Ďalšie vlastnosti súvisia s pojmami vedľajšieho a algebraického doplnku
Menší prvok sa nazýva determinant, zložený z prvkov zostávajúcich po vymazaní riadku a stĺpca, na priesečníku ktorých sa tento prvok nachádza. Menší determinant poradia má poradie . Budeme ho označovať .
Príklad 1 Nechaj 
, Potom 
.
Táto minorita sa získa z A vymazaním druhého riadku a tretieho stĺpca.
Algebraické sčítanie prvok sa nazýva zodpovedajúci minor vynásobený , t.j. 
, kde je číslo riadku a -stĺpca, na priesečníku ktorých sa daný prvok nachádza.
VIII.(Rozklad determinantu nad prvkami nejakého reťazca). Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov niektorého riadku a ich zodpovedajúcich algebraických sčítaní.
Príklad 2 Nechaj 
, Potom
Príklad 3 Poďme nájsť determinant matice , rozširujúc ho o prvky prvého radu.
Formálne je táto veta a ďalšie vlastnosti determinantov použiteľné zatiaľ len pre determinanty matíc nie vyšších ako tretieho rádu, keďže sme o iných determinantoch neuvažovali. Nasledujúca definícia rozšíri tieto vlastnosti na determinanty akéhokoľvek rádu.
Determinant matice objednať sa nazýva číslo vypočítané postupnou aplikáciou rozkladovej vety a iných vlastností determinantov.
Môžete skontrolovať, či výsledok výpočtu nezávisí od poradia, v ktorom sa vyššie uvedené vlastnosti aplikujú a pre ktoré riadky a stĺpce. Pomocou tejto definície možno jednoznačne určiť determinant.
Hoci táto definícia neobsahuje explicitný vzorec na nájdenie determinantu, umožňuje vám ho nájsť redukovaním na determinanty matíc nižšieho rádu. Takéto definície sa nazývajú opakujúci.
Príklad 4 Vypočítajte determinant: 
Hoci dekompozičnú vetu možno použiť na akýkoľvek riadok alebo stĺpec danej matice, pri rozklade na stĺpec obsahujúci čo najviac núl bude menej výpočtov.
Keďže matica nemá žiadne nulové prvky, získame ich pomocou vlastnosti VII. Vynásobte prvý riadok postupne číslami 
a pridajte ho do reťazcov a získajte:
Rozšírime výsledný determinant v prvom stĺpci a dostaneme:
keďže determinant obsahuje dva proporcionálne stĺpce.
Niektoré typy matíc a ich determinanty
Volá sa štvorcová matica, v ktorej sú nulové prvky pod alebo nad hlavnou uhlopriečkou (). trojuholníkový.
Ich schematická štruktúra teda vyzerá takto: 
alebo
.
Cvičenie. Vypočítajte determinant jeho rozšírením cez prvky nejakého riadku alebo nejakého stĺpca.
Riešenie. Urobme najprv elementárne transformácie na riadkoch determinantu tak, že urobíme čo najviac núl buď v riadku alebo v stĺpci. Aby sme to dosiahli, najprv odčítame deväť tretín od prvého riadku, päť tretín od druhého a tri tretiny od štvrtého, dostaneme:
Výsledný determinant rozšírime o prvky prvého stĺpca:
Výsledný determinant tretieho rádu je tiež rozšírený o prvky riadka a stĺpca, ktoré predtým získali nuly, napríklad v prvom stĺpci. Za týmto účelom odpočítame dva druhé riadky od prvého riadku a druhý od tretieho:
Odpoveď. 
12. Slough 3 objednávky
1. Pravidlo trojuholníka
Schematicky možno toto pravidlo znázorniť takto:
Súčin prvkov v prvom determinante, ktoré sú spojené čiarami, sa berie so znamienkom plus; podobne aj pre druhý determinant sa zodpovedajúce súčiny berú so znamienkom mínus, t.j.
2. Sarrusovo pravidlo
Napravo od determinantu sa pridajú prvé dva stĺpce a súčin prvkov na hlavnej uhlopriečke a na uhlopriečkach s ňou rovnobežných sa vezme so znamienkom plus; a súčin prvkov sekundárnej diagonály a uhlopriečok s ňou rovnobežných so znamienkom mínus:
3. Rozšírenie determinantu v riadku alebo stĺpci
Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov radu determinantu a ich algebraických doplnkov. Zvyčajne vyberte riadok/stĺpec, v ktorom/tom sú nuly. Riadok alebo stĺpec, na ktorom sa rozklad vykonáva, bude označený šípkou.
Cvičenie. Rozšírením cez prvý riadok vypočítajte determinant
Riešenie.
Odpoveď. 
4. Uvedenie determinantu do trojuholníkového tvaru
Pomocou elementárnych transformácií cez riadky alebo stĺpce sa determinant zredukuje na trojuholníkový tvar a jeho hodnota sa potom podľa vlastností determinantu rovná súčinu prvkov na hlavnej diagonále.
Príklad
Cvičenie. Vypočítajte determinant 
dostať ho do trojuholníkového tvaru.
Riešenie. Najprv urobíme nuly v prvom stĺpci pod hlavnou uhlopriečkou. Všetky transformácie sa budú ľahšie vykonávať, ak sa prvok rovná 1. K tomu prehodíme prvý a druhý stĺpec determinantu, čo podľa vlastností determinantu spôsobí, že zmení znamienko na opačné :
Ďalej dostaneme nuly v druhom stĺpci namiesto prvkov pod hlavnou uhlopriečkou. A opäť, ak je diagonálny prvok rovný , potom budú výpočty jednoduchšie. Aby sme to urobili, prehodíme druhý a tretí riadok (a zároveň zmeníme na opačné znamienko determinantu):
Ďalej urobíme nuly v druhom stĺpci pod hlavnou uhlopriečkou, preto postupujeme takto: do tretieho riadku pridáme tri druhé riadky a do štvrtého dva druhé riadky, dostaneme:
Ďalej z tretieho riadku vyberieme (-10) ako determinant a urobíme nuly v treťom stĺpci pod hlavnou uhlopriečkou, a preto pridáme tretí do posledného riadku:
Formulácia problému
Úloha zahŕňa oboznámenie používateľa so základnými pojmami numerických metód, ako je determinant a inverzná matica, a rôznymi spôsobmi ich výpočtu. V tejto teoretickej správe sú jednoduchým a prístupným jazykom najprv predstavené základné pojmy a definície, na základe ktorých sa uskutočňuje ďalší výskum. Používateľ nemusí mať špeciálne znalosti v oblasti numerických metód a lineárnej algebry, ale bude môcť ľahko použiť výsledky tejto práce. Pre názornosť je uvedený program na výpočet maticového determinantu viacerými metódami napísaný v programovacom jazyku C++. Program sa používa ako laboratórny stojan na vytváranie ilustrácií k správe. A tiež sa uskutočňuje štúdium metód riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc. Neužitočnosť výpočtu inverznej matice je dokázaná, preto článok poskytuje optimálnejšie spôsoby riešenia rovníc bez ich výpočtu. Je vysvetlené, prečo existuje toľko rôznych metód na výpočet determinantov a inverzných matíc a analyzujú sa ich nedostatky. Zohľadňujú sa aj chyby vo výpočte determinantu a odhaduje sa dosiahnutá presnosť. Okrem ruských výrazov sú v práci použité aj ich anglické ekvivalenty, aby sme pochopili, pod akými názvami hľadať číselné postupy v knižniciach a čo znamenajú ich parametre.
Základné definície a jednoduché vlastnosti
Determinant
Uveďme si definíciu determinantu štvorcovej matice ľubovoľného rádu. Táto definícia bude opakujúci, to znamená, aby ste určili, čo je determinantom matice poradia, musíte už vedieť, čo je determinantom matice poradia. Všimnite si tiež, že determinant existuje len pre štvorcové matice.
Determinant štvorcovej matice bude označený alebo det .
Definícia 1. determinantštvorcovú maticu 
volané číslo druhej objednávky 
.
determinant 
štvorcová matica poriadku sa nazýva číslo 
kde je determinant matice poradia získaný z matice vymazaním prvého riadku a stĺpca s číslom .
Pre prehľadnosť napíšeme, ako môžete vypočítať determinant matice štvrtého rádu: 
Komentujte. Vlastný výpočet determinantov pre matice nad tretím rádom na základe definície sa používa vo výnimočných prípadoch. Výpočet sa spravidla vykonáva podľa iných algoritmov, o ktorých sa bude diskutovať neskôr a ktoré vyžadujú menej výpočtovej práce.
Komentujte. V definícii 1 by bolo presnejšie povedať, že determinant je funkcia definovaná na množine matíc štvorcového rádu a nadobúdajúca hodnoty v množine čísel.
Komentujte. V literatúre sa namiesto pojmu „determinant“ používa aj pojem „determinant“, ktorý má rovnaký význam. Od slova „determinant“ vzniklo označenie det.
Uvažujme o niektorých vlastnostiach determinantov, ktoré formulujeme vo forme tvrdení.
Vyhlásenie 1. Pri transponovaní matice sa determinant nemení, teda .
Vyhlásenie 2. Determinant súčinu štvorcových matíc sa rovná súčinu determinantov faktorov, teda .
Vyhlásenie 3. Ak sú dva riadky v matici zamenené, potom jej determinant zmení znamienko.
Vyhlásenie 4. Ak má matica dva rovnaké riadky, jej determinant je nula.
V budúcnosti budeme musieť sčítať reťazce a vynásobiť reťazec číslom. Tieto operácie s riadkami (stĺpcami) budeme vykonávať rovnako ako operácie s riadkovými maticami (stĺpcovými maticami), teda prvok po prvku. Výsledkom bude riadok (stĺpec), ktorý sa spravidla nezhoduje s riadkami pôvodnej matice. Za prítomnosti operácií sčítania riadkov (stĺpcov) a ich násobenia číslom môžeme hovoriť aj o lineárnych kombináciách riadkov (stĺpcov), to znamená o sumách s číselnými koeficientmi.
Vyhlásenie 5. Ak sa riadok matice vynásobí číslom, jeho determinant sa vynásobí týmto číslom.
Vyhlásenie 6. Ak matica obsahuje nulový riadok, potom jej determinant je nula.
Vyhlásenie 7. Ak sa jeden z riadkov matice rovná druhému vynásobenému číslom (riadky sú proporcionálne), potom je determinant matice nula.
Vyhlásenie 8. Nech i-tý riadok v matici vyzerá takto . Potom, kde sa matica získa z matice nahradením i-tého riadku riadkom, a matica sa získa nahradením i-tého riadku riadkom.
Vyhlásenie 9. Ak sa jeden z riadkov matice pridá k inému, vynásobí sa číslom, potom sa determinant matice nezmení.
Vyhlásenie 10. Ak je jeden z riadkov matice lineárnou kombináciou ostatných riadkov, potom je determinant matice nula.
Definícia 2. Algebraické sčítanie k prvku matice sa nazýva číslo rovné , kde je determinant matice získaný z matice vymazaním i-tého riadku a j-tého stĺpca. Algebraický doplnok k prvku matice sa označuje ako .
Príklad. Nechaj 
. Potom 
Komentujte. Pomocou algebraických sčítaní možno definíciu 1 determinantu zapísať takto: 
Vyhlásenie 11. Rozklad determinantu v ľubovoľnom reťazci.
Maticový determinant spĺňa vzorec 
Príklad. Vypočítajte 
.
Riešenie. Využime rozšírenie v treťom riadku, je to výhodnejšie, pretože v treťom riadku sú dve čísla z troch nuly. Získajte 
Vyhlásenie 12. Pre štvorcovú maticu poriadku v , máme vzťah 
.
Vyhlásenie 13. Všetky vlastnosti determinantu formulované pre riadky (výroky 1 - 11) platia aj pre stĺpce, najmä platí rozklad determinantu v j-tom stĺpci 
a rovnosť 
v .
Vyhlásenie 14. Determinant trojuholníkovej matice sa rovná súčinu prvkov jej hlavnej uhlopriečky.
Dôsledok. Determinant matice identity sa rovná jednej, .
Záver. Vyššie uvedené vlastnosti umožňujú nájsť determinanty matíc dostatočne vysokých rádov s relatívne malým množstvom výpočtov. Algoritmus výpočtu je nasledujúci.
Algoritmus na vytváranie núl v stĺpci. Nech je potrebné vypočítať determinant objednávky. Ak , potom zameňte prvý riadok a akýkoľvek iný riadok, v ktorom prvý prvok nie je nula. V dôsledku toho sa determinant bude rovnať determinantu novej matice s opačným znamienkom. Ak sa prvý prvok každého riadku rovná nule, potom má matica nulový stĺpec a podľa výrokov 1, 13 sa jej determinant rovná nule.
Takže to berieme do úvahy už v pôvodnej matici . Prvý riadok ponechajte nezmenený. Pridajme do druhého riadku prvý riadok, vynásobený číslom . Potom sa prvý prvok druhého riadku bude rovnať 
.
Zostávajúce prvky nového druhého riadku budú označené , . Determinant novej matice podľa Príkazu 9 sa rovná . Vynásobte prvý riadok číslom a pridajte ho k tretiemu. Prvý prvok nového tretieho riadku sa bude rovnať 
Zostávajúce prvky nového tretieho riadku budú označené , . Determinant novej matice podľa Príkazu 9 sa rovná .
Budeme pokračovať v procese získavania núl namiesto prvých prvkov reťazcov. Nakoniec prvý riadok vynásobíme číslom a pripočítame k poslednému riadku. Výsledkom je matica označená ako , ktorá má tvar 
a . Na výpočet determinantu matice použijeme rozšírenie v prvom stĺpci
Odvtedy 
Determinant matice poradia je na pravej strane. Aplikujeme naň rovnaký algoritmus a výpočet determinantu matice sa zredukuje na výpočet determinantu matice rádu. Proces sa opakuje, kým sa nedostaneme k determinantu druhého rádu, ktorý sa vypočíta podľa definície.
Ak matica nemá žiadne špecifické vlastnosti, potom nie je možné výrazne znížiť množstvo výpočtov v porovnaní s navrhovaným algoritmom. Ďalšou dobrou stránkou tohto algoritmu je, že je ľahké napísať program pre počítač na výpočet determinantov matíc veľkých rádov. V štandardných programoch na výpočet determinantov sa tento algoritmus používa s malými zmenami spojenými s minimalizáciou vplyvu chýb zaokrúhľovania a chýb vstupných údajov v počítačových výpočtoch.
Príklad. Determinant vypočítanej matice 
.
Riešenie. Prvý riadok zostáva nezmenený. Do druhého riadku pridáme prvý, vynásobený číslom:
Determinant sa nemení. Do tretieho riadku pridáme prvý, vynásobený číslom:
Determinant sa nemení. Do štvrtého riadku pridáme prvý, vynásobený číslom:
Determinant sa nemení. V dôsledku toho dostaneme 
Pomocou rovnakého algoritmu vypočítame determinant matice 3. rádu, ktorá je vpravo. Prvý riadok necháme nezmenený, k druhému riadku pridáme prvý, vynásobený číslom 
:
Do tretieho riadku pridáme prvý, vynásobený číslom 
:
V dôsledku toho dostaneme 
Odpoveď. .
Komentujte. Aj keď sa pri výpočtoch používali zlomky, výsledkom bolo celé číslo. Použitím vlastností determinantov a skutočnosti, že pôvodné čísla sú celé čísla, by sa dalo vyhnúť operáciám so zlomkami. Ale v inžinierskej praxi sú čísla extrémne zriedkavo celé čísla. Preto budú prvky determinantu spravidla desatinné zlomky a nie je vhodné používať žiadne triky na zjednodušenie výpočtov.
inverzná matica
Definícia 3. Matica sa nazýva inverzná matica pre štvorcovú maticu, ak .
Z definície vyplýva, že inverzná matica bude štvorcová matica rovnakého rádu ako matica (inak by jeden zo súčinov alebo nebol definovaný).
Inverzná matica pre maticu je označená . Ak teda existuje, potom .
Z definície inverznej matice vyplýva, že matica je inverzná k matici, teda . Matice a možno povedať, že sú navzájom inverzné alebo vzájomne inverzné.
Ak je determinant matice nula, potom jej inverzná hodnota neexistuje.
Keďže pre nájdenie inverznej matice je dôležité, či sa determinant matice rovná nule alebo nie, uvádzame nasledujúce definície.
Definícia 4. Nazvime štvorcovú maticu degenerovať alebo špeciálna matrica, ak nedegenerované alebo nesingulárna matica, Ak .
Vyhlásenie. Ak existuje inverzná matica, potom je jedinečná.
Vyhlásenie. Ak je štvorcová matica nedegenerovaná, potom existuje jej inverzná matica a 
(1) kde sú algebraické sčítania prvkov .
Veta. Inverzná matica pre štvorcovú maticu existuje vtedy a len vtedy, ak je matica nesingulárna, inverzná matica je jedinečná a vzorec (1) je platný.
Komentujte. Osobitná pozornosť by sa mala venovať miestam, ktoré zaberajú algebraické sčítania vo vzorci inverznej matice: prvý index zobrazuje číslo stĺpec, a druhé je číslo linky, do ktorej by sa mal zapísať vypočítaný algebraický doplnok.
Príklad. 
.
Riešenie. Nájdenie determinantu
Od , potom je matica nedegenerovaná a existuje jej inverzia. Hľadanie algebraických doplnkov: 
Inverznú maticu zostavíme umiestnením nájdených algebraických doplnkov tak, aby prvý index zodpovedal stĺpcu a druhý riadku: 
(2)
Výsledná matica (2) je odpoveďou na problém.
Komentujte. V predchádzajúcom príklade by bolo presnejšie napísať odpoveď takto: 
(3)
Zápis (2) je však kompaktnejší a je vhodnejšie s ním vykonávať ďalšie výpočty, ak nejaké existujú. Preto je vhodnejšie písať odpoveď v tvare (2), ak sú prvky matíc celé čísla. A naopak, ak sú prvky matice desatinné zlomky, potom je lepšie napísať inverznú maticu bez faktora vpredu.
Komentujte. Pri hľadaní inverznej matice musíte vykonať pomerne veľa výpočtov a neobvyklé pravidlo na usporiadanie algebraických sčítaní vo výslednej matici. Preto existuje vysoká pravdepodobnosť chyby. Aby ste sa vyhli chybám, mali by ste vykonať kontrolu: vypočítajte súčin pôvodnej matice konečným v jednom alebo druhom poradí. Ak je výsledkom matica identity, potom sa inverzná matica nájde správne. V opačnom prípade musíte hľadať chybu.
Príklad. Nájdite inverznú hodnotu matice 
.
Riešenie.
- existuje.
odpoveď: 
.
Záver. Nájdenie inverznej matice podľa vzorca (1) vyžaduje príliš veľa výpočtov. Pre matice štvrtého rádu a vyššie je to neprijateľné. Skutočný algoritmus na nájdenie inverznej matice bude uvedený neskôr.
Výpočet determinantu a inverznej matice pomocou Gaussovej metódy
Na nájdenie determinantu a inverznej matice možno použiť Gaussovu metódu.
Konkrétne, maticový determinant sa rovná det .
Inverzná matica sa nachádza riešením systémov lineárnych rovníc pomocou Gaussovej eliminačnej metódy:
Kde je j-tý stĺpec matice identity , je požadovaný vektor.
Výsledné vektory riešenia - tvoria samozrejme stĺpce matice, pretože .
Vzorce pre determinant
1. Ak je matica nejednotná, potom a (súčin vedúcich prvkov).
Pripomeňme si Laplaceovu vetu:
Laplaceova veta:
Nech je ľubovoľne zvolených k riadkov (alebo k stĺpcov) v determinante d rádu n, . Potom súčet súčinov všetkých minoritných skupín k-teho rádu obsiahnutých vo vybraných riadkoch a ich algebraických doplnkov sa rovná determinantu d.
Na výpočet determinantov vo všeobecnom prípade sa k rovná 1. To znamená, v determinante d rádu n je riadok (alebo stĺpec) zvolený ľubovoľne. Potom sa súčet súčinov všetkých prvkov obsiahnutých vo vybranom riadku (alebo stĺpci) a ich algebraických doplnkov rovná determinantu d.
Príklad:
Vypočítajte determinant 
Riešenie:
Vyberme si ľubovoľný riadok alebo stĺpec. Z dôvodu, ktorý sa ukáže o niečo neskôr, obmedzíme náš výber buď na tretí riadok alebo štvrtý stĺpec. A zastavte sa na treťom riadku.
Využime Laplaceovu vetu.
Prvý prvok vybraného riadku je 10, nachádza sa v treťom riadku a prvom stĺpci. Vypočítajme k nemu algebraický doplnok, t.j. nájdite determinant získaný vymazaním stĺpca a riadku, na ktorom tento prvok stojí (10) a zistite znamienko.
"plus, ak súčet čísel všetkých riadkov a stĺpcov, v ktorých sa nachádza vedľajšie M, je párny, a mínus, ak je tento súčet nepárny."
A zobrali sme vedľajšiu položku pozostávajúcu z jedného jediného prvku 10, ktorý je v prvom stĺpci tretieho riadku.
Takže: 
Štvrtý člen tohto súčtu je 0, preto sa oplatí vybrať riadky alebo stĺpce s maximálnym počtom nulových prvkov.
odpoveď: -1228
Príklad:
Vypočítajte determinant: 
Riešenie:
Vyberme si prvý stĺpec, pretože dva prvky v ňom sú rovné 0. Rozviňme determinant v prvom stĺpci. 
Rozšírime každý z determinantov tretieho rádu o prvý a druhý riadok 
Rozšírime každý z determinantov druhého rádu v prvom stĺpci 
odpoveď: 48
komentár: pri riešení tejto úlohy neboli použité vzorce na výpočet determinantov 2. a 3. rádu. Použilo sa iba rozšírenie o riadok alebo stĺpec. Čo vedie k zníženiu poradia determinantov.
