Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Lecție și prezentare pe tema: „Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Manuale si simulatoare in magazinul online „Integral” pentru nota 10 din 1C
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive pentru construirea în spațiu
Mediul software „1C: constructor matematic 6.1”

Ce vom studia:
1. Ce sunt ecuațiile trigonometrice?

3. Două metode principale de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
4. Ecuații trigonometrice omogene.
5. Exemple.

Ce sunt ecuațiile trigonometrice?

Băieți, am studiat deja arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Acum să ne uităm la ecuațiile trigonometrice în general.

Ecuații trigonometrice - ecuații în care variabila este conținută sub semnul funcției trigonometrice.

Repetăm ​​forma rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice:

1) Dacă |а|≤ 1, atunci ecuația cos(x) = a are o soluție:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Dacă |а|≤ 1, atunci ecuația sin(x) = a are o soluție:

3) Dacă |a| > 1, atunci ecuația sin(x) = a și cos(x) = a nu au soluții 4) Ecuația tg(x)=a are o soluție: x=arctg(a)+ πk

5) Ecuația ctg(x)=a are o soluție: x=arcctg(a)+ πk

Pentru toate formulele, k este un număr întreg

Cele mai simple ecuații trigonometrice au forma: Т(kx+m)=a, T- orice funcție trigonometrică.

Exemplu.

Rezolvați ecuațiile: a) sin(3x)= √3/2

Decizie:

A) Să notăm 3x=t, apoi ne vom rescrie ecuația sub forma:

Soluția acestei ecuații va fi: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Din tabelul de valori obținem: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Să revenim la variabila noastră: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Atunci x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Răspuns: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, unde n este un număr întreg. (-1)^n - minus unu la puterea lui n.

Mai multe exemple de ecuații trigonometrice.

Rezolvați ecuațiile: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Decizie:

A) De data aceasta vom trece direct la calculul rădăcinilor ecuației:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Atunci x/5= πk => x=5πk

Răspuns: x=5πk, unde k este un număr întreg.

B) Scriem sub forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Știm că: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Răspuns: x=2π/9 + πk/3, unde k este un număr întreg.

Rezolvați ecuații: cos(4x)= √2/2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segment.

Decizie:

Să rezolvăm ecuația noastră în formă generală: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Acum să vedem ce rădăcini cad pe segmentul nostru. Pentru k Pentru k=0, x= π/16, suntem în segmentul dat .
Cu k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, au lovit din nou.
Pentru k=2, x= π/16+ π=17π/16, dar aici nu am lovit, ceea ce înseamnă că nu vom lovi nici pentru k mare.

Răspuns: x= π/16, x= 9π/16

Două metode principale de soluție.

Am luat în considerare cele mai simple ecuații trigonometrice, dar există și altele mai complexe. Pentru rezolvarea acestora se utilizează metoda introducerii unei noi variabile și metoda factorizării. Să ne uităm la exemple.

Să rezolvăm ecuația:

Decizie:
Pentru a ne rezolva ecuația, folosim metoda introducerii unei noi variabile, notată: t=tg(x).

Ca rezultat al înlocuirii, obținem: t 2 + 2t -1 = 0

Aflați rădăcinile ecuației pătratice: t=-1 și t=1/3

Atunci tg(x)=-1 și tg(x)=1/3, am obținut cea mai simplă ecuație trigonometrică, să-i găsim rădăcinile.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Răspuns: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații

Rezolvați ecuații: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Decizie:

Să folosim identitatea: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ecuația noastră devine: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Să introducem înlocuirea t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Soluția ecuației noastre pătratice sunt rădăcinile: t=2 și t=-1/2

Atunci cos(x)=2 și cos(x)=-1/2.

pentru că Cosinusul nu poate lua valori mai mari de unu, atunci cos(x)=2 nu are rădăcini.

Pentru cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Răspuns: x= ±2π/3 + 2πk

Ecuații trigonometrice omogene.

Definiție: O ecuație de forma a sin(x)+b cos(x) se numește ecuații trigonometrice omogene de gradul I.

Ecuații de formă

ecuații trigonometrice omogene de gradul doi.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică omogenă de gradul întâi, o împărțim la cos(x): Este imposibil să împărțiți la cosinus dacă este egal cu zero, să ne asigurăm că nu este așa:
Fie cos(x)=0, apoi asin(x)+0=0 => sin(x)=0, dar sinusul și cosinusul nu sunt egale cu zero în același timp, avem o contradicție, deci putem împărți în siguranță cu zero.

Rezolvați ecuația:
Exemplu: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Decizie:

Scoateți factorul comun: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Atunci trebuie să rezolvăm două ecuații:

cos(x)=0 și cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pentru x= π/2 + πk;

Luați în considerare ecuația cos(x)+sin(x)=0 Împărțiți ecuația noastră la cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Răspuns: x= π/2 + πk și x= -π/4+πk

Cum se rezolvă ecuații trigonometrice omogene de gradul doi?
Băieți, respectați întotdeauna aceste reguli!

1. Vedeți cu ce este egal coeficientul a, dacă a \u003d 0, atunci ecuația noastră va lua forma cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), un exemplu al cărei soluție este în precedenta diapozitiv

2. Dacă a≠0, atunci trebuie să împărțiți ambele părți ale ecuației la cosinusul pătrat, obținem:

Facem schimbarea variabilei t=tg(x) obținem ecuația:

Rezolvați Exemplul #:3

Rezolvați ecuația:
Decizie:

Împărțiți ambele părți ale ecuației la pătratul cosinus:

Facem o schimbare a variabilei t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Aflați rădăcinile ecuației pătratice: t=-3 și t=1

Atunci: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Răspuns: x=-arctg(3) + πk și x= π/4+ πk

Rezolvați Exemplul #:4

Rezolvați ecuația:

Decizie:
Să ne transformăm expresia:

Putem rezolva astfel de ecuații: x= - π/4 + 2πk și x=5π/4 + 2πk

Răspuns: x= - π/4 + 2πk și x=5π/4 + 2πk

Rezolvați Exemplul #:5

Rezolvați ecuația:

Decizie:
Să ne transformăm expresia:

Introducem înlocuirea tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Soluția ecuației noastre pătratice va fi rădăcinile: t=-2 și t=1/2

Atunci obținem: tg(2x)=-2 și tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Răspuns: x=-arctg(2)/2 + πk/2 și x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Sarcini pentru soluție independentă.

1) Rezolvați ecuația

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Rezolvați ecuațiile: sin(3x)= √3/2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segmentul [π/2; π].

3) Rezolvați ecuația: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Rezolvați ecuația: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Rezolvați ecuația: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Rezolvați ecuația: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare promovării cu succes a examenului la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 din Profil USE în matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.

Odată am asistat la o conversație între doi solicitanți:

– Când trebuie să adăugați 2πn și când - πn? Nu-mi amintesc!

- Și am aceeași problemă.

Am vrut să le spun: „Nu este necesar să memorezi, ci să înțelegi!”

Acest articol se adresează în primul rând elevilor de liceu și, sper, îi va ajuta cu „înțelegere” pentru a rezolva cele mai simple ecuații trigonometrice:

Cercul numeric

Alături de conceptul de dreptă numerică, există și conceptul de cerc numeric. După cum știm, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, un cerc cu un centru în punctul (0; 0) și o rază de 1 se numește cerc unitar. Imaginați-vă o linie numerică cu un fir subțire și înfășurați-o în jurul acestui cerc: punctul de referință (punctul 0), atașați la punctul „dreapta” al cercului unitar, înfășurați semiaxa pozitivă în sens invers acelor de ceasornic și semiaxa negativă în direcția (fig. 1). Un astfel de cerc unitar se numește cerc numeric.

Proprietățile cercului numeric

• Fiecare număr real se află într-un punct al cercului numeric.
• Există infinit de multe numere reale în fiecare punct al cercului numeric. Deoarece lungimea cercului unitar este 2π, diferența dintre oricare două numere dintr-un punct al cercului este egală cu unul dintre numerele ±2π; ±4π; ±6π; …

Să conchidem: cunoscând unul dintre numerele punctului A, putem găsi toate numerele punctului A.

Să desenăm diametrul AC (Fig. 2). Deoarece x_0 este unul dintre numerele punctului A, atunci numerele x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; … și numai ele vor fi numerele punctului C. Să alegem unul dintre aceste numere, de exemplu, x_0+π, și să îl folosim pentru a scrie toate numerele punctului C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Rețineți că numerele din punctele A și C pot fi combinate într-o singură formulă: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (pentru k = 0; ±2; ±4; ... obținem numerele de punctul A, iar pentru k = ±1, ±3, ±5, … sunt numerele punctului C).

Să conchidem: cunoscând unul dintre numerele de pe unul dintre punctele A sau C ale diametrului AC, putem găsi toate numerele de pe aceste puncte.

• Două numere opuse sunt situate în puncte ale cercului care sunt simetrice față de axa absciselor.

Să desenăm o coardă verticală AB (Fig. 2). Deoarece punctele A și B sunt simetrice față de axa Ox, numărul -x_0 este situat în punctul B și, prin urmare, toate numerele punctului B sunt date prin formula: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Scriem numerele din punctele A și B cu o singură formulă: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Să conchidem: cunoscând unul dintre numerele la unul din punctele A sau B ale coardei verticale AB, putem găsi toate numerele în aceste puncte. Luați în considerare coarda orizontală AD și găsiți numerele punctului D (Fig. 2). Deoarece BD este diametrul și numărul -x_0 aparține punctului B, atunci -x_0 + π este unul dintre numerele punctului D și, prin urmare, toate numerele acestui punct sunt date prin formula x_D=-x_0+π+2πk ,k∈Z. Numerele din punctele A și D pot fi scrise folosind o singură formulă: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (pentru k= 0; ±2; ±4; ... obținem numerele punctului A, iar pentru k = ±1; ±3; ±5; ... - numerele punctului D).

Să conchidem: cunoscând unul dintre numerele la unul din punctele A sau D ale coardei orizontale AD, putem găsi toate numerele în aceste puncte.

Șaisprezece puncte principale ale cercului numeric

În practică, soluția celor mai simple ecuații trigonometrice este asociată cu șaisprezece puncte ale cercului (Fig. 3). Ce sunt aceste puncte? Punctele roșii, albastre și verzi împart cercul în 12 părți egale. Deoarece lungimea semicercului este π, lungimea arcului A1A2 este π/2, lungimea arcului A1B1 este π/6, iar lungimea arcului A1C1 este π/3.

Acum putem specifica un număr pe puncte:

π/3 pe С1 și

Vârfurile pătratului portocaliu sunt punctele mijlocii ale arcelor fiecărui sfert, deci lungimea arcului A1D1 este egală cu π/4 și, prin urmare, π/4 este unul dintre numerele punctului D1. Folosind proprietățile cercului numeric, putem scrie toate numerele în toate punctele marcate ale cercului nostru folosind formule. Figura arată și coordonatele acestor puncte (omitem descrierea achiziției lor).

După ce am învățat cele de mai sus, avem acum suficientă pregătire pentru rezolvarea cazurilor speciale (pentru nouă valori ale numărului A) cele mai simple ecuații.

Rezolvarea ecuațiilor

1)sinx=1⁄(2).

– Ce ni se cere?

– Găsiți toate acele numere x al căror sinus este 1/2.

Amintiți-vă definiția sinusului: sinx - ordonata punctului cercului numeric, pe care se află numărul x. Pe cerc avem două puncte, a căror ordonată este egală cu 1/2. Acestea sunt capetele coardei orizontale B1B2. Aceasta înseamnă că cerința „rezolvați ecuația sinx=1⁄2” este echivalentă cu cerința „găsiți toate numerele în punctul B1 și toate numerele în punctul B2”.

2)sinx=-√3⁄2 .

Trebuie să găsim toate numerele la punctele C4 și C3.

3) sinx=1. Pe cerc avem un singur punct cu ordonata 1 - punctul A2 și, prin urmare, trebuie să găsim doar toate numerele acestui punct.

Răspuns: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)sinx=-1 .

Doar punctul A_4 are ordonata -1. Toate numerele acestui punct vor fi caii ecuației.

Răspuns: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

Pe cerc avem doua puncte cu ordonata 0 - punctele A1 si A3. Puteți specifica numerele de pe fiecare dintre puncte separat, dar având în vedere că aceste puncte sunt diametral opuse, este mai bine să le combinați într-o singură formulă: x=πk ,k∈Z .

Răspuns: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Amintiți-vă definiția cosinusului: cosx - abscisa punctului cercului numeric pe care se afla numarul x. Pe cerc avem două puncte cu abscisa √2⁄2 - capetele coardei orizontale D1D4. Trebuie să găsim toate numerele în aceste puncte. Le notăm combinându-le într-o singură formulă.

Răspuns: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Trebuie să găsim numerele la punctele C_2 și C_3.

Răspuns: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Doar punctele A2 și A4 au abscisă 0, ceea ce înseamnă că toate numerele din fiecare dintre aceste puncte vor fi soluții ale ecuației.
.

Soluțiile ecuației sistemului sunt numerele din punctele B_3 și B_4.Inegalitatea cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Răspuns: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Rețineți că pentru orice valoare admisibilă a lui x, al doilea factor este pozitiv și, prin urmare, ecuația este echivalentă cu sistemul

Soluțiile ecuației sistemului sunt numărul de puncte D_2 și D_3 . Numerele punctului D_2 nu satisfac inegalitatea sinx≤0.5, dar numerele punctului D_3 satisfac.

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.