Objem telesa získaný rotáciou. III Výpočet objemov rotačných telies

Rovnako ako pri probléme s hľadaním oblasti potrebujete sebavedomé kreslenie - to je takmer najdôležitejšia vec (keďže samotné integrály budú často jednoduché). Pomocou učebných materiálov a Geometrických transformácií grafov si osvojíte kompetentné a rýchle techniky grafov. Ale v skutočnosti som o dôležitosti kresieb hovoril už niekoľkokrát na hodinách.

Vo všeobecnosti existuje veľa zaujímavých aplikácií v integrálnom počte pomocou určitého integrálu, môžete vypočítať plochu postavy, objem rotovaného telesa, dĺžku oblúka, plochu rotácie a mnoho iného; viac. Takže to bude zábava, buďte optimistickí!

Predstavte si nejakú plochú postavu v rovine súradníc. Predstavený? ... som zvedavý, kto čo prezentoval... =))) Jej areál sme už našli. Okrem toho sa však toto číslo môže tiež otáčať a otáčať dvoma spôsobmi:

– okolo osi x;
– okolo zvislej osi.

Tento článok bude skúmať oba prípady. Druhý spôsob otáčania je obzvlášť zaujímavý a spôsobuje najväčšie ťažkosti, no v skutočnosti je riešenie takmer rovnaké ako pri bežnejšom otáčaní okolo osi x. Ako bonus sa k tomu vrátim problém nájsť oblasť postavy, a poviem vám, ako nájsť oblasť druhým spôsobom - pozdĺž osi. Nie je to ani taký bonus, pretože materiál dobre zapadá do témy.

Začnime s najobľúbenejším typom rotácie.

plochá postava okolo osi

Príklad 1

Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním útvaru ohraničeného priamkami okolo osi.

Riešenie: Rovnako ako v prípade problému s nájdením oblasti, riešenie začína kresbou plochej postavy. To znamená, že v rovine je potrebné zostrojiť obrazec ohraničený čiarami a nezabudnite, že rovnica určuje os. Ako efektívnejšie a rýchlejšie dokončiť kresbu nájdete na stránkach Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií A Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku. Toto je čínska pripomienka a na tomto mieste sa nebudem ďalej zdržiavať.

Nákres je tu celkom jednoduchý:

Požadovaná plochá postava je vytieňovaná modrou farbou, je to tá, ktorá sa otáča okolo osi. Výsledkom rotácie je mierne vajcovitý lietajúci tanier, ktorý je symetrický okolo osi. V skutočnosti má telo matematický názov, ale som príliš lenivý na to, aby som niečo objasnil v referenčnej knihe, takže ideme ďalej.

Ako vypočítať objem rotačného telesa?

Objem rotačného telesa možno vypočítať pomocou vzorca:

Vo vzorci musí byť číslo prítomné pred integrálom. Tak sa aj stalo – všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Myslím, že je ľahké uhádnuť, ako nastaviť hranice integrácie „a“ a „byť“ z dokončeného výkresu.

Funkcia... čo je táto funkcia? Pozrime sa na výkres. Rovinný obrazec je ohraničený grafom paraboly v hornej časti. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

V praktických úlohách môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - integrand vo vzorci je odmocnený: , teda integrál je vždy nezáporný, čo je veľmi logické.

Vypočítajme objem rotačného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál sa takmer vždy ukáže ako jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

Odpoveď:

Vo svojej odpovedi musíte uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom rotačnom tele je približne 3,35 „kociek“. Prečo kubický Jednotky? Pretože najuniverzálnejšia formulácia. Môžu tam byť kubické centimetre, môžu tam byť kubické metre, môžu byť kubické kilometre atď., toľko zelených mužíkov dokáže vaša fantázia vložiť do lietajúceho taniera.

Príklad 2

Nájdite objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného priamkami , ,

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Uvažujme o dvoch zložitejších problémoch, s ktorými sa v praxi tiež často stretávame.

Príklad 3

Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi x úsečky obrazca ohraničeného priamkami , , a

Riešenie: Ukážme si na výkrese plochý útvar ohraničený čiarami , , , , pričom nezabúdajme, že rovnica definuje os:

Požadovaná figúrka je vytieňovaná modrou farbou. Keď sa točí okolo svojej osi, ukáže sa, že je to neskutočná šiška so štyrmi rohmi.

Vypočítajme objem rotačného telesa ako rozdiel v objemoch telies.

Najprv sa pozrime na postavu zakrúžkovanú červenou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa zrezaný kužeľ. Označme objem tohto zrezaného kužeľa .

Zvážte postavu, ktorá je zakrúžkovaná zelenou farbou. Ak otočíte tento obrazec okolo osi, získate tiež zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Jeho objem označme .

A samozrejme, rozdiel v objemoch je presne objemom našej „šišky“.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame štandardný vzorec:

1) Číslo zakrúžkované červenou farbou je ohraničené priamkou, preto:

2) Zelený zakrúžkovaný obrázok je ohraničený priamkou, preto:

3) Objem požadovaného rotačného telesa:

Odpoveď:

Je zvláštne, že v tomto prípade je možné riešenie skontrolovať pomocou školského vzorca na výpočet objemu zrezaného kužeľa.

Samotné rozhodnutie je často napísané kratšie, asi takto:

Teraz si trochu oddýchneme a povieme vám o geometrických ilúziách.

Ľudia majú často ilúzie spojené so zväzkami, čo si v knihe všimol aj Perelman (iný). Zábavná geometria. Pozrite sa na plochý obrázok v riešenom probléme - zdá sa, že je malý na plochu a objem rotačného telesa je len niečo málo cez 50 kubických jednotiek, čo sa zdá byť príliš veľké. Mimochodom, priemerný človek vypije za celý život ekvivalent miestnosti 18 metrov štvorcových tekutiny, čo sa mu naopak zdá príliš malý objem.

Vo všeobecnosti bol vzdelávací systém v ZSSR skutočne najlepší. Tá istá kniha od Perelmana, vydaná ešte v roku 1950, veľmi dobre rozvíja, ako povedal humorista, myslenie a učí vás hľadať originálne, neštandardné riešenia problémov. Nedávno som si s veľkým záujmom znovu prečítal niektoré kapitoly, odporúčam, je to prístupné aj pre humanistov. Nie, nemusíte sa usmievať, že som ponúkol voľný čas, erudícia a široké obzory v komunikácii sú super.

Po lyrickej odbočke je vhodné vyriešiť kreatívnu úlohu:

Príklad 4

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi plochého útvaru ohraničeného priamkami , , kde .

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Upozorňujeme, že všetky prípady sa vyskytujú v pásme, inými slovami, hotové limity integrácie sú vlastne dané. Správne nakreslite grafy goniometrických funkcií, dovoľte mi pripomenúť vám lekciu o geometrické transformácie grafov: ak je argument delený dvoma: , potom sa grafy roztiahnu dvakrát pozdĺž osi. Je vhodné nájsť aspoň 3-4 body podľa trigonometrických tabuliek pre presnejšie dokončenie výkresu. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Mimochodom, úloha sa dá vyriešiť racionálne a nie veľmi racionálne.

Výpočet objemu telesa vzniknutého rotáciou
plochá postava okolo osi

Druhý odsek bude ešte zaujímavejší ako prvý. Úloha vypočítať objem rotačného telesa okolo súradnicovej osi je tiež pomerne častým hosťom v testovacej práci. Po ceste sa bude zvažovať problém nájsť oblasť postavy druhá metóda je integrácia pozdĺž osi, čo vám umožní nielen zlepšiť svoje zručnosti, ale tiež vás naučí nájsť najziskovejšie riešenie. Je v tom aj praktický zmysel života! Ako s úsmevom spomínala moja učiteľka metód výučby matematiky, mnohí absolventi jej ďakovali slovami: „Váš predmet nám veľmi pomohol, teraz sme efektívni manažéri a optimálne riadime zamestnancov.“ Využívajúc túto príležitosť, vyjadrujem jej tiež veľkú vďaku, najmä preto, že získané vedomosti využívam na zamýšľaný účel =).

Odporúčam všetkým, aj úplným maškrtníkom. Okrem toho materiál získaný v druhom odseku poskytne neoceniteľnú pomoc pri výpočte dvojitých integrálov.

Príklad 5

Daný plochý obrazec ohraničený čiarami , , .

1) Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú týmito čiarami.
2) Nájdite objem telesa získaný otočením plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Pozor! Aj keď si chcete prečítať len druhý bod, najprv Nevyhnutne prečítajte si prvý!

Riešenie: Úloha pozostáva z dvoch častí. Začnime námestím.

1) Urobme si kresbu:

Je ľahké vidieť, že funkcia špecifikuje hornú vetvu paraboly a funkcia špecifikuje dolnú vetvu paraboly. Pred nami je triviálna parabola, ktorá „leží na boku“.

Požadovaná postava, ktorej oblasť sa má nájsť, je zatienená modrou farbou.

Ako nájsť oblasť postavy? Dá sa nájsť „bežným“ spôsobom, o ktorom sa diskutovalo v triede Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku. Okrem toho sa plocha obrázka zistí ako súčet plôch:
- na segmente ;
- na segmente.

Preto:

Prečo je obvyklé riešenie v tomto prípade zlé? Po prvé, máme dva integrály. Po druhé, integrály sú korene a korene v integráloch nie sú darom a okrem toho sa môžete zmiasť pri nahrádzaní hraníc integrácie. V skutočnosti integrály, samozrejme, nie sú ničivé, ale v praxi môže byť všetko oveľa smutnejšie, len som pre problém vybral „lepšie“ funkcie.

Existuje racionálnejšie riešenie: pozostáva z prechodu na inverzné funkcie a integrácie pozdĺž osi.

Ako sa dostať k inverzným funkciám? Zhruba povedané, musíte vyjadriť „x“ cez „y“. Najprv sa pozrime na parabolu:

To je dosť, ale uistite sa, že rovnakú funkciu je možné odvodiť z nižšej vetvy:

S rovnou čiarou je to jednoduchšie:

Teraz sa pozrite na os: pravidelne nakláňajte hlavu doprava o 90 stupňov, ako vysvetľujete (toto nie je vtip!). Obrázok, ktorý potrebujeme, leží na segmente, ktorý je označený červenou bodkovanou čiarou. V tomto prípade je na segmente priamka umiestnená nad parabolou, čo znamená, že oblasť obrázku by sa mala nájsť pomocou už známeho vzorca: . Čo sa zmenilo vo vzorci? Len list a nič viac.

! Poznámka: Mali by byť stanovené limity integrácie pozdĺž osi striktne zdola nahor!

Nájdenie oblasti:

V segmente teda:

Všimnite si prosím, ako som vykonal integráciu, je to najracionálnejší spôsob a v ďalšom odseku úlohy bude jasné prečo.

Pre čitateľov, ktorí pochybujú o správnosti integrácie, nájdem deriváty:

Získa sa pôvodná funkcia integrand, čo znamená, že integrácia bola vykonaná správne.

Odpoveď:

2) Vypočítajme objem telesa vytvoreného rotáciou tohto obrazca okolo osi.

Výkres prekreslím do trochu iného dizajnu:

Postava vytieňovaná modrou sa teda otáča okolo osi. Výsledkom je „vznášajúci sa motýľ“, ktorý sa otáča okolo svojej osi.

Aby sme našli objem rotačného telesa, budeme integrovať pozdĺž osi. Najprv musíme prejsť k inverzným funkciám. Toto už bolo urobené a podrobne popísané v predchádzajúcom odseku.

Teraz opäť nakloníme hlavu doprava a študujeme našu postavu. Je zrejmé, že objem rotačného telesa by sa mal nájsť ako rozdiel v objemoch.

Otáčame figúrku zakrúžkovanú červenou farbou okolo osi, výsledkom čoho je zrezaný kužeľ. Označme tento zväzok .

Zeleno zakrúžkovaný obrazec otáčame okolo osi a označíme ho objemom výsledného rotačného telesa.

Objem nášho motýľa sa rovná rozdielu v objemoch.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame vzorec:

Aký je rozdiel od vzorca v predchádzajúcom odseku? Iba v liste.

Ale výhoda integrácie, o ktorej som nedávno hovoril, sa hľadá oveľa ľahšie , skôr ako najprv zvýšiť integrand na 4. mocninu.

Odpoveď:

Nie však chorľavý motýľ.

Všimnite si, že ak sa tá istá plochá figúrka otočí okolo osi, získate úplne iné telo otáčania, prirodzene s iným objemom.

Príklad 6

Daná plochá postava ohraničená čiarami a osou.

1) Prejdite na inverzné funkcie a nájdite oblasť rovinného útvaru ohraničenú týmito čiarami integráciou cez premennú.
2) Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Záujemcovia môžu nájsť plochu figúry aj „obvyklým“ spôsobom, a tým skontrolovať bod 1). Ale ak, opakujem, otočíte plochú postavu okolo osi, dostanete úplne iné telo otáčania s iným objemom, mimochodom, správna odpoveď (aj pre tých, ktorí radi riešia problémy).

Kompletné riešenie dvoch navrhnutých bodov úlohy je na konci hodiny.

Áno, a nezabudnite nakloniť hlavu doprava, aby ste pochopili rotáciu a limity integrácie!

Definícia 3. Rotačné teleso je teleso získané otáčaním plochého útvaru okolo osi, ktorá nepretína útvar a leží s ním v rovnakej rovine.

Os otáčania môže pretínať obrazec, ak je osou symetrie obrazca.

Veta 2.
, os
a rovné segmenty
A

otáča sa okolo osi
. Potom sa objem výsledného rotačného telesa môže vypočítať pomocou vzorca

(2)

Dôkaz. Pre takéto teleso je prierez s osou x je kruh s polomerom
, Prostriedky
a vzorec (1) dáva požadovaný výsledok.

Ak je obrázok obmedzený grafmi dvoch spojitých funkcií
A
a úsečky
A
, a
A
, potom pri rotácii okolo osi x získame teleso, ktorého objem

Príklad 3 Vypočítajte objem torusu získaného otáčaním kružnice ohraničenej kružnicou

okolo osi x.

R rozhodnutie. Označený kruh je nižšie ohraničený grafom funkcie
a zhora -
. Rozdiel druhých mocnín týchto funkcií:

Požadovaný objem

(graf integrandu je horný polkruh, takže integrál napísaný vyššie je oblasť polkruhu).

Príklad 4. Parabolický segment so základňou
, a výška , sa otáča okolo základne. Vypočítajte objem výsledného tela („citrón“ od Cavalieriho).

R rozhodnutie. Parabolu umiestnime tak, ako je znázornené na obrázku. Potom jeho rovnica
, a
. Poďme zistiť hodnotu parametra :
. Takže požadovaný objem:

Veta 3. Nech je krivočiary lichobežník ohraničený grafom spojitej nezápornej funkcie
, os
a rovné segmenty
A
, a
, otáča sa okolo osi
. Potom objem výsledného rotačného telesa možno nájsť podľa vzorca

(3)

Myšlienka dôkazu. Rozdelili sme segment
bodky

, na časti a nakreslite rovné čiary
. Celý lichobežník sa rozloží na pásy, ktoré možno považovať približne za obdĺžniky so základňou
a výška
.

Vzniknutý valec rozrežeme otáčaním takéhoto obdĺžnika pozdĺž jeho tvoriacej priamky a rozložíme ho. Dostaneme „takmer“ rovnobežnosten s rozmermi:
,
A
. Jeho objem
. Takže pre objem rotačného telesa budeme mať približnú rovnosť

Ak chcete získať presnú rovnosť, musíte ísť na limit pri
. Vyššie napísaný súčet je celočíselným súčtom funkcie
, teda v limite dostaneme integrál zo vzorca (3). Veta bola dokázaná.

Poznámka 1. Vo vetách 2 a 3 podmienka
možno vynechať: vzorec (2) je vo všeobecnosti necitlivý na znamienko
a vo vzorci (3) to stačí
nahradené
.

Príklad 5. Parabolický segment (základňa
, výška ) sa otáča okolo výšky. Nájdite objem výsledného telesa.

Riešenie. Umiestnime parabolu tak, ako je znázornené na obrázku. A hoci os rotácie pretína postavu, ona – os – je osou symetrie. Preto musíme brať do úvahy iba pravú polovicu segmentu. Parabolická rovnica
, a
, Prostriedky
. Pre objem máme:

Poznámka 2. Ak je krivočiara hranica krivočiareho lichobežníka daná parametrickými rovnicami
,
,
A
,
potom môžete použiť vzorce (2) a (3) s náhradou na
A
na
keď sa zmení t od
predtým .

Príklad 6. Údaj je obmedzený prvým oblúkom cykloidy
,
,
a os x. Nájdite objem telesa získaný otočením tohto obrázku okolo: 1) osi
; 2) osi
.

Riešenie. 1) Všeobecný vzorec
V našom prípade:

2) Všeobecný vzorec
Pre našu postavu:

Vyzývame študentov, aby všetky výpočty vykonali sami.

Poznámka 3. Nech je zakrivený sektor ohraničený súvislou čiarou
a lúče
,

, sa otáča okolo polárnej osi. Objem výsledného telesa možno vypočítať pomocou vzorca.

Príklad 7. Časť postavy ohraničená kardioidom
, ležiaci mimo kruhu
, sa otáča okolo polárnej osi. Nájdite objem výsledného telesa.

Riešenie. Obe čiary, a teda aj číslo, ktoré obmedzujú, sú symetrické okolo polárnej osi. Preto je potrebné zvážiť len tú časť, pre ktorú
. Krivky sa pretínajú v
A

pri
. Ďalej, údaj možno považovať za rozdiel dvoch sektorov, a preto objem možno vypočítať ako rozdiel dvoch integrálov. Máme:

Úlohy pre nezávislé rozhodnutie.

1. Kruhový segment, ktorého základňa
, výška , sa otáča okolo základne. Nájdite objem rotačného telesa.

2. Nájdite objem rotačného paraboloidu, ktorého základňa , a výška je .

3. Postava ohraničená astroidom
,
sa otáča okolo osi x. Nájdite objem výsledného telesa.

4. Obrázok ohraničený čiarami
A
sa otáča okolo osi x. Nájdite objem rotačného telesa.

Ako vypočítať objem rotačného telesa
pomocou určitého integrálu?

Vo všeobecnosti existuje veľa zaujímavých aplikácií v integrálnom počte pomocou určitého integrálu, môžete vypočítať plochu postavy, objem rotačného telesa, dĺžku oblúka, plochu povrchu; rotácia a oveľa viac. Takže to bude zábava, buďte optimistickí!

- okolo osi x;
- okolo zvislej osi.

Začnime s najobľúbenejším typom rotácie.

plochá postava okolo osi

Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním útvaru ohraničeného priamkami okolo osi.

Riešenie: Rovnako ako v prípade problému s nájdením oblasti, riešenie začína kresbou plochej postavy. To znamená, že v rovine je potrebné zostrojiť obrazec ohraničený čiarami a nezabudnite, že rovnica určuje os. Ako efektívnejšie a rýchlejšie dokončiť kresbu nájdete na stránkach Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií A . Toto je čínska pripomienka a na tomto mieste sa nebudem ďalej zdržiavať.

Nákres je tu celkom jednoduchý:

Ako vypočítať objem rotačného telesa?

Objem rotačného telesa možno vypočítať pomocou vzorca:

Vo vzorci musí byť číslo prítomné pred integrálom. Tak sa aj stalo – všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Myslím, že je ľahké uhádnuť, ako nastaviť hranice integrácie „a“ a „byť“ z dokončeného výkresu.

Funkcia... čo je táto funkcia? Pozrime sa na výkres. Rovinný obrazec je ohraničený grafom paraboly v hornej časti. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

Vypočítajme objem rotačného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál sa takmer vždy ukáže ako jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

Odpoveď: