Pojmy pravdepodobnosti sa ukázali ako veľmi užitočné pri opise správania sa plynu pozostávajúceho z obrovského počtu molekúl. Je nemysliteľné pokúsiť sa skutočne určiť polohu a rýchlosť každej z 1022 molekúl! Keď bola teória pravdepodobnosti prvýkrát aplikovaná na takéto javy, považovala sa jednoducho za pohodlný spôsob práce v takom zložitom prostredí. Teraz však veríme, že pravdepodobnosť je nevyhnutná pre popis rôznych atómových procesov. Podľa kvantovej mechaniky, matematickej teórie malých častíc, vždy existuje určitá neistota pri určovaní polohy častice a jej rýchlosti.
V najlepšom prípade môžeme len povedať, že existuje určitá pravdepodobnosť, že častica je blízko bodu x.
Na opísanie polohy častice môžeme zaviesť hustoty pravdepodobnosti p 1 (x), takže p 1 (x)∆x je pravdepodobnosť, že častica je niekde medzi x a x + ∆x. Ak je poloha častice dostatočne stanovená, približný tvar funkcie p 1 (x) možno znázorniť grafom na obr. 6.10, a. Situácia je úplne rovnaká s rýchlosťou častíc: tiež nám nie je presne známa. S určitou pravdepodobnosťou p 2 (υ)∆υ sa častica môže pohybovať rýchlosťou v intervale medzi υ a υ + ∆υ.
Jedným z hlavných výsledkov kvantovej mechaniky je, že tieto dve hustoty p 1 (x) a p 2 (υ) nemožno zvoliť nezávisle v tom zmysle, že obe nemôžu byť ľubovoľne úzke. Ak vezmeme „polovičné šírky“ kriviek p 1 (x) a p 2 (υ) a označíme ich [∆x] a [∆υ] (pozri obr. 6.10), potom príroda vyžaduje, aby súčin tieto dve polovičné šírky nesmú byť menšie ako h/m, kde m je hmotnosť častice a h je nejaká základná fyzikálna konštanta nazývaná Planckova konštanta. Tento vzťah je napísaný takto:
a nazýva sa Heisenbergovým princípom neurčitosti.
Aby tento vzťah dodržal, častica sa musí správať veľmi zvláštnym spôsobom. Vidíte, že pravá strana vzťahu (6.22) je konštantná, čo znamená, že ak sa pokúsime „pripichnúť“ časticu na nejaké konkrétne miesto, tento pokus skončí tak, že nebudeme vedieť uhádnuť, kde sa nachádza. lietať a akou rýchlosťou. Podobne, ak sa pokúsime prinútiť časticu pohybovať sa veľmi pomaly alebo konkrétnou rýchlosťou, bude sa „rozmazávať“ a nebudeme schopní presne určiť, kde sa nachádza.
Princíp neurčitosti vyjadruje nejednoznačnosť, ktorá musí existovať pri každom pokuse o opis prírody. Najpresnejší a najkompletnejší popis prírody by mal byť len pravdepodobnostný. Niektorým fyzikom sa však tento spôsob opisu nepáči. Zdá sa im, že o skutočnom správaní častice môžeme hovoriť iba vtedy, keď sú súčasne dané hybnosti a súradnice. Kedysi, na úsvite rozvoja kvantovej mechaniky, tento problém Einsteina veľmi znepokojoval. Často pokrútil hlavou a povedal: „Ale Boh neuhádne „hlavy alebo chvosty“, aby rozhodol, kam sa má elektrón pohybovať! Táto otázka ho trápila veľmi dlho a do konca svojich dní sa zrejme nedokázal vyrovnať s tým, že pravdepodobnostný opis prírody je to najviac, čoho sme ešte schopní. Sú fyzici, ktorí intuitívne cítia, že náš svet možno opísať akosi inak, že tieto neistoty v správaní častíc možno eliminovať. Na tomto probléme naďalej pracujú, no zatiaľ ani jeden z nich nedosiahol výraznejšie výsledky.
Táto inherentná neistota vo svete pri určovaní polohy častice je najdôležitejšou črtou popisu štruktúry atómov. Napríklad v atóme vodíka, ktorý pozostáva z jedného protónu tvoriaceho jadro a elektrónu umiestneného niekde mimo neho, je neistota v umiestnení elektrónu rovnaká ako veľkosť samotného atómu! Nemôžeme teda s istotou povedať, kde, v ktorej časti atómu sa nachádza náš elektrón a samozrejme nemôže byť ani reči o nejakých „obežných dráhach“. S istotou môžeme hovoriť len o pravdepodobnosti p(r)∆V detekcie elektrónu v prvku s objemom ∆V vo vzdialenosti r od protónu. Kvantová mechanika umožňuje v tomto prípade vypočítať hustotu pravdepodobnosti p(r), ktorá sa pre nerušený atóm vodíka rovná Ae -r2/a2. Toto je funkcia v tvare zvona, ako je znázornená na obr. 6.8 a číslo a predstavuje charakteristickú hodnotu polomeru, po prekročení ktorej funkcia veľmi rýchlo klesá. Hoci existuje pravdepodobnosť (aj keď malá) nájdenia elektrónu vo vzdialenosti väčšej ako a od jadra, túto veličinu nazývame „atómový polomer“. Je to cca 10-10 m.
Ak si chcete nejako predstaviť atóm vodíka, predstavte si akýsi „oblak“, ktorého hustota je úmerná hustote pravdepodobnosti. Príklad takéhoto oblaku je znázornený na obr. 6.11. Tento vizuálny obraz je možno najbližšie k pravde, aj keď si musíme hneď uvedomiť, že nejde o skutočný „elektrónový oblak“, ale iba o „oblak pravdepodobností“. Niekde v nej je elektrón, ale príroda nám umožňuje len hádať, kde presne sa nachádza.
V snahe dozvedieť sa čo najviac o podstate vecí moderná fyzika zistila, že existujú veci, ktoré nikdy nebude môcť s istotou vedieť. Mnohé z našich vedomostí sú predurčené zostať navždy neistými. Je nám dané poznať iba pravdepodobnosti.
Heisenbergove princípy neurčitosti sú jedným z problémov kvantovej mechaniky, najskôr sa však obraciame k rozvoju fyzikálnej vedy ako celku. Isaac Newton položil na konci 17. storočia základ modernej klasickej mechaniky. Bol to on, kto sformuloval a opísal jeho základné zákonitosti, pomocou ktorých možno predpovedať správanie telies okolo nás. Koncom 19. storočia sa tieto ustanovenia zdali nedotknuteľné a aplikovateľné na všetky prírodné zákony. Zdalo sa, že problémy fyziky ako vedy sú vyriešené.
Porušenie Newtonových zákonov a zrod kvantovej mechanikyAko sa však ukázalo, v tom čase sa o vlastnostiach vesmíru vedelo oveľa menej, ako sa zdalo. Prvým kameňom, ktorý narušil harmóniu klasickej mechaniky, bola neuposlúchnutie zákonov šírenia svetelných vĺn. V tom čase veľmi mladá veda elektrodynamiky bola teda nútená vyvinúť úplne iný súbor pravidiel. Pre teoretických fyzikov však vyvstal problém: ako priviesť dva systémy k spoločnému menovateľovi. Mimochodom, veda stále pracuje na riešení tohto problému.
Mýtus o všezahrnujúcej newtonovskej mechanike bol nakoniec zničený hlbším štúdiom štruktúry atómov. Brit Ernest Rutherford zistil, že atóm nie je nedeliteľná častica, ako sa predtým myslelo, ale sám obsahuje neutróny, protóny a elektróny. Navyše ich správanie bolo úplne v rozpore s postulátmi klasickej mechaniky. Ak v makrosvete gravitácia do značnej miery určuje povahu vecí, tak vo svete kvantových častíc je to extrémne malá sila interakcie. Boli tak položené základy kvantovej mechaniky, ktorá mala tiež svoje axiómy. Jedným z významných rozdielov medzi týmito najmenšími systémami a svetom, na ktorý sme zvyknutí, je Heisenbergov princíp neurčitosti. Jasne preukázal potrebu odlišného prístupu k týmto systémom.
Heisenbergov princíp neistoty
V prvej štvrtine 20. storočia urobila kvantová mechanika prvé kroky a fyzici na celom svete si len uvedomili, čo z jej ustanovení pre nás vyplýva a aké vyhliadky otvára. Svoje slávne princípy sformuloval v roku 1927 nemecký teoretický fyzik Werner Heisenberg. Heisenbergove princípy spočívajú v tom, že nie je možné vypočítať súčasne priestorovú polohu a rýchlosť kvantového objektu. Hlavným dôvodom je skutočnosť, že keď meriame, už ovplyvňujeme meraný systém, čím ho narúšame. Ak v makrokozme, ktorý poznáme, hodnotíme objekt, potom aj keď sa naň pozrieme, vidíme odraz svetla od neho.
Heisenbergov princíp neurčitosti však hovorí, že hoci v makrokozme svetlo nemá žiadny vplyv na meraný objekt, v prípade kvantových častíc majú fotóny (alebo akékoľvek iné odvodené merania) na časticu významný vplyv. Zároveň je zaujímavé poznamenať, že kvantová fyzika je celkom schopná samostatne merať rýchlosť alebo polohu telesa vo vesmíre. Ale čím presnejšie sú naše údaje o rýchlosti, tým menej budeme vedieť o našej priestorovej polohe. A naopak. To znamená, že Heisenbergov princíp neurčitosti vytvára určité ťažkosti pri predpovedaní správania kvantových častíc. Doslova to vyzerá takto: menia svoje správanie, keď sa ich snažíme pozorovať.
Princíp neurčitosti leží v rovine kvantovej mechaniky, ale aby sme ho mohli úplne analyzovať, vráťme sa k vývoju fyziky ako celku. a Albert Einstein možno v dejinách ľudstva. Prvý na konci 17. storočia sformuloval zákony klasickej mechaniky, ktorým zotrvačnosťou a gravitáciou podliehajú všetky telesá okolo nás, planéty. Vývoj zákonov klasickej mechaniky priviedol vedecký svet koncom 19. storočia k názoru, že všetky základné prírodné zákony už boli objavené a človek dokáže vysvetliť akýkoľvek jav vo vesmíre.
Einsteinova teória relativity
Ako sa ukázalo, v tom čase bola objavená iba špička ľadovca, ďalší výskum dal vedcom nové, úplne neuveriteľné fakty. Na začiatku 20. storočia sa teda zistilo, že šírenie svetla (ktoré má konečnú rýchlosť 300 000 km/s) sa neriadi zákonom newtonovskej mechaniky. Podľa vzorcov Isaaca Newtona, ak teleso alebo vlnu vyžaruje pohybujúci sa zdroj, jeho rýchlosť sa bude rovnať súčtu rýchlosti zdroja a jeho vlastnej. Vlnové vlastnosti častíc však boli iného charakteru. Početné experimenty s nimi ukázali, že v elektrodynamike, v tom čase mladej vede, funguje úplne iný súbor pravidiel. Už vtedy Albert Einstein spolu s nemeckým teoretickým fyzikom Maxom Planckom predstavili svoju slávnu teóriu relativity, ktorá popisuje správanie fotónov. Pre nás však teraz nie je dôležitá ani tak jej podstata, ako skutočnosť, že v tom momente sa ukázala zásadná nezlučiteľnosť dvoch oblastí fyziky, spojiť
o ktoré sa mimochodom vedci pokúšajú dodnes.
Zrodenie kvantovej mechaniky
Mýtus komplexnej klasickej mechaniky bol napokon zničený štúdiom štruktúry atómov. Experimenty v roku 1911 ukázali, že atóm obsahuje ešte menšie častice (nazývané protóny, neutróny a elektróny). Navyše odmietli aj interakciu.Štúdium týchto najmenších častíc viedlo k vzniku nových postulátov kvantovej mechaniky pre vedecký svet. Možno teda konečné pochopenie vesmíru nespočíva len a ani nie tak v štúdiu hviezd, ale v štúdiu najmenších častíc, ktoré poskytujú zaujímavý obraz sveta na mikroúrovni.
Heisenbergov princíp neistoty
V 20. rokoch 20. storočia urobila svoje prvé kroky a iba vedci
uvedomili, čo z toho pre nás vyplýva. V roku 1927 nemecký fyzik Werner Heisenberg sformuloval svoj slávny princíp neurčitosti, čím demonštroval jeden z hlavných rozdielov medzi mikrosvetom a naším obvyklým prostredím. Spočíva v tom, že nie je možné súčasne merať rýchlosť a priestorovú polohu kvantového objektu už len preto, že pri meraní to ovplyvňujeme, pretože samotné meranie prebieha aj pomocou kvánt. Zjednodušene povedané: pri hodnotení objektu v makrokozme vidíme od neho odrazené svetlo a na základe toho o ňom vyvodzujeme závery. Ale už vplyv svetelných fotónov (alebo iných derivátov merania) ovplyvňuje objekt. Princíp neurčitosti teda spôsobil pochopiteľné ťažkosti pri štúdiu a predpovedaní správania kvantových častíc. V tomto prípade je zaujímavé, že môžete merať samostatne rýchlosť alebo zvlášť polohu tela. Ale ak meriame súčasne, čím vyššie sú naše údaje o rýchlosti, tým menej budeme vedieť o skutočnej polohe a naopak.
Nie je možné súčasne presne určiť súradnice a rýchlosť kvantovej častice.
V každodennom živote sme obklopení hmotnými predmetmi, ktorých veľkosť je porovnateľná s nami: autá, domy, zrnká piesku atď. Naše intuitívne predstavy o štruktúre sveta vznikajú ako výsledok každodenného pozorovania správania sa takýchto predmetov. . Keďže všetci máme za sebou prežitý život, rokmi nahromadené skúsenosti nám hovoria, že keďže všetko, čo pozorujeme, sa stále znova a znova správa určitým spôsobom, znamená to, že v celom vesmíre, vo všetkých mierkach, by sa materiálne objekty mali správať podobným spôsobom. A keď sa ukáže, že niekde niečo nedodržiava zaužívané pravidlá a odporuje našim intuitívnym predstavám o svete, nielenže nás to prekvapí, ale aj šokuje.
V prvej štvrtine dvadsiateho storočia to bola práve reakcia fyzikov, keď začali študovať správanie hmoty na atómovej a subatomárnej úrovni. Vznik a rýchly rozvoj kvantovej mechaniky nám otvoril celý svet, ktorého systémová štruktúra jednoducho nezapadá do rámca zdravého rozumu a úplne odporuje našim intuitívnym predstavám. Musíme si však uvedomiť, že naša intuícia je založená na skúsenostiach so správaním sa bežných predmetov v mierke úmernej nám, a kvantová mechanika popisuje veci, ktoré sa dejú na mikroskopickej a pre nás neviditeľnej úrovni – ani jeden človek sa s nimi nikdy priamo nestretol. . Ak na to zabudneme, nevyhnutne skončíme v stave úplného zmätku a zmätku. Pre seba som sformuloval nasledujúci prístup ku kvantovým mechanickým efektom: akonáhle „vnútorný hlas“ začne opakovať „toto nemôže byť!“, musíte si položiť otázku: „Prečo nie? Ako zistím, ako všetko vo vnútri atómu skutočne funguje? Pozrel som sa tam sám?" Takýmto nastavením budete ľahšie vnímať články v tejto knihe venované kvantovej mechanike.
Heisenbergov princíp vo všeobecnosti hrá kľúčovú úlohu v kvantovej mechanike, už len preto, že celkom jasne vysvetľuje, ako a prečo sa mikrosvet líši od hmotného sveta, ktorý poznáme. Aby ste pochopili tento princíp, najprv sa zamyslite nad tým, čo znamená „merať“ akékoľvek množstvo. Ak chcete nájsť napríklad túto knihu, keď vstúpite do miestnosti, rozhliadate sa okolo nej, kým sa na nej nezastaví. V jazyku fyziky to znamená, že ste urobili vizuálne meranie (pohľadom ste našli knihu) a dostali ste výsledok – zaznamenali ste jej priestorové súradnice (určili ste umiestnenie knihy v miestnosti). V skutočnosti je proces merania oveľa komplikovanejší: svetelný zdroj (napríklad Slnko alebo lampa) vyžaruje lúče, ktoré po prejdení určitej dráhy v priestore interagujú s knihou a odrážajú sa od jej povrchu. niektoré z nich sa dostanú do vašich očí, prejdú cez šošovku zaostrí a zasiahnu sietnicu – a vy uvidíte obraz knihy a určíte jej polohu v priestore. Kľúčom k meraniu je interakcia medzi svetlom a knihou. Takže pri akomkoľvek meraní si predstavte, že merací nástroj (v tomto prípade je to svetlo) interaguje s objektom merania (v tomto prípade je to kniha).
V klasickej fyzike, postavenej na newtonovských princípoch a aplikovanej na objekty v našom bežnom svete, sme zvyknutí ignorovať skutočnosť, že merací prístroj pri interakcii s objektom merania naň pôsobí a mení jeho vlastnosti, vrátane merané množstvá. Keď rozsvietite svetlo v miestnosti, aby ste našli knihu, ani nepomyslíte na to, že pod vplyvom výsledného tlaku svetelných lúčov sa kniha môže pohnúť zo svojho miesta a vy rozpoznáte jej priestorové súradnice, skreslený pod vplyvom svetla, ktoré ste zapli. Intuícia nám hovorí (a v tomto prípade celkom správne), že akt merania neovplyvňuje namerané vlastnosti meraného objektu. Teraz premýšľajte o procesoch, ktoré sa vyskytujú na subatomárnej úrovni. Povedzme, že potrebujem opraviť priestorové umiestnenie elektrónu. Stále potrebujem merací prístroj, ktorý bude interagovať s elektrónom a vráti signál do mojich detektorov s informáciou o jeho polohe. A tu vzniká problém: Nemám žiadne iné nástroje na interakciu s elektrónom na určenie jeho polohy v priestore, okrem iných elementárnych častíc. A ak predpoklad, že svetlo interagujúce s knihou neovplyvňuje jej priestorové súradnice, nemožno to isté povedať o interakcii meraného elektrónu s iným elektrónom alebo fotónmi.
Začiatkom 20. rokov 20. storočia, počas explózie tvorivého myslenia, ktorá viedla k vytvoreniu kvantovej mechaniky, mladý nemecký teoretický fyzik Werner Heisenberg ako prvý rozpoznal tento problém. Počnúc zložitými matematickými vzorcami popisujúcimi svet na subatomárnej úrovni postupne dospel k vzorcu úžasnej jednoduchosti, poskytujúcej všeobecný popis vplyvu meracích nástrojov na merané objekty mikrosveta, o ktorom sme práve hovorili. V dôsledku toho sformuloval princíp neurčitosti, ktorý je teraz po ňom pomenovaný:
neistota hodnoty súradníc, neistota rýchlosti,
ktorého matematické vyjadrenie sa nazýva Heisenbergov vzťah neurčitosti:
Kde je neistota (chyba merania) priestorovej súradnice mikročastice, je neistota rýchlosti častice, je hmotnosť častice a je Planckova konštanta, pomenovaná podľa nemeckého fyzika Maxa Plancka, ďalšieho zo zakladateľov kvantovej mechanika. Planckova konštanta je približne 6,626 x 10 –34 J s, to znamená, že obsahuje 33 núl pred prvým platným desatinným miestom.
Pojem „neistota priestorových súradníc“ presne znamená, že nepoznáme presnú polohu častice. Napríklad, ak na určenie polohy tejto knihy použijete globálny prieskumný systém GPS, systém ich vypočíta s presnosťou 2-3 metrov. (GPS, Global Positioning System je navigačný systém, ktorý využíva 24 umelých satelitov Zeme. Ak máte napríklad na svojom aute nainštalovaný prijímač GPS, potom prijímaním signálov z týchto satelitov a porovnávaním ich oneskorenia systém určí vašu geografickú polohu súradnice na Zemi s presnosťou na najbližšiu oblúkovú sekundu.) Avšak z pohľadu merania vykonaného prístrojom GPS by sa kniha mohla s určitou pravdepodobnosťou nachádzať kdekoľvek v rámci systému špecifikovaných niekoľkých metrov štvorcových. V tomto prípade hovoríme o neurčitosti priestorových súradníc objektu (v tomto príklade knihy). Situáciu je možné zlepšiť, ak si namiesto GPS zoberieme zvinovací meter – v tomto prípade môžeme povedať, že kniha je napríklad 4 m 11 cm od jednej steny a 1 m 44 cm od druhej. Ale aj tu sme v presnosti merania limitovaní minimálnym dielikom stupnice meracieho pásma (aj keď je to milimeter) a chybami merania samotného prístroja - a v lepšom prípade budeme vedieť určiť priestorová poloha objektu s presnosťou na minimálny dielik stupnice. Čím presnejší nástroj používame, tým presnejšie budú výsledky, ktoré získame, tým nižšia bude chyba merania a tým menšia bude neistota. V zásade je v našom každodennom svete možné znížiť neistotu na nulu a určiť presné súradnice knihy.
A tu sa dostávame k najzásadnejšiemu rozdielu medzi mikrosvetom a naším každodenným fyzickým svetom. V bežnom svete na to pri meraní polohy a rýchlosti telesa v priestore prakticky nemáme vplyv. V ideálnom prípade teda môžeme súčasne merať rýchlosť aj súradnice objektu s absolútnou presnosťou (inými slovami, s nulovou neistotou).
Vo svete kvantových javov však každé meranie ovplyvňuje systém. Už samotný fakt, že meriame napríklad polohu častice, vedie k zmene jej rýchlosti a to nepredvídateľnej (a naopak). Preto pravá strana Heisenbergovho vzťahu nie je nulová, ale kladná. Čím menšia neistota vo vzťahu k jednej premennej (napríklad ), tým neistejšia sa stáva druhá premenná (), pretože súčin dvoch chýb na ľavej strane vzťahu nemôže byť menší ako konštanta na pravej strane. V skutočnosti, ak sa nám podarí určiť jednu z meraných veličín s nulovou chybou (absolútne presne), neistota druhej veličiny sa bude rovnať nekonečnu a nebudeme o nej vedieť vôbec nič. Inými slovami, ak by sme boli schopní absolútne presne určiť súradnice kvantovej častice, nemali by sme ani najmenšiu predstavu o jej rýchlosti; Ak by sme dokázali presne zaznamenať rýchlosť častice, netušili by sme, kde sa nachádza. V praxi samozrejme musia experimentálni fyzici vždy hľadať nejaký kompromis medzi týmito dvoma extrémami a zvoliť metódy merania, ktoré im umožnia posúdiť rýchlosť aj priestorovú polohu častíc s primeranou chybou.
V skutočnosti princíp neurčitosti spája nielen priestorové súradnice a rýchlosť – v tomto príklade sa to jednoducho prejavuje najzreteľnejšie; neistota rovnako viaže ďalšie dvojice vzájomne súvisiacich charakteristík mikročastíc. Podobným uvažovaním sme dospeli k záveru, že nie je možné presne zmerať energiu kvantového systému a určiť časový okamih, v ktorom má túto energiu. To znamená, že ak meriame stav kvantového systému, aby sme určili jeho energiu, toto meranie bude trvať určitý čas – nazvime to . V tomto časovom úseku sa energia sústavy náhodne mení – dochádza k jej výkyvom – a nevieme ju odhaliť. Označme chybu merania energie. Úvahou podobnou vyššie uvedenej dospejeme k podobnému vzťahu a neistote času, kedy kvantová častica mala túto energiu:
V súvislosti s princípom neistoty je potrebné uviesť ešte dva dôležité body:
- neznamená to, že niektorú z dvoch charakteristík častice – priestorové umiestnenie alebo rýchlosť – nemožno merať s akoukoľvek presnosťou;
- princíp neistoty funguje objektívne a nezávisí od prítomnosti inteligentného subjektu vykonávajúceho merania.
Encyklopédia od Jamesa Trefila „The Nature of Science. 200 zákonov vesmíru."
James Trefil je profesorom fyziky na George Mason University (USA), jedným z najznámejších západných autorov populárno-vedeckých kníh.
Materiál z voľnej ruskej encyklopédie „Tradícia“
V kvantovej mechanike Heisenbergov princíp neurčitosti
(alebo Heisenberg
) stanovuje, že existuje nenulový limit pre súčin disperzií konjugovaných párov fyzikálnych veličín charakterizujúcich stav systému. Princíp neurčitosti nachádzame aj v klasickej teórii meraní fyzikálnych veličín.
Princíp neistoty je zvyčajne znázornený nasledovne. Uvažujme súbor neinteragujúcich ekvivalentných častíc pripravených v určitom stave, pre každú z nich sa meria buď súradnica q alebo impulz p . V tomto prípade budú výsledky meraní náhodné premenné, ktorých štandardné odchýlky od priemerných hodnôt budú spĺňať vzťah neistoty, kde – . Keďže akékoľvek meranie mení stav každej častice, jedno meranie nemôže súčasne merať hodnoty súradníc aj hybnosti. Pre súbor častíc vedie zníženie disperzie pri meraní fyzikálnej veličiny k zvýšeniu disperzie konjugovanej fyzikálnej veličiny. Predpokladá sa, že princíp neurčitosti je spojený nielen so schopnosťami experimentálnej technológie, ale ukazuje aj základnú vlastnosť prírody.
Obsah
|
Krátka recenzia
V kvantovej mechanike vzniká vzťah neurčitosti medzi akýmikoľvek stavovými premennými, ktoré sú definované pomocou nedochádzanie operátorov. Okrem toho sa uznáva, že dualita vlna-častica je aspoň čiastočne pravdivá pre častice. Pri tejto aproximácii je poloha častice určená miestom koncentrácie vlny zodpovedajúcej častici, hybnosť častice je spojená s vlnovou dĺžkou a vzniká jasná analógia medzi vzťahmi neurčitosti a vlastnosťami vĺn resp. signály. Poloha je neistá v rozsahu, v akom je vlna rozložená v priestore, a neistota hybnosti je odvodená od neistoty vlnovej dĺžky, keď sa meria v rôznych časoch. Ak je vlna dnu bodové oblasti, je jej poloha určená s dobrou presnosťou, ale takáto vlna vo forme krátkovlnného sledu nemá určitú vlnovú dĺžku charakteristickú pre nekonečnú monochromatickú vlnu.
Vlnová funkcia môže byť braná ako vlna zodpovedajúca častici. V interpretácii kvantovej mechaniky s mnohými svetmi sa hovorí, že dekoherencia nastáva vždy, keď sa meria poloha častice. Naproti tomu kodanská interpretácia kvantovej mechaniky hovorí, že pri každom meraní polohy častice sa zdá, že vlnová funkcia kolabuje až do malej oblasti, kde sa častica nachádza, a za touto oblasťou sa vlnová funkcia blíži k nule ( tento opis sa považuje za možnú techniku na zosúladenie správania vlnovej funkcie ako charakteristiky častice, pretože vlnová funkcia súvisí so skutočnými fyzikálnymi veličinami len nepriamo). Táto interpretácia vyplýva zo skutočnosti, že druhá mocnina vlnovej funkcie ukazuje pravdepodobnosť nájdenia častice v priestore. Pre malú oblasť nie je možné presne zmerať hybnosť častice v každom rozmere v dôsledku samotného postupu merania hybnosti. Pri meraní polohy bude častica častejšie detegovaná tam, kde je maximum vlnovej funkcie a v sérii identických meraní sa objaví najpravdepodobnejšia poloha a určí sa od nej smerodajná odchýlka:
Rovnakým spôsobom sa v sérii identických meraní vykoná rozdelenie pravdepodobnosti, určí sa štatistický rozptyl a štandardná odchýlka od priemernej hybnosti častíc:
Súčin týchto veličín súvisí vzťahom neurčitosti:
kde je Diracova konštanta.
V niektorých prípadoch je „neistota“ premennej definovaná ako najmenšia šírka rozsahu, ktorý obsahuje 50 % hodnôt, čo v prípade normálne rozdelenej premennej vedie k väčšej dolnej hranici pre súčin neistôt, čím sa stáva rovná . Podľa vzťahu neurčitosti môže byť stav taký, že X možno merať s vysokou presnosťou, ale potom p budú známe len približne, alebo naopak p možno presne určiť, pričom X - Nie. Vo všetkých ostatných štátoch a X A p možno merať s „primeranou“, ale nie ľubovoľne vysokou presnosťou.
Vzťahy neistoty obmedzujú teoretickú hranicu presnosti akýchkoľvek meraní. Sú platné pre takzvané ideálne merania, niekedy nazývané merania Johna von Neumanna. Ešte viac platia pre neideálne merania alebo merania podľa L.D. Landau. V bežnom živote väčšinou nepozorujeme neistotu, pretože hodnota je extrémne malá.
Žiadna častica (vo všeobecnom zmysle, napríklad nesúca diskrétny elektrický náboj) nemôže byť spravidla označená ako „klasická bodová častica“ aj ako vlna. Princíp neurčitosti, ako pôvodne navrhol Heisenberg, je platný, keď žiadny z týchto dvoch opisov nie je úplne a výlučne vhodný. Príkladom je častica s určitou energetickou hodnotou umiestnená v schránke. Takáto častica je systém, ktorý nie je charakterizovaný ani jedno určitá „pozícia“ (určitá hodnota vzdialenosti od potenciálnej steny), ani jedno určitú hodnotu impulzu (vrátane jeho smeru).
Princíp neurčitosti je splnený nielen pri experimentoch s mnohými časticami v rovnakých počiatočných stavoch, keď sa berú do úvahy odchýlky od stredných hodnôt od priemerných hodnôt pre pár konjugovaných fyzikálnych veličín meraných oddelene od seba, ale aj v každom jednotlivom meraní, kedy je možné odhadnúť hodnoty a rozptyl oboch fyzikálnych veličín súčasne veličín Aj keď princíp neurčitosti je spojený s pozorovateľský efekt , neobmedzuje sa len na ňu, keďže je spojená aj s vlastnosťami pozorovateľných kvantových objektov a ich vzájomnými interakciami a so zariadeniami.
Príbeh
Hlavný článok: Úvod do kvantovej mechaniky
Werner Heisenberg sformuloval princíp neurčitosti v Inštitúte Nielsa Bohra v Kodani, keď pracoval na matematických základoch kvantovej mechaniky.
V roku 1925, po práci Hendrika Kramersa, Heisenberg vyvinul maticovú mechaniku, ktorá nahradila staršiu verziu kvantovej mechaniky založenú na Bohrových postulátoch. Navrhol, že kvantový pohyb sa líši od klasického pohybu, takže elektróny v atóme nemajú presne definované dráhy. V dôsledku toho pre elektrón už nie je možné presne povedať, kde sa v danom čase nachádza a ako rýchlo sa pohybuje. Vlastnosťou Heisenbergových matíc pre polohu a hybnosť je, že sa navzájom nekomutujú:
V marci 1926 to Heisenberg zistil nekomutatívnosť vedie k princípu neurčitosti, ktorý sa stal základom toho, čo sa neskôr nazývalo kodanskou interpretáciou kvantovej mechaniky. Heisenberg ukázal spojenie medzi komutátorom magnitúdových operátorov a Bohrovým princípom komplementarity. Akékoľvek dve premenné, ktoré nedochádzajú, nie je možné presne zmerať súčasne, pretože so zvyšovaním presnosti merania jednej premennej sa presnosť merania druhej premennej znižuje.
Ako príklad môžeme uvažovať difrakciu častice, ktorá prejde úzkou štrbinou sita a po prechode pod určitým uhlom sa vychýli. Čím je medzera užšia, tým väčšia je neistota v smere hybnosti prenášanej častice. Podľa zákona difrakcie možná uhlová odchýlka Δθ približne rovná λ / d , Kde d je šírka štrbiny a λ je vlnová dĺžka zodpovedajúca častici. Ak použijeme vzorec pre v tvare λ = h / p a určiť dΔθ = Δ X , potom sa získa Heisenbergov vzťah:
Heisenberg vo svojom článku z roku 1927 prezentoval tento vzťah ako minimálnu potrebnú poruchu veľkosti hybnosti častice vyplývajúcej z merania polohy častice, ale neuviedol presnú definíciu veličín Δx a Δp. Namiesto toho urobil ich hodnotenia pri viacerých príležitostiach. Vo svojej prednáške v Chicagu objasnil svoj princíp takto:
|
(1) |
|
|
Vo svojej modernej podobe vzťah neurčitosti zapísal E. H. Kennard v roku 1927: |
|
|
(2) |
|
kde, a σ x , σ p sú kvadratické (štandardné) odchýlky polohy a hybnosti. Sám Heisenberg dokázal vzťah (2) len pre špeciálny prípad Gaussových stavov. .
Princíp neurčitosti a efekt pozorovateľa
Jedna verzia princípu neistoty môže byť formulovaná takto:
Meranie súradnice častice nevyhnutne mení jej hybnosť a naopak .
Vďaka tomu je princíp neurčitosti špeciálnou, kvantovou verziou pozorovateľský efekt , a ako pozorovateľ môže pôsobiť aj automatizovaný merací systém využívajúci ako princíp priamej fixácie častíc, tak aj vylučovaciu metódu (častice, ktoré sa nedostali do detektora, prešli inou prístupnou cestou).
Toto vysvetlenie možno prijať a použili ho Heisenberg a Bohr, ktorí stáli na filozofickom základe logického pozitivizmu. Podľa logiky pozitivizmu je pre bádateľa skutočná povaha pozorovaného fyzikálneho systému určená výsledkami najpresnejších experimentov, v zásade dosiahnuteľných a limitovaných len samotnou prírodou. V tomto prípade sa výskyt nevyhnutných nepresností počas meraní stáva dôsledkom nielen vlastností skutočne používaných prístrojov, ale aj samotného fyzického systému ako celku, vrátane objektu a meracieho systému.
V súčasnosti nie je logický pozitivizmus všeobecne akceptovaným pojmom, takže vysvetlenie princípu neurčitosti založeného na efekte pozorovateľa sa pre tých, ktorí sa hlásia k inému filozofickému prístupu, stáva neúplným. Niektorí veria, že významná zmena jej hybnosti, ku ktorej dochádza pri meraní súradníc častice, je nevyhnutnou vlastnosťou nie častice, ale iba procesu merania. V skutočnosti častica, skrytá pred pozorovateľom, má v každom okamihu určitú polohu a hybnosť, ale ich hodnoty nie sú presne určené kvôli použitiu príliš hrubých nástrojov (teória skrytých parametrov). Na ilustráciu uvádzame príklad: pomocou inej biliardovej gule musíte nájsť polohu a hybnosť pohybujúcej sa biliardovej gule. V sérii experimentov, v ktorých sú obe loptičky nasmerované približne rovnako a narážajú na seba, je možné nájsť uhly rozptylu loptičiek, ich hybnosť a následne určiť body ich stretnutia. V dôsledku počiatočných nepresností je každá zrážka jedinečná, dochádza k rozptylu v umiestnení a rýchlosti loptičiek, čo pri sérii zrážok vedie k zodpovedajúcemu vzťahu neurčitosti. Zároveň však s istotou vieme, že v každej jednotlivej dimenzii sa guľôčky pohybujú a v každom okamihu majú veľmi špecifický impulz. Tento poznatok zase vyplýva zo skutočnosti, že gule možno monitorovať pomocou odrazeného svetla, ktoré nemá prakticky žiadny vplyv na pohyb masívnych gúľ.
Opísaná situácia ilustruje vznik princípu neistoty a závislosť výsledkov meraní od postupu merania a vlastností meracích prístrojov. Ale v reálnych experimentoch ešte nebol objavený spôsob, ako súčasne merať parametre elementárnych častíc externými prístrojmi bez toho, aby sa výrazne narušil ich počiatočný stav. Preto myšlienka parametrov častíc skrytých pred pozorovateľom v štandardnej kvantovej mechanike nie je populárna a zvyčajne jednoducho uvádza, že neexistujú žiadne stavy, v ktorých by bolo možné súčasne merať súradnicu a hybnosť častice.
Existujú však situácie, v ktorých možno skryté parametre častíc pravdepodobne určiť. Hovoríme o dvoch (alebo viacerých) spojených časticiach v takzvanom prepojenom stave. Ak sú tieto častice v dostatočne veľkej vzdialenosti od seba a nemôžu sa navzájom ovplyvňovať, meranie parametrov jednej častice poskytuje užitočnú informáciu o stave druhej častice.
Povedzme, že pri rozpade pozitrónia sú emitované dva fotóny v opačných smeroch. Umiestnime dva detektory tak, že prvý dokáže merať polohu jedného fotónu a druhý detektor dokáže merať hybnosť druhého fotónu. Simultánnym meraním je možné pomocou zákona zachovania hybnosti celkom presne určiť hybnosť a smer prvého fotónu a jeho polohu pri dopade na prvý detektor. Zmenou postupu merania sa v tomto prípade vyhne potrebe povinného používania princípu neistoty ako obmedzujúceho prostriedku pri výpočte chýb merania. Opísaná situácia neruší princíp neurčitosti ako taký, keďže súradnica a hybnosť sa súčasne merajú nie pre jednu časticu lokálne, ale pre dve častice vo vzájomnej vzdialenosti.
Heisenbergov mikroskop
Ako jeden z príkladov ilustrujúcich princíp neurčitosti uviedol Heisenberg ako merací prístroj imaginárny mikroskop. Experimentátor s jeho pomocou zmeria polohu a hybnosť elektrónu, ktorý rozptýli naň dopadajúci fotón, čím odhalí jeho prítomnosť.
Ak má fotón krátku vlnovú dĺžku a teda veľkú hybnosť, polohu elektrónu možno v princípe zmerať celkom presne. Ale v tomto prípade je fotón rozptýlený náhodne a prenáša na elektrón pomerne veľkú a neurčitú časť svojej hybnosti. Ak má fotón veľkú vlnovú dĺžku a malú hybnosť, mení hybnosť elektrónu málo, ale rozptyl určí polohu elektrónu veľmi nepresne. Výsledkom je, že súčin neistôt v súradnici a hybnosti zostáva nie menší ako Planckova konštanta, až do číselného faktora rádu jednoty. Heisenberg nesformuloval presný matematický výraz pre princíp neurčitosti, ale použil princíp ako heuristický kvantitatívny vzťah.
Kritika
Kodanská interpretácia kvantovej mechaniky a princípu neistota Heisenbergove myšlienky sa ukázali ako dvojitý cieľ pre tých, ktorí verili v realizmus a determinizmus. Kodanská interpretácia kvantovej mechaniky neobsahuje základnú realitu, ktorá popisuje kvantový stav a predpisuje, ako by sa mali vypočítať experimentálne výsledky. Nie je vopred známe, že systém je v takom základnom stave, že merania prinesú presne špecifikovaný výsledok. Fyzický vesmír v ňom neexistuje deterministický formou, ale skôr ako súbor pravdepodobností alebo možností. Napríklad vzor (distribúcia pravdepodobnosti) produkovaný miliónmi fotónov difraktujúcich cez štrbinu možno vypočítať pomocou kvantovej mechaniky, ale presnú dráhu každého fotónu nemožno predpovedať žiadnou známou metódou. Kodanská interpretácia sa domnieva, že sa to vôbec nedá predvídať č metóda.
Práve túto interpretáciu spochybnil Einstein, keď napísal Maxovi Bornovi: „Som si istý, že Boh nehádže kockou“ ( Zomrieť Theorie liefert viel. Aber ich bin überzeugt, dass der Alte nicht würfelt ). Niels Bohr, ktorý bol jedným z autorov Kodanskej interpretácie, odpovedal: "Einstein, nehovor Bohu, čo má robiť."
Albert Einstein veril, že náhodnosť sa javí ako odraz našej neznalosti základných vlastností reality, zatiaľ čo Bohr veril, že rozdelenie pravdepodobnosti je zásadné a jedinečné v závislosti od typu merania. Debata medzi Einsteinom a Bohrom o princípe neurčitosti trvala mnoho rokov.
Medzera na obrazovke
Einsteinov prvý myšlienkový experiment na testovanie princípu neistoty bol:
Uvažujme časticu prechádzajúcu štrbinou v site so šírkou d. Štrbina má za následok neistotu hybnosti častice rádovo h/d, keď častica prechádza cez sito. Ale hybnosť častice sa dá určiť s dostatočnou presnosťou zo spätného rázu obrazovky pomocou zákona zachovania hybnosti.
Bohrova odpoveď bola: keďže obrazovka dodržiava zákony kvantovej mechaniky, potom zmerať spätný ráz s presnosťou Δ P Hybnosť sita musí byť známa s takou presnosťou až do prechodu častice. To vedie k neistote v polohe sita a štrbiny rovnej h / Δ P a ak je hybnosť obrazovky známa dostatočne presne na meranie spätného rázu, ukáže sa, že poloha štrbiny je určená s presnosťou, ktorá neumožňuje presné meranie polohy častice.
Podobná analýza s časticami podliehajúcimi difrakcii na niekoľkých štrbinách je dostupná od R. Feynmana.
Einsteinova krabica
Ďalší z Einsteinových myšlienkových experimentov bol navrhnutý tak, aby otestoval princíp neistoty s ohľadom na spojené premenné, ako je čas a energia. Ak sa pri experimente so štrbinou v sito častice pohybovali v danom priestore, tak v druhom prípade sa pohybujú za daný čas.
Predstavte si krabicu naplnenú svetelným žiarením z rádioaktívneho rozpadu. Box má uzáver, ktorý ho otvorí na presne známy krátky čas, počas ktorého časť žiarenia opustí box. Ak chcete zmerať energiu odvádzanú žiarením, môžete krabicu po žiarení odvážiť, porovnať ju s počiatočnou hmotnosťou a použiť princíp. Ak je krabica nainštalovaná na váhe, potom by merania mali okamžite ukázať nepresnosť princípu neistoty.
Po dni uvažovania Bohr zistil, že ak je energia samotnej škatule známa presne v počiatočnom okamihu, potom nemožno presne poznať čas, kedy sa uzáver otvorí. Váhy a krabička navyše vplyvom zmien hmotnosti pri ožarovaní môžu meniť svoju polohu v gravitačnom poli. To vedie k zmene rýchlosti času v dôsledku pohybu hodiniek a v dôsledku vplyvu gravitácie na hodiny a k ďalšej nepresnosti v časovaní uzávierky.
Einsteinov-Podolský-Rosenov paradox
Tretíkrát bola Bohrova interpretácia princípu neurčitosti spochybnená v roku 1935, keď Albert Einstein, Boris Podolsky a Nathan Rosen (pozri Einstein-Podolsky-Rosen Paradox) publikovali svoju analýzu stavov vzájomne prepojených častíc oddelených na veľké vzdialenosti. Podľa Einsteina by meranie fyzikálnej veličiny jednej častice v kvantovej mechanike malo viesť k zmene pravdepodobnosti distribúcie inej častice a to rýchlosťou, ktorá môže dokonca prekročiť rýchlosť svetla. Bohr nad tým uvažoval, že neistota v princípe neistoty nevzniká z takéhoto priameho merania.
Sám Einstein veril, že úplný opis reality musí zahŕňať predpovedanie výsledkov experimentov založených na „miestne premenlivých deterministických veličinách“, čo vedie k nárastu informácií v porovnaní s tými, ktoré sú obmedzené princípom neurčitosti.
V roku 1964 John Bell ukázal, že Einsteinov predpoklad skrytých parametrov možno otestovať, pretože viedol k určitým nerovnostiam medzi pravdepodobnosťami v rôznych experimentoch. Doteraz nebolo získané žiadne spoľahlivé potvrdenie existencie skrytých parametrov založených na Bellových nerovnostiach.
Existuje aj názor, že výsledky experimentov možno ovplyvniť nemiestne skryté parametre držal sa ho najmä D. Bohm. Tu sa kvantová teória môže dostať do úzkeho kontaktu s inými fyzikálnymi konceptmi. Napríklad nelokálne skryté parametre možno považovať za náhodnú množinu údajov, ktoré sa objavujú v experimentoch. Ak predpokladáme, že veľkosť viditeľného vesmíru obmedzuje túto množinu a prepojenia medzi nimi, potom kvantový počítač podľa G. Hoofta pravdepodobne urobí chyby, keď bude pracovať s číslami presahujúcimi 10 000 jednotiek.
Kritika Poppera
K.R. Popper kritizoval princíp neurčitosti, ako ho uvádza Heisenberg - že meranie polohy častice vždy ovplyvňuje výsledok merania hybnosti, čo naznačuje, že keď častica s určitou hybnosťou prechádza úzkou medzerou v odrazenej vlne, existuje určitá amplitúda hybnosti. pravdepodobnosť existencie impulzu rovnajúceho sa hybnosti pred rozptylom. To znamená, že pri mnohých udalostiach častica prejde medzerou bez toho, aby zmenila svoju hybnosť. V tomto prípade by sa vzťah neurčitosti nemal aplikovať na jednotlivé udalosti alebo experimenty, ale na experimenty s mnohými identickými časticami s rovnakými počiatočnými podmienkami, to znamená pre kvantové súbory. Tento typ kritiky sa vzťahuje na všetky pravdepodobnostné teórie, nielen na kvantovú mechaniku, pretože pravdepodobnostné tvrdenia vyžadujú overenie mnohých meraní.
Z pohľadu kodanskej interpretácie kvantovej mechaniky je pripísanie určitej hybnosti častici pred meraním ekvivalentné existencii skrytého parametra. Častica by mala byť opísaná nie touto hybnosťou, ale vlnovou funkciou, ktorá sa mení, keď prechádza štrbinou. Odtiaľto vzniká neistota impulzu, zodpovedajúca princípu neurčitosti.
Princíp neurčitosti informačnej entropie
Keď Hugh Everett v roku 1957 formuloval mnohosvetovú interpretáciu kvantovej mechaniky, dospel k prísnejšej forme princípu neurčitosti. . Ak majú kvantové stavy vlnovú funkciu vo forme:
potom sa ich štandardná odchýlka v súradnici zvýši v dôsledku superpozície určitého počtu interakcií. Zvýši sa aj neistota v hybnosti. Na objasnenie nerovnosti vo vzťahu neistoty sa Shannonova informácia používa na rozdelenie veličín, merané počtom bitov potrebných na opísanie náhodnej premennej pri určitom rozdelení pravdepodobnosti:
Hodnota I sa interpretuje ako počet bitov informácie prijatých pozorovateľom v okamihu, keď hodnota x dosiahne presnosť ε rovnajúcu sa Ja x + log 2 (ε) . Druhá časť je počet bitov za desatinnou čiarkou a prvá udáva logaritmickú hodnotu rozdelenia. Pre rovnomerné rozloženie šírky Δ X informačný obsah je log 2 Δ X . Táto hodnota môže byť záporná, čo znamená, že rozdelenie je užšie ako jedna a malé bity za desatinnou čiarkou neposkytujú žiadne informácie z dôvodu neistoty.
Ak vezmeme logaritmus pomeru neistoty v takzvaných prirodzených jednotkách:
potom v tomto tvare je spodná hranica rovná nule.
Everett a Hirschman navrhli, že pre všetky kvantové stavy:
To dokázal Beckner v roku 1975.
Deriváty
Keď lineárne operátory A a B pôsobia na funkciu ψ( X) , nie vždy dochádzajú. Nech je napríklad operátor B násobením x a operátor A je derivácia vzhľadom na x. Potom platí rovnosť:
čo v jazyku operátora znamená:
Tento výraz je veľmi blízky kanonickému komutátoru kvantovej mechaniky, v ktorom je polohový operátor násobením vlnovej funkcie x a operátor hybnosti zahŕňa deriváciu a násobenie . Toto dáva:
Tento nenulový komutátor vedie k vzťahu neurčitosti.
Pre akékoľvek dva výroky A a B:
čo zodpovedá Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť pre vnútorný súčin dvoch vektorov a . Očakávaná hodnota produktu AB presahuje amplitúdu imaginárnej časti:
Pre hermitských operátorov to dáva Vzťah Robertson - Schrödinger :
a princíp neurčitosti ako osobitný prípad.
Fyzická interpretácia
Pri prechode od operátorov množstva k neistotám môžeme napísať:
Kde
je priemer premennej X v stave ψ,
je štandardná odchýlka premennej X v stave ψ.
Po výmene za A a pre B vo všeobecnej operátorovej nerovnosti má komutátor tvar:
Normy a sú v kvantovej mechanike štandardné odchýlky pre A a B. Pre súradnicu a hybnosť je norma komutátora rovná .
Maticová mechanika
V maticovej mechanike sa komutátor matíc X a P nerovná nule, ale hodnote vynásobenej maticou identity.
Komutátor dvoch matíc sa nemení, keď sa obe matice zmenia v dôsledku posunu do konštantných matíc X A p:
Pre každý kvantový stav ψ je možné určiť číslo X
ako očakávanú hodnotu súradníc a
ako očakávanú hodnotu impulzu. Veličiny a budú nenulové do tej miery, že poloha a hybnosť sú neisté, takže X a P sa líšia od priemerných hodnôt. Očakávaná hodnota prepínača
môže byť nenulová, ak odchýlka v X v stave vynásobenom odchýlkou v P, celkom veľké.
Druhá mocnina typického prvku matice ako štvorcová odchýlka sa dá odhadnúť súčtom druhých mocnín energetických stavov:
Preto sa vzťah kanonickej komutácie získa vynásobením odchýlok v každom stave, čím sa získa hodnota poradia:
Toto heuristické hodnotenie možno spresniť pomocou Cauchyho-Bunyakovského nerovnosti (pozri vyššie). Vnútorný súčin dvoch vektorov v zátvorkách:
obmedzené súčinom dĺžok vektorov:
Preto pre každý štát bude:
reálna časť matice M je , takže reálna časť súčinu dvoch hermitovských matíc sa rovná:
Pre pomyselnú časť máme:
Amplitúda je väčšia ako amplitúda jej imaginárnej časti:
Súčin neistôt je nižšie ohraničený očakávanou hodnotou anti-spínač s uvedením zodpovedajúceho termínu vzťahu neurčitosti. Tento výraz nie je dôležitý pre neistotu polohy a hybnosti, pretože má nulovú očakávanú hodnotu pre balík Gaussových vĺn, ako v základnom stave harmonického oscilátora. Zároveň člen z anti-spínač užitočné na obmedzenie neistôt spinových operátorov.
Vlnová mechanika
V Schrödingerovej rovnici kvantová mechanika vlnová funkcia obsahuje informácie o polohe a hybnosti častice. Najpravdepodobnejšia poloha častice je tam, kde je koncentrácia vĺn najväčšia a hlavná vlnová dĺžka určuje hybnosť častice.
Vlnová dĺžka lokalizovanej vlny nie je presne určená. Ak je vlna v objeme veľkosti L a vlnová dĺžka je približne rovná λ, počet vlnových cyklov v tejto oblasti bude rádovo L / λ . Skutočnosť, že počet cyklov je známy presne na jeden cyklus, možno zapísať takto:
Tomu zodpovedá aj známy výsledok pri spracovaní signálu – čím je časový úsek kratší, tým je frekvencia určená menej presne. Podobne pri Fourierovej transformácii platí, že čím užší je vrchol funkcie, tým širší je jej Fourierov obraz.
Ak vynásobíme rovnosť o h a zadajte Δ P = hΔ (1/λ), Δ X = L , potom to bude:
Princíp neurčitosti možno prezentovať ako teorém vo Fourierových transformáciách: súčin štandardnej odchýlky druhej mocniny absolútnej hodnoty funkcie a štandardnej odchýlky druhej mocniny absolútnej hodnoty jej Fourierovho obrazu nie je menší ako 1/ (16π 2).
Typickým príkladom je (nenormalizovaná) Gaussova vlnová funkcia:
Očakávaná hodnota X je nula kvôli symetrii, takže variácia sa zistí spriemerovaním X 2 cez všetky pozície s váhou ψ( X) 2 a berúc do úvahy normalizáciu:
Pomocou Fourierovej transformácie môžeme vyjsť z ψ( X) na vlnovú funkciu v k priestor kde k je vlnové číslo a súvisí s hybnosťou podľa de Broglieho vzťahu:
Posledný integrál nezávisí od p, pretože tu sa premenné plynule menia 
, čo vylučuje takúto závislosť a cesta integrácie v komplexnej rovine neprechádza singularitou. Preto až do normalizácie je vlnová funkcia opäť gaussovská:
Šírka distribúcie k zistené spriemerovaním integráciou, ako je uvedené vyššie:
Potom v tomto príklade
Symplectic geometria
Z matematického hľadiska sú konjugované premenné súčasťou symplektický a princíp neistoty tomu zodpovedá symplektický forma v symplektický priestor.
Vzťah Robertson - Schrödinger
Zoberme si ľubovoľné dva samoadjungované hermitovské operátory A A B a systém je v stave ψ. Pri meraní veličín A A B objaví sa rozdelenie pravdepodobnosti so štandardnými odchýlkami Δ ψ A a Δψ B . Potom bude nerovnosť pravdivá:
Kde [ A,B] = AB - B.A. je tam vypínač A A B, {A,B} = AB+B.A. existuje antikomutátor a existuje očakávaná hodnota. Táto nerovnosť sa nazýva Robertsonov-Schrodingerov vzťah, ktorý zahŕňa princíp neurčitosti ako špeciálny prípad. Nerovnosť s jedným komutátorom odvodil v roku 1930 Howard Percy Robertson a o niečo neskôr Erwin Schrödinger pridal termín s antikomutátor.
Je tiež možné, že sú dve nedochádzanie samoadjunktné operátory A A B , ktoré majú rovnaký vlastný vektor ψ. V tomto prípade ψ predstavuje čistý stav, ktorý je súčasne merateľný A A B .
Iné princípy neistoty
Robertsonov-Schrodingerov vzťah vedie k vzťahom neurčitosti pre akékoľvek dve premenné, ktoré spolu nekomutujú:
- Vzťah neurčitosti medzi súradnicou a hybnosťou častice:
- medzi energiou a polohou častice v jednorozmernom potenciáli V(x):
- medzi uhlovou súradnicou a momentom hybnosti častice s malou uhlovou neistotou:
- medzi ortogonálnymi zložkami celkového momentu hybnosti častice:
Kde i, j, k rôzne a J i znamená moment hybnosti pozdĺž osi x i .
- medzi počtom elektrónov v supravodiči a fázou ich usporiadania v teórii Ginzburg-Landau:
Existuje tiež vzťah neurčitosti medzi intenzitou poľa a počtom častíc, čo vedie k fenoménu virtuálnych častíc.
Energia-čas v princípe neurčitosti
Energia a čas sú zahrnuté vo vzťahu neurčitosti, ktorý nevyplýva priamo z Robertsonovho-Schrodingerovho vzťahu.
Súčin energie a času má rovnaký rozmer ako súčin impulzu a súradnice, momentu hybnosti a akčnej funkcie. Preto Bohr už poznal nasledujúci vzťah:
Tu Δt je životnosť kvantového stavu a čas, podobne ako priestorová súradnica, určuje vývoj častice v systéme časopriestorových súradníc.
Zo vzťahu vyplýva, že stav s krátkou životnosťou nemôže mať určitú energetickú hodnotu – počas tejto doby sa musí energia meniť, čím výraznejšie, tým kratší čas. Ak je energia stavu úmerná frekvencii kmitov, potom pre vysokú presnosť merania energie je potrebné merať frekvenciu za časové obdobie, ktoré zahŕňa pomerne veľa vlnových cyklov.
Napríklad v spektroskopii majú excitované stavy obmedzenú životnosť. Priemerná energia emitovaných fotónov leží blízko teoretickej hodnoty energie stavu, no rozloženie energie má určitú šírku, tzv. prirodzená šírka čiary . Čím rýchlejšie sa stav rozpadá, tým väčšia je jeho zodpovedajúca šírka čiary, čo sťažuje presné meranie energie. . Podobne existujú ťažkosti pri určovaní pokojovej hmotnosti rýchlo sa rozpadajúcich rezonancií v časticovej fyzike. Čím rýchlejšie sa častica rozpadá, tým menej presne poznáme jej energiu hmoty.
Jedna nepresná formulácia princípu neistoty uvádza, že merať energiu kvantového systému s presnosťou Δ E zaberie to čas Δ t > h / Δ E . Jeho nepresnosť ukázali Yakir Aharonov a D. Bohm v roku 1961. V skutočnosti čas Δ t existuje čas, keď systém existuje bez vonkajších porúch, a nie čas merania alebo vplyvu meracích prístrojov.
V roku 1936 Paul Dirac navrhol presnú definíciu a odvodenie vzťahu neistoty energie a času v relativistickej kvantovej teórii „udalostí“. V tejto formulácii sa častice pohybujú v časopriestore a na každej dráhe majú svoj vlastný vnútorný čas. Viacnásobná formulácia kvantovej mechaniky je matematicky ekvivalentná štandardnej formulácii, ale je vhodnejšia pre relativistické zovšeobecnenie. Na jej základe Shinichiro Tomonaga vytvoril kovariantnú poruchovú teóriu pre kvantovú elektrodynamiku.
Známejšiu a používanejšiu formuláciu vzťahu neistoty energie a času poskytli v roku 1945 L. I. Mandelstam a I. E. Tamm. Pre kvantový systém v nestacionárnom stave je pozorovateľná veličina B je reprezentovaný samokonzistentným operátorom a vzorec je platný:
Kde Δ ψ E je smerodajná odchýlka energetického operátora v štáte, Δ ψ B je štandardná odchýlka operátora a je očakávanou hodnotou v tomto stave. Druhý faktor na ľavej strane má rozmer času a líši sa od času zahrnutého v Schrödingerovej rovnici. Tento faktor je životnosť stavu vo vzťahu k pozorovanému B , po ktorom sa očakávaná hodnota výrazne zmení.
Vety o neistote v harmonickej analýze
V harmonickej analýze princíp neistoty znamená, že nie je možné získať presné hodnoty funkcie a jej Fourierovej mapy; v tomto prípade platí nasledujúca nerovnosť:
Medzi funkciou sú ďalšie vzťahy ƒ a jeho Fourierovu mapu.
Benedickova veta
Táto veta hovorí, že množina bodov, kde ƒ nie je nula, a množina bodov, kde ƒ nie je nula, nemôže byť príliš malá. najmä ƒ V L 2 (R) a jeho Fourierova mapa nemôže byť súčasne podporovaná (majú rovnakú podporu funkcií) na krytinách s ohraničenou Lebesgueovou mierou. Pri spracovaní signálu je tento výsledok dobre známy: funkcia nemôže byť súčasne obmedzená v časovom aj frekvenčnom rozsahu.
Hardyho princíp neistoty
Matematik G. H. Hardy sformuloval v roku 1933 nasledujúci princíp: nie je možné, aby funkcie ƒ a obe „veľmi rýchlo narastali“. Takže ak ƒ definované v L 2 (R), že:
okrem prípadu f = 0
. Tu je Fourierova mapa 
sa rovná , a ak v integráli nahradíme za každý a < 2π
, potom bude príslušný integrál ohraničený pre nenulovú funkciu f 0
.
Nekonečné hniezdenie hmoty
Teoreticky dostáva princíp neurčitosti špeciálny výklad. Podľa tejto teórie môže byť celý súbor objektov existujúcich vo vesmíre usporiadaný do úrovní, v rámci ktorých sa veľkosti a hmotnosti predmetov, ktoré k nim patria, nelíšia tak, ako medzi rôznymi úrovňami. V tomto prípade vzniká. Vyjadruje sa napríklad tým, že hmotnosti a veľkosti telies pri pohybe z úrovne na úroveň rastú exponenciálne a možno ich zistiť pomocou zodpovedajúcich koeficientov podobnosti. Existujú základné a stredné úrovne hmoty. Ak si zoberieme také základné úrovne hmoty, ako je úroveň elementárnych častíc a úroveň hviezd, tak v nich možno nájsť navzájom podobné objekty – nukleóny a neutrónové hviezdy. Elektrón má svoj náprotivok aj na hviezdnej úrovni – v podobe diskov objavených v blízkosti röntgenových pulzarov, ktoré sú hlavnými kandidátmi na magnetary. . Na základe známych vlastností elementárnych častíc (hmotnosť, polomer, náboj, spin, atď.) pomocou koeficientov podobnosti je možné určiť zodpovedajúce vlastnosti podobných objektov na hviezdnej úrovni.
Navyše vďaka fyzikálnym zákonom nemenia svoju formu na rôznych úrovniach hmoty. To znamená, že okrem podobnosti predmetov a ich vlastností existuje aj podobnosť zodpovedajúcich javov. Vďaka tomu možno každú úroveň hmoty považovať za svoj vlastný princíp neurčitosti. Charakteristickou hodnotou akčného kvanta a momentu hybnosti na úrovni elementárnych častíc je hodnota, tzn. Priamo vstupuje do princípu neurčitosti. Pre neutrónové hviezdy je charakteristická hodnota akčného kvanta ħ' s = ħ ∙ Ф' ∙ S' ∙ Р' = 5,5∙10 41 J∙s, kde Ф', S', Р' sú koeficienty podobnosti v termínoch hmotnosti a podľa toho procesné rýchlosti a veľkosti. Ak teda zmeriate polohu, hybnosť alebo iné množstvá jednotlivých neutrónových hviezd pomocou hviezdnych alebo ešte hmotnejších objektov, potom počas ich interakcie dôjde k výmene hybnosti a uhlovej hybnosti s charakteristickou hodnotou hviezdneho kvanta pôsobenia poradie ħ' s. V tomto prípade súradnicové meranie ovplyvní presnosť merania impulzov a naopak, čo vedie k princípu neistoty.
Z uvedeného vyplýva, že podstata princípu neistoty vyplýva zo samotného postupu merania. Elementárne častice teda nemožno študovať inak ako pomocou samotných elementárnych častíc alebo ich zložených stavov (vo forme jadier, atómov, molekúl a pod.), ktoré nevyhnutne ovplyvňujú výsledky meraní. Interakcia častíc medzi sebou alebo so zariadeniami v tomto prípade vedie k potrebe zavádzania štatistických metód do kvantovej mechaniky a iba pravdepodobnostných predpovedí výsledkov akýchkoľvek experimentov. Keďže postup merania vymaže časť informácií, ktoré častice mali pred meraniami, priame určenie udalostí z akýchkoľvek skrytých parametrov, predpokladaných v teórii skrytých parametrov, nefunguje. Napríklad, ak nasmerujete jednu časticu na druhú v presne špecifikovanom smere, mali by ste získať veľmi jasný rozptyl častíc na sebe. Tu však nastáva problém, že najprv potrebujete nejaký iný spôsob, ako časticu nasmerovať presne týmto smerom. Ako vidno, určovaniu udalostí bráni nielen postup merania, ale aj postup stanovenia presných počiatočných stavov skúmaných častíc.
Vyjadrenie konečného dostupného množstva Fisherovej informácie
Princíp neurčitosti je alternatívne odvodený ako výraz Cramer-Rao nerovnosti v klasickej teórii merania. V prípade, že sa meria poloha častice, stredná kvadratická hybnosť častice vstupuje do nerovnosti ako Fisherove informácie . pozri tiež úplné fyzické informácie .
Vedecký humor
Neobvyklá povaha Heisenbergovho princípu neurčitosti a jeho chytľavý názov z neho urobili zdroj niekoľkých vtipov. Hovorí sa, že populárny nápis na stenách katedier fyziky v univerzitných kampusoch je: „Heisenberg môže byť tu“.
Jedného dňa zastaví Werner Heisenberg na diaľnici policajt a pýta sa: „Viete, ako rýchlo ste išli, pane? Na čo fyzik odpovedá: "Nie, ale presne viem, kde som!"
Princíp neistoty v populárnej kultúre
Princíp neurčitosti je v populárnej tlači často nepochopený alebo nesprávne charakterizovaný. Jednou z bežných chýb je, že pozorovanie udalosti mení samotnú udalosť. Vo všeobecnosti to nemá nič spoločné s princípom neurčitosti. Takmer každý lineárny operátor mení vektor, na ktorý pôsobí (teda takmer každé pozorovanie mení stav), ale pre komutatívne operátory neexistujú žiadne obmedzenia na možné šírenie hodnôt. Napríklad projekcie hybnosti na osi c A r možno merať spoločne tak presne, ako je požadované, hoci každé meranie mení stav systému. Princíp neistoty sa navyše zaoberá paralelným meraním veličín pre niekoľko systémov v rovnakom stave, a nie postupnými interakciami s tým istým systémom.
Na vysvetlenie princípu neurčitosti boli navrhnuté ďalšie (tiež zavádzajúce) analógie k makroskopickým efektom: jedna zahŕňa rozdrvenie semena vodného melónu prstom. Účinok je známy - nedá sa predpovedať, ako rýchlo alebo kde semienko zmizne. Tento náhodný výsledok je úplne založený na náhodnosti, ktorá sa dá vysvetliť jednoduchými klasickými termínmi.
