Rovnomerné rozdelenie. spojitá hodnota X je rovnomerne rozložené v intervale ( a, b) ak sú všetky jeho možné hodnoty v tomto intervale a hustota rozdelenia pravdepodobnosti je konštantná:

Pre náhodnú premennú X, rovnomerne rozložené v intervale ( a, b) (obr. 4), pravdepodobnosť pádu do ľubovoľného intervalu ( X 1 , X 2) ležiace vo vnútri intervalu ( a, b), rovná sa:

(30)


Ryža. 4. Graf hustoty rovnomerného rozdelenia

Chyby zaokrúhľovania sú príklady rovnomerne rozdelených veličín. Ak sú teda všetky tabuľkové hodnoty určitej funkcie zaokrúhlené na rovnakú číslicu, potom náhodným výberom tabuľkovej hodnoty usúdime, že chyba zaokrúhľovania vybraného čísla je náhodná premenná rovnomerne rozložená v intervale.

exponenciálne rozdelenie. Spojitá náhodná premenná X Má exponenciálne rozdelenie

(31)

Graf hustoty rozdelenia pravdepodobnosti (31) je znázornený na obr. 5.

Ryža. 5. Graf hustoty exponenciálneho rozdelenia

čas T bezporuchovosť počítačového systému je náhodná veličina, ktorá má exponenciálne rozdelenie s parametrom λ , ktorého fyzikálny význam je priemerný počet porúch za jednotku času, nepočítajúc odstávky systému na opravu.

Normálne (Gaussovo) rozdelenie. Náhodná hodnota X Má normálne (gaussovské) rozdelenie, ak je rozdelenie hustoty jeho pravdepodobností určené závislosťou:

(32)

Kde m = M(X) , .

O normálne rozdelenie sa nazýva štandardné.

Graf hustoty normálneho rozdelenia (32) je znázornený na obr. 6.

Ryža. 6. Graf hustoty normálneho rozdelenia

Normálne rozdelenie je najbežnejším rozdelením v rôznych náhodných javoch prírody. Teda chyby pri vykonávaní príkazov automatizovaným zariadením, chyby pri štarte kozmickej lode do daného bodu vo vesmíre, chyby v parametroch počítačových systémov atď. vo väčšine prípadov majú normálne alebo takmer normálne rozloženie. Navyše náhodné premenné tvorené súčtom veľkého počtu náhodných členov sú rozdelené takmer podľa normálneho zákona.

Distribúcia gama. Náhodná hodnota X Má gama distribúcia, ak je rozdelenie hustoty jeho pravdepodobností vyjadrené vzorcom:

(33)

Kde je Eulerova gama funkcia.

Kapitola 6. Spojité náhodné premenné.

§ 1. Hustota a distribučná funkcia spojitej náhodnej veličiny.

Množina hodnôt spojitej náhodnej premennej je nespočítateľná a zvyčajne predstavuje nejaký konečný alebo nekonečný interval.

Volá sa náhodná premenná x(w) daná v pravdepodobnostnom priestore (W, S, P). nepretržitý(absolútne spojitá) W, ak existuje nezáporná funkcia tak, že pre ľubovoľné x môže byť distribučná funkcia Fx(x) reprezentovaná ako integrál

Funkcia sa nazýva funkcia hustota rozdelenia pravdepodobnosti.

Vlastnosti distribučnej hustoty vyplývajú z definície:

1..gif" width="97" height="51">

3. V bodoch spojitosti sa hustota rozdelenia rovná derivácii distribučnej funkcie: .

4. Hustota rozdelenia určuje zákon rozdelenia náhodnej premennej, pretože určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná spadne do intervalu:

5. Pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná nadobudne konkrétnu hodnotu, je nulová: . Preto platia nasledujúce rovnosti:

Graf funkcie hustoty rozdelenia sa nazýva distribučná krivka a plocha ohraničená distribučnou krivkou a osou x sa rovná jednej. Potom geometricky, hodnota distribučnej funkcie Fx(x) v bode x0 je oblasť ohraničená distribučnou krivkou a osou x a ležiaca naľavo od bodu x0.

Úloha 1. Funkcia hustoty spojitej náhodnej premennej má tvar:

Určte konštantu C, zostrojte distribučnú funkciu Fx(x) a vypočítajte pravdepodobnosť .

Riešenie. Konštanta C sa zistí z podmienky Máme:

kde C=3/8.

Na vytvorenie distribučnej funkcie Fx(x) si všimnite, že interval rozdeľuje rozsah argumentu x (os čísel) na tri časti: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264 "height="49">

keďže hustota x na poloosi je nulová. V druhom prípade

Nakoniec, v poslednom prípade, keď x>2,

Keďže hustota mizne na poloosi . Tak sa získa distribučná funkcia

Pravdepodobnosť vypočítajte podľa vzorca. teda

§ 2. Číselné charakteristiky spojitej náhodnej veličiny

Očakávaná hodnota pre nepretržite distribuované náhodné premenné sa určuje podľa vzorca https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

ak integrál vpravo konverguje absolútne.

Disperzia x možno vypočítať pomocou vzorca , a tiež, ako v samostatnom prípade, podľa vzorca https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Všetky vlastnosti očakávania a rozptylu uvedené v kapitole 5 pre diskrétne náhodné premenné platia aj pre spojité náhodné premenné.

Úloha 2. Pre náhodnú premennú x z úlohy 1 vypočítajte matematické očakávanie a rozptyl .

Riešenie.

A to znamená

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Graf hustoty rovnomernej distribúcie nájdete na obr. .

Obr.6.2. Distribučná funkcia a distribučná hustota. jednotný zákon

Distribučná funkcia Fx(x) rovnomerne rozloženej náhodnej premennej je

Fx(x)=

Matematické očakávanie a rozptyl; .

Exponenciálne (exponenciálne) rozdelenie. Spojitá náhodná premenná x, ktorá nadobúda nezáporné hodnoty, má exponenciálne rozdelenie s parametrom l>0, ak sa hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej rovná

px(x)=

Ryža. 6.3. Distribučná funkcia a distribučná hustota exponenciálneho zákona.

Distribučná funkcia exponenciálneho rozdelenia má tvar

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> a , ak je jeho hustota distribúcie rovná

.

Množinu všetkých náhodných premenných rozdelených podľa normálneho zákona s parametrami a parametrami označujeme .

Distribučná funkcia normálne rozloženej náhodnej premennej je

.

Ryža. 6.4. Distribučná funkcia a distribučná hustota normálneho zákona

Parametre normálneho rozdelenia sú matematické očakávania https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

V konkrétnom prípade, keď https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> normálne rozdelenie sa nazýva štandardné a trieda takýchto distribúcií je označená https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

kým distribučná funkcia

Takýto integrál sa nedá vypočítať analyticky (neberie sa v „kvadratúrach“), a preto sa pre funkciu zostavujú tabuľky. Funkcia súvisí s Laplaceovou funkciou predstavenou v kapitole 4

,

nasledujúci vzťah . V prípade ľubovoľných hodnôt parametrov https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> funkcia rozdelenia náhodnej premennej súvisí s Laplaceovou funkciou pomocou vzťahu:

.

Pravdepodobnosť normálne rozloženej náhodnej premennej spadajúcej do intervalu sa preto dá vypočítať pomocou vzorca

.

Nezáporná náhodná premenná x sa nazýva logaritmicky normálne rozložená, ak jej logaritmus h=lnx zodpovedá normálnemu zákonu. Matematické očakávanie a rozptyl logaritmicko-normálne distribuovanej náhodnej premennej sú Mx= a Dx=.

Úloha 3. Nech je zadaná náhodná hodnota https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Riešenie. Tu a https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Laplaceova distribúcia sa nastavuje funkciou fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> a špičatosť je gx=3.

Obr.6.5. Laplaceova funkcia hustoty rozdelenia.

Náhodná premenná x je rozdelená Weibullov zákon, ak má funkciu hustoty distribúcie rovnajúcu sa https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Rozvod Weibull sa podriaďuje dobe bezporuchovej prevádzky mnohých technických zariadení. V úlohách tohto profilu je dôležitou charakteristikou poruchovosť (úmrtnosť) l(t) skúmaných prvkov veku t, určená vzťahom l(t)=. Ak a=1, potom sa Weibullovo rozdelenie zmení na exponenciálne rozdelenie a ak a=2 - na rozdelenie tzv. Rayleigh.

Matematické očakávanie Weibullovho rozdelenia: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, kde Г(а) je Euler funkcia..

V rôznych problémoch aplikovanej štatistiky sa často stretávame s takzvanými „orezanými“ distribúciami. Daňové úrady sa napríklad zaujímajú o rozdelenie príjmov tých osôb, ktorých ročný príjem presahuje určitú hranicu c0 stanovenú daňovými zákonmi. Ukázalo sa, že tieto distribúcie sú približne rovnaké ako distribúcia Pareto. Paretovo rozdelenie daný funkciami

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> náhodná premenná x a monotónna diferencovateľná funkcia ..gif" width="200" height="51">

Tu https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Úloha 4. Náhodná premenná je rovnomerne rozložená na intervale . Nájdite hustotu náhodnej premennej.

Riešenie. Zo stavu problému vyplýva, že

Ďalej funkcia je monotónna a diferencovateľná funkcia na intervale a má inverznú funkciu , ktorého derivácia sa rovná Preto,

§ 5. Dvojica spojitých náhodných premenných

Nech sú dané dve spojité náhodné premenné x a h. Potom dvojica (x, h) určí "náhodný" bod v rovine. Vyvolá sa pár (x, h). náhodný vektor alebo dvojrozmerná náhodná premenná.

spoločná distribučná funkcia náhodné premenné x a h a funkcia sa nazýva F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. hustota spoja rozdelenie pravdepodobnosti náhodných premenných x a h je funkcia taká, že .

Význam tejto definície hustoty spoločného rozloženia je nasledujúci. Pravdepodobnosť, že „náhodný bod“ (x, h) spadne do oblasti v rovine, sa vypočíta ako objem trojrozmerného útvaru – „zakriveného“ valca ohraničeného povrchom https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Najjednoduchším príkladom spoločného rozdelenia dvoch náhodných premenných je dvojrozmerné rovnomerné rozloženie na scéneA. Nech je daná ohraničená množina s plochou M. Je definovaná ako rozdelenie dvojice (x, h) dané nasledujúcou hustotou spojov:

Úloha 5. Nech je dvojrozmerný náhodný vektor (x, h) rovnomerne rozložený vo vnútri trojuholníka . Vypočítajte pravdepodobnosť nerovnosti x>h.

Riešenie. Plocha označeného trojuholníka sa rovná (pozri obr. č.?). Na základe definície dvojrozmerného rovnomerného rozdelenia sa hustota spojenia náhodných premenných x, h rovná

Udalosť sa zhoduje so súborom na rovine, teda polrovine. Potom pravdepodobnosť

V polrovine B sa hustota spoja rovná nule mimo množiny https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. , polrovina B je rozdelená na dve množiny a https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> a , a druhý integrál je nula, keďže hustota spoja je tam nulová. Preto

Ak je daná hustota rozloženia spoja pre pár (x, h), potom sa hustoty a zložky x a h nazývajú súkromné ​​hustoty a vypočítajú sa podľa vzorcov:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Pre súvisle distribuované náhodné premenné s hustotami px(x), ph(y) nezávislosť znamená to

Úloha 6. Určte za podmienok predchádzajúcej úlohy, či sú zložky náhodného vektora x a h nezávislé?

Riešenie. Vypočítajme čiastkové hustoty a . Máme:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Je zrejmé, že v našom prípade https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> je hustota spoja x a h a j(x, y) je teda funkciou dvoch argumentov

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Úloha 7. V podmienkach predchádzajúcej úlohy vypočítajte .

Riešenie. Podľa vyššie uvedeného vzorca máme:

.

Znázorňujúci trojuholník ako

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Hustota súčtu dvoch spojitých náhodných premenných

Nech x a h sú nezávislé náhodné premenné s hustotami https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Hustota náhodnej premennej x + h sa vypočíta zo vzorca konvolúcie

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Vypočítajte hustotu súčtu.

Riešenie. Keďže x a h sú rozdelené podľa exponenciálneho zákona s parametrom , ich hustoty sú rovné

teda

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Ak x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">je negatívny, a preto . Preto, ak https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Tak sme dostali odpoveď:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> je normálne distribuovaná s parametrami 0 a 1. Náhodné premenné x1 a x2 sú nezávislé a majú normálne rozdelenia s parametrami a1 a a2 Dokážte, že x1 + x2 má normálne rozdelenie Náhodné premenné x1, x2, ... xn sú rozdelené a nezávislé a majú rovnakú funkciu hustoty rozdelenia

.

Nájdite distribučnú funkciu a hustotu distribúcie veličín:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn); b) h(2) = max(x1,x2, ... xn )

Náhodné veličiny x1, x2, ... xn sú nezávislé a rovnomerne rozdelené na segmente [а, b]. Nájdite distribučné funkcie a funkcie hustoty distribúcie veličín

x(1) = min(x1,x2, ...xn) a x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Dokážte, že M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Náhodná veličina je rozdelená podľa Cauchyho zákona Nájdite: a) koeficient a; b) distribučná funkcia; c) pravdepodobnosť dosiahnutia intervalu (-1, 1). Ukážte, že očakávanie x neexistuje. Náhodná premenná sa riadi Laplaceovým zákonom s parametrom l (l>0): Nájdite koeficient a; vytvárať grafy hustoty distribúcie a distribučnej funkcie; nájsť Mx a Dx; nájsť pravdepodobnosti udalostí (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Napíšte vzorec pre hustotu rozdelenia, nájdite Mx a Dx.

Výpočtové úlohy.

Náhodný bod A má rovnomerné rozloženie v kruhu s polomerom R. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl vzdialenosti r bodu od stredu kružnice. Ukážte, že množstvo r2 je rovnomerne rozložené na segmente.

Hustota distribúcie náhodnej premennej má tvar:

Vypočítajte konštantu C, distribučnú funkciu F(x) a pravdepodobnosť Hustota distribúcie náhodnej premennej má tvar:

Vypočítajte konštantu C, distribučnú funkciu F(x) a pravdepodobnosť Hustota distribúcie náhodnej premennej má tvar:
Vypočítajte konštantu C, distribučnú funkciu F(x), rozptyl a pravdepodobnosť Náhodná premenná má distribučnú funkciu

Vypočítajte hustotu náhodnej veličiny, matematické očakávanie, rozptyl a pravdepodobnosť Skontrolujte, či funkcia =
môže byť distribučnou funkciou náhodnej premennej. Nájdite číselné charakteristiky tejto veličiny: Mx a Dx. Náhodná premenná je na segmente rovnomerne rozložená. Napíšte hustotu rozloženia. Nájdite distribučnú funkciu. Nájdite pravdepodobnosť zasiahnutia náhodnej premennej na segmente a na segmente. Distribučná hustota x je

.

Nájdite konštantu c, hustotu rozdelenia h = a pravdepodobnosť

P (0,25

Doba prevádzkyschopnosti počítača je rozdelená podľa exponenciálneho zákona s parametrom l = 0,05 (poruchy za hodinu), t. j. má funkciu hustoty

p(x) = .

Riešenie určitého problému si vyžaduje bezproblémovú prevádzku stroja po dobu 15 minút. Ak počas riešenia problému dôjde k zlyhaniu, chyba sa zistí až na konci riešenia a problém sa vyrieši znova. Nájdite: a) pravdepodobnosť, že pri riešení úlohy nedôjde k poruche; b) priemerný čas, za ktorý bude problém vyriešený.

Tyč s dĺžkou 24 cm je rozdelená na dve časti; budeme predpokladať, že bod zlomu je rozložený rovnomerne po celej dĺžke tyče. Aká je priemerná dĺžka väčšiny tyče? Kus dlhý 12 cm je náhodne rozrezaný na dve časti. Miesto rezu je rovnomerne rozložené po celej dĺžke segmentu. Aká je priemerná dĺžka malej časti segmentu? Náhodná premenná je rovnomerne rozložená na intervale . Nájdite hustotu rozdelenia náhodnej premennej a) h1 = 2x + 1; b) h2 = -ln(l-x); c) h3 = .

Ukážte, že ak x má funkciu spojitého rozdelenia

F(x) = P(x

Nájdite funkciu hustoty a distribučnú funkciu súčtu dvoch nezávislých veličín x a h so zákonmi rovnomerného rozdelenia na intervaloch resp. Náhodné premenné x a h sú nezávislé a rovnomerne rozdelené na intervaloch resp. Vypočítajte hustotu súčtu x+h. Náhodné premenné x a h sú nezávislé a rovnomerne rozdelené na intervaloch resp. Vypočítajte hustotu súčtu x+h. Náhodné premenné x a h sú nezávislé a rovnomerne rozdelené na intervaloch resp. Vypočítajte hustotu súčtu x+h. Náhodné premenné sú nezávislé a majú exponenciálne rozdelenie s hustotou . Nájdite hustotu distribúcie ich súčtu. Nájdite rozdelenie súčtu nezávislých náhodných premenných x a h, kde x má rovnomerné rozdelenie na intervale a h má exponenciálne rozdelenie s parametrom l. Nájdite R , ak x má: a) normálne rozdelenie s parametrami a a s2 ; b) exponenciálne rozdelenie s parametrom l; c) rovnomerné rozdelenie na intervale [-1;1]. Spoločné rozdelenie x, h je rovnomerné na druhú
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Nájdite pravdepodobnosť . Sú x a h nezávislé? Dvojica náhodných premenných x a h je rovnomerne rozložená vo vnútri trojuholníka K=. Vypočítajte hustotu x a h. Sú tieto náhodné premenné nezávislé? Nájdite pravdepodobnosť. Náhodné veličiny x a h sú nezávislé a rovnomerne rozdelené na intervaloch a [-1,1]. Nájdite pravdepodobnosť. Dvojrozmerná náhodná premenná (x, h) je rovnomerne rozložená v štvorci s vrcholmi (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Nájdite hodnotu funkcie spoločného rozdelenia v bode (1, -1). Náhodný vektor (x, h) je rovnomerne rozložený vo vnútri kruhu s polomerom 3 so stredom v počiatku. Napíšte výraz pre hustotu spoločného rozloženia. Zistite, či sú tieto náhodné premenné závislé. Vypočítajte pravdepodobnosť. Dvojica náhodných premenných x a h je rovnomerne rozložená vo vnútri lichobežníka s vrcholmi v bodoch (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Nájdite hustotu spoločného rozdelenia pre túto dvojicu náhodných premenných a hustotu komponentov. Sú x a h závislé? Vo vnútri polkruhu je rovnomerne rozložená náhodná dvojica (x, h). Nájdite hustoty x a h, preskúmajte otázku ich závislosti. Spoločná hustota dvoch náhodných premenných x a h je .
Nájdite hustoty x, h. Preskúmajte otázku závislosti x a h. Náhodný pár (x, h) je rovnomerne rozložený na množine. Nájdite hustoty x a h, preskúmajte otázku ich závislosti. Nájdite M(xh). Náhodné veličiny x a h sú nezávislé a sú rozdelené podľa exponenciálneho zákona s parametrom Find

Nech je spojitá náhodná premenná X daná distribučnou funkciou f(x). Predpokladajme, že všetky možné hodnoty náhodnej premennej patria do segmentu [ a,b].

Definícia. matematické očakávanie spojitá náhodná premenná X, ktorej možné hodnoty patria do segmentu, sa nazýva určitý integrál

Ak sa možné hodnoty náhodnej premennej zvažujú na celej číselnej osi, potom sa matematické očakávanie nájde podľa vzorca:

V tomto prípade sa samozrejme predpokladá, že nevlastný integrál konverguje.

Definícia. disperzia spojitá náhodná veličina sa nazýva matematické očakávanie druhej mocniny jej odchýlky.

Analogicky k rozptylu diskrétnej náhodnej premennej sa na praktický výpočet rozptylu používa nasledujúci vzorec:

Definícia. Smerodajná odchýlka sa nazýva druhá odmocnina rozptylu.

Definícia. Móda M 0 diskrétnej náhodnej premennej sa nazýva jej najpravdepodobnejšia hodnota. Pre spojitú náhodnú premennú je modom hodnota náhodnej premennej, pri ktorej má hustota rozdelenia maximum.

Ak má distribučný polygón pre diskrétnu náhodnú premennú alebo distribučná krivka pre spojitú náhodnú premennú dve alebo viac maxím, potom sa takéto rozdelenie nazýva bimodálne alebo multimodálne. Ak má distribúcia minimum, ale žiadne maximum, potom sa nazýva antimodálny.

Definícia. medián MD náhodnej premennej X je jej hodnota, vzhľadom na ktorú je rovnako pravdepodobné, že získa väčšiu alebo menšiu hodnotu náhodnej premennej.

Geometricky je medián úsečkou bodu, v ktorom je oblasť ohraničená distribučnou krivkou rozdelená na polovicu. Všimnite si, že ak je rozdelenie unimodálne, potom sa modus a medián zhodujú s matematickým očakávaním.

Definícia. Počiatočný moment objednať k náhodná premenná X sa nazýva matematické očakávanie X k.

Počiatočný moment prvého rádu sa rovná matematickému očakávaniu.

Definícia. Centrálny bod objednať k náhodná premenná X sa nazýva matematické očakávanie hodnoty

Pre diskrétnu náhodnú premennú: .

Pre spojitú náhodnú premennú: .

Centrálny moment prvého rádu je vždy nula a centrálny moment druhého rádu sa rovná rozptylu. Centrálny moment tretieho rádu charakterizuje asymetriu rozloženia.

Definícia. Pomer centrálneho momentu tretieho rádu k štandardnej odchýlke v treťom stupni sa nazýva koeficient asymetrie.

Definícia. Na charakterizáciu ostrosti a plochosti rozloženia sa používa veličina tzv špičatosť.

Okrem uvažovaných veličín sa používajú aj takzvané absolútne momenty:

Absolútny štartovací moment: . Absolútny ústredný moment: . Absolútny centrálny moment prvého rádu je tzv odchýlka aritmetického priemeru.

Príklad. Pre vyššie uvedený príklad určite matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej X.

Príklad. Urna obsahuje 6 bielych a 4 čierne gule. Päťkrát za sebou sa z neho vyberie loptička a zakaždým sa vytiahnutá loptička vráti späť a loptičky sa premiešajú. Berte počet extrahovaných bielych guľôčok ako náhodnú premennú X, zostavte zákon rozdelenia tejto veličiny, určte jej matematické očakávanie a rozptyl.

Pretože guľôčky v každom experimente sú vrátené späť a zmiešané, potom je možné pokusy považovať za nezávislé (výsledok predchádzajúceho experimentu neovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu alebo neprítomnosti udalosti v inom experimente).

Pravdepodobnosť výskytu bielej gule v každom experimente je teda konštantná a rovná sa

Takže v dôsledku piatich po sebe nasledujúcich pokusov sa biela guľa nemusí objaviť vôbec, objaviť sa raz, dvakrát, trikrát, štyrikrát alebo päťkrát. Na zostavenie distribučného zákona musíte nájsť pravdepodobnosti každej z týchto udalostí.

1) Biela guľa sa vôbec neobjavila:

2) Biela guľa sa objavila raz:

3) Biela guľa sa objaví dvakrát: .

Náhodné premenné môžu byť svojou fyzikálnou povahou deterministické a náhodné.

Diskrétna je náhodná premenná, ktorej jednotlivé hodnoty je možné prečíslovať (počet výrobkov, počet dielov - chybné a dobré atď.).

Náhodná veličina sa nazýva spojitá, ktorej možné hodnoty vypĺňajú určitú medzeru (odchýlka veľkosti vyrábaného dielu od nominálnej hodnoty, chyba merania, odchýlka tvaru dielu, výška mikrodrsnosti atď.).

Náhodnú premennú nemožno charakterizovať jednou hodnotou. Na to je potrebné uviesť súbor možných hodnôt a pravdepodobnostné charakteristiky uvedené na tomto súbore.

V prípade, že je náhodná udalosť vyjadrená číslom, môžeme hovoriť o náhodnej premennej. Náhodný nazývajú hodnotu, ktorá v dôsledku testu nadobudne jednu možnú hodnotu, vopred neznámu a závislú od náhodných príčin, ktoré nemožno vopred vziať do úvahy.

Strata určitej hodnoty náhodnej premennej X toto je náhodná udalosť: X \u003d x i. Medzi náhodnými premennými sa rozlišujú diskrétne a spojité náhodné premenné.

Diskrétna náhodná premenná nazýva sa náhodná premenná, ktorá v dôsledku testu nadobúda individuálne hodnoty s určitou pravdepodobnosťou. Počet možných hodnôt diskrétnej náhodnej premennej môže byť konečný alebo nekonečný. Príklady diskrétnej náhodnej premennej: zaznamenávanie údajov z rýchlomera alebo nameraná teplota v konkrétnych časových bodoch.

Spojitá náhodná premenná volá sa náhodná premenná, ktorá v dôsledku testu preberá všetky hodnoty z určitého číselného intervalu. Počet možných hodnôt spojitej náhodnej premennej je nekonečný. Príklad spojitej náhodnej veličiny: meranie rýchlosti pohybu akéhokoľvek druhu dopravy alebo teploty počas určitého časového intervalu.

Každá náhodná premenná má svoj vlastný zákon rozdelenia pravdepodobnosti a svoju vlastnú funkciu rozdelenia pravdepodobnosti. Pred definovaním distribučnej funkcie zvážime premenné, ktoré ju definujú. Nechajte niektorých X je reálne číslo a získa sa náhodná premenná X, kde x > X. Je potrebné určiť pravdepodobnosť, že náhodná premenná X bude nižšia ako táto pevná hodnota X.

Distribučná funkcia náhodnej premennej X nazývaná funkcia F(x), ktorý určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná X v dôsledku testu nadobudne hodnotu menšiu ako je hodnota x, teda:

Náhodná premenná je charakterizovaná v teórii pravdepodobnosti zákon o jeho distribúcii . Tento zákon vytvára spojenie medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a pravdepodobnosťou ich výskytu zodpovedajúcim týmto hodnotám. Existujú dve formy opisu zákona rozdelenia náhodnej premennej - diferenciálny a integrálny . Okrem toho sa v metrológii používa hlavne diferenciálna forma - distribučný zákon hustota pravdepodobnosti náhodná premenná.

Zákon diferenciálneho rozdelenia charakterizovaný hustota rozdelenia pravdepodobnosti f(x) náhodná premenná X. Pravdepodobnosť R zasiahnutie náhodnej premennej v intervale od x 1 predtým x 2 je daný vzorcom:

Graficky je táto pravdepodobnosť pomerom plochy pod krivkou f (x) v rozsahu od x 1 do x 2 k celkovej ploche ohraničenej celou distribučnou krivkou. Plocha pod celou krivkou rozdelenia pravdepodobnosti sa spravidla normalizuje na jednu.

V tomto prípade distribúcia nepretržitý náhodná premenná. Okrem nich existujú diskrétne náhodné premenné, ktoré nadobúdajú množstvo špecifických hodnôt, ktoré možno očíslovať.

Zákon integrálneho rozdelenia náhodnej premennej je funkcia F(x), definovaný vzorcom

Pravdepodobnosť, že náhodná premenná bude menšia ako x 1, je daná hodnotou funkcie F(x) pri x = x 1:

Hoci zákon rozdelenia náhodných veličín je ich úplnou pravdepodobnostnou charakteristikou, nájdenie tohto zákona je pomerne náročná úloha a vyžaduje si množstvo meraní. Preto v praxi na opis vlastností náhodnej premennej rôzne číselné charakteristiky rozdelenia. Tie obsahujú momenty náhodné premenné: primárne a centrálne, čo sú niektoré priemerné hodnoty. Navyše, ak sú hodnoty počítané od začiatku spriemerované, potom sa volajú momenty počiatočné, a ak z distribučného centra, tak centrálny.

Distribučná funkcia náhodnej premennej X je funkcia F(x), ktorá pre každé x vyjadruje pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu, menšie x

Príklad 2.5. Daná séria distribúcie náhodnej premennej

Nájdite a graficky znázornite jeho distribučnú funkciu. Riešenie. Podľa definície

F(jc) = 0 pre X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 pri 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 pri X > 5.

Takže (pozri obr. 2.1):

Vlastnosti distribučnej funkcie:

1. Distribučná funkcia náhodnej premennej je nezáporná funkcia uzavretá medzi nulou a jednotkou:

2. Distribučná funkcia náhodnej veličiny je neklesajúca funkcia na celej číselnej osi, t.j. pri X 2 >x

3. V mínus nekonečne sa distribučná funkcia rovná nule, v plus nekonečne sa rovná jednej, t.j.

4. Pravdepodobnosť zasiahnutia náhodnej premennej X v intervale sa rovná určitému integrálu jeho hustoty pravdepodobnosti v rozsahu od A predtým b(pozri obr. 2.2), t.j.

Ryža. 2.2

3. Distribučnú funkciu spojitej náhodnej premennej (pozri obr. 2.3) môžeme vyjadriť pomocou hustoty pravdepodobnosti pomocou vzorca:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Nevlastný integrál v nekonečných medziach hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej sa rovná jednej:

Geometrické vlastnosti / a 4 hustoty pravdepodobnosti znamenajú, že jej graf je distribučná krivka - neleží pod osou x, a celková plocha postavy, obmedzená distribučná krivka a os x, sa rovná jednej.

Pre spojitú náhodnú premennú X očakávaná hodnota M(X) a rozptyl D(X) sa určujú podľa vzorcov:

(ak integrál absolútne konverguje); alebo

(ak redukované integrály konvergujú).

Spolu s numerickými charakteristikami uvedenými vyššie sa na opis náhodnej premennej používa koncept kvantilov a percentuálnych bodov.

q úrovňový kvantil(alebo q-kvantil) je takouto hodnotoux qnáhodná premenná, pri ktorej jeho distribučná funkcia nadobúda hodnotu, rovná sa q, t.j.

• 100Bod q%-ou je kvantil X~ q.
• ? Príklad 2.8.

Podľa príkladu 2.6 nájdite kvantil xqj a 30 % náhodných premenných bodov X.

Riešenie. Podľa definície (2.16) F(xo t3)= 0,3, t.j.

~Y~ = 0,3, odkiaľ je kvantil x 0 3 = 0,6. 30 % náhodných premenných bodov X, alebo kvantil Х)_о,з = xoj» sa zistí podobne z rovnice ^ = 0,7. odkiaľ *,= 1,4. ?

Medzi číselné charakteristiky náhodnej premennej patria počiatočné v* a centrálny R* momenty k-tého rádu, určené pre diskrétne a spojité náhodné premenné pomocou vzorcov: