Mestská autonómna vzdelávacia inštitúcia

„Stredná škola č. 56 s hĺbkovým štúdiom matematiky“ v meste Magnitogorsk

Metodický rozvoj vyučovacej hodiny

matematiky

Primitívy a určitý integrál na jednotnej štátnej skúške. Prehľad zadaní jednotnej štátnej skúšky na tému „Primordial“)

pre žiakov 11. ročníka

(súhrnná lekcia)

Filimonova Tatyana Mikhailovna

Magnitogorsk 2018

anotácia

Hodina je určená pre žiakov 11. ročníka. Témou hodiny je „Prvotný a určitý integrál na jednotnej štátnej skúške.Prehľad zadaní jednotnej štátnej skúšky na tému „Primordial“. Tréningová fáza na túto tému je posledná. Motivácia na štúdium tejto témy je zabezpečená využívaním IKT, využívaním rôznych typov úloh, využívaním úloh FIPI a úloh z webovej stránky Jednotnú štátnu skúšku budem riešiť. Prioritným cieľom na vyučovacej hodine je aplikovať nadobudnuté vedomosti, precvičiť zručnosti a riešiť problémy s jednotnou štátnou skúškou.

Vysvetľujúca poznámka

Metodický rozvoj je vypracovanie konkrétnej vyučovacej hodiny matematiky pomocou nástrojov IKT. Relevantnosť vývoja spočíva v tom, že študenti riešia problém hľadania plochy postavy rôznymi metódami. Rôzne spôsoby riešenia jedného problému, prehľadnosť, historické informácie a prítomnosť interdisciplinárnych súvislostí prispievajú k rozvoju kognitívnych záujem o matematiku, uvedomenie si významu matematiky v každodennom živote človeka.

Počas testu si študenti zopakujú teoretické informácie o primitívnom a integráli, čo im pomôže systematizovať teóriu na túto tému a pripraviť sa na nadchádzajúcu skúšku.

Zhrnutie lekcie

Typ lekcie: súhrnná lekcia.

Ciele:

Vzdelávacie:

Formovanie vzdelávacích, kognitívnych a informačných kompetencií prostredníctvom zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí na tému „Antiderivát.Integrálne".

Vývojový:

Formovanie informačných a všeobecných kultúrnych kompetencií prostredníctvom rozvoja kognitívnej činnosti, záujmu o predmet, tvorivých schopností žiakov, rozširovania ich obzorov a rozvíjania matematickej reči.

Vzdelávacie:

Formovanie komunikatívnej kompetencie a kompetencie osobného sebazdokonaľovania prostredníctvom práce na komunikačných zručnostiach, schopnosti spolupracovať a rozvoja takých osobných vlastností, ako je organizácia a disciplína.

Vybavenie:PC, projektor, plátno.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment:

Ahojte chalani! Som rád, že vás môžem privítať na lekcii.CÚčelom našej lekcie je zovšeobecniť a systematizovať poznatky na tému „Primordial. Integral“, pripravte sa na nadchádzajúcu jednotnú štátnu skúšku.

II . Kontrola domácich úloh:

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiaramir= X2 , y=. Roztok sa pripraví na sklíčku.

Na tabuli je vopred pripravená úloha odvodiť vzorec pre objem gule.

K tabuli sa striedajú 2 ľudia, aby stručne vysvetlili riešenie, ktoré

Zvyšok momentálne kontroluje.

ja II . Zahrejte sa.

Každý študent dostane test.

Zbierajte vyplnené testy.

Analýza úloh sa vykonáva frontálne podľa úloh zobrazených na obrazovke.

ja V . Matematický štafetový beh.

Teraz poďme! Výstup na „Peak of Knowledge“ nebude jednoduchý, môžu nastať blokády, zosuvy pôdy a záveje. Sú tu ale aj zastávky, kde na vás nečakajú len úlohy. Aby ste sa posunuli vpred, musíte ukázať vedomosti.

Študenti dostávajú na každej lavici pracovné listy so zadaniami na tému „Pravá“.

1. Význam primitívneho derivátuF( X) funkcief( X)=11 X+5 v bode 0 je 6. NájditeF(-3).

2. Význam primitívneho derivátuF( X) funkcief( X)=8 cosXv bode -π je 13. NájditeF( π /6).

3. Hodnota primitívnej funkcieF( X) funkcief( X)=6 v bode 0 sa rovná -18. NájsťF(ln3).

4. Obrázok ukazuje graf primitívneho derivátur= F( X) funkcief( X) a osem bodov na osi x: , , …, . V koľkých z týchto bodov je funkciaf( X) je pozitívny?

5. Na obrázku je znázornený graf primitívnej funkcie y=F( X) funkcief( X) a osem bodov na osi x: , , , …,. V koľkých z týchto bodov je funkciaf(x)negatívne?

V . Zastaviť.

"Šťastné náhody prichádzajú len k pripraveným mysliam" (Louis Pasteur).

Prečítajú sa informácie z histórie integrálneho počtu. Zobrazujú sa noviny pripravené študentmi o histórii integrálneho počtu. Noviny sú venované Newtonovi a Leibnizovi.

VI. Najťažšie stúpanie.

Ďalšia úloha má byť splnená písomne, preto žiaci pracujú v zošitoch.

Úloha. Koľkými spôsobmi môžete nájsť oblasť postavy ohraničenú čiarami (snímka)

Kto má nejaké návrhy? (obrázok sa skladá z dvoch krivočiarych lichobežníkov a obdĺžnika) (vyberte spôsob riešenia, posuňte snímku)

Po prediskutovaní tohto problému sa na snímke zobrazí záznam

Spôsob 1: S=S1 +S2 +S

Spôsob 2: S=S1 +SA B C D-SOCD

Dvaja žiaci riešia pri tabuli, nasleduje vysvetlenie riešenia, ostatní žiaci pracujú v zošitoch, pričom si vyberajú jednu z metód riešenia.

Záver (študenti áno): našli sme dva spôsoby riešenia tohto problému, pričom sme dosiahli rovnaký výsledok. Diskutujte o tom, ktorá metóda je jednoduchšia.

Všetci sú veľmi unavení, no čím bližšie k cieľu, tým sú úlohy čoraz jednoduchšie.

VSH. Zhrnutie lekcie (snímky)

„Myslenie začína úžasom,“ poznamenal Aristoteles pred 2500 rokmi. Náš krajan Suchomlinsky veril, že „pocit prekvapenia je silným zdrojom túžby vedieť; od prekvapenia k poznaniu – jeden krok.“ A matematika je úžasný predmet na prekvapenie.

Integrály sa používajú, keď:

riešenie úloh z oblasti fyziky;

riešenie ekonomických problémov (optimalizácia práce firmy v konkurenčnom prostredí, výpočet výhodnosti spotrebného úveru);

riešenie sociodemografických problémov (matematický model obyvateľstva Zeme a pod.).

IX . Domáca úloha. (šmykľavka)

Úlohu zostavil učiteľ na webovej stránke „Budem riešiť Jednotnú štátnu skúšku“.

X . Vytváranie značiek.

Bibliografia

Vilenkin N.Ya. atď. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník V. 2. časť. (úroveň profilu). - M.: Mnemosyne, 2009. - 264 s.

Alexandrova L.A. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník Samostatná práca. - M.: Mnemosyne, 2009. - 100 s.

3. Shipova T.A. Algebra a začiatky analýzy: Derivácia. Určitý integrál. Testy. - M.: Shkola-Press, 1996. - 64 s.

4. Webová stránka metaschool.ru pre rozvoj lekcií.

5. Web Vyriešim Jednotnú štátnu skúšku, katalóg úloh, primitív.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Obsah

Obsahové prvky

Derivácia, dotyčnica, primitívna derivácia, grafy funkcií a derivácií.

Derivát Nech je funkcia \(f(x)\) definovaná v nejakom okolí bodu \(x_0\).

Derivácia funkcie \(f\) v bode \(x_0\) nazývaný limit

\(f"(x_0)=\lim_(x\šípka doprava x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

ak tento limit existuje.

Derivácia funkcie v bode charakterizuje rýchlosť zmeny tejto funkcie v danom bode.

Tabuľka derivátov

Funkcia	Derivát
\(konšt.\)	\(0\)
\(X\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\hriech x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

Pravidlá diferenciácie\(f\) a \(g\) sú funkcie závislé od premennej \(x\); \(c\) je číslo.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - derivácia komplexnej funkcie

Geometrický význam derivácie Rovnica priamky- nie rovnobežné s osou \(Oy\) možno písať v tvare \(y=kx+b\). Koeficient \(k\) v tejto rovnici sa nazýva sklon priamky. Rovná sa dotyčnici uhol sklonu túto priamku.

Priamy uhol- uhol medzi kladným smerom osi \(Ox\) a touto priamkou, meraný v smere kladných uhlov (teda v smere najmenšej rotácie od osi \(Ox\) k \ (Oy\) os).

Derivácia funkcie \(f(x)\) v bode \(x_0\) sa rovná sklonu dotyčnice ku grafu funkcie v tomto bode: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)

Ak \(f"(x_0)=0\), potom dotyčnica ku grafu funkcie \(f(x)\) v bode \(x_0\) je rovnobežná s osou \(Ox\).

Tangentová rovnica

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie \(f(x)\) v bode \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotónnosť funkcie Ak je derivácia funkcie kladná vo všetkých bodoch intervalu, funkcia na tomto intervale rastie.

Ak je derivácia funkcie záporná vo všetkých bodoch intervalu, funkcia na tomto intervale klesá.

Minimálne, maximálne a inflexné body pozitívne na negatívne v tomto bode je potom \(x_0\) maximálnym bodom funkcie \(f\).

Ak je funkcia \(f\) spojitá v bode \(x_0\) a hodnota derivácie tejto funkcie \(f"\) sa mení s negatívne na pozitívne v tomto bode je potom \(x_0\) minimálnym bodom funkcie \(f\).

Volajú sa body, v ktorých sa derivácia \(f"\) rovná nule alebo neexistuje kritických bodov funkcie \(f\).

Vnútorné body definičného oboru funkcie \(f(x)\), v ktorom \(f"(x)=0\) môžu byť minimálne, maximálne alebo inflexné body.

Fyzikálny význam derivátu Ak sa hmotný bod pohybuje priamočiaro a jeho súradnica sa mení v závislosti od času podľa zákona \(x=x(t)\), potom sa rýchlosť tohto bodu rovná derivácii súradnice vzhľadom na čas:

Zrýchlenie hmotného bodu sa rovná derivácii rýchlosti tohto bodu v čase:

\(a(t)=v"(t).\)

Funkcia F(X ) volal primitívny pre funkciu f(X) v danom intervale, ak pre všetkých X od tohto intervalu platí rovnosť

F"(X ) = f(X ) .

Napríklad funkcia F(x) = x 2 f(X ) = 2X , pretože

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Hlavná vlastnosť primitívneho derivátu

Ak F(x) - priradená funkcia f(x) na danom intervale, potom funkcia f(x) má nekonečne veľa primitív a všetky tieto primitívne môžu byť zapísané v tvare F(x) + C, Kde S je ľubovoľná konštanta.

Napríklad. Funkcia F(x) = x 2 + 1 je primitívnym derivátom funkcie f(X ) = 2X , pretože F"(x) = (x2+ 1 )" = 2 x = f(x); funkciu F(x) = x 2 - 1 je primitívnym derivátom funkcie f(X ) = 2X , pretože F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funkciu F(x) = x 2 - 3 je primitívnym derivátom funkcie f(X) = 2X , pretože F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); akúkoľvek funkciu F(x) = x 2 + S , Kde S - ľubovoľná konštanta a len takáto funkcia je primitívnou vlastnosťou funkcie f(X) = 2X . ◄

Pravidlá pre výpočet primitívnych derivátov

1. Ak F(x) - predchodca pre f(x) , A G(x) - predchodca pre g(x) , To F(x) + G(x) - predchodca pre f(x) + g(x) . Inými slovami, primitívna derivácia súčtu sa rovná súčtu primitív .
2. Ak F(x) - predchodca pre f(x) , A k - stály teda k · F(x) - predchodca pre k · f(x) . Inými slovami, konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie .
3. Ak F(x) - predchodca pre f(x) , A k,b- stály a k ≠ 0 , To 1 / k F( k x+ b ) - predchodca pre f(k x+ b) .

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál z funkcie f(x) nazývaný výraz F(x) + C, teda množina všetkých primitívnych derivátov danej funkcie f(x) . Neurčitý integrál sa označuje takto:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- volajú integrandová funkcia ;

f(x) dx- volajú integrand ;

X - volajú integračná premenná ;

F(x) - jedna z primitívnych funkcií f(x) ;

S je ľubovoľná konštanta.

Napríklad, ∫ 2 x dx =X 2 + S , ∫ cosx dx = hriech X + S a tak ďalej. ◄

Slovo „integrálny“ pochádza z latinského slova celé číslo , čo znamená „obnovený“. Vzhľadom na neurčitý integrál z 2 X, zdá sa, že obnovíme funkciu X 2 , ktorého derivácia sa rovná 2 X. Obnovenie funkcie z jej derivácie alebo, čo je to isté, nájdenie neurčitého integrálu nad daným integrandom sa nazýva integrácia túto funkciu. Integrácia je inverzná operácia diferenciácie, na kontrolu správnosti vykonania integrácie stačí výsledok diferencovať a získať integrand.

Základné vlastnosti neurčitého integrálu

1. Derivácia neurčitého integrálu sa rovná integrandu:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Konštantný faktor integrandu možno vyňať zo znamienka integrálu:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Integrál súčtu (rozdielu) funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) integrálov týchto funkcií:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Ak k,b- stály a k ≠ 0 , To

∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .

Tabuľka primitívnych a neurčitých integrálov

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
ja	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Primitívne a neurčité integrály uvedené v tejto tabuľke sa zvyčajne nazývajú tabuľkové primitívne deriváty A tabuľkové integrály .

Určitý integrál

Nechaj medzi tým [a; b] je daná spojitá funkcia y = f(x) , Potom určitý integrál od a po b funkcie f(x) sa nazýva prírastok primitívneho derivátu F(x) táto funkcia, tzn

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

čísla a A b sa nazývajú podľa toho nižšie A top hranice integrácie.

Základné pravidlá pre výpočet určitého integrálu

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) kde k - konštantný;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), kde f(x) — rovnomerná funkcia;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), kde f(x) je zvláštna funkcia.

Komentujte . Vo všetkých prípadoch sa predpokladá, že integrandy sú integrovateľné na číselných intervaloch, ktorých hranice sú limitmi integrácie.

Geometrický a fyzikálny význam určitého integrálu

Geometrický význam určitý integrál	Fyzický význam určitý integrál
Námestie S krivočiary lichobežník (údaj ohraničený grafom spojitého kladného bodu na intervale [a; b] funkcie f(x) , os Vôl a rovno x=a , x=b ) sa vypočíta podľa vzorca $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Cesta s, ktorú hmotný bod prekonal, pričom sa pohybuje priamočiaro rýchlosťou meniacou sa podľa zákona v(t) , na obdobie a ; b], potom oblasť obrázku obmedzená grafmi týchto funkcií a priamkami x = a , x = b , vypočítané podľa vzorca $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Napríklad. Vypočítajme plochu obrázku ohraničenú čiarami y = x 2 A y = 2- X . Schematicky si znázornime grafy týchto funkcií a zvýrazníme inou farbou obrazec, ktorého oblasť je potrebné nájsť. Aby sme našli hranice integrácie, riešime rovnicu: X 2 = 2- X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \vpravo )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Objem rotačného telesa

	Ak sa telo získa ako výsledok rotácie okolo osi Vôl krivočiary lichobežník ohraničený súvislým a nezáporným grafom na intervale [a; b] funkcie y = f(x) a rovno x = a A x = b , potom sa volá rotačné teleso . Objem rotačného telesa sa vypočíta podľa vzorca $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Ak sa rotačné teleso získa ako výsledok rotácie obrazca ohraničeného hore a dole grafmi funkcií y = f(x) A y = g(x) podľa toho teda $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Napríklad. Vypočítajme objem kužeľa s polomerom r a výška h . Umiestnime kužeľ do pravouhlého súradnicového systému tak, aby sa jeho os zhodovala s osou Vôl a stred základne sa nachádzal na začiatku. Rotácia generátora AB definuje kužeľ. Od rovnice AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
a pre objem kužeľa, ktorý máme $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

51. Na obrázku je znázornený graf y=f "(x)- derivácia funkcie f(x), definovaný na intervale (− 4; 6). Nájdite úsečku bodu, v ktorom je dotyčnica ku grafu funkcie y=f(x) rovnobežne s čiarou y=3x alebo sa s ním zhoduje.

odpoveď: 5

52. Na obrázku je znázornený graf y=F(x) f(x) f(x) pozitívne?

odpoveď: 7

53. Na obrázku je znázornený graf y=F(x) jeden z primitívnych derivátov nejakej funkcie f(x) a na osi x je vyznačených osem bodov: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. V koľkých z týchto bodov je funkcia f(x) negatívne?

odpoveď: 3

54. Na obrázku je znázornený graf y=F(x) jeden z primitívnych derivátov nejakej funkcie f(x) a desať bodov je vyznačených na osi x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. V koľkých z týchto bodov je funkcia f(x) pozitívne?

odpoveď: 6

55. Na obrázku je znázornený graf y=F(x f(x), definovaný na intervale (− 7; 5). Pomocou obrázku určte počet riešení rovnice f(x)=0 na segmente [− 5; 2].

odpoveď: 3

56. Na obrázku je znázornený graf y=F(x) jeden z primitívnych derivátov nejakej funkcie f (X), definovaný na intervale (− 8; 7). Pomocou obrázku určte počet riešení rovnice f(x)= 0 na intervale [− 5; 5].

odpoveď: 4

57. Na obrázku je znázornený graf y=F(X) jeden z primitívnych derivátov nejakej funkcie f(X), definovaný na intervale (1;13). Pomocou obrázku určte počet riešení rovnice f (X)=0 na segmente .

odpoveď: 4

58. Na obrázku je znázornený graf určitej funkcie y=f(x)(dva lúče so spoločným východiskovým bodom). Pomocou obrázku vypočítajte F(−1)−F(−8), Kde F(x) f(x).

odpoveď: 20

59. Na obrázku je znázornený graf určitej funkcie y=f(x) (dva lúče so spoločným východiskovým bodom). Pomocou obrázku vypočítajte F(−1)−F(−9), Kde F(x)- jedna z primitívnych funkcií f(x).

odpoveď: 24

60. Na obrázku je znázornený graf určitej funkcie y=f(x). Funkcia

-jedna z primitívnych funkcií f(x). Nájdite oblasť tieňovanej postavy.

odpoveď: 6

61. Na obrázku je znázornený graf určitej funkcie y=f(x). Funkcia

Jedna z primitívnych funkcií f(x). Nájdite oblasť tieňovanej postavy.

Odpoveď: 14.5

rovnobežne s dotyčnicou ku grafu funkcie

Odpoveď: 0,5

Nájdite úsečku dotykového bodu.

odpoveď: -1

je dotyčnicou ku grafu funkcie

Nájsť c.

odpoveď: 20

je dotyčnicou ku grafu funkcie

Nájsť a.

Odpoveď: 0,125

je dotyčnicou ku grafu funkcie

Nájsť b berúc do úvahy, že úsečka dotykového bodu je väčšia ako 0.

Odpoveď: -33

67. Hmotný bod sa podľa zákona pohybuje priamočiaro

Kde X t- čas v sekundách, meraný od okamihu začiatku pohybu. V ktorom časovom bode (v sekundách) sa jeho rýchlosť rovnala 96 m/s?

odpoveď: 18

68. Hmotný bod sa podľa zákona pohybuje priamočiaro

Kde X- vzdialenosť od referenčného bodu v metroch, t- čas v sekundách, meraný od okamihu začiatku pohybu. V ktorom časovom bode (v sekundách) sa jeho rýchlosť rovnala 48 m/s?

odpoveď: 9

69. Hmotný bod sa podľa zákona pohybuje priamočiaro

Kde X t t=6 s.

odpoveď: 20

70. Hmotný bod sa podľa zákona pohybuje priamočiaro

Kde X- vzdialenosť od referenčného bodu v metroch, t- čas v sekundách meraný od začiatku pohybu. Nájdite jeho rýchlosť (v m/s) v danom čase t=3 s.

odpoveď: 59

Typ práce: 7
Téma: Prijímač funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) (čo je prerušovaná čiara zložená z troch priamych segmentov). Pomocou obrázku vypočítajte F(9)-F(5), kde F(x) je jedným z primitívnych derivátov funkcie f(x).

Ukážte riešenie

Riešenie

Podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca sa rozdiel F(9)-F(5), kde F(x) je jedným z primitívnych derivátov funkcie f(x), rovná ploche ohraničeného krivočiareho lichobežníka. grafom funkcie y=f(x), priamky y=0 , x=9 a x=5. Z grafu určíme, že naznačený zakrivený lichobežník je lichobežník so základňami rovnými 4 a 3 a výškou 3.

Jeho plocha je rovnaká \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odpoveď

Typ práce: 7
Téma: Prijímač funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=F(x) - jednej z primitív nejakej funkcie f(x) definovanej na intervale (-5; 5). Pomocou obrázku určte počet riešení rovnice f(x)=0 na úsečke [-3; 4].

Ukážte riešenie

Riešenie

Podľa definície primitívnosti platí rovnosť: F"(x)=f(x). Preto rovnicu f(x)=0 môžeme zapísať ako F"(x)=0. Keďže na obrázku je znázornený graf funkcie y=F(x), musíme tieto body nájsť v intervale [-3; 4], v ktorom sa derivácia funkcie F(x) rovná nule. Z obrázku je zrejmé, že to budú úsečky krajných bodov (maximum alebo minimum) F(x) grafu. V uvedenom intervale je ich presne 7 (štyri minimálne body a tri maximálne body).

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Prijímač funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) (čo je prerušovaná čiara zložená z troch priamych segmentov). Pomocou obrázku vypočítajte F(5)-F(0), kde F(x) je jedným z primitívnych derivátov funkcie f(x).

Ukážte riešenie

Riešenie

Podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca sa rozdiel F(5)-F(0), kde F(x) je jedným z primitívnych derivátov funkcie f(x), rovná ploche ohraničeného krivočiareho lichobežníka. grafom funkcie y=f(x), priamky y=0 , x=5 a x=0. Z grafu určíme, že naznačený zakrivený lichobežník je lichobežník so základňami rovnými 5 a 3 a výškou 3.

Jeho plocha je rovnaká \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Prijímač funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=F(x) - jednej z primitív nejakej funkcie f(x), definovanej na intervale (-5; 4). Pomocou obrázku určte počet riešení rovnice f (x) = 0 na úsečke (-3; 3].

Ukážte riešenie

Riešenie

Podľa definície primitívnosti platí rovnosť: F"(x)=f(x). Preto rovnicu f(x)=0 môžeme zapísať ako F"(x)=0. Keďže na obrázku je znázornený graf funkcie y=F(x), musíme tieto body nájsť v intervale [-3; 3], v ktorom sa derivácia funkcie F(x) rovná nule.

Z obrázku je zrejmé, že to budú úsečky krajných bodov (maximum alebo minimum) F(x) grafu. V uvedenom intervale je ich presne 5 (dva minimálne body a tri maximálne body).

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Prijímač funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf nejakej funkcie y=f(x). Funkcia F(x)=-x^3+4,5x^2-7 je jednou z primitívnych derivácií funkcie f(x).

Nájdite oblasť tieňovanej postavy.

Ukážte riešenie

Riešenie

Vytieňovaný obrazec je krivočiary lichobežník ohraničený zhora grafom funkcie y=f(x), priamkami y=0, x=1 a x=3. Podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca sa jeho plocha S rovná rozdielu F(3)-F(1), kde F(x) je primitívna derivácia funkcie f(x) špecifikovanej v podmienke. Preto S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Prijímač funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf nejakej funkcie y=f(x). Funkcia F(x)=x^3+6x^2+13x-5 je jednou z primitívnych derivácií funkcie f(x). Nájdite oblasť tieňovanej postavy.