Stereometrie dezvoltat din observații și soluții la problemele apărute în procesul activității practice umane. Fără îndoială că până și omul primitiv, trecând de la o viață nomade la una așezată, s-a apucat de agricultură, a încercat să estimeze, cel puțin în termeni cei mai grosolan, mărimea recoltei pe care o adunase de către masele de pâine. stivuite în grămezi, șocuri sau stive. Constructorul chiar și al celor mai vechi clădiri primitive trebuia să țină seama cumva de materialul pe care îl avea la dispoziție și să poată calcula de cât material ar fi nevoie pentru a construi cutare sau cutare clădire. Taiatul în piatră în rândul egiptenilor și caldeenilor antici necesita familiarizarea cu proprietățile metrice ale cel puțin celor mai simple corpuri geometrice: un cub, un paralelipiped, o prismă, un cilindru etc. Nevoile agriculturii, navigației, orientarea în timp au împins oamenii la observații astronomice, iar acestea din urmă la studiul proprietăților sferei și ale părților sale și, în consecință, legile poziției relative a planurilor și liniilor în spațiu.

În timpul înfloririi economice și culturale a Greciei antice și a coloniilor sale, geometria a atins o înaltă dezvoltare teoretică. Dintre geometrii remarcabili ai Greciei, Anaxagoras, Democrit, Hipocrate (secolul al V-lea î.Hr.) erau interesați de stereometrie. Hipocrate este printre primii care au rezolvat faimoasa problemă a antichității - problema Delhi a dublării cubului. În școala lui Platon, problemele stereometriei au avansat considerabil. Unul dintre reprezentanții școlii lui Platon, Teetetus, a considerat octaedrul și cel cu douăzeci de laturi și a dat pentru prima dată o teorie a unor proprietăți a cinci poliedre regulate. Studentul lui Platon, Menechme, a fost primul care a oferit o teorie a secțiunilor conice. Cel mai mare merit al lui Euclid este că a adunat, prelucrat și adus într-un sistem coerent materialul care ajunsese la el. Dintre cele 13 cărți ale sale „Începuturile” stereometriei, sunt repartizate cărțile XI-XIII. Informațiile despre stereometrie culese de Euclid au fost completate, aprofundate și extinse de cel mai mare matematician al antichității Arhimede. El a dat treisprezece solide semiregulate, fiecare dintre ele mărginite de poligoane regulate, dar nu de același fel, și a calculat volumele solidelor de revoluție. Datorită lucrării lui Arhimede, stereometria a atins punctul culminant, iar geometria elementară în sensul ei modern a fost în sfârșit stabilită.

După căderea Greciei, există o stagnare îndelungată în dezvoltarea matematicii și a stereometriei în special, care a durat o mie de ani. Kepler a făcut multe pentru dezvoltarea stereometriei în timpurile moderne. În „New Stereometry” – „stereometria butoaielor” – el a folosit mai întâi o cantitate infinitezimală în geometrie. Descoperirea calculului integral de către Newton și Leibniz a rezolvat în cele din urmă problema cuadraturii și cubaturii.

Cilindru- un corp care este format din două cercuri care nu se află în același plan și sunt combinate prin translație paralelă și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare acestor cercuri.

r este raza cilindrului;
d este diametrul cilindrului;
l este generatoarea cilindrului;
h este înălțimea cilindrului.

Notă:într-un cilindru circular drept, lungimea generatricei este egală cu lungimea înălțimii.

Volumul unui cilindru circular calculat prin formula:

V = π r 2 h, Unde

π – valoare constantă (≈3,1415 );
r este raza bazei cilindrului;
h este înălțimea cilindrului.

cub este un poliedru regulat, fiecare față fiind un pătrat. Toate marginile unui cub sunt egale.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - cub;

A, B, C, D, A1, B1, C1, D1- vârfuri de cub;

a - lungimea muchiei cubului.

Volumul cubului calculat prin formula:

V cub \u003d un 3, unde

a este lungimea muchiei cubului.

Tetraedru este un poliedru regulat ale cărui fețe sunt patru triunghiuri.

ABCD - tetraedru;

A, B, C, D - vârfuri tetraedrice;

AD, BD, CD, AB, BC, AC - muchiile tetraedrului;

ABD, BCD, ACD - fețele unui tetraedru.

Volumul unui tetraedru calculat prin formula:

A este lungimea oricărei muchii a tetraedrului.

Instrucțiuni

Pentru a finaliza cu succes sarcini din această categorie, trebuie să:

cunoașteți definițiile corpurilor geometrice și proprietățile acestora;

să poată efectua acțiuni cu forme geometrice, coordonate și vectori;

să fie capabil să rezolve probleme stereometrice pentru găsirea mărimilor geometrice (lungimi, unghiuri, arii, volume);

cunoașteți formulele de calcul a ariilor și volumelor corpurilor geometrice.

Tda Nu. 8 Volumul cilindrului Opțiunea 1.

1. Aflați volumul unui cilindru cu înălțimea de 3 cm și diametrul bazei de 6 cm.a) 27π cm 3; b) 9π cm 3; c) 36π cm 3; d) 18π cm3; e) 54π cm 3.

2. Volumul cilindrului este de 27π. Aflați diametrul bazei cilindrului dacă suprafața totală a acestuia este de două ori mai mare decât suprafața laterală.

a) 3; b) nu poate fi determinat la 6; d) 2; e) 9.

3. Diagonala secțiunii axiale a cilindrului formează un unghi de 60˚ cu planul bazei cilindrului. Aflați volumul cilindrului dacă aria secțiunii axiale este de 16√3 cm2.

a) 16π ​​​​cm 3; b) 16√3 cm 3; c) 32π√3 cm3; d) 8π√3 cm3; e) 16π√3 cm3.

4. Într-un cilindru este înscrisă o sferă cu raza de 1 cm.Aflați volumul cilindrului.

a) 4π cm 3; b) 2π cm 3; c) 8π cm3; d) π cm 3; d) nu poate fi determinat.

5. Volumul cilindrului este 120. Aflați înălțimea cilindrului cu o precizie de 0,01 dacă raza bazei este de 3 ori mai mare decât aceasta.

a) 1,62; b) 1,63; c) 1,61; d) 1,6; e) 1,60.

6. Aria secțiunii axiale a cilindrului este de 21 cm 2, aria bazei este de 18π cm 2. Aflați volumul cilindrului.

a) 9π cm 3; b) 31,5π√2 cm3; c) 21π cm3; d) 63π cm 3; e) 31,5π√3 cm3.

7. Alegeți afirmația corectă.

a) Volumul unui cilindru este jumătate din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

b) Volumul cilindrului se calculează cu formula V = πS/2, unde S este aria secțiunii axiale a cilindrului;

c) volumul unui cilindru echilateral este V = 2πR 3 , unde R este raza bazei cilindrului;

d) volumul cilindrului se calculează cu formula V = Mh/2, unde M este aria suprafeței laterale a cilindrului și h este înălțimea acestuia;

8. O secțiune paralelă cu axa cilindrului taie un arc de 120˚ de la circumferința bazei. Raza bazei cilindrului este R, unghiul dintre diagonala secțiunii și axa cilindrului este de 30˚. Aflați volumul cilindrului a) 3πR 2 ; b) πR 3 √3; c) 3πR3; d) πR3; e) 3πR 3 √3.

9. Prin generatoarea cilindrului se trasează două plane. Unghiul dintre ele este de 120˚. Suprafețele secțiunilor rezultate sunt 1. Raza bazei cilindrului este 1. Aflați volumul cilindrului. a) π√3/3; b) 2π; c) π/2; d) pi; d) nu poate fi determinat.

10. Un fir de aluminiu cu diametrul de 2 mm are o masă de 3,4 kg. Aflați lungimea firului cu cel mai apropiat 1 cm dacă densitatea aluminiului este de 2,6 g/cm3.

a) 41646; b) 43590; c) 41656; d) 41635; e) 41625.

Tda Nu. 8 Volumul cilindrului Opțiunea 2.

1. Aflați volumul unui cilindru cu înălțimea de 6 cm și diametrul bazei de 3 cm.a) 13,5π cm 3; b) 9π cm 3; c) 27π cm 3; d) 18π cm 3; e) 54π cm 3.

2. Volumul cilindrului este de 32π. Aflați înălțimea cilindrului dacă aria sa totală este de trei ori aria suprafeței laterale.

a) 3; b) nu poate fi determinat la 4; d) 8; D 2.

3. Diagonala secțiunii axiale a cilindrului formează un unghi de 60˚ cu planul bazei cilindrului. Aflați aria secțiunii axiale dacă volumul cilindrului este de 16 π √3 cm 2.

a) 16 cm 2; b) 16√3 cm 2; c) 32√3 cm2; d) 8√3 cm2; e) 16π√3 cm2.

4. În apropierea cilindrului este descrisă o sferă cu raza de 1 cm.Aflați volumul cilindrului.

a) 4π√2 cm 3; b) 0,5π√2 cm3; c) nu poate fi determinat d) π cm 3; e) π√2 cm 3.

5. Volumul cilindrului este 120. Aflați înălțimea cilindrului cu o precizie de 0,01 dacă raza bazei este de 3 ori mai mică decât aceasta.

a) 2,3; b) 2,33; c) 2,35; d) 2,335; e) 2,34.

6. Aria secțiunii axiale a cilindrului este de 30 cm 2, aria bazei este de 9π ​​cm 2. Aflați volumul cilindrului.

a) 45π cm 3; b) 22,5π cm 3; c) 23π cm3; d) 9π cm3; e) 30π cm 3.

7. Alegeți afirmația greșită.

a) Volumul unui cilindru este produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

b) Volumul cilindrului se calculează cu formula V = 1/2πrS, unde S este aria secțiunii axiale a cilindrului, iar r este raza cilindrului;

c) volumul unui cilindru echilateral se calculează prin formula V = 1/4πh 3, unde h este înălțimea cilindrului;

d) volumul cilindrului se calculează cu formula V = 1/2Mr, unde M este aria suprafeței laterale a cilindrului, iar r este raza acestuia;

e) volumul unui cilindru echilateral se calculează prin formula V = πh 3 /2, unde h este înălțimea cilindrului.

8. O secțiune paralelă cu axa cilindrului taie un arc de 120 0 din circumferința bazei. Această secțiune este îndepărtată de axa cilindrului cu o distanță egală cu a. Diagonala secțiunii este 4a. Aflați volumul cilindrului. a) 8pa 2 ; b) 4pa 3 ; c) 2πa3; d) 16pa 3 ; e) 8πa 3 .

9. Prin generatoarea cilindrului se trasează două plane. Unghiul dintre ele este de 120˚. Suprafețele secțiunilor rezultate sunt 1. Înălțimea cilindrului este 1. Aflați volumul cilindrului. a) π/4; b) π/2; c) π; d) π/3; d) nu poate fi determinat.

10. Un fir de aluminiu cu diametrul de 2 mm are masa de 3,4 m. Aflați masa firului cu o precizie de 1 g dacă densitatea aluminiului este de 2,6 g/cm 3.

a) 278; b) 277; c) 29; d) 27; e) 28.

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Cilindru

Condiție

Într-un vas cilindric nivelul lichidului ajunge la 20 cm.La ce înălțime va fi nivelul lichidului dacă este turnat într-un al doilea vas cilindric, al cărui diametru este de două ori mai mare decât cel diametrul primului? Exprimați răspunsul în centimetri.

Afișează soluția

Decizie

Fie R raza bazei primului vas, apoi 2 R este raza bazei celui de-al doilea vas. După condiție, volumul lichidului V din primul și al doilea vas este același. Notați cu H - nivelul la care s-a ridicat lichidul în al doilea vas. Apoi

V=\pi R^2 \cdot 20,și V=\pi (2R)^2H = 4\pi R^2H. De aici \pi R^2 \cdot 20 = 4\pi R^2H, 20=4H H=5

Răspuns

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Cilindru

Condiție

2000 cm 3 de apă au fost turnați într-un vas cilindric. Nivelul lichidului s-a dovedit a fi de 15 cm. Piesa a fost complet scufundată în apă. În același timp, nivelul lichidului din vas a crescut cu 9 cm.Care este volumul piesei? Exprimați răspunsul în cm3.

Afișează soluția

Decizie

Fie R raza bazei cilindrului și h nivelul apei turnate în vas. Apoi volumul apei turnate este egal cu volumul unui cilindru cu raza bazei R și înălțimea h. V apă \u003d S principal. · h = \pi R^2\cdot h. Conform condiției, egalitatea 2000=\pi R^2\cdot15 este îndeplinită. De aici, \pi R^2=\frac(2000)(15)=\frac(400)(3).

Fie H nivelul apei din vas după ce elementul este scufundat în el. Apoi volumul total de apă și piesa este egal cu volumul unui cilindru cu raza bazei R și înălțimea H. Prin condiția H=h+9=15+9=24. Deci V apa + detalii = \pi R^2\cdot H=\frac(400)(3)\cdot24=3200. Prin urmare, V părți = V apă + părți − V apă = 3200-2000=1200.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Cilindru

Condiție

Aflați înălțimea unui cilindru dacă raza bazei lui este 8 și aria suprafeței sale laterale este 96\pi.

Afișează soluția

Decizie

S=2\pi rh,

96\pi=2\pi\cdot8h,

h=\frac(96\pi)(16\pi)=6.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2016. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Cilindru

Condiție

500 de metri cubi au fost turnați într-un vas cilindric. vezi apa. Determinați volumul piesei complet scufundate în apă dacă, după scufundare, nivelul lichidului a crescut de 1,2 ori. Exprimați-vă răspunsul în cub. cm.

Afișează soluția

Decizie

Fie V 1 volumul inițial de lichid din cilindru. După ce piesa a fost scufundată, volumul de lichid a crescut de 1,2 ori, ceea ce înseamnă că volumul final de lichid este V 2 = 1,2 V 1. Volumul piesei este egal cu diferența dintre volumele înainte și după imersare, ceea ce înseamnă V = V_2-V_1=1,2\cdot 500-500=100 cub cm.

Răspuns

Când un lichid este revărsat, volumul său inițial nu se modifică, adică: V 1 \u003d V 2, ceea ce înseamnă că egalitatea este adevărată: \pi\left(\frac(d_1)(2)\right)^2h_1=\pi\left(\frac(3d_1)(2)\right)^2h_2

Înlocuiți valorile din condiție, simplificați expresia și găsiți înălțimea dorită a lichidului celui de-al doilea vas h 2:

\pi \enspace\frac(d_1^(2))(4)\enspace 63=\pi \enspace\frac(9d_1^(2))(4)\enspace h_2

\frac(63)(4)=\frac(9)(4)h_2

h_2=\frac(63)(9)=7