Oddiel 5 VÝRAZY A ROVNICE

V sekcii sa dozviete:

ü o výrazy a ich zjednodušenia;

ü aké sú vlastnosti rovnosti;

ü ako riešiť rovnice založené na vlastnostiach rovnosti;

ü aké typy problémov sa riešia pomocou rovníc; čo sú kolmé čiary a ako ich postaviť;

ü aké čiary sa nazývajú paralelné a ako ich zostaviť;

ü čo je súradnicová rovina;

ü ako určiť súradnice bodu v rovine;

ü čo je graf závislosti medzi veličinami a ako ho zostaviť;

ü ako aplikovať naučený materiál v praxi

§ 30. VÝRAZY A ICH ZJEDNODUŠENIE

Už viete, čo sú doslovné výrazy a viete, ako ich zjednodušiť pomocou zákonov sčítania a násobenia. Napríklad 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . Vo výslednom výraze sa číslo -8 nazýva koeficient výrazu.

Robí výraz cd koeficient? Takže Rovná sa 1, pretože cd - 1 ∙ cd .

Pripomeňme, že konverzia výrazu so zátvorkami na výraz bez zátvoriek sa nazýva rozšírenie zátvoriek. Napríklad: 5(2x + 4) = 10x + 20.

Opačným krokom v tomto príklade je vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek.

Výrazy obsahujúce rovnaké doslovné faktory sa nazývajú podobné výrazy. Vybratím spoločného činiteľa zo zátvoriek vznikajú podobné výrazy:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6r )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=

B x + 7 rokov - 5.

Pravidlá rozšírenia zátvoriek

1. Ak je pred zátvorkami znamienko „+“, potom pri otváraní zátvoriek sú zachované znamienka pojmov v zátvorkách;

2. Ak je pred zátvorkami znak „-“, pri otvorení zátvoriek sa znamienka výrazov v zátvorkách obrátia.

Úloha 1. Zjednodušte výraz:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 rokov -(-8 + 7 rokov).

Riešenia. 1. Pred zátvorkami je znamienko „+“, preto pri otváraní zátvoriek sú zachované znamienka všetkých výrazov:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. Pred zátvorkami je znak „-“, preto počas otvárania zátvoriek: znamienka všetkých výrazov sú obrátené:

15 - (- 8 + 7 rokov) \u003d 15 rokov + 8 - 7 rokov \u003d 8 rokov +8.

Na otvorenie zátvoriek použite distributívnu vlastnosť násobenia: a( b + c) = ab + ac. Ak a > 0, potom znamienka členov b a s nemeniť. Ak< 0, то знаки слагаемых b a od sú obrátené.

Úloha 2. Zjednodušte výraz:

1) 2(6y-8) + 7y;

2) -5 (2-5x) + 12.

Riešenia. 1. Súčiniteľ 2 pred zátvorkami e je kladný, preto pri otváraní zátvoriek zachovávame znamienka všetkých členov: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 r - 16 + 7 y = 19 y -16.

2. Faktor -5 pred zátvorkami e je záporný, preto pri otváraní zátvoriek zmeníme znamienka všetkých členov na opačné:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Dozvedieť sa viac

1. Slovo „súčet“ pochádza z lat summa , čo znamená „celkom“, „celkom“.

2. Slovo „plus“ pochádza z lat plus , čo znamená "viac" a slovo "mínus" - z latinčiny mínus, čo znamená „menej“. Značky "+" a "-" sa používajú na označenie operácií sčítania a odčítania. Tieto znaky zaviedol český vedec J. Vidman v roku 1489 v knihe „Rýchly a príjemný účet pre všetkých obchodníkov“(obr. 138).

Ryža. 138

PAMATUJTE SI HLAVNÉ VECI

1. Aké pojmy sa nazývajú podobné? Ako sa vytvárajú podobné výrazy?

2. Ako otvárate zátvorky, pred ktorými je znamienko „+“?

3. Ako otvárate zátvorky, pred ktorými je znak „-“?

4. Ako otvárate zátvorky, ktorým predchádza pozitívny faktor?

5. Ako otvárate zátvorky, ktorým predchádza negatívny faktor?

1374". Pomenujte koeficient výrazu:

1) 12a; 3) -5,6 xy;

2)46; 4)-s.

1375". Pomenujte pojmy, ktoré sa líšia iba koeficientom:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m-4n + 4;

2) bc-4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

Ako sa tieto pojmy nazývajú?

1376". Sú vo výraze podobné výrazy:

1) 11a + 10a; 3) 6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4) 12 m + m; 6) 8k + 10k - n?

1377". Je potrebné zmeniť znamienka pojmov v zátvorkách otvorením zátvoriek vo výraze:

1)4+ (a + 3b); 2)-c+(5-d); 3) 16-(5m-8n)?

1378 °C. Zjednodušte výraz a podčiarknite koeficient:

1379 °C. Zjednodušte výraz a podčiarknite koeficient:

1380 °C. Znížiť podobné výrazy:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381 °C. Znížiť podobné výrazy:

1) 6a - 5a + 8a - 7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382 °C. Vyberte spoločný faktor zo zátvoriek:

1) 1,2 a + 1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5p + 2,5k -0,5t;

2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8p - 10k - 6t.

1383 °C. Vyberte spoločný faktor zo zátvoriek:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 14 d; A) 3p - 0,9k + 2,7t.

1384 °C. Otvoriť zátvorky a znížiť podobné výrazy;

1)5+ (4a-4); 4) -(5c - d)+ (4d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385 °C. Otvorte zátvorky a znížte podobné výrazy:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5 s);

2) -(46-10)+ (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m - 5 n).

1386 °C. Rozbaľte zátvorky a nájdite význam výrazu:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387 °C. Rozbaľte zátvorky a nájdite význam výrazu:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388 °C. Otvorené zátvorky:

1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5) 3 ∙ (-1,5 p + k - 0,2 t);

3) 1,6° (2n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389 °C. Otvorené zátvorky:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4c-d)∙(-0,5 y);

2) -2° (1,2 n - m); 4) 6- (-p + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Zjednodušte výraz:

1391. Zjednodušte výraz:

1392. Znížte podobné výrazy:

1393. Znížiť podobné výrazy:

1394. Zjednodušte výraz:

1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, o) + 4,5 ∙ (-6 r - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Zjednodušte výraz:

1396. Nájdite význam výrazu;

1) 4-(0,2 a-3) - (5,8 a-16), ak a \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), ak = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Nájdite hodnotu výrazu:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), ak x = -0,25;

1398*. Nájdite chybu v riešení:

1) 5- (a-2,4) -7 ∙ (-a + 1,2) \u003d 5a - 12-7a + 8,4 \u003d -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) \u003d -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a \u003d -5,5 a + 8,26.

1399*. Rozbaľte zátvorky a zjednodušte výraz:

1) 2ab - 3 (6 (4a - 1) - 6 (6 - 10a)) + 76;

1400*. Usporiadajte zátvorky tak, aby ste dosiahli správnu rovnosť:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.

1401*. Dokážte, že pre ľubovoľné čísla a a b ak a > b , potom platí nasledujúca rovnosť:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

Bude táto rovnosť správna, ak: a) a< b; b) a = 6?

1402*. Dokážte, že pre akékoľvek prirodzené číslo a sa aritmetický priemer predchádzajúceho a nasledujúceho čísla rovná a.

APLIKOVAŤ V PRAXI

1403. Na prípravu ovocného dezertu pre tri osoby potrebujete: 2 jablká, 1 pomaranč, 2 banány a 1 kiwi. Ako urobiť doslovný výraz na určenie množstva ovocia potrebného na prípravu dezertu pre hostí? Pomôž Marin vypočítať, koľko ovocia potrebuje kúpiť, ak príde na návštevu: 1) 5 priateľov; 2) 8 priateľov.

1404. Vytvorte doslovný výraz na určenie času potrebného na dokončenie domácej úlohy z matematiky, ak:

1) na riešenie problémov bola vynaložená jedna minúta; 2) zjednodušenie výrazov je 2x väčšie ako pri riešení problémov. Koľko času robil Vasiľko domácej úlohe, ak 15 minút venoval riešeniu úloh?

1405. Obed v školskej jedálni pozostáva zo šalátu, boršču, kapustnice a kompótu. Náklady na šalát sú 20%, boršč - 30%, kapusta - 45%, kompót - 5% z celkových nákladov na celé jedlo. Napíšte výraz a zistite cenu obeda v školskej jedálni. Koľko stojí obed, ak je cena šalátu 2 UAH?

OPAKOVACIE ÚLOHY

1406. Vyriešte rovnicu:

1407. Táňa strávila na zmrzlinevšetky dostupné peniaze a sladkosti -zvyšok. Koľko peňazí má Tanya?

ak sladkosti stoja 12 UAH?

Niektoré algebraické príklady jedného druhu dokážu školákov vydesiť. Dlhé výrazy sú nielen zastrašujúce, ale aj veľmi ťažko vypočítateľné. Snažiť sa okamžite pochopiť, čo nasleduje a čo nasleduje, nenechať sa dlho zmiasť. Z tohto dôvodu sa matematici vždy snažia „strašnú“ úlohu čo najviac zjednodušiť a až potom pristúpiť k jej riešeniu. Napodiv, takýto trik značne urýchľuje proces.

Zjednodušenie je jedným zo základných bodov algebry. Ak je to v jednoduchých úlohách stále možné zaobísť sa bez nej, ťažšie vypočítateľné príklady môžu byť „príliš ťažké“. Tu sa tieto zručnosti hodia! Navyše nie sú potrebné zložité matematické znalosti: postačí, ak si zapamätáte a naučíte sa, ako uviesť do praxe niekoľko základných techník a vzorcov.

Bez ohľadu na zložitosť výpočtov je pri riešení akéhokoľvek výrazu dôležitý postupujte podľa poradia operácií s číslami:

1. zátvorky;
2. umocňovanie;
3. násobenie;
4. divízia;
5. prídavok;
6. odčítanie.

Posledné dva body sa dajú pokojne prehodiť a výsledok to nijako neovplyvní. Ale sčítanie dvoch susedných čísel, keď vedľa jedného z nich je znak násobenia, je absolútne nemožné! Odpoveď, ak existuje, je nesprávna. Preto si treba zapamätať poradie.

Použitie takých

Takéto prvky zahŕňajú čísla s premennou rovnakého rádu alebo rovnakého stupňa. Existujú aj takzvaní voľní členovia, ktorí nemajú vedľa seba písmenové označenie neznámy.

Pointa je, že v prípade absencie zátvoriek Výraz môžete zjednodušiť pridaním alebo odčítaním like.

Niekoľko názorných príkladov:

• 8x 2 a 3x 2 - obe čísla majú rovnakú premennú druhého rádu, sú teda podobné a po sčítaní sa zjednodušia na (8+3)x 2 =11x 2, pričom pri odčítaní vyjde (8-3) x 2 = 5 x 2;
• 4x 3 a 6x - a tu "x" má iný stupeň;
• 2y 7 a 33x 7 - obsahujú rôzne premenné, preto rovnako ako v predchádzajúcom prípade nepatria k podobným.

Faktorizácia čísla

Tento malý matematický trik, ak sa ho naučíte správne používať, vám v budúcnosti pomôže vyrovnať sa so zložitým problémom viackrát. A je ľahké pochopiť, ako „systém“ funguje: rozklad je súčin viacerých prvkov, ktorých výpočet dáva pôvodnú hodnotu. 20 teda môže byť vyjadrené ako 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 alebo iným spôsobom.

Na poznámku: multiplikátory sú vždy rovnaké ako deliče. Musíte teda hľadať fungujúci „pár“ na rozšírenie medzi číslami, ktorými je originál bezo zvyšku deliteľný.

Takúto operáciu môžete vykonať s voľnými členmi aj s číslicami pripojenými k premennej. Hlavnou vecou je nestratiť to posledné počas výpočtov - dokonca po rozklade sa neznáme nemôže vziať a „nikam neísť“. Zostáva pri jednom z faktorov:

• 15x=3(5x);
• 60 rokov 2 \u003d (15 rokov 2) 4.

Prvočísla, ktoré je možné deliť len samými sebou alebo 1 nikdy nefaktoruje – to nedáva zmysel..

Základné metódy zjednodušenia

Prvá vec, ktorá upúta pozornosť:

• prítomnosť zátvoriek;
• zlomky;
• korene.

Algebraické príklady v školských osnovách sú často zostavované s predpokladom, že sa dajú krásne zjednodušiť.

Výpočty zátvoriek

Venujte zvýšenú pozornosť značke pred zátvorkami! Násobenie alebo delenie sa aplikuje na každý prvok vo vnútri a mínus - obráti existujúce znamienka "+" alebo "-".

Zátvorky sa vypočítavajú podľa pravidiel alebo podľa vzorcov skráteného násobenia, po ktorých sú uvedené podobné.

Zníženie frakcií

Znížte zlomky je tiež ľahké. Oni sami raz za čas „ochotne utečú“, stojí za to robiť operácie s privedením takýchto členov. Ale príklad môžete zjednodušiť ešte predtým: dávajte pozor na čitateľa a menovateľa. Často obsahujú explicitné alebo skryté prvky, ktoré možno vzájomne zmenšiť. Je pravda, že ak v prvom prípade potrebujete iba vymazať nadbytočné, v druhom budete musieť premýšľať a priniesť časť výrazu do formulára na zjednodušenie. Použité metódy:

• hľadanie a hranie najväčšieho spoločného deliteľa čitateľa a menovateľa;
• delením každého horného prvku menovateľom.

Keď je výraz alebo jeho časť pod koreňom, primárny problém zjednodušenia je takmer rovnaký ako v prípade zlomkov. Je potrebné hľadať spôsoby, ako sa ho úplne zbaviť, alebo ak to nie je možné, minimalizovať znamienko zasahujúce do výpočtov. Napríklad na nenápadné √(3) alebo √(7).

Istý spôsob, ako zjednodušiť radikálny výraz, je pokúsiť sa ho vylúčiť, z ktorých niektoré sú mimo znamenia. Názorný príklad: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Ďalšie malé triky a nuansy:

• táto operácia zjednodušenia sa môže vykonať so zlomkami, pričom sa zo znamienka odstráni ako celok aj samostatne ako čitateľ alebo menovateľ;
• nie je možné rozložiť a vybrať časť súčtu alebo rozdielu za koreň;
• pri práci s premennými určite berte do úvahy jej stupeň, pre možnosť vykreslenia musí byť rovný alebo násobok odmocniny: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
• niekedy je dovolené zbaviť sa radikálovej premennej jej umocnením na zlomkovú mocninu: √ (y 3)=y 3/2.

Zjednodušenie vyjadrenia sily

Ak sa v prípade jednoduchých výpočtov mínusom alebo plusom zjednodušia príklady tým, že prinesú podobné, čo potom pri násobení alebo delení premenných s rôznou mocninou? Možno ich ľahko zjednodušiť zapamätaním si dvoch hlavných bodov:

1. Ak je medzi premennými znak násobenia, exponenty sa sčítajú.
2. Pri vzájomnom delení sa od stupňa čitateľa odpočíta rovnaký menovateľ.

Jedinou podmienkou takéhoto zjednodušenia je, aby oba pojmy mali rovnaký základ. Príklady pre prehľadnosť:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4) x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 = 3z 3 -3z 3 = 0.

Upozorňujeme, že operácie s číselnými hodnotami pred premennými prebiehajú podľa obvyklých matematických pravidiel. A ak sa pozriete pozorne, je zrejmé, že mocenské prvky výrazu „fungujú“ podobným spôsobom:

• povýšenie člena na moc znamená jeho vynásobenie určitým počtom krát, t.j. x 2 \u003d x × x;
• delenie je podobné: ak rozšírite stupeň čitateľa a menovateľa, niektoré premenné sa znížia, zatiaľ čo ostatné sa „zhromaždia“, čo je ekvivalentné odčítaniu.

Ako v každom biznise, aj pri zjednodušovaní algebraických výrazov je potrebná nielen znalosť základov, ale aj prax. Už po niekoľkých lekciách sa príklady, ktoré sa kedysi zdali komplikované, bez väčších ťažkostí zredukujú na krátke a ľahko vyriešiteľné.

Video

Toto video vám pomôže pochopiť a zapamätať si, ako sú výrazy zjednodušené.

Nedostali ste odpoveď na svoju otázku? Navrhnite autorom tému.

Medzi rôznymi výrazmi, ktoré sa berú do úvahy v algebre, zaujímajú dôležité miesto súčty monomilov. Tu sú príklady takýchto výrazov:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Termíny v polynóme sa nazývajú členy polynómu. Mononomy sa označujú aj ako polynómy, pričom monomizmus považujeme za polynóm pozostávajúci z jedného člena.

Napríklad polynóm
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
možno zjednodušiť.

Všetky výrazy reprezentujeme ako monomály štandardného tvaru:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Vo výslednom polynóme dávame podobné výrazy:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Výsledkom je polynóm, ktorého všetky členy sú monomály štandardného tvaru a medzi nimi nie sú žiadne podobné. Takéto polynómy sa nazývajú polynómy štandardného tvaru.

pozadu polynomický stupeňštandardná forma preberá najväčšiu z právomocí svojich členov. Takže dvojčlen \(12a^2b - 7b \) má tretí stupeň a trojčlen \(2b^2 -7b + 6 \) má druhý stupeň.

Termíny polynómov štandardnej formy obsahujúce jednu premennú sú zvyčajne usporiadané v zostupnom poradí podľa jej exponentov. Napríklad:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Súčet niekoľkých polynómov možno previesť (zjednodušiť) na polynóm štandardnej formy.

Niekedy je potrebné členy polynómu rozdeliť do skupín, pričom každú skupinu uzatvoríme do zátvoriek. Keďže zátvorky sú opakom zátvoriek, je ľahké ich formulovať pravidlá otvárania zátvoriek:

Ak je znamienko + umiestnené pred zátvorkami, potom sa výrazy v zátvorkách píšu s rovnakými znamienkami.

Ak je pred zátvorkami umiestnený znak "-", potom sa výrazy v zátvorkách píšu s opačnými znakmi.

Transformácia (zjednodušenie) súčinu jednočlenu a mnohočlenu

Pomocou distributívnej vlastnosti násobenia je možné transformovať (zjednodušiť) súčin jednočlenu a mnohočlenu na mnohočlen. Napríklad:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Súčin monočlenu a mnohočlenu sa zhodne rovná súčtu súčinov tohto monočlenu a každého z členov mnohočlenu.

Tento výsledok je zvyčajne formulovaný ako pravidlo.

Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte tento monočlen vynásobiť každým z členov polynómu.

Toto pravidlo sme opakovane použili na násobenie súčtom.

Súčin polynómov. Transformácia (zjednodušenie) súčinu dvoch polynómov

Vo všeobecnosti sa súčin dvoch polynómov rovná súčtu súčinu každého člena jedného polynómu a každého člena druhého.

Zvyčajne použite nasledujúce pravidlo.

Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty.

Skrátené vzorce násobenia. Štvorce súčtu, rozdielu a rozdielu

Niektoré výrazy v algebraických transformáciách sa musia zaoberať častejšie ako iné. Snáď najbežnejšie výrazy sú \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) a \(a^2 - b^2 \), teda druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdielu a druhá mocnina rozdielu. Všimli ste si, že názvy týchto výrazov sa zdajú byť neúplné, takže napríklad \((a + b)^2 \) nie je, samozrejme, len druhá mocnina súčtu, ale druhá mocnina súčtu a a b. Druhá mocnina súčtu a a b však nie je taká častá, spravidla namiesto písmen a a b obsahuje rôzne, niekedy dosť zložité výrazy.

Výrazy \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sa dajú ľahko previesť (zjednodušiť) na polynómy štandardného tvaru, v skutočnosti ste sa už s takouto úlohou stretli pri násobení polynómov :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Výsledné identity je užitočné zapamätať si a použiť ich bez prechodných výpočtov. Pomáhajú tomu krátke slovné formulácie.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - druhá mocnina súčtu sa rovná súčtu druhých mocnín a dvojitého súčinu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - druhá mocnina rozdielu je súčet druhých mocnín bez zdvojnásobenia súčinu.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - rozdiel štvorcov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu.

Tieto tri identity umožňujú pri transformáciách nahradiť ich ľavé časti pravými a naopak - pravé časti ľavými. Najťažšie je v tomto prípade vidieť zodpovedajúce výrazy a pochopiť, čím sú v nich premenné a a b nahradené. Pozrime sa na niekoľko príkladov použitia skrátených vzorcov na násobenie.

V piatom storočí pred Kristom sformuloval staroveký grécky filozof Zenón z Elea svoje slávne apórie, z ktorých najznámejšia je aporia „Achilles a korytnačka“. Znie to takto:

Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas doby, počas ktorej Achilles prebehne túto vzdialenosť, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.

Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónove apórie. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú aj v súčasnosti, vo vedeckej komunite sa zatiaľ nepodarilo dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky bola zapojená matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, čo je to podvod.

Z pohľadu matematiky Zenón vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od hodnoty k. Tento prechod znamená použitie namiesto konštánt. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na aplikáciu premenných jednotiek merania buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónove apórie. Aplikácia našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zotrvačnosťou myslenia aplikujeme konštantné jednotky času na recipročné. Z fyzikálneho hľadiska to vyzerá ako spomalenie času, až sa úplne zastaví v momente, keď Achilles dobehne korytnačku. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.

Ak otočíme logiku, na ktorú sme zvyknutí, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci segment jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať „Achilles nekonečne rýchlo predbehne korytnačku“.

Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné hodnoty. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:

Za čas, ktorý Achilles potrebuje prejsť tisíc krokov, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, prebehne Achilles ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.

Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neprekonateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme ešte študovať, prehodnotiť a vyriešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.

Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:

Letiaci šíp je nehybný, pretože je v každom okamihu v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.

V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp je v každom okamihu v pokoji v rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ešte jeden bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Na určenie skutočnosti pohybu auta sú potrebné dve fotografie nasnímané z rovnakého bodu v rôznych časových okamihoch, ale nemožno ich použiť na určenie vzdialenosti. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie nasnímané z rôznych bodov v priestore súčasne, ale nemôžete z nich určiť skutočnosť pohybu (prirodzene stále potrebujete ďalšie údaje na výpočty, pomôže vám trigonometria). Chcem poukázať najmä na to, že dva body v čase a dva body v priestore sú dve rôzne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na prieskum.

Streda 4. júla 2018

Veľmi dobre sú rozdiely medzi množinou a multimnožinou opísané vo Wikipédii. Pozeráme sa.

Ako vidíte, „súprava nemôže mať dva rovnaké prvky“, ale ak sú v súprave rovnaké prvky, takáto súprava sa nazýva „multiset“. Rozumné bytosti nikdy nepochopia takúto logiku absurdity. Toto je úroveň hovoriacich papagájov a cvičených opíc, v ktorých myseľ chýba pri slove „úplne“. Matematici fungujú ako obyčajní školitelia, ktorí nám kážu svoje absurdné nápady.

Kedysi boli inžinieri, ktorí most stavali, počas skúšok mosta v člne pod mostom. Ak sa most zrútil, priemerný inžinier zomrel pod troskami svojho výtvoru. Ak most vydržal zaťaženie, talentovaný inžinier postavil ďalšie mosty.

Bez ohľadu na to, ako sa matematici schovávajú za frázu „pozor, som v dome“, alebo skôr „matematika študuje abstraktné pojmy“, existuje jedna pupočná šnúra, ktorá ich nerozlučne spája s realitou. Táto pupočná šnúra sú peniaze. Aplikujme matematickú teóriu množín na samotných matematikov.

Učili sme sa veľmi dobre matematiku a teraz sedíme v pokladni a platíme mzdy. Tu si k nám príde matematik pre svoje peniaze. Celú sumu mu spočítame a rozložíme na stôl na rôzne kôpky, do ktorých vložíme bankovky rovnakej nominálnej hodnoty. Potom z každej kôpky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický platový set“. Vysvetlíme matematiku, že zvyšok účtov dostane, až keď preukáže, že množina bez rovnakých prvkov sa nerovná množine s rovnakými prvkami. Tu začína zábava.

V prvom rade zafunguje poslanecká logika: "na ostatných to môžeš aplikovať, ale na mňa nie!" Ďalej sa začnú ubezpečovať, že na bankovkách rovnakej nominálnej hodnoty sú rôzne čísla bankoviek, čo znamená, že ich nemožno považovať za identické prvky. No plat počítame v minciach – na minciach nie sú čísla. Matematik tu bude horúčkovito spomínať na fyziku: rôzne mince majú rôzne množstvo nečistôt, kryštálová štruktúra a usporiadanie atómov pre každú mincu je jedinečné ...

A teraz mám najzaujímavejšiu otázku: kde je hranica, za ktorou sa prvky multimnožiny menia na prvky množiny a naopak? Takáto línia neexistuje - o všetkom rozhodujú šamani, veda tu nie je ani zďaleka.

Pozri sa sem. Vyberáme futbalové štadióny s rovnakou rozlohou ihriska. Plocha polí je rovnaká, čo znamená, že máme multiset. Ale ak vezmeme do úvahy názvy rovnakých štadiónov, dostaneme veľa, pretože názvy sú rôzne. Ako vidíte, tá istá množina prvkov je zároveň množinou aj multimnožinou. Ako správne? A tu matematik-šaman-šuller vytiahne z rukáva tromfové eso a začne nám rozprávať buď o sade, alebo o multisete. V každom prípade nás presvedčí, že má pravdu.

Aby sme pochopili, ako moderní šamani pracujú s teóriou množín a spájajú ju s realitou, stačí odpovedať na jednu otázku: ako sa líšia prvky jednej množiny od prvkov inej množiny? Ukážem vám to bez akéhokoľvek „nemysliteľného ako jeden celok“ alebo „nemysliteľného ako jeden celok“.

Nedeľa 18. marca 2018

Súčet číslic čísla je tanec šamanov s tamburínou, ktorý nemá nič spoločné s matematikou. Áno, na hodinách matematiky nás učia nájsť súčet číslic čísla a použiť ho, ale na to sú šamani, aby naučili svojich potomkov ich zručnosti a múdrosti, inak šamani jednoducho vymrú.

Potrebujete dôkaz? Otvorte Wikipediu a skúste nájsť stránku „Súčet číslic čísla“. Ona neexistuje. V matematike neexistuje vzorec, pomocou ktorého by ste našli súčet číslic akéhokoľvek čísla. Čísla sú predsa grafické symboly, ktorými čísla píšeme a v reči matematiky znie úloha takto: „Nájdite súčet grafických symbolov reprezentujúcich ľubovoľné číslo.“ Matematici tento problém vyriešiť nedokážu, ale šamani to elementárne dokážu.

Poďme zistiť, čo a ako robíme, aby sme našli súčet číslic daného čísla. Povedzme, že máme číslo 12345. Čo je potrebné urobiť, aby sme našli súčet číslic tohto čísla? Zvážme všetky kroky v poradí.

1. Zapíšte si číslo na kúsok papiera. čo sme urobili? Číslo sme previedli na číselný grafický symbol. Toto nie je matematická operácia.

2. Jeden prijatý obrázok sme rozrezali na niekoľko obrázkov obsahujúcich samostatné čísla. Vystrihnutie obrázka nie je matematická operácia.

3. Preveďte jednotlivé grafické znaky na čísla. Toto nie je matematická operácia.

4. Výsledné čísla spočítajte. Teraz je to matematika.

Súčet číslic čísla 12345 je 15. Ide o „kurzy strihania a šitia“ od šamanov, ktoré používajú matematici. To však nie je všetko.

Z hľadiska matematiky je jedno, v akej číselnej sústave číslo zapíšeme. Takže v rôznych číselných sústavách sa súčet číslic toho istého čísla bude líšiť. V matematike sa číselný systém uvádza ako dolný index napravo od čísla. Pri veľkom čísle 12345 si nechcem oklamať hlavu, zvážte číslo 26 z článku o. Zapíšme toto číslo v dvojkovej, osmičkovej, desiatkovej a šestnástkovej sústave. Nebudeme zvažovať každý krok pod mikroskopom, to sme už urobili. Pozrime sa na výsledok.

Ako vidíte, v rôznych číselných sústavách je súčet číslic toho istého čísla odlišný. Tento výsledok nemá nič spoločné s matematikou. Je to rovnaké, ako keby ste pri určovaní plochy obdĺžnika v metroch a centimetroch dostali úplne iné výsledky.

Nula vo všetkých číselných sústavách vyzerá rovnako a nemá žiadny súčet číslic. Toto je ďalší argument v prospech skutočnosti, že . Otázka pre matematikov: ako sa v matematike označuje to, čo nie je číslo? Čo pre matematikov neexistuje nič iné ako čísla? Pre šamanov to môžem dovoliť, ale pre vedcov nie. Realita nie je len o číslach.

Získaný výsledok by sa mal považovať za dôkaz, že číselné sústavy sú jednotkami merania čísel. Nemôžeme predsa porovnávať čísla s rôznymi jednotkami merania. Ak rovnaké akcie s rôznymi jednotkami merania rovnakej veličiny vedú po ich porovnaní k rôznym výsledkom, potom to nemá nič spoločné s matematikou.

Čo je skutočná matematika? Je to vtedy, keď výsledok matematickej akcie nezávisí od hodnoty čísla, použitej mernej jednotky a od toho, kto túto akciu vykoná.

Nápis na dvere Otvára dvere a hovorí:

Ou! Nie je to dámska toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratórium na štúdium neurčitej svätosti duší pri vzostupe do neba! Nimbus navrchu a šípka hore. Aký iný záchod?

Žena... Svätožiara navrchu a šípka dole je muž.

Ak sa vám takéto umelecké dielo mihne pred očami niekoľkokrát denne,

Potom nie je prekvapujúce, že zrazu nájdete vo svojom aute zvláštnu ikonu:

Osobne sa snažím, aby som u kakajúceho človeka (jeden obrázok) videl mínus štyri stupne (zloženie viacerých obrázkov: znamienko mínus, číslo štyri, označenie stupňov). A toto dievča nepovažujem za blázna, ktorý nepozná fyziku. Má len oblúkový stereotyp vnímania grafických obrazov. A matematici nás to neustále učia. Tu je príklad.

1A nie je "mínus štyri stupne" alebo "jedno a". Toto je "kakajúci muž" alebo číslo "dvadsaťšesť" v hexadecimálnej číselnej sústave. Tí ľudia, ktorí neustále pracujú v tomto číselnom systéme, automaticky vnímajú číslo a písmeno ako jeden grafický symbol.

Zjednodušenie algebraických výrazov je jedným z kľúčov k učeniu sa algebry a mimoriadne užitočnou zručnosťou pre všetkých matematikov. Zjednodušenie umožňuje zredukovať zložitý alebo dlhý výraz na jednoduchý výraz, s ktorým sa ľahko pracuje. Základné zjednodušujúce zručnosti sú dobré aj pre tých, ktorí nie sú nadšení z matematiky. Dodržaním niekoľkých jednoduchých pravidiel možno mnohé z najbežnejších typov algebraických výrazov zjednodušiť bez akýchkoľvek špeciálnych matematických znalostí.

Kroky

Dôležité definície

1. Podobní členovia. Ide o členy s premennou rovnakého poradia, členy s rovnakými premennými alebo o voľné členy (členy, ktoré neobsahujú premennú). Inými slovami, podobné výrazy zahŕňajú jednu premennú v rovnakom rozsahu, zahŕňajú niekoľko rovnakých premenných alebo neobsahujú premennú vôbec. Na poradí výrazov vo výraze nezáleží.

   • Napríklad 3x 2 a 4x 2 sú podobné výrazy, pretože obsahujú premennú "x" druhého rádu (v druhej mocnine). Avšak x a x 2 nie sú podobné členy, pretože obsahujú premennú "x" rôznych rádov (prvý a druhý). Podobne -3yx a 5xz nie sú podobné členy, pretože obsahujú rôzne premenné.

2. Faktorizácia. Ide o nájdenie takých čísel, ktorých súčin vedie k pôvodnému číslu. Akékoľvek pôvodné číslo môže mať niekoľko faktorov. Napríklad číslo 12 možno rozložiť na nasledujúce série faktorov: 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4, takže môžeme povedať, že čísla 1, 2, 3, 4, 6 a 12 sú faktory číslo 12. Faktory sú rovnaké ako delitele , teda čísla, ktorými je pôvodné číslo deliteľné.

   • Napríklad, ak chcete vynásobiť číslo 20, napíšte ho takto: 4×5.
   • Upozorňujeme, že pri faktoringu sa berie do úvahy premenná. Napríklad 20x = 4 (5x).
   • Prvočísla nemožno rozdeliť, pretože sú deliteľné iba samými sebou a 1.

3. Zapamätajte si a dodržiavajte poradie operácií, aby ste sa vyhli chybám.

   • Zátvorky
   • stupňa
   • Násobenie
   • divízie
   • Doplnenie
   • Odčítanie

   Casting Like Members

   1. Zapíšte si výraz. Najjednoduchšie algebraické výrazy (ktoré neobsahujú zlomky, odmocniny atď.) je možné vyriešiť (zjednodušiť) v niekoľkých krokoch.

      • Napríklad zjednodušiť výraz 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definujte podobné členy (členy s premennou rovnakého poradia, členy s rovnakými premennými alebo voľné členy).

      • Nájdite podobné výrazy v tomto výraze. Výrazy 2x a 4x obsahujú premennú rovnakého rádu (prvú). Tiež 1 a -3 sú voľné členy (neobsahujú premennú). Teda v tomto výraze termíny 2x a 4x sú podobné a členovia 1 a -3 sú tiež podobné.

   3. Dajte podobných členov. To znamená ich pridanie alebo odčítanie a zjednodušenie výrazu.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Prepíšte výraz s prihliadnutím na dané členy. Získate jednoduchý výraz s menším počtom výrazov. Nový výraz sa rovná pôvodnému.

      • V našom príklade: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, to znamená, že pôvodný výraz je zjednodušený a ľahšie sa s ním pracuje.

   5. Pri prehadzovaní podobných výrazov dodržujte poradie, v ktorom sa vykonávajú operácie. V našom príklade bolo jednoduché priniesť podobné výrazy. Avšak v prípade zložitých výrazov, v ktorých sú členy uzavreté v zátvorkách a sú prítomné zlomky a odmocniny, nie je také jednoduché uviesť takéto výrazy. V týchto prípadoch dodržujte poradie operácií.

      • Zoberme si napríklad výraz 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Tu by bolo chybou hneď definovať 3x a 2x ako podobné pojmy a citovať ich, pretože najskôr treba rozbaliť zátvorky. Preto vykonávajte operácie v ich poradí.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Teraz, keď výraz obsahuje iba operácie sčítania a odčítania, môžete pretypovať ako výrazy.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12 x + 3

   Zátvorky násobiteľa

   1. Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa (gcd) všetkých koeficientov výrazu. GCD je najväčšie číslo, ktorým sú deliteľné všetky koeficienty výrazu.

      • Uvažujme napríklad rovnicu 9x 2 + 27x - 3. V tomto prípade gcd=3, pretože každý koeficient tohto výrazu je deliteľný 3.

   2. Vydeľte každý výraz výrazu gcd. Výsledné členy budú obsahovať menšie koeficienty ako v pôvodnom výraze.

      • V našom príklade vydeľte každý výrazový výraz 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ukázalo sa, že výraz 3x2 + 9x-1. Nerovná sa pôvodnému výrazu.

   3. Napíšte pôvodný výraz ako rovný súčinu gcd krát výsledný výraz. To znamená, že uzatvorte výsledný výraz do zátvoriek a GCD vložte mimo zátvorky.

      • V našom príklade: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Zjednodušenie zlomkových výrazov odstránením násobiteľa zo zátvoriek. Prečo len vytiahnuť násobiteľ zo zátvoriek, ako to bolo predtým? Potom sa dozviete, ako zjednodušiť zložité výrazy, ako sú napríklad zlomkové výrazy. V tomto prípade môže vyňatie faktora zo zátvoriek pomôcť zbaviť sa zlomku (z menovateľa).

      • Uvažujme napríklad zlomkový výraz (9x 2 + 27x - 3)/3. Na zjednodušenie tohto výrazu použite zátvorky.
        • Vypočítajte faktor 3 (ako ste to urobili predtým): (3 (3x 2 + 9x - 1))/3
        • Všimnite si, že v čitateli aj v menovateli je teraz číslo 3. Dá sa to zmenšiť a dostanete výraz: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Keďže každý zlomok, ktorý má v menovateli číslo 1, sa rovná čitateľovi, pôvodný zlomkový výraz sa zjednoduší na: 3x2 + 9x-1.

   Ďalšie techniky zjednodušenia

4. Uvažujme jednoduchý príklad: √(90). Číslo 90 možno rozložiť na nasledujúce faktory: 9 a 10 a od 9 vezmite druhú odmocninu (3) a vyberte 3 spod odmocniny.
   • √(90)
   • √ (9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Zjednodušenie výrazov pomocou právomocí. V niektorých výrazoch sú operácie násobenia alebo delenia pojmov so stupňom. V prípade násobenia členov s jedným základom sa ich stupne sčítajú; v prípade delenia členov s rovnakým základom sa ich stupne odčítajú.

   • Zoberme si napríklad výraz 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). V prípade násobenia pridajte exponenty a v prípade delenia ich odčítajte.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Nasleduje vysvetlenie pravidla pre násobenie a delenie pojmov s titulom.
     • Násobenie výrazov mocninami je ekvivalentné násobeniu výrazov samotných. Napríklad, keďže x 3 = x × x × x a x 5 = x × x × x × x × x, potom x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), alebo x 8.
     • Podobne delenie pojmov pomocou právomocí je ekvivalentné deleniu pojmov samotných. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Keďže podobné členy, ktoré sú v čitateli aj v menovateli, možno zredukovať, súčin dvoch „x“ alebo x 2 zostáva v čitateli.

• Vždy si dávajte pozor na znamienka (plus alebo mínus) pred pojmami výrazu, pretože veľa ľudí má problém vybrať si správne znamienko.
• V prípade potreby požiadajte o pomoc!
• Zjednodušenie algebraických výrazov nie je jednoduché, no ak sa vám to dostane do rúk, môžete túto zručnosť využívať celý život.