Pentru un studiu complet al funcției și trasarea graficului acesteia, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

1) găsiți domeniul de aplicare al funcției;

2) găsiți punctele de discontinuitate ale funcției și asimptotele verticale (dacă există);

3) investigați comportamentul funcției la infinit, găsiți asimptotele orizontale și oblice;

4) investigați funcția pentru uniformitate (ciudățenie) și pentru periodicitate (pentru funcții trigonometrice);

5) găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției;

6) determinați intervalele de convexitate și puncte de inflexiune;

7) găsiți puncte de intersecție cu axele de coordonate, dacă este posibil, și câteva puncte suplimentare care rafinați graficul.

Studiul funcției se realizează concomitent cu construcția graficului acesteia.

Exemplul 9 Explorează funcția și construiește un grafic.

1. Domeniu de definire: ;

2. Funcția se întrerupe în puncte
,
;

Investigăm funcția pentru prezența asimptotelor verticale.

;
,
─ asimptotă verticală.

;
,
─ asimptotă verticală.

3. Investigăm funcția pentru prezența asimptotelor oblice și orizontale.

Drept
─ asimptotă oblică, dacă
,
.

,
.

Drept
─ asimptotă orizontală.

4. Funcția este chiar pentru că
. Paritatea funcției indică simetria graficului față de axa y.

5. Aflați intervalele de monotonitate și extremele funcției.

Să găsim punctele critice, adică puncte în care derivata este 0 sau nu există:
;
. Avem trei puncte
;

. Aceste puncte împart întreaga axă reală în patru intervale. Să definim semnele pe fiecare dintre ele.

La intervalele (-∞; -1) și (-1; 0) funcția crește, la intervalele (0; 1) și (1; +∞) scade. La trecerea printr-un punct
derivata își schimbă semnul de la plus la minus, prin urmare, în acest moment, funcția are un maxim
.

6. Să găsim intervale de convexitate, puncte de inflexiune.

Să găsim punctele în care este 0 sau nu există.

nu are rădăcini reale.
,
,

puncte
și
împărțiți axa reală în trei intervale. Să definim semnul la fiecare interval.

Astfel, curba pe intervale
și
convex în jos, pe intervalul (-1;1) convex în sus; nu există puncte de inflexiune, deoarece funcția la puncte
și
nespecificat.

7. Aflați punctele de intersecție cu axele.

cu ax
graficul funcției se intersectează în punctul (0; -1), și cu axa
graficul nu se intersectează, deoarece numărătorul acestei funcții nu are rădăcini reale.

Graficul funcției date este prezentat în figura 1.

Figura 1 ─ Graficul funcției

Aplicarea conceptului de derivată în economie. Elasticitatea funcției

Pentru a studia procesele economice și a rezolva alte probleme aplicate, este adesea folosit conceptul de elasticitate a funcției.

Definiție. Elasticitatea funcției
se numește limita raportului incrementului relativ al funcției la incrementul relativ al variabilei la
, . (VII)

Elasticitatea unei funcții arată aproximativ câte procente se va modifica funcția
la modificarea variabilei independente cu 1%.

Elasticitatea unei funcții este utilizată în analiza cererii și a consumului. Dacă elasticitatea cererii (în valoare absolută)
, atunci cererea este considerată elastică dacă
─ neutru dacă
─ inelastic în raport cu prețul (sau venitul).

Exemplul 10 Calculați elasticitatea unei funcții
și găsiți valoarea indicelui de elasticitate pentru = 3.

Rezolvare: conform formulei (VII) elasticitatea functiei:

Fie x=3 atunci
Aceasta înseamnă că dacă variabila independentă crește cu 1%, atunci valoarea variabilei dependente va crește cu 1,42%.

Exemplul 11 Lăsați cererea să funcționeze in ceea ce priveste pretul are forma
, Unde ─ coeficient constant. Aflați valoarea indicelui de elasticitate al funcției cererii la prețul x = 3 den. unitati

Rezolvare: calculați elasticitatea funcției cererii folosind formula (VII)

Presupunând
unități monetare, obținem
. Asta înseamnă că la preț
unitate monetara o crestere a pretului cu 1% va determina o scadere a cererii cu 6%, i.e. cererea este elastică.

Studiul funcției se desfășoară după o schemă clară și solicită elevului să aibă cunoștințe solide ale conceptelor matematice de bază precum domeniul definiției și valorilor, continuitatea funcției, asimptota, punctele extreme, paritatea, periodicitatea, etc. Elevul trebuie să diferențieze liber funcții și să rezolve ecuații, care uneori sunt foarte complicate.

Adică, această sarcină testează un strat semnificativ de cunoștințe, orice decalaj în care va deveni un obstacol în obținerea soluției corecte. Mai ales adesea apar dificultăți în construirea graficelor de funcții. Această greșeală atrage imediat atenția profesorului și îți poate strica foarte mult nota, chiar dacă totul a fost făcut corect. Aici puteți găsi sarcini pentru studiul funcției online: exemple de studiu, soluții de descărcare, sarcini de comandă.

Investigați o funcție și diagramați: exemple și soluții online

Am pregătit pentru dvs. o mulțime de studii de caracteristici gata făcute, atât plătite în cartea de soluții, cât și gratuite în secțiunea Exemple de cercetare a caracteristicilor. Pe baza acestor sarcini rezolvate, veți putea să vă familiarizați în detaliu cu metodologia de realizare a unor astfel de sarcini, prin analogie, efectuați propria cercetare.

Oferim exemple gata făcute de studiu complet și reprezentare grafică a funcțiilor din cele mai comune tipuri: polinoame, funcții fracționale-raționale, iraționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice. Fiecare problemă rezolvată este însoțită de un grafic gata făcut cu puncte cheie selectate, asimptote, maxime și minime, soluția se realizează conform algoritmului de studiere a funcției.

Exemplele rezolvate, în orice caz, vă vor fi de mare ajutor, deoarece acoperă cele mai populare tipuri de funcții. Vă oferim sute de probleme deja rezolvate, dar, după cum știți, există un număr infinit de funcții matematice în lume, iar profesorii sunt mari experți în a inventa sarcini din ce în ce mai complicate pentru elevii săraci. Așadar, dragi studenți, asistența calificată nu vă va răni.

Rezolvarea problemelor pentru studiul unei funcții la comandă

În acest caz, partenerii noștri vă vor oferi un alt serviciu - cercetare completă online a comanda. Sarcina va fi finalizată pentru dvs. în conformitate cu toate cerințele pentru algoritmul pentru rezolvarea unor astfel de probleme, ceea ce vă va mulțumi foarte mult profesorului dvs.

Vom face un studiu complet al funcției pentru dvs.: vom găsi domeniul de definiție și gama de valori, vom examina continuitatea și discontinuitatea, vom stabili paritatea, vom verifica funcția pentru periodicitate, vom găsi punctele de intersecție cu axele de coordonate . Și, desigur, mai departe cu ajutorul calculului diferențial: vom găsi asimptote, vom calcula extreme, puncte de inflexiune și vom construi graficul în sine.

Punctele de referință în studiul funcțiilor și construcția graficelor acestora sunt puncte caracteristice - puncte de discontinuitate, extremum, inflexiune, intersecție cu axele de coordonate. Cu ajutorul calculului diferențial, se pot stabili trăsăturile caracteristice ale modificării funcțiilor: creștere și scădere, maxime și minime, direcția convexității și concavității graficului, prezența asimptotelor.

O schiță a graficului funcției poate (și ar trebui) să fie schițată după găsirea asimptotelor și a punctelor extreme și este convenabil să completați tabelul rezumat al studiului funcției în cursul studiului.

De obicei, se folosește următoarea schemă de cercetare a funcției.

1.Găsiți domeniul, intervalele de continuitate și punctele de întrerupere ale unei funcții.

2.Examinați funcția pare sau impar (simetria axială sau centrală a graficului.

3.Găsiți asimptote (verticale, orizontale sau oblice).

4.Găsiți și investigați intervalele de creștere și scădere ale funcției, punctele sale extreme.

5.Aflați intervalele de convexitate și concavitate ale curbei, punctele sale de inflexiune.

6.Aflați punctele de intersecție ale curbei cu axele de coordonate, dacă acestea există.

7.Alcătuiește un tabel rezumativ al studiului.

8.Construiți un grafic, ținând cont de studiul funcției, efectuat conform punctelor de mai sus.

Exemplu. Funcția de explorare

și complotează-l.

7. Să facem un tabel rezumativ al studiului funcției, unde vom introduce toate punctele caracteristice și intervalele dintre ele. Având în vedere paritatea funcției, obținem următorul tabel:

				Caracteristici grafice
[-1, 0[			Crescând	Convex
				(0; 1) – punct maxim
]0, 1[			Scăderi	Convex
				Punct de inflexiune, forme cu axa Bou unghi obtuz

Efectuați un studiu complet și trasați un grafic al funcției

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Domeniul de aplicare a funcției. Deoarece funcția este o fracție, trebuie să găsiți zerourile numitorului.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Excludem singurul punct x=1x=1 din zona de definire a funcției și obținem:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Să studiem comportamentul funcției în vecinătatea punctului de discontinuitate. Găsiți limite unilaterale:

Deoarece limitele sunt egale cu infinit, punctul x=1x=1 este o discontinuitate de al doilea fel, linia x=1x=1 este o asimptotă verticală.

3) Să determinăm punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.

Să găsim punctele de intersecție cu axa ordonatelor OyOy, pentru care echivalăm x=0x=0:

Astfel, punctul de intersecție cu axa OyOy are coordonatele (0;8)(0;8).

Să găsim punctele de intersecție cu axa absciselor OxOx, pentru care setăm y=0y=0:

Ecuația nu are rădăcini, deci nu există puncte de intersecție cu axa OxOx.

Rețineți că x2+8>0x2+8>0 pentru orice xx. Prin urmare, pentru x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funcția y>0y>0(iau valori pozitive, graficul este deasupra axei x), pentru x∈(1;+∞) x∈(1; +∞) funcția y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funcția nu este nici pară, nici impară deoarece:

5) Investigăm funcția pentru periodicitate. Funcția nu este periodică, deoarece este o funcție rațională fracțională.

6) Investigăm funcția pentru extreme și monotonitate. Pentru a face acest lucru, găsim derivata întâi a funcției:

Să echivalăm prima derivată cu zero și să găsim punctele staționare (la care y′=0y′=0):

Avem trei puncte critice: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Împărțim întregul domeniu al funcției în intervale după aceste puncte și determinăm semnele derivatei în fiecare interval:

Pentru x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) derivata y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Pentru x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) derivata y′>0y′>0, funcția crește pe aceste intervale.

În acest caz, x=−2x=−2 este un punct minim local (funcția scade și apoi crește), x=4x=4 este un punct maxim local (funcția crește și apoi scade).

Să găsim valorile funcției în aceste puncte:

Astfel, punctul minim este (−2;4)(−2;4), punctul maxim este (4;−8)(4;−8).

7) Examinăm funcția de îndoire și convexitate. Să găsim derivata a doua a funcției:

Echivalează derivata a doua cu zero:

Ecuația rezultată nu are rădăcini, deci nu există puncte de inflexiune. Mai mult, când x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 este satisfăcută, adică funcția este concavă când x∈(1;+∞)x∈(1) ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Investigam comportamentul functiei la infinit, adica la .

Deoarece limitele sunt infinite, nu există asimptote orizontale.

Să încercăm să determinăm asimptote oblice de forma y=kx+by=kx+b. Calculăm valorile lui k,bk,b conform formulelor cunoscute:

Am descoperit că funcția are o asimptotă oblică y=−x−1y=−x−1.

9) Puncte suplimentare. Să calculăm valoarea funcției în alte puncte pentru a construi un grafic mai precis.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Pe baza datelor obținute, vom construi un grafic, îl vom completa cu asimptotele x=1x=1 (albastru), y=−x−1y=−x−1 (verde) și vom marca punctele caracteristice (intersecția cu y -axa este violet, extremele sunt portocalii, punctele suplimentare sunt negre):

Sarcina 4: Sarcini geometrice, economice (habar nu am ce, iată o selecție aproximativă de sarcini cu o soluție și formule)

Exemplul 3.23. A

Decizie. Xși y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Deoarece x = a/4 este singurul punct critic, să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. Pentru xa/4 S "> 0 și pentru x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplul 3.24.

Decizie.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exemplul 3.22. Aflați extremele funcției f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Decizie. Deoarece f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), atunci punctele critice ale funcției x 1 \u003d 2 și x 2 \u003d 3. Punctele extreme pot fie doar în aceste puncte. Deci, la fel ca atunci când trece prin punctul x 1 \u003d 2, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, atunci în acest punct funcția are un maxim. Când trece prin punctul x 2 \u003d 3, derivata schimbă semnul de la minus la plus, prin urmare, în punctul x 2 \u003d 3, funcția are un minim. Calcularea valorilor funcției în puncte
x 1 = 2 și x 2 = 3, găsim extremele funcției: maxim f(2) = 14 și minim f(3) = 13.

Exemplul 3.23. Este necesar să construiți o zonă dreptunghiulară lângă zidul de piatră, astfel încât să fie împrejmuită cu plasă de sârmă pe trei laturi și să se învețe cu peretele pe a patra latură. Pentru asta există A metri liniari ai grilei. La ce raport de aspect va avea site-ul cea mai mare suprafață?

Decizie. Indicați părțile laterale ale site-ului prin Xși y. Aria sitului este S = xy. Lasa y este lungimea laturii adiacente peretelui. Atunci, prin condiție, egalitatea 2x + y = a trebuie să fie valabilă. Prin urmare y = a - 2x și S = x(a - 2x), unde
0 ≤ x ≤ a/2 (lungimea și lățimea zonei nu pot fi negative). S "= a - 4x, a - 4x = 0 pentru x = a/4, de unde
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Deoarece x = a/4 este singurul punct critic, să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. Pentru xa/4 S "> 0 și pentru x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplul 3.24. Se cere realizarea unui rezervor cilindric închis cu o capacitate de V=16p ≈ 50 m 3 . Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului (raza R și înălțimea H) pentru a utiliza cea mai mică cantitate de material pentru fabricarea lui?

Decizie. Suprafața totală a cilindrului este S = 2pR(R+H). Cunoaștem volumul cilindrului V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Prin urmare, S(R) = 2p(R2+16/R). Găsim derivata acestei funcții:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 pentru R 3 \u003d 8, prin urmare,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Informații similare.

De ceva timp, în TheBat (nu este clar din ce motiv), baza de date de certificate încorporată pentru SSL a încetat să funcționeze corect.

La verificarea postării, apare o eroare:

Certificat CA necunoscut
Serverul nu a prezentat un certificat rădăcină în sesiune și certificatul rădăcină corespunzător nu a fost găsit în agenda de adrese.
Această conexiune nu poate fi secretă. Cu plăcere
contactați administratorul serverului dvs.

Și se oferă o gamă de răspunsuri - DA / NU. Și așa de fiecare dată când trageți corespondență.

Decizie

În acest caz, trebuie să înlocuiți standardul de implementare S/MIME și TLS cu Microsoft CryptoAPI în TheBat!

Deoarece trebuia să îmbin toate fișierele într-unul singur, mai întâi am convertit toate fișierele doc într-un singur fișier pdf (folosind programul Acrobat), apoi l-am transferat în fb2 printr-un convertor online. De asemenea, puteți converti fișiere individual. Formatele pot fi absolut orice (sursă) și doc, și jpg și chiar arhiva zip!

Numele site-ului corespunde esenței:) Online Photoshop.

Actualizare mai 2015

Am gasit un alt site grozav! Și mai convenabil și mai funcțional pentru a crea un colaj complet arbitrar! Acest site este http://www.fotor.com/ru/collage/ . Utilizați pentru sănătate. Și îl voi folosi și eu.

Confruntat în viață cu repararea sobelor electrice. Am făcut deja o mulțime de lucruri, am învățat multe, dar nu aveam cumva treabă cu plăcile. A fost necesară înlocuirea contactelor de pe regulatoare și arzătoare. A apărut întrebarea - cum se determină diametrul arzătorului pe aragazul electric?

Răspunsul s-a dovedit a fi simplu. Nu este nevoie să măsori nimic, poți determina cu ochiul calm ce dimensiune ai nevoie.

Cel mai mic arzător este de 145 milimetri (14,5 centimetri)

Arzător mediu este de 180 milimetri (18 centimetri).

Și în sfârșit cel mai mult arzător mare este de 225 milimetri (22,5 centimetri).

Este suficient să determinați dimensiunea prin ochi și să înțelegeți ce diametru aveți nevoie de un arzător. Când nu știam asta, mă plimbam cu aceste dimensiuni, nu știam cum să măsor, pe ce margine să navighez etc. Acum sunt intelept :) Sper ca te-a ajutat si pe tine!

În viața mea m-am confruntat cu o astfel de problemă. Cred că nu sunt singurul.