Derivată întâi Dacă derivata unei funcții este pozitivă (negativă) într-un anumit interval, atunci funcția din acest interval este monoton crescător (monoton descrescător). Dacă funcția derivată este pozitivă (negativă) într-un anumit interval, atunci funcția din acest interval este monoton crescător (monoton descrescător). Mai departe

Definiție O curbă se numește convexă într-un punct dacă într-o vecinătate a acestui punct este situată sub tangenta sa într-un punct. , este situat deasupra tangentei sale într-un punct O curbă se numește concavă într-un punct dacă, într-o vecinătate a acestui punct, este situată deasupra tangentei sale într-un punct Următorul

Semnul concavității și al convexității Dacă derivata a doua a unei funcții într-un interval dat este pozitivă, atunci curba este concavă în acest interval, iar dacă este negativă, este convexă în acest interval. Dacă derivata a doua a unei funcții într-un interval dat este pozitivă, atunci curba este concavă în acest interval, iar dacă este negativă, este convexă în acest interval. Definiție

Planificați studierea funcției și construirea graficului acesteia 1. Aflați domeniul funcției și determinați punctele de întrerupere, dacă există 1. Aflați domeniul funcției și determinați punctele de întrerupere, dacă există 2. Aflați dacă funcția este pare sau impar; verificați periodicitatea acesteia 2. Aflați dacă funcția este pară sau impară; verificați periodicitatea acestuia 3. Determinați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate 3. Determinați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate 4. Aflați punctele critice de primul fel 4. Aflați punctele critice ale primului fel fel 5. Determinați intervalele de monotonitate și extreme ale funcției 5. Determinați intervale de monotonitate și extreme ale funcției 6. Determinați intervalele de convexitate și concavitate și găsiți punctele de inflexiune 6. Determinați intervalele de convexitate și concavitate și găsiți punctele de inflexiune 7 Folosind rezultatele studiului, conectați punctele obținute ale unei curbe netede 7. Folosind rezultatele studiului, conectați punctele obținute ale unei curbe netede Ieșire

Ce este un derivat?
Definiția și semnificația derivatei unei funcții

Mulți vor fi surprinși de locația neașteptată a acestui articol în cursul autorului meu despre derivata unei funcții a unei variabile și aplicațiile acesteia. La urma urmei, așa cum a fost de la școală: un manual standard, în primul rând, oferă o definiție a unei derivate, semnificația sa geometrică, mecanică. În continuare, elevii găsesc derivate ale funcțiilor prin definiție și, de fapt, abia atunci se perfecționează tehnica de diferențiere folosind tabele derivate.

Dar din punctul meu de vedere, următoarea abordare este mai pragmatică: în primul rând, este indicat să ÎNȚELEGI BINE limita functiei, si in special infinitezimale. Adevărul este că definiţia derivatei se bazează pe conceptul de limită, care este slab luat în considerare în cursul școlii. De aceea, o parte semnificativă a tinerilor consumatori de cunoștințe de granit pătrund slab în însăși esența derivatului. Astfel, dacă nu sunteți bine versat în calcul diferențial sau creierul înțelept a scăpat cu succes de acest bagaj de-a lungul anilor, vă rugăm să începeți cu limitele funcției. În același timp, stăpânește / amintește-ți decizia lor.

Același sens practic sugerează că este mai întâi profitabil învață să găsești derivate, inclusiv derivate ale funcţiilor complexe. Teoria este o teorie, dar, după cum se spune, întotdeauna vrei să diferențiezi. În acest sens, este mai bine să elaborați lecțiile de bază enumerate și poate să deveniți maestru de diferențiere fără să-şi dea seama măcar de esenţa acţiunilor lor.

Recomand să începeți materialele de pe această pagină după ce ați citit articolul. Cele mai simple probleme cu o derivată, unde, în special, se consideră problema tangentei la graficul unei funcții. Dar poate fi amânat. Faptul este că multe aplicații ale derivatului nu necesită înțelegerea acestuia și nu este surprinzător că lecția teoretică a apărut destul de târziu - când trebuia să explic găsirea intervalelor de creștere/scădere și extremums funcții. Mai mult, a fost în subiect destul de mult timp " Funcții și grafice”, până când m-am hotărât să-l pun mai devreme.

Prin urmare, dragi ceainice, nu vă grăbiți să absorbiți esența derivatului, precum animalele flămânde, pentru că saturația va fi lipsită de gust și incompletă.

Conceptul de creștere, scădere, maxim, minim al unei funcții

Multe tutoriale duc la conceptul de derivat cu ajutorul unor probleme practice și am venit și cu un exemplu interesant. Imaginați-vă că trebuie să călătorim într-un oraș la care se poate ajunge în diferite moduri. Renunțăm imediat la căile curbe și întortocheate și vom lua în considerare doar liniile drepte. Cu toate acestea, direcțiile în linie dreaptă sunt și ele diferite: puteți ajunge în oraș pe o autostradă plată. Sau pe o autostradă deluroasă - în sus și în jos, în sus și în jos. Un alt drum merge doar în sus, iar altul merge în jos tot timpul. Căutătorii de senzații tari vor alege un traseu prin defileu cu o stâncă abruptă și o urcare abruptă.

Dar oricare ar fi preferințele dvs., este de dorit să cunoașteți zona, sau cel puțin să aveți o hartă topografică a acesteia. Dacă nu există astfel de informații? La urma urmei, puteți alege, de exemplu, o potecă plată, dar, ca rezultat, dați peste o pârtie de schi cu finlandezi amuzanți. Nu faptul că navigatorul și chiar o imagine prin satelit vor oferi date fiabile. Prin urmare, ar fi bine să se oficializeze relieful căii prin intermediul matematicii.

Luați în considerare un drum (vedere laterală):

Pentru orice eventualitate, vă reamintesc un fapt elementar: călătoria are loc de la stanga la dreapta. Pentru simplitate, presupunem că funcția continuuîn zona luată în considerare.

Care sunt caracteristicile acestui grafic?

La intervale funcţie crește, adică fiecare dintre următoarele valori Mai mult cel precedent. În linii mari, programul merge în sus(urcăm dealul). Și pe interval funcția scade- fiecare valoare următoare Mai puțin precedentul, iar programul nostru merge de sus în jos(coborând panta).

Să fim atenți și la punctele speciale. În punctul în care ajungem maxim, acesta este există o astfel de secțiune a căii pe care valoarea va fi cea mai mare (mai mare). In acelasi punct, minim, și există astfel de vecinătate, în care valoarea este cea mai mică (mai mică).

Terminologia și definițiile mai riguroase vor fi luate în considerare în lecție. despre extremele funcției, dar deocamdată să studiem încă o caracteristică importantă: pe intervale funcția crește, dar crește la viteze diferite. Și primul lucru care îți atrage atenția este că graficul se ridică pe interval mult mai misto decât pe interval. Este posibil să măsurați abruptul drumului folosind instrumente matematice?

Rata de schimbare a funcției

Ideea este aceasta: ia ceva valoare (citiți „delta x”), pe care o vom numi increment de argument, și să începem să „încercăm” în diferite puncte ale drumului nostru:

1) Să ne uităm la punctul cel mai din stânga: ocolind distanța , urcăm panta la o înălțime (linia verde). Valoarea este numită creșterea funcției, iar în acest caz această creștere este pozitivă (diferența de valori de-a lungul axei este mai mare decât zero). Să facem raportul, care va fi măsura abruptului drumului nostru. Evident, este un număr foarte specific și, deoarece ambele incremente sunt pozitive, atunci .

Atenţie! Desemnarea sunt UNU simbol, adică nu puteți „smulge” „delta” din „x” și luați în considerare aceste litere separat. Desigur, comentariul se aplică și simbolului de increment al funcției.

Să explorăm natura fracției rezultate mai semnificative. Să presupunem că inițial ne aflăm la o înălțime de 20 de metri (în punctul negru din stânga). După ce am depășit distanța de metri (linia roșie din stânga), ne vom afla la o înălțime de 60 de metri. Apoi, incrementul funcției va fi metri (linia verde) si: . În acest fel, pe fiecare metru acest tronson de drum creste inaltimea in medie cu 4 metri…ți-ai uitat echipamentul de alpinism? =) Cu alte cuvinte, raportul construit caracterizează RATA MEDIA DE MODIFICARE (în acest caz, creșterea) funcției.

Notă : Valorile numerice ale exemplului în cauză corespund proporțiilor desenului doar aproximativ.

2) Acum să mergem la aceeași distanță de la punctul negru din dreapta. Aici creșterea este mai blândă, astfel încât creșterea (linia purpurie) este relativ mică, iar raportul față de cazul precedent va fi destul de modest. Relativ vorbind, metri și rata de creștere a funcției este . Adică aici pentru fiecare metru de drum care există in medie jumătate de metru în sus.

3) O mică aventură pe versantul muntelui. Să ne uităm la punctul negru de sus situat pe axa y. Să presupunem că acesta este un semn de 50 de metri. Depășim din nou distanța, în urma căreia ne aflăm mai jos - la nivelul de 30 de metri. De când s-a făcut mișcarea de sus în jos(în sensul „opus” axei), apoi finala creșterea funcției (înălțimea) va fi negativă: metri (linie maro în desen). Și în acest caz vorbim despre rata de dezintegrare caracteristici: , adică pentru fiecare metru al traseului acestui tronson, înălțimea scade in medie cu 2 metri. Ai grijă de haine la punctul al cincilea.

Acum să ne punem întrebarea: care este cea mai bună valoare a „standardului de măsurare” de utilizat? Este clar că 10 metri este foarte dur. O duzină bună de denivelări pot încăpea cu ușurință pe ele. De ce există denivelări, poate exista un defileu adânc dedesubt, iar după câțiva metri - cealaltă parte cu o ascensiune abruptă. Astfel, cu unul de zece metri, nu vom obține o caracteristică inteligibilă a unor astfel de secțiuni ale traseului prin raport.

Din discuția de mai sus rezultă următoarea concluzie: cu atât valoarea este mai mică, cu atât mai precis vom descrie relieful drumului. În plus, următoarele fapte sunt adevărate:

– Pentru orice puncte de ridicare puteți alege o valoare (deși una foarte mică) care se încadrează în limitele uneia sau altei creșteri. Și aceasta înseamnă că creșterea corespunzătoare a înălțimii va fi garantată a fi pozitivă, iar inegalitatea va indica corect creșterea funcției în fiecare punct al acestor intervale.

- La fel, pentru orice punct de pantă, există o valoare care se va potrivi complet pe această pantă. Prin urmare, creșterea corespunzătoare a înălțimii este negativă fără ambiguitate, iar inegalitatea va arăta corect scăderea funcției în fiecare punct al intervalului dat.

– De interes deosebit este cazul când rata de modificare a funcției este zero: . În primul rând, un increment de înălțime zero () este un semn al unei căi uniforme. Și în al doilea rând, există și alte situații curioase, exemple pe care le vedeți în figură. Imaginați-vă că soarta ne-a dus chiar în vârful unui deal cu vulturi înălțători sau pe fundul unei râpe cu broaște croncănitoare. Dacă faceți un pas mic în orice direcție, atunci modificarea înălțimii va fi neglijabilă și putem spune că rata de modificare a funcției este de fapt zero. Același model este observat în puncte.

Astfel, ne-am apropiat de o oportunitate uimitoare de a caracteriza perfect cu exactitate rata de schimbare a unei funcții. La urma urmei, analiza matematică ne permite să direcționăm incrementul argumentului la zero: adică să-l facem infinitezimal.

Ca urmare, apare o altă întrebare logică: este posibil să găsiți drumul și programul acestuia altă funcție, care ne-ar spune despre toate platile, urcușurile, coborârile, vârfurile, zonele joase, precum și ritmul de creștere/scădere în fiecare punct al potecii?

Ce este un derivat? Definiția unui derivat.
Semnificația geometrică a derivatei și diferențialei

Vă rugăm să citiți cu atenție și nu prea repede - materialul este simplu și accesibil tuturor! E în regulă dacă pe alocuri ceva pare nu foarte clar, poți oricând să revii la articol mai târziu. Voi spune mai multe, este util să studiem teoria de mai multe ori pentru a înțelege calitativ toate punctele (sfatul este relevant mai ales pentru studenții „tehnici”, pentru care matematica superioară joacă un rol semnificativ în procesul de învățământ).

Desigur, chiar în definiția derivatei la un punct, o vom înlocui cu:

La ce am ajuns? Și am ajuns la concluzia că pentru o funcție conform legii este aliniat alta functie, Care e numit funcţie derivată(sau pur și simplu derivat).

Derivatul caracterizează rata de schimbare funcții . Cum? Gândul merge ca un fir roșu încă de la începutul articolului. Luați în considerare un punct domenii funcții . Fie funcția să fie diferențiabilă într-un punct dat. Apoi:

1) Dacă , atunci funcția crește în punctul . Și evident că există interval(chiar dacă este foarte mic) care conține punctul în care funcția crește, iar graficul acesteia merge „de jos în sus”.

2) Dacă , atunci funcția scade în punctul . Și există un interval care conține un punct în care funcția scade (graficul merge „de sus în jos”).

3) Dacă , atunci infinit de aproape aproape de punct, funcția își păstrează viteza constantă. Acest lucru se întâmplă, după cum sa menționat, pentru o constantă de funcție și în punctele critice ale funcţiei, în special la punctele minime și maxime.

Niște semantică. Ce înseamnă verbul „diferențiere” în sens larg? A diferenția înseamnă a evidenția o caracteristică. Diferențiând funcția , „selectăm” rata de modificare a acesteia sub forma unei derivate a funcției . Și ce se înțelege, apropo, prin cuvântul „derivat”? Funcţie s-a întâmplat din functie.

Termenii interpretează cu mare succes sensul mecanic al derivatului :
Să luăm în considerare legea schimbării coordonatelor corpului, care depinde de timp, și funcția vitezei de mișcare a corpului dat. Funcția caracterizează viteza de modificare a coordonatei corpului, prin urmare este prima derivată a funcției în raport cu timpul: . Dacă conceptul de „mișcare a corpului” nu ar exista în natură, atunci nu ar exista derivat conceptul de „viteză”.

Accelerația corpului este rata de schimbare a vitezei, deci: . Dacă conceptele originale de „mișcare a corpului” și „viteza de mișcare a corpului” nu ar exista în natură, atunci nu ar exista derivat conceptul de accelerare a unui corp.

Dacă urmărim definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la incrementul argumentului Δ X:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să calculați prin această formulă, să zicem, derivata funcției f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X păcat X. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că așa-numitele funcții elementare pot fi distinse de întreaga varietate de funcții. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și introduse în tabel. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut, împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. Mai mult, nu este greu să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivatele funcțiilor elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	f(X) = C, C ∈ R	0 (da, da, zero!)
Gradul cu exponent rațional	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinusul	f(X) = păcat X	cos X
Cosinus	f(X) = cos X	− păcat X(minus sinus)
Tangentă	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangentă	f(X) = ctg X	− 1/sin2 X
logaritmul natural	f(X) = jurnal X	1/X
Logaritmul arbitrar	f(X) = jurnal A X	1/(X ln A)
Functie exponentiala	f(X) = e X	e X(Nimic nu s-a schimbat)

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcție este de asemenea ușor de calculată:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite și multe altele. Așa vor apărea funcții noi, nu prea elementare, dar și diferențiabile după anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Lasă funcțiile f(X) și g(X), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare, diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(X) = X 2 + sinx; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funcţie f(X) este suma a două funcții elementare, deci:

f ’(X) = (X 2+ păcat X)’ = (X 2)' + (păcat X)’ = 2X+ cosx;

Argumentăm în mod similar pentru funcție g(X). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Răspuns:
f ’(X) = 2X+ cosx;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivatul unui produs

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata sumei este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„\u003e egal cu produsul derivatelor. Dar smochine pentru tine! Derivatul produsului este calculat folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

O sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = X 3 cosx; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funcţie f(X) este un produs al două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X păcat X)

Funcţie g(X) primul multiplicator este puțin mai complicat, dar schema generală nu se schimbă de la aceasta. Evident, primul multiplicator al funcției g(X) este un polinom, iar derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Răspuns:
f ’(X) = X 2 (3cos X − X păcat X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Rețineți că în ultimul pas, derivata este factorizată. Formal, acest lucru nu este necesar, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a explora funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi găsite și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie descompusă în factori.

Dacă există două funcții f(X) și g(X), și g(X) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini o nouă funcție h(X) = f(X)/g(X). Pentru o astfel de funcție, puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Dar așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați cu exemple specifice.

O sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Există funcții elementare în numărătorul și numitorul fiecărei fracții, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Prin tradiție, factorăm numărătorul în factori - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luăm funcția f(X) = păcat Xși înlocuiți variabila X, să zicem, pe X 2+ln X. Se dovedește f(X) = păcat ( X 2+ln X) este o funcție complexă. Ea are și un derivat, dar nu va funcționa să-l găsești conform regulilor discutate mai sus.

Cum să fii? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și formula pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(X) = f ’(t) · t', dacă X este înlocuit cu t(X).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este mai bine să-l explicați cu exemple specifice, cu o descriere detaliată a fiecărui pas.

O sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = păcat ( X 2+ln X)

Rețineți că dacă se află în funcție f(X) în loc de expresia 2 X+ 3 va fi ușor X, atunci obținem o funcție elementară f(X) = e X. Prin urmare, facem o substituție: fie 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe prin formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuarea unei înlocuiri inverse: t = 2X+ 3. Obținem:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Acum să ne uităm la funcția g(X). Evident că trebuie înlocuit. X 2+ln X = t. Avem:

g ’(X) = g ’(t) · t' = (păcat t)’ · t' = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = X 2+ln X. Apoi:

g ’(X) = cos( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

Asta e tot! După cum se poate observa din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea derivatei sumei.

Răspuns:
f ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2+ln X).

Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „accident vascular cerebral”. De exemplu, cursa sumei este egală cu suma curselor. Este mai clar? Asta e bine.

Astfel, calculul derivatei se rezumă la a scăpa chiar de aceste lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(X n)’ = n · X n − 1

Puțini știu asta în rol n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este X 0,5 . Dar dacă există ceva complicat sub rădăcină? Din nou, se va dovedi o funcție complexă - le place să ofere astfel de construcții în teste și examene.

O sarcină. Aflați derivata unei funcții:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Acum facem o înlocuire: let X 2 + 8X − 7 = t. Găsim derivata prin formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Facem o înlocuire inversă: t = X 2 + 8X− 7. Avem:

f ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini:

Definiție. Fie definită funcția \(y = f(x) \) într-un interval care conține punctul \(x_0 \) în interior. Să incrementăm \(\Delta x \) la argument pentru a nu părăsi acest interval. Găsiți incrementul corespunzător al funcției \(\Delta y \) (când treceți de la punctul \(x_0 \) la punctul \(x_0 + \Delta x \)) și compuneți relația \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Dacă există o limită a acestei relații la \(\Delta x \rightarrow 0 \), atunci limita specificată este numită funcţie derivată\(y=f(x) \) în punctul \(x_0 \) și notăm \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbolul y este adesea folosit pentru a desemna derivata. Rețineți că y" = f(x) este o funcție nouă, dar asociată în mod natural cu funcția y = f(x), definită în toate punctele x la care există limita de mai sus. Această funcție se numește astfel: derivată a funcției y \u003d f (x).

Sensul geometric al derivatului constă din următoarele. Dacă o tangentă care nu este paralelă cu axa y poate fi desenată pe graficul funcției y \u003d f (x) într-un punct cu abscisa x \u003d a, atunci f (a) exprimă panta tangentei:
\(k = f"(a)\)

Deoarece \(k = tg(a) \), egalitatea \(f"(a) = tg(a) \) este adevărată.

Și acum interpretăm definiția derivatei în termeni de egalități aproximative. Fie funcția \(y = f(x) \) să aibă o derivată într-un anumit punct \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Aceasta înseamnă că lângă punctul x, egalitatea aproximativă \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), adică \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Semnificația semnificativă a egalității aproximative obținute este următoarea: creșterea funcției este „aproape proporțională” cu creșterea argumentului, iar coeficientul de proporționalitate este valoarea derivatei la un punct dat x. De exemplu, pentru funcția \(y = x^2 \) egalitatea aproximativă \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) este adevărată. Dacă analizăm cu atenție definiția derivatei, vom constata că aceasta conține un algoritm pentru găsirea acesteia.

Să o formulăm.

Cum să găsiți derivata funcției y \u003d f (x) ?

1. Fixați valoarea \(x \), găsiți \(f(x) \)
2. Incrementați argumentul \(x \) \(\Delta x \), mutați la un nou punct \(x+ \Delta x \), găsiți \(f(x+ \Delta x) \)
3. Găsiți incrementul funcției: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Compuneți relația \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calculați $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Această limită este derivata funcției la x.

Dacă funcția y = f(x) are o derivată în punctul x, atunci se numește derivabilă în punctul x. Se numește procedura de găsire a derivatei funcției y \u003d f (x). diferenţiere funcțiile y = f(x).

Să discutăm următoarea întrebare: cum sunt legate continuitatea și diferențiabilitatea unei funcții într-un punct?

Fie funcția y = f(x) diferențiabilă în punctul x. Apoi o tangentă poate fi trasă la graficul funcției în punctul M (x; f (x)) și, reamintim, panta tangentei este egală cu f "(x). Un astfel de grafic nu se poate "rupe" la punctul M, adică funcția trebuie să fie continuă la x.

Era raționament „pe degete”. Să prezentăm un argument mai riguros. Dacă funcția y = f(x) este diferențiabilă în punctul x, atunci egalitatea aproximativă \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) este valabilă. zero, atunci \(\Delta y \) ) va tinde, de asemenea, spre zero, iar aceasta este condiția pentru continuitatea funcției într-un punct.

Asa de, dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct x, atunci este și continuă în acel punct.

Reversul nu este adevărat. De exemplu: funcția y = |x| este continuă peste tot, în special în punctul x = 0, dar tangenta la graficul funcției la „punctul de îmbinare” (0; 0) nu există. Dacă la un moment dat este imposibil să desenezi o tangentă la graficul funcției, atunci nu există nicio derivată în acest punct.

Încă un exemplu. Funcția \(y=\sqrt(x) \) este continuă pe întreaga dreaptă numerică, inclusiv în punctul x = 0. Și tangenta la graficul funcției există în orice punct, inclusiv în punctul x = 0. . Dar în acest moment tangenta coincide cu axa y, adică este perpendiculară pe axa absciselor, ecuația sa are forma x \u003d 0. Nu există nicio pantă pentru o astfel de linie dreaptă, ceea ce înseamnă că \ ( f „(0) \) nici nu există

Deci, ne-am familiarizat cu o nouă proprietate a unei funcții - diferențiabilitatea. Cum poți spune dacă o funcție este diferențiabilă de graficul unei funcții?

Răspunsul este de fapt dat mai sus. Dacă la un moment dat o tangentă poate fi desenată la graficul unei funcții care nu este perpendiculară pe axa x, atunci în acest moment funcția este diferențiabilă. Dacă la un moment dat tangenta la graficul funcției nu există sau este perpendiculară pe axa x, atunci în acest moment funcția nu este diferențiabilă.

Reguli de diferențiere

Operația de găsire a derivatei se numește diferenţiere. Atunci când efectuați această operație, de multe ori trebuie să lucrați cu câte, sume, produse ale funcțiilor, precum și cu „funcții ale funcțiilor”, adică funcții complexe. Pe baza definiției derivatei, putem deriva reguli de diferențiere care facilitează această lucrare. Dacă C este un număr constant și f=f(x), g=g(x) sunt câteva funcții diferențiabile, atunci următoarele sunt adevărate reguli de diferențiere:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivată funcție compusă:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabel de derivate ale unor funcții

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Derivatul unei funcții este unul dintre cele mai dificile subiecte din programa școlară. Nu fiecare absolvent va răspunde la întrebarea ce este un derivat.

Acest articol explică simplu și clar ce este un derivat și de ce este necesar.. Nu ne vom strădui acum pentru rigoarea matematică a prezentării. Cel mai important lucru este să înțelegeți sensul.

Să ne amintim definiția:

Derivata este rata de schimbare a functiei.

Figura prezintă grafice a trei funcții. Care crezi că crește cel mai repede?

Răspunsul este evident - al treilea. Are cea mai mare rată de schimbare, adică cea mai mare derivată.

Iată un alt exemplu.

Kostya, Grisha și Matvey au primit locuri de muncă în același timp. Să vedem cum s-au schimbat veniturile lor în cursul anului:

Puteți vedea totul pe diagramă imediat, nu? Venitul lui Kostya s-a dublat de peste șase luni. Și veniturile lui Grisha au crescut, dar doar puțin. Și venitul lui Matthew a scăzut la zero. Condițiile de pornire sunt aceleași, dar rata de modificare a funcției, adică. derivat, - diferit. În ceea ce privește Matvey, derivatul venitului său este în general negativ.

Intuitiv, putem estima cu ușurință rata de schimbare a unei funcții. Dar cum o facem?

Ceea ce ne uităm cu adevărat este cât de abrupt urcă (sau jos) graficul funcției. Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă y cu x. Evident, aceeași funcție în puncte diferite poate avea o valoare diferită a derivatei - adică se poate schimba mai repede sau mai lent.

Derivata unei functii se noteaza cu .

Să arătăm cum să găsiți folosind graficul.

Este desenat un grafic al unei funcții. Luați un punct pe el cu o abscisă. Desenați o tangentă la graficul funcției în acest punct. Vrem să evaluăm cât de abrupt crește graficul funcției. O valoare la îndemână pentru aceasta este tangenta pantei tangentei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu tangenta pantei tangentei trasata la graficul functiei in acel punct.

Vă rugăm să rețineți - ca unghi de înclinare al tangentei, luăm unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei.

Uneori, elevii întreabă care este tangenta la graficul unei funcții. Aceasta este o linie dreaptă care are singurul punct comun cu graficul din această secțiune, în plus, așa cum se arată în figura noastră. Arată ca o tangentă la un cerc.

Sa gasim . Ne amintim că tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este egală cu raportul catetului opus față de cel alăturat. Din triunghi:

Am găsit derivata folosind graficul fără să știm măcar formula funcției. Astfel de sarcini se găsesc adesea la examenul de matematică sub numărul.

Există o altă corelație importantă. Amintiți-vă că linia dreaptă este dată de ecuație

Mărimea din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egală cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axă.

.

Înțelegem asta

Să ne amintim această formulă. Exprimă semnificația geometrică a derivatei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acel punct.

Cu alte cuvinte, derivata este egală cu tangentei pantei tangentei.

Am spus deja că aceeași funcție poate avea derivate diferite în puncte diferite. Să vedem cum este legată derivata de comportamentul funcției.

Să desenăm un grafic al unei funcții. Lăsați această funcție să crească în unele zone și să scadă în altele și în ritmuri diferite. Și lasă această funcție să aibă puncte maxime și minime.

La un moment dat, funcția crește. Tangenta la grafic, trasata in punct, formeaza un unghi ascutit; cu direcția pozitivă a axei. Deci derivata este pozitivă la punct.

În acel moment, funcția noastră este în scădere. Tangenta în acest punct formează un unghi obtuz; cu direcția pozitivă a axei. Deoarece tangentei unui unghi obtuz este negativă, derivata din punct este negativă.

Iată ce se întâmplă:

Dacă o funcție este în creștere, derivata ei este pozitivă.

Dacă scade, derivata sa este negativă.

Și ce se va întâmpla la punctele maxime și minime? Vedem că la (punctul maxim) și (punctul minim) tangenta este orizontală. Prin urmare, tangenta pantei tangentei în aceste puncte este zero, iar derivata este, de asemenea, zero.

Punctul este punctul maxim. În acest moment, creșterea funcției este înlocuită cu o scădere. În consecință, semnul derivatei se schimbă în punctul de la „plus” la „minus”.

În punctul - punctul minim - derivata este, de asemenea, egală cu zero, dar semnul său se schimbă de la „minus” la „plus”.

Concluzie: cu ajutorul derivatei, puteți afla tot ce ne interesează despre comportamentul funcției.

Dacă derivata este pozitivă, atunci funcția este în creștere.

Dacă derivata este negativă, atunci funcția este descrescătoare.

În punctul maxim, derivata este zero și își schimbă semnul din plus în minus.

La punctul minim, derivata este, de asemenea, zero și își schimbă semnul din minus în plus.

Scriem aceste constatări sub forma unui tabel:

	crește	punct maxim	scade	punct minim	crește
+	0	-	0	+

Să facem două mici precizări. Veți avea nevoie de unul dintre ele când rezolvați problema. Un altul - în primul an, cu un studiu mai serios al funcțiilor și derivatelor.

Este posibil un caz când derivata unei funcții la un moment dat este egală cu zero, dar funcția nu are nici un maxim, nici un minim în acest punct. Acest așa-zis :

Într-un punct, tangenta la grafic este orizontală, iar derivata este zero. Cu toate acestea, înainte de punct funcția a crescut - și după punct continuă să crească. Semnul derivatului nu se schimbă - a rămas pozitiv așa cum a fost.

De asemenea, se întâmplă ca în punctul de maxim sau minim, derivata să nu existe. Pe grafic, aceasta corespunde unei ruperi ascuțite, când este imposibil să desenați o tangentă într-un punct dat.

Dar cum să găsim derivata dacă funcția este dată nu de un grafic, ci de o formulă? În acest caz, se aplică