2 3: 2 2 . Pentru a face acest lucru, mai întâi găsim valoarea gradului 2 3 , obținem 8 . Atunci găsim valoarea gradului 2 2 , obținem 4 . Împărțim 8 la 4, obținem 2 sau 2 1 , deoarece 2 = 2 1 .

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

Astfel, la împărțirea puterilor cu aceeași bază, este valabilă următoarea egalitate:

De asemenea, se poate întâmpla ca nu numai bazele, ci și indicatorii să fie aceleași. În acest caz, răspunsul va fi unul.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei 2 2: 2 2 . Să calculăm valoarea fiecărui grad și să facem împărțirea numerelor rezultate:

Când rezolvați exemplul 2 2: 2 2, puteți aplica și regula împărțirii gradelor cu aceleași baze. Rezultatul este un număr la puterea zero, deoarece diferența dintre exponenții lui 2 2 și 2 2 este zero:

De ce numărul 2 la gradul zero este egal cu unu, am aflat mai sus. Dacă calculezi 2 2: 2 2 în mod obișnuit, fără a folosi regula de împărțire a gradelor, obții unul.

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei 4 12: 4 10

Lăsăm 4 neschimbat și scădem exponentul divizorului din exponentul dividendului:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

Exemplul 3. Trimiteți privat X 3: X ca grad cu o bază X

Să folosim regula împărțirii gradelor. Baza X lăsați-l neschimbat și scădeți exponentul divizorului din exponentul dividendului. Exponentul divizorului este egal cu unu. Pentru claritate, să scriem:

Exemplul 4. Trimiteți privat X 3: X 2 ca putere cu o bază X

Să folosim regula împărțirii gradelor. Baza X

Împărțirea gradelor poate fi scrisă ca o fracție. Deci, exemplul anterior poate fi scris după cum urmează:

Numătorul și numitorul unei fracții pot fi scrise în formă extinsă, și anume sub formă de produse ale factorilor identici. grad X 3 poate fi scris ca x × x × x, și gradul X 2 ca x × x. Apoi construcția X 3 − 2 poate fi omis și folosește reducerea fracției. La numărător și la numitor, se vor putea reduce fiecare câte doi factori X. Rezultatul va fi un multiplicator X

Sau chiar mai scurt:

De asemenea, este util să poți reduce rapid fracțiile formate din puteri. De exemplu, o fracție poate fi redusă la X 2. Pentru a reduce o fracție cu X 2 trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul fracției cu X 2

Divizarea gradelor nu poate fi descrisă în detaliu. Abrevierea de mai sus poate fi scurtată:

Sau chiar mai scurt:

Exemplul 5. Execută diviziunea X 12 : X 3

Să folosim regula împărțirii gradelor. Baza X lăsați-l neschimbat și scădeți exponentul divizorului din exponentul dividendului:

Scriem soluția folosind reducerea fracției. Împărțirea puterilor X 12 : X 3 va fi scris ca . În continuare, reducem această fracție cu X 3 .

Exemplul 6. Găsiți valoarea unei expresii

La numărător, efectuăm înmulțirea puterilor cu aceleași baze:

Acum aplicăm regula împărțirii puterilor cu aceleași baze. Lăsăm baza 7 neschimbată și scădem exponentul divizorului din exponentul dividendului:

Completem exemplul calculând puterea lui 7 2

Exemplul 7. Găsiți valoarea unei expresii

Să efectuăm exponențiarea la numărător. Trebuie să faceți acest lucru cu expresia (2 3) 4

Acum să facem înmulțirea puterilor cu aceleași baze în numărător.

Conceptul de diplomă în matematică este introdus încă din clasa a VII-a într-o lecție de algebră. Și în viitor, pe parcursul studierii matematicii, acest concept este utilizat în mod activ în diferitele sale forme. Gradele sunt un subiect destul de dificil, care necesită memorarea valorilor și capacitatea de a număra corect și rapid. Pentru a lucra mai rapid și mai bine cu diplomele de matematică, au venit cu proprietățile unei diplome. Ele ajută la reducerea calculelor mari, la transformarea unui exemplu uriaș într-un singur număr într-o anumită măsură. Nu există atât de multe proprietăți și toate sunt ușor de reținut și de aplicat în practică. Prin urmare, articolul discută principalele proprietăți ale gradului, precum și unde sunt aplicate.

proprietăți de grad

Vom lua în considerare 12 proprietăți ale unui grad, inclusiv proprietățile puterilor cu aceeași bază, și vom da un exemplu pentru fiecare proprietate. Fiecare dintre aceste proprietăți vă va ajuta să rezolvați mai rapid problemele cu grade, precum și să vă salvați de numeroase erori de calcul.

Prima proprietate.

Mulți oameni uită foarte des de această proprietate, fac greșeli, reprezentând un număr la gradul zero ca zero.

a 2-a proprietate.

a 3-a proprietate.

Trebuie reținut că această proprietate poate fi folosită doar la înmulțirea numerelor, nu funcționează cu suma! Și nu trebuie să uităm că aceasta și următoarele proprietăți se aplică numai puterilor cu aceeași bază.

a 4-a proprietate.

Dacă numărul din numitor este ridicat la o putere negativă, atunci când se scade, gradul numitorului este luat între paranteze pentru a înlocui corect semnul în calcule ulterioare.

Proprietatea funcționează doar la împărțire, nu la scădere!

a 5-a proprietate.

a 6-a proprietate.

Această proprietate poate fi aplicată și invers. O unitate împărțită la un număr într-o anumită măsură este acel număr la o putere negativă.

a 7-a proprietate.

Această proprietate nu poate fi aplicată la sumă și diferență! Când se ridică o sumă sau o diferență la o putere, se folosesc formule de înmulțire abreviate, nu proprietățile puterii.

a 8-a proprietate.

a 9-a proprietate.

Această proprietate funcționează pentru orice grad fracționar cu numărător egal cu unu, formula va fi aceeași, doar gradul rădăcinii se va schimba în funcție de numitorul gradului.

De asemenea, această proprietate este adesea folosită în ordine inversă. Rădăcina oricărei puteri a unui număr poate fi reprezentată ca acel număr la puterea unuia împărțită la puterea rădăcinii. Această proprietate este foarte utilă în cazurile în care rădăcina numărului nu este extrasă.

a 10-a proprietate.

Această proprietate funcționează nu numai cu rădăcina pătrată și gradul doi. Dacă gradul rădăcinii și gradul în care această rădăcină este ridicată sunt aceleași, atunci răspunsul va fi o expresie radicală.

a 11-a proprietate.

Trebuie să puteți vedea această proprietate la timp atunci când o rezolvați pentru a vă salva de calcule uriașe.

a 12-a proprietate.

Fiecare dintre aceste proprietăți vă va întâlni de mai multe ori în sarcini, poate fi dată în forma sa pură sau poate necesita unele transformări și utilizarea altor formule. Prin urmare, pentru soluția corectă, nu este suficient să cunoașteți numai proprietățile, trebuie să exersați și să conectați restul cunoștințelor matematice.

Aplicarea gradelor și proprietățile acestora

Ele sunt utilizate în mod activ în algebră și geometrie. Gradele în matematică au un loc separat, important. Cu ajutorul lor, ecuațiile exponențiale și inegalitățile sunt rezolvate, precum și puterile complică adesea ecuațiile și exemplele legate de alte secțiuni ale matematicii. Exponenții ajută la evitarea calculelor mari și lungi, este mai ușor să reduceți și să calculați exponenții. Dar pentru a lucra cu puteri mari sau cu puteri de numere mari, trebuie să cunoașteți nu numai proprietățile gradului, ci și să lucrați în mod competent cu bazele, să le puteți descompune pentru a vă ușura sarcina. Pentru comoditate, ar trebui să cunoașteți și semnificația numerelor ridicate la o putere. Acest lucru vă va reduce timpul de rezolvare prin eliminarea necesității unor calcule lungi.

Conceptul de grad joacă un rol special în logaritmi. Deoarece logaritmul, în esență, este puterea unui număr.

Formulele de multiplicare prescurtate sunt un alt exemplu de utilizare a puterilor. Nu pot folosi proprietățile gradelor, sunt descompuse după reguli speciale, dar în fiecare formulă de înmulțire prescurtată există invariabil grade.

De asemenea, diplomele sunt utilizate în mod activ în fizică și informatică. Toate traducerile în sistemul SI se fac folosind grade, iar în viitor, la rezolvarea problemelor, se aplică proprietățile gradului. În informatică, puterile lui doi sunt utilizate în mod activ, pentru comoditatea numărării și simplificarea percepției numerelor. Calcule suplimentare pentru conversiile unităților de măsură sau calculele problemelor, la fel ca în fizică, au loc folosind proprietățile gradului.

Gradele sunt, de asemenea, foarte utile în astronomie, unde rar puteți găsi utilizarea proprietăților unui grad, dar gradele în sine sunt utilizate în mod activ pentru a scurta înregistrarea diferitelor cantități și distanțe.

Gradele sunt folosite și în viața de zi cu zi, la calcularea suprafețelor, volumelor, distanțelor.

Cu ajutorul diplomelor, valorile foarte mari și foarte mici sunt scrise în orice domeniu al științei.

ecuații exponențiale și inegalități

Proprietățile gradului ocupă un loc special tocmai în ecuațiile și inegalitățile exponențiale. Aceste sarcini sunt foarte frecvente, atât la cursul școlar, cât și la examene. Toate sunt rezolvate prin aplicarea proprietăților gradului. Necunoscutul este întotdeauna în gradul însuși, prin urmare, cunoscând toate proprietățile, nu va fi dificil să rezolvi o astfel de ecuație sau inegalitate.

În articolul anterior, am vorbit despre ce sunt monomiile. În acest material, vom analiza modul de rezolvare a exemplelor și problemelor în care sunt utilizate. Aici vom lua în considerare astfel de acțiuni precum scăderea, adunarea, înmulțirea, împărțirea monomiilor și ridicarea lor la o putere cu un exponent natural. Vom arăta cum sunt definite astfel de operațiuni, vom indica regulile de bază pentru implementarea lor și care ar trebui să fie rezultatul. Toate prevederile teoretice, ca de obicei, vor fi ilustrate prin exemple de probleme cu descrieri de soluții.

Cel mai convenabil este să lucrați cu notația standard a monomiilor, prin urmare, prezentăm toate expresiile care vor fi folosite în articol într-o formă standard. Dacă inițial sunt setate diferit, este recomandat să le aduceți mai întâi într-o formă general acceptată.

Reguli pentru adunarea și scăderea monomiilor

Cele mai simple operații care pot fi efectuate cu monomii sunt scăderea și adunarea. În cazul general, rezultatul acestor acțiuni va fi un polinom (un monom este posibil în unele cazuri speciale).

Când adunăm sau scădem monomii, notăm mai întâi suma și diferența corespunzătoare în forma general acceptată, după care simplificăm expresia rezultată. Dacă există termeni similari, trebuie dați, parantezele trebuie deschise. Să explicăm cu un exemplu.

Exemplul 1

Condiție: se adună monomiile − 3 · x și 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Decizie

Să notăm suma expresiilor originale. Adăugați paranteze și puneți un semn plus între ele. Vom obține următoarele:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Când extindem parantezele, obținem - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Acesta este un polinom, scris în formă standard, care va fi rezultatul adunării acestor monomii.

Răspuns:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Dacă avem trei, patru sau mai mulți termeni dați, efectuăm această acțiune în același mod.

Exemplul 2

Condiție: efectuați operațiile date cu polinoame în ordinea corectă

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Decizie

Să începem prin a deschide parantezele.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Vedem că expresia rezultată poate fi simplificată prin reducerea termenilor similari:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Avem un polinom, care va fi rezultatul acestei acțiuni.

Răspuns: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

În principiu, putem efectua adunarea și scăderea a două monomii, cu unele restricții, astfel încât să ajungem la un monom. Pentru a face acest lucru, este necesar să se respecte unele condiții privind termenii și monomiile scăzute. Vom descrie cum se face acest lucru într-un articol separat.

Reguli pentru înmulțirea monomiilor

Acțiunea de multiplicare nu impune nicio restricție asupra multiplicatorilor. Monomiile de înmulțit nu trebuie să îndeplinească nicio condiție suplimentară pentru ca rezultatul să fie un monom.

Pentru a efectua înmulțirea monomiilor, trebuie să efectuați următorii pași:

1. Înregistrați corect piesa.
2. Extindeți parantezele din expresia rezultată.
3. Grupați, dacă este posibil, factorii cu aceleași variabile și factori numerici separat.
4. Efectuați acțiunile necesare cu numere și aplicați la factorii rămași proprietatea înmulțirii puterilor cu aceleași baze.

Să vedem cum se face acest lucru în practică.

Exemplul 3

Condiție:înmulţiţi monomiile 2 · x 4 · y · z şi - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Decizie

Să începem cu compoziția lucrării.

Deschidem parantezele din el și obținem următoarele:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Tot ce trebuie să facem este să înmulțim numerele din primele paranteze și să aplicăm proprietatea puterii celui de-al doilea. Ca rezultat, obținem următoarele:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Răspuns: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Dacă avem trei sau mai multe polinoame în condiție, le înmulțim folosind exact același algoritm. Vom analiza mai detaliat problema înmulțirii monomiilor într-un material separat.

Reguli pentru ridicarea unui monom la putere

Știm că produsul unui anumit număr de factori identici se numește grad cu exponent natural. Numărul lor este indicat de numărul din index. Conform acestei definiții, ridicarea unui monom la o putere echivalează cu înmulțirea numărului indicat de monomii identice. Să vedem cum se face.

Exemplul 4

Condiție: ridică monomul − 2 · a · b 4 la puterea lui 3 .

Decizie

Putem înlocui exponentiația cu înmulțirea a 3 monomii − 2 · a · b 4 . Să scriem și să obținem răspunsul dorit:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4) b 4) = − 8 a 3 b 12

Răspuns:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Dar ce zici când gradul are un exponent mare? Înregistrarea unui număr mare de multiplicatori este incomod. Apoi, pentru a rezolva o astfel de problemă, trebuie să aplicăm proprietățile gradului, și anume proprietatea gradului produsului și proprietatea gradului în grad.

Să rezolvăm problema pe care am citat-o ​​mai sus în modul indicat.

Exemplul 5

Condiție: ridică − 2 · a · b 4 la a treia putere.

Decizie

Cunoscând proprietatea gradului în grad, se poate trece la o expresie de următoarea formă:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

După aceea, ridicăm la puterea - 2 și aplicăm proprietatea exponentului:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

Răspuns:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

De asemenea, am dedicat un articol separat ridicării unui monom la o putere.

Reguli pentru împărțirea monomiilor

Ultima acțiune cu monomii pe care o vom analiza în acest material este împărțirea unui monom cu un monom. Ca rezultat, ar trebui să obținem o fracție rațională (algebrică) (în unele cazuri, este posibil să obținem un monom). Să clarificăm imediat că împărțirea la zero nu este definită, deoarece împărțirea cu 0 nu este definită.

Pentru a efectua împărțirea, trebuie să scriem monomiile indicate sub forma unei fracții și să o reducem, dacă este posibil.

Exemplul 6

Condiție:împărțiți monomul − 9 x 4 y 3 z 7 la − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Decizie

Să începem prin a scrie monomiile sub formă de fracție.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Această fracție poate fi redusă. După ce facem asta, obținem:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Răspuns:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Condițiile în care, ca urmare a împărțirii monomiilor, obținem un monom sunt prezentate într-un articol separat.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În ultimul tutorial video, am aflat că gradul unei anumite baze este o expresie care este produsul bazei și ea însăși, luată într-o cantitate egală cu exponentul. Să studiem acum câteva dintre cele mai importante proprietăți și operații ale puterilor.

De exemplu, să înmulțim două puteri diferite cu aceeași bază:

Să aruncăm o privire la această piesă în întregime:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Calculând valoarea acestei expresii, obținem numărul 32. Pe de altă parte, așa cum se poate observa din același exemplu, 32 poate fi reprezentat ca un produs al aceleiași baze (două), luat de 5 ori. Și într-adevăr, dacă numărați, atunci:

Astfel, se poate concluziona cu siguranță că:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Această regulă funcționează cu succes pentru orice indicator și orice motiv. Această proprietate de multiplicare a gradului decurge din regula păstrării sensului expresiilor în timpul transformărilor în produs. Pentru orice bază a, produsul a două expresii (a) x și (a) y este egal cu a (x + y). Cu alte cuvinte, la producerea oricăror expresii cu aceeași bază, monomul final are un grad total format prin adăugarea gradului primei și celei de-a doua expresii.

Regula prezentată funcționează excelent și atunci când înmulțiți mai multe expresii. Condiția principală este ca bazele pentru toate să fie aceleași. De exemplu:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Este imposibil să adăugați grade și, în general, să efectuați acțiuni comune de putere cu două elemente ale expresiei, dacă bazele lor sunt diferite.
După cum arată videoclipul nostru, datorită asemănării proceselor de înmulțire și împărțire, regulile de adăugare a puterilor în timpul unui produs sunt perfect transferate în procedura de împărțire. Luați în considerare acest exemplu:

Să facem o transformare termen cu termen a expresiei într-o formă completă și să reducem aceleași elemente în dividend și divizor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Rezultatul final al acestui exemplu nu este atât de interesant, deoarece deja în cursul soluției sale este clar că valoarea expresiei este egală cu pătratul a doi. Și este deuce care se obține scăzând gradul celei de-a doua expresii din gradul primei.

Pentru a determina gradul coeficientului, este necesar să se scadă gradul divizorului din gradul dividendului. Regula funcționează cu aceeași bază pentru toate valorile sale și pentru toate puterile naturale. În formă abstractă, avem:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Definiția gradului zero decurge din regula împărțirii bazelor identice cu puteri. Evident, următoarea expresie este:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Pe de altă parte, dacă împărțim într-un mod mai vizual, obținem:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

La reducerea tuturor elementelor vizibile ale unei fracții se obține întotdeauna expresia 1/1, adică unul. Prin urmare, este în general acceptat că orice bază ridicată la puterea zero este egală cu unu:

Indiferent de valoarea a.

Cu toate acestea, ar fi absurd dacă 0 (care dă totuși 0 pentru orice înmulțire) este cumva egal cu unu, așa că o expresie ca (0) 0 (de la zero la gradul zero) pur și simplu nu are sens și la formula (a) 0 = 1 adăugați o condiție: „dacă a nu este egal cu 0”.

Hai să facem exercițiul. Să găsim valoarea expresiei:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Deoarece baza este aceeași peste tot și este egală cu 34, valoarea finală va avea aceeași bază cu un grad (conform regulilor de mai sus):

Cu alte cuvinte:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Răspuns: Expresia este egală cu unu.