Tento článok odhaľuje odvodenie rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body v pravouhlom súradnicovom systéme umiestnenom v rovine. Odvodíme rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva dané body v pravouhlom súradnicovom systéme. Niekoľko príkladov súvisiacich s preberanou látkou si názorne ukážeme a vyriešime.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pred získaním rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je potrebné venovať pozornosť niektorým skutočnostiam. Existuje axióma, ktorá hovorí, že cez dva nezhodné body v rovine je možné nakresliť priamku a iba jednu. Inými slovami, dva dané body roviny sú určené priamkou prechádzajúcou týmito bodmi.
Ak je rovina daná pravouhlým súradnicovým systémom Oxy, potom akákoľvek priamka v nej zobrazená bude zodpovedať rovnici priamky v rovine. Existuje aj súvislosť so smerovým vektorom priamky.Tieto údaje postačujú na zostavenie rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi.
Zvážte príklad riešenia podobného problému. Je potrebné zostaviť rovnicu priamky a prechádzajúcej cez dva nezhodné body M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2) nachádzajúce sa v karteziánskom súradnicovom systéme.
V kanonickej rovnici priamky v rovine, ktorá má tvar x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , je pravouhlý súradnicový systém O x y určený priamkou, ktorá sa s ňou pretína v bode so súradnicami M. 1 (x 1, y 1) s vodiacim vektorom a → = (a x , a y) .
Je potrebné zostaviť kanonickú rovnicu priamky a, ktorá bude prechádzať dvoma bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2) .
Priamka a má smerový vektor M 1 M 2 → so súradnicami (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pretože pretína body M 1 a M 2. Získali sme potrebné údaje na transformáciu kanonickej rovnice so súradnicami smerového vektora M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) a súradnicami bodov M 1 na nich ležiacich. (x1,y1) a M2(x2,y2). Dostaneme rovnicu v tvare x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 alebo x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .
Zvážte obrázok nižšie.
Po výpočtoch napíšeme parametrické rovnice priamky v rovine, ktorá prechádza dvoma bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2) . Dostaneme rovnicu v tvare x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ alebo x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.
Pozrime sa bližšie na niekoľko príkladov.
Príklad 1
Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej 2 danými bodmi so súradnicami M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .
rozhodnutie
Kanonická rovnica pre priamku pretínajúcu sa v dvoch bodoch so súradnicami x 1 , y 1 a x 2 , y 2 má tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Podľa stavu problému máme, že x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Je potrebné nahradiť číselné hodnoty v rovnici x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Odtiaľto dostaneme, že kanonická rovnica bude mať tvar x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Odpoveď: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Ak je potrebné vyriešiť problém s iným typom rovnice, potom môžete na začiatok prejsť na kanonickú, pretože z nej je ľahšie prísť na akúkoľvek inú.
Príklad 2
Zostavte všeobecnú rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi so súradnicami M 1 (1, 1) a M 2 (4, 2) v súradnicovom systéme O x y.
rozhodnutie
Najprv si treba zapísať kanonickú rovnicu danej priamky, ktorá prechádza danými dvoma bodmi. Dostaneme rovnicu v tvare x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Privedieme kanonickú rovnicu do požadovaného tvaru, potom dostaneme:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 r - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
odpoveď: x - 3 y + 2 = 0.
Príklady takýchto úloh sa zvažovali v školských učebniciach na hodinách algebry. Školské úlohy sa líšili v tom, že bola známa rovnica priamky s koeficientom sklonu v tvare y \u003d k x + b. Ak potrebujete nájsť hodnotu sklonu k a číslo b, pri ktorom rovnica y \u003d k x + b definuje čiaru v systéme O x y, ktorá prechádza bodmi M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y2), kde x 1 ≠ x 2. Keď x 1 = x 2 , potom sklon nadobudne hodnotu nekonečna a priamka M 1 M 2 je definovaná všeobecnou neúplnou rovnicou tvaru x - x 1 = 0 .
Pretože bodky M 1 a M 2 sú na priamke, potom ich súradnice spĺňajú rovnicu y 1 = k x 1 + b a y 2 = k x 2 + b. Je potrebné vyriešiť sústavu rovníc y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b vzhľadom na k a b.
Aby sme to dosiahli, nájdeme k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 alebo k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Pri takýchto hodnotách k a b má rovnica priamky prechádzajúcej cez dané dva body nasledujúci tvar y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 alebo y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Zapamätať si také obrovské množstvo vzorcov naraz nebude fungovať. K tomu je potrebné zvýšiť počet opakovaní pri riešení úloh.
Príklad 3
Napíšte rovnicu priamky so sklonom prechádzajúcim bodmi so súradnicami M 2 (2, 1) a y = k x + b.
rozhodnutie
Na vyriešenie problému používame vzorec so sklonom, ktorý má tvar y \u003d k x + b. Koeficienty k a b musia mať takú hodnotu, aby táto rovnica zodpovedala priamke prechádzajúcej cez dva body so súradnicami M 1 (- 7 , - 5) a M 2 (2 , 1) .
bodov M 1 a M 2 umiestnené na priamke, potom by ich súradnice mali prevrátiť rovnicu y = k x + b na správnu rovnosť. Odtiaľ dostaneme, že - 5 = k · (- 7) + b a 1 = k · 2 + b. Spojme rovnicu do sústavy - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b a vyriešime.
Pri striedaní to dostaneme
5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Teraz sú hodnoty k = 2 3 a b = - 1 3 dosadené do rovnice y = k x + b. Dostaneme, že želaná rovnica prechádzajúca danými bodmi bude rovnica, ktorá má tvar y = 2 3 x - 1 3 .
Tento spôsob riešenia predurčuje vynaloženie veľkého množstva času. Existuje spôsob, ktorým sa úloha rieši doslova v dvoch krokoch.
Napíšeme kanonickú rovnicu priamky prechádzajúcej cez M 2 (2, 1) a M 1 (- 7, - 5) , ktorá má tvar x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5). ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Teraz prejdime k rovnici sklonu. Dostaneme, že: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .
Odpoveď: y = 2 3 x - 1 3 .
Ak v trojrozmernom priestore existuje pravouhlý súradnicový systém O x y z s dvomi danými nezhodnými bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), priamka M prechádzajúca cez ne 1 M 2, je potrebné získať rovnicu tejto priamky.
Máme, že kanonické rovnice tvaru x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z a parametrické rovnice tvaru x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ sú schopné nastaviť priamku v súradnicovom systéme O x y z prechádzajúcu bodmi so súradnicami (x 1, y 1, z 1) s usmerňovacím vektorom a → = (a x, a y, a z) .
Rovné M 1 M 2 má smerový vektor v tvare M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1), kde priamka prechádza bodom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), teda kanonická rovnica môže mať tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 alebo x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, zasa parametrické x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ alebo x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.
Zoberme si obrázok, ktorý zobrazuje 2 dané body v priestore a rovnicu priamky.
Príklad 4
Napíšte rovnicu priamky definovanej v pravouhlom súradnicovom systéme O x y z trojrozmerného priestoru, prechádzajúcej cez zadané dva body so súradnicami M 1 (2, - 3, 0) a M 2 (1, - 3, - 5). ).
rozhodnutie
Musíme nájsť kanonickú rovnicu. Keďže hovoríme o trojrozmernom priestore, znamená to, že keď danými bodmi prechádza priamka, požadovaná kanonická rovnica bude mať tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Podľa podmienky máme, že x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Z toho vyplýva, že potrebné rovnice možno zapísať takto:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Odpoveď: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Tento článok pokračuje v téme rovnice priamky v rovine: zvážte taký typ rovnice ako všeobecnú rovnicu priamky. Definujme vetu a dajme jej dôkaz; Poďme zistiť, čo je neúplná všeobecná rovnica priamky a ako urobiť prechody zo všeobecnej rovnice na iné typy rovníc priamky. Celú teóriu si upevníme ilustráciami a riešením praktických problémov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Nech je v rovine daný pravouhlý súradnicový systém O x y.
Veta 1
Akákoľvek rovnica prvého stupňa, ktorá má tvar A x + B y + C \u003d 0, kde A, B, C sú nejaké reálne čísla (A a B sa súčasne nerovnajú nule), definuje priamku v pravouhlý súradnicový systém v rovine. Na druhej strane je každá čiara v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine určená rovnicou, ktorá má tvar A x + B y + C = 0 pre určitú množinu hodnôt A, B, C.
Dôkaz
Táto veta pozostáva z dvoch bodov, každý z nich dokážeme.
- Dokážme, že rovnica A x + B y + C = 0 definuje priamku v rovine.
Nech existuje nejaký bod M 0 (x 0 , y 0), ktorého súradnice zodpovedajú rovnici A x + B y + C = 0 . Teda: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Odčítaním od ľavej a pravej strany rovníc A x + B y + C \u003d 0 ľavú a pravú stranu rovnice A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 dostaneme novú rovnicu, ktorá vyzerá ako A (x - x 0) + B (y - y0) = 0. Je ekvivalentné A x + B y + C = 0.
Výsledná rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre kolmosť vektorov n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x). 0, y - y 0 ). Množina bodov M (x, y) teda definuje v pravouhlom súradnicovom systéme priamku kolmú na smer vektora n → = (A, B) . Môžeme predpokladať, že to tak nie je, ale potom by vektory n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) neboli kolmé a rovnosť A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 by nebolo pravdivé.
Preto rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 definuje určitú čiaru v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine, a preto ekvivalentnú rovnicu A x + B y + C \u003d 0 definuje rovnakú čiaru. Tým sme dokázali prvú časť vety.
- Dokážme, že ľubovoľnú priamku v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine možno dať rovnicou prvého stupňa A x + B y + C = 0 .
Postavme priamku a v pravouhlom súradnicovom systéme na rovinu; bod M 0 (x 0, y 0), ktorým táto priamka prechádza, ako aj normálový vektor tejto priamky n → = (A , B) .
Nech existuje aj nejaký bod M (x , y) - plávajúca bodka priamky. V tomto prípade sú vektory n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) navzájom kolmé a ich skalárny súčin je nula:
n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0
Prepíšme rovnicu A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definujme C: C = - A x 0 - B y 0 a nakoniec získame rovnicu A x + B y + C = 0 .
Takže sme dokázali druhú časť vety a dokázali sme celú vetu ako celok.
Definícia 1
Rovnica, ktorá vyzerá Ax + By + C = 0 - Toto všeobecná rovnica priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systémeO x y .
Na základe dokázanej vety môžeme konštatovať, že priamka vedená v rovine v pevnom pravouhlom súradnicovom systéme a jej všeobecná rovnica sú neoddeliteľne spojené. Inými slovami, pôvodný riadok zodpovedá jeho všeobecnej rovnici; všeobecná rovnica priamky zodpovedá danej priamke.
Z dôkazu vety tiež vyplýva, že koeficienty A a B pre premenné x a y sú súradnice normálového vektora priamky, ktorý je daný všeobecnou rovnicou priamky A x + B y + C = 0.
Zvážte konkrétny príklad všeobecnej rovnice priamky.
Nech je daná rovnica 2 x + 3 y - 2 = 0, ktorá zodpovedá priamke v danom pravouhlom súradnicovom systéme. Normálny vektor tejto čiary je vektor n → = (2, 3) Nakreslite na výkres danú priamku.
Tvrdiť možno aj toto: priamka, ktorú vidíme na výkrese, je určená všeobecnou rovnicou 2 x + 3 y - 2 = 0, keďže tejto rovnici zodpovedajú súradnice všetkých bodov danej priamky.
Rovnicu λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 dostaneme vynásobením oboch strán všeobecnej rovnice priamky nenulovým číslom λ. Výsledná rovnica je ekvivalentná pôvodnej všeobecnej rovnici, preto bude opisovať rovnakú priamku v rovine.
Definícia 2Kompletná všeobecná rovnica priamky- taká všeobecná rovnica priamky A x + B y + C \u003d 0, v ktorej sú čísla A, B, C nenulové. Inak platí rovnica neúplné.
Analyzujme všetky variácie neúplnej všeobecnej rovnice priamky.
- Keď A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, všeobecná rovnica sa zmení na By + C \u003d 0. Takáto neúplná všeobecná rovnica definuje priamku v pravouhlom súradnicovom systéme O x y, ktorá je rovnobežná s osou O x, pretože pre akúkoľvek reálnu hodnotu x nadobudne premenná y hodnotu - CB. Inými slovami, všeobecná rovnica priamky A x + B y + C \u003d 0, keď A \u003d 0, B ≠ 0, definuje polohu bodov (x, y), ktorých súradnice sa rovnajú rovnakému číslu. - CB.
- Ak A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, všeobecná rovnica bude y \u003d 0. Takáto neúplná rovnica definuje os x Ox.
- Keď A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, dostaneme neúplnú všeobecnú rovnicu A x + C \u003d 0, ktorá definuje priamku rovnobežnú s osou y.
- Nech A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, potom neúplná všeobecná rovnica bude mať tvar x \u003d 0 a toto je rovnica súradnicovej čiary Oy.
- Nakoniec, keď A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, neúplná všeobecná rovnica má tvar A x + B y \u003d 0. A táto rovnica opisuje priamku, ktorá prechádza počiatkom. Dvojica čísel (0 , 0) totiž zodpovedá rovnosti A x + B y = 0 , keďže A · 0 + B · 0 = 0 .
Poďme si graficky znázorniť všetky vyššie uvedené typy neúplnej všeobecnej rovnice priamky.
Príklad 1
Je známe, že daná priamka je rovnobežná s osou y a prechádza bodom 2 7 , - 11 . Je potrebné zapísať všeobecnú rovnicu danej priamky.
rozhodnutie
Priamka rovnobežná s osou y je daná rovnicou tvaru A x + C \u003d 0, v ktorej A ≠ 0. Podmienka určuje aj súradnice bodu, ktorým úsečka prechádza a súradnice tohto bodu zodpovedajú podmienkam neúplnej všeobecnej rovnice A x + C = 0, t.j. rovnosť je správna:
A27 + C = 0
Z nej je možné určiť C tak, že A dáme nejakú nenulovú hodnotu, napríklad A = 7 . V tomto prípade dostaneme: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Poznáme oba koeficienty A a C, dosadíme ich do rovnice A x + C = 0 a dostaneme požadovanú rovnicu priamky: 7 x - 2 = 0
odpoveď: 7 x - 2 = 0
Príklad 2
Na výkrese je znázornená priamka, je potrebné zapísať jej rovnicu.
rozhodnutie
Daný výkres nám umožňuje jednoducho zobrať počiatočné údaje na riešenie problému. Na výkrese vidíme, že daná čiara je rovnobežná s osou O x a prechádza bodom (0, 3).
Priamka, ktorá je rovnobežná s úsečkou, je určená neúplnou všeobecnou rovnicou B y + С = 0. Nájdite hodnoty B a C. Súradnice bodu (0, 3), keďže ním prechádza daná priamka, budú vyhovovať rovnici priamky B y + С = 0, potom platí rovnosť: В · 3 + С = 0. Nastavme B na inú hodnotu ako nulu. Povedzme B \u003d 1, v tomto prípade z rovnosti B · 3 + C \u003d 0 nájdeme C: C \u003d - 3. Pomocou známych hodnôt B a C získame požadovanú rovnicu priamky: y - 3 = 0.
odpoveď: y-3 = 0.
Všeobecná rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom roviny
Danú priamku necháme prechádzať bodom M 0 (x 0, y 0), potom jej súradnice zodpovedajú všeobecnej rovnici priamky, t.j. platí rovnosť: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Odčítajte ľavú a pravú stranu tejto rovnice od ľavej a pravej strany všeobecnej úplnej rovnice priamky. Dostaneme: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, táto rovnica je ekvivalentná pôvodnej všeobecnej rovnici, prechádza bodom M 0 (x 0, y 0) a má normálny vektor n → \u003d (A, B) .
Výsledok, ktorý sme získali, umožňuje napísať všeobecnú rovnicu priamky pre známe súradnice normálového vektora priamky a súradnice určitého bodu tejto priamky.
Príklad 3
Daný je bod M 0 (- 3, 4), cez ktorý priamka prechádza, a normálový vektor tejto priamky n → = (1, - 2) . Je potrebné zapísať rovnicu danej priamky.
rozhodnutie
Počiatočné podmienky nám umožňujú získať potrebné údaje na zostavenie rovnice: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. potom:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0
Problém sa dal vyriešiť inak. Všeobecná rovnica priamky má tvar A x + B y + C = 0 . Daný normálny vektor vám umožňuje získať hodnoty koeficientov A a B, potom:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0
Teraz nájdime hodnotu C pomocou bodu M 0 (- 3, 4) daného podmienkou úlohy, ktorým čiara prechádza. Súradnice tohto bodu zodpovedajú rovnici x - 2 · y + C = 0, t.j. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Preto C = 11. Požadovaná priamka rovnica má tvar: x - 2 · y + 11 = 0 .
odpoveď: x - 2 y + 11 = 0.
Príklad 4
Je daná priamka 2 3 x - y - 1 2 = 0 a bod M 0 ležiaci na tejto priamke. Známa je iba úsečka tohto bodu a rovná sa - 3. Je potrebné určiť ordinátu daného bodu.
rozhodnutie
Označme súradnice bodu M 0 ako x 0 a y 0 . Počiatočné údaje naznačujú, že x 0 \u003d - 3. Keďže bod patrí k danej priamke, potom jeho súradnice zodpovedajú všeobecnej rovnici tejto priamky. Potom bude platiť nasledujúca rovnosť:
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0
Definujte y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2
odpoveď: - 5 2
Prechod od všeobecnej rovnice priamky k iným typom rovníc priamky a naopak
Ako vieme, existuje niekoľko typov rovnice tej istej priamky v rovine. Voľba typu rovnice závisí od podmienok problému; je možné si vybrať ten, ktorý je pre jeho riešenie pohodlnejší. Tu je veľmi užitočná zručnosť previesť rovnicu jedného druhu na rovnicu iného druhu.
Najprv zvážte prechod od všeobecnej rovnice tvaru A x + B y + C = 0 ku kanonickej rovnici x - x 1 a x = y - y 1 a y .
Ak A ≠ 0, potom člen B y prenesieme na pravú stranu všeobecnej rovnice. Na ľavej strane vyberieme A zo zátvoriek. V dôsledku toho dostaneme: A x + C A = - B y .
Túto rovnosť môžeme zapísať ako podiel: x + C A - B = y A .
Ak B ≠ 0, ponecháme iba člen A x na ľavej strane všeobecnej rovnice, ostatné prenesieme na pravú stranu, dostaneme: A x \u003d - B y - C. Vyberieme - B zo zátvoriek, potom: A x \u003d - B y + C B.
Prepíšme rovnosť ako podiel: x - B = y + C B A .
Samozrejme, výsledné vzorce sa netreba učiť naspamäť. Stačí poznať algoritmus akcií pri prechode zo všeobecnej rovnice na kanonickú.
Príklad 5
Je daná všeobecná rovnica priamky 3 y - 4 = 0. Je potrebné ho previesť na kanonickú rovnicu.
rozhodnutie
Pôvodnú rovnicu zapíšeme ako 3 y - 4 = 0 . Ďalej konáme podľa algoritmu: člen 0 x zostáva na ľavej strane; a na pravej strane vyberieme - 3 zo zátvoriek; dostaneme: 0 x = - 3 y - 4 3 .
Výslednú rovnosť zapíšme ako podiel: x - 3 = y - 4 3 0 . Takto sme dostali rovnicu kanonického tvaru.
Odpoveď: x - 3 = y - 4 3 0.
Na transformáciu všeobecnej rovnice priamky na parametrické sa najskôr vykoná prechod na kanonickú formu a potom prechod z kanonickej rovnice priamky na parametrické rovnice.
Príklad 6
Priamka je daná rovnicou 2 x - 5 y - 1 = 0 . Zapíšte si parametrické rovnice tohto riadku.
rozhodnutie
Urobme prechod zo všeobecnej rovnice na kanonickú:
2 x - 5 rokov - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 r + 1 ⇔ 2 x = 5 r + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
Teraz zoberme obe časti výslednej kanonickej rovnice rovné λ, potom:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
odpoveď:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
Všeobecnú rovnicu možno previesť na priamku so sklonom y = k x + b, ale iba vtedy, keď B ≠ 0. Pre prechod na ľavej strane necháme výraz B y , zvyšok sa prenesie na pravú. Dostaneme: B y = - A x - C . Vydeľme obe časti výslednej rovnosti B , ktorá je odlišná od nuly: y = - A B x - C B .
Príklad 7
Všeobecná rovnica priamky je daná: 2 x + 7 y = 0 . Túto rovnicu musíte previesť na rovnicu sklonu.
rozhodnutie
Vykonajte potrebné akcie podľa algoritmu:
2 x + 7 rokov = 0 ⇔ 7 rokov - 2 x ⇔ y = - 2 7 x
odpoveď: y = -27 x.
Zo všeobecnej rovnice priamky stačí jednoducho získať rovnicu v segmentoch tvaru x a + y b \u003d 1. Aby sme urobili takýto prechod, prenesieme číslo C na pravú stranu rovnosti, obe časti výslednej rovnosti vydelíme - С a nakoniec prenesieme koeficienty pre premenné x a y do menovateľov:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
Príklad 8
Je potrebné previesť všeobecnú rovnicu priamky x - 7 y + 1 2 = 0 na rovnicu priamky v segmentoch.
rozhodnutie
Presuňme 1 2 na pravú stranu: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .
Vydeľte -1/2 obe strany rovnice: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .
odpoveď: x-12 + y114 = 1.
Vo všeobecnosti je spätný prechod tiež jednoduchý: od iných typov rovníc k všeobecnému.
Rovnicu priamky v segmentoch a rovnicu so sklonom možno ľahko previesť na všeobecnú jednoduchým zhromaždením všetkých výrazov na ľavej strane rovnice:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Kanonická rovnica sa prevedie na všeobecnú podľa nasledujúcej schémy:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Ak chcete prejsť z parametrického, najprv sa vykoná prechod na kanonický a potom na všeobecný:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
Príklad 9
Sú uvedené parametrické rovnice priamky x = - 1 + 2 · λ y = 4. Je potrebné zapísať všeobecnú rovnicu tohto riadku.
rozhodnutie
Urobme prechod z parametrických rovníc na kanonické:
x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0
Prejdime od kanonického k všeobecnému:
x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0
odpoveď: y-4 = 0
Príklad 10
Je uvedená rovnica priamky v segmentoch x 3 + y 1 2 = 1. Je potrebné vykonať prechod na všeobecnú formu rovnice.
rozhodnutie:
Prepíšme rovnicu do požadovaného tvaru:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0
odpoveď: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.
Zostavenie všeobecnej rovnice priamky
Vyššie sme si povedali, že všeobecnú rovnicu možno napísať so známymi súradnicami normálového vektora a súradnicami bodu, ktorým priamka prechádza. Takáto priamka je definovaná rovnicou A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Na tom istom mieste sme analyzovali zodpovedajúci príklad.
Teraz sa pozrime na zložitejšie príklady, v ktorých je najprv potrebné určiť súradnice normálového vektora.
Príklad 11
Daná je priamka rovnobežná s priamkou 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Známy je aj bod M 0 (4 , 1), ktorým daná priamka prechádza. Je potrebné zapísať rovnicu danej priamky.
rozhodnutie
Počiatočné podmienky nám hovoria, že priamky sú rovnobežné, potom ako normálový vektor priamky, ktorej rovnicu treba napísať, vezmeme smerovací vektor priamky n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Teraz poznáme všetky potrebné údaje na zostavenie všeobecnej rovnice priamky:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0
odpoveď: 2 x - 3 y - 5 = 0 .
Príklad 12
Daná priamka prechádza počiatkom kolmo na priamku x - 2 3 = y + 4 5 . Je potrebné napísať všeobecnú rovnicu danej priamky.
rozhodnutie
Normálový vektor danej priamky bude smerovací vektor priamky x - 2 3 = y + 4 5 .
Potom n → = (3 , 5) . Priamka prechádza počiatkom, t.j. cez bod O (0, 0) . Zostavme všeobecnú rovnicu danej priamky:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
Odpoveď: 3 x + 5 y = 0 .
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.
Existuje nekonečne veľa čiar, ktoré možno nakresliť cez ktorýkoľvek bod.
Cez akékoľvek dva nezhodné body vedie iba jedna priamka.
Dve nezhodné čiary v rovine sa buď pretínajú v jednom bode, alebo sú
paralelný (vyplýva z predchádzajúceho).
V trojrozmernom priestore existujú tri možnosti pre relatívnu polohu dvoch čiar:
- čiary sa pretínajú;
- priame čiary sú rovnobežné;
- priamky sa pretínajú.
Rovno riadok- algebraická krivka prvého rádu: v karteziánskom súradnicovom systéme priamka
je daná v rovine rovnicou prvého stupňa (lineárna rovnica).
Všeobecná rovnica priamky.
Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť daná rovnicou prvého poriadku
Ah + Wu + C = 0,
a konštantný A, B nerovná sa zároveň nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecný
priamka rovnica. V závislosti od hodnôt konštánt A, B a S Možné sú tieto špeciálne prípady:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- čiara prechádza počiatkom
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- priamka rovnobežná s osou OU
. B = C = 0, A ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou OU
. A = C = 0, B ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou Oh
Rovnica priamky môže byť reprezentovaná v rôznych formách v závislosti od danej veličiny
počiatočné podmienky.
Rovnica priamky bodom a normálovým vektorom.
Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme vektor so zložkami (A, B)
kolmá na priamku danú rovnicou
Ah + Wu + C = 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1; 2) kolmo na vektor (3, -1).
rozhodnutie. Zostavme pri A \u003d 3 a B \u003d -1 rovnicu priamky: 3x - y + C \u003d 0. Ak chcete nájsť koeficient C
do výsledného výrazu dosadíme súradnice daného bodu A. Dostaneme: 3 - 2 + C = 0, teda
C = -1. Celkom: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 \u003d 0.
Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.
Nech sú uvedené dva body v priestore M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a M2 (x 2, y 2, z 2), potom priamka rovnica,
prechádza cez tieto body:
Ak sa niektorý z menovateľov rovná nule, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu. Na
rovine, rovnica priamky napísaná vyššie je zjednodušená:
ak x 1 ≠ x 2 a x = x 1, ak x 1 = x 2 .
Zlomok = k volal faktor sklonu rovno.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).
rozhodnutie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:
Rovnica priamky bodom a sklonom.
Ak je všeobecná rovnica priamky Ah + Wu + C = 0 uveďte do formulára:
a určiť 
, potom sa výsledná rovnica nazýva
rovnica priamky so sklonom k.
Rovnica priamky na bode a smerového vektora.
Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať úlohu
priamka cez bod a smerový vektor priamky.
Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého komponenty spĺňajú podmienku
Aai + Ba2 = 0 volal smerový vektor priamky.
Ah + Wu + C = 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).
rozhodnutie. Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície
koeficienty musia spĺňať tieto podmienky:
1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.
Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0.
pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:
x + y - 3 = 0
Rovnica priamky v segmentoch.
Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ah + Wu + C = 0 C≠0, potom po delení -C dostaneme:
alebo , kde
Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnicou priesečníka
rovný s nápravou oh, a b- súradnica priesečníka priamky s osou OU.
Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
Normálna rovnica priamky.
Ak obe strany rovnice Ah + Wu + C = 0 deliť číslom 
, ktorá sa volá
normalizačný faktor, potom dostaneme
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normálna rovnica priamky.
Znamienko ± normalizačného faktora musí byť zvolené tak, aby μ * C< 0.
R- dĺžka kolmice spustenej od začiatku k čiare,
a φ - uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Oh.
Príklad. Vzhľadom na všeobecnú rovnicu priamky 12x – 5r – 65 = 0. Vyžaduje sa písanie rôznych typov rovníc
túto priamku.
Rovnica tejto priamky v segmentoch:
Rovnica tejto priamky so sklonom: (vydeliť 5)
Rovnica priamky:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.
Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,
rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.
Uhol medzi čiarami v rovine.
Definícia. Ak sú uvedené dva riadky y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami
bude definovaný ako
Dve čiary sú rovnobežné, ak k1 = k2. Dve čiary sú kolmé
ak k 1 \u003d -1 / k 2 .
Veta.
Priamy Ah + Wu + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sú paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ak tiež С 1 \u003d λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok
sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom je kolmá na danú priamku.
Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y = kx + b
reprezentovaný rovnicou:
Vzdialenosť od bodu k čiare.
Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k čiare Ah + Wu + C = 0 definovaný ako:
Dôkaz. Nechajte bod M 1 (x 1, y 1)- základňa kolmice klesla z hrotu M za danú
priamy. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:
(1)
Súradnice x 1 a 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:
Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmo
daný riadok. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
potom pri riešení dostaneme:
Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:
Veta bola dokázaná.
Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.
Existuje nekonečne veľa čiar, ktoré možno nakresliť cez ktorýkoľvek bod.
Cez akékoľvek dva nezhodné body vedie iba jedna priamka.
Dve nezhodné čiary v rovine sa buď pretínajú v jednom bode, alebo sú
paralelný (vyplýva z predchádzajúceho).
V trojrozmernom priestore existujú tri možnosti pre relatívnu polohu dvoch čiar:
- čiary sa pretínajú;
- priame čiary sú rovnobežné;
- priamky sa pretínajú.
Rovno riadok- algebraická krivka prvého rádu: v karteziánskom súradnicovom systéme priamka
je daná v rovine rovnicou prvého stupňa (lineárna rovnica).
Všeobecná rovnica priamky.
Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť daná rovnicou prvého poriadku
Ah + Wu + C = 0,
a konštantný A, B nerovná sa zároveň nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecný
priamka rovnica. V závislosti od hodnôt konštánt A, B a S Možné sú tieto špeciálne prípady:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- čiara prechádza počiatkom
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- priamka rovnobežná s osou OU
. B = C = 0, A ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou OU
. A = C = 0, B ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou Oh
Rovnica priamky môže byť reprezentovaná v rôznych formách v závislosti od danej veličiny
počiatočné podmienky.
Rovnica priamky bodom a normálovým vektorom.
Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme vektor so zložkami (A, B)
kolmá na priamku danú rovnicou
Ah + Wu + C = 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1; 2) kolmo na vektor (3, -1).
rozhodnutie. Zostavme pri A \u003d 3 a B \u003d -1 rovnicu priamky: 3x - y + C \u003d 0. Ak chcete nájsť koeficient C
do výsledného výrazu dosadíme súradnice daného bodu A. Dostaneme: 3 - 2 + C = 0, teda
C = -1. Celkom: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 \u003d 0.
Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.
Nech sú uvedené dva body v priestore M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a M2 (x 2, y 2, z 2), potom priamka rovnica,
prechádza cez tieto body:
Ak sa niektorý z menovateľov rovná nule, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu. Na
rovine, rovnica priamky napísaná vyššie je zjednodušená:
ak x 1 ≠ x 2 a x = x 1, ak x 1 = x 2 .
Zlomok = k volal faktor sklonu rovno.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).
rozhodnutie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:
Rovnica priamky bodom a sklonom.
Ak je všeobecná rovnica priamky Ah + Wu + C = 0 uveďte do formulára:
a určiť , potom sa výsledná rovnica nazýva
rovnica priamky so sklonom k.
Rovnica priamky na bode a smerového vektora.
Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať úlohu
priamka cez bod a smerový vektor priamky.
Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého komponenty spĺňajú podmienku
Aai + Ba2 = 0 volal smerový vektor priamky.
Ah + Wu + C = 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).
rozhodnutie. Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície
koeficienty musia spĺňať tieto podmienky:
1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.
Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0.
pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:
x + y - 3 = 0
Rovnica priamky v segmentoch.
Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ah + Wu + C = 0 C≠0, potom po delení -C dostaneme:
alebo , kde
Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnicou priesečníka
rovný s nápravou oh, a b- súradnica priesečníka priamky s osou OU.
Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
Normálna rovnica priamky.
Ak obe strany rovnice Ah + Wu + C = 0 deliť číslom , ktorá sa volá
normalizačný faktor, potom dostaneme
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normálna rovnica priamky.
Znamienko ± normalizačného faktora musí byť zvolené tak, aby μ * C< 0.
R- dĺžka kolmice spustenej od začiatku k čiare,
a φ - uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Oh.
Príklad. Vzhľadom na všeobecnú rovnicu priamky 12x – 5r – 65 = 0. Vyžaduje sa písanie rôznych typov rovníc
túto priamku.
Rovnica tejto priamky v segmentoch:
Rovnica tejto priamky so sklonom: (vydeliť 5)
Rovnica priamky:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.
Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,
rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.
Uhol medzi čiarami v rovine.
Definícia. Ak sú uvedené dva riadky y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami
bude definovaný ako
Dve čiary sú rovnobežné, ak k1 = k2. Dve čiary sú kolmé
ak k 1 \u003d -1 / k 2 .
Veta.
Priamy Ah + Wu + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sú paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ak tiež С 1 \u003d λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok
sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom je kolmá na danú priamku.
Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y = kx + b
reprezentovaný rovnicou:
Vzdialenosť od bodu k čiare.
Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k čiare Ah + Wu + C = 0 definovaný ako:
Dôkaz. Nechajte bod M 1 (x 1, y 1)- základňa kolmice klesla z hrotu M za danú
priamy. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:
(1)
Súradnice x 1 a 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:
Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmo
daný riadok. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
potom pri riešení dostaneme:
Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:
Veta bola dokázaná.
Kanonické rovnice priamky v priestore sú rovnice, ktoré definujú priamku prechádzajúcu daným bodom kolineárne k smerovému vektoru.
Nech je daný bod a smerový vektor. Ľubovoľný bod leží na priamke l iba ak sú vektory a kolineárne, t. j. spĺňajú podmienku:
.
Vyššie uvedené rovnice sú kanonické rovnice priamky.
čísla m , n a p sú projekcie smerového vektora na súradnicové osi. Keďže vektor je nenulový, potom všetky čísla m , n a p nemôže byť zároveň nula. Ale jeden alebo dva z nich môžu byť nula. V analytickej geometrii je napríklad povolený nasledujúci zápis:
,
čo znamená, že projekcie vektora na os Oj a Oz sa rovnajú nule. Preto vektor aj priamka daná kanonickými rovnicami sú kolmé na osi Oj a Oz, teda lietadlá yOz .
Príklad 1 Zostavte rovnice priamky v priestore kolmom na rovinu 
a prechádza cez priesečník tejto roviny s osou Oz
.
rozhodnutie. Nájdite priesečník danej roviny s osou Oz. Od akéhokoľvek bodu na osi Oz, má súradnice , teda za predpokladu, že v danej rovnici roviny x=y= 0, dostaneme 4 z- 8 = 0 alebo z= 2. Teda priesečník danej roviny s osou Oz má súradnice (0; 0; 2) . Pretože je požadovaná čiara kolmá na rovinu, je rovnobežná s jej normálovým vektorom. Preto môže normálový vektor slúžiť ako smerovací vektor priamky 
danej rovine.
Teraz napíšeme požadované rovnice priamky prechádzajúcej bodom A= (0; 0; 2) v smere vektora:
Rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body
Priamka môže byť definovaná dvoma bodmi, ktoré na nej ležia 
a 
V tomto prípade môže byť smerovým vektorom priamky vektor . Potom nadobudnú tvar kanonické rovnice priamky
.
Vyššie uvedené rovnice definujú priamku prechádzajúcu cez dva dané body.
Príklad 2 Napíšte rovnicu priamky v priestore prechádzajúcej bodmi a .
rozhodnutie. Požadované rovnice priamky napíšeme vo forme uvedenej vyššie v teoretickom odkaze:
.
Od , potom je požadovaná čiara kolmá na os Oj .
Priama ako priesečník rovín
Priamku v priestore možno definovať ako priesečník dvoch nerovnobežných rovín, t.j. ako množinu bodov, ktoré spĺňajú systém dvoch lineárnych rovníc.
Rovnice sústavy sa nazývajú aj všeobecné rovnice priamky v priestore.
Príklad 3 Skladať kanonické rovnice priamky v priestore danom všeobecnými rovnicami
rozhodnutie. Na napísanie kanonických rovníc priamky alebo, čo je to isté, rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body, musíte nájsť súradnice ľubovoľných dvoch bodov na priamke. Môžu to byť napríklad priesečníky priamky s akýmikoľvek dvomi súradnicovými rovinami yOz a xOz .
Priesečník priamky s rovinou yOz má abscisu X= 0. Preto za predpokladu, že v tomto systéme rovníc X= 0, dostaneme systém s dvoma premennými:
Jej rozhodnutie r = 2 , z= 6 spolu s X= 0 definuje bod A(0; 2; 6) požadovaného riadku. Za predpokladu, že potom v danej sústave rovníc r= 0, dostaneme systém
Jej rozhodnutie X = -2 , z= 0 spolu s r= 0 definuje bod B(-2; 0; 0) priesečník priamky s rovinou xOz .
Teraz napíšeme rovnice priamky prechádzajúcej bodmi A(0; 2; 6) a B (-2; 0; 0) :
,
alebo po vydelení menovateľov -2:
,
