Aby ste pochopili, čo je základný rozhodovací systém môžete si pozrieť videonávod pre rovnaký príklad kliknutím na . Teraz prejdime k popisu všetkých potrebných prác. To vám pomôže podrobnejšie pochopiť podstatu tohto problému.
Ako nájsť základný systém riešení lineárnej rovnice?
Zoberme si napríklad nasledujúci systém lineárnych rovníc:
Poďme nájsť riešenie tohto lineárneho systému rovníc. Na začiatok my zapíšte maticu koeficientov systému.
Transformujme túto maticu na trojuholníkovú. Prvý riadok prepíšeme bez zmien. A všetky prvky, ktoré sú pod $a_(11)$, musia byť vynulované. Ak chcete vytvoriť nulu na mieste prvku $a_(21)$, musíte odpočítať prvý od druhého riadku a napísať rozdiel do druhého riadku. Ak chcete vytvoriť nulu na mieste prvku $a_(31)$, musíte odpočítať prvý od tretieho riadku a rozdiel zapísať do tretieho riadku. Ak chcete vytvoriť nulu na mieste prvku $a_(41)$, musíte odpočítať prvé vynásobené 2 od štvrtého riadku a napísať rozdiel do štvrtého riadku. Ak chcete urobiť nulu na mieste prvku $a_(31)$, musíte od piateho riadku odpočítať prvé vynásobené 2 a do piateho riadku zapísať rozdiel. 
Prvý a druhý riadok prepíšeme bez zmien. A všetky prvky, ktoré sú pod $a_(22)$, musia byť vynulované. Ak chcete vytvoriť nulu na mieste prvku $a_(32)$, musíte od tretieho riadku odpočítať druhý vynásobený 2 a rozdiel zapísať do tretieho riadku. Ak chcete vytvoriť nulu na mieste prvku $a_(42)$, musíte od štvrtého riadku odpočítať sekundu vynásobenú 2 a napísať rozdiel do štvrtého riadku. Ak chcete vytvoriť nulu na mieste prvku $a_(52)$, odpočítajte sekundu vynásobenú 3 od piateho riadku a napíšte rozdiel do piateho riadku. 
To vidíme posledné tri riadky sú rovnaké, takže ak odpočítate tretiu od štvrtej a piatej, stanú sa nulou. 
Pre túto matricu napíšte nový systém rovníc.
Vidíme, že máme len tri lineárne nezávislé rovnice a päť neznámych, takže základný systém riešení bude pozostávať z dvoch vektorov. Takže my posuňte posledné dve neznáme doprava.
Teraz začneme vyjadrovať tie neznáme, ktoré sú na ľavej strane, cez tie, ktoré sú na pravej strane. Začneme poslednou rovnicou, najprv vyjadríme $x_3$, potom získaný výsledok dosadíme do druhej rovnice a vyjadríme $x_2$ a potom do prvej rovnice a tu vyjadríme $x_1$. Vyjadrili sme teda všetky neznáme, ktoré sú na ľavej strane, cez neznáme, ktoré sú na pravej strane. 
Potom namiesto $x_4$ a $x_5$ môžete nahradiť ľubovoľné čísla a nájsť $x_1$, $x_2$ a $x_3$. Každých takýchto päť čísel bude koreňmi nášho pôvodného systému rovníc. Ak chcete nájsť vektory, ktoré sú zahrnuté v FSR musíme nahradiť 1 namiesto $x_4$ a nahradiť 0 namiesto $x_5$, nájsť $x_1$, $x_2$ a $x_3$ a potom naopak $x_4=0$ a $x_5=1$.
Budeme pokračovať v leštení techniky elementárne transformácie na homogénna sústava lineárnych rovníc.
Materiál môže podľa prvých odstavcov pôsobiť nudne a obyčajne, no tento dojem klame. Okrem ďalšieho vývoja techník bude veľa nových informácií, preto sa snažte nezanedbávať príklady v tomto článku.
Čo je homogénna sústava lineárnych rovníc?
Odpoveď sa ponúka sama. Systém lineárnych rovníc je homogénny, ak je voľný člen každý systémová rovnica je nulová. Napríklad:
To je úplne jasné homogénny systém je vždy konzistentný, teda vždy má riešenie. A v prvom rade tzv triviálne rozhodnutie 
. Triviálne, pre tých, ktorí vôbec nechápu význam prídavného mena, znamená bespontovoe. Nie akademicky, samozrejme, ale zrozumiteľne =) ... Načo sa motať okolo, poďme zistiť, či má tento systém nejaké iné riešenia:
Príklad 1
rozhodnutie: na riešenie homogénnej sústavy je potrebné napísať systémová matica a pomocou elementárnych transformácií ho priviesť do stupňovitej podoby. Všimnite si, že tu nie je potrebné zapisovať zvislý pruh a nulový stĺpec voľných členov - koniec koncov, bez ohľadu na to, čo robíte s nulami, zostanú nulové: 
(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený -2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -3.
(2) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -1.
Deliť tretí riadok 3 nedáva veľký zmysel.
V dôsledku elementárnych transformácií sa získa ekvivalentný homogénny systém 
a použitím spätného pohybu Gaussovej metódy je ľahké overiť, že riešenie je jedinečné.
Odpoveď: 
Sformulujme jasné kritérium: homogénna sústava lineárnych rovníc má len triviálne riešenie, ak systémová matica hodnosť(v tomto prípade 3) sa rovná počtu premenných (v tomto prípade 3 ks).
Zohrievame a ladíme naše rádio na vlnu elementárnych premien:
Príklad 2
Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc 
Aby sme konečne opravili algoritmus, analyzujme poslednú úlohu:
Príklad 7
Vyriešte homogénnu sústavu, odpoveď napíšte vo vektorovej forme. 
rozhodnutie: napíšeme maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju dostaneme do stupňovitého tvaru: 
(1) Znamienko prvého riadku bolo zmenené. Opäť upozorňujem na opakovane sa stretávajúcu techniku, ktorá vám umožňuje výrazne zjednodušiť nasledujúci úkon.
(1) Prvý riadok bol pridaný k 2. a 3. riadku. Prvý riadok vynásobený 2 bol pridaný k 4. riadku.
(3) Posledné tri riadky sú pomerné, dva z nich boli vypustené.
V dôsledku toho sa získa štandardná kroková matica a riešenie pokračuje pozdĺž vrúbkovanej dráhy:
– základné premenné;
sú voľné premenné.
Základné premenné vyjadrujeme pomocou voľných premenných. Z druhej rovnice:
- nahradiť v 1. rovnici:
Takže všeobecné riešenie je:
Keďže v uvažovanom príklade sú tri voľné premenné, základný systém obsahuje tri vektory.
Nahraďte trojnásobok hodnôt 
do všeobecného riešenia a získajte vektor, ktorého súradnice spĺňajú každú rovnicu homogénneho systému. A opäť opakujem, že je veľmi žiaduce skontrolovať každý prijatý vektor - nezaberie to toľko času, ale stopercentne ušetrí chyby.
Pre trojnásobok hodnôt 
nájsť vektor
A nakoniec pre trojku 
dostaneme tretí vektor:
Odpoveď: , kde
Tí, ktorí sa chcú vyhnúť zlomkovým hodnotám, môžu zvážiť triplety 
a získajte odpoveď v ekvivalentnom tvare:
Keď už hovoríme o zlomkoch. Pozrime sa na maticu získanú v úlohe 
a polož si otázku - je možné zjednodušiť ďalšie riešenie? Napokon, najprv sme základnú premennú vyjadrili v zlomkoch, potom základnú premennú v zlomkoch a musím povedať, že tento proces nebol najjednoduchší a nie najpríjemnejší.
Druhé riešenie:
Cieľom je vyskúšať vyberte iné základné premenné. Pozrime sa na maticu a všimnime si dve jednotky v treťom stĺpci. Tak prečo nedostať nulu na vrchole? Urobme ešte jednu elementárnu transformáciu:
Homogénny systém je vždy konzistentný a má triviálne riešenie 
. Aby mohlo existovať netriviálne riešenie, je potrebné, aby bola matica hodnosť 
bol menší ako počet neznámych:
.
Základný rozhodovací systém
homogénny systém 
nazvať sústavu riešení vo forme stĺpcových vektorov 
, ktoré zodpovedajú kanonickému základu, t.j. základ, v ktorom sú ľubovoľné konštanty 
sú striedavo nastavené rovné jednej, zatiaľ čo ostatné sú nastavené na nulu.
Potom má všeobecné riešenie homogénneho systému tvar:
kde 
sú ľubovoľné konštanty. Inými slovami, všeobecné riešenie je lineárnou kombináciou základného systému riešení.
Základné riešenia teda možno získať zo všeobecného riešenia, ak voľné neznáme majú striedavo hodnotu jednoty, za predpokladu, že všetky ostatné sú rovné nule.
Príklad. Poďme nájsť riešenie systému
Akceptujeme, potom dostaneme riešenie vo forme:
Zostavme teraz základný systém riešení:
.
Všeobecné riešenie možno napísať takto:
Riešenia sústavy homogénnych lineárnych rovníc majú tieto vlastnosti:
Inými slovami, akákoľvek lineárna kombinácia riešení do homogénnej sústavy je opäť riešením.
Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou
Riešenie sústav lineárnych rovníc je predmetom záujmu matematikov už niekoľko storočí. Prvé výsledky boli získané v XVIII storočí. V roku 1750 publikoval G. Kramer (1704–1752) svoje práce o determinantoch štvorcových matíc a navrhol algoritmus na nájdenie inverznej matice. V roku 1809 Gauss načrtol novú metódu riešenia známu ako eliminačná metóda.
Gaussova metóda alebo metóda postupného odstraňovania neznámych spočíva v tom, že pomocou elementárnych transformácií sa sústava rovníc redukuje na ekvivalentnú sústavu stupňovitého (alebo trojuholníkového) tvaru. Takéto systémy vám umožňujú dôsledne nájsť všetky neznáme v určitom poradí.
Predpokladajme, že v systéme (1) 
(čo je vždy možné).
(1)
Vynásobením prvej rovnice postupne tzv vhodné čísla
a pridaním výsledku násobenia so zodpovedajúcimi rovnicami systému dostaneme ekvivalentný systém, v ktorom všetky rovnice, okrem prvej, nebudú mať žiadnu neznámu X 1
(2)
Teraz vynásobíme druhú rovnicu systému (2) príslušnými číslami, za predpokladu, že 
,
a pridaním k nižším premennú vylúčime 
zo všetkých rovníc, počnúc treťou.
Pokračovanie v tomto procese po 
kroky, ktoré dostaneme:
(3)
Ak aspoň jedno z čísel 
sa nerovná nule, potom je zodpovedajúca rovnosť nekonzistentná a systém (1) je nekonzistentný. Naopak, pre akúkoľvek spoločnú číselnú sústavu 
sa rovnajú nule. číslo 
nie je nič iné ako poradie matice systému (1).
Prechod zo systému (1) do (3) sa nazýva v priamke Gaussova metóda a hľadanie neznámych z (3) - dozadu .
Komentujte : Výhodnejšie je vykonávať transformácie nie pomocou samotných rovníc, ale pomocou rozšírenej matice systému (1).
Príklad. Poďme nájsť riešenie systému
.
Napíšme rozšírenú maticu systému:
.
Pridajme k riadkom 2,3,4 prvé vynásobené (-2), (-3), (-2):
.
Vymeňme riadky 2 a 3, potom vo výslednej matici pridajte riadok 2 k riadku 4, vynásobte 
:
.
Pridajte do riadku 4 riadok 3 vynásobte 
:
.
To je zrejmé 
, preto je systém kompatibilný. Z výslednej sústavy rovníc
riešenie nájdeme reverznou substitúciou:
,
,
,
.
Príklad 2 Nájdite systémové riešenie:
.
Je zrejmé, že systém je nekonzistentný, pretože 
, a 
.
Výhody Gaussovej metódy :
Menej časovo náročná ako Cramerova metóda.
Jednoznačne stanovuje kompatibilitu systému a umožňuje vám nájsť riešenie.
Poskytuje možnosť určiť poradie akýchkoľvek matíc.
Lineárna rovnica sa nazýva homogénne ak je jeho priesečník nulový a inak nehomogénny. Systém pozostávajúci z homogénnych rovníc sa nazýva homogénny a má všeobecný tvar:
Je zrejmé, že každý homogénny systém je konzistentný a má nulové (triviálne) riešenie. Preto vo vzťahu k homogénnym sústavám lineárnych rovníc treba často hľadať odpoveď na otázku existencie nenulových riešení. Odpoveď na túto otázku možno formulovať ako nasledujúca veta.
Veta . Homogénny systém lineárnych rovníc má nenulové riešenie práve vtedy, ak je jeho poradie menšie ako počet neznámych .
Dôkaz: Predpokladajme, že systém, ktorého poradie je rovnaké, má nenulové riešenie. Je zrejmé, že nepresahuje . V prípade, že systém má unikátne riešenie. Keďže sústava homogénnych lineárnych rovníc má vždy nulové riešenie, je to práve nulové riešenie, ktoré bude týmto jedinečným riešením. Nenulové riešenia sú teda možné len pre .
Dôsledok 1 : Homogénna sústava rovníc, v ktorej je počet rovníc menší ako počet neznámych, má vždy nenulové riešenie.
Dôkaz: Ak sústava rovníc má , tak hodnosť sústavy nepresahuje počet rovníc , t.j. . Podmienka je teda splnená a systém má teda nenulové riešenie.
Dôsledok 2 : Homogénna sústava rovníc s neznámymi má nenulové riešenie práve vtedy, ak je jej determinant nulový.
Dôkaz: Predpokladajme sústavu lineárnych homogénnych rovníc, ktorých matica s determinantom má nenulové riešenie. Potom, podľa dokázanej vety, , čo znamená, že matica je degenerovaná, t.j. .
Kroneckerova-Capelliho veta: SLE je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa poradie matice systému rovná hodnote rozšírenej matice tohto systému. Systém ur-th sa nazýva kompatibilný, ak má aspoň jedno riešenie.Homogénny systém lineárnych algebraických rovníc.
Sústava m lineárnych rovníc s n premennými sa nazýva sústava lineárnych homogénnych rovníc, ak sú všetky voľné členy rovné 0. Sústava lineárnych homogénnych rovníc je vždy kompatibilná, pretože vždy má aspoň nulové riešenie. Systém lineárnych homogénnych rovníc má nenulové riešenie práve vtedy, ak hodnost jeho matice koeficientov pri premenných je menšia ako počet premenných, t.j. pre úroveň A (n. Akákoľvek lineárna kombinácia
riešenia sústavy liniek. homogénne ur-ii je tiež riešením tohto systému.
Systém lineárne nezávislých riešení e1, e2,…,ek sa nazýva fundamentálny, ak každé riešenie systému je lineárnou kombináciou riešení. Veta: ak je poradie r matice koeficientov pri premenných sústavy lineárnych homogénnych rovníc menšie ako počet premenných n, potom každá fundamentálna sústava riešení sústavy pozostáva z n-r riešení. Preto je všeobecné riešenie sústavy liniek. slobodný ur-th má tvar: c1e1+c2e2+…+ckek, kde e1, e2,…, ek je ľubovoľná základná sústava riešení, c1, c2,…,ck sú ľubovoľné čísla a k=n-r. Všeobecné riešenie sústavy m lineárnych rovníc s n premennými sa rovná súčtu
všeobecné riešenie jemu zodpovedajúceho systému je homogénne. lineárne rovnice a ľubovoľné partikulárne riešenie tejto sústavy.
7. Lineárne priestory. Podpriestormi. Základ, rozmer. Lineárna škrupina. Lineárny priestor je tzv n-rozmerný, ak obsahuje sústavu lineárne nezávislých vektorov a ľubovoľná sústava viacerých vektorov je lineárne závislá. Číslo sa volá rozmer (počet rozmerov) lineárny priestor a označuje sa . Inými slovami, rozmer priestoru je maximálny počet lineárne nezávislých vektorov v tomto priestore. Ak takéto číslo existuje, potom sa hovorí, že priestor je konečný-rozmerný. Ak pre akékoľvek prirodzené číslo n v priestore existuje systém pozostávajúci z lineárne nezávislých vektorov, potom sa takýto priestor nazýva nekonečno-rozmerný (píše sa: ). V nasledujúcom texte, pokiaľ nie je uvedené inak, sa budú uvažovať o konečnej dimenzii.
Základom n-rozmerného lineárneho priestoru je usporiadaná množina lineárne nezávislých vektorov ( bázové vektory).
Veta 8.1 o expanzii vektora z hľadiska bázy. Ak je základ n-rozmerného lineárneho priestoru, potom každý vektor môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia základných vektorov:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+sk
a navyše jedinečným spôsobom, t.j. koeficienty sú jednoznačne určené. Inými slovami, každý priestorový vektor môže byť základne a navyše jedinečným spôsobom rozšírený.
Vskutku, rozmer priestoru je . Systém vektorov je lineárne nezávislý (to je základ). Po pripojení ľubovoľného vektora k základu dostaneme lineárne závislý systém (keďže tento systém pozostáva z vektorov v n-rozmernom priestore). Vlastnosťou 7 lineárne závislých a lineárne nezávislých vektorov získame záver vety.
Už v škole sa každý z nás učil rovnice a pre istotu aj sústavy rovníc. Málokto však vie, že existuje niekoľko spôsobov, ako ich vyriešiť. Dnes si podrobne rozoberieme všetky metódy riešenia sústavy lineárnych algebraických rovníc, ktoré pozostávajú z viac ako dvoch rovníc.
Príbeh
Dnes je známe, že umenie riešenia rovníc a ich sústav má svoj pôvod v starovekom Babylone a Egypte. Rovnosti vo svojej obvyklej podobe sa však objavili po objavení sa znaku rovnosti „=“, ktorý v roku 1556 zaviedol anglický matematik Record. Mimochodom, toto znamenie bolo vybrané z nejakého dôvodu: znamená dva paralelné rovnaké segmenty. V skutočnosti neexistuje lepší príklad rovnosti.
Zakladateľom moderných písmenných označení neznámych a znakov stupňov je francúzsky matematik.Jeho označenia sa však od dnešných výrazne líšili. Napríklad druhú mocninu neznámeho čísla označil písmenom Q (lat. „quadratus“) a kocku písmenom C (lat. „cubus“). Tieto zápisy sa teraz zdajú trápne, ale vtedy to bol najzrozumiteľnejší spôsob písania systémov lineárnych algebraických rovníc.
Nevýhodou vtedajších metód riešenia však bolo, že matematici uvažovali iba o kladných koreňoch. Možno je to spôsobené tým, že záporné hodnoty nemali praktické využitie. Tak či onak, boli to talianski matematici Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano a Rafael Bombelli, ktorí ako prví uvažovali o negatívnych koreňoch v 16. storočí. A moderný pohľad, hlavná metóda riešenia (cez diskriminant) vznikla až v 17. storočí vďaka práci Descarta a Newtona.
V polovici 18. storočia našiel švajčiarsky matematik Gabriel Cramer nový spôsob, ako uľahčiť riešenie sústav lineárnych rovníc. Táto metóda bola následne po ňom pomenovaná a používame ju dodnes. O Cramerovej metóde si však povieme o niečo neskôr, no zatiaľ budeme diskutovať o lineárnych rovniciach a metódach ich riešenia oddelene od systému.
Lineárne rovnice
Lineárne rovnice sú najjednoduchšie rovnosti s premennou (premennými). Sú klasifikované ako algebraické. píšte vo všeobecnom tvare takto: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b. Ich reprezentáciu v tejto podobe budeme potrebovať pri ďalšom zostavovaní systémov a matíc.
Systémy lineárnych algebraických rovníc
Definícia tohto pojmu je nasledovná: ide o súbor rovníc, ktoré majú spoločné neznáme a spoločné riešenie. Spravidla sa v škole všetko riešilo sústavami s dvomi alebo aj tromi rovnicami. Existujú však systémy so štyrmi alebo viacerými komponentmi. Poďme najprv zistiť, ako ich zapísať, aby bolo vhodné ich neskôr vyriešiť. Po prvé, systémy lineárnych algebraických rovníc budú vyzerať lepšie, ak budú všetky premenné napísané ako x s príslušným indexom: 1,2,3 atď. Po druhé, všetky rovnice by sa mali uviesť do kanonického tvaru: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.
Po všetkých týchto akciách môžeme začať hovoriť o tom, ako nájsť riešenie systémov lineárnych rovníc. Matice sú na to veľmi užitočné.
matice
Matica je tabuľka, ktorá pozostáva z riadkov a stĺpcov a na ich priesečníkoch sú jej prvky. Môžu to byť špecifické hodnoty alebo premenné. Najčastejšie sa na označenie prvkov pod ne umiestňujú dolné indexy (napríklad 11 alebo 23). Prvý index znamená číslo riadku a druhý číslo stĺpca. Na maticách, ako aj na akomkoľvek inom matematickom prvku, môžete vykonávať rôzne operácie. Takto môžete:
2) Vynásobte maticu nejakým číslom alebo vektorom.
3) Transponovať: premeňte riadky matice na stĺpce a stĺpce na riadky.
4) Vynásobte matice, ak sa počet riadkov jednej z nich rovná počtu stĺpcov druhej.
Všetky tieto techniky si rozoberieme podrobnejšie, pretože sa nám budú hodiť v budúcnosti. Odčítanie a sčítanie matíc je veľmi jednoduché. Keďže berieme matice rovnakej veľkosti, každý prvok jednej tabuľky zodpovedá každému prvku inej. Tieto dva prvky teda sčítame (odčítame) (dôležité je, aby boli vo svojich maticiach na rovnakých miestach). Pri násobení matice číslom alebo vektorom jednoducho musíte vynásobiť každý prvok matice týmto číslom (alebo vektorom). Transpozícia je veľmi zaujímavý proces. Niekedy je veľmi zaujímavé vidieť to v reálnom živote, napríklad pri zmene orientácie tabletu alebo telefónu. Ikony na pracovnej ploche sú maticou a keď zmeníte polohu, transponuje sa a rozšíri sa, ale výška sa zníži.
Rozoberme si taký proces ako Hoci to pre nás nebude užitočné, stále bude užitočné ho poznať. Dve matice môžete vynásobiť iba vtedy, ak sa počet stĺpcov v jednej tabuľke rovná počtu riadkov v druhej tabuľke. Teraz si vezmime prvky riadku jednej matice a prvky zodpovedajúceho stĺpca inej matice. Vzájomne ich vynásobíme a potom sčítame (teda napr. súčin prvkov a 11 a a 12 b 12 a b 22 sa bude rovnať: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Takto sa získa jeden prvok tabuľky a ten sa ďalej vyplní podobnou metódou.
Teraz môžeme začať uvažovať, ako je vyriešený systém lineárnych rovníc.
Gaussova metóda
Táto téma začína už v škole. Pojem „sústava dvoch lineárnych rovníc“ dobre poznáme a vieme ich riešiť. Ale čo ak je počet rovníc viac ako dve? Toto nám pomôže
Samozrejme, túto metódu je vhodné použiť, ak zo systému vytvoríte maticu. Ale nemôžete ho premeniť a vyriešiť v jeho čistej forme.
Ako je teda systém lineárnych Gaussových rovníc vyriešený touto metódou? Mimochodom, hoci je táto metóda pomenovaná po ňom, bola objavená už v staroveku. Gauss navrhuje nasledovné: vykonávať operácie s rovnicami, aby sa nakoniec celá množina zredukovala na stupňovitú formu. To znamená, že je potrebné, aby zhora nadol (ak je správne umiestnené) od prvej rovnice po poslednú klesala jedna neznáma. Inými slovami, musíme sa uistiť, že dostaneme, povedzme, tri rovnice: v prvej - tri neznáme, v druhej - dve, v tretej - jedna. Potom z poslednej rovnice nájdeme prvú neznámu, dosadíme jej hodnotu do druhej alebo prvej rovnice a potom nájdeme zvyšné dve premenné.
Cramerova metóda
Na zvládnutie tejto metódy je životne dôležité ovládať zručnosti sčítania, odčítania matíc a tiež musíte vedieť nájsť determinanty. Preto, ak toto všetko robíte zle alebo vôbec neviete ako, budete sa musieť učiť a cvičiť.
Čo je podstatou tejto metódy a ako ju urobiť tak, aby sa získala sústava lineárnych Cramerových rovníc? Všetko je veľmi jednoduché. Maticu musíme zostrojiť z číselných (takmer vždy) koeficientov sústavy lineárnych algebraických rovníc. Aby sme to urobili, jednoducho vezmeme čísla pred neznáme a vložíme ich do tabuľky v poradí, v akom sú zapísané v systéme. Ak je pred číslom znak „-“, zapíšeme záporný koeficient. Prvú maticu sme teda zostavili z koeficientov neznámych, bez čísel za znamienkami rovnosti (prirodzene, rovnica by sa mala zredukovať na kanonickú formu, keď je vpravo len číslo a všetky neznáme s koeficienty vľavo). Potom musíte vytvoriť niekoľko ďalších matíc - jednu pre každú premennú. Aby sme to dosiahli, v prvej matici postupne nahradíme každý stĺpec koeficientmi stĺpcom čísel za znamienkom rovnosti. Takto získame niekoľko matíc a následne nájdeme ich determinanty.
Keď sme našli determinanty, záležitosť je malá. Máme počiatočnú maticu a existuje niekoľko výsledných matíc, ktoré zodpovedajú rôznym premenným. Aby sme dostali riešenia sústavy, vydelíme determinant výslednej tabuľky determinantom počiatočnej tabuľky. Výsledné číslo je hodnota jednej z premenných. Podobne nachádzame všetky neznáme.
Iné metódy
Existuje niekoľko ďalších metód na získanie riešenia systémov lineárnych rovníc. Napríklad takzvaná Gauss-Jordanova metóda, ktorá sa používa na hľadanie riešení sústavy kvadratických rovníc a je spojená aj s používaním matíc. Existuje aj Jacobiho metóda na riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc. Najľahšie sa prispôsobuje počítaču a používa sa vo výpočtovej technike.
Ťažké prípady
Zložitosť zvyčajne vzniká, keď je počet rovníc menší ako počet premenných. Potom môžeme s istotou povedať, že buď je systém nekonzistentný (teda nemá korene), alebo počet jeho riešení inklinuje k nekonečnu. Ak máme druhý prípad, musíme si zapísať všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc. Bude obsahovať aspoň jednu premennú.
Záver
Tu sa dostávame ku koncu. Zhrňme to: analyzovali sme, čo je systém a matica, naučili sme sa nájsť všeobecné riešenie systému lineárnych rovníc. Okrem toho sa zvažovali aj ďalšie možnosti. Zistili sme, ako sa rieši sústava lineárnych rovníc: Gaussova metóda a Hovorili sme o zložitých prípadoch a iných spôsoboch hľadania riešení.
V skutočnosti je táto téma oveľa rozsiahlejšia a ak jej chcete lepšie porozumieť, odporúčame vám prečítať si odbornejšiu literatúru.
