Normálne rozdelenie je najbežnejším typom rozdelenia. Stretávame sa s ním pri analýze chýb merania, kontrole technologických procesov a režimov, ako aj pri analýze a predikcii rôznych javov v biológii, medicíne a iných oblastiach poznania.

Termín "normálna distribúcia" sa používa v podmienečnom zmysle, ako je všeobecne akceptované v literatúre, aj keď nie celkom úspešné. Tvrdenie, že určitý atribút sa podriaďuje zákonu normálneho rozdelenia, teda vôbec neznamená existenciu akýchkoľvek neotrasiteľných noriem, ktoré sú údajne základom javu, ktorého odrazom je daný atribút, a podriadenie sa iným zákonom rozdeľovania neznamená nejaký druh abnormality tohto javu.

Hlavnou črtou normálneho rozdelenia je, že je to limit, ku ktorému sa približujú ostatné rozdelenia. Normálne rozdelenie prvýkrát objavil Moivre v roku 1733. Iba spojité náhodné premenné sa riadia normálnym zákonom. Hustota zákona normálneho rozdelenia má tvar .

Matematické očakávanie pre zákon normálneho rozdelenia je . Rozptyl je .

Základné vlastnosti normálneho rozdelenia.

1. Funkcia hustoty rozdelenia je definovaná na celej reálnej osi Oh , teda každá hodnota X zodpovedá presne definovanej hodnote funkcie.

2. Pre všetky hodnoty X (pozitívne aj negatívne) funkcia hustoty nadobúda kladné hodnoty, to znamená, že normálna krivka je umiestnená nad osou Oh .

3. Limita funkcie hustoty s neobmedzeným nárastom X rovná sa nule, .

4. Funkcia hustoty normálneho rozdelenia v bode má maximum.

5. Graf funkcie hustoty je symetrický podľa priamky.

6. Distribučná krivka má dva inflexné body so súradnicami a .

7. Modus a medián normálneho rozdelenia sa zhodujú s matematickým očakávaním A .

8. Tvar normálnej krivky sa pri zmene parametra nemení A .

9. Koeficienty šikmosti a špičatosti normálneho rozdelenia sú rovné nule.

Dôležitosť výpočtu týchto koeficientov pre empirické distribučné rady je zrejmá, keďže charakterizujú šikmosť a strmosť daného radu oproti normálnemu.

Pravdepodobnosť pádu do intervalu sa zistí pomocou vzorca , kde je nepárna tabuľková funkcia.

Určme pravdepodobnosť, že sa normálne rozdelená náhodná premenná odchýli od svojho matematického očakávania o hodnotu menšiu ako , čiže nájdeme pravdepodobnosť nerovnosti , alebo pravdepodobnosť dvojitej nerovnosti . Dosadením do vzorca dostaneme

Vyjadrenie odchýlky náhodnej veličiny X v zlomkoch smerodajnej odchýlky, teda po vložení poslednej rovnosti, dostaneme .

Potom pre , dostaneme

keď dostaneme,

keď dostaneme.

Z poslednej nerovnosti vyplýva, že prakticky rozptyl normálne rozloženej náhodnej veličiny leží v sekcii . Pravdepodobnosť, že náhodná premenná nespadne do tejto oblasti, je veľmi malá, konkrétne sa rovná 0,0027, to znamená, že táto udalosť sa môže vyskytnúť iba v troch prípadoch z 1000. Takéto udalosti možno považovať za takmer nemožné. Na základe vyššie uvedenej úvahy, pravidlo troch sigma, ktorý je formulovaný takto: ak má náhodná premenná normálne rozdelenie, potom odchýlka tejto hodnoty od matematického očakávania v absolútnej hodnote nepresiahne trojnásobok štandardnej odchýlky.

Príklad 28. Diel vyrobený automatickým strojom sa považuje za vhodný, ak odchýlka jeho kontrolovanej veľkosti od konštrukčného nepresahuje 10 mm. Náhodné odchýlky kontrolovanej veľkosti od konštrukčnej veľkosti podliehajú zákonu normálneho rozdelenia so štandardnou odchýlkou ​​mm a matematickým očakávaním. Aké percento dobrých dielov stroj vyrába?

Riešenie. Zvážte náhodnú premennú X - odchýlka veľkosti od návrhu. Časť bude uznaná ako vhodná, ak náhodná premenná patrí do intervalu. Pravdepodobnosť výroby vhodného dielu sa zistí podľa vzorca . Preto je percento dobrých dielov vyrobených strojom 95,44%.

Binomické rozdelenie

Binomické je rozdelenie pravdepodobnosti výskytu m počet udalostí v P nezávislé testy, v každom z nich je pravdepodobnosť výskytu udalosti konštantná a rovná sa R . Pravdepodobnosť možného počtu výskytov udalosti sa vypočíta podľa Bernoulliho vzorca: ,

Kde . Trvalé P A R , zahrnuté v tomto výraze, parametre binomického zákona. Binomické rozdelenie popisuje rozdelenie pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej premennej.

Základné číselné charakteristiky binomického rozdelenia. Matematické očakávanie je . Rozptyl je . Koeficienty šikmosti a špičatosti sa rovnajú a . S neobmedzeným nárastom počtu pokusov A A E tendenciu k nule, preto môžeme predpokladať, že binomické rozdelenie konverguje k normálnemu s rastúcim počtom pokusov.

Príklad 29. Nezávislé testy sa vykonávajú s rovnakou pravdepodobnosťou výskytu udalosti A v každom teste. Nájdite pravdepodobnosť výskytu udalosti A v jednom pokuse, ak je rozdiel v počte vystúpení v troch pokusoch 0,63.

Riešenie. Pre binomické rozdelenie. Nahraďte hodnoty, dostaneme odtiaľto alebo potom a .

Poissonovo rozdelenie

Zákon distribúcie zriedkavých javov

Poissonovo rozdelenie popisuje počet udalostí m , vyskytujúce sa v rovnakých časových intervaloch za predpokladu, že udalosti prebiehajú nezávisle od seba s konštantnou priemernou intenzitou. Zároveň počet pokusov P je veľká a pravdepodobnosť udalosti nastane v každom pokuse R malý. Preto sa Poissonovo rozdelenie nazýva zákon zriedkavých javov alebo najjednoduchší tok. Parameter Poissonovho rozdelenia je hodnota charakterizujúca intenzitu výskytu udalostí v P testy. Poissonov vzorec rozdelenia.

Poissonovo rozdelenie dobre popisuje počet žiadostí o vyplatenie poistných súm za rok, počet hovorov prijatých telefónnou ústredňou za určitý čas, počet porúch prvkov pri testovaní spoľahlivosti, počet chybných výrobkov atď. .

Základné číselné charakteristiky pre Poissonovo rozdelenie. Matematické očakávanie sa rovná rozptylu a rovná sa A . To je . Toto je charakteristický znak tejto distribúcie. Koeficienty šikmosti a špičatosti sa rovnajú .

Príklad 30. Priemerný počet výplat poistných súm za deň sú dve. Nájdite pravdepodobnosť, že za päť dní budete musieť zaplatiť: 1) 6 poistných súm; 2) menej ako šesť čiastok; 3) nie menej ako šesť.distribúcia.

Toto rozdelenie sa často pozoruje pri štúdiu životnosti rôznych zariadení, doby prevádzkyschopnosti jednotlivých prvkov, častí systému a systému ako celku, keď sa zvažujú náhodné časové intervaly medzi výskytom dvoch po sebe nasledujúcich zriedkavých udalostí.

Hustota exponenciálneho rozdelenia je určená parametrom , ktorý je tzv poruchovosť. Tento pojem je spojený so špecifickou oblasťou použitia - teóriou spoľahlivosti.

Výraz pre integrálnu funkciu exponenciálneho rozdelenia možno nájsť pomocou vlastností diferenciálnej funkcie:

Matematické očakávanie exponenciálneho rozdelenia, rozptyl, smerodajná odchýlka. Pre toto rozdelenie je teda typické, že smerodajná odchýlka sa číselne rovná matematickému očakávaniu. Pre akúkoľvek hodnotu parametra sú koeficienty šikmosti a špičatosti konštantné hodnoty.

Príklad 31. Priemerná doba prevádzky televízora pred prvou poruchou je 500 hodín. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybraný televízor bude fungovať bez porúch viac ako 1000 hodín.

Riešenie. Keďže priemerný čas do prvého zlyhania je 500, potom . Požadovanú pravdepodobnosť nájdeme podľa vzorca .

V mnohých problémoch týkajúcich sa normálne rozdelených náhodných premenných je potrebné určiť pravdepodobnosť, že náhodná premenná , ktorá sa riadi normálnym zákonom s parametrami, spadá do intervalu od do . Na výpočet tejto pravdepodobnosti používame všeobecný vzorec

kde je distribučná funkcia množstva .

Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej rozloženej podľa normálneho zákona s parametrami. Hustota distribúcie hodnoty je:

. (6.3.2)

Odtiaľ nájdeme distribučnú funkciu

. (6.3.3)

Urobme zmenu premennej v integráli (6.3.3)

a uveďte ho do formulára:

(6.3.4)

Integrál (6.3.4) nie je vyjadrený elementárnymi funkciami, ale možno ho vypočítať pomocou špeciálnej funkcie, ktorá vyjadruje určitý integrál výrazu alebo (tzv. pravdepodobnostný integrál), pre ktorý sú zostavené tabuľky . Existuje mnoho druhov takýchto funkcií, napríklad:

;

atď. Ktorú z týchto funkcií použiť, je vecou vkusu. Zvolíme ako takú funkciu

. (6.3.5)

Je ľahké vidieť, že táto funkcia nie je nič iné ako distribučná funkcia pre normálne rozdelenú náhodnú premennú s parametrami.

Súhlasíme s tým, že funkciu nazveme funkciou normálneho rozdelenia. V prílohe (tabuľka 1) sú uvedené tabuľky funkčných hodnôt.

Vyjadrime distribučnú funkciu (6.3.3) veličiny parametrami a pomocou funkcie normálneho rozdelenia . samozrejme,

. (6.3.6)

Teraz nájdime pravdepodobnosť zásahu náhodnej premennej v segmente od do . Podľa vzorca (6.3.1)

Vyjadrili sme teda pravdepodobnosť, že náhodná premenná , rozdelená podľa normálneho zákona s ľubovoľnými parametrami, padne na graf z hľadiska funkcie štandardného rozdelenia , zodpovedajúcej najjednoduchšiemu normálnemu zákonu s parametrami 0,1. Všimnite si, že argumenty funkcie vo vzorci (6.3.7) majú veľmi jednoduchý význam: existuje vzdialenosť od pravého konca sekcie k stredu disperzie, vyjadrená v štandardných odchýlkach; - rovnaká vzdialenosť pre ľavý koniec úseku a táto vzdialenosť sa považuje za kladnú, ak je koniec umiestnený napravo od stredu rozptylu, a zápornú, ak je vľavo.

Ako každá distribučná funkcia, funkcia má nasledujúce vlastnosti:

3. - neklesajúca funkcia.

Navyše zo symetrie normálneho rozdelenia s parametrami o pôvode vyplýva, že

Pomocou tejto vlastnosti by bolo v skutočnosti možné obmedziť tabuľky funkcií iba na kladné hodnoty argumentu, ale aby sa predišlo zbytočnej operácii (odčítanie od jednej), tabuľka 1 prílohy poskytuje hodnoty pre pozitívne aj negatívne argumenty.

V praxi sa často stretávame s problémom výpočtu pravdepodobnosti, že normálne rozložená náhodná premenná spadne do oblasti, ktorá je symetrická okolo stredu disperzie. Zvážte takýto úsek dĺžky (obr. 6.3.1). Vypočítajme pravdepodobnosť zásahu na túto stránku pomocou vzorca (6.3.7):

Ak vezmeme do úvahy vlastnosť (6.3.8) funkcie a dáme ľavej strane vzorca (6.3.9) kompaktnejší tvar, dostaneme vzorec pre pravdepodobnosť náhodnej premennej rozloženej podľa normálneho zákona spadajúceho do rez symetrický vzhľadom na stred rozptylu:

. (6.3.10)

Poďme vyriešiť nasledujúci problém. Odložme si po sebe nasledujúce úseky dĺžky od stredu rozptylu (obr. 6.3.2) a vypočítajme pravdepodobnosť, že do každého z nich padne náhodná veličina. Keďže krivka normálneho zákona je symetrická, stačí takéto segmenty odložiť len jedným smerom.

Podľa vzorca (6.3.7) zistíme:

(6.3.11)

Ako je možné vidieť z týchto údajov, pravdepodobnosť zasiahnutia každého z nasledujúcich segmentov (piaty, šiesty atď.) s presnosťou 0,001 sa rovná nule.

Zaokrúhlením pravdepodobnosti zasiahnutia segmentov na 0,01 (až 1 %) dostaneme tri čísla, ktoré si ľahko zapamätáme:

0,34; 0,14; 0,02.

Súčet týchto troch hodnôt je 0,5. To znamená, že pre normálne rozdelenú náhodnú premennú sa všetky disperzie (až do zlomkov percent) zmestia do sekcie .

To umožňuje pri znalosti smerodajnej odchýlky a matematického očakávania náhodnej premennej približne naznačiť rozsah jej prakticky možných hodnôt. Táto metóda odhadu rozsahu možných hodnôt náhodnej premennej je v matematickej štatistike známa ako „pravidlo troch sigma“. Z pravidla troch sigma vyplýva aj približná metóda na určenie smerodajnej odchýlky náhodnej premennej: vezmú sa maximálnu prakticky možnú odchýlku od priemeru a vydelia sa tromi. Samozrejme, túto približnú metódu možno odporučiť len vtedy, ak neexistujú iné, presnejšie spôsoby stanovenia .

Príklad 1. Náhodná veličina , rozdelená podľa normálneho zákona, je chybou pri meraní určitej vzdialenosti. Pri meraní je povolená systematická chyba v smere nadhodnotenia o 1,2 (m); smerodajná odchýlka chyby merania je 0,8 (m). Nájdite pravdepodobnosť, že odchýlka nameranej hodnoty od skutočnej hodnoty nepresiahne 1,6 (m) v absolútnej hodnote.

Riešenie. Chyba merania je náhodná veličina, ktorá sa riadi normálnym zákonom s parametrami a . Musíme nájsť pravdepodobnosť, že táto veličina spadá do intervalu od do . Podľa vzorca (6.3.7) máme:

Pomocou tabuliek funkcií (príloha, tabuľka 1) nájdeme:

; ,

Príklad 2. Nájdite rovnakú pravdepodobnosť ako v predchádzajúcom príklade, ale pod podmienkou, že neexistuje žiadna systematická chyba.

Riešenie. Podľa vzorca (6.3.10), za predpokladu, nájdeme:

.

Príklad 3. Na terč, ktorý vyzerá ako pás (diaľnica), ktorého šírka je 20 m, sa strieľa v smere kolmom na diaľnicu. Zameranie sa vykonáva pozdĺž stredovej čiary diaľnice. Smerodajná odchýlka v smere streľby sa rovná m V smere streľby je systematická chyba: podstrel je 3 m Nájdite pravdepodobnosť zásahu na diaľnicu jedným výstrelom.

(skutočné, prísne pozitívne)

Normálne rozdelenie, tiež nazývaný Gaussovo rozdelenie alebo Gauss - Laplace- rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré je v jednorozmernom prípade dané funkciou hustoty pravdepodobnosti, ktorá sa zhoduje s Gaussovou funkciou:

f (x) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2 , (\displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi ))))\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\sigma ^(2)))),)

kde parameter μ je matematické očakávanie (stredná hodnota), medián a spôsob rozdelenia a parameter σ je štandardná odchýlka (σ  ² - rozptyl) rozdelenia.

Jednorozmerné normálne rozdelenie je teda dvojparametrová rodina rozdelení. Viacrozmerný prípad je opísaný v článku „Multivariačná normálna distribúcia“.

štandardné normálne rozdelenie sa nazýva normálne rozdelenie so strednou hodnotou μ = 0 a smerodajnou odchýlkou ​​σ = 1 .

Encyklopedický YouTube

• 1 / 5

  Dôležitosť normálneho rozdelenia v mnohých oblastiach vedy (napríklad v matematickej štatistike a štatistickej fyzike) vyplýva z ústrednej limitnej vety teórie pravdepodobnosti. Ak je výsledkom pozorovania súčet mnohých náhodných, slabo vzájomne závislých premenných, z ktorých každá má malý príspevok v pomere k celkovému súčtu, potom ako sa počet členov zvyšuje, distribúcia centrovaného a normalizovaného výsledku má tendenciu k normálu. Tento zákon teórie pravdepodobnosti má za následok široké rozdelenie normálneho rozdelenia, čo bolo jedným z dôvodov jeho názvu.

  Vlastnosti

  Momenty

  Ak náhodné premenné X 1 (\displaystyle X_(1)) A X 2 (\displaystyle X_(2)) sú nezávislé a majú normálne rozdelenie s matematickými očakávaniami μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) A μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) a disperzie σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) A σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) respektíve potom X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) má tiež normálne rozdelenie s očakávanou hodnotou μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) a rozptyl σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) To znamená, že normálna náhodná premenná môže byť reprezentovaná ako súčet ľubovoľného počtu nezávislých normálnych náhodných premenných.

  Maximálna entropia

  Normálne rozdelenie má maximálnu diferenciálnu entropiu medzi všetkými spojitými rozdeleniami, ktorých rozptyl nepresahuje danú hodnotu.

  Modelovanie normálnych pseudonáhodných premenných

  Najjednoduchšie približné metódy modelovania sú založené na centrálnej limitnej vete. Totiž, ak spočítame niekoľko nezávislých identicky rozdelených veličín s konečným rozptylom , potom bude súčet rozdelený približne Dobre. Napríklad, ak pridáte 100 nezávislých štandardov rovnomerne distribuovaných náhodných premenných, potom bude rozdelenie súčtu približne normálne.

  Na softvérové ​​generovanie normálne distribuovaných pseudonáhodných premenných je vhodnejšie použiť Box - Mullerovu transformáciu. Umožňuje vám vygenerovať jednu normálne rozloženú hodnotu na základe jednej rovnomerne rozloženej hodnoty.

  Normálna distribúcia v prírode a aplikáciách

  Normálne rozdelenie sa často nachádza v prírode. Napríklad nasledujúce náhodné premenné sú dobre modelované normálnym rozdelením:

  • vychýlenie streľby.
  • chyby merania (chyby niektorých meracích prístrojov však majú nenormálne rozdelenie).
  • niektoré charakteristiky živých organizmov v populácii.

  Toto rozdelenie je také rozšírené, pretože ide o nekonečne deliteľné spojité rozdelenie s konečným rozptylom. Preto sa k nemu niektoré ďalšie približujú v limite, napríklad binomický a Poissonov. Mnoho nedeterministických fyzikálnych procesov je modelovaných týmto rozdelením.

  Vzťah s inými distribúciami

  • Normálne rozdelenie je Pearsonovo rozdelenie typu XI.
  • Pomer dvojice nezávislých štandardných normálne rozdelených náhodných premenných má  Cauchyho rozdelenie. Teda ak náhodná premenná X (\displaystyle X) predstavuje vzťah X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Kde Y (\displaystyle Y) A Z (\displaystyle Z) sú nezávislé štandardné normálne náhodné premenné), potom bude mať Cauchyho rozdelenie.
  • Ak z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k)) sú spoločne nezávislé štandardné normálne náhodné premenné, t.j. z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), potom náhodná premenná x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) má chí-kvadrát rozdelenie s k stupňami voľnosti.
  • Ak náhodná premenná X (\displaystyle X) podlieha lognormálnemu rozdeleniu, potom jeho prirodzený logaritmus má normálne rozdelenie. Teda ak X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), To Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). A naopak, ak Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), To X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \správny)).
  • Pomer druhých mocnín dvoch štandardných normálnych náhodných premenných má

  V praxi sa väčšina náhodných premenných, ktoré sú ovplyvnené veľkým počtom náhodných faktorov, riadi normálnym zákonom rozdelenia pravdepodobnosti. Preto v rôznych aplikáciách teórie pravdepodobnosti má tento zákon mimoriadny význam.

  Náhodná premenná $X$ sa riadi zákonom normálneho rozdelenia pravdepodobnosti, ak má hustota rozdelenia pravdepodobnosti nasledujúci tvar

  $$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

  Schematicky je na obrázku znázornený graf funkcie $f\left(x\right)$ a má názov „Gaussova krivka“. Napravo od tohto obrázka je nemecká 10-marková bankovka, ktorá sa používala ešte pred zavedením eura. Ak sa pozriete pozorne, potom na tejto bankovke môžete vidieť Gaussovu krivku a jej objaviteľa, najväčšieho matematika Carla Friedricha Gaussa.

  Vráťme sa k našej funkcii hustoty $f\left(x\right)$ a vysvetlime si parametre rozdelenia $a,\ (\sigma )^2$. Parameter $a$ charakterizuje stred rozptylu hodnôt náhodnej premennej, to znamená, že má význam matematického očakávania. Keď sa zmení parameter $a$ a parameter $(\sigma )^2$ zostane nezmenený, môžeme pozorovať posun grafu funkcie $f\left(x\right)$ po vodorovnej osi, pričom hustota samotný graf nemení svoj tvar.

  

  Parameter $(\sigma )^2$ je rozptyl a charakterizuje tvar krivky hustoty $f\left(x\right)$. Pri zmene parametra $(\sigma )^2$ s nezmeneným parametrom $a$ môžeme pozorovať, ako graf hustoty mení svoj tvar, zmenšuje sa alebo naťahuje, pričom sa neposúva pozdĺž úsečky.

  

  Pravdepodobnosť normálne rozloženej náhodnej premennej spadajúcej do daného intervalu

  Ako je známe, pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ spadá do intervalu $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, sa dá vypočítať $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

  $$P\vľavo(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

  Tu je funkcia $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ Laplaceova funkcia. Hodnoty tejto funkcie sú prevzaté z . Možno si všimnúť nasledujúce vlastnosti funkcie $\Phi \left(x\right)$.

  

  1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, teda funkcia $\Phi \left(x\right)$ je nepárna.

  2 . $\Phi \left(x\right)$ je monotónne rastúca funkcia.

  3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ vľavo(x\vpravo)\ )=-0,5 $.

  Na výpočet hodnôt funkcie $\Phi \left(x\right)$ môžete použiť aj sprievodcu funkciou $f_x$ balíka Excel: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\vpravo )-0,5 $. Napríklad vypočítajme hodnoty funkcie $\Phi \left(x\right)$ pre $x=2$.

  

  Pravdepodobnosť, že normálne rozdelená náhodná premenná $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ spadá do intervalu symetrického vzhľadom na očakávanie $a$, sa dá vypočítať pomocou vzorca

  $$P\vľavo(\vľavo|X-a\vpravo|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

  Pravidlo troch sigma. Je prakticky isté, že normálne rozdelená náhodná premenná $X$ spadá do intervalu $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

  Príklad 1 . Náhodná premenná $X$ podlieha zákonu normálneho rozdelenia pravdepodobnosti s parametrami $a=2,\ \sigma =3$. Nájdite pravdepodobnosť, že $X$ spadá do intervalu $\left(0,5;1\right)$ a pravdepodobnosť, že nerovnosť $\left|X-a\right|< 0,2$.

  Pomocou vzorca

  $$P\vľavo(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

  nájsť $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ nad (3))\vpravo)=\Phi \vľavo(-0,33\vpravo)-\Phi \vľavo(-0,5\vpravo)=\Phi \ľavo(0,5\vpravo)-\Phi \ vľavo (0,33\vpravo) =0,191-0,129=0,062 USD.

  $$P\vľavo(\vľavo|X-a\vpravo|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

  Príklad 2 . Predpokladajme, že počas roka je cena akcií určitej spoločnosti náhodnou veličinou rozloženou podľa bežného zákona s matematickým očakávaním rovným 50 konvenčným peňažným jednotkám a štandardnou odchýlkou ​​rovnou 10. Aká je pravdepodobnosť, že na náhodne vybranom v deň prejednávaného obdobia bude cena za akciu:

  a) viac ako 70 konvenčných peňažných jednotiek?

  b) menej ako 50 na akciu?

  c) medzi 45 a 58 konvenčnými peňažnými jednotkami na akciu?

  Nech je náhodná premenná $X$ cena akcií nejakej spoločnosti. Podľa podmienky $X$ podlieha normálnemu rozdeleniu s parametrami $a=50$ - matematické očakávanie, $\sigma =10$ - štandardná odchýlka. Pravdepodobnosť $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

  $$P\vľavo(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

  $$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ viac ako (10)\vpravo)=0,5-\Phi \ľavo(2\vpravo)=0,5-0,4772=0,0228,$$

  $$b)\ P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

  $$c)\ P\vľavo(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

  Zákon normálneho rozdelenia pravdepodobností spojitej náhodnej premennej zaujíma osobitné miesto medzi rôznymi teoretickými zákonmi, pretože je hlavným v mnohých praktických štúdiách. Opisuje väčšinu náhodných javov spojených s výrobnými procesmi.

  Medzi náhodné javy, ktoré sa riadia zákonom normálneho rozdelenia, patria chyby merania výrobných parametrov, rozloženie technologických výrobných chýb, výška a hmotnosť väčšiny biologických objektov atď.

  Normálne nazývame zákon rozdelenia pravdepodobnosti spojitej náhodnej veličiny, ktorá je opísaná diferenciálnou funkciou

  a - matematické očakávanie náhodnej premennej;

  Smerodajná odchýlka normálneho rozdelenia.

  Graf diferenciálnej funkcie normálneho rozdelenia sa nazýva normálna krivka (Gaussova krivka) (obr. 7).

  

  Ryža. 7 Gaussova krivka

  Vlastnosti normálnej krivky (Gaussova krivka):

  1. krivka je symetrická podľa priamky x = a;

  2. normálna krivka je umiestnená nad osou X, t.j. pre všetky hodnoty X je funkcia f(x) vždy kladná;

  3. Os ox je horizontálna asymptota grafu, pretože

  4. pre x = a má funkcia f(x) maximum rovné

  ,

  v bodoch A a B at a krivka má inflexné body, ktorých súradnice sú rovnaké.

  

  Pravdepodobnosť, že absolútna hodnota odchýlky normálne rozloženej náhodnej premennej od jej matematického očakávania nepresiahne smerodajnú odchýlku, sa zároveň rovná 0,6826.

  v bodoch E a G, pre a , je hodnota funkcie f(x) rovná

  

  a pravdepodobnosť, že absolútna hodnota odchýlky normálne rozloženej náhodnej premennej od jej matematického očakávania nepresiahne dvojnásobok smerodajnej odchýlky je 0,9544.

  Gaussova krivka v bodoch C a D, v a , sa asymptoticky približuje k osi vodorovnej osi. V týchto bodoch je hodnota funkcie f(x) veľmi malá

  

  a pravdepodobnosť, že absolútna hodnota odchýlky normálne rozloženej náhodnej premennej od jej matematického očakávania nepresiahne trojnásobok štandardnej odchýlky je 0,9973. Táto vlastnosť Gaussovej krivky sa nazýva " pravidlo troch sigma".

  
  
  

  Ak je náhodná premenná normálne rozdelená, potom absolútna hodnota jej odchýlky od matematického očakávania nepresiahne trojnásobok štandardnej odchýlky.

  Zmena hodnoty parametra a (matematické očakávanie náhodnej premennej) nemení tvar normálnej krivky, ale vedie len k jej posunu pozdĺž osi X: doprava, ak sa a zvyšuje, a doľava, ak a klesá.

  Keď a=0, normálna krivka je symetrická okolo osi y.

  Zmenou hodnoty parametra (štandardná odchýlka) sa zmení tvar normálnej krivky: s rastúcimi ordinátami normálnej krivky sa krivka natiahne pozdĺž osi X a pritlačí sa k nej. Pri znižovaní sa súradnice normálnej krivky zväčšujú, krivka sa zmenšuje pozdĺž osi X a stáva sa viac „vrcholovou“.

  Zároveň pre všetky hodnoty a oblasť ohraničená normálnou krivkou a osou X zostáva rovná jednej (t. j. pravdepodobnosť, že náhodná premenná rozložená normálne nadobudne hodnotu ohraničenú normálnou krivkou na os X sa rovná 1).

  Normálne rozdelenie s ľubovoľnými parametrami a , t.j. popísané diferenciálnou funkciou

  

  volal všeobecné normálne rozdelenie.

  Normálne rozdelenie s parametrami a je tzv normalizované rozdelenie(obr. 8). V normalizovanom rozdelení je funkcia diferenciálneho rozdelenia:

  

  Ryža. 8 Normalizovaná krivka

  Integrálna funkcia všeobecného normálneho rozdelenia má tvar:

  Nech je náhodná premenná X rozdelená podľa normálneho zákona v intervale (c, d). Potom sa pravdepodobnosť, že X nadobudne hodnotu patriacu do intervalu (c, d), rovná

  

  Príklad. Náhodná premenná X je rozdelená podľa normálneho zákona. Matematické očakávanie a smerodajná odchýlka tejto náhodnej premennej sú a=30 a . Nájdite pravdepodobnosť, že X nadobudne hodnotu v intervale (10, 50).

  Podľa podmienok: . Potom

  Pomocou hotových Laplaceových tabuliek (pozri prílohu 3) máme.