Dnes budeme uvažovať o geometrickom útvare - štvoruholníku. Už z názvu tohto obrázku je zrejmé, že tento obrázok má štyri rohy. Ale zvyšok charakteristík a vlastností tohto obrázku zvážime nižšie.

Čo je štvoruholník

Štvoruholník je mnohouholník pozostávajúci zo štyroch bodov (vrcholov) a štyroch segmentov (strany), ktoré tieto body spájajú v pároch. Plocha štvoruholníka je polovicou súčinu jeho uhlopriečok a uhla medzi nimi.

Štvoruholník je mnohouholník so štyrmi vrcholmi, z ktorých tri neležia na tej istej priamke.

Typy štvoruholníkov

• Štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné, sa nazýva rovnobežník.
• Štvoruholník, v ktorom sú dve protiľahlé strany rovnobežné a ostatné dve nie sú, sa nazýva lichobežník.
• Štvoruholník so všetkými pravými uhlami je obdĺžnik.
• Štvoruholník so všetkými rovnakými stranami je kosoštvorec.
• Štvoruholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké a všetky uhly sú pravé, sa nazýva štvorec.

Štvoruholník môže byť:

sebapretínanie

nekonvexné

konvexné

Samopretínajúci sa štvoruholník je štvoruholník, v ktorom má ktorákoľvek z jeho strán priesečník (na obrázku modrou farbou).

Nekonvexný štvoruholník je štvoruholník, v ktorom je jeden z vnútorných uhlov väčší ako 180 stupňov (na obrázku je vyznačený oranžovou farbou).

Súčet uhlov každý štvoruholník, ktorý sa nepretína, sa vždy rovná 360 stupňom.

Špeciálne typy štvoruholníkov

Štvoruholníky môžu mať ďalšie vlastnosti, ktoré tvoria špeciálne typy geometrických tvarov:

• Paralelogram
• Obdĺžnik
• Námestie
• Hrazda
• Deltoidný
• Kontraparalelogram

Štvoruholník a kruh

Štvoruholník vpísaný okolo kruhu (kruh vpísaný do štvoruholníka).

Hlavná vlastnosť ohraničeného štvoruholníka:

Štvoruholník môže byť opísaný okolo kruhu vtedy a len vtedy, ak sú súčty dĺžok protiľahlých strán rovnaké.

Štvoruholník vpísaný do kruhu (kruh vpísaný okolo štvoruholníka)

Hlavná vlastnosť vpísaného štvoruholníka:

Štvoruholník môže byť vpísaný do kruhu práve vtedy, ak súčet protiľahlých uhlov je 180 stupňov.

Vlastnosti dĺžky štvorstrannej strany

Diferenčný modul ľubovoľných dvoch strán štvoruholníka nepresahuje súčet jeho ostatných dvoch strán.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Dôležité. Nerovnosť platí pre akúkoľvek kombináciu strán štvoruholníka. Obrázok je poskytnutý len pre ľahšie pochopenie.

V akomkoľvek štvoruholníku súčet dĺžok jeho troch strán nie je menší ako dĺžka štvrtej strany.

Dôležité. Pri riešení problémov v rámci školských osnov môžete použiť striktnú nerovnosť (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Javascript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Aby bolo možné vykonávať výpočty, musia byť povolené ovládacie prvky ActiveX!

1 . Súčet uhlopriečok konvexného štvoruholníka je väčší ako súčet jeho dvoch protiľahlých strán.

2 . Ak segmenty spájajú stredy protiľahlých strán štvoruholník

a) sú rovnaké, potom sú uhlopriečky štvoruholníka kolmé;

b) sú kolmé, potom sú uhlopriečky štvoruholníka rovnaké.

3 . Osy uhlov na laterálnej strane lichobežníka sa pretínajú v jeho strednej čiare.

4 . Strany rovnobežníka sú rovnaké a . Potom štvoruholník tvorený priesečníkmi priesečníkov uhlov rovnobežníka je obdĺžnik, ktorého uhlopriečky sú rovnaké.

5 . Ak je súčet uhlov na jednej zo základov lichobežníka 90°, potom sa segment spájajúci stredy základov lichobežníka rovná ich polovičnému rozdielu.

6 . Po bokoch AB a AD rovnobežník A B C D body sa berú M a N takže rovno PANI a NC Rozdeľte rovnobežník na tri rovnaké časti. Nájsť MN, ak BD=d.

7 . Úsek priamky rovnobežnej so základňami lichobežníka, uzavretý vo vnútri lichobežníka, je rozdelený svojimi uhlopriečkami na tri časti. Potom sa segmenty susediace so stranami navzájom rovnajú.

8 . Cez priesečník uhlopriečok lichobežníka so základňami a je nakreslená priamka rovnobežná so základňami. Segment tejto čiary, uzavretý medzi stranami lichobežníka, sa rovná.

9 . Lichobežník je rozdelený čiarou rovnobežnou s jeho základňami rovnajúcou sa a , na dva rovnaké lichobežníky. Potom sa segment tejto priamky, uzavretý medzi stranami, rovná .

10 . Ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok, potom štyri body A, B, C a D ležať na rovnakom kruhu.

a) CAD=CBD= 90°.

b) bodov ALE a AT ležať na jednej strane priamky CD a uhol CAD rovný uhlu CBD

c) rovný AC a BD pretínajú v bode O a O A OS=OV OD.

11 . Čiara spájajúca bod R priesečníky uhlopriečok štvoruholníka ABCD s bodka Q priesečníky čiar AB a CD, rozdeľuje stranu AD na polovicu. Potom rozpolí a stranu Slnko.

12 . Každá strana konvexného štvoruholníka je rozdelená na tri rovnaké časti. Zodpovedajúce deliace body na opačných stranách sú spojené segmentmi. Potom sa tieto segmenty rozdelia na tri rovnaké časti.

13 . Dve priame čiary rozdeľujú každú z dvoch protiľahlých strán konvexného štvoruholníka na tri rovnaké časti. Potom medzi týmito čiarami leží jedna tretina plochy štvoruholníka.

14 . Ak možno do štvoruholníka vpísať kružnicu, potom úsečka spájajúca body, v ktorých sa vpísaná kružnica dotýka opačných strán štvoruholníka, prechádza priesečníkom uhlopriečok.

15 . Ak sú súčty protiľahlých strán štvoruholníka rovnaké, potom je možné do takého štvoruholníka vpísať kružnicu.

16. Vlastnosti vpísaného štvoruholníka so vzájomne kolmými uhlopriečkami.Štvoruholník A B C D vpísaný do kruhu s polomerom R. Jeho uhlopriečky AC a BD sú navzájom kolmé a pretínajú sa v bode R. Potom

a) stred trojuholníka ARV kolmo na stranu CD;

b) prerušovaná čiara AOC delí štvoruholník A B C D na dve rovnaké čísla;

v) AB 2 + CD 2=4R 2 ;

G) AP 2 + BP 2 + SR 2 + DP 2 = 4R 2 a AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 = 8R 2;

e) vzdialenosť od stredu kruhu k strane štvoruholníka je polovica opačnej strany.

f) ak kolmice klesli na stranu AD z vrcholov AT a S, krížové uhlopriečky AC a BD v bodoch E a F, potom BCFE- kosoštvorec;

g) štvoruholník, ktorého vrcholy sú priemety bodu R na strane štvoruholníka A B C D,- zapísané aj popísané;

h) štvoruholník tvorený dotyčnicami k opísanej kružnici štvoruholníka A B C D, nakreslený v jeho vrcholoch môže byť vpísaný do kruhu.

17 . Ak a, b, c, d- po sebe idúce strany štvoruholníka, S- jeho obsah teda a rovnosť prebieha len pre vpísaný štvoruholník, ktorého uhlopriečky sú na seba kolmé.

18 . Brahmaguptov vzorec. Ak sú strany vpísaného štvoruholníka rovnaké a, b, c a d, potom jeho oblasť S možno vypočítať podľa vzorca,

kde je semiperimeter štvoruholníka.

19 . Ak štvoruholník so stranami a, b, c, d dá sa vpísať a okolo nej opísať kružnica, potom sa jej plocha rovná .

20 . Bod P sa nachádza vo vnútri štvorca A B C D, a uhol PAB rovný uhlu RVA a rovná sa 15°. Potom trojuholník DPC- rovnostranný.

21 . Ak pre vpísaný štvoruholník A B C D rovnosť CD=AD+BC, potom osy jeho uhlov ALE a AT pretínajú na strane CD.

22 . Pokračovanie opačných strán AB a CD vpísaný štvoruholník A B C D pretínajú v bode M, a po stranách AD a slnko- na mieste N. Potom

a) osi uhla AMD a DNC vzájomne kolmé;

b) rovný MQ a NQ pretínajú strany štvoruholníka vo vrcholoch kosoštvorca;

c) priesečník Q týchto osí leží na úsečke spájajúcej stredy uhlopriečok štvoruholníka A B C D.

23 . Ptolemaiova veta. Súčet súčinov dvoch párov protiľahlých strán vpísaného štvoruholníka sa rovná súčinu jeho uhlopriečok.

24 . Newtonova veta. V každom opísanom štvoruholníku ležia stredy uhlopriečok a stred vpísanej kružnice na tej istej priamke.

25 . Mongeova veta.Čiary vedené cez stredy strán vpísaného štvoruholníka kolmého na protiľahlé strany sa pretínajú v jednom bode.

27 . Štyri kruhy, postavené po stranách konvexného štvoruholníka ako priemery, pokrývajú celý štvoruholník.

29 . Dva protiľahlé rohy konvexného štvoruholníka sú tupé. Potom je uhlopriečka spájajúca vrcholy týchto uhlov menšia ako druhá uhlopriečka.

30. Stredy štvorcov postavené na stranách rovnobežníka mimo neho tvoria štvorec.

So štyrmi rohmi a štyrmi stranami. Štvoruholník je tvorený uzavretou lomenou čiarou pozostávajúcou zo štyroch prepojení a tou časťou roviny, ktorá je vo vnútri lomenej čiary.

Označenie štvoruholníka sa skladá z písmen na jeho vrcholoch, ktoré ich pomenúvajú v poradí. Napríklad hovoria alebo píšu: štvoruholník A B C D :

V štvoruholníku A B C D bodov A, B, C a D- Toto štvoruholníkové vrcholy, segmenty AB, pred Kr, CD a DA - strany.

Vrcholy, ktoré patria na rovnakú stranu, sa nazývajú susedný, sa nazývajú vrcholy, ktoré nesusedia opak:

V štvoruholníku A B C D vrcholy A a B, B a C, C a D, D a A sú priľahlé a vrcholy A a C, B a D- opak. Uhly ležiace v susedných vrcholoch sa tiež nazývajú susedné a v opačných vrcholoch - opačné.

Strany štvoruholníka možno rozdeliť aj do párov na susedné a protiľahlé strany: strany, ktoré majú spoločný vrchol, sa nazývajú susedný(alebo súvisiace), strany, ktoré nemajú spoločné vrcholy - opak:

strany AB a pred Kr, pred Kr a CD, CD a DA, DA a AB sú priľahlé a po stranách AB a DC, AD a pred Kr- opak.

Ak sú opačné vrcholy spojené segmentom, potom sa takýto segment zavolá uhlopriečka štvoruholníka. Ak vezmeme do úvahy, že v štvoruholníku sú iba dva páry opačných vrcholov, potom môžu existovať iba dve diagonály:

Segmenty AC a BD- uhlopriečky.

Zvážte hlavné typy konvexných štvoruholníkov:

• Hrazda- štvoruholník, v ktorom jedna dvojica protiľahlých strán je navzájom rovnobežná a druhá dvojica nie je rovnobežná.
  • Rovnoramenný lichobežník- lichobežník, ktorého strany sú rovnaké.
  • Obdĺžnikový lichobežník Lichobežník s jedným z pravých uhlov.
• ParalelogramŠtvoruholník, v ktorom sú oba páry protiľahlých strán navzájom rovnobežné.
  • Obdĺžnik Rovnobežník, v ktorom sú všetky uhly rovnaké.
  • Rhombus Rovnobežník so všetkými stranami rovnakými.
  • Námestie Rovnobežník s rovnakými stranami a uhlami. Obdĺžnik aj kosoštvorec môžu byť štvorcom.

Vlastnosti rohov konvexných štvoruholníkov

Všetky konvexné štvoruholníky majú nasledujúce dve vlastnosti:

1. Akýkoľvek vnútorný uhol menší ako 180°.
2. Súčet vnútorných uhlov je 360°.

V školských osnovách sa hodiny geometrie musia zaoberať rôznymi typmi štvoruholníkov: kosoštvorce, rovnobežníky, obdĺžniky, lichobežníky, štvorce. Úplne prvé tvary, ktoré treba študovať, sú obdĺžnik a štvorec.

Čo je teda obdĺžnik? Definícia pre 2. stupeň základnej školy bude vyzerať takto: ide o štvoruholník, v ktorom sú všetky štyri rohy správne. Je ľahké si predstaviť, ako vyzerá obdĺžnik: je to postava so 4 pravými uhlami a stranami rovnobežnými vo dvojiciach.

V kontakte s

Ako porozumieť pri riešení nasledujúcej geometrickej úlohy, s akým štvoruholníkom máme do činenia? Existujú tri hlavné funkcie, podľa ktorého presne určíte, že hovoríme o obdĺžniku. Nazvime ich:

• obrázok je štvoruholník s tromi uhlami rovnými 90°;
• prezentovaný štvoruholník je rovnobežník s rovnakými uhlopriečkami;
• rovnobežník, ktorý má aspoň jeden pravý uhol.

Je zaujímavé vedieť: čo je konvexné, jeho vlastnosti a znaky.

Keďže obdĺžnik je rovnobežník (t.j. štvoruholník s párovo rovnobežnými protiľahlými stranami), budú preň splnené všetky jeho vlastnosti a vlastnosti.

Vzorce na výpočet dĺžky strán

v obdĺžniku protiľahlé strany sú rovnaké a navzájom rovnobežné. Dlhšia strana sa zvyčajne nazýva dĺžka (označuje sa a), kratšia strana sa nazýva šírka (označuje sa b). V obdĺžniku na obrázku sú dĺžky strany AB a CD a šírky sú AC a B.D. Sú tiež kolmé na základne (t. j. sú to výšky).

Ak chcete nájsť strany, môžete použiť nižšie uvedené vzorce. Sú v nich prijaté konvencie: a - dĺžka obdĺžnika, b - jeho šírka, d - uhlopriečka (segment spájajúci vrcholy dvoch uhlov ležiacich oproti sebe), S - plocha obrázku, P - obvod, α - uhol medzi uhlopriečkou a dĺžkou, β je ostrý uhol, ktorý zvierajú obe uhlopriečky. Spôsoby, ako zistiť dĺžky strán:

• Pomocou uhlopriečky a známej strany: a \u003d √ (d ² - b ²), b \u003d √ (d ² - a ²).
• Podľa plochy obrázku a jednej z jeho strán: a = S / b, b = S / a.
• Pomocou obvodu a známej strany: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Cez uhlopriečku a uhol medzi ňou a dĺžkou: a = d sinα, b = d cosα.
• Cez uhlopriečku a uhol β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Obvod a plocha

Obvod štvoruholníka je tzv súčet dĺžok všetkých jeho strán. Na výpočet obvodu je možné použiť nasledujúce vzorce:

• Cez obe strany: P = 2 (a + b).
• Cez oblasť a jednu zo strán: P \u003d (2S + 2a ²) / a, P \u003d (2S + 2b ²) / b.

Plocha je priestor ohraničený obvodom. Tri hlavné spôsoby výpočtu plochy:

• Cez dĺžky oboch strán: S = a*b.
• Pomocou obvodu a ktorejkoľvek známej strany: S \u003d (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2b²) / 2.
• Uhlopriečka a uhol β: S = 0,5 d² sinβ.

V úlohách školského kurzu matematiky sa často vyžaduje dobré ovládanie vlastnosti uhlopriečok obdĺžnika. Uvádzame tie hlavné:

1. Uhlopriečky sú si navzájom rovné a sú rozdelené na dva rovnaké segmenty v bode ich priesečníka.
2. Uhlopriečka je definovaná ako odmocnina súčtu oboch strán na druhú (vyplýva z Pytagorovej vety).
3. Uhlopriečka rozdeľuje obdĺžnik na dva trojuholníky s pravým uhlom.
4. Priesečník sa zhoduje so stredom opísanej kružnice a samotné uhlopriečky sa zhodujú s jej priemerom.

Na výpočet dĺžky uhlopriečky sa používajú nasledujúce vzorce:

• Pomocou dĺžky a šírky obrázku: d = √ (a ² + b ²).
• Pomocou polomeru kružnice opísanej štvoruholníku: d = 2 R.

Definícia a vlastnosti štvorca

Štvorec je špeciálny prípad kosoštvorca, rovnobežníka alebo obdĺžnika. Jeho rozdiel od týchto obrázkov je, že všetky jeho uhly sú pravé a všetky štyri strany sú rovnaké. Štvorec je pravidelný štvoruholník.

Štvoruholník sa nazýva štvorec v týchto prípadoch:

1. Ak ide o obdĺžnik, ktorého dĺžka a a šírka b sú rovnaké.
2. Ak ide o kosoštvorec s rovnako dlhými uhlopriečkami a štyrmi pravými uhlami.

Vlastnosti štvorca zahŕňajú všetky predtým diskutované vlastnosti súvisiace s obdĺžnikom, ako aj nasledujúce:

1. Uhlopriečky sú na seba kolmé (vlastnosť kosoštvorca).
2. Priesečník sa zhoduje so stredom vpísanej kružnice.
3. Obe uhlopriečky rozdeľujú štvoruholník na štyri rovnaké pravouhlé a rovnoramenné trojuholníky.

Tu je niekoľko často používaných vzorcov pre výpočet obvodu, plochy a prvkov štvorca:

• Uhlopriečka d = a √2.
• Obvod P = 4 a.
• Plocha S = a².
• Polomer kružnice opísanej je polovica uhlopriečky: R = 0,5 a √2.
• Polomer vpísanej kružnice je definovaný ako polovica dĺžky strany: r = a / 2.

Vzorové otázky a úlohy

Poďme si rozobrať niektoré otázky, s ktorými sa môžete stretnúť pri štúdiu matematiky v škole, a vyriešiť niekoľko jednoduchých úloh.

Úloha 1. Ako sa zmení plocha obdĺžnika, ak sa dĺžka jeho strán strojnásobí?

rozhodnutie : Označme plochu pôvodného obrazca ako S0 a plochu štvoruholníka s trojnásobnou dĺžkou strán - S1. Podľa vyššie uvedeného vzorca dostaneme: S0 = ab. Teraz zväčšíme dĺžku a šírku 3-krát a napíšeme: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Pri porovnaní S0 a S1 je zrejmé, že druhá oblasť je 9-krát väčšia ako prvá.

Otázka 1. Je štvoruholník s pravými uhlami štvorec?

rozhodnutie : Z definície vyplýva, že obrazec s pravými uhlami je štvorcom len vtedy, ak sú dĺžky všetkých jeho strán rovnaké. V opačnom prípade je obrázok obdĺžnikový.

Úloha 2. Uhlopriečky obdĺžnika zvierajú uhol 60 stupňov. Šírka obdĺžnika je 8. Vypočítajte, aká je uhlopriečka.

rozhodnutie: Pripomeňme, že uhlopriečky sú rozpolené priesečníkom. Máme teda do činenia s rovnoramenným trojuholníkom s uhlom vo vrchole rovným 60°. Keďže trojuholník je rovnoramenný, uhly v základni budú tiež rovnaké. Jednoduchými výpočtami dostaneme, že každý z nich sa rovná 60 °. Z toho vyplýva, že trojuholník je rovnostranný. Šírka, ktorú poznáme, je základňa trojuholníka, takže polovica uhlopriečky je tiež 8 a dĺžka celej uhlopriečky je dvojnásobná a rovná sa 16.

Otázka 2. Má obdĺžnik všetky strany rovnaké alebo nie?

rozhodnutie : Stačí pripomenúť, že všetky strany štvorca musia byť rovnaké, čo je špeciálny prípad obdĺžnika. Vo všetkých ostatných prípadoch je dostatočnou podmienkou prítomnosť aspoň 3 pravých uhlov. Rovnosť strán nie je povinným znakom.

Úloha 3. Plocha štvorca je známa a rovná sa 289. Nájdite polomery vpísaných a opísaných kruhov.

rozhodnutie : Podľa vzorcov pre štvorec vykonáme nasledujúce výpočty:

• Určme, čomu sa rovnajú hlavné prvky štvorca: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 = 1 7√2.
• Vypočítajme, aký je polomer opísanej kružnice okolo štvoruholníka: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Nájdite polomer vpísanej kružnice: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Definícia. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné.

Nehnuteľnosť. V rovnobežníku sú protiľahlé strany rovnaké a opačné uhly sú rovnaké.

Nehnuteľnosť. Uhlopriečky rovnobežníka sú rozpolené priesečníkom.

1 znak rovnobežníka. Ak sú dve strany štvoruholníka rovnaké a rovnobežné, potom je štvoruholník rovnobežník.

2 znak rovnobežníka. Ak sú protiľahlé strany štvoruholníka rovnaké v pároch, potom je štvoruholník rovnobežník.

3 znak rovnobežníka. Ak sa v štvoruholníku pretínajú uhlopriečky a priesečník je rozpoltený, potom je tento štvoruholník rovnobežníkom.

Definícia. Lichobežník je štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve strany nie sú rovnobežné. Paralelné strany sú tzv dôvodov.

Lichobežník je tzv rovnoramenný (rovnoramenný) ak sú jeho strany rovnaké. V rovnoramennom lichobežníku sú uhly na základniach rovnaké.

pravouhlý.

stredová čiara lichobežníka. Stredná čiara je rovnobežná so základňami a rovná sa ich polovičnému súčtu.

Obdĺžnik

Definícia.

Nehnuteľnosť. Uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké.

Obdĺžnikový znak. Ak sú uhlopriečky rovnobežníka rovnaké, potom je rovnobežník obdĺžnik.

Definícia.

Nehnuteľnosť. Uhlopriečky kosoštvorca sú navzájom kolmé a rozdeľujú jeho uhly.

Definícia.

Štvorec je určitý druh obdĺžnika a tiež určitý druh kosoštvorca. Preto má všetky ich vlastnosti.

Vlastnosti:
1. Všetky rohy štvorca sú správne

Štvoruholníky všetky pravidlá

Kľúčové slová:
štvoruholník, konvexný, súčet uhlov, plocha štvoruholníka

štvoruholník nazýva sa obrazec, ktorý pozostáva zo štyroch bodov a štyroch segmentov, ktoré ich spájajú v sérii. V tomto prípade by žiadne tri z týchto bodov nemali ležať na jednej priamke a segmenty, ktoré ich spájajú, by sa nemali pretínať.

• Vrcholy štvoruholníka sa nazývajú susedný ak sú to konce jednej z jeho strán.
• Vrcholy, ktoré nie sú susedmi , volal opak .
• Úsečky spájajúce protiľahlé vrcholy štvoruholníka sa nazývajú uhlopriečky .
• Strany štvoruholníka, ktoré vychádzajú z rovnakého vrcholu, sa nazývajú susedný strany.
• Strany, ktoré nemajú spoločný koniec, sa nazývajú opak strany.
• Štvoruholník je tzv konvexné , ak sa nachádza v jednej polrovine vzhľadom na priamku obsahujúcu niektorú z jej strán.

Typy štvoruholníkov

1. Paralelogram Štvoruholník s protiľahlými rovnobežnými stranami
   • Obdĺžnik rovnobežník so všetkými pravými uhlami
   • Rhombus - rovnobežník so všetkými stranami rovnakými
   • Námestie - obdĺžnik so všetkými rovnakými stranami
2. Hrazda - štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve strany nie sú rovnobežné
3. Deltoidný Štvoruholník, ktorého dva páry susedných strán sú rovnaké

Štvoruholníky

štvoruholník nazýva sa obrazec, ktorý pozostáva zo štyroch bodov a štyroch segmentov, ktoré ich spájajú v sérii. V tomto prípade žiadne tri z týchto bodov neležia na rovnakej priamke a segmenty, ktoré ich spájajú, sa nepretínajú.

opak. opak.

Typy štvoruholníkov

Paralelogram

Paralelogram sa nazýva štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné.

Vlastnosti rovnobežníka

• protiľahlé strany sú rovnaké;
• opačné uhly sú rovnaké;
• súčet druhých mocnín uhlopriečok sa rovná súčtu druhých mocnín všetkých strán:

Vlastnosti paralelogramu

Hrazda Nazýva sa štvoruholník, v ktorom sú dve protiľahlé strany rovnobežné a ďalšie dve nie sú rovnobežné.

Rovnobežné strany lichobežníka sa nazývajú jeho dôvodov a neparalelné strany strany. Segment spájajúci stredy strán sa nazýva stredná čiara.

Lichobežník je tzv rovnoramenné(alebo rovnoramenné), ak sú jeho strany rovnaké.

Lichobežník s jedným pravým uhlom sa nazýva pravouhlý.

Vlastnosti lichobežníka

Známky lichobežníka

Obdĺžnik

Obdĺžnik Rovnobežník sa nazýva, ak sú všetky uhly pravé.

Vlastnosti obdĺžnika

Vlastnosti obdĺžnika

Rovnobežník je obdĺžnik, ak:

1. Jeden z jeho rohov je správny.
2. Jeho uhlopriečky sú rovnaké.

Rhombus Rovnobežník sa nazýva, ak sú všetky strany rovnaké.

Vlastnosti kosoštvorca

• všetky vlastnosti rovnobežníka;
• uhlopriečky sú kolmé;

Známky kosoštvorca

Námestie Nazýva sa obdĺžnik, v ktorom sú všetky strany rovnaké.

Štvorcové vlastnosti

• všetky rohy štvorca sú správne;
• uhlopriečky štvorca sú rovnaké, vzájomne kolmé, priesečník je rozdelený na polovicu a rohy štvorca sú rozdelené na polovicu.

Štvorcové znaky

Základné vzorce

S = d 1 d 2 hriech

Paralelogram
a a b- susedné strany; - uhol medzi nimi; h a - výška na stranu a.

S = ab sin

S = d 1 d 2 hriech

Hrazda
a a b- dôvody; h- vzdialenosť medzi nimi; l- stredná čiara .

Obdĺžnik

S = d 1 d 2 hriech

S = 2 hriech

S = d 1 d 2

Námestie
d- uhlopriečka.

www.univer.omsk.su

Vlastnosti štvoruholníkov. Typy štvoruholníkov. Vlastnosti ľubovoľných štvoruholníkov. Vlastnosti rovnobežníka. Vlastnosti kosoštvorca. Vlastnosti obdĺžnika. Štvorcové vlastnosti. lichobežníkové vlastnosti. Približne 7-9 ročník (13-15 rokov)

Vlastnosti štvoruholníkov. Typy štvoruholníkov. Vlastnosti ľubovoľných štvoruholníkov.
Vlastnosti rovnobežníka. Vlastnosti kosoštvorca. Vlastnosti obdĺžnika. Štvorcové vlastnosti. lichobežníkové vlastnosti.

Typy štvoruholníkov:

• Paralelogram je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné

• Rhombus je rovnobežník so všetkými stranami rovnakými.

• Obdĺžnik je rovnobežník so všetkými pravými uhlami.

• Námestie je obdĺžnik so všetkými rovnakými stranami.

Vlastnosti ľubovoľných štvoruholníkov:

Vlastnosti rovnobežníka:

Vlastnosti kosoštvorca:

Vlastnosti obdĺžnika:

Vlastnosti štvorca:

Vlastnosti lichobežníka:

Poradenská a technická
podpora stránky: Zavarka Team

Štvoruholníky všetky pravidlá

Neeuklidovská geometria, geometria podobná geometrii Euklides v tom, že definuje pohyb figúr, ale od euklidovskej geometrie sa líši tým, že jeden z jej piatich postulátov (druhý alebo piaty) je nahradený svojou negáciou. Popretie jedného z euklidovských postulátov (1825) bolo významnou udalosťou v dejinách myslenia, pretože slúžilo ako prvý krok k teória relativity.

Uvádza to druhý Euklidov postulát ľubovoľný úsečku možno predĺžiť na neurčito. Euklides zrejme veril, že tento postulát obsahuje aj tvrdenie, že priamka má nekonečnú dĺžku. Avšak v "eliptickej" geometrii je každá priamka konečná a ako kruh je uzavretá.

Piaty postulát uvádza, že ak priamka pretína dve dané priamky takým spôsobom, že dva vnútorné uhly na jednej jej strane sú celkovo menšie ako dva pravé uhly, potom sa tieto dve priamky, ak sú predĺžené na neurčito, pretínajú na strane, kde súčet týchto uhlov je menší ako súčet dvoch priamok. Ale v "hyperbolickej" geometrii môže existovať priamka CB (pozri obr.), kolmá v bode C na danú priamku r a pretínajúca ďalšiu priamku s pod ostrým uhlom v bode B, ale napriek tomu nekonečné priamky r a s sa nikdy nepretnú .

Z týchto revidovaných postulátov vyplynulo, že súčet uhlov trojuholníka rovný 180° v euklidovskej geometrii je väčší ako 180° v eliptickej geometrii a menší ako 180° v hyperbolickej geometrii.

Štvoruholník

Štvoruholník je mnohouholník obsahujúci štyri vrcholy a štyri strany.

Štvoruholník, geometrický útvar - mnohouholník so štyrmi rohmi, ako aj akýkoľvek predmet, zariadenie tejto formy.

Dve nesusediace strany štvoruholníka sa nazývajú opak. Nazývajú sa aj dva vrcholy, ktoré nie sú susediace opak.

Štvoruholníky sú konvexné (ako ABCD) a
nekonvexné (A 1 B 1 C 1 D 1).

Typy štvoruholníkov

• Paralelogram- štvoruholník, v ktorom sú všetky protiľahlé strany rovnobežné;
• Obdĺžnik- štvoruholník so všetkými pravými uhlami;
• Rhombus- štvoruholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké;
• Námestie- štvoruholník, v ktorom sú všetky uhly pravé a všetky strany sú rovnaké;
• Hrazda- štvoruholník s dvoma protiľahlými rovnobežnými stranami;
• DeltoidnýŠtvoruholník, ktorého dva páry susedných strán sú rovnaké.

Paralelogram

Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné.

Rovnobežník (z gréckeho parallelos - rovnobežka a gram - čiara) t.j. leží na rovnobežných čiarach. Špeciálnymi prípadmi rovnobežníka sú obdĺžnik, štvorec a kosoštvorec.

• protiľahlé strany sú rovnaké;
• opačné uhly sú rovnaké;
• uhlopriečky priesečníka sú rozdelené na polovicu;
• súčet uhlov susediacich s jednou stranou je 180°;
• súčet druhých mocnín uhlopriečok sa rovná súčtu druhých mocnín všetkých strán.

Štvoruholník je rovnobežník, ak:

1. Jeho dve protiľahlé strany sú rovnaké a rovnobežné.
2. Opačné strany sú v pároch rovnaké.
3. Opačné uhly sú v pároch rovnaké.
4. Uhlopriečky priesečníka sú rozdelené na polovicu.

Obdĺžnik

Obdĺžnik je rovnobežník so všetkými pravými uhlami.

• protiľahlé strany sú rovnaké;
• opačné uhly sú rovnaké;
• uhlopriečky priesečníka sú rozdelené na polovicu;
• súčet uhlov susediacich s jednou stranou je 180°;
• uhlopriečky sú rovnaké.

Rovnobežník je obdĺžnik, ak:

1. Jeden z jeho rohov je správny.
2. Jeho uhlopriečky sú rovnaké.

Kosoštvorec je rovnobežník, v ktorom sú všetky strany rovnaké.

• protiľahlé strany sú rovnaké;
• opačné uhly sú rovnaké;
• uhlopriečky priesečníka sú rozdelené na polovicu;
• súčet uhlov susediacich s jednou stranou je 180°;
• súčet druhých mocnín uhlopriečok sa rovná súčtu druhých mocnín všetkých strán;
• uhlopriečky sú kolmé;
• uhlopriečky sú osy jeho uhlov.

Rovnobežník je kosoštvorec, ak:

1. Jeho dve susedné strany sú rovnaké.
2. Jeho uhlopriečky sú kolmé.
3. Jedna z uhlopriečok je osou jej uhla.

Štvorec je obdĺžnik, v ktorom sú všetky strany rovnaké.

• všetky rohy štvorca sú správne;
• uhlopriečky štvorca sú rovnaké, vzájomne kolmé, priesečník je rozdelený na polovicu a rohy štvorca sú rozdelené na polovicu.

1. Obdĺžnik je štvorec, ak má nejakú charakteristiku kosoštvorca.

Lichobežník je štvoruholník, v ktorom sú dve protiľahlé strany rovnobežné a ostatné dve nie sú rovnobežné.

Rovnobežné strany lichobežníka sa nazývajú jeho základne a nerovnobežné strany sa nazývajú jeho strany. Segment spájajúci stredy strán sa nazýva stredová čiara.

Lichobežník sa nazýva rovnoramenný (alebo rovnoramenný), ak sú jeho strany rovnaké.

Lichobežník s jedným pravým uhlom sa nazýva pravouhlý lichobežník.

• jeho stredná čiara je rovnobežná so základňami a rovná sa ich polovičnému súčtu;
• ak je lichobežník rovnoramenný, potom sú jeho uhlopriečky rovnaké a uhly na základni sú rovnaké;
• ak je lichobežník rovnoramenný, potom okolo neho možno opísať kruh;
• ak sa súčet základov rovná súčtu strán, potom doň možno vpísať kružnicu.

1. Štvoruholník je lichobežník, ak jeho rovnobežné strany nie sú rovnaké

DeltoidnýŠtvoruholník s dvoma pármi strán rovnakej dĺžky. Na rozdiel od rovnobežníka nie sú rovnaké dva páry susedných strán, ale dva páry susedných strán. Deltoid je tvarovaný ako drak.

• Uhly medzi stranami nerovnakej dĺžky sú rovnaké.
• Diagonály deltoidu (alebo ich predĺženia) sa pretínajú v pravom uhle.
• Akýkoľvek konvexný deltoid môže byť napísaný kruhom, okrem toho, ak deltoid nie je kosoštvorec, potom existuje ďalší kruh, ktorý sa dotýka predĺženia všetkých štyroch strán. Pre nekonvexný deltoid je možné zostrojiť kruh dotýkajúci sa dvoch väčších strán a predĺženia dvoch menších strán a kruh dotýkajúci sa dvoch menších strán a predĺženia dvoch väčších strán.

• Ak je uhol medzi nerovnakými stranami deltoidu priamka, potom do nej možno vpísať kružnicu (opísaný deltoid).
• Ak je pár protiľahlých strán deltového svalu rovnaký, potom je takýto deltový sval kosoštvorec.
• Ak sú pár protiľahlých strán a obe uhlopriečky deltoidu rovnaké, deltoid je štvorec. Vpísaný deltoid s rovnakými uhlopriečkami je tiež štvorec.

Vznik geometrie sa datuje do staroveku a bol spôsobený praktickými potrebami ľudskej činnosti (potreba merať zem, merať objemy rôznych telies atď.).

Najjednoduchšie geometrické informácie a pojmy poznali už v starovekom Egypte. V tomto období boli geometrické výroky formulované vo forme pravidiel podávaných bez dôkazu.

Od 7. storočia pred Kr e. do 1. storočia nášho letopočtu e. geometria ako veda sa rýchlo rozvíjala v starovekom Grécku. V tomto období dochádzalo nielen k hromadeniu rôznych geometrických informácií, ale aj k vypracovaniu metodiky dokazovania geometrických tvrdení a k prvým pokusom sformulovať základné primárne ustanovenia (axiómy) geometrie, z ktorých vyplynulo mnoho rôznych geometrických tvrdenia sú odvodené čisto logickým uvažovaním. Úroveň rozvoja geometrie v starovekom Grécku sa odráža v diele Euklida "Začiatky".

V tejto knihe bol po prvý raz urobený pokus podať systematickú konštrukciu planimetrie na základe základných nedefinovaných geometrických pojmov a axióm (postulátov).

Osobitné miesto v dejinách matematiky zaujíma piaty postulát Euklida (axióma rovnobežných línií). Matematici sa dlho neúspešne pokúšali odvodiť piaty postulát zo zvyšku Euklidových postulátov a až v polovici 19. storočia sa vďaka štúdiám N. I. Lobačevského, B. Riemanna a J. Boyaia ukázalo, že piaty postulát nemožno odvodiť od zvyšku a systém axióm navrhnutý Euklidom nie je jediný možný.

Euklidove „Prvky“ mali obrovský vplyv na rozvoj matematiky. Táto kniha bola viac ako dvetisíc rokov nielen učebnicou geometrie, ale slúžila aj ako východisko pre mnohé matematické štúdie, v dôsledku ktorých vznikli nové samostatné odvetvia matematiky.

Systematická konštrukcia geometrie sa zvyčajne vykonáva podľa nasledujúceho plánu:

ja Sú uvedené hlavné geometrické pojmy, ktoré sú zavedené bez definícií.

II. Je uvedená formulácia axióm geometrie.

III. Na základe axióm a základných geometrických pojmov sa formulujú ďalšie geometrické pojmy a vety.

1. Pôvod názvu Neeuklidovská geometria?
2. Aké tvary sa nazývajú štvoruholníky?
3. Vlastnosti rovnobežníka?
4. Typy štvoruholníkov?

Zoznam použitých zdrojov

1. A.G. Tsypkin. Príručka matematiky
2. „Jednotná štátna skúška 2006. Matematika. Vzdelávacie a školiace materiály pre prípravu študentov / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "Riešenie hlavných súťažných problémov v matematike zborníka edited by M. I. Scanavi"

Práca na lekcii

Môžete položiť otázku o modernom vzdelávaní, vyjadriť myšlienku alebo vyriešiť naliehavý problém na Vzdelávacie fórum kde sa na medzinárodnej úrovni stretáva vzdelávacia rada nových myšlienok a činov. Po vytvorení blog, Zlepšíte si nielen svoj status kompetentného učiteľa, ale výrazne prispejete aj k rozvoju školy budúcnosti. Cech vedúcich vzdelávania otvára dvere špičkovým odborníkom a pozýva vás k spolupráci v smere vytvárania najlepších škôl na svete.

Populárne:

• Článok 282. Podnecovanie nenávisti alebo nepriateľstva, ako aj ponižovanie ľudskej dôstojnosti
• Kalkulačka dane z nehnuteľností Ako vypočítať daň z nehnuteľností Zmenil sa formulár na výpočet preddavkov. Počnúc vykazovaním za prvý polrok 2017, výpočet dane z majetku právnických osôb […]
• Zákony ekológie Za viac ako 100 rokov komplexného štúdia populácií a spoločenstiev sa nazhromaždilo obrovské množstvo faktov. Medzi nimi je veľké množstvo, ktoré odráža náhodné alebo nepravidelné javy a procesy. Ale nie […]
• Možnosti dôchodkového zabezpečenia v systéme povinného dôchodkového poistenia Občania narodení v roku 1967 a mladší si do konca roku 2015 mohli vybrať, či budú pokračovať v budovaní dôchodkového […]
• Vyhláška Ministerstva pôdohospodárstva 549 Registrovaná na Ministerstve spravodlivosti Ruskej federácie dňa 5.3.2009 N 13476 MINISTERSTVO POĽNOHOSPODÁRSTVA RUSKEJ FEDERÁCIE zo dňa 16.12.2008 N 532 O SCHVÁLENÍ KLASIFIKÁCIE PRÍRODNÉHO NEBEZPEČENSTVA POŽIAROV LESY A […]
• Zvyšovanie dôchodkov pre deti so zdravotným postihnutím od 1. januára 2018 Dôchodkové zabezpečenie občanov je povinnosťou štátu. Toto je uvedené v zákonníku krajiny - v ústave. Medzi zdravotne postihnutými, ktorí potrebujú […]
• Vnútorný poriadok JSC RŽD as "RUSKÉ ŽELEZNÍČKY" ROZKAZ zo dňa 26.07.2012 N 87 O SCHVÁLENÍ VNÚTORNÉHO PRACOVNÉHO PREDPISU REGIONÁLNYCH SLUŽIEB (ODBOR) ROZVOJA KOMUNIKÁCIE PRE CESTUJÚCICH […]
• Zákon 3 etáp Comteho pozitivizmu ako filozofický trend vychádza z predstavy, že väčšina poznatkov o svete, človeku a spoločnosti sa získava v špeciálnych vedách, že „pozitívna“ veda by mala zanechať pokusy […]