Cunoştinţe funcții elementare de bază, proprietățile și graficele lor nu mai puțin important decât cunoașterea tablei înmulțirii. Sunt ca o fundație, totul se bazează pe ele, totul este construit din ele și totul se reduce la ei.

În acest articol, enumerăm toate funcțiile elementare principale, le dăm graficele și le dăm fără derivații și demonstrații. proprietăţile funcţiilor elementare de bază conform schemei:

• comportamentul funcției la limitele domeniului de definiție, asimptote verticale (dacă este necesar, vezi articolul clasificarea punctelor de rupere ale unei funcții);
• par si impar;
• intervale de convexitate (convexitate în sus) și concavitate (convexitate în jos), puncte de inflexiune (dacă este necesar, vezi funcția articolului convexitate, direcție de convexitate, puncte de inflexiune, convexitate și condiții de inflexiune);
• asimptote oblice și orizontale;
• puncte singulare de funcții;
• proprietăți speciale ale unor funcții (de exemplu, cea mai mică perioadă pozitivă pentru funcțiile trigonometrice).

Dacă sunteți interesat de sau, atunci puteți merge la aceste secțiuni ale teoriei.

Funcții elementare de bază sunt: ​​funcția constantă (constantă), rădăcina gradului al n-lea, funcția de putere, funcția exponențială, funcția logaritmică, funcțiile trigonometrice și trigonometrice inverse.

Navigare în pagină.

Funcție permanentă.

O funcție constantă este dată pe mulțimea tuturor numerelor reale prin formula , unde C este un număr real. Funcția constantă atribuie fiecărei valori reale a variabilei independente x aceeași valoare a variabilei dependente y - valoarea С. O funcție constantă se mai numește și constantă.

Graficul unei funcții constante este o dreaptă paralelă cu axa x și care trece printr-un punct cu coordonatele (0,C) . De exemplu, să arătăm grafice ale funcțiilor constante y=5 , y=-2 și , care în figura de mai jos corespund liniilor negre, roșii și, respectiv, albastre.

Proprietățile unei funcții constante.

• Domeniul definiției: întregul set de numere reale.
• Funcția constantă este pară.
• Interval de valori: set format dintr-un singur număr C .
• O funcție constantă este necrescătoare și nedescrescătoare (de aceea este constantă).
• Nu are sens să vorbim despre convexitatea și concavitatea constantei.
• Nu există asimptotă.
• Funcția trece prin punctul (0,C) al planului de coordonate.

Rădăcina gradului al n-lea.

Luați în considerare funcția elementară de bază, care este dată de formula , unde n este un număr natural mai mare decât unu.

Rădăcina gradului al n-lea, n este un număr par.

Să începem cu a n-a funcție rădăcină pentru valorile pare ale exponentului rădăcină n .

De exemplu, oferim o imagine cu imagini cu grafice ale funcțiilor și , acestea corespund liniilor negre, roșii și albastre.

Graficele funcțiilor rădăcinii unui grad par au o formă similară pentru alte valori ale indicatorului.

Proprietățile rădăcinii gradului al n-lea pentru n chiar.

Rădăcina gradului al n-lea, n este un număr impar.

Funcția rădăcină de gradul al n-lea cu un exponent impar al rădăcinii n este definită pe întregul set de numere reale. De exemplu, prezentăm grafice ale funcțiilor și , curbele negre, roșii și albastre le corespund.

Pentru alte valori impare ale exponentului rădăcină, graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietățile rădăcinii gradului al n-lea pentru n impar.

Funcția de putere.

Funcția de putere este dată de o formulă de forma .

Luați în considerare tipul de grafice ale unei funcții de putere și proprietățile unei funcții de putere în funcție de valoarea exponentului.

Să începem cu o funcție de putere cu un exponent întreg a . În acest caz, forma graficelor funcțiilor de putere și proprietățile funcțiilor depind de exponentul par sau impar, precum și de semnul acestuia. Prin urmare, luăm în considerare mai întâi funcțiile de putere pentru valorile pozitive impare ale exponentului a , apoi pentru cele par pozitive, apoi pentru exponenții negativi impari și, în final, pentru negativul par a .

Proprietățile funcțiilor de putere cu exponenți fracționali și iraționali (precum și tipul de grafice ale acestor funcții de putere) depind de valoarea exponentului a. Le vom lua în considerare, în primul rând, când a este de la zero la unu, în al doilea rând, când a este mai mare decât unu, în al treilea rând, când a este de la minus unu la zero și, în al patrulea rând, când a este mai mic decât minus unu.

În încheierea acestei subsecțiuni, de dragul caracterului complet, descriem o funcție de putere cu exponent zero.

Funcția de putere cu exponent pozitiv impar.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent pozitiv impar, adică cu a=1,3,5,... .

Figura de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie, - linie verde. Pentru a=1 avem funcție liniară y=x.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent pozitiv impar.

Funcție de putere cu exponent pozitiv chiar.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent pozitiv par, adică pentru a=2,4,6,… .

Ca exemplu, să luăm grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie. Pentru a=2 avem o funcție pătratică al cărei grafic este parabolă pătratică.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent pozitiv par.

Funcția de putere cu un exponent negativ impar.

Priviți graficele funcției exponențiale pentru valori negative impare ale exponentului, adică pentru un \u003d -1, -3, -5, ....

Figura prezintă grafice ale funcțiilor exponențiale ca exemple - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie, - linie verde. Pentru a=-1 avem proporționalitate inversă, al cărui grafic este hiperbolă.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ impar.

Funcția de putere cu un exponent negativ egal.

Să trecem la funcția de putere la a=-2,-4,-6,….

Figura prezintă grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent negativ par.

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional a cărui valoare este mai mare decât zero și mai mică decât unu.

Notă! Dacă a este o fracție pozitivă cu un numitor impar, atunci unii autori consideră intervalul ca fiind domeniul funcției de putere. În același timp, se prevede că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcțiile de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera la o astfel de vedere, adică vom considera că domeniile funcțiilor de putere cu exponenți pozitivi fracționari sunt mulțimea . Încurajăm studenții să obțină perspectiva profesorului dumneavoastră asupra acestui punct subtil pentru a evita dezacordul.

Se consideră o funcție de putere cu exponent rațional sau irațional a și .

Prezentăm grafice ale funcțiilor de putere pentru a=11/12 (linia neagră), a=5/7 (linia roșie), (linia albastră), a=2/5 (linia verde).

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional non-întreg mai mare decât unu.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional neîntreger a și .

Să prezentăm graficele funcțiilor de putere date de formule (linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi).

>

Pentru alte valori ale exponentului a , graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietățile funcției de putere pentru .

O funcție de putere cu un exponent real care este mai mare decât minus unu și mai mic decât zero.

Notă! Dacă a este o fracție negativă cu un numitor impar, atunci unii autori iau în considerare intervalul . În același timp, se prevede că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcțiile de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera doar la o astfel de vedere, adică vom considera că domeniile funcțiilor de putere cu exponenți negativi fracționali fracționali sunt, respectiv, mulțimea. Încurajăm studenții să obțină perspectiva profesorului dumneavoastră asupra acestui punct subtil pentru a evita dezacordul.

Trecem la funcția de putere , unde .

Pentru a avea o idee bună despre tipul de grafice ale funcțiilor de putere pentru , dăm exemple de grafice ale funcțiilor (curbe negru, roșu, albastru și, respectiv, verde).

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent a , .

O funcție de putere cu un exponent real neîntreger care este mai mic de minus unu.

Să dăm exemple de grafice ale funcțiilor de putere pentru , acestea sunt reprezentate în linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ non-întreg mai mic decât minus unu.

Când a=0 și avem o funcție - aceasta este o linie dreaptă din care punctul (0; 1) este exclus (expresia 0 0 a fost de acord să nu acorde nicio importanță).

Functie exponentiala.

Una dintre funcțiile elementare de bază este funcția exponențială.

Graficul funcției exponențiale, unde și ia o formă diferită în funcție de valoarea bazei a. Să ne dăm seama.

În primul rând, luați în considerare cazul în care baza funcției exponențiale ia o valoare de la zero la unu, adică .

De exemplu, prezentăm graficele funcției exponențiale pentru a = 1/2 - linia albastră, a = 5/6 - linia roșie. Graficele funcției exponențiale au un aspect similar pentru alte valori ale bazei din intervalul .

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mică de unu.

Ne întoarcem la cazul când baza funcției exponențiale este mai mare decât unu, adică .

Ca o ilustrare, prezentăm grafice ale funcțiilor exponențiale - linia albastră și - linia roșie. Pentru alte valori ale bazei, mai mari decât unu, graficele funcției exponențiale vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mare decât unu.

Funcția logaritmică.

Următoarea funcție elementară de bază este funcția logaritmică, unde , . Funcția logaritmică este definită numai pentru valorile pozitive ale argumentului, adică pentru .

Graficul funcției logaritmice ia o formă diferită în funcție de valoarea bazei a.

Coordonata oricărui punct din plan este determinată de cele două valori ale sale: de-a lungul axei absciselor și a axei ordonatelor. Totalitatea mulțimii de astfel de puncte este graficul funcției. Potrivit acesteia, puteți vedea cum se modifică valoarea lui Y în funcție de modificarea valorii lui X. Puteți determina, de asemenea, în ce secțiune (interval) funcția crește și în care scade.

Instruire

• Ce se poate spune despre o funcție dacă graficul ei este o linie dreaptă? Vedeți dacă această linie trece prin originea coordonatelor (adică cea în care valorile X și Y sunt 0). Dacă trece, atunci o astfel de funcție este descrisă de ecuația y = kx. Este ușor de înțeles că cu cât valoarea lui k este mai mare, cu atât această linie va fi mai aproape de axa y. Și axa Y în sine corespunde de fapt unei valori infinit de mare a lui k.
• Uită-te la direcția funcției. Dacă merge „stânga jos - dreapta sus”, adică prin sferturile de coordonate 3 și 1, este în creștere, dar dacă „stânga sus - dreapta jos” (prin sferturile 2 și 4), atunci scade.
• Când linia nu trece prin origine, este descrisă de ecuația y = kx + b. Linia intersectează axa y în punctul în care y = b, iar valoarea lui y poate fi fie pozitivă, fie negativă.
• O funcție se numește parabolă dacă este descrisă de ecuația y = x^n, iar forma ei depinde de valoarea lui n. Dacă n este orice număr par (cel mai simplu caz este o funcție pătratică y = x^2), graficul funcției este o curbă care trece prin punctul de origine, precum și prin puncte cu coordonatele (1; 1), (- 1; 1), pentru o unitate la orice putere va rămâne o unitate. Toate valorile y care corespund oricăror valori X diferite de zero pot fi numai pozitive. Funcția este simetrică față de axa Y, iar graficul său este situat în sferturile de coordonate 1 și 2. Se poate înțelege cu ușurință că cu cât valoarea lui n este mai mare, cu atât graficul va fi mai aproape de axa Y.
• Dacă n este un număr impar, graficul acestei funcții este o parabolă cubică. Curba este situată în sferturile 1 și 3 de coordonate, este simetrică față de axa Y și trece prin origine, precum și prin punctele (-1;-1), (1;1). Când funcția pătratică este ecuația y = ax^2 + bx + c, forma parabolei este aceeași ca în cazul cel mai simplu (y = x^2), dar vârful ei nu este la origine.
• O funcție se numește hiperbolă dacă este descrisă de ecuația y = k/x. Este ușor de observat că pe măsură ce valoarea lui x tinde spre 0, valoarea lui y crește la infinit. Graficul funcției este o curbă formată din două ramuri și situate în sferturi de coordonate diferite.

Acest material metodologic este doar pentru referință și acoperă o gamă largă de subiecte. Articolul oferă o prezentare generală a graficelor principalelor funcții elementare și ia în considerare cea mai importantă problemă - cum să construiți corect și RAPID un grafic. În cursul studierii matematicii superioare fără a cunoaște graficele funcțiilor elementare de bază, va fi dificil, așa că este foarte important să ne amintim cum arată graficele unei parabole, hiperbole, sinus, cosinus etc., pentru a ne aminti câteva valorile funcției. Vom vorbi și despre câteva proprietăți ale principalelor funcții.

Nu mă pretind a fi materiale complete și temeinice din punct de vedere științific, accentul va fi pus, în primul rând, pe practică - acele lucruri cu care trebuie să te confrunți literalmente la fiecare pas, în orice subiect de matematică superioară. Grafice pentru manechine? Se poate spune si asa.

La cererea populară din partea cititorilor cuprins pe care se poate face clic:

În plus, există un rezumat ultra-scurt pe această temă
– stăpânește 16 tipuri de diagrame studiind șase pagini!

Serios, șase, chiar și eu am fost surprins. Acest rezumat conține grafică îmbunătățită și este disponibil pentru o taxă nominală, poate fi vizualizată o versiune demo. Este convenabil să imprimați fișierul, astfel încât graficele să fie întotdeauna la îndemână. Mulțumim pentru susținerea proiectului!

Și începem imediat:

Cum să construiți corect axele de coordonate?

În practică, testele sunt aproape întotdeauna întocmite de către elevi în caiete separate, aliniate într-o cușcă. De ce ai nevoie de marcaje în carouri? La urma urmei, munca, în principiu, se poate face pe coli A4. Și cușca este necesară doar pentru designul de înaltă calitate și precis al desenelor.

Orice desen al unui grafic al funcției începe cu axe de coordonate.

Desenele sunt bidimensionale și tridimensionale.

Să luăm mai întâi în considerare cazul bidimensional Sistemul de coordonate carteziene:

1) Desenăm axe de coordonate. Axa se numește axa x , și axa axa y . Întotdeauna încercăm să le desenăm îngrijită și nu strâmbă. De asemenea, săgețile nu ar trebui să semene cu barba lui Papa Carlo.

2) Semnăm axele cu majuscule „x” și „y”. Nu uitați să semnați topoarele.

3) Setați scara de-a lungul axelor: trage zero și doi unu. Când faceți un desen, scara cea mai convenabilă și obișnuită este: 1 unitate = 2 celule (desenul din stânga) - rămâneți de ea dacă este posibil. Totuși, din când în când se întâmplă ca desenul să nu încapă pe o foaie de caiet - atunci reducem scara: 1 unitate = 1 celulă (desen din dreapta). Rareori, dar se întâmplă ca scara desenului să fie redusă (sau mărită) și mai mult

NU mâzgăliți dintr-o mitralieră... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Căci planul de coordonate nu este un monument al lui Descartes, iar elevul nu este un porumbel. Am pus zeroși două unități de-a lungul axelor. Uneori în loc de unități, este convenabil să „detecți” alte valori, de exemplu, „două” pe axa absciselor și „trei” pe axa ordonatelor - și acest sistem (0, 2 și 3) va seta, de asemenea, grila de coordonate în mod unic.

Este mai bine să estimați dimensiunile estimate ale desenului ÎNAINTE de a fi desenat desenul.. Deci, de exemplu, dacă sarcina necesită desenarea unui triunghi cu vârfuri , , , atunci este destul de clar că scara populară 1 unitate = 2 celule nu va funcționa. De ce? Să ne uităm la subiect - aici trebuie să măsori cincisprezece centimetri în jos și, evident, desenul nu se va potrivi (sau abia se va potrivi) pe o foaie de caiet. Prin urmare, selectăm imediat o scară mai mică 1 unitate = 1 celulă.

Apropo, despre centimetri și celule de notebook. Este adevărat că sunt 15 centimetri în 30 de celule de notebook? Măsoară într-un caiet pentru dobândă 15 centimetri cu o riglă. În URSS, poate că acest lucru a fost adevărat ... Este interesant de remarcat că dacă măsurați acești centimetri pe orizontală și pe verticală, atunci rezultatele (în celule) vor fi diferite! Strict vorbind, caietele moderne nu sunt în carouri, ci dreptunghiulare. Poate părea o prostie, dar desenarea, de exemplu, a unui cerc cu o busolă în astfel de situații este foarte incomod. Sincer să fiu, în astfel de momente începi să te gândești la corectitudinea tovarășului Stalin, care a fost trimis în lagăre pentru muncă de hack în producție, ca să nu mai vorbim de industria auto autohtonă, căderea avioanelor sau exploziile centralelor electrice.

Apropo de calitate, sau o scurtă recomandare de papetărie. Până în prezent, majoritatea caietelor puse în vânzare, fără să spună cuvinte rele, sunt complet spiriduși. Din motivul că se udă, și nu numai de la pixurile cu gel, ci și de la pixurile cu bilă! Economisiți pe hârtie. Pentru proiectarea testelor, recomand să folosiți caietele fabricii de celuloză și hârtie din Arkhangelsk (18 coli, celulă) sau Pyaterochka, deși este mai scump. Este indicat să alegeți un pix cu gel, chiar și cea mai ieftină reumplere chinezească cu gel este mult mai bună decât un pix, care fie untează, fie rupe hârtia. Singurul pix „competitiv” din memoria mea este Erich Krause. Ea scrie clar, frumos și stabil - fie cu tulpina plină, fie cu una aproape goală.

În plus: viziunea unui sistem de coordonate dreptunghiular prin ochii geometriei analitice este acoperită în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorială, informații detaliate despre sferturile de coordonate pot fi găsite în al doilea paragraf al lecției Inegalități liniare.

carcasă 3D

Aici este aproape la fel.

1) Desenăm axe de coordonate. Standard: aplica axa – îndreptat în sus, ax – îndreptat spre dreapta, ax – în jos spre stânga strict la un unghi de 45 de grade.

2) Semnăm axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor. Scala de-a lungul axei - de două ori mai mică decât scara de-a lungul celorlalte axe. De asemenea, rețineți că, în desenul din dreapta, am folosit un "serif" non-standard de-a lungul axei (această posibilitate a fost deja menționată mai sus). Din punctul meu de vedere, este mai precis, mai rapid și mai plăcut din punct de vedere estetic - nu trebuie să căutați mijlocul celulei la microscop și să „sculptați” unitatea până la origine.

Când faceți din nou un desen 3D - acordați prioritate la scară
1 unitate = 2 celule (desen din stânga).

Pentru ce sunt toate aceste reguli? Regulile sunt acolo pentru a fi încălcate. Ce am de gând să fac acum. Cert este că desenele ulterioare ale articolului vor fi făcute de mine în Excel, iar axele de coordonate vor arăta incorect în ceea ce privește designul adecvat. Aș putea desena toate graficele cu mâna, dar este foarte înfricoșător să le desenezi, deoarece Excel este reticent să le deseneze mult mai precis.

Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare

Funcția liniară este dată de ecuația . Graficul funcției liniare este direct. Pentru a construi o linie dreaptă este suficient să cunoaștem două puncte.

Exemplul 1

Trasează funcția. Să găsim două puncte. Este avantajos să alegeți zero ca unul dintre puncte.

Daca atunci

Luăm un alt punct, de exemplu, 1.

Daca atunci

La pregătirea sarcinilor, coordonatele punctelor sunt de obicei rezumate într-un tabel:

Și valorile însele sunt calculate oral sau pe o schiță, calculator.

S-au găsit două puncte, să desenăm:

Când întocmim un desen, semnăm întotdeauna grafica.

Nu va fi de prisos să amintim cazuri speciale ale unei funcții liniare:

Observați cum am plasat legendele, semnăturile nu trebuie să fie ambigue atunci când studiați desenul. În acest caz, a fost foarte nedorit să se pună o semnătură lângă punctul de intersecție al liniilor sau în dreapta jos între grafice.

1) O funcție liniară de forma () se numește proporționalitate directă. De exemplu, . Graficul de proporționalitate directă trece întotdeauna prin origine. Astfel, construcția unei linii drepte este simplificată - este suficient să găsiți un singur punct.

2) O ecuație de formă definește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției se construiește imediat, fără a găsi niciun punct. Adică, intrarea trebuie înțeleasă după cum urmează: „y este întotdeauna egal cu -4, pentru orice valoare a lui x”.

3) O ecuație de formă definește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este de asemenea construit imediat. Intrarea ar trebui să fie înțeleasă după cum urmează: „x este întotdeauna, pentru orice valoare a lui y, egal cu 1”.

Unii se vor întreba, ei bine, de ce să-ți amintești de clasa a VI-a?! Așa este, poate așa, doar în anii de practică am întâlnit o duzină bună de studenți care au fost derutați de sarcina de a construi un grafic ca sau .

Desenarea unei linii drepte este cea mai comună acțiune atunci când faceți desene.

Linia dreaptă este discutată în detaliu în cursul geometriei analitice, iar cei care doresc pot consulta articolul Ecuația unei drepte pe un plan.

Graficul funcției patratice, graficul funcției cubice, graficul polinomial

Parabolă. Graficul unei funcții pătratice () este o parabolă. Luați în considerare celebrul caz:

Să ne amintim câteva proprietăți ale funcției.

Deci, soluția ecuației noastre: - în acest punct se află vârful parabolei. De ce este așa poate fi învățat din articolul teoretic despre derivată și din lecția despre extremele funcției. Între timp, calculăm valoarea corespunzătoare a lui „y”:

Deci vârful este în punct

Acum găsim alte puncte, în timp ce folosim cu nerăbdare simetria parabolei. Trebuie remarcat faptul că funcția – nu este chiar, dar, cu toate acestea, nimeni nu a anulat simetria parabolei.

În ce ordine să găsim punctele rămase, cred că va fi clar din masa finală:

Acest algoritm de construcție poate fi numit figurativ „navetă” sau principiul „înainte și înapoi” cu Anfisa Cehova.

Hai sa facem un desen:

Din graficele luate în considerare, îmi vine în minte o altă caracteristică utilă:

Pentru o funcție pătratică () următoarele este adevărată:

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

Cunoașterea aprofundată a curbei poate fi obținută la lecția Hiperbola și parabolă.

Parabola cubică este dată de funcția . Iată un desen cunoscut de la școală:

Enumerăm principalele proprietăți ale funcției

Graficul funcției

Reprezintă una dintre ramurile parabolei. Hai sa facem un desen:

Principalele proprietăți ale funcției:

În acest caz, axa este asimptotă verticală pentru graficul hiperbolei la .

Va fi o MARE greșeală dacă, la întocmirea unui desen, din neglijență, vei permite graficului să se intersecteze cu asimptota.

De asemenea, limite unilaterale, spune-ne că o hiperbolă nelimitat de susși nelimitat de jos.

Să explorăm funcția la infinit: adică dacă începem să ne mișcăm de-a lungul axei la stânga (sau la dreapta) la infinit, atunci „jocurile” vor fi un pas subțire infinit de aproape se apropie de zero și, în consecință, de ramurile hiperbolei infinit de aproape se apropie de ax.

Deci axa este asimptotă orizontală pentru graficul funcției, dacă „x” tinde spre plus sau minus infinit.

Funcția este ciudat, ceea ce înseamnă că hiperbola este simetrică față de origine. Acest fapt este evident din desen, în plus, poate fi ușor verificat analitic: .

Graficul unei funcții de forma () reprezintă două ramuri ale unei hiperbole.

Dacă , atunci hiperbola este situată în primul și al treilea cadran de coordonate(vezi poza de mai sus).

Dacă , atunci hiperbola este situată în al doilea și al patrulea cadran de coordonate.

Nu este dificil de analizat regularitatea specificată a locului de reședință al hiperbolei din punctul de vedere al transformărilor geometrice ale graficelor.

Exemplul 3

Construiți ramura dreaptă a hiperbolei

Folosim metoda de construcție punctual, în timp ce este avantajos să selectăm valorile astfel încât să se împartă complet:

Hai sa facem un desen:

Nu va fi dificil să construiți ramura stângă a hiperbolei, aici ciudatenia funcției va ajuta doar. În linii mari, în tabelul de construcție punctual, adăugați mental un minus fiecărui număr, puneți punctele corespunzătoare și desenați a doua ramură.

Informații geometrice detaliate despre linia considerată pot fi găsite în articolul Hiperbolă și parabolă.

Graficul unei funcții exponențiale

În acest paragraf, voi lua în considerare imediat funcția exponențială, deoarece în problemele de matematică superioară în 95% din cazuri este exponentul care apare.

Vă reamintesc că - acesta este un număr irațional: , acesta va fi necesar la construirea unui grafic, pe care, de fapt, îl voi construi fără ceremonie. Trei puncte sunt probabil suficiente:

Să lăsăm graficul funcției deocamdată, despre asta mai târziu.

Principalele proprietăți ale funcției:

În principiu, graficele funcțiilor arată la fel etc.

Trebuie să spun că al doilea caz este mai puțin frecvent în practică, dar apare, așa că am simțit că este necesar să îl includ în acest articol.

Graficul unei funcții logaritmice

Se consideră o funcție cu logaritm natural.
Să facem un desen în linie:

Dacă ați uitat ce este un logaritm, vă rugăm să consultați manualele școlare.

Principalele proprietăți ale funcției:

Domeniu:

Interval de valori: .

Funcția nu este limitată de mai sus: , deși încet, dar ramura logaritmului urcă până la infinit.
Să examinăm comportamentul funcției aproape de zero din dreapta: . Deci axa este asimptotă verticală pentru graficul funcției cu „x” tinde spre zero în dreapta.

Asigurați-vă că cunoașteți și rețineți valoarea tipică a logaritmului: .

În mod fundamental, graficul logaritmului de la bază arată la fel: , , (logaritmul zecimal la baza 10), etc. În același timp, cu cât baza este mai mare, cu atât graficul va fi mai plat.

Nu vom lua în considerare cazul, nu-mi amintesc ultima dată când am construit un grafic pe o astfel de bază. Da, iar logaritmul pare a fi un invitat foarte rar în problemele de matematică superioară.

În încheierea paragrafului, voi mai spune un fapt: Funcția exponențială și funcția logaritmicăsunt două funcții reciproc inverse. Dacă te uiți îndeaproape la graficul logaritmului, poți vedea că acesta este același exponent, doar că este situat puțin diferit.

Grafice ale funcțiilor trigonometrice

Cum începe chinul trigonometric la școală? Corect. Din sinus

Să diagramăm funcția

Această linie se numește sinusoid.

Vă reamintesc că „pi” este un număr irațional:, iar în trigonometrie orbiește în ochi.

Principalele proprietăți ale funcției:

Această funcție este periodic cu punct. Ce înseamnă? Să ne uităm la tăietură. În stânga și în dreapta acestuia, exact aceeași bucată a graficului se repetă la nesfârșit.

Domeniu: , adică pentru orice valoare a lui „x” există o valoare sinus.

Interval de valori: . Funcția este limitat: , adică toate „jocurile” stau strict în segmentul .
Acest lucru nu se întâmplă: sau, mai exact, se întâmplă, dar aceste ecuații nu au o soluție.

o funcție este o corespondență între elementele a două mulțimi, stabilită după o astfel de regulă încât fiecare element al unei mulțimi să fie asociat cu un element dintr-o altă mulțime.

Graficul unei funcții este locul punctelor din planul căruia abscisele (x) și ordonatele (y) sunt legate prin funcția specificată:

punctul este situat (sau este situat) pe graficul funcției dacă și numai dacă .

Astfel, o funcție poate fi descrisă în mod adecvat prin graficul său.

mod tabelar. Destul de obișnuit, constă în stabilirea unui tabel cu valorile argumentelor individuale și a valorilor funcției corespunzătoare ale acestora. Această metodă de definire a unei funcții este utilizată atunci când domeniul funcției este o mulțime finită discretă.

Cu metoda tabelară de specificare a unei funcții, este posibil să se calculeze aproximativ valorile funcției care nu sunt conținute în tabel, corespunzătoare valorilor intermediare ale argumentului. Pentru a face acest lucru, utilizați metoda de interpolare.

Avantajele metodei tabelare de setare a unei funcții sunt că face posibilă determinarea anumitor valori specifice deodată, fără măsurători sau calcule suplimentare. Cu toate acestea, în unele cazuri, tabelul nu definește complet funcția, ci numai pentru unele valori ale argumentului și nu oferă o reprezentare vizuală a naturii modificării funcției în funcție de modificarea argumentului.

Mod grafic. Graficul funcției y = f(x) este mulțimea tuturor punctelor din plan ale căror coordonate satisfac ecuația dată.

Modul grafic de specificare a unei funcții nu face întotdeauna posibilă determinarea cu precizie a valorilor numerice ale argumentului. Cu toate acestea, are un mare avantaj față de alte metode - vizibilitatea. În inginerie și fizică, o metodă grafică de setare a unei funcții este adesea folosită, iar un grafic este singura modalitate disponibilă pentru aceasta.

Pentru ca atribuirea grafică a unei funcții să fie destul de corectă din punct de vedere matematic, este necesar să se indice construcția geometrică exactă a graficului, care, de cele mai multe ori, este dată de o ecuație. Aceasta conduce la următorul mod de definire a unei funcții.

mod analitic. Cel mai adesea, legea care stabilește o relație între un argument și o funcție este specificată prin intermediul formulelor. Acest mod de a defini o funcție se numește analitic.

Această metodă face posibil ca fiecare valoare numerică a argumentului x să găsească valoarea numerică corespunzătoare a funcției y exact sau cu o oarecare precizie.

Dacă relația dintre x și y este dată de o formulă care se rezolvă în raport cu y, i.e. are forma y = f(x), atunci spunem că funcția lui x este dată explicit.

Dacă valorile x și y sunt legate printr-o ecuație de forma F(x,y) = 0, i.e. formula nu este permisă în raport cu y, ceea ce înseamnă că funcția y = f(x) este implicit definită.

O funcție poate fi definită prin diferite formule în diferite părți ale zonei sale de activitate.

Metoda analitică este cea mai comună modalitate de definire a funcțiilor. Compactitatea, concizia, capacitatea de a calcula valoarea unei funcții pentru o valoare arbitrară a argumentului din domeniul definiției, capacitatea de a aplica aparatul de analiză matematică la o funcție dată sunt principalele avantaje ale metodei analitice de definire a unei funcții. funcţie. Dezavantajele includ lipsa vizibilității, care este compensată de capacitatea de a construi un grafic și nevoia de a efectua calcule uneori foarte greoaie.

mod verbal. Această metodă constă în faptul că dependența funcțională se exprimă în cuvinte.

Exemplul 1: funcția E(x) este partea întreagă a numărului x. În general, E(x) = [x] reprezintă cel mai mare număr întreg care nu depășește x. Cu alte cuvinte, dacă x = r + q, unde r este un număr întreg (poate fi negativ) și q aparține intervalului = r. Funcția E(x) = [x] este constantă pe intervalul = r.

Exemplul 2: funcția y = (x) - parte fracțională a unui număr. Mai precis, y =(x) = x - [x], unde [x] este partea întreagă a numărului x. Această funcție este definită pentru toate x. Dacă x este un număr arbitrar, atunci reprezentându-l ca x = r + q (r = [x]), unde r este un număr întreg și q se află în intervalul .
Vedem că adăugarea n la argumentul x nu schimbă valoarea funcției.
Cel mai mic număr diferit de zero din n este , deci perioada este sin 2x .

Se apelează valoarea argumentului pentru care funcția este egală cu 0 zero (rădăcină) funcții.

O funcție poate avea mai multe zerouri.

De exemplu, funcția y=x(x+1)(x-3) are trei zerouri: x=0, x=-1, x=3.

Geometric, zeroul unei funcții este abscisa punctului de intersecție a graficului funcției cu axa X .

Figura 7 prezintă graficul funcției cu zerouri: x = a, x = b și x = c .

Dacă graficul unei funcții se apropie nelimitat de o anumită dreaptă pe măsură ce se îndepărtează de origine, atunci această linie dreaptă se numește asimptotă.

Funcție inversă

Fie ca funcția y=ƒ(x) să fie dată cu domeniul definiției D și mulțimea de valori E. Dacă fiecare valoare yєE corespunde unei singure valori xєD, atunci funcția x=φ(y) este definită cu domeniul definiției E și setul de valori D (vezi Fig. 102).

O astfel de funcție φ(y) se numește inversa funcției ƒ(x) și se scrie sub următoarea formă: x=j(y)=f -1 (y).Despre funcțiile y=ƒ(x) și x=φ(y) ei spun că sunt reciproc inverse. Pentru a găsi funcția x=φ(y) inversă cu funcția y=ƒ(x), este suficient să rezolvăm ecuația ƒ(x)=y față de x (dacă este posibil).

1. Pentru funcția y \u003d 2x, funcția inversă este funcția x \u003d y / 2;

2. Pentru funcția y \u003d x2 xє, funcția inversă este x \u003d √y; rețineți că pentru funcția y \u003d x 2, dată pe segmentul [-1; 1], nu există invers, deoarece o valoare a lui y corespunde a două valori ale lui x (de exemplu, dacă y=1/4, atunci x1=1/2, x2=-1/2).

Din definiția funcției inverse rezultă că funcția y=ƒ(x) are inversă dacă și numai dacă funcția ƒ(x) definește o corespondență unu-la-unu între mulțimile D și E. Rezultă că orice funcţia strict monotonă are inversă. Mai mult, dacă funcția crește (descrește), atunci și funcția inversă crește (descrește).

Rețineți că funcția y \u003d ƒ (x) și inversul său x \u003d φ (y) sunt reprezentate de aceeași curbă, adică graficele lor coincid. Dacă suntem de acord că, ca de obicei, variabila independentă (adică, argumentul) este notată cu x, iar variabila dependentă cu y, atunci funcția inversă a funcției y \u003d ƒ (x) va fi scrisă ca y \u003d φ (x).

Aceasta înseamnă că punctul M 1 (x o; y o) al curbei y=ƒ(x) devine punctul M 2 (y o; x o) al curbei y=φ(x). Dar punctele M 1 și M 2 sunt simetrice față de linia dreaptă y \u003d x (a se vedea Fig. 103). Prin urmare, graficele funcțiilor reciproc inverse y=ƒ(x) și y=φ(x) sunt simetrice față de bisectoarea primului și al treilea unghi de coordonate.

Funcție complexă

Fie definită funcția y=ƒ(u) pe mulțimea D, iar funcția u= φ(х) pe mulțimea D 1 , iar pentru  x D 1 valoarea corespunzătoare u=φ(x) є D. Atunci pe mulțimea D 1 este definită funcția u=ƒ(φ(x)), care se numește o funcție complexă a lui x (sau o suprapunere de funcții date, sau o funcție a unei funcții).

Variabila u=φ(x) se numește argument intermediar al unei funcții complexe.

De exemplu, funcția y=sin2x este o suprapunere a două funcții y=sinu și u=2x. O funcție complexă poate avea mai multe argumente intermediare.

4. Funcții elementare de bază și grafice ale acestora.

Următoarele funcții sunt numite funcții elementare de bază.

1) Funcția exponențială y \u003d a x, a> 0, a ≠ 1. În fig. 104 prezintă grafice ale funcțiilor exponențiale corespunzătoare diferitelor baze exponențiale.

2) Funcția de putere y=x α , αєR. În figuri sunt oferite exemple de grafice ale funcțiilor de putere corespunzătoare diverșilor exponenți

3) Funcția logaritmică y=log a x, a>0,a≠1; Graficele funcțiilor logaritmice corespunzătoare diferitelor baze sunt prezentate în fig. 106.

4) Funcții trigonometrice y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Graficele funcțiilor trigonometrice au forma prezentată în fig. 107.

5) Funcții trigonometrice inverse y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. Pe fig. 108 prezintă grafice ale funcțiilor trigonometrice inverse.

O funcție dată de o formulă, compusă din funcții elementare de bază și constante folosind un număr finit de operații aritmetice (adunare, scădere, înmulțire, împărțire) și operații de preluare a unei funcții dintr-o funcție, se numește funcție elementară.

Exemple de funcții elementare sunt funcțiile

Exemple de funcții non-elementare sunt funcțiile

5. Concepte ale limitei unei secvenţe şi a unei funcţii. Proprietăți limitate.

Limita functiei (limita functiei) la un punct dat, limitativ pentru domeniul de definire al unei funcții, este o astfel de valoare la care tinde valoarea funcției în cauză atunci când argumentul său tinde către un punct dat.

În matematică limită de secvență elementele unui spațiu metric sau un spațiu topologic este un element al aceluiași spațiu care are proprietatea de a „atrage” elemente dintr-o succesiune dată. Limita unei secvențe de elemente dintr-un spațiu topologic este un astfel de punct, a cărui vecinătate conține toate elementele șirului, pornind de la un anumit număr. Într-un spațiu metric, vecinătățile sunt definite în termeni de funcție de distanță, deci conceptul de limită este formulat în limbajul distanțelor. Din punct de vedere istoric, primul a fost conceptul de limită a unei secvențe numerice, care apare în analiza matematică, unde servește drept bază pentru un sistem de aproximări și este utilizat pe scară largă în construcția calculului diferențial și integral.

Desemnare:

(citit: limita secvenței x-n-a ca tinde spre infinit este a)

Proprietatea unei secvențe de a avea o limită este numită convergenţă: dacă o secvență are o limită, atunci se spune că secvența dată este converge; în caz contrar (dacă secvența nu are limită) se spune că secvența este diverge. Într-un spațiu Hausdorff, și în special într-un spațiu metric, fiecare subsecvență a unei secvențe convergente converge, iar limita sa este aceeași cu limita secvenței inițiale. Cu alte cuvinte, o succesiune de elemente dintr-un spațiu Hausdorff nu poate avea două limite diferite. Se poate, totuși, să se dovedească că șirul nu are limită, dar există o subsecvență (a șirului dat) care are o limită. Dacă orice șir de puncte dintr-un spațiu are o subsecvență convergentă, atunci se spune că spațiul dat are proprietatea compactității secvențiale (sau, pur și simplu, compactității dacă compactitatea este definită exclusiv în termeni de secvențe).

Conceptul de limită a unei secvențe este direct legat de conceptul de punct limită (mulțime): dacă o mulțime are un punct limită, atunci există o secvență de elemente ale mulțimii date care converg către punctul dat.

Definiție

Să fie date un spațiu topologic și o secvență Atunci, dacă există un element astfel încât

unde este o mulţime deschisă care conţine , atunci se numeşte limita secvenţei . Dacă spațiul este metric, atunci limita poate fi definită folosind o metrică: dacă există un element astfel încât

unde este metrica, atunci se numește limită.

· Dacă un spațiu este echipat cu o topologie antidiscretă, atunci limita oricărei secvențe este orice element al spațiului.

6. Limita unei funcții într-un punct. Limite unilaterale.

Funcția unei variabile. Determinarea limitei unei funcții într-un punct după Cauchy. Număr b se numește limita funcției la = f(X) la X lupta pentru A(sau la punctul A) dacă pentru orice număr pozitiv  există un număr pozitiv  astfel încât pentru tot x ≠ a, astfel încât | X – A | < , выполняется неравенство
| f(X) – A | <  .

Determinarea limitei unei funcții într-un punct după Heine. Număr b se numește limita funcției la = f(X) la X lupta pentru A(sau la punctul A) dacă pentru orice secvență ( X n ) convergând către A(aspirând la A, care are un număr limită A), și pentru orice valoare n x n≠ A, succesiune ( y n= f(X n)) converge spre b.

Aceste definiții presupun că funcția la = f(X) este definită într-o vecinătate a punctului A, cu excepția poate chiar a subiectului A.

Definițiile limitei unei funcții într-un punct după Cauchy și după Heine sunt echivalente: dacă numărul b servește drept limită într-una dintre ele, atunci același lucru este valabil și în al doilea.

Limita specificată este indicată după cum urmează:

Din punct de vedere geometric, existența unei limite de funcție într-un punct conform lui Cauchy înseamnă că pentru orice număr  > 0 se poate indica un astfel de dreptunghi pe planul de coordonate cu o bază 2 > 0, o înălțime 2 și un centru la punct ( A; b) că toate punctele graficului acestei funcții de pe intervalul ( A– ; A+ ), cu posibila excepție a punctului M(A; f(A)), se află în acest dreptunghi

Limită unilateralăîn analiza matematică, limita unei funcții numerice, implicând „apropierea” de punctul limită dintr-o parte. Astfel de limite sunt numite respectiv limita din stanga(sau limita stângă) și limita dreapta (limita din dreapta). Să fie dată o funcție numerică pe o mulțime numerică și numărul să fie punctul limită al domeniului de definiție. Există diferite definiții pentru limitele unilaterale ale unei funcții într-un punct, dar toate sunt echivalente.

Universitatea Nationala de Cercetare

Departamentul de Geologie Aplicată

Eseu despre matematica superioară

La subiect: „Funcții elementare de bază,

proprietățile și graficele lor"

Efectuat:

Verificat:

profesor

Definiție. Funcția dată de formula y=a x (unde a>0, a≠1) se numește funcție exponențială cu baza a.

Să formulăm principalele proprietăți ale funcției exponențiale:

1. Domeniul definiției este mulțimea (R) a tuturor numerelor reale.

2. Gama de valori este mulțimea (R+) a tuturor numerelor reale pozitive.

3. Când a > 1, funcția crește pe întreaga linie reală; la 0<а<1 функция убывает.

4. Este o funcție generală.

, pe intervalul xн [-3;3]
, pe intervalul xн [-3;3]

O funcție de forma y(х)=х n , unde n este numărul ОR, se numește funcție de putere. Numărul n poate lua diferite valori: atât întreg cât și fracționar, atât par, cât și impar. În funcție de aceasta, funcția de putere va avea o formă diferită. Luați în considerare cazuri speciale care sunt funcții de putere și reflectă principalele proprietăți ale acestui tip de curbe în următoarea ordine: funcție de putere y \u003d x² (o funcție cu exponent par - o parabolă), o funcție de putere y \u003d x³ (o funcție cu un exponent impar - o parabolă cubică) și funcția y \u003d √ x (x la puterea lui ½) (funcție cu un exponent fracțional), o funcție cu un exponent întreg negativ (hiperbolă).

Funcția de putere y=x²

1. D(x)=R – funcția este definită pe toată axa numerică;

2. E(y)= și crește pe interval

Funcția de putere y=x³

1. Graficul funcției y \u003d x³ se numește parabolă cubică. Funcția de putere y=x³ are următoarele proprietăți:

2. D(x)=R – funcția este definită pe toată axa numerică;

3. E(y)=(-∞;∞) – funcția ia toate valorile din domeniul său de definiție;

4. Când x=0 y=0 – funcția trece prin originea O(0;0).

5. Funcția crește pe întregul domeniu de definiție.

6. Funcția este impară (simetrică față de origine).

, pe intervalul xн [-3;3]

În funcție de factorul numeric din fața lui x³, funcția poate fi abruptă / plată și crește / descrește.

Funcția de putere cu exponent negativ întreg:

Dacă exponentul n este impar, atunci graficul unei astfel de funcții de putere se numește hiperbolă. O funcție de putere cu un exponent întreg negativ are următoarele proprietăți:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) pentru orice n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) dacă n este un număr impar; E(y)=(0;∞) dacă n este un număr par;

3. Funcția scade pe întregul domeniu de definiție dacă n este un număr impar; funcția crește pe intervalul (-∞;0) și scade pe intervalul (0;∞) dacă n este un număr par.

4. Funcția este impară (simetrică față de origine) dacă n este un număr impar; o funcție este par dacă n este un număr par.

5. Funcția trece prin punctele (1;1) și (-1;-1) dacă n este un număr impar și prin punctele (1;1) și (-1;1) dacă n este un număr par.

, pe intervalul xн [-3;3]

Funcția de putere cu exponent fracționar

O funcție de putere cu un exponent fracționar al formei (imagine) are un grafic al funcției prezentate în figură. O funcție de putere cu un exponent fracționar are următoarele proprietăți: (imagine)

1. D(x) нR dacă n este un număr impar și D(x)=
, pe intervalul xн
, pe intervalul xн [-3;3]

Funcția logaritmică y \u003d log a x are următoarele proprietăți:

1. Domeniul definiției D(x)н (0; + ∞).

2. Gama de valori E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funcția nu este nici pară, nici impară (generală).

4. Funcția crește pe intervalul (0; + ∞) pentru a > 1, scade pe (0; + ∞) pentru 0< а < 1.

Graficul funcției y = log a x poate fi obținut din graficul funcției y = a x folosind o transformare de simetrie în jurul dreptei y = x. În Figura 9, este reprezentat un grafic al funcției logaritmice pentru a > 1, iar în Figura 10 - pentru 0< a < 1.

; pe intervalul xО
; pe intervalul xО

Funcțiile y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x se numesc funcții trigonometrice.

Funcțiile y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x sunt impare, iar funcția y \u003d cos x este pară.

Funcția y \u003d sin (x).

1. Domeniul definiției D(x) ОR.

2. Interval de valori E(y) О [ - 1; unu].

3. Funcția este periodică; perioada principală este 2π.

4. Funcția este impară.

5. Funcția crește pe intervalele [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] și scade pe intervalele [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Graficul funcției y \u003d sin (x) este prezentat în Figura 11.