Trigonometric. Modulul și argumentul unui număr complex

Numere complexe

Imaginar Și numere complexe. Abscisa si ordonata

număr complex. Conjugați numere complexe.

Operații cu numere complexe. Geometric

reprezentarea numerelor complexe. Plan complex.

Modulul și argumentul unui număr complex. Trigonometric

formă de număr complex. Operatii cu complexe

numere în formă trigonometrică. formula lui Moivre.

Informații de bază despre imaginar Și numere complexe sunt date în secțiunea „Numere imaginare și complexe”. Necesitatea acestor numere de tip nou a apărut la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru acest cazD< 0 (здесь D– discriminant al unei ecuații pătratice). Multă vreme, aceste numere nu și-au găsit aplicație fizică, motiv pentru care au fost numite numere „imaginare”. Cu toate acestea, acum ele sunt foarte utilizate pe scară largă în diferite domenii ale fizicii.

și tehnologie: inginerie electrică, hidro- și aerodinamică, teoria elasticității etc.

Numere complexe sunt scrise sub forma:a+bi. Aici AȘi b – numere reale , A i – unitate imaginară, adică e. i 2 = –1. Număr A numit abscisă,A b – ordonatănumăr complexa + bi.Două numere complexea+biȘi a–bi sunt numite conjuga numere complexe.

Principalele acorduri:

1. Număr realApoate fi scris și sub formănumăr complex:a+ 0 i sau A - 0 i. De exemplu, înregistrează 5 + 0iși 5-0 iînseamnă același număr 5 .

2. Numărul complex 0 + binumit pur imaginar număr. Recordbiînseamnă la fel ca 0 + bi.

3. Două numere complexea+bi Șic + disunt considerate egale dacăa = cȘi b = d. In caz contrar numerele complexe nu sunt egale.

Plus. Suma numerelor complexea+biȘi c + dise numește număr complex (a+c ) + (b+d ) i.Prin urmare, la adăugarea numerele complexe, abscisele și ordonatele lor sunt adăugate separat.

Această definiție corespunde regulilor pentru operațiile cu polinoame obișnuite.

Scădere. Diferența a două numere complexea+bi(diminuat) și c + di(subtraend) se numește număr complex (a–c ) + (b–d ) i.

Prin urmare, La scăderea a două numere complexe, abscisele și ordonatele lor se scad separat.

Multiplicare. Produsul numerelor complexea+biȘi c + di se numeste numar complex:

(ac–bd ) + (ad+bc ) i.Această definiție rezultă din două cerințe:

1) numere a+biȘi c + ditrebuie înmulțit ca algebric binoame,

2) număr iare principala proprietate:i 2 = – 1.

EXEMPLU ( a+ bi )(a–bi) = a 2 + b 2 . Prin urmare, muncă

două numere complexe conjugate este egală cu realul

un număr pozitiv.

Divizia. Împărțiți un număr complexa+bi (divizibil) cu altulc + di(divizor) - înseamnă a găsi al treilea număre + f i(chat), care atunci când este înmulțit cu un divizorc + di, rezultă dividendula + bi.

Dacă divizorul nu este zero, împărțirea este întotdeauna posibilă.

EXEMPLU Găsiți (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Soluție. Să rescriem acest raport ca o fracție:

Înmulțind numărătorul și numitorul cu 2 + 3i

ȘI După ce am efectuat toate transformările, obținem:

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numerele reale sunt reprezentate prin puncte de pe dreapta numerică:

Aici este ideea Aînseamnă numărul –3, punctB– numărul 2 și O- zero. În schimb, numerele complexe sunt reprezentate prin puncte pe planul de coordonate. În acest scop, alegem coordonate dreptunghiulare (carteziane) cu aceleași scale pe ambele axe. Apoi numărul complexa+bi va fi reprezentat printr-un punct P cu abscisă a si ordonata b (Vezi poza). Acest sistem de coordonate este numit plan complex .

Modul număr complex este lungimea vectoruluiOP, reprezentând un număr complex pe coordonata ( cuprinzătoare) avion. Modulul unui număr complexa+bi notat | a+bi| sau scrisoare r

Un număr complex este un număr de forma z =x + i * y, unde x și y sunt reale numereși i = unitate imaginară (adică un număr al cărui pătrat este -1). Pentru a defini conceptul argument cuprinzătoare numere, este necesar să se ia în considerare un număr complex pe plan complex în sistemul de coordonate polare.

Instrucțiuni

Planul pe care sunt reprezentate complexe complexe numere, se numește complex. Pe acest plan, axa orizontală este ocupată de real numere(x), iar axa verticală este imaginară numere(y). Pe un astfel de plan, numărul este dat de două coordonate z = (x, y). În sistemul de coordonate polare, coordonatele unui punct sunt modulul și argumentul. Modulul este distanța |z| de la un punct la origine. Argumentul este unghiul dintre vectorul care leagă punctul și originea și axa orizontală a sistemului de coordonate (vezi figura).

Figura arată că modulul complex numere z = x + i * y se găsește folosind teorema lui Pitagora: |z| = ? (x^2 + y^2). Următorul argument numere z se găsește ca unghi ascuțit al unui triunghi - prin valorile funcțiilor trigonometrice sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x / ? (x^2 + y^2),
tg = y/x.

De exemplu, să fie dat numărul z = 5 * (1 + ?3 * i). În primul rând, selectați părțile reale și imaginare: z = 5 +5 * ?3 * i. Rezultă că partea reală este x = 5, iar partea imaginară este y = 5 * ?3. Calculați modulul numere: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Apoi, găsiți sinusul unghiului: sin = 5 / 10 = 1 / 2. Acest lucru dă argumentul numere z este egal cu 30°.

Exemplul 2. Fie dat numărul z = 5 * i. Figura arată că unghiul = 90°. Verificați această valoare folosind formula dată mai sus. Notați coordonatele acestuia numere pe plan complex: z = (0, 5). Modul numere|z| = 5. Tangenta unghiului tg = 5 / 5 = 1. Rezultă că = 90°.

Exemplul 3. Să fie necesar să găsim argumentul sumei a două numere complexe z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Conform regulilor de adăugare, adăugați aceste două complexe numere: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Apoi, folosind diagrama de mai sus, calculați argumentul: tg = 9 / 3 = 3.

Care reprezintă un număr complex dat $z=a+bi$ se numește modulul numărului complex dat.

Modulul unui număr complex dat se calculează folosind următoarea formulă:

Exemplul 1

Calculați modulul numerelor complexe date $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Calculăm modulul unui număr complex $z=a+bi$ folosind formula: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Pentru numărul complex original $z_(1) =13$ obținem $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

Pentru numărul complex original $\, z_(2) =4i$ obținem $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Pentru numărul complex original $\, z_(3) =4+3i$ obținem $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definiția 2

Unghiul $\varphi $ format din direcția pozitivă a axei reale și vectorul rază $\overrightarrow(OM) $, care corespunde unui număr complex dat $z=a+bi$, se numește argumentul acestui număr și se notează cu $\arg z$.

Nota 1

Modulul și argumentul unui număr complex dat sunt utilizate în mod explicit atunci când se reprezintă un număr complex în formă trigonometrică sau exponențială:

$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - formă trigonometrică;
$z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - formă exponențială.

Exemplul 2

Scrieţi un număr complex în forme trigonometrice şi exponenţiale, dat de următoarele date: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Înlocuiți datele $r=3;\varphi =\pi $ în formulele corespunzătoare și obțineți:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - formă trigonometrică

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - formă exponențială.

2) Înlocuiți datele $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ în formulele corespunzătoare și obțineți:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - formă trigonometrică

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - formă exponențială.

Exemplul 3

Determinați modulul și argumentul numerelor complexe date:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Vom găsi modulul și argumentul folosind formule pentru scrierea unui număr complex dat în forme trigonometrice și, respectiv, exponențiale

\ \

1) Pentru numărul complex original $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ obținem $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Pentru numărul complex inițial $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ avem obţine $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Pentru numărul complex inițial $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ obținem $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Pentru numărul complex original $z=13\cdot e^(i\pi ) $ obținem $r=13;\varphi =\pi $.

Argumentul $\varphi $ al unui număr complex dat $z=a+bi$ poate fi calculat folosind următoarele formule:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

În practică, pentru a calcula valoarea argumentului unui număr complex dat $z=a+bi$, se utilizează de obicei formula:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi,a

sau rezolvarea unui sistem de ecuații

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(matrice)\right. $. (**)

Exemplul 4

Calculaţi argumentul numerelor complexe date: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Deoarece $z=3$, atunci $a=3,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Deoarece $z=4i$, atunci $a=0,b=4$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Deoarece $z=1+i$, atunci $a=1,b=1$. Să calculăm argumentul numărului complex original prin rezolvarea sistemului (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(matrice)\right. .\]

Din cursul de trigonometrie se știe că $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ pentru unghiul corespunzător primului sfert de coordonate și egal cu $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Deoarece $z=-5$, atunci $a=-5,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Deoarece $z=-2i$, atunci $a=0,b=-2$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Nota 2

Numărul $z_(3)$ este reprezentat de punctul $(0;1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(2) $ conform Notei 3.

Numărul $z_(4)$ este reprezentat de punctul $(0;-1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ conform Notei 3.

Numărul $z_(5) $ este reprezentat de punctul $(2;2)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, i.e. $r=2\sqrt(2) $, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(4) $ prin proprietatea unui triunghi dreptunghic.