Pri štúdiu témy číselné, spisovné výrazy a výrazy s premennými je potrebné dbať na pojem hodnota výrazu. V tomto článku odpovieme na otázku, aká je hodnota číselného výrazu a čo sa nazýva hodnota doslovného výrazu a výrazu s premennými s vybranými hodnotami premenných. Na objasnenie týchto definícií uvádzame príklady.
Navigácia na stránke.
Akú hodnotu má číselný výraz?
Oboznamovanie sa s číselnými výrazmi začína takmer od prvých hodín matematiky v škole. Takmer okamžite sa zavádza pojem „hodnota číselného vyjadrenia“. Vzťahuje sa na výrazy zložené z čísel spojených aritmetickými znamienkami (+, −, ·, :). Uveďme vhodnú definíciu.
Definícia.
Hodnota číselného výrazu- je to číslo, ktoré sa získa po vykonaní všetkých akcií v pôvodnom číselnom výraze.
Zoberme si napríklad číselný výraz 1+2 . Po vykonaní dostaneme číslo 3 , je to hodnota číselného výrazu 1+2 .
Vo fráze „hodnota číselného výrazu“ sa často vynecháva slovo „číselný“ a hovorí sa jednoducho „hodnota výrazu“, pretože je stále jasné, ktorý výraz sa myslí.
Uvedená definícia významu výrazu platí aj pre číselné výrazy zložitejšieho tvaru, ktoré sa študujú na strednej škole. Tu je potrebné poznamenať, že sa možno stretnúť s číselnými výrazmi, ktorých hodnoty nemožno špecifikovať. Je to spôsobené tým, že v niektorých výrazoch nie je možné vykonať zaznamenané akcie. Napríklad preto nemôžeme špecifikovať hodnotu výrazu 3:(2−2) . Takéto číselné výrazy sa nazývajú výrazy, ktoré nedávajú zmysel.
V praxi často nie je zaujímavé ani tak číselné vyjadrenie, ako jeho hodnota. To znamená, že vzniká úloha, ktorá spočíva v určení hodnoty tohto výrazu. V tomto prípade zvyčajne hovoria, že musíte nájsť hodnotu výrazu. V tomto článku je podrobne analyzovaný proces hľadania hodnoty číselných výrazov rôznych typov a uvažuje sa o množstve príkladov s podrobným popisom riešení.
Význam doslovných a premenných výrazov
Okrem číselných výrazov študujú doslovné výrazy, teda výrazy, v ktorých je spolu s číslami prítomné jedno alebo viac písmen. Písmená v doslovnom výraze môžu znamenať rôzne čísla, a ak sú písmená nahradené týmito číslami, potom sa doslovný výraz stane číselným.
Definícia.
Čísla, ktoré nahrádzajú písmená v doslovnom výraze, sa nazývajú význam týchto písmen, a hodnota výsledného číselného výrazu sa nazýva hodnota doslovného výrazu daná hodnotami písmen.
Takže pri doslovných výrazoch sa hovorí nielen o význame doslovného výrazu, ale aj o význame doslovného výrazu pre dané (dané, naznačené atď.) hodnoty písmen.
Vezmime si príklad. Zoberme si doslovný výraz 2·a+b . Nech sú uvedené hodnoty písmen a a b, napríklad a=1 a b=6. Nahradením písmen v pôvodnom výraze ich hodnotami dostaneme číselné vyjadrenie v tvare 2 1+6 , jeho hodnota je 8 . Číslo 8 je teda hodnotou doslovného výrazu 2·a+b vzhľadom na hodnoty písmen a=1 a b=6. Ak by boli zadané iné hodnoty písmen, dostali by sme hodnotu doslovného výrazu pre tieto hodnoty písmen. Napríklad pri a=5 a b=1 máme hodnotu 2 5+1=11 .
Na strednej škole pri štúdiu algebry môžu písmená v doslovných výrazoch nadobúdať rôzne významy, takéto písmená sa nazývajú premenné a doslovné výrazy sa nazývajú výrazy s premennými. Pre tieto výrazy je pre zvolené hodnoty premenných zavedený pojem hodnoty výrazu s premennými. Poďme zistiť, čo to je.
Definícia.
Hodnota výrazu s premennými pre vybrané hodnoty premenných volá sa hodnota číselného výrazu, ktorý sa získa po dosadení vybraných hodnôt premenných do pôvodného výrazu.
Vysvetlime znejúcu definíciu na príklade. Uvažujme výraz s premennými x a y v tvare 3·x·y+y . Zoberme si x=2 a y=4 , dosaďte tieto hodnoty premenných do pôvodného výrazu, dostaneme číselný výraz 3 2 4+4 . Vypočítajme hodnotu tohto výrazu: 3 2 4+4=24+4=28 . Nájdená hodnota 28 je hodnota pôvodného výrazu s premennými 3·x·y+y s vybranými hodnotami premenných x=2 a y=4 .
Ak zvolíte iné hodnoty premenných, napríklad x=5 a y=0, potom tieto vybrané hodnoty premenných budú zodpovedať hodnote výrazu s premennými rovnými 3 5 0+0=0.
Je možné poznamenať, že niekedy je možné získať rovnaké hodnoty výrazu pre rôzne zvolené hodnoty premenných. Napríklad pre x=9 a y=1 je hodnota výrazu 3 x y+y 28 (pretože 3 9 1+1=27+1=28 ) a vyššie sme ukázali, že tá istá hodnota je výraz s premenné má pri x=2 a y=4 .
Premenné hodnoty je možné vybrať z ich príslušných rozsahy prijateľných hodnôt. V opačnom prípade nahradenie hodnôt týchto premenných do pôvodného výrazu bude mať za následok číselný výraz, ktorý nedáva zmysel. Ak napríklad zvolíte x=0 a dosadíte túto hodnotu do výrazu 1/x , dostanete číselný výraz 1/0 , čo nedáva zmysel, pretože delenie nulou nie je definované.
Zostáva len dodať, že existujú výrazy s premennými, ktorých hodnoty nezávisia od hodnôt ich základných premenných. Napríklad hodnota výrazu s premennou x v tvare 2+x−x nezávisí od hodnoty tejto premennej, je rovná 2 pre ľubovoľnú zvolenú hodnotu premennej x z jej rozsahu platných hodnôt, čo je v tomto prípade množina všetkých reálnych čísel.
Bibliografia.
- Matematika: štúdium. pre 5 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: chor. ISBN 5-346-00699-0.
- algebra: učebnica pre 7 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Vzorec
Sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie - aritmetické operácie (príp aritmetické operácie). Tieto aritmetické operácie zodpovedajú znakom aritmetických operácií:
+ (čítať " plus") - znak operácie sčítania,
- (čítať " mínus") - znak operácie odčítania,
∙ (čítať " množiť") - znak operácie násobenia,
: (čítať " rozdeliť") je znakom operácie delenia.
Vyvolá sa záznam pozostávajúci z čísel prepojených znamienkami aritmetických operácií číselné vyjadrenie. Zátvorky sa môžu nachádzať aj v číselnom výraze. Napríklad položka 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) je číselný výraz.
Výsledok vykonávania operácií s číslami v číselnom vyjadrení je tzv hodnotu číselného výrazu. Vykonanie týchto akcií sa nazýva výpočet hodnoty číselného výrazu. Pred napísaním hodnoty číselného výrazu vložte rovnaké znamienko"=". Tabuľka 1 ukazuje príklady číselných výrazov a ich význam.
Záznam pozostávajúci z čísel a malých písmen latinskej abecedy, prepojených znakmi aritmetických operácií, sa nazýva tzv. doslovný výraz. Tento záznam môže obsahovať zátvorky. Napríklad vstup +b - 3 ∙c je doslovný výraz. Namiesto písmen v doslovnom výraze môžete nahradiť rôzne čísla. V tomto prípade sa význam písmen môže meniť, preto sa nazývajú aj písmená v doslovnom vyjadrení premenné.
Nahradením čísel namiesto písmen do doslovného výrazu a vypočítaním hodnoty výsledného číselného výrazu zistia hodnota doslovného výrazu daná hodnotami písmen(pre dané hodnoty premenných). Tabuľka 2 ukazuje príklady doslovných výrazov.
Doslovný výraz nemusí mať hodnotu, ak sa nahradením hodnôt písmen získa číselný výraz, ktorého hodnotu pre prirodzené čísla nemožno nájsť. Takýto číselný výraz je tzv nesprávne pre prirodzené čísla. Tiež hovoria, že význam takéhoto výrazu " nedefinované" pre prirodzené čísla a samotný výraz "nemá zmysel". Napríklad doslovný výraz a-b nezáleží na a = 10 a b = 17. V skutočnosti pre prirodzené čísla nemôže byť minuend menší ako podtrahend. Napríklad, ak máte len 10 jabĺk (a = 10), nemôžete ich rozdať 17 (b = 17)!
Tabuľka 2 (stĺpec 2) zobrazuje príklad doslovného výrazu. Analogicky vyplňte tabuľku úplne.
Pre prirodzené čísla výraz 10 -17 zle (nedáva zmysel), t.j. rozdiel 10 -17 nemožno vyjadriť ako prirodzené číslo. Ďalší príklad: nemôžete deliť nulou, takže pre akékoľvek prirodzené číslo b je kvocient b:0 nedefinované.
Matematické zákony, vlastnosti, niektoré pravidlá a pomery sú často zapísané v doslovnej forme (t. j. vo forme doslovného výrazu). V týchto prípadoch sa doslovný výraz nazýva tzv vzorec. Napríklad, ak sú strany sedemuholníka rovnaké a,b,c,d,e,f,g, potom vzorec (doslovný výraz) na výpočet jeho obvodu p vyzerá ako:
p=+b+c +d+e +f +g
Pre a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9 je obvod sedemuholníka p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 33.
Pre a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18 je obvod ďalšieho sedemuholníka p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.
Blok 1. Slovník
Vytvorte si slovník nových pojmov a definícií z odseku. Ak to chcete urobiť, do prázdnych buniek zadajte slová zo zoznamu výrazov nižšie. V tabuľke (na konci bloku) uveďte počty termínov v súlade s číslami rámcov. Pred vyplnením buniek slovníka sa odporúča dôkladne si prečítať odsek.
- Operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.
2. Znamienka "+" (plus), "-" (mínus), "∙" (násobenie, " : “ (rozdeliť).
3. Záznam pozostávajúci z čísel, ktoré sú vzájomne prepojené znamienkami aritmetických operácií av ktorých môžu byť aj zátvorky.
4. Výsledok vykonávania operácií s číslami v číselnom vyjadrení.
5. Znamienko pred hodnotou číselného výrazu.
6. Záznam pozostávajúci z číslic a malých písmen latinskej abecedy, ktoré sú navzájom prepojené znakmi aritmetických operácií (môžu byť prítomné aj zátvorky).
7. Bežný názov písmen v doslovnom vyjadrení.
8. Hodnota číselného výrazu, ktorý sa získa dosadením premenných do doslovného výrazu.
9. Číselný výraz, ktorého hodnotu pre prirodzené čísla nemožno nájsť.
10. Číselný výraz, ktorého hodnotu pre prirodzené čísla možno nájsť.
11. Matematické zákony, vlastnosti, niektoré pravidlá a pomery písané v doslovnej forme.
12. Abeceda, ktorej malé písmená sa používajú na písanie doslovných výrazov.
Blok 2. Zápas
Spojte úlohu v ľavom stĺpci s riešením v pravom. Odpoveď zapíšte v tvare: 1a, 2d, 3b ...
Blok 3. Fazetový test. Číselné a abecedné výrazy
Fazetové testy nahrádzajú zbierky úloh z matematiky, ale priaznivo sa s nimi porovnávajú v tom, že ich možno vyriešiť na počítači, skontrolovať riešenia a okamžite zistiť výsledok práce. Tento test obsahuje 70 úloh. Problémy však môžete vyriešiť výberom, na to existuje hodnotiaca tabuľka, ktorá obsahuje jednoduché a zložitejšie úlohy. Nižšie je uvedený test.
- Daný trojuholník so stranami c,d,m, vyjadrené v cm
- Daný štvoruholník so stranami b,c,d,m vyjadrené v m
- Rýchlosť auta v km/h je b,čas cesty v hodinách je d
- Vzdialenosť prejdená turistom m hodiny, je s km
- Vzdialenosť, ktorú prejde turista pohybujúci sa rýchlosťou m km/h je b km
- Súčet dvoch čísel je väčší ako druhé číslo o 15
- Rozdiel je menší ako znížený o 7
- Vložka pre cestujúcich má dve paluby s rovnakým počtom sedadiel pre cestujúcich. V každom z palubných radov m sedadlá, rady na palube zapnuté n viac ako sedadiel v rade
- Peťa má m rokov, Masha má n rokov a Káťa je o 0 rokov mladšia ako Peťa a Masha spolu
- m = 8, n = 10, k = 5
- m = 6, n = 8, k = 15
- t = 121, x = 1458
- Hodnota tohto výrazu
- Doslovný výraz pre obvod je
- Obvod vyjadrený v centimetroch
- Vzorec pre vzdialenosť s prejdenú autom
- Rýchlostný vzorec v, turistické pohyby
- Časový vzorec t, turistické pohyby
- Vzdialenosť prejdená autom v kilometroch
- Turistická rýchlosť v kilometroch za hodinu
- Čas cesty v hodinách
- Prvé číslo je...
- Odčítané rovná sa….
- Výraz pre najväčší počet cestujúcich, ktorých môže parník prepraviť k lety
- Najväčší počet cestujúcich, ktorých môže lietadlo prepraviť k lety
- Písmenový výraz na Katyin vek
- Katyin vek
- Súradnica bodu B, ak je súradnica bodu C t
- Súradnica bodu D, ak je súradnica bodu C t
- Súradnica bodu A, ak je súradnica bodu C t
- Dĺžka segmentu BD na číselnej osi
- Dĺžka segmentu CA na číselnej osi
- Dĺžka segmentu DA na číselnej osi
Číselný výraz je záznam čísel v spojení s aritmetickými operáciami a zátvorkami. Keď sa premenné používajú vo výraze spolu s číslami a celý výraz je zložený s významom, nazýva sa to algebraický (doslovný) výraz. Ak výraz obsahuje priame, derivačné, inverzné a iné goniometrické funkcie, potom sa výraz nazýva goniometrický. Veľký počet príkladov a úloh s použitím rôznych výrazov je podrobne popísaný v školskom kurze matematiky.
Hlavné veci na zapamätanie:
1. Hodnota číselného výrazu bude číslo získané vykonaním aritmetických operácií v tomto výraze. Hlavná vec je dôsledne vykonávať aritmetické operácie. Pre jednoduchosť celej operácie je možné kroky očíslovať. Ak výraz obsahuje zátvorky, potom najskôr vykonáme akciu zodpovedajúcu znaku v zátvorkách. Ďalším krokom bude umocnenie. Ďalej prioritne vykonávame násobenie alebo delenie a až na samom konci sčítanie a odčítanie.
Teraz nájdime hodnotu číselného výrazu 5+20*(60-45). Najprv sa zbavme zátvoriek. Vykonaním akcie dostaneme 60-45=15. Teraz máme 5+20*15. Ďalšou akciou je násobenie 20*15=300. A posledná akcia bude sčítanie, vykonáme to a dostaneme konečný výsledok 5 + 300 = 305.
2. V známom uhle? Pri práci s goniometrickými výrazmi budete potrebovať znalosť základných goniometrických vzorcov, ktoré vám pomôžu výraz zjednodušiť. Nájdeme hodnotu výrazu cos 12? pretože 18? - hriech 12? hriech 18?. Na zjednodušenie tohto výrazu použijeme vzorec cos (? +?) = cos? pretože - hriech? hriech?, potom dostaneme cos 12? pretože 18? - hriech 12? hriech 18?= cos(12? +18?)= cos30? =v3?2.
3. Výrazy s premennými. Je potrebné si uvedomiť, že hodnota algebraického výrazu priamo závisí od premennej. Premenné môžu byť označené písmenami gréckej alebo latinskej abecedy. Keď máme dané parametre algebraického výrazu, musíme ho najskôr zjednodušiť. Potom je potrebné dosadiť dané premenné a vykonať aritmetické operácie. Výsledkom je, že s danými premennými dostaneme číslo, ktoré bude hodnotou algebraického výrazu. Uvažujme o príklade, kde potrebujete nájsť hodnotu výrazu 3(a+y)+2(3a+2y) s a=4 a y=5. Zjednodušte tento výraz a získajte 3a+3y+6a+4y=9a+7y. Teraz musíte nahradiť hodnotu premenných a vypočítať, získaný výsledok bude hodnotou výrazu. Takže máme 9a+7y s a=4 a y=5 dostaneme 36+35=71. Všimnite si, že algebraické výrazy nie vždy dávajú zmysel. Napríklad výraz 15:(b-4) dáva zmysel pre každé b iné ako b =4.
Tento článok popisuje, ako nájsť hodnoty matematických výrazov. Začnime jednoduchými číselnými výrazmi a potom budeme uvažovať o prípadoch, keď sa ich zložitosť zvýši. Na konci uvádzame výraz obsahujúci označenie písmen, zátvorky, korene, špeciálne matematické znaky, stupne, funkcie atď. Celá teória bude podľa tradície vybavená bohatými a podrobnými príkladmi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ako zistiť hodnotu číselného výrazu?
Číselné výrazy okrem iného pomáhajú opísať stav problému v matematickom jazyku. Vo všeobecnosti môžu byť matematické výrazy buď veľmi jednoduché, pozostávajúce z dvojice čísel a aritmetických znamienok, alebo veľmi zložité, obsahujúce funkcie, stupne, korene, zátvorky atď. V rámci úlohy je často potrebné nájsť hodnotu výrazu. Ako to urobiť, bude diskutované nižšie.
Najjednoduchšie prípady
Ide o prípady, keď výraz neobsahuje nič iné ako čísla a aritmetiku. Na úspešné nájdenie hodnôt takýchto výrazov budete potrebovať znalosti o poradí, v ktorom sa vykonávajú aritmetické operácie bez zátvoriek, ako aj schopnosť vykonávať operácie s rôznymi číslami.
Ak výraz obsahuje iba čísla a aritmetické znamienka " + " , " · " , " - " , " ÷ " , operácie sa vykonávajú zľava doprava v tomto poradí: najprv násobenie a delenie, potom sčítanie a odčítanie. Uveďme si príklady.
Príklad 1. Hodnota číselného výrazu
Nech je potrebné nájsť hodnoty výrazu 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 .
Najprv urobme násobenie a delenie. Dostaneme:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .
Teraz odpočítame a získame konečný výsledok:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Príklad 2. Hodnota číselného výrazu
Vypočítajme: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .
Najprv vykonáme prevod zlomkov, delenie a násobenie:
0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .
Teraz urobme sčítanie a odčítanie. Zoskupíme zlomky a privedieme ich k spoločnému menovateľovi:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Nájde sa požadovaná hodnota.
Výrazy so zátvorkami
Ak výraz obsahuje zátvorky, potom určujú poradie akcií v tomto výraze. Najprv sa vykonajú akcie v zátvorkách a potom všetky ostatné. Ukážme si to na príklade.
Príklad 3. Hodnota číselného výrazu
Nájdite hodnotu výrazu 0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) .
Výraz obsahuje zátvorky, takže najskôr vykonáme operáciu odčítania v zátvorkách a až potom násobenie.
0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.
Hodnota výrazov obsahujúcich zátvorky v zátvorkách sa zistí podľa rovnakého princípu.
Príklad 4. Hodnota číselného výrazu
Vypočítajme hodnotu 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .
Vykonáme akcie od najvnútornejších zátvoriek až po vonkajšie.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
Pri hľadaní hodnôt výrazov v zátvorkách je hlavnou vecou sledovať postupnosť akcií.
Výrazy s koreňmi
Matematické výrazy, ktorých hodnoty musíme nájsť, môžu obsahovať koreňové znaky. Okrem toho samotný výraz môže byť pod znamienkom koreňa. Ako byť v takom prípade? Najprv musíte nájsť hodnotu výrazu pod koreňom a potom extrahovať koreň z výsledného čísla. Ak je to možné, je lepšie zbaviť sa koreňov v číselných výrazoch a nahradiť ich číselnými hodnotami.
Príklad 5. Hodnota číselného výrazu
Vypočítajme hodnotu výrazu s odmocninami - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .
Najprv vypočítame radikálne výrazy.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Teraz môžeme vypočítať hodnotu celého výrazu.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5
Na nájdenie hodnoty výrazu s koreňmi je často potrebné najprv transformovať pôvodný výraz. Vysvetlime si to na inom príklade.
Príklad 6. Hodnota číselného výrazu
Koľko je 3 + 1 3 - 1 - 1
Ako vidíte, nemáme možnosť nahradiť koreň presnou hodnotou, čo komplikuje proces počítania. V tomto prípade však môžete použiť skrátený vzorec násobenia.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
takto:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Výrazy s mocnosťami
Ak výraz obsahuje mocniny, ich hodnoty sa musia vypočítať pred pokračovaním vo všetkých ostatných akciách. Stáva sa, že samotný exponent alebo základ stupňa sú výrazy. V tomto prípade sa najskôr vypočíta hodnota týchto výrazov a až potom hodnota stupňa.
Príklad 7. Hodnota číselného výrazu
Nájdite hodnotu výrazu 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .
Začneme počítať v poradí.
2 3 4 – 10 = 2 12 – 10 = 2 2 = 4
16 1 – 1 2 3, 5 – 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.
Zostáva iba vykonať operáciu sčítania a zistiť hodnotu výrazu:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .
Často je tiež vhodné zjednodušiť výraz pomocou vlastností stupňa.
Príklad 8. Hodnota číselného výrazu
Vypočítajme hodnotu nasledujúceho výrazu: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .
Exponenty sú opäť také, že nie je možné získať ich presné číselné hodnoty. Zjednodušte pôvodný výraz, aby ste našli jeho hodnotu.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Výrazy so zlomkami
Ak výraz obsahuje zlomky, potom pri výpočte takéhoto výrazu musia byť všetky zlomky v ňom vyjadrené ako obyčajné zlomky a ich hodnoty sa musia vypočítať.
Ak sú v čitateli a menovateli zlomku výrazy, najprv sa vypočítajú hodnoty týchto výrazov a zaznamená sa konečná hodnota samotného zlomku. Aritmetické operácie sa vykonávajú v štandardnom poradí. Uvažujme o príklade riešenia.
Príklad 9. Hodnota číselného výrazu
Nájdite hodnotu výrazu obsahujúceho zlomky: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .
Ako vidíte, v pôvodnom výraze sú tri zlomky. Najprv vypočítajme ich hodnoty.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .
Prepíšme náš výraz a vypočítajme jeho hodnotu:
1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1
Pri hľadaní hodnôt výrazov je často vhodné zmenšiť zlomky. Existuje nevyslovené pravidlo: pred zistením jeho hodnoty je najlepšie zjednodušiť akýkoľvek výraz na maximum a zredukovať všetky výpočty na najjednoduchšie prípady.
Príklad 10. Hodnota číselného výrazu
Vypočítajme výraz 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Nemôžeme úplne extrahovať koreň päťky, ale môžeme zjednodušiť pôvodný výraz pomocou transformácií.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
Pôvodný výraz má tvar:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Vypočítajme hodnotu tohto výrazu:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Výrazy s logaritmami
Ak sú vo výraze prítomné logaritmy, ich hodnota, ak je to možné, sa počíta od úplného začiatku. Napríklad vo výraze log 2 4 + 2 4 môžete okamžite zapísať hodnotu tohto logaritmu namiesto log 2 4 a potom vykonať všetky akcie. Dostaneme: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .
Číselné výrazy možno nájsť aj pod znamienkom logaritmu a na jeho základe. V tomto prípade je prvým krokom zistenie ich hodnôt. Zoberme si výraz log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Máme:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .
Ak nie je možné vypočítať presnú hodnotu logaritmu, zjednodušenie výrazu pomôže nájsť jeho hodnotu.
Príklad 11. Hodnota číselného výrazu
Nájdite hodnotu výrazu log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .
log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .
Podľa vlastnosti logaritmov:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .
Opäť použitím vlastností logaritmov pre posledný zlomok vo výraze dostaneme:
log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .
Teraz môžete pristúpiť k výpočtu hodnoty pôvodného výrazu.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .
Výrazy s goniometrickými funkciami
Stáva sa, že vo výraze sú goniometrické funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens, ako aj funkcie, ktoré sú k nim inverzné. Z hodnoty sa vypočítajú pred vykonaním všetkých ostatných aritmetických operácií. V opačnom prípade je výraz zjednodušený.
Príklad 12. Hodnota číselného výrazu
Nájdite hodnotu výrazu: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Najprv vypočítame hodnoty goniometrických funkcií zahrnutých vo výraze.
hriech - 5 π 2 \u003d - 1
Nahraďte hodnoty vo výraze a vypočítajte jeho hodnotu:
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.
Hodnota výrazu sa nájde.
Aby sme našli hodnotu výrazu s goniometrickými funkciami, musíme ho často najskôr previesť. Vysvetlíme si to na príklade.
Príklad 13. Hodnota číselného výrazu
Je potrebné nájsť hodnotu výrazu cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
Na transformáciu použijeme trigonometrické vzorce pre kosínus dvojitého uhla a kosínus súčtu.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 -1 cos 1 - 1 = 0.
Všeobecný prípad číselného výrazu
Vo všeobecnom prípade môže goniometrický výraz obsahovať všetky vyššie opísané prvky: zátvorky, stupne, korene, logaritmy, funkcie. Sformulujme všeobecné pravidlo na nájdenie hodnôt takýchto výrazov.
Ako nájsť hodnotu výrazu
- Odmocniny, mocniny, logaritmy atď. sú nahradené ich hodnotami.
- Vykonajú sa akcie v zátvorkách.
- Zostávajúce kroky sa vykonávajú v poradí zľava doprava. Najprv - násobenie a delenie, potom - sčítanie a odčítanie.
Vezmime si príklad.
Príklad 14. Hodnota číselného výrazu
Vypočítajme, aká je hodnota výrazu - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .
Výraz je dosť zložitý a ťažkopádny. Nie náhodou sme vybrali práve takýto príklad a snažili sme sa doň vtesnať všetky vyššie opísané prípady. Ako zistiť hodnotu takéhoto výrazu?
Je známe, že pri výpočte hodnoty komplexnej zlomkovej formy sa najprv samostatne nachádzajú hodnoty čitateľa a menovateľa zlomku. Tento výraz budeme postupne transformovať a zjednodušovať.
Najprv vypočítame hodnotu radikálového výrazu 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť hodnotu sínusu a výraz, ktorý je argumentom goniometrickej funkcie.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Teraz môžete zistiť hodnotu sínusu:
sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .
Vypočítame hodnotu radikálneho výrazu:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
So menovateľom zlomku je všetko jednoduchšie:
Teraz môžeme zapísať hodnotu celého zlomku:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.
S ohľadom na to napíšeme celý výraz:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Konečný výsledok:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
V tomto prípade sme dokázali vypočítať presné hodnoty koreňov, logaritmov, sínusov atď. Ak to nie je možné, môžete sa ich pokúsiť zbaviť matematickými transformáciami.
Počítanie výrazov racionálnymi spôsobmi
Číselné hodnoty musia byť vypočítané konzistentne a presne. Tento proces je možné racionalizovať a urýchliť využitím rôznych vlastností operácií s číslami. Napríklad je známe, že súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Vzhľadom na túto vlastnosť môžeme okamžite povedať, že výraz 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 sa rovná nule. V tomto prípade nie je vôbec potrebné vykonávať kroky v poradí popísanom v článku vyššie.
Je tiež vhodné použiť vlastnosť odčítania rovnakých čísel. Bez vykonania akýchkoľvek úkonov je možné nariadiť, aby hodnota výrazu 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 bola tiež rovná nule.
Ďalšou technikou, ktorá vám umožňuje urýchliť proces, je použitie identických transformácií, ako je zoskupovanie výrazov a faktorov a vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek. Racionálnym prístupom k výpočtu výrazov so zlomkami je zredukovať rovnaké výrazy v čitateli a menovateli.
Vezmime si napríklad výraz 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Bez vykonania akcií v zátvorkách, ale zmenšením zlomku môžeme povedať, že hodnota výrazu je 1 3 .
Hľadanie hodnôt výrazov s premennými
Hodnota doslovného výrazu a výrazu s premennými sa nachádza pre konkrétne dané hodnoty písmen a premenných.
Hľadanie hodnôt výrazov s premennými
Ak chcete nájsť hodnotu doslovného výrazu a výrazu s premennými, musíte dané hodnoty písmen a premenných nahradiť pôvodným výrazom a potom vypočítať hodnotu výsledného číselného výrazu.
Príklad 15. Hodnota výrazu s premennými
Vypočítajte hodnotu výrazu 0, 5 x - y za predpokladu x = 2 , 4 a y = 5 .
Hodnoty premenných dosadíme do výrazu a vypočítame:
0,5 x - y = 0, 5 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3,8.
Niekedy je možné transformovať výraz tak, aby získal jeho hodnotu bez ohľadu na hodnoty písmen a premenných, ktoré sú v ňom obsiahnuté. Na to je potrebné zbaviť sa písmen a premenných vo výraze, ak je to možné, pomocou rovnakých transformácií, vlastností aritmetických operácií a všetkých možných iných metód.
Napríklad výraz x + 3 - x má samozrejme hodnotu 3 a na výpočet tejto hodnoty nie je potrebné poznať hodnotu x. Hodnota tohto výrazu sa rovná trom pre všetky hodnoty premennej x z jej rozsahu platných hodnôt.
Ešte jeden príklad. Hodnota výrazu x x sa rovná jednej pre všetky kladné x.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Vy, ako rodičia, budete v procese vyučovania svojho dieťaťa často čeliť potrebe pomoci pri riešení domácich úloh z matematiky, algebry a geometrie. A jednou zo základných zručností, ktoré sa musíte naučiť, je nájsť hodnotu výrazu. Mnohí sa zastavia, pretože koľko rokov prešlo odvtedy, čo sme boli v 3. – 5. ročníku? Veľa sa už zabudlo, ale niečo sa nenaučilo. Samotné pravidlá matematických operácií sú jednoduché a ľahko si ich zapamätáte. Začnime od úplných základov toho, čo je matematický výraz.
Definícia výrazu
Matematický výraz - množina čísel, akčných znakov (=, +, -, *, /), zátvoriek, premenných. Stručne povedané, toto je vzorec, ktorého hodnotu bude potrebné nájsť. Takéto vzorce sa práve nachádzajú v kurze matematiky od školy a potom prenasledujú študentov, ktorí si vybrali špeciality súvisiace s exaktnými vedami. Matematické výrazy sa delia na trigonometrické, algebraické a tak ďalej, nebudeme zabiehať do úplne „divokých“.
- Vykonajte výpočty najskôr na koncepte a potom ho prepíšte do zošita. Vyhnete sa tak zbytočnému prečiarknutiu a nečistotám;
- Prepočítajte celkový počet matematických operácií, ktoré bude potrebné vykonať vo výraze. Upozorňujeme, že podľa pravidiel sa najskôr vykonávajú operácie v zátvorkách, potom delenie a násobenie a na samom konci odčítanie a sčítanie. Odporúčame, aby ste všetky akcie zvýraznili ceruzkou a nad akcie umiestnili čísla v poradí, v akom sa vykonávajú. V tomto prípade bude pre vás a dieťa jednoduchšie navigovať;
- Začnite robiť výpočty striktne v súlade s poradím, v ktorom sa akcie vykonávajú. Nechajte dieťa, ak je výpočet jednoduchý, skúsi to urobiť v duchu, ale ak je to ťažké, dajte do ceruzky číslo zodpovedajúce poradovej číslu výrazu a urobte výpočet písomne pod vzorcom;
- Spravidla nie je ťažké nájsť hodnotu jednoduchého výrazu, ak sa všetky výpočty vykonajú v súlade s pravidlami a správnym poradím. Väčšina sa v tejto fáze stretáva s problémom nájsť hodnotu výrazu, takže buďte opatrní a nerobte chyby;
- Zakážte si kalkulačku. Samotné matematické vzorce a úlohy nemusia byť pre vaše dieťa užitočné, ale to nie je účelom štúdia predmetu. Hlavná vec je rozvoj logického myslenia. Ak použijete kalkulačky, význam všetkého sa stratí;
- Vašou úlohou ako rodiča nie je riešiť problémy za dieťa, ale pomáhať mu v tom, usmerňovať ho. Nechajte ho, aby si urobil všetky výpočty sám, a vy sa uistite, že nerobí chyby, vysvetlite, prečo to musíte urobiť takto a nie inak.
- Po nájdení odpovede na výraz ju zapíšte za znak "=";
- Otvorte poslednú stranu učebnice matematiky. Zvyčajne sú v knihe odpovede na každé cvičenie. Neprekáža pri kontrole, či je všetko vypočítané správne.
Zistenie hodnoty výrazu je na jednej strane jednoduchý postup, hlavné je zapamätať si základné pravidlá, ktorými sme si prešli na školskom kurze matematiky. Avšak na druhej strane, keď potrebujete pomôcť svojmu dieťatku vyrovnať sa s umelou výživou a riešením problémov, problém sa skomplikuje. Teraz nie ste študent, ale učiteľ a na vašich pleciach leží výchova budúceho Einsteina.
Dúfame, že náš článok vám pomohol nájsť odpoveď na otázku, ako nájsť hodnotu výrazu, a môžete ľahko zistiť akýkoľvek vzorec!
