Variabilă aleatorie se numește o variabilă care, în urma fiecărui test, ia o valoare necunoscută anterior, în funcție de cauze aleatorii. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ După tipul lor, variabilele aleatoare pot fi discretși continuu.

Variabilă aleatoare discretă- aceasta este o variabilă atât de aleatorie, ale cărei valori nu pot fi mai mult decât numărabile, adică fie finite, fie numărabile. Numărabilitatea înseamnă că pot fi enumerate valorile unei variabile aleatorii.

Exemplul 1 . Să dăm exemple de variabile aleatoare discrete:

a) numărul de lovituri pe țintă cu $n$ lovituri, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) numărul de steme care au căzut la aruncarea unei monede, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) numărul de nave care au ajuns la bord (un set numărabil de valori).

d) numărul de apeluri care sosesc la centrală (un set numărabil de valori).

1. Legea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete.

O variabilă aleatoare discretă $X$ poate lua valorile $x_1,\dots ,\ x_n$ cu probabilități $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Corespondența dintre aceste valori și probabilitățile lor se numește legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. De regulă, această corespondență este specificată folosind un tabel, în primul rând al căruia sunt indicate valorile $x_1,\dots ,\ x_n$, iar în a doua linie probabilitățile corespunzătoare acestor valori sunt $ p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(matrice)$

Exemplul 2 . Fie variabila aleatoare $X$ numărul de puncte aruncate atunci când un zar este aruncat. O astfel de variabilă aleatorie $X$ poate lua următoarele valori $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitățile tuturor acestor valori sunt egale cu $1/6$. Apoi legea distribuției probabilităților pentru variabila aleatoare $X$:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(matrice)$

cometariu. Deoarece evenimentele $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formează un grup complet de evenimente în legea distribuției variabilei aleatoare discrete $X$, suma probabilităților trebuie să fie egală cu unu, adică $\sum( p_i)=1$.

2. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatorii specifică valoarea sa „centrală”. Pentru o variabilă aleatorie discretă, așteptarea matematică este calculată ca suma produselor valorilor $x_1,\dots ,\ x_n$ și a probabilităților $p_1,\dots ,\p_n$ corespunzătoare acestor valori, adică: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. În literatura engleză, se folosește o altă notație $E\left(X\right)$.

Proprietăți de așteptare$M\stânga(X\dreapta)$:

1. $M\left(X\right)$ este între cele mai mici și cele mai mari valori ale variabilei aleatoare $X$.
2. Așteptările matematice ale unei constante este egală cu constanta însăși, adică. $M\left(C\right)=C$.
3. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Exemplul 3 . Să găsim așteptările matematice ale variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\peste (6))+2\cdot ((1)\peste (6) )+3\cdot ((1)\peste (6))+4\cdot ((1)\peste (6))+5\cdot ((1)\peste (6))+6\cdot ((1 )\peste (6))=3.5.$$

Putem observa că $M\left(X\right)$ se află între cea mai mică ($1$) și cea mai mare ($6$) valori ale variabilei aleatoare $X$.

Exemplul 4 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=2$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $3X+5$.

Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Exemplul 5 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=4$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $2X-9$.

Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Dispersia unei variabile aleatoare discrete.

Valorile posibile ale variabilelor aleatoare cu așteptări matematice egale se pot împrăștia diferit în jurul valorilor lor medii. De exemplu, în două grupe de studenți, scorul mediu la examen la teoria probabilității s-a dovedit a fi 4, dar într-o grupă toți s-au dovedit a fi elevi buni, iar în celălalt grup, doar studenți C și studenți excelenți. Prin urmare, este nevoie de o astfel de caracteristică numerică a unei variabile aleatoare, care să arate răspândirea valorilor unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice. Această caracteristică este dispersia.

Dispersia unei variabile aleatoare discrete$X$ este:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

În literatura engleză, se folosește notația $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Foarte des, varianța $D\left(X\right)$ este calculată prin formula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) stânga(X \dreapta)\dreapta))^2$.

Proprietăți de dispersie$D\stânga(X\dreapta)$:

1. Dispersia este întotdeauna mai mare sau egală cu zero, adică. $D\stanga(X\dreapta)\ge 0$.
2. Dispersia dintr-o constantă este egală cu zero, adică. $D\stanga(C\dreapta)=0$.
3. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie, cu condiția ca acesta să fie pătrat, i.e. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\dreapta)$.
4. Varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.
5. Varianța diferenței variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, i.e. $D\left(X-Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.

Exemplul 6 . Să calculăm varianța variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\peste (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\peste (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\peste (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\peste (12))\aproximativ 2,92.$$

Exemplul 7 . Se știe că varianța variabilei aleatoare $X$ este egală cu $D\left(X\right)=2$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $4X+1$.

Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ stânga(X\dreapta)=16\cdot 2=32$.

Exemplul 8 . Se știe că varianța lui $X$ este egală cu $D\left(X\right)=3$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $3-2X$.

Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ stânga(X\dreapta)=4\cdot 3=12$.

4. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.

Metoda de reprezentare a unei variabile aleatoare discrete sub forma unei serii de distribuție nu este singura și, cel mai important, nu este universală, deoarece o variabilă aleatoare continuă nu poate fi specificată folosind o serie de distribuție. Există o altă modalitate de a reprezenta o variabilă aleatoare - funcția de distribuție.

functie de distributie variabila aleatoare $X$ este o funcție $F\left(x\right)$, care determină probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia o valoare mai mică decât o valoare fixă ​​$x$, adică $F\left(x\ dreapta)$ )=P\stanga(X< x\right)$

Proprietățile funcției de distribuție:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia valori din intervalul $\left(\alpha ;\\beta \right)$ este egală cu diferența dintre valorile funcției de distribuție la sfârșitul acestui interval : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - nedescrescătoare.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \dreapta)=1\ )$.

Exemplul 9 . Să găsim funcția de distribuție $F\left(x\right)$ pentru legea de distribuție a variabilei aleatoare discrete $X$ din exemplul $2$.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(matrice)$

Dacă $x\le 1$, atunci evident $F\left(x\right)=0$ (inclusiv $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Dacă 1 dolari< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Dacă 2 dolari< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Dacă 3 dolari< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Dacă 4 dolari< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Dacă 5 dolari< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Dacă $x > 6$, atunci $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\stanga(X=4\dreapta)+P\stanga(X=5\dreapta)+P\stanga(X=6\dreapta)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Deci $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ la\ x\le 1,\\
1/6, la \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ la\ 2< x\le 3,\\
1/2, la \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ la\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ la \ 4< x\le 5,\\
1,\ pentru \ x > 6.
\end(matrice)\dreapta.$

Definiția 1

O variabilă aleatoare $X$ se numește discretă (discontinuă) dacă mulțimea valorilor sale este infinită sau finită, dar numărabilă.

Cu alte cuvinte, o cantitate se numește discretă dacă valorile ei pot fi enumerate.

Puteți descrie o variabilă aleatoare folosind legea distribuției.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete $X$ poate fi dată sub forma unui tabel, în primul rând al căruia toate valorile posibile ale variabilei aleatoare sunt indicate în ordine crescătoare, iar în al doilea rând probabilitățile corespunzătoare dintre aceste valori:

Poza 1.

unde $p1+ p2+ ... + pn = 1$.

Acest tabel este aproape de distribuția unei variabile aleatoare discrete.

Dacă mulțimea de valori posibile ale unei variabile aleatoare este infinită, atunci seria $p1+ p2+ ... + pn+ ...$ converge și suma sa este egală cu $1$.

Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete $X$ poate fi reprezentată grafic, pentru care se construiește o linie întreruptă în sistemul de coordonate (dreptunghiular), care leagă secvențial puncte cu coordonatele $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Linia care a fost apelată poligon de distribuție.

Figura 2.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete $X$ poate fi reprezentată și analitic (folosind formula):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Acțiuni pe probabilități discrete

Când se rezolvă multe probleme de teoria probabilităților, este necesar să se efectueze operațiile de înmulțire a unei variabile aleatoare discrete cu o constantă, adunând două variabile aleatoare, înmulțindu-le și aducerea lor la o putere. În aceste cazuri, este necesar să se respecte următoarele reguli pentru variabilele discrete aleatoare:

Definiția 3

Prin multiplicare o variabilă aleatoare discretă $X$ la o constantă $K$ este o variabilă aleatoare discretă $Y=KX,$ care se datorează egalităților: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left (x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Definiția 4

Sunt numite două variabile aleatoare $x$ și $y$ independent, dacă legea de distribuție a unuia dintre ele nu depinde de ce valori posibile a dobândit a doua valoare.

Definiția 5

sumă două variabile aleatoare discrete independente $X$ și $Y$ se numesc variabilă aleatoare $Z=X+Y, $ se datorează egalităților: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Definiția 6

Prin multiplicare două variabile aleatoare discrete independente $X$ și $Y$ sunt numite variabilă aleatoare $Z=XY, $ se datorează egalităților: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ stânga(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Să luăm în considerare că unele produse $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ pot fi egale între ele. În acest caz, probabilitatea de a adăuga produsul este egală cu suma probabilităților corespunzătoare.

De exemplu, dacă $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $atunci probabilitatea de $x_2y_3$ (sau același $x_5y_7$) va fi egală cu $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Cele de mai sus se aplică și sumei. Dacă $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ atunci probabilitatea de $x_1+\ y_2$ (sau același $x_4+\ y_6$) va fi $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Fie variabilele aleatoare $X$ și $Y$ sunt date de legile distribuției:

Figura 3

Unde $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Atunci legea distribuției pentru suma $X+Y$ va arăta ca

Figura 4

Iar legea de distribuție a produsului $XY$ va avea forma

Figura 5

functie de distributie

O descriere completă a unei variabile aleatoare este dată și de funcția de distribuție.

Geometric, funcția de distribuție este explicată ca probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia valoarea care este reprezentată pe linia reală de punctul situat în stânga punctului $x$.

X; sens F(5); probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua valori din intervalul . Construiți un poligon de distribuție.

1. Este cunoscută funcția de distribuție F(x) a unei variabile aleatoare discrete X:

Precizați legea distribuției unei variabile aleatoare X sub forma unui tabel.

1. Având în vedere legea distribuției unei variabile aleatoare X:

X	–28	–20	–12	–4
p	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Probabilitatea ca magazinul să aibă certificate de calitate pentru întreaga gamă de produse este de 0,7. Comisia a verificat disponibilitatea certificatelor în patru magazine din raion. Faceți o lege de distribuție, calculați așteptarea și variația matematică a numărului de magazine în care nu s-au găsit certificate de calitate în timpul verificării.

1. Pentru a determina timpul mediu de ardere al lămpilor electrice într-un lot de 350 de cutii identice, a fost luată pentru testare câte o lampă electrică din fiecare cutie. Estimați de mai jos probabilitatea ca durata medie de ardere a lămpilor electrice selectate să difere de durata medie de ardere a întregului lot cu o valoare absolută mai mică de 7 ore, dacă se știe că abaterea standard a timpului de ardere a lămpilor electrice în fiecare cutie este mai puțin de 9 ore.

1. La centrala telefonică apare o conexiune incorectă cu o probabilitate de 0,002. Găsiți probabilitatea ca între 500 de conexiuni să existe:

Găsiți funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X. Trasează funcțiile și . Calculați media, varianța, modul și mediana unei variabile aleatoare X.

1. Mașina automată face role. Se crede că diametrul lor este o variabilă aleatorie distribuită normal, cu o valoare medie de 10 mm. Care este abaterea standard dacă, cu o probabilitate de 0,99, diametrul se află în intervalul de la 9,7 mm la 10,3 mm.

Proba A: 6 9 7 6 4 4

Proba B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opțiunea 17.

1. Dintre cele 35 de părți, 7 sunt non-standard. Găsiți probabilitatea ca două părți alese la întâmplare să fie standard.

1. Aruncă trei zaruri. Aflați probabilitatea ca suma punctelor de pe fețele lăsate să fie un multiplu de 9.

1. Cuvântul „AVENTURĂ” este alcătuit din cărți, fiecare cu o literă scrisă pe el. Cărțile sunt amestecate și scoase pe rând fără să se întoarcă. Aflați probabilitatea ca literele scoase în ordinea apariției să formeze un cuvânt: a) AVENTURĂ; b) CAPTURA.

1. O urnă conține 6 bile negre și 5 albe. 5 bile sunt extrase aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca printre ele să fie:
1. 2 bile albe;
2. mai puțin de 2 bile albe;
3. cel puțin o minge neagră.

1. DARîntr-un test este 0,4. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente:
1. eveniment DAR va apărea de 3 ori într-o serie de 7 încercări independente;
2. eveniment DAR va apărea de cel puțin 220 și nu mai mult de 235 de ori într-o serie de 400 de provocări.

1. Fabrica a trimis 5.000 de produse de înaltă calitate la bază. Probabilitatea de deteriorare a fiecărui produs în tranzit este de 0,002. Găsiți probabilitatea ca nu mai mult de 3 produse să fie deteriorate pe drum.

1. Prima urnă conține 4 bile albe și 9 negre, iar a doua urnă conține 7 bile albe și 3 negre. Din prima urna sunt extrase aleatoriu 3 bile si din a doua urna 4. Găsiți probabilitatea ca toate bilele extrase să fie de aceeași culoare.

1. Având în vedere legea distribuției unei variabile aleatoare X:

Calculați așteptările și varianța sa matematică.

1. În cutie sunt 10 creioane. 4 creioane sunt desenate la întâmplare. Valoare aleatoare X este numărul de creioane albastre dintre cele selectate. Găsiți legea distribuției sale, momentele inițiale și centrale ale ordinului 2 și 3.

1. Departamentul de control tehnic verifică 475 de produse pentru defecte. Probabilitatea ca un produs să fie defect este de 0,05. Aflați cu o probabilitate de 0,95 limitele care vor conține numărul de produse defecte dintre cele testate.

1. La centrala telefonică apare o conexiune incorectă cu o probabilitate de 0,003. Găsiți probabilitatea ca între 1000 de conexiuni să existe:
1. cel puțin 4 conexiuni incorecte;
2. mai mult de două conexiuni incorecte.

1. Variabila aleatoare este dată de funcția de densitate de distribuție:

Găsiți funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X. Trasează funcțiile și . Calculați așteptările matematice, varianța, modul și mediana unei variabile aleatoare X.

1. Variabila aleatoare este dată de funcția de distribuție:

1. După probă DAR rezolva urmatoarele sarcini:
1. faceți o serie de variații;

media eșantionului;

Varianta eșantionului

Mod și mediană;

Proba A: 0 0 2 2 1 4

1. calculați caracteristicile numerice ale seriei variaționale:

media eșantionului;

Varianta eșantionului

· deviație standard;

mod și mediană;

Proba B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opțiunea 18.

1. Dintre cele 10 bilete de loterie, 2 sunt câștigătoare. Găsiți probabilitatea ca unul dintre cele cinci bilete extrase aleatoriu să fie câștigător.

1. Aruncă trei zaruri. Aflați probabilitatea ca suma punctelor aruncate să fie mai mare decât 15.

1. Cuvântul „PERIMETRU” este format din cărți, fiecare având o literă scrisă pe el. Cărțile sunt amestecate și scoase pe rând fără să se întoarcă. Aflați probabilitatea ca literele scoase să formeze un cuvânt: a) PERIMETRU; b) CONTORUL.

1. O urnă conține 5 bile negre și 7 albe. 5 bile sunt extrase aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca printre ele să fie:
1. 4 bile albe;
2. mai puțin de 2 bile albe;
3. cel puțin o minge neagră.

1. Probabilitatea unui eveniment DARîntr-un singur test este 0,55. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente:
1. eveniment DAR va apărea de 3 ori într-o serie de 5 provocări;
2. eveniment DAR va apărea de cel puțin 130 și nu mai mult de 200 de ori într-o serie de 300 de provocări.

1. Probabilitatea unei scurgeri într-o cutie de conserve este de 0,0005. Găsiți probabilitatea ca două din 2000 de borcane să aibă scurgeri.

1. Prima urnă conține 4 bile albe și 8 negre, iar a doua urnă conține 7 bile albe și 4 negre. 2 bile sunt extrase aleatoriu din prima urna si 3 bile sunt extrase aleator din a doua urna. Găsiți probabilitatea ca toate bilele extrase să fie de aceeași culoare.

1. Dintre piesele sosite la asamblare, de la prima mașină sunt defecte 0,1%, de la a doua - 0,2%, de la a treia - 0,25%, de la a patra - 0,5%. Productivitatea mașinilor este corelată în mod corespunzător ca 4:3:2:1. O parte luată la întâmplare s-a dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea ca articolul să fi fost fabricat pe prima mașină.

1. Având în vedere legea distribuției unei variabile aleatoare X:

Calculați așteptările și varianța sa matematică.

1. Un electrician are trei becuri, fiecare dintre ele având un defect cu o probabilitate de 0,1 .. Becurile sunt înșurubate în priză și curentul este pornit. Când curentul este pornit, becul defect se arde imediat și este înlocuit cu altul. Găsiți legea distribuției, așteptările matematice și varianța numărului de becuri testate.

1. Probabilitatea de a lovi ținta este de 0,3 pentru fiecare dintre cele 900 de lovituri independente. Folosind inegalitatea Chebyshev, estimați probabilitatea ca ținta să fie lovită de cel puțin 240 de ori și de cel mult 300 de ori.

1. La centrala telefonică apare o conexiune incorectă cu o probabilitate de 0,002. Găsiți probabilitatea ca între 800 de conexiuni să existe:
1. cel puțin trei conexiuni incorecte;
2. mai mult de patru conexiuni incorecte.

1. Variabila aleatoare este dată de funcția de densitate de distribuție:

Aflați funcția de distribuție a variabilei aleatoare X. Construiți grafice ale funcțiilor și . Calculați media, varianța, modul și mediana unei variabile aleatoare X.

1. Variabila aleatoare este dată de funcția de distribuție:

1. După probă DAR rezolva urmatoarele sarcini:
1. faceți o serie de variații;
2. calculați frecvențele relative și acumulate;
3. alcătuiți o funcție de distribuție empirică și construiți graficul acesteia;
4. calculați caracteristicile numerice ale seriei variaționale:

media eșantionului;

Varianta eșantionului

· deviație standard;

mod și mediană;

Proba A: 4 7 6 3 3 4

1. Pentru proba B, rezolvați următoarele probleme:
1. faceți o serie de variații grupate;
2. construiți o histogramă și un poligon de frecvențe;
3. calculați caracteristicile numerice ale seriei variaționale:

media eșantionului;

Varianta eșantionului

· deviație standard;

mod și mediană;

Proba B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opțiunea 19.

1. La șantier lucrează 16 femei și 5 bărbați. 3 persoane au fost alese aleatoriu în funcție de numărul de personal. Găsiți probabilitatea ca toate persoanele selectate să fie bărbați.

2. Se aruncă patru monede. Găsiți probabilitatea ca doar două monede să aibă o stemă.

3. Cuvântul „PSIHOLOGIE” este alcătuit din cartonașe, fiecare având scrisă o literă pe ea. Cărțile sunt amestecate și scoase pe rând fără să se întoarcă. Aflaţi probabilitatea ca literele scoase să formeze un cuvânt: a) PSIHOLOGIE; b) PERSONALUL.

4. O urna contine 6 bile negre si 7 albe. 5 bile sunt extrase aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca printre ele să fie:

A. 3 bile albe;

b. mai puțin de 3 bile albe;

c. cel putin o bila alba.

5. Probabilitatea evenimentului DARîntr-un test este 0,5. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente:

A. eveniment DAR va apărea de 3 ori într-o serie de 5 încercări independente;

b. eveniment DAR va apărea de cel puțin 30 și nu mai mult de 40 de ori într-o serie de 50 de provocări.

6. Există 100 de mașini de aceeași putere, care funcționează independent unele de altele în același mod, în care unitatea lor este pornită timp de 0,8 ore de lucru. Care este probabilitatea ca, la un moment dat, să fie pornite între 70 și 86 de mașini?

7. Prima urna contine 4 bile albe si 7 negre, iar a doua urna contine 8 bile albe si 3 negre. Se extrag aleatoriu 4 bile din prima urna si 1 bile din a doua urna. Găsiți probabilitatea ca printre bilele extrase să fie doar 4 bile negre.

8. În fiecare zi, la reprezentanța auto sunt livrate trei mărci de mașini în volume: Moskvich - 40%; „Oka” - 20%; „Volga” - 40% din toate mașinile importate. Dintre mașinile mărcii Moskvich, 0,5% au un dispozitiv antifurt, Oka - 0,01%, Volga - 0,1%. Aflați probabilitatea ca mașina luată la testare să aibă un dispozitiv antifurt.

9. Numerează și sunt alese la întâmplare pe segment. Aflați probabilitatea ca aceste numere să satisfacă inegalitățile.

10. Este dată legea distribuţiei unei variabile aleatoare X:

X
p	0,1	0,2	0,3	0,4

Găsiți funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X; sens F(2); probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua valori din intervalul . Construiți un poligon de distribuție.

Pe această pagină am adunat exemple de rezolvare educațională probleme pe variabile aleatoare discrete. Aceasta este o secțiune destul de extinsă: sunt studiate diverse legi de distribuție (binom, geometric, hipergeometric, Poisson și altele), proprietăți și caracteristici numerice, pot fi construite reprezentări grafice pentru fiecare serie de distribuție: un poligon (poligon) de probabilități, o funcție de distribuție .

Mai jos veți găsi exemple de decizii despre variabile aleatoare discrete, în care este necesar să aplicați cunoștințele din secțiunile anterioare ale teoriei probabilităților pentru a întocmi o lege de distribuție, iar apoi să calculați așteptarea matematică, varianța, abaterea standard, construirea unei funcții de distribuție. , răspunde la întrebări despre DSV etc. P.

Exemple pentru legile populare de distribuție a probabilității:

Calculatoare pentru caracteristicile DSV

• Calculul așteptărilor matematice, varianței și abaterii standard a DSV.

Probleme rezolvate despre DSV

Distribuții apropiate de geometric

Sarcina 1. Pe drumul mașinii sunt 4 semafoare, fiecare interzicând mișcarea ulterioară a mașinii cu o probabilitate de 0,5. Aflați numărul de distribuție al numărului de semafoare trecute de mașină înainte de prima oprire. Care este așteptarea și varianța matematică a acestei variabile aleatoare?

Sarcina 2. Vânătorul trage în joc înainte de prima lovitură, dar nu reușește să facă mai mult de patru lovituri. Notați legea distribuției pentru numărul de rateuri dacă probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este 0,7. Aflați varianța acestei variabile aleatoare.

Sarcina 3. Tragatorul, avand 3 cartuse, trage in tinta pana la prima lovitura. Probabilitățile de a lovi prima, a doua și a treia lovitură sunt 0,6, 0,5, 0,4, respectiv. S.V. $\xi$ - numărul de cartușe rămase. Compilați o serie de distribuție a unei variabile aleatoare, găsiți așteptarea matematică, varianța, abaterea standard a r.v., construiți funcția de distribuție a r.v., găsiți $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Sarcina 4. Cutia contine 7 piese standard si 3 piese defecte. Piesele se scot secvenţial până când apare cea standard, fără a le returna înapoi. $\xi$ - numărul de piese defecte recuperate.
Alcătuiți o lege de distribuție pentru o variabilă aleatoare discretă $\xi$, calculați așteptarea ei matematică, varianța, abaterea standard, desenați un poligon de distribuție și un grafic al funcției de distribuție.

Sarcini cu evenimente independente

Sarcina 5. 3 elevi au venit la reexaminarea în teoria probabilităților. Probabilitatea ca primul să treacă examenul este de 0,8, al doilea - 0,7, al treilea - 0,9. Găsiți seria de distribuție a variabilei aleatoare $\xi$ a numărului de studenți care au promovat examenul, construiți un grafic al funcției de distribuție, găsiți $M(\xi), D(\xi)$.

Sarcina 6. Probabilitatea de a lovi ținta cu o lovitură este de 0,8 și scade cu fiecare lovitură cu 0,1. Întocmește legea de distribuție pentru numărul de lovituri pe țintă dacă sunt trase trei focuri. Găsiți așteptările matematice, varianța și S.K.O. această variabilă aleatoare. Reprezentați grafic funcția de distribuție.

Sarcina 7. Se trag 4 focuri în țintă. În acest caz, probabilitatea de a lovi crește astfel: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Găsiți legea de distribuție a variabilei aleatoare $X$ - numărul de accesări. Aflați probabilitatea ca $X \ge 1$.

Sarcina 8. Se aruncă două monede simetrice, se numără numărul de steme de pe ambele fețe superioare ale monedelor. Considerăm o variabilă aleatorie discretă $X$ - numărul de steme de pe ambele monede. Scrieți legea distribuției variabilei aleatoare $X$, găsiți așteptările ei matematice.

Alte sarcini și legi de distribuție a DSV

Sarcina 9. Doi jucători de baschet fac trei lovituri în coș. Probabilitatea de a lovi pentru primul jucător de baschet este de 0,6, pentru al doilea - 0,7. Fie $X$ diferența dintre numărul de aruncări reușite ale primului și celui de-al doilea jucător de baschet. Găsiți seria de distribuție, modul și funcția de distribuție a variabilei aleatoare $X$. Construiți un poligon de distribuție și reprezentați grafic funcția de distribuție. Calculați așteptările matematice, varianța și abaterea standard. Aflați probabilitatea evenimentului $(-2 \lt X \le 1)$.

Sarcina 10. Numărul de nave nerezidente care sosesc zilnic pentru încărcare într-un anumit port este o valoare aleatorie $X$, dată după cum urmează:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) asigurați-vă că seria de distribuție este setată,
B) găsiți funcția de distribuție a variabilei aleatoare $X$,
C) dacă într-o anumită zi sosesc mai mult de trei nave, portul își asumă responsabilitatea pentru costurile datorate necesității de a angaja șoferi și încărcătoare suplimentare. Care este probabilitatea ca portul să suporte costuri suplimentare?
D) găsiți așteptările matematice, varianța și abaterea standard a variabilei aleatoare $X$.

Sarcina 11. Aruncă 4 zaruri. Aflați așteptarea matematică a sumei numărului de puncte care vor cădea pe toate fețele.

Sarcina 12. Doi jucători aruncă pe rând o monedă până la prima apariție a stemei. Jucătorul a cărui stemă a căzut primește 1 rublă de la un alt jucător. Găsiți așteptările matematice ale câștigului fiecărui jucător.

După cum se știe, variabilă aleatorie se numește o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de caz. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin (X, Y, Z), iar valorile lor sunt notate cu litere mici corespunzătoare (x, y, z). Variabilele aleatoare sunt împărțite în discontinue (discrete) și continue.

Variabilă aleatoare discretă este o variabilă aleatorie care ia doar un set finit sau infinit (numărabil) de valori cu anumite probabilități diferite de zero.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este o funcție care conectează valorile unei variabile aleatoare cu probabilitățile corespunzătoare. Legea distribuției poate fi specificată în una din următoarele moduri.

1 . Legea distribuției poate fi dată de tabelul:

unde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

în) prin utilizarea funcția de distribuție F(x) , care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x, adică. F(x) = P(X< x).

Proprietățile funcției F(x)

3 . Legea distribuției poate fi stabilită grafic – poligon de distribuție (poligon) (vezi problema 3).

Rețineți că pentru a rezolva unele probleme nu este necesar să cunoașteți legea distribuției. În unele cazuri, este suficient să cunoașteți unul sau mai multe numere care reflectă cele mai importante caracteristici ale legii distribuției. Poate fi un număr care are semnificația „valorii medii” a unei variabile aleatoare sau un număr care arată dimensiunea medie a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea sa medie. Numerele de acest fel sunt numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii.

Caracteristicile numerice de bază ale unei variabile aleatoare discrete :

• Așteptări matematice (valoarea medie) a unei variabile aleatoare discrete M(X)=Σ x i p i.
  Pentru distribuția binomială M(X)=np, pentru distribuția Poisson M(X)=λ
• Dispersia variabilă aleatoare discretă D(X)=M2 sau D(X) = M(X 2) − 2. Diferența X–M(X) se numește abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.
  Pentru distribuția binomială D(X)=npq, pentru distribuția Poisson D(X)=λ
• Deviație standard (deviație standard) σ(X)=√D(X).

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete”

Sarcina 1.

Au fost emise 1000 de bilete de loterie: 5 dintre ele câștigă 500 de ruble, 10 - 100 de ruble, 20 - 50 de ruble, 50 - 10 ruble. Determinați legea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare X - câștiguri pe bilet.

Soluţie. În funcție de starea problemei, sunt posibile următoarele valori ale variabilei aleatoare X: 0, 10, 50, 100 și 500.

Numărul de bilete fără câștig este 1000 - (5+10+20+50) = 915, apoi P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

În mod similar, găsim toate celelalte probabilități: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=0,01). =500) = 5/1000=0,005. Prezentăm legea rezultată sub forma unui tabel:

Aflați așteptările matematice ale lui X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Sarcina 3.

Dispozitivul este format din trei elemente de operare independentă. Probabilitatea de eșec a fiecărui element dintr-un experiment este de 0,1. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente eșuate într-un experiment, construiește un poligon de distribuție. Găsiți funcția de distribuție F(x) și reprezentați-o grafic. Aflați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete.

Soluţie. 1. Variabila aleatorie discretă X=(numărul de elemente eșuate într-un experiment) are următoarele valori posibile: x 1 =0 (niciunul dintre elementele dispozitivului nu a eșuat), x 2 =1 (un element a eșuat), x 3 =2 ( două elemente au eșuat ) și x 4 \u003d 3 (trei elemente au eșuat).

Eșecurile elementelor sunt independente unele de altele, probabilitățile de eșec ale fiecărui element sunt egale între ele, prin urmare, este aplicabil formula lui Bernoulli . Având în vedere că, prin condiție, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinăm probabilitățile valorilor:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Verificați: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Astfel, legea de distribuție binomială dorită X are forma:

Pe axa absciselor, graficăm valorile posibile x i, iar pe axa ordonatelor, probabilitățile corespunzătoare р i . Să construim punctele M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Conectând aceste puncte cu segmente de linie, obținem poligonul de distribuție dorit.

3. Găsiți funcția de distribuție F(x) = P(X

Pentru x ≤ 0 avem F(x) = P(X<0) = 0;
pentru 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
pentru 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
pentru 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pentru x > 3 va fi F(x) = 1, deoarece evenimentul este sigur.

Graficul funcției F(x)

4. Pentru distribuția binomială X:
- așteptarea matematică М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersia D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- abaterea standard σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.