Aflați numărătorul și numitorul. O fracție este formată din două numere: numărul de deasupra liniei se numește numărător, iar numărul de sub linie se numește numitor. Numitorul indică numărul total de părți în care este rupt un întreg, iar numărătorul este numărul considerat al acestor părți.

• De exemplu, în fracția ½, numărătorul este 1 și numitorul este 2.

Determinați numitorul. Dacă două sau mai multe fracții au un numitor comun, astfel de fracții au același număr sub linie, adică, în acest caz, un întreg este împărțit în același număr de părți. Adunarea fracțiilor cu un numitor comun este foarte ușoară, deoarece numitorul fracției totale va fi același cu cel al fracțiilor care se adună. De exemplu:

• Fracțiile 3/5 și 2/5 au un numitor comun 5.
• Fracțiile 3/8, 5/8, 17/8 au un numitor comun 8.

Determinați numărătorii. Pentru a adăuga fracții cu un numitor comun, adăugați numărătorii lor și scrieți rezultatul deasupra numitorului fracțiilor adăugate.

• Fracțiile 3/5 și 2/5 au numărătorii 3 și 2.
• Fracțiile 3/8, 5/8, 17/8 au numărătorii 3, 5, 17.

Adunați numărătorii.În problema 3/5 + 2/5 se adună numărătorii 3 + 2 = 5. În problema 3/8 + 5/8 + 17/8 se adună numărătorii 3 + 5 + 17 = 25.

Notați totalul. Amintiți-vă că atunci când adăugați fracții cu un numitor comun, acesta rămâne neschimbat - se adaugă doar numărătorii.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Convertiți fracția dacă este necesar. Uneori, o fracție poate fi scrisă ca un număr întreg, mai degrabă decât ca o fracție comună sau zecimală. De exemplu, fracția 5/5 se transformă ușor în 1, deoarece orice fracție al cărei numărător este egal cu numitorul este 1. Imaginează-ți o plăcintă tăiată în trei părți. Dacă mănânci toate cele trei părți, atunci vei mânca întreaga (una) plăcintă.

• Orice fracție comună poate fi convertită într-o zecimală; Pentru a face acest lucru, împărțiți numărătorul la numitor. De exemplu, fracția 5/8 poate fi scrisă astfel: 5 ÷ 8 = 0,625.

Simplificați fracția dacă este posibil. O fracție simplificată este o fracție al cărei numărător și numitor nu au un divizor comun.

• De exemplu, luați în considerare fracția 3/6. Aici, atât numărătorul cât și numitorul au un divizor comun egal cu 3, adică numărătorul și numitorul sunt complet divizibile cu 3. Prin urmare, fracția 3/6 se poate scrie astfel: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Dacă este necesar, convertiți fracția improprie într-o fracție mixtă (număr mixt). Pentru o fracție improprie, numărătorul este mai mare decât numitorul, de exemplu, 25/8 (pentru o fracție proprie, numărătorul este mai mic decât numitorul). O fracție improprie poate fi convertită într-o fracție mixtă, care constă dintr-o parte întreagă (adică un număr întreg) și o parte fracțională (adică o fracție proprie). Pentru a converti o fracție improprie, cum ar fi 25/8, într-un număr mixt, urmați acești pași:

• Împărțiți numărătorul fracției improprie la numitorul acesteia; notează coeficientul incomplet (întregul răspuns). În exemplul nostru: 25 ÷ 8 = 3 plus ceva rest. În acest caz, întregul răspuns este partea întreagă a numărului mixt.
• Găsiți restul. În exemplul nostru: 8 x 3 = 24; scădeți rezultatul de la numărătorul inițial: 25 - 24 \u003d 1, adică restul este 1. În acest caz, restul este numărătorul părții fracționale a numărului mixt.
• Scrieți o fracție mixtă. Numitorul nu se schimbă (adică este egal cu numitorul fracției improprie), deci 25/8 = 3 1/8.

Notă!Înainte de a scrie un răspuns final, vezi dacă poți reduce fracția pe care ai primit-o.

Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori exemple:

,

,

Scăderea unei fracții adecvate din una.

Dacă este necesară scăderea din unitate a unei fracții care este corectă, unitatea este convertită în forma unei fracții improprie, numitorul ei este egal cu numitorul fracției scăzute.

Un exemplu de scădere a unei fracții adecvate din una:

Numitorul fracției de scăzut = 7 , adică reprezentăm unitatea ca o fracție improprie 7/7 și scădem conform regulii de scădere a fracțiilor cu aceiași numitori.

Scăderea unei fracții adecvate dintr-un număr întreg.

Reguli pentru scăderea fracțiilor - corectă din întreg (numar natural):

• Traducem fracțiile date, care conțin o parte întreagă, în unele improprii. Obținem termeni normali (nu contează dacă au numitori diferiți), pe care îi considerăm conform regulilor date mai sus;
• Apoi, calculăm diferența fracțiilor pe care le-am primit. Ca rezultat, aproape vom găsi răspunsul;
• Efectuăm transformarea inversă, adică scăpăm de fracția improprie - selectăm partea întreagă din fracție.

Scădeți o fracție proprie dintr-un număr întreg: reprezentăm un număr natural ca număr mixt. Acestea. luăm o unitate într-un număr natural și o traducem în forma unei fracții improprie, numitorul este același cu cel al fracției scăzute.

Exemplu de scădere a fracțiilor:

În exemplu, am înlocuit unitatea cu o fracție improprie 7/7 și în loc de 3 am notat un număr mixt și am scăzut o fracție din partea fracțională.

Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.

Sau, altfel spus, scăderea diferitelor fracții.

Regula pentru scăderea fracțiilor cu numitori diferiți. Pentru a scădea fracțiile cu numitori diferiți, este necesar, mai întâi, să aducem aceste fracții la cel mai mic numitor comun (LCD), și abia după aceea să scădem ca și la fracțiile cu aceiași numitori.

Numitorul comun al mai multor fracții este LCM (cel mai mic multiplu comun) numere naturale care sunt numitorii fracțiilor date.

Atenţie! Dacă numărătorul și numitorul au factori comuni în fracția finală, atunci fracția trebuie redusă. O fracție improprie este cel mai bine reprezentată ca o fracție mixtă. Lăsarea rezultatului scăderii fără reducerea fracției acolo unde este posibil este o soluție neterminată a exemplului!

Procedura de scadere a fractiilor cu numitori diferiti.

• găsiți LCM pentru toți numitorii;
• pune multiplicatori suplimentari pentru toate fracțiile;
• înmulțiți toți numărătorii cu un factor suplimentar;
• scriem produsele rezultate la numărător, semnând un numitor comun sub toate fracțiile;
• scădeți numărătorii fracțiilor, semnând numitorul comun sub diferență.

În același mod, adunarea și scăderea fracțiilor se efectuează în prezența literelor în numărător.

Scăderea fracțiilor, exemple:

Scăderea fracțiilor mixte.

La scăderea fracțiilor mixte (numere) separat, partea întreagă este scăzută din partea întreagă, iar partea fracțională este scăzută din partea fracțională.

Prima opțiune este de a scădea fracțiile mixte.

Dacă părțile fracționale aceeași numitorii și numărătorul părții fracționale a minuendului (din el scădem) ≥ numărătorul părții fracționale a subtraendului (o scădem).

De exemplu:

A doua opțiune este de a scădea fracțiile mixte.

Când părțile fracționale variat numitori. Pentru început, reducem părțile fracționale la un numitor comun, iar după aceea scădem partea întreagă din întreg, iar fracționalul din fracționar.

De exemplu:

A treia opțiune este de a scădea fracțiile mixte.

Partea fracționară a minuendului este mai mică decât partea fracționară a subtraendului.

Exemplu:

pentru că părțile fracționale au numitori diferiți, ceea ce înseamnă, ca și în a doua opțiune, mai întâi aducem fracțiile obișnuite la un numitor comun.

Numătorul părții fracționale a minuendului este mai mic decât numărătorul părții fracționale a subtraendului.3 < 14. Deci, luăm o unitate din partea întreagă și aducem această unitate la forma unei fracții improprie cu același numitor și numărător = 18.

În numărătorul din dreapta scriem suma numărătorilor, apoi deschidem parantezele în numărătorul din dreapta, adică înmulțim totul și dăm similare. Nu deschidem paranteze la numitor. Se obișnuiește să lăsați produsul în numitori. Primim:

Conținutul lecției

Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori

Adunarea fracțiilor este de două tipuri:

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Să începem cu adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat. De exemplu, să adăugăm fracțiile și . Adunăm numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2 Adăugați fracții și .

Răspunsul este o fracție improprie. Dacă vine sfârșitul sarcinii, atunci se obișnuiește să scapi de fracțiile improprii. Pentru a scăpa de o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte din ea. În cazul nostru, partea întreagă este alocată cu ușurință - doi împărțiți la doi este egal cu unul:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în două părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți o pizza întreagă:

Exemplul 3. Adăugați fracții și .

Din nou, adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 4 Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Număratorii trebuie adăugați și numitorul lăsat neschimbat:

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza și adăugați mai multe pizza, obțineți 1 pizza întreagă și mai multe pizza.

După cum puteți vedea, adăugarea fracțiilor cu aceiași numitori nu este dificilă. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a adăuga fracții cu același numitor, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat;

Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Acum vom învăța cum să adunăm fracții cu diferiți numitori. Când se adună fracții, numitorii acelor fracții trebuie să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.

De exemplu, fracțiile pot fi adăugate deoarece au aceiași numitori.

Dar fracțiile nu pot fi adăugate deodată, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Există mai multe moduri de a reduce fracțiile la același numitor. Astăzi vom lua în considerare doar una dintre ele, deoarece restul metodelor pot părea complicate pentru un începător.

Esența acestei metode constă în faptul că se caută primul (LCM) dintre numitorii ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar. Ei fac același lucru cu a doua fracție - LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține al doilea factor suplimentar.

Apoi numărătorii și numitorii fracțiilor sunt înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții.

Exemplul 1. Adăugați fracții și

În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6

LCM (2 și 3) = 6

Acum revenim la fracții și . În primul rând, împărțim LCM la numitorul primei fracții și obținem primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțind 6 la 3, obținem 2.

Numărul rezultat 2 este primul factor suplimentar. O notăm până la prima fracție. Pentru a face acest lucru, facem o mică linie oblică deasupra fracției și notăm factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împărțind 6 la 2, obținem 3.

Numărul rezultat 3 este al doilea factor suplimentar. O scriem în a doua fracție. Din nou, facem o linie oblică mică deasupra celei de-a doua fracții și scriem factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Acum suntem gata să adăugăm. Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii lor suplimentari:

Privește cu atenție la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:

Așa se termină exemplul. Pentru a adăuga se pare.

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza, obțineți o pizza întreagă și o altă șesime dintr-o pizza:

Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi reprezentată și folosind o imagine. Aducând fracțiile și la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza. Singura diferență va fi că de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor).

Primul desen prezintă o fracție (patru piese din șase), iar cea de-a doua imagine arată o fracție (trei piese din șase). Punând aceste piese împreună obținem (șapte bucăți din șase). Această fracție este incorectă, așa că am evidențiat partea întreagă din ea. Rezultatul a fost (o pizza întreagă și o altă pizza a șasea).

Rețineți că am pictat acest exemplu prea detaliat. În instituțiile de învățământ nu se obișnuiește să se scrie într-o manieră atât de detaliată. Trebuie să puteți găsi rapid LCM-ul ambilor numitori și al factorilor suplimentari la aceștia, precum și să înmulțiți rapid factorii suplimentari găsiți cu numărătorii și numitorii dvs. În timp ce suntem la școală, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:

Dar există și cealaltă față a monedei. Dacă nu se fac note detaliate în primele etape ale studiului matematicii, atunci întrebări de acest fel „De unde vine acel număr?”, „De ce fracțiile se transformă brusc în fracții complet diferite? «.

Pentru a facilita adăugarea fracțiilor cu numitori diferiți, puteți folosi următoarele instrucțiuni pas cu pas:

1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor;
2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție;
3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora;
4. Adaugă fracții care au aceiași numitori;
5. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga sa parte;

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii .

Să folosim instrucțiunile de mai sus.

Pasul 1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor

Aflați LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4

Pasul 2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție

Împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 12 la 2, obținem 6. Primul factor suplimentar este 6. Îl scriem peste prima fracție:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Primim al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem peste a doua fracție:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împărțim 12 la 4, obținem 3. Am obținut al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem peste a treia fracție:

Pasul 3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari

Înmulțim numărătorii și numitorii cu factorii noștri suplimentari:

Pasul 4. Adaugă fracții care au aceiași numitori

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Rămâne să adunăm aceste fracții. Aduna:

Adăugarea nu se potrivea pe o singură linie, așa că am mutat expresia rămasă pe linia următoare. Acest lucru este permis la matematică. Când o expresie nu se încadrează pe o linie, se trece pe următoarea linie și este necesar să se pună un semn egal (=) la sfârșitul primei rânduri și la începutul unei noi linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care a fost pe prima linie.

Pasul 5. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga parte din el

Răspunsul nostru este o fracție improprie. Trebuie să evidențiem întreaga parte a acesteia. Subliniem:

Am un răspuns

Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori

Există două tipuri de scădere de fracții:

1. Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Mai întâi, să învățăm cum să scădem fracții cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul același.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei . Pentru a rezolva acest exemplu, este necesar să scădem numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat. Să o facem:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2 Găsiți valoarea expresiei.

Din nou, de la numărătorul primei fracții, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Din numărătorul primei fracții, trebuie să scădeți numărătorii fracțiilor rămase:

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat;
2. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să selectați întreaga parte din el.

Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

De exemplu, o fracție poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au aceiași numitori. Dar o fracție nu poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Numitorul comun se găsește după același principiu pe care l-am folosit la adunarea fracțiilor cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care se scrie peste prima fracție. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care se scrie peste a doua fracție.

Fracțiile sunt apoi înmulțite cu factorii lor suplimentari. În urma acestor operații, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții.

Exemplul 1 Găsiți valoarea unei expresii:

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că trebuie să le aduceți la același numitor (comun).

În primul rând, găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12

LCM (3 și 4) = 12

Acum revenim la fracții și

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Scriem cele patru peste prima fracție:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împărțiți 12 la 4, obținem 3. Scrieți un triplu peste a doua fracție:

Acum suntem pregătiți pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:

Am un răspuns

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza.

Aceasta este versiunea detaliată a soluției. Fiind la școală, ar trebui să rezolvăm acest exemplu într-un mod mai scurt. O astfel de soluție ar arăta astfel:

Reducerea fracțiilor și la un numitor comun poate fi reprezentată și folosind o imagine. Aducând aceste fracții la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în aceleași fracții (reduse la același numitor):

Primul desen arată o fracție (opt bucăți din douăsprezece), iar a doua imagine arată o fracțiune (trei piese din douăsprezece). Tăiind trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fracția descrie aceste cinci piese.

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că mai întâi trebuie să le aduceți la același numitor (comun).

Aflați LCM al numitorilor acestor fracții.

Numitorii fracțiilor sunt numerele 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul fiecărei fracții.

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împărțind 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem peste prima fracție:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem peste a doua fracție:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împărțim 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem peste a treia fracție:

Acum totul este gata pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.

Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o linie, așa că mutam continuarea pe următoarea linie. Nu uitați de semnul egal (=) pe noua linie:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracțiune corectă și totul pare să ni se potrivească, dar este prea greoi și urât. Ar trebui să o facem mai ușor. Ce se poate face? Puteți reduce această fracție.

Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la (mcd) numerele 20 și 30.

Deci, găsim GCD-ul numerelor 20 și 30:

Acum revenim la exemplul nostru și împărțim numărătorul și numitorul fracției la GCD găsit, adică la 10

Am un răspuns

Înmulțirea unei fracții cu un număr

Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției date cu acest număr și să lăsați numitorul același.

Exemplul 1. Înmulțiți fracția cu numărul 1.

Înmulțiți numărătorul fracției cu numărul 1

Intrarea poate fi înțeleasă ca durând o jumătate de dată. De exemplu, dacă iei pizza 1 dată, primești pizza

Din legile înmulțirii, știm că dacă multiplicandul și multiplicatorul sunt interschimbați, atunci produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca , atunci produsul va fi tot egal cu . Din nou, regula pentru înmulțirea unui întreg și a unei fracții funcționează:

Această intrare poate fi înțeleasă ca ocupând jumătate din unitate. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul fracției cu 4

Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei pizza de 4 ori, primești două pizza întregi.

Și dacă schimbăm multiplicandul și multiplicatorul pe alocuri, obținem expresia. De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luând două pizza din patru pizza întregi:

Înmulțirea fracțiilor

Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii. Dacă răspunsul este o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte din ea.

Exemplul 1 Găsiți valoarea expresiei.

Am un răspuns. Este de dorit să se reducă această fracție. Fracția poate fi redusă cu 2. Apoi soluția finală va lua următoarea formă:

Expresia poate fi înțeleasă ca luarea unei pizza dintr-o jumătate de pizza. Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Cum să iau două treimi din această jumătate? Mai întâi trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:

Și ia două din aceste trei bucăți:

Vom lua pizza. Amintiți-vă cum arată o pizza împărțită în trei părți:

O felie din această pizza și cele două felii pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:

Cu alte cuvinte, vorbim de aceeași dimensiune a pizza. Prin urmare, valoarea expresiei este

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție corectă, dar va fi bine dacă se reduce. Pentru a reduce această fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acestei fracții la cel mai mare divizor comun (MCD) al numerelor 105 și 450.

Deci, să găsim GCD-ul numerelor 105 și 450:

Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la GCD pe care l-am găsit acum, adică la 15

Reprezentarea unui număr întreg sub formă de fracție

Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca . Din aceasta, cinci nu își va schimba sensul, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unu”, iar acesta, după cum știți, este egal cu cinci:

Numerele inversate

Acum ne vom familiariza cu un subiect foarte interesant în matematică. Se numește „numere inverse”.

Definiție. Inversa la numărA este numărul care, atunci când este înmulțit cuA oferă o unitate.

Să substituim în această definiție în loc de o variabilă A numărul 5 și încercați să citiți definiția:

Inversa la număr 5 este numărul care, atunci când este înmulțit cu 5 oferă o unitate.

Este posibil să găsim un număr care, înmulțit cu 5, dă unul? Se dovedește că poți. Să reprezentăm cinci ca o fracție:

Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar numărătorul și numitorul. Cu alte cuvinte, să înmulțim fracția cu ea însăși, doar inversată:

Care va fi rezultatul acestui lucru? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:

Aceasta înseamnă că inversul numărului 5 este numărul, deoarece atunci când 5 este înmulțit cu unu, se obține unul.

Reciproca poate fi găsită și pentru orice alt număr întreg.

Puteți găsi, de asemenea, reciproca pentru orice altă fracție. Pentru a face acest lucru, este suficient să-l răsturnați.

Împărțirea unei fracții cu un număr

Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Să o împărțim în mod egal între doi. Câte pizza va primi fiecare?

Se poate observa că după împărțirea jumătate din pizza s-au obținut două bucăți egale, fiecare alcătuind câte o pizza. Deci toată lumea primește o pizza.

Împărțirea fracțiilor se face folosind reciproce. Reciprocele vă permit să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea.

Pentru a împărți o fracție la un număr, trebuie să înmulțiți această fracție cu reciproca divizorului.

Folosind această regulă, vom nota împărțirea jumătății noastre de pizza în două părți.

Deci, trebuie să împărțiți fracția la numărul 2. Aici dividendul este o fracție, iar divizorul este 2.

Pentru a împărți o fracție la numărul 2, trebuie să înmulțiți această fracție cu inversul divizorului 2. Reciprocul divizorului 2 este o fracție. Deci trebuie să înmulțiți cu

Acțiuni cu fracții.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Deci, ce sunt fracțiile, tipurile de fracții, transformările - ne-am amintit. Să abordăm întrebarea principală.

Ce poți face cu fracțiile? Da, totul este la fel ca în cazul numerelor obișnuite. Adunați, scădeți, înmulțiți, împărțiți.

Toate aceste acțiuni cu zecimal operațiile cu fracții nu sunt diferite de operațiile cu numere întregi. De fapt, pentru asta sunt bune, zecimală. Singurul lucru este că trebuie să puneți virgula corect.

numere mixte, așa cum am spus, sunt de puțin folos pentru majoritatea acțiunilor. Ele mai trebuie convertite în fracții obișnuite.

Și aici sunt acțiunile cu fracții obișnuite va fi mai inteligent. Și mult mai important! Lasă-mă să-ți amintesc: toate acțiunile cu expresii fracționale cu litere, sinusuri, necunoscute și așa mai departe nu sunt diferite de acțiunile cu fracții obișnuite! Operațiile cu fracții obișnuite stau la baza tuturor algebrei. Din acest motiv vom analiza aici în detaliu toată această aritmetică.

Adunarea și scăderea fracțiilor.

Toată lumea poate adăuga (scădea) fracții cu aceiași numitori (sper foarte mult!). Ei bine, vă reamintesc complet uituc: atunci când adăugați (scădeți), numitorul nu se schimbă. Număratorii sunt adăugați (scădeți) pentru a da numărătorul rezultatului. Tip:

Pe scurt, în termeni generali:

Ce se întâmplă dacă numitorii sunt diferiți? Apoi, folosind proprietatea principală a fracției (aici ne-a fost util din nou!), Facem numitorii la fel! De exemplu:

Aici a trebuit să facem fracția 4/10 din fracția 2/5. Numai în scopul de a face numitorii la fel. Observ, pentru orice eventualitate, că 2/5 și 4/10 sunt aceeași fracție! Doar 2/5 este incomod pentru noi, iar 4/10 este chiar nimic.

Apropo, aceasta este esența rezolvării oricăror sarcini din matematică. Când suntem afară incomod expresiile fac la fel, dar mai convenabil de rezolvat.

Alt exemplu:

Situația este similară. Aici facem 48 din 16. Prin simplă înmulțire cu 3. Toate acestea sunt clare. Dar aici întâlnim ceva de genul:

Cum sa fii?! E greu să faci un nouă din șapte! Dar suntem deștepți, știm regulile! Să ne transformăm fiecare fracție astfel încât numitorii să fie aceiași. Aceasta se numește „reducere la un numitor comun”:

Cum! De unde am știut despre 63? Foarte simplu! 63 este un număr care este divizibil egal cu 7 și 9 în același timp. Un astfel de număr poate fi întotdeauna obținut prin înmulțirea numitorilor. Dacă înmulțim un număr cu 7, de exemplu, atunci rezultatul va fi cu siguranță împărțit la 7!

Dacă trebuie să adunați (scădeți) mai multe fracții, nu este nevoie să o faceți în perechi, pas cu pas. Trebuie doar să găsiți numitorul care este comun tuturor fracțiilor și să aduceți fiecare fracție la același numitor. De exemplu:

Și care va fi numitorul comun? Puteți, desigur, să înmulțiți 2, 4, 8 și 16. Obținem 1024. Coșmar. Este mai ușor de estimat că numărul 16 este perfect divizibil cu 2, 4 și 8. Prin urmare, este ușor să obțineți din aceste numere 16. Acest număr va fi numitorul comun. Să transformăm 1/2 în 8/16, 3/4 în 12/16 și așa mai departe.

Apropo, dacă luăm 1024 ca numitor comun, totul va merge și el, până la urmă totul se va reduce. Numai că nu toată lumea va ajunge în acest scop, din cauza calculelor...

Rezolvați singur exemplul. Nu un logaritm... Ar trebui să fie 29/16.

Deci, cu adunarea (scăderea) fracțiilor este clar, sper? Desigur, este mai ușor să lucrezi într-o versiune scurtată, cu multiplicatori suplimentari. Dar această plăcere este disponibilă celor care au lucrat sincer în clasele inferioare... Și nu au uitat nimic.

Și acum vom face aceleași acțiuni, dar nu cu fracții, ci cu expresii fracționale. Noi greble vor fi găsite aici, da...

Deci, trebuie să adăugăm două expresii fracționale:

Trebuie să facem numitorii la fel. Și numai cu ajutorul multiplicare! Deci proprietatea principală a fracției spune. Prin urmare, nu pot adăuga unul la x în prima fracție din numitor. (Dar asta ar fi frumos!). Dar dacă înmulți numitorii, vezi, totul va crește împreună! Așa că scriem, linia fracției, lăsăm un spațiu gol deasupra, apoi îl adunăm și scriem produsul numitorilor de mai jos, pentru a nu uita:

Și, desigur, nu înmulțim nimic pe partea dreaptă, nu deschidem paranteze! Și acum, privind numitorul comun al părții drepte, ne gândim: pentru a obține numitorul x (x + 1) în prima fracție, trebuie să înmulțim numărătorul și numitorul acestei fracții cu (x + 1) . Și în a doua fracție - x. Primești asta:

Notă! Parantezele sunt aici! Aceasta este grebla pe care mulți o calcă. Nu paranteze, desigur, ci absența lor. Parantezele apar pentru că ne înmulțim întregul numărător și întregul numitor! Și nu piesele lor individuale...

În numărătorul din dreapta scriem suma numărătorilor, totul este ca în fracții numerice, apoi deschidem parantezele în numărătorul din dreapta, adică. inmulti totul si da like. Nu trebuie să deschideți parantezele din numitori, nu trebuie să înmulțiți ceva! In general, in numitori (oricare) produsul este intotdeauna mai placut! Primim:

Aici avem răspunsul. Procesul pare lung și dificil, dar depinde de practică. Rezolvă exemple, obișnuiește-te, totul va deveni simplu. Cei care au stăpânit fracțiile în timpul alocat, fac toate aceste operații cu o singură mână, la aparat!

Și încă o notă. Mulți se ocupă de fracții, dar se așteaptă cu exemple întreg numerele. Tip: 2 + 1/2 + 3/4= ? Unde să fixați un deuce? Nu este nevoie să fixați nicăieri, trebuie să faceți o fracțiune dintr-un doi. Nu este ușor, este foarte simplu! 2=2/1. Ca aceasta. Orice număr întreg poate fi scris ca fracție. Numătorul este numărul în sine, numitorul este unul. 7 este 7/1, 3 este 3/1 și așa mai departe. La fel este și cu literele. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 etc. Și apoi lucrăm cu aceste fracții conform tuturor regulilor.

Ei bine, la adunarea - scăderea fracțiilor, cunoștințele au fost reîmprospătate. Transformări ale fracțiilor de la un tip la altul - repetate. De asemenea, puteți verifica. Ne aliniem putin?)

Calculati:

Răspunsuri (în dezordine):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Înmulțirea / împărțirea fracțiilor - în lecția următoare. Există, de asemenea, sarcini pentru toate acțiunile cu fracții.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Adunarea și scăderea fracțiilor cu aceiași numitori

Să începem prin a privi cel mai simplu exemplu - adunarea și scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. În acest caz, trebuie doar să efectuați acțiuni cu numărătorii - adăugați-i sau scădeți.

Când se adună și se scad fracții cu aceiași numitori, numitorul nu se schimbă!

Principalul lucru este să nu efectuați operații de adunare și scădere la numitor, dar unii studenți uită de asta. Pentru a înțelege mai bine această regulă, să recurgem la principiul vizualizării sau, în termeni simpli, să luăm în considerare un exemplu din viața reală:

Ai o jumătate de măr - adică jumătate din întregul măr. Ți se dă încă o jumătate, adică încă o jumătate. Evident, acum ai un măr întreg (fără a conta că este tăiat 🙂). Prin urmare, ½ + ½ = 1 și nu altceva de genul 2/4. Sau iti iau aceasta jumatate: ½ - ½ = 0. In cazul scaderii cu aceiasi numitori se obtine in general un caz special - la scaderea acelorasi numitori vom obtine 0, dar nu se poate imparti la 0 , iar această fracție nu va avea sens.

Să luăm un ultim exemplu:

Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Ce se întâmplă dacă numitorii sunt diferiți? Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să aducem fracțiile la același numitor și apoi să procedăm așa cum am indicat mai sus.

Există două moduri de a reduce o fracție la un numitor comun. În toate metodele, se folosește o singură regulă - la înmulțirea numărătorului și numitorului cu același număr, fracția nu se modifică .

Există două moduri. Primul - cel mai simplu - așa-numitul „în cruce”. Constă în faptul că înmulțim prima fracție cu numitorul celei de-a doua fracții (atât numărătorul, cât și numitorul) și înmulțim a doua fracție cu numitorul primei (în mod similar, atât numărătorul, cât și numitorul). După aceea, procedăm ca în cazul acelorași numitori - acum chiar sunt la fel!

Metoda anterioară este universală, cu toate acestea, în cele mai multe cazuri, pot fi găsite fracții numitoare cel mai mic multiplu comun - numărul cu care atât primul numitor, cât și al doilea sunt divizibili, și cel mai mic. În această metodă, trebuie să puteți vedea astfel de LCM-uri, deoarece căutarea lor specială este destul de încăpătoare și inferioară ca viteză față de metoda „încrucișată”. Dar, în majoritatea cazurilor, NOC-urile sunt destul de vizibile dacă îți umpli ochii și te antrenezi suficient.

Sper că acum ești fluent în metodele de adunare și scădere a fracțiilor!