Zavedenie novej premennej pri riešení iracionálnych rovníc. Riešenie iracionálnych rovníc

Prvá časť materiálu v tomto článku tvorí myšlienku iracionálnych rovníc. Po jej preštudovaní budete vedieť ľahko rozlíšiť iracionálne rovnice od rovníc iných typov. Druhá časť podrobne skúma hlavné metódy riešenia iracionálnych rovníc a poskytuje podrobné riešenia obrovského množstva typických príkladov. Ak ovládate tieto informácie, takmer určite si poradíte s takmer každou iracionálnou rovnicou zo školského kurzu matematiky. Veľa šťastia pri získavaní vedomostí!

Čo sú to iracionálne rovnice?

Najprv si ujasnime, čo sú iracionálne rovnice. K tomu nájdeme príslušné definície v učebniciach odporúčaných Ministerstvom školstva a vedy Ruskej federácie.

Podrobný rozhovor o iracionálnych rovniciach a ich riešení sa vedie na hodinách algebry a analýza sa začala na strednej škole. Niektorí autori však rovnice tohto typu zavádzajú skôr. Napríklad tí, ktorí študujú pomocou učebníc Mordkoviča A.G., sa o iracionálnych rovniciach učia už v 8. ročníku: učebnica uvádza, že

Existujú aj príklady iracionálnych rovníc, , , a tak ďalej. Je zrejmé, že každá z vyššie uvedených rovníc obsahuje premennú x pod znamienkom druhej odmocniny, čo znamená, že podľa vyššie uvedenej definície sú tieto rovnice iracionálne. Tu okamžite diskutujeme o jednej z hlavných metód ich riešenia -. Ale o metódach riešenia si povieme trochu nižšie, ale zatiaľ si dáme definície iracionálnych rovníc z iných učebníc.

V učebniciach A. N. Kolmogorova a Yu. M. Koljagina.

Definícia

iracionálny sú rovnice, v ktorých je pod koreňovým znakom obsiahnutá premenná.

Venujme pozornosť základnému rozdielu medzi touto definíciou a tou predchádzajúcou: hovorí jednoducho odmocnina a nie odmocnina, teda nie je určený stupeň odmocniny, pod ktorým sa premenná nachádza. To znamená, že koreň môže byť nielen štvorcový, ale aj tretí, štvrtý atď. stupňa. Posledná definícia teda špecifikuje širší súbor rovníc.

Vynára sa prirodzená otázka: prečo na strednej škole začíname používať túto širšiu definíciu iracionálnych rovníc? Všetko je pochopiteľné a jednoduché: keď sa v 8. ročníku zoznámime s iracionálnymi rovnicami, dobre poznáme iba druhú odmocninu, nepoznáme ešte žiadne odmocniny, odmocniny štvrtej a vyšších. A na strednej škole je pojem odmocniny zovšeobecnený, učíme sa o , a keď hovoríme o iracionálnych rovniciach, už sa neobmedzujeme na odmocninu, ale máme na mysli odmocninu ľubovoľného stupňa.

Pre názornosť predvedieme niekoľko príkladov iracionálnych rovníc. - tu sa premenná x nachádza pod znamienkom kocky, takže táto rovnica je iracionálna. Ďalší príklad: - tu je premenná x pod znamienkom odmocniny aj štvrtej odmocniny, čiže ide tiež o iracionálnu rovnicu. Tu je niekoľko ďalších príkladov iracionálnych rovníc zložitejšej formy: a .

Vyššie uvedené definície nám umožňujú poznamenať, že v zápise akejkoľvek iracionálnej rovnice sú znaky koreňov. Je tiež jasné, že ak neexistujú žiadne známky koreňov, potom rovnica nie je iracionálna. Nie všetky rovnice obsahujúce koreňové znaky sú však iracionálne. Skutočne, v iracionálnej rovnici musí byť pod koreňovým znakom premenná; ak pod koreňovým znakom nie je žiadna premenná, potom rovnica nie je iracionálna. Ako ilustráciu uvádzame príklady rovníc, ktoré obsahujú korene, ale nie sú iracionálne. Rovnice A nie sú iracionálne, keďže pod koreňom neobsahujú premenné - pod koreňmi sú čísla, ale pod koreňmi nie sú žiadne premenné, preto tieto rovnice nie sú iracionálne.

Za zmienku stojí množstvo premenných, ktoré sa môžu podieľať na písaní iracionálnych rovníc. Všetky vyššie uvedené iracionálne rovnice obsahujú jednu premennú x, to znamená, že sú to rovnice s jednou premennou. Nič nám však nebráni uvažovať o iracionálnych rovniciach s dvojkou, trojkou atď. premenných. Uveďme príklad iracionálnej rovnice s dvoma premennými a s tromi premennými.

Všimnite si, že v škole musíte hlavne pracovať s iracionálnymi rovnicami s jednou premennou. Iracionálne rovnice s niekoľkými premennými sú oveľa menej bežné. Možno ich nájsť v zložení, ako napríklad v úlohe „riešte sústavu rovníc alebo, povedzme, v algebraickom popise geometrických objektov, takže polkruh so stredom v počiatku, polomer 3 jednotiek, ležiaci v hornej polrovine, zodpovedá rovnici.

Niektoré zbierky úloh na prípravu na Jednotnú štátnu skúšku v časti „iracionálne rovnice“ obsahujú úlohy, v ktorých je premenná nielen pod koreňovým znakom, ale aj pod znakom inej funkcie, napríklad modulu, logaritmu atď. . Tu je príklad , prevzaté z knihy, ale tu - zo zbierky. V prvom príklade je premenná x pod logaritmickým znakom a logaritmus je tiež pod koreňovým znakom, to znamená, že máme takpovediac iracionálnu logaritmickú (alebo logaritmickú iracionálnu) rovnicu. V druhom príklade je premenná pod znamienkom modulu a modul je tiež pod znamienkom koreňa, s vaším dovolením to nazveme iracionálna rovnica s modulom.

Mali by sa rovnice tohto typu považovať za iracionálne? Dobrá otázka. Zdá sa, že pod znamienkom koreňa je premenná, ale je mätúce, že nie je vo svojej „čistej forme“, ale v znamienku jednej alebo viacerých funkcií. Inými slovami, zdá sa, že neexistuje žiadny rozpor s tým, ako sme definovali iracionálne rovnice vyššie, ale existuje určitý stupeň neistoty v dôsledku prítomnosti iných funkcií. Z nášho pohľadu by sme nemali byť fanatickí v „nazývaní vecí pravými menami“. V praxi stačí jednoducho povedať „rovnicu“ bez toho, aby ste uviedli, o aký typ ide. A všetky tieto prísady sú „iracionálne“, „logaritmické“ atď. slúžia hlavne na uľahčenie prezentácie a zoskupovania materiálov.

Vo svetle informácií v poslednom odseku je zaujímavá definícia iracionálnych rovníc uvedená v učebnici A. G. Mordkovicha pre ročník 11

Definícia

Iracionálne sú rovnice, v ktorých je premenná obsiahnutá pod znamienkom radikálu alebo pod znamienkom zvýšenia na zlomkovú mocninu.

Tu sa okrem rovníc s premennou pod znamienkom odmocniny považujú za iracionálne aj rovnice s premennými pod znamienkom zvyšovania na zlomkovú mocninu. Napríklad podľa tejto definície rovnica považovaný za iracionálny. Prečo zrazu? Na korene v iracionálnych rovniciach sme si už zvykli, ale tu nejde o odmocninu, ale o stupeň a radšej by ste túto rovnicu nazvali napríklad mocninnou ako iracionálnou? Všetko je jednoduché: určuje sa cez korene a na premennej x pre danú rovnicu (za predpokladu x 2 +2·x≥0) sa dá prepísať pomocou koreňa ako , a posledná rovnosť je známa iracionálna rovnica s premennou pod znamienkom odmocniny. A metódy riešenia rovníc s premennými v základe zlomkových mocnín sú úplne rovnaké ako metódy riešenia iracionálnych rovníc (budú rozoberané v ďalšom odseku). Preto je vhodné nazvať ich iracionálnymi a zvážiť ich v tomto svetle. Ale buďme k sebe úprimní: na začiatku máme rovnicu , ale nie , a jazyk nie je veľmi ochotný označiť pôvodnú rovnicu za iracionálnu kvôli absencii koreňa v zápise. Rovnaká technika nám umožňuje vyhnúť sa takýmto kontroverzným otázkam týkajúcim sa terminológie: rovnicu nazývajte jednoducho rovnicou bez akýchkoľvek konkrétnych objasnení.

Najjednoduchšie iracionálne rovnice

Za zmienku stojí aj tzv najjednoduchšie iracionálne rovnice. Povedzme hneď, že tento termín sa nevyskytuje v hlavných učebniciach algebry a elementárnej analýzy, ale niekedy sa nachádza v problémových knihách a školiacich príručkách, ako napríklad v. Nemalo by sa to považovať za všeobecne akceptované, ale nezaškodí vedieť, čo sa zvyčajne chápe pod najjednoduchšími iracionálnymi rovnicami. Toto je zvyčajne názov pre iracionálne rovnice formulára , kde f(x) a g(x) sú nejaké . V tomto svetle možno najjednoduchšiu iracionálnu rovnicu nazvať napríklad rovnicou resp .

Ako možno vysvetliť výskyt takého názvu ako „najjednoduchšie iracionálne rovnice“? Napríklad preto, že riešenie iracionálnych rovníc si často vyžaduje ich počiatočnú redukciu do tvaru a ďalšie použitie akýchkoľvek štandardných metód riešenia. Iracionálne rovnice v tejto forme sa nazývajú najjednoduchšie.

Základné metódy riešenia iracionálnych rovníc

Podľa definície koreňa

Jedna z metód riešenia iracionálnych rovníc je založená na. S jeho pomocou sa zvyčajne riešia iracionálne rovnice najjednoduchšieho tvaru , kde f(x) a g(x) sú nejaké racionálne výrazy (definíciu najjednoduchších iracionálnych rovníc sme uviedli v). Iracionálne rovnice tvaru sa riešia podobným spôsobom , ale v ktorých f(x) a/alebo g(x) sú výrazy iné ako racionálne. V mnohých prípadoch je však vhodnejšie riešiť takéto rovnice inými metódami, o ktorých budeme diskutovať v nasledujúcich odsekoch.

Pre pohodlie prezentácie materiálu oddeľujeme iracionálne rovnice párnymi koreňovými exponentmi, teda rovnicami , 2·k=2, 4, 6, … , z rovníc s nepárnymi koreňovými exponentmi , 2·k+1=3, 5, 7, … Okamžite si načrtneme prístupy k ich riešeniu:

Vyššie uvedené prístupy priamo vyplývajú z A .

takže, metóda riešenia iracionálnych rovníc podľa definície koreňa je nasledujúci:

Podľa definície koreňa je najpohodlnejšie riešiť najjednoduchšie iracionálne rovnice s číslami na pravej strane, teda rovnice tvaru , kde C je určité číslo. Keď je číslo na pravej strane rovnice, potom aj keď je koreňový exponent párny, nie je potrebné ísť do systému: ak je C nezáporné číslo, potom podľa definície koreň párneho stupňa, a ak C je záporné číslo, potom môžeme okamžite dospieť k záveru, že neexistujú žiadne korene rovnice, Koniec koncov, koreň párneho stupňa je podľa definície nezáporné číslo, čo znamená, že rovnica nie je premeniť na skutočnú číselnú rovnosť pre akékoľvek reálne hodnoty premennej x.

Prejdime k riešeniu typických príkladov.

Prejdeme od jednoduchého k zložitému. Začnime riešením najjednoduchšej iracionálnej rovnice, na ľavej strane ktorej je koreň párneho stupňa a na pravej strane kladného čísla, to znamená riešením rovnice v tvare , kde C je kladné číslo. číslo. Určenie koreňa umožňuje prejsť od riešenia danej iracionálnej rovnice k riešeniu jednoduchšej rovnice bez koreňov С 2·k =f(x) .

Najjednoduchšie iracionálne rovnice s nulou na pravej strane sa riešia podobným spôsobom definovaním koreňa.

Zastavme sa oddelene pri iracionálnych rovniciach, na ľavej strane ktorých je koreň párneho stupňa s premennou pod znamienkom a na pravej strane záporné číslo. Takéto rovnice nemajú riešenia na množine reálnych čísel (o zložitých koreňoch budeme hovoriť po oboznámení sa s komplexné čísla). To je celkom zrejmé: párny koreň je podľa definície nezáporné číslo, čo znamená, že sa nemôže rovnať zápornému číslu.

Ľavé strany iracionálnych rovníc z predchádzajúcich príkladov boli odmocniny párnych mocnín a pravé strany boli čísla. Teraz zvážime príklady s premennými na pravej strane, to znamená, že budeme riešiť iracionálne rovnice tvaru . Na ich vyriešenie sa určením koreňa vykoná prechod do systému , ktorá má rovnakú množinu riešení ako pôvodná rovnica.

Treba mať na pamäti, že systém , na riešenie ktorého sa redukuje riešenie pôvodnej iracionálnej rovnice , je vhodné riešiť nie mechanicky, ale pokiaľ možno racionálne. Je jasné, že je to skôr otázka z témy “ systémové riešenie“, ale napriek tomu uvádzame tri často sa vyskytujúce situácie s príkladmi, ktoré ich ilustrujú:

  1. Napríklad, ak jej prvá rovnica g 2·k (x)=f(x) nemá riešenia, potom nemá zmysel riešiť nerovnosť g(x)≥0, pretože z absencie riešení rovnice sa dá dospieť k záveru, že pre systém neexistujú žiadne riešenia.
  1. Podobne, ak nerovnosť g(x)≥0 nemá riešenia, potom nie je potrebné riešiť rovnicu g 2·k (x)=f(x), pretože aj bez toho je jasné, že v tomto prípade systém nemá riešenia.
  1. Pomerne často sa nerovnosť g(x)≥0 vôbec nerieši, ale iba kontroluje, ktorý z koreňov rovnice g 2·k (x)=f(x) ju spĺňa. Množina všetkých, ktoré spĺňajú nerovnosť, je riešením systému, čo znamená, že je aj riešením jemu ekvivalentnej pôvodnej iracionálnej rovnice.

Dosť o rovniciach s párnymi exponentmi koreňov. Je čas venovať pozornosť iracionálnym rovniciam s koreňmi nepárnych mocnín tvaru . Ako sme už povedali, na ich vyriešenie prejdeme k ekvivalentnej rovnici , ktoré možno vyriešiť akýmikoľvek dostupnými metódami.

Na záver tohto bodu spomeňme kontrola riešení. Metóda riešenia iracionálnych rovníc určením koreňa zaručuje ekvivalenciu prechodov. To znamená, že nie je potrebné kontrolovať nájdené riešenia. Tento bod možno pripísať výhodám tejto metódy na riešenie iracionálnych rovníc, pretože vo väčšine ostatných metód je overenie povinným štádiom riešenia, ktoré umožňuje odrezanie cudzích koreňov. Malo by sa však pamätať na to, že kontrola dosadením nájdených riešení do pôvodnej rovnice nie je nikdy zbytočná: zrazu sa vkradla chyba vo výpočte.

Poznamenávame tiež, že problematika kontroly a filtrovania cudzích koreňov je pri riešení iracionálnych rovníc veľmi dôležitá, preto sa k nej vrátime v niektorom z ďalších odsekov tohto článku.

Metóda zvýšenia oboch strán rovnice na rovnakú mocninu

Ďalšia prezentácia predpokladá, že čitateľ má predstavu o ekvivalentných rovniciach a následných rovniciach.

Metóda zvýšenia oboch strán rovnice na rovnakú mocninu je založená na nasledujúcom tvrdení:

Vyhlásenie

Zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú párnu mocninu dáva dôsledok rovnice a zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú nepárnu mocninu dáva ekvivalentnú rovnicu.

Dôkaz

Dokážme to pre rovnice s jednou premennou. Pre rovnice s viacerými premennými sú princípy dôkazu rovnaké.

Nech A(x)=B(x) je pôvodná rovnica a x 0 je jej koreň. Pretože x 0 je koreň tejto rovnice, potom A(x 0)=B(x 0) – skutočná číselná rovnosť. Poznáme túto vlastnosť numerickej rovnosti: násobenie skutočných numerických rovníc po členoch dáva skutočnú numerickú rovnosť. Vynásobme člen členom 2·k, kde k je prirodzené číslo, správnych číselných rovníc A(x 0)=B(x 0), dostaneme správnu číselnú rovnosť A 2·k (x 0)= B2·k (x 0) . A výsledná rovnosť znamená, že x 0 je koreň rovnice A 2·k (x)=B 2·k (x), ktorý sa získa z pôvodnej rovnice zvýšením oboch strán na rovnakú párnu prirodzenú mocninu 2·k .

Na zdôvodnenie možnosti existencie koreňa rovnice A 2·k (x)=B 2·k (x) , ktorý nie je koreňom pôvodnej rovnice A(x)=B(x) , je stačí uviesť príklad. Zvážte iracionálnu rovnicu a rovnica , ktorý sa získa z originálu kvadratúrou oboch častí. Je ľahké skontrolovať, že nula je koreňom rovnice , naozaj, , že to isté 4=4 je skutočná rovnosť. Ale zároveň je nula cudzí koreň rovnice , keďže po dosadení nuly dostaneme rovnosť , čo je rovnaké ako 2=−2 , čo je nesprávne. To dokazuje, že rovnica získaná z pôvodnej rovnice zvýšením oboch strán na rovnakú párnu mocninu môže mať korene cudzie pôvodnej rovnici.

Bolo dokázané, že zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú prirodzenú moc vedie k výslednej rovnici.

Zostáva dokázať, že zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú nepárnu prirodzenú moc dáva ekvivalentnú rovnicu.

Ukážme, že každý koreň rovnice je koreňom rovnice získanej z originálu zvýšením oboch jej častí na nepárnu mocninu, a naopak, že každý koreň rovnice získaný z originálu zvýšením oboch jej častí na nepárne moc je koreňom pôvodnej rovnice.

Majme rovnicu A(x)=B(x) . Nech x 0 je jeho koreň. Potom platí číselná rovnosť A(x 0)=B(x 0). Pri štúdiu vlastností skutočných číselných rovníc sme sa naučili, že skutočné číselné rovnosti možno násobiť členmi. Vynásobením členu členom 2·k+1, kde k je prirodzené číslo, správne číselné rovnosti A(x 0)=B(x 0) dostaneme správnu číselnú rovnosť A 2·k+1 (x 0)= B 2·k+1 ( x 0) , čo znamená, že x 0 je koreňom rovnice A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Teraz späť. Nech x 0 je koreň rovnice A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . To znamená, že číselná rovnosť A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) je správna. Vzhľadom na existenciu nepárneho koreňa akéhokoľvek reálneho čísla a jeho jedinečnosti bude rovnosť tiež pravdivá. To zase kvôli identite , kde a je akékoľvek reálne číslo, ktoré vyplýva z vlastností odmocnín a mocnín, môžeme prepísať ako A(x 0)=B(x 0) . To znamená, že x 0 je koreňom rovnice A(x)=B(x) .

Bolo dokázané, že zvýšenie oboch strán iracionálnej rovnice na nepárnu mocninu dáva ekvivalentnú rovnicu.

Osvedčené tvrdenie dopĺňa nám známy arzenál, používaný na riešenie rovníc, ďalšou transformáciou rovníc – zdvihnutím oboch strán rovnice na rovnakú prirodzenú silu. Zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú nepárnu mocninu je transformácia vedúca k výslednej rovnici a zvýšenie na párnu mocninu je ekvivalentná transformácia. Na tejto transformácii je založená metóda zvýšenia oboch strán rovnice na rovnakú mocninu.

Zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú prirodzenú silu sa používa hlavne na riešenie iracionálnych rovníc, pretože v určitých prípadoch táto transformácia umožňuje zbaviť sa znamienok koreňov. Napríklad zvýšenie oboch strán rovnice na mocninu n dáva rovnicu , ktorú možno neskôr pretransformovať na rovnicu f(x)=g n (x) , ktorá už na ľavej strane neobsahuje koreň. Vyššie uvedený príklad ilustruje podstata metódy zvýšenia oboch strán rovnice na rovnakú mocninu: pomocou vhodnej transformácie získajte jednoduchšiu rovnicu, ktorá nemá vo svojom zápise radikály, a jej riešením získajte riešenie pôvodnej iracionálnej rovnice.

Teraz môžeme pristúpiť priamo k popisu metódy zvýšenia oboch strán rovnice na rovnakú prirodzenú moc. Začnime s algoritmom na riešenie pomocou tejto metódy najjednoduchších iracionálnych rovníc s párnymi koreňovými exponentmi, teda rovníc tvaru , kde k je prirodzené číslo, f(x) a g(x) sú racionálne výrazy. Algoritmus na riešenie najjednoduchších iracionálnych rovníc s nepárnymi koreňovými exponentmi, teda rovníc tvaru , dáme to trochu neskôr. Potom poďme ešte ďalej: rozšírme metódu umocňovania oboch strán rovnice na rovnakú mocninu na zložitejšie iracionálne rovnice obsahujúce korene pod znamienkami koreňov, niekoľko znamienok koreňov atď.

metóda zvýšenia oboch strán rovnice na rovnakú párnu mocninu:

Z vyššie uvedených informácií je zrejmé, že po prvom kroku algoritmu dospejeme k rovnici, ktorej korene obsahujú všetky korene pôvodnej rovnice, ale ktorá môže mať aj korene, ktoré sú pôvodnej rovnici cudzie. Preto algoritmus obsahuje klauzulu o odfiltrovaní cudzích koreňov.

Pozrime sa na aplikáciu daného algoritmu na riešenie iracionálnych rovníc na príkladoch.

Začnime riešením jednoduchej a pomerne typickej iracionálnej rovnice, ktorej umocnenie oboch strán vedie ku kvadratickej rovnici, ktorá nemá korene.

Tu je príklad, v ktorom sa všetky korene rovnice získané z pôvodnej iracionálnej rovnice kvadratúrou oboch strán ukážu ako cudzie voči pôvodnej rovnici. Záver: nemá korene.

Ďalší príklad je trochu komplikovanejší. Jej riešenie si na rozdiel od predchádzajúcich dvoch vyžaduje zdvihnutie oboch častí nie na druhú mocninu, ale na šiestu mocninu, a to už nepovedie k lineárnej alebo kvadratickej rovnici, ale ku kubickej rovnici. Tu nám kontrola ukáže, že všetky tri jej korene budú koreňmi iracionálnej rovnice uvedenej na začiatku.

A tu pôjdeme ešte ďalej. Aby ste sa zbavili koreňa, budete musieť zvýšiť obe strany iracionálnej rovnice na štvrtú mocninu, čo zase povedie k rovnici štvrtej mocniny. Kontrola ukáže, že iba jeden zo štyroch potenciálnych koreňov bude požadovaným koreňom iracionálnej rovnice a zvyšok bude cudzí.

Posledné tri príklady ilustrujú nasledujúce tvrdenie: ak zvýšenie oboch strán iracionálnej rovnice na rovnakú párnu mocninu vytvorí rovnicu, ktorá má korene, potom ich následné overenie môže ukázať, že

  • alebo sú to všetky cudzie korene pôvodnej rovnice a tá nemá žiadne korene,
  • alebo medzi nimi nie sú vôbec žiadne cudzie korene a všetky sú koreňmi pôvodnej rovnice,
  • alebo len niektorí z nich sú outsideri.

Nastal čas prejsť k riešeniu najjednoduchších iracionálnych rovníc s nepárnym koreňovým exponentom, teda rovníc tvaru . Zapíšme si zodpovedajúci algoritmus.

Algoritmus riešenia iracionálnych rovníc metóda zvýšenia oboch strán rovnice na rovnakú nepárnu mocninu:

  • Obe strany iracionálnej rovnice sú umocnené na rovnakú nepárnu mocninu 2·k+1.
  • Výsledná rovnica je vyriešená. Jeho riešenie je riešením pôvodnej rovnice.

Upozornenie: vyššie uvedený algoritmus, na rozdiel od algoritmu na riešenie najjednoduchších iracionálnych rovníc s exponentom párneho koreňa, neobsahuje klauzulu o odstránení cudzích koreňov. Vyššie sme ukázali, že zvýšenie oboch strán rovnice na nepárnu mocninu je ekvivalentnou transformáciou rovnice, čo znamená, že takáto transformácia nevedie k objaveniu sa cudzích koreňov, takže ich nie je potrebné filtrovať.

Takže riešenie iracionálnych rovníc zvýšením oboch strán na rovnakú nepárnu moc možno vykonať bez eliminácie outsiderov. Zároveň nezabudnite, že pri zvýšení na rovnomerný výkon je potrebné overenie.

Poznanie tejto skutočnosti nám umožňuje legálne sa vyhnúť preosievania cudzích koreňov pri riešení iracionálnej rovnice . Okrem toho je v tomto prípade kontrola spojená s „nepríjemnými“ výpočtami. Aj tak tam nebudú žiadne cudzie korene, pretože sa zvýši na nepárnu mocninu, konkrétne na kocku, čo je ekvivalentná transformácia. Je jasné, že kontrolu je možné vykonať, ale skôr pre sebakontrolu, aby sa ďalej overila správnosť nájdeného riešenia.

Zhrňme si priebežné výsledky. V tomto bode sme v prvom rade rozšírili už známy arzenál riešenia rôznych rovníc o ďalšiu transformáciu, ktorá spočíva v umocnení oboch strán rovnice na rovnakú mocninu. Po zvýšení na rovnomernú moc môže byť táto transformácia nerovnaká a pri jej použití je potrebné skontrolovať, či sa odfiltrujú cudzie korene. Keď sa zvýši na nepárnu mocninu, špecifikovaná transformácia je ekvivalentná a nie je potrebné filtrovať cudzie korene. A po druhé, naučili sme sa používať túto transformáciu na riešenie najjednoduchších iracionálnych rovníc tvaru , kde n je koreňový exponent, f(x) a g(x) sú racionálne výrazy.

Teraz je čas pozrieť sa na zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú moc zo všeobecnej perspektívy. To nám umožní metódu riešenia iracionálnych rovníc na nej založenú rozšíriť z najjednoduchších iracionálnych rovníc na iracionálne rovnice zložitejšieho typu. Poďme to spraviť.

V skutočnosti sa pri riešení rovníc zvýšením oboch strán rovnice na rovnakú mocninu používa všeobecný prístup, ktorý je nám známy: pôvodná rovnica sa niekoľkými transformáciami transformuje na jednoduchšiu rovnicu, transformuje sa na ešte jednoduchšiu rovnicu. jeden a tak ďalej, až po rovnice, ktoré vieme vyriešiť. Je jasné, že ak sa v reťazci takýchto transformácií uchýlime k umocneniu oboch strán rovnice na rovnakú mocninu, potom môžeme povedať, že postupujeme rovnakou metódou umocnenia oboch strán rovnice na rovnakú mocninu. Zostáva len presne zistiť, aké transformácie a v akom poradí je potrebné vykonať na vyriešenie iracionálnych rovníc zvýšením oboch strán rovnice na rovnakú mocninu.

Tu je všeobecný prístup k riešeniu iracionálnych rovníc zvýšením oboch strán rovnice na rovnakú mocninu:

  • Najprv musíte prejsť od pôvodnej iracionálnej rovnice k jednoduchšej rovnici, ktorú možno zvyčajne dosiahnuť cyklickým vykonávaním nasledujúcich troch akcií:
    • Izolácia radikálu (alebo podobné techniky, napr. izolácia produktu radikálov, izolácia zlomku, ktorého čitateľom a/alebo menovateľom je koreň, čo umožňuje po následnom umocnení oboch strán rovnice zbaviť sa koreňa).
    • Zjednodušenie tvaru rovnice.
  • Po druhé, musíte vyriešiť výslednú rovnicu.
  • Nakoniec, ak počas riešenia došlo k prechodom na dôsledok rovníc (najmä ak boli obe strany rovnice umocnené na párnu mocninu), potom je potrebné eliminovať cudzie korene.

Uveďme nadobudnuté poznatky do praxe.

Vyriešme príklad, v ktorom samota radikála privedie iracionálnu rovnicu do jej najjednoduchšej podoby, po ktorej už zostáva len umocniť obe strany, vyriešiť výslednú rovnicu a pomocou kontroly odstrániť cudzie korene.

Nasledovnú iracionálnu rovnicu možno vyriešiť oddelením zlomku s radikálom v menovateli, ktorý je možné eliminovať následným umocnením oboch strán rovnice. A potom je všetko jednoduché: výsledná zlomkovo-racionálna rovnica sa vyrieši a vykoná sa kontrola, aby sa do odpovede vylúčili cudzie korene.

Iracionálne rovnice, ktoré obsahujú dva korene, sú celkom typické. Zvyčajne sa úspešne vyriešia zvýšením oboch strán rovnice na rovnakú mocninu. Ak majú korene rovnaký stupeň a okrem nich neexistujú žiadne ďalšie výrazy, potom na odstránenie radikálov stačí radikál izolovať a vykonať umocnenie raz, ako v nasledujúcom príklade.

A tu je príklad, v ktorom sú tiež dva korene, okrem nich neexistujú žiadne pojmy, ale stupne koreňov sú rôzne. V tomto prípade, po izolácii radikálu, je vhodné zvýšiť obe strany rovnice na mocnosť, ktorá eliminuje oba radikály naraz. Takýto stupeň slúži napríklad ako ukazovatele koreňov. V našom prípade sú stupne koreňov 2 a 3, LCM(2, 3) = 6, preto obe strany umocníme na šiestu mocninu. Všimnite si, že môžeme konať aj po štandardnej ceste, ale v tomto prípade sa budeme musieť uchýliť k zvýšeniu výkonu oboch častí dvakrát: najprv na druhú, potom na tretiu. Ukážeme si obe riešenia.

V zložitejších prípadoch, pri riešení iracionálnych rovníc zvýšením oboch strán rovnice na rovnakú mocninu, sa treba uchýliť k zvýšeniu mocniny dvakrát, menej často - trikrát a ešte menej často - viackrát. Prvá iracionálna rovnica, ilustrujúca to, čo bolo povedané, obsahuje dva radikály a jeden ďalší člen.

Riešenie nasledujúcej iracionálnej rovnice tiež vyžaduje dve po sebe nasledujúce umocnenia. Ak nezabudnete izolovať radikály, potom stačia dve umocnenia, aby ste sa zbavili troch radikálov prítomných v jeho zápise.

Metóda zvýšenia oboch strán iracionálnej rovnice na rovnakú mocnosť umožňuje vyrovnať sa s iracionálnymi rovnicami, v ktorých pod koreňom je ďalší koreň. Tu je riešenie typického príkladu.

Nakoniec, skôr ako prejdeme k analýze nasledujúcich metód riešenia iracionálnych rovníc, je potrebné poznamenať, že zvýšenie oboch strán iracionálnej rovnice na rovnakú mocninu môže v dôsledku ďalších transformácií poskytnúť rovnicu, ktorá má nekonečné množstvo riešení. Rovnica, ktorá má nekonečne veľa koreňov, sa získa napríklad umocnením oboch strán iracionálnej rovnice a následné zjednodušenie tvaru výslednej rovnice. Z pochopiteľných dôvodov však nemôžeme vykonať kontrolu zámeny. V takýchto prípadoch sa musíte buď uchýliť k iným overovacím metódam, o ktorých budeme hovoriť, alebo opustiť metódu zvýšenia oboch strán rovnice na rovnakú mocnosť v prospech inej metódy riešenia, napríklad v prospech metódy to predpokladá.

Skúmali sme riešenia najtypickejších iracionálnych rovníc zvýšením oboch strán rovnice na rovnakú mocninu. Študovaný všeobecný prístup umožňuje vyrovnať sa aj s inými iracionálnymi rovnicami, ak je pre ne tento spôsob riešenia vôbec vhodný.

Metóda na zavedenie novej premennej

Kedy je ešte celkom ľahké vidieť možnosť zavedenia novej premennej? Keď rovnica obsahuje „prevrátené“ zlomky a (s vaším dovolením ich budeme nazývať vzájomne inverzné analogicky s ). Ako by sme vyriešili racionálnu rovnicu so zlomkami, ako sú tieto? Jeden z týchto zlomkov by sme brali ako novú premennú t, zatiaľ čo druhý zlomok by sme prostredníctvom novej premennej vyjadrili ako 1/t. V iracionálnych rovniciach nie je zavedenie novej premennej týmto spôsobom úplne praktické, pretože ak sa chcete ďalej zbaviť koreňov, s najväčšou pravdepodobnosťou budete musieť zaviesť inú premennú. Je lepšie okamžite prijať koreň zlomku ako novú premennú. Potom transformujte pôvodnú rovnicu pomocou jednej z rovníc A , čo vám umožní prejsť na rovnicu s novou premennou. Pozrime sa na príklad.

Nezabudnite na už známe možnosti výmeny. Napríklad výraz x+1/x a x 2 +1/x 2 sa môže objaviť v zázname iracionálnej rovnice, čo núti zamyslieť sa nad možnosťou zavedenia novej premennej x+1/x=t. Táto myšlienka nevzniká náhodou, pretože sme to už urobili, keď sme sa rozhodli recipročné rovnice. Tento spôsob zavádzania novej premennej, podobne ako iné nám už známe metódy, treba mať na pamäti pri riešení iracionálnych rovníc, ale aj rovníc iných typov.

Prechádzame k zložitejším iracionálnym rovniciam, v ktorých je ťažšie rozoznať výraz vhodný na zavedenie novej premennej. A začnime rovnicami, v ktorých sú radikálové výrazy rovnaké, ale na rozdiel od vyššie uvedeného prípadu väčší exponent jedného koreňa nie je úplne rozdelený menším exponentom druhého koreňa. Poďme zistiť, ako v takýchto prípadoch vybrať správny výraz na zavedenie novej premennej.

Keď sú radikálové výrazy rovnaké a väčší exponent jedného koreňa k 1 nie je úplne rozdelený menším exponentom druhého koreňa k 2 , koreň stupňa LCM (k 1 , k 2) možno považovať za nová premenná, kde LCM je . Napríklad v iracionálnej rovnici sa korene rovnajú 2 a 3, tri nie sú násobkom dvoch, LCM(3, 2)=6, takže nová premenná môže byť zavedená ako . Ďalej, definícia koreňa, ako aj vlastnosti koreňov, vám umožňujú transformovať pôvodnú rovnicu, aby ste explicitne vybrali výraz a potom ho nahradili novou premennou. Ponúkame úplné a podrobné riešenie tejto rovnice.

Pomocou podobných princípov sa zavádza nová premenná v prípadoch, keď sa výrazy pod koreňmi líšia v stupňoch. Napríklad, ak je v iracionálnej rovnici premenná obsiahnutá iba pod koreňmi a samotné korene majú tvar a , potom by ste mali vypočítať najmenší spoločný násobok koreňov LCM(3, 4) = 12 a vziať . Okrem toho by sa podľa vlastností koreňov a mocností mali korene transformovať ako A podľa toho, čo vám umožní zaviesť novú premennú.

Podobne môžete konať aj v iracionálnych rovniciach, v ktorých pod koreňmi s rôznymi exponentmi sú vzájomne inverzné zlomky a . To znamená, že je vhodné zakoreniť s indikátorom rovným LCM koreňových indikátorov ako novú premennú. Potom prejdite na rovnicu s novou premennou, ktorá nám umožňuje robiť rovnosti A , definícia koreňa, ako aj vlastnosti koreňov a mocniny. Pozrime sa na príklad.

Teraz si povedzme o rovniciach, v ktorých možno len tušiť možnosť zavedenia novej premennej a ktoré sa v prípade úspechu otvoria až po celkom vážnych transformáciách. Napríklad až po sérii nie tak zrejmých transformácií sa iracionálna rovnica dostane do tvaru , čo otvára cestu k náhrade . Uveďme riešenie tohto príkladu.

Na záver pridáme trochu exotiky. Niekedy sa dá iracionálna rovnica vyriešiť zavedením viac ako jednej premennej. Tento prístup k riešeniu rovníc je navrhnutý v učebnici. Tam vyriešiť iracionálnu rovnicu navrhuje sa zadať dve premenné . Učebnica poskytuje krátke riešenie, obnovme detaily.

Riešenie iracionálnych rovníc metódou faktorizácie

Okrem metódy zavedenia novej premennej sa na riešenie iracionálnych rovníc používajú aj iné všeobecné metódy, najmä metóda faktorizácie. Článok na odkaze uvedenom v predchádzajúcej vete podrobne rozoberá, kedy sa metóda faktorizácie používa, aká je jej podstata a na čom je založená. Tu nás viac zaujíma nie samotná metóda, ale jej využitie pri riešení iracionálnych rovníc. Materiál preto uvedieme nasledovne: stručne si pripomenieme hlavné ustanovenia metódy, potom podrobne rozoberieme riešenia charakteristických iracionálnych rovníc pomocou metódy faktorizácie.

Metóda faktorizácie sa používa na riešenie rovníc, v ktorých je na ľavej strane súčin a na pravej strane nuly, to znamená na riešenie rovníc tvaru f1(x)f2(x)fn(x)=0, kde f 1, f 2, …, f n sú niektoré funkcie. Podstatou metódy je nahradiť rovnicu f1(x)f2(x)fn(x)=0 na premennej x pre pôvodnú rovnicu.

Prvá časť poslednej vety o prechode do množiny vyplýva zo skutočnosti známej zo základnej školy: súčin viacerých čísel sa rovná nule práve vtedy, ak sa aspoň jedno z čísel rovná nule. Prítomnosť druhej časti o ODZ sa vysvetľuje tým, že prechod z rovnice f1(x)f2(x)fn(x)=0 na súbor rovníc f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0, …, f n (x) = 0 môžu byť nerovnaké a viesť k objaveniu sa cudzích koreňov, ktoré je možné v tomto prípade eliminovať zohľadnením ODZ. Stojí za zmienku, že skríning cudzích koreňov, ak je to vhodné, možno vykonať nielen prostredníctvom ODZ, ale aj inými spôsobmi, napríklad kontrolou nahradením nájdených koreňov do pôvodnej rovnice.

Takže na vyriešenie rovnice f1(x)f2(x)fn(x)=0 pomocou metódy faktorizácie, vrátane iracionálnej, je potrebné

  • Prejdite na sadu rovníc f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0, …, f n (x) = 0,
  • Vyriešte zloženú množinu,
  • Ak množina riešení nemá, potom urobte záver, že pôvodná rovnica nemá korene. Ak existujú korene, odstráňte cudzie korene.

Prejdime k praktickej časti.

Ľavé strany typických iracionálnych rovníc, ktoré sa riešia faktorizáciou, sú produktmi niekoľkých algebraických výrazov, zvyčajne lineárnych binomických a kvadratických trinómov, a niekoľkých koreňov s algebraickými výrazmi pod nimi. Na pravej strane sú nuly. Takéto rovnice sú ideálne na získanie počiatočných zručností pri ich riešení. Začneme riešením podobnej rovnice. Pritom sa pokúsime dosiahnuť dva ciele:

  • pri riešení iracionálnej rovnice zvážte všetky kroky algoritmu faktorizačnej metódy,
  • pripomenúť tri hlavné spôsoby preosievania cudzích koreňov (pomocou ODZ, podmienkami ODZ a priamym dosadením riešení do pôvodnej rovnice).

Nasledujúca iracionálna rovnica je typická v tom zmysle, že pri jej riešení faktorizačnou metódou je vhodné odfiltrovať cudzie korene podľa podmienok ODZ a nie podľa ODZ vo forme číselnej množiny, pretože je ťažké získať ODZ vo forme číselného faktora. Problém je v tom, že jednou z podmienok definujúcich DL je iracionálna nerovnosť . Tento prístup k odstraňovaniu cudzích koreňov umožňuje zaobísť sa bez jeho riešenia, navyše sa niekedy v kurze matematikov vôbec neučí o riešení iracionálnych nerovností.

Je dobré, keď má rovnica súčin na ľavej strane a nulu na pravej strane. V tomto prípade môžete okamžite prejsť na množinu rovníc, vyriešiť ju, nájsť a zahodiť korene cudzie pôvodnej rovnici, čím získate požadované riešenie. Ale častejšie majú rovnice inú formu. Ak je zároveň príležitosť pretransformovať ich do podoby vhodnej na aplikáciu faktorizačnej metódy, tak prečo neskúsiť vykonať príslušné transformácie. Napríklad na získanie produktu na ľavej strane nasledujúcej iracionálnej rovnice stačí uchýliť sa k rozdielu štvorcov.

Existuje ďalšia trieda rovníc, ktoré sa zvyčajne riešia faktorizáciou. Zahŕňa rovnice, ktorých obe strany sú súčinmi, ktoré majú rovnaký faktor vo forme výrazu s premennou. Toto je napríklad iracionálna rovnica . Môžete postupovať tak, že obe strany rovnice vydelíte rovnakým faktorom, ale nesmiete zabudnúť samostatne skontrolovať hodnoty, pri ktorých tieto výrazy zmiznú, inak môžete stratiť riešenia, pretože delenie oboch strán rovnice rovnakým výrazom môže ísť o nerovnomernú transformáciu. Spoľahlivejšie je použiť metódu faktorizácie, čím je možné zaručiť, že pri ďalšom správnom riešení nedôjde k strate koreňov. Je jasné, že na to musíte najprv dostať súčin na ľavú stranu rovnice a nulu na pravú stranu. Je to jednoduché: stačí posunúť výraz z pravej strany doľava, zmeniť jeho znamienko a z hranatých zátvoriek odstrániť spoločný činiteľ. Ukážme úplné riešenie podobnej, ale o niečo zložitejšej iracionálnej rovnice.

Je užitočné začať riešiť akúkoľvek rovnicu (ako v skutočnosti riešenie mnohých iných problémov) nájdením ODZ, najmä ak je ľahké nájsť ODZ. Uveďme niektoré z najzrejmejších argumentov v prospech tohto.

Takže, keď ste dostali úlohu vyriešiť rovnicu, nemali by ste sa ponáhľať do transformácií a výpočtov bez toho, aby ste sa obzreli späť, možno sa len pozrite na ODZ? Jasne to demonštruje nasledujúca iracionálna rovnica.

Funkčná grafická metóda

Grafická metóda

Využívanie vlastností rastúcich a klesajúcich funkcií

Ako sme už uviedli, grafická metóda riešenia iracionálnych rovníc je nepohodlná v prípadoch, keď sú výrazy na ľavej a pravej strane rovnice dosť zložité v tom zmysle, že nie je ľahké zostrojiť zodpovedajúce grafy funkcií. Ale dosť často sa namiesto grafov môžete odvolávať na vlastnosti funkcií. Existuje metóda riešenia rovníc, ktorá využíva monotónnosť funkcií zodpovedajúcich častiam rovnice. Najmä táto metóda umožňuje riešiť iracionálne rovnice. Je založená na nasledujúcom vyhlásení:

Vyhlásenie

ak je na množine X funkcia f definovaná a striktne monotónna (rastúca alebo klesajúca), potom rovnica f(x)=C, kde C je určité číslo, má buď jeden koreň, alebo nemá žiadne korene na špecifikovanej množine.

Zhrnie sa na to nasledujúce vyhlásenie:

Vyhlásenie

ak sú funkcie f a g definované na množine X a jedna z nich rastie a druhá klesá, potom rovnica f(x)=g(x) má buď jeden koreň, alebo nemá žiadne korene na množine X.

Tieto tvrdenia sa zvyčajne používajú na riešenie rovníc, keď je možné nejakým spôsobom určiť jeden koreň rovnice a je možné dokázať nárast a pokles zodpovedajúcich funkcií.

Pokiaľ ide o nájdenie koreňa rovnice, v typických prípadoch je zrejmé alebo ľahko uhádnuteľné. Zvyčajne je koreňom iracionálnej rovnice nejaké číslo z ODZ, pri dosadení do pôvodnej rovnice pod koreňmi dostaneme čísla, ktorých korene sa dajú ľahko extrahovať.

Pokiaľ ide o dôkaz rastúcich a klesajúcich funkcií, zvyčajne sa vykonáva na základe vlastností základných elementárnych funkcií a známych vlastnosti rastúcich a klesajúcich funkcií(ako napríklad koreň rastúcej funkcie je rastúca funkcia), alebo v zložitejších prípadoch sa derivácia používa na dôkaz.

Pozrime sa na tieto body pri riešení iracionálnych rovníc.

Začnime riešením typickej iracionálnej rovnice: dokážeme zvýšenie funkcie zodpovedajúcej jednej z jej častí, dokážeme pokles funkcie zodpovedajúcej druhej časti rovnice a z ODZ premennej sa vyberie koreň. pre rovnicu, ktorá bude v tomto prípade jedinečná.

Nasledujúca iracionálna rovnica musí byť tiež vyriešená pomocou funkčno-grafickej metódy. Koreň rovnice sa dá ľahko nájsť, ako v predchádzajúcom príklade, ale tu je potrebné dokázať zvýšenie jednej funkcie a zníženie inej funkcie pomocou derivácie.

Zhrňme si problematiku využitia vlastností rastúcich a klesajúcich funkcií pri riešení rovníc:

  • ak je koreň rovnice viditeľný, môžete sa pokúsiť preskúmať funkcie zodpovedajúce ľavej a pravej strane rovnice na zvýšenie a zníženie. Snáď nám to umožní dokázať jedinečnosť nájdeného koreňa.
  • ak je jasné, že jedna z funkcií f a g je klesajúca a druhá rastúca, potom by ste sa mali pokúsiť nájsť jediný možný koreň rovnice akýmkoľvek dostupným spôsobom. Ak nájdeme tento koreň, rovnica bude vyriešená.

Metóda hodnotenia

Nakoniec sa dostávame k poslednej z troch hlavných odrôd funkčno-grafickej metódy riešenia rovníc, ktorá je založená na použití ohraničenosti funkcií. Dohodnime sa, že tento typ funkčno-grafickej metódy nazveme metódou hodnotenia.

Metóda odhadu sa zvyčajne používa na riešenie rovníc tvaru f(x)=C, kde f(x) je nejaký výraz s premennou x (a f je zodpovedajúca funkcia), C je nejaké číslo alebo tvar g(x). )=h(x) , kde g(x) a h(x) sú nejaké výrazy s premennou x (a g a h sú zodpovedajúce funkcie). Všimnite si, že rovnicu g(x)=h(x) možno vždy zredukovať na ekvivalentnú rovnicu tvaru f(x)=C (najmä prenesením výrazu h(x) z pravej strany na ľavú stranu s opačným znamienkom), to znamená, že sa môžeme obmedziť na uvažovanie o metóde odhadu len pre rovnice tvaru f(x)=C. Niekedy je však celkom vhodné pracovať s rovnicami tvaru g(x)=h(x) , takže ich uvažovanie neodmietneme.

Riešenie rovníc pomocou metódy odhadu prebieha v dvoch etapách. Prvou fázou je odhad hodnôt funkcie f (alebo zodpovedajúceho výrazu f(x), čo je v podstate to isté), ak je vyriešená rovnica f(x)=C, alebo odhad hodnôt funkcie g a h (alebo zodpovedajúce výrazy f(x ) a g(x) ), ak je vyriešená rovnica g(x)=h(x). Druhou etapou je využitie získaných odhadov na ďalšie hľadanie koreňov rovnice alebo zdôvodnenie ich absencie. Ujasnime si tieto body.

Ako sa hodnotia funkčné hodnoty? Táto problematika je podrobne diskutovaná v. Tu sa obmedzíme na vymenovanie metód odhadu, ktoré sa najčastejšie používajú pri riešení iracionálnych rovníc pomocou metódy odhadu. Tu je zoznam metód hodnotenia:

  • Vyhodnotenie na základe definície odmocniny s párnym exponentom. Keďže podľa definície je koreň s párnym exponentom nezáporné číslo, potom pre ľubovoľné x z ODZ pre výraz , kde n je prirodzené číslo, p(x) je nejaký výraz, nerovnosť je platná a vtedy a len vtedy, ak p(x)= 0 .
  • Odhad založený na nasledujúcej vlastnosti koreňov: pre ľubovoľné nezáporné čísla a a b, a , ≥ ), nerovnosť (≤ , > , ≥ ) je splnená. Ak je pre ľubovoľné x z OD splnená nerovnosť p(x) pre výraz , ≥ ), kde c je nejaké nezáporné číslo, potom pre každé x z ODZ platí nerovnosť (≤ , > , ≥ ).
  • Odhad založený na skutočnosti, že mocnina ľubovoľného čísla s párnym exponentom je nezáporné číslo. Pre ľubovoľné x z ODZ platí pre výraz p 2·n (x) nerovnosť p 2·n (x)≥0 a p 2·n (x)=0 práve vtedy, ak p(x)= 0.
  • Odhad hodnôt kvadratického trinomu. Na odhad môžete použiť ordinátu vrcholu paraboly a so záporným diskriminantom - nulu.
    • Ak a>0, potom a x 2 +b x+c≥y 0, kde y 0 je ordináta vrcholu paraboly, a ak a<0 , то a·x 2 +b·x+c≤y 0 .
    • Ak a>0 a diskriminant D<0 , то a·x 2 +b·x+c>0, a ak a<0 и D<0 , то a·x 2 +b·x+c<0 .
  • Odhad založený na vlastnostiach numerických nerovností.
  • Odhad cez najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie zistenú pomocou derivácie. Ak je A najmenšia hodnota funkcie p na množine X, potom nerovnosť p(x)≥A platí na X. Ak je B najväčšia hodnota funkcie p na množine X, potom na X platí nerovnosť p(x)≤B.

Povedzme, že sme dokončili prvú fázu, to znamená, že sme odhadli hodnoty funkcií. Vzniká logická otázka, ako ďalej využiť získané odhady na riešenie rovnice. A potom sa musíte odvolať na jedno z nasledujúcich vyhlásení:

Ustanovenia druhého bloku výrokov vyplývajú z vlastností sčítania a násobenia skutočných číselných nerovností rovnakého významu.

Prvý blok pozícií bude jasný, ak si predstavíte relatívnu polohu grafu funkcie f a priamky y=C, a polohy zvyšných blokov - ak si predstavíte relatívnu polohu grafov funkcií g a h.

Pozrime sa na prvý blok výrokov. Keď je graf funkcie f pod alebo nie nad priamkou y=A, ktorá je zase pod priamkou y=C, potom je jasné, že sa nepretína s priamkou y=C, čo znamená absenciu korene rovnice f(x)=C. Keď je graf funkcie f vyššie alebo nie nižšie ako priamka y=B, ktorá je zase vyššia ako priamka y=C, potom je jasné, že sa nepretína s priamkou y=C, to znamená neprítomnosť koreňov rovnice f(x)=C. Keď je graf funkcie f pod alebo nad priamkou y=C, potom je jasné, že sa s touto priamkou nepretína, z toho tiež vyplýva absencia koreňov rovnice f(x)=C.

Teraz zdôvodnime tretí blok výrokov. Nech sú na množine X hodnoty funkcie g menšie alebo nie väčšie ako číslo A a hodnoty funkcie h nech sú väčšie alebo nie menšie ako číslo B. To znamená, že všetky body na grafe funkcie g sú pod alebo nie nad priamkou y=A a body na grafe funkcie h sú nad alebo nie pod priamkou y=B. Je jasné, že na množine X pre A

Prejdime k štvrtému bloku výrokov. Tu je v prvom prípade jeden graf umiestnený pod touto čiarou, druhý je umiestnený nad touto čiarou. V druhom prípade jeden graf nie je nad touto čiarou, druhý je nad touto čiarou. V treťom prípade je jeden graf pod touto čiarou, druhý nie je pod touto čiarou. Je jasné, že vo všetkých prípadoch grafy nemajú spoločné body, čo znamená, že rovnica g(x) = h(x) nemá riešenia.

V druhom prípade graf jednej funkcie nie je vyšší ako priamka y=C a graf druhej funkcie nie je nižší ako táto priamka. Je jasné, že grafy môžu mať spoločné body len na tejto priamke. To vysvetľuje prechod z rovnice g(x)=h(x) do systému.

Môžete prejsť k praxi. Uvažujme riešenia charakteristických iracionálnych rovníc pomocou metódy odhadu.

Po prvé, stojí za to pochopiť otázku presnosti odhadovania hodnôt výrazov. Aby bolo jasné, odkiaľ táto otázka pochádza, pozrite sa na tri odhady koreňových hodnôt: prvý , druhý, tretí a povedzte mi, ktorý z nich mám uprednostniť? Prvý z nich zahodíme, pretože je väčšinou pritiahnutý, ale druhý a tretí odhad sú celkom funkčné a v závislosti od situácie možno použiť prvý z nich, relatívne hrubý, aj druhý. Pozrime sa na túto problematiku z praktického hľadiska.

Na dôkaz, že rovnica nemá riešenia, postačia hrubé odhady. Hlavnou výhodou hrubých odhadov oproti presnejším odhadom je ich relatívne jednoduché získanie. Hrubé odhady sú prakticky zrejmé a nevyžadujú si ďalší výskum, keďže sú založené na dobre známych faktoch, ako napríklad: druhá odmocnina je nezáporné číslo, modul je nezáporné číslo, druhá mocnina čísla je nezáporné číslo, súčet kladných prevrátených hodnôt nie je menší ako dva, hodnoty kvadratického trinomu so záporným vedúcim členom a záporným diskriminantom sú záporné atď. Takže na vyriešenie nasledujúcej iracionálnej rovnice metódou odhadu stačí hrubý odhad koreňa na jednej strane a kvadratického trinomu na strane druhej.

Zvyčajne je jednoduchšie získať hrubé odhady hodnôt funkcií alebo výrazov ako presné. Hrubé odhady nám však často neumožňujú vyvodiť závery o koreňoch riešených rovníc, zatiaľ čo presnejšie odhady to umožňujú. Poďme vyriešiť typickú iracionálnu rovnicu.

Začnime riešením jednoduchej, ale veľmi charakteristickej iracionálnej rovnice: odhad hodnôt jej ľavej strany vyplýva z odhadov jej základných koreňov a z výsledného odhadu vyplýva záver, že neexistujú žiadne korene rovnice.

Situácia je zaujímavejšia, keď výraz zodpovedajúci ľavej strane iracionálnej rovnice f(x)=C je súčtom alebo súčinom niekoľkých výrazov a jeho hodnoty sa odhadujú ako f(x)≤C alebo f(x) ≥C. V takýchto prípadoch vyššie napísané tvrdenia predpisujú prechod z pôvodnej iracionálnej rovnice na ekvivalentný systém rovníc. Uveďme riešenie charakteristickej iracionálnej rovnice.

Upevnime si zručnosti prechodu pomocou metódy odhadu z iracionálnej rovnice f(x) = C so súčtom alebo súčinom na ľavej strane k ekvivalentnému systému rovníc. K tomu budeme riešiť pomerne zložitú iracionálnu rovnicu, ktorej ľavá strana je súčtom dvoch iracionálnych výrazov, z ktorých jeden je súčinom dvoch výrazov. Princíp riešenia je rovnaký: získame odhad, ktorý nám umožní prejsť z pôvodnej rovnice na ekvivalentný systém.

Prejdime k iracionálnym rovniciam tvaru g(x)=h(x) .

Predchádzajúce príklady boli z hľadiska hodnotenia hodnôt výrazov a funkcií pomerne jednoduché. Je čas popracovať na hodnotiacom aspekte podrobnejšie. Z pochopiteľných dôvodov sa zameriame na metódy hodnotenia, ku ktorým sa treba najčastejšie uchýliť pri riešení iracionálnych rovníc pomocou metódy hodnotenia. Začnime metódami odhadu, ktoré nevyžadujú hľadanie derivátu. Na vyriešenie nasledujúcej iracionálnej rovnice teda budete musieť použiť takmer všetky známe prostriedky: od vlastnosti mocnín s párnym exponentom a vlastnosti monotónnosti funkcie extrakcie odmocniny až po odhady založené na vlastnostiach číselných rovníc.

Metódy získavania odhadov, ktoré sme použili vo všetkých predchádzajúcich príkladoch, úplne nepokrývajú problematiku odhadovania hodnôt. Inými slovami, nie je vždy možné s ich pomocou vyhodnotiť hodnoty funkcií a výrazov. Uvažované metódy nie sú dobré najmä vtedy, keď sa rozsah prípustných hodnôt premennej x pre riešenú iracionálnu rovnicu líši od množiny všetkých reálnych čísel R. Ako príklad uvádzame odhad koreňa v dvoch prípadoch: keď ODZ je množina R a keď ODZ je segment od 3 do 5. Na základe metód odhadu, ktoré sme použili vyššie, môžeme získať odhad . Pre prípad, keď je ODZ množina R, je tento odhad veľmi dobrý. Ale pre prípad, keď je ODZ segment, zaznamenaný odhad sa už ukazuje ako pomerne hrubý a je možné presnejšie odhadnúť koreň, a to ako . Ale nie je to len DL, čo obmedzuje možnosti získavania odhadov pomocou metód diskutovaných vyššie. Tieto metódy často neposkytujú schopnosť odhadnúť funkčné hodnoty kvôli typu odhadovanej funkcie. Napríklad metódy odhadu, o ktorých hovoríme, nám umožňujú odhadnúť hodnoty koreňov a , ako aj ich súčet: , , odkiaľ a ďalej . Ale tieto metódy odhadu nám už neumožňujú odhadnúť rozdiel medzi uvedenými koreňmi. V takýchto situáciách je potrebné uchýliť sa k štúdiu funkcie, nájsť jej najväčšie a najmenšie hodnoty, pomocou ktorých možno hodnotiť hodnoty funkcie. Niekedy je vhodné kombinovať rôzne metódy získavania odhadov. Ukážme riešenie charakteristickej iracionálnej rovnice.

Na záver rozhovoru o riešení iracionálnych rovníc funkčno-grafickou metódou a najmä metódou odhadu si spomeňme na jeden sľub daný na konci odseku venovaného. Pamätajte, že sme vyriešili iracionálnu rovnicu pomerne exotickým spôsobom zavedením dvoch nových premenných (na ktoré bolo ešte potrebné myslieť) a sľúbili ukázať jeho riešenie štandardnejšou metódou. Táto metóda je v tomto prípade metódou hodnotenia. Splňme teda svoj sľub.

Riešenie iracionálnych rovníc cez ODZ

Veľmi často súčasťou procesu riešenia rovníc je. Dôvody, ktoré nútia hľadať ODZ, môžu byť rôzne: je potrebné vykonať transformácie rovnice a ako je známe, vykonávajú sa na ODZ, zvolená metóda riešenia zahŕňa nájdenie ODZ, vykonanie kontroly pomocou ODZ a pod. A v určitých prípadoch ODZ pôsobí nielen ako pomocný alebo kontrolný nástroj, ale umožňuje tiež získať riešenie rovnice. Tu máme na mysli dve situácie: keď je ODZ prázdna množina a keď je ODZ konečná množina čísel.

Je jasné, že ak je ODZ rovnice, najmä iracionálnej, prázdnou množinou, potom rovnica nemá riešenia. Takže ODZ premennej x pre nasledujúcu iracionálnu rovnicu je prázdna množina, čo znamená, že rovnica nemá žiadne riešenia.

Keď je ODZ premennej pre rovnicu konečnou množinou čísel, potom postupnou kontrolou dosadením týchto čísel možno získať riešenie rovnice. Uvažujme napríklad iracionálnu rovnicu, pre ktorú sa ODZ skladá z dvoch čísel a substitúcia ukazuje, že iba jedno z nich je koreňom rovnice, z čoho sa usudzuje, že tento koreň je jediným riešením rovnice.

Riešenie iracionálnych rovníc v tvare „zlomok sa rovná nule“

Iracionálne rovnice redukujúce na číselné rovnosti

Prejdite na moduly

Ak v zápise iracionálnej rovnice pod znamienkom koreňa párneho stupňa existuje stupeň nejakého výrazu s exponentom rovným exponentu koreňa, potom môžete prejsť na modul. Táto transformácia prebieha vďaka jednému zo vzorcov, kde 2·m je párne číslo, a je akékoľvek reálne číslo. Stojí za zmienku, že táto transformácia je ekvivalentnou transformáciou rovnice. Pri takejto transformácii je totiž koreň nahradený identicky rovnakým modulom, pričom ODZ sa nemení.

Uvažujme charakteristickú iracionálnu rovnicu, ktorú možno vyriešiť prechodom na modul.

Oplatí sa vždy prejsť na moduly, keď je to možné? Vo veľkej väčšine prípadov je takýto prechod opodstatnený. Výnimkou sú prípady, keď je zrejmé, že alternatívne metódy riešenia iracionálnej rovnice vyžadujú relatívne menej práce. Vezmime si iracionálnu rovnicu, ktorá sa dá vyriešiť prechodom na moduly a niektorými inými metódami, napríklad kvadratúrou oboch strán rovnice alebo určením odmocniny, a uvidíme, ktoré riešenie bude najjednoduchšie a najkompaktnejšie.

V riešenom príklade riešenie na určenie koreňa vyzerá výhodnejšie: je kratšie a jednoduchšie ako riešenie prechodom do modulu, ako aj riešenie umocnením oboch strán rovnice. Mohli sme to vedieť pred riešením rovnice pomocou všetkých troch metód? Priznajme si to, nebolo to zrejmé. Takže keď sa pozeráte na niekoľko spôsobov riešenia a nie je hneď jasné, ktorý z nich uprednostniť, mali by ste sa pokúsiť nájsť riešenie s ktorýmkoľvek z nich. Ak to vyjde, tak dobre. Ak zvolená metóda nevedie k výsledkom alebo sa ukáže, že riešenie je veľmi ťažké, mali by ste vyskúšať inú metódu.

Na konci tohto bodu sa vráťme k iracionálnej rovnici. V predchádzajúcom odseku sme to už vyriešili a videli sme, že pokus vyriešiť to izoláciou radikálu a kvadratúrou oboch strán rovnice viedol k numerickej rovnosti 0=0 a nemožnosti vyvodiť záver o koreňoch. A riešenie na určenie koreňa zahŕňalo riešenie iracionálnej nerovnosti, čo je samo o sebe dosť ťažké. Dobrou metódou na riešenie tejto iracionálnej rovnice je prejsť na moduli. Uveďme podrobné riešenie.

Transformácia iracionálnych rovníc

Riešenie iracionálnych rovníc nie je takmer nikdy úplné bez ich transformácie. V čase, keď študujeme iracionálne rovnice, sme už oboznámení s ekvivalentnými transformáciami rovníc. Pri riešení iracionálnych rovníc sa používajú rovnako ako pri riešení predtým študovaných typov rovníc. Príklady takýchto transformácií iracionálnych rovníc ste videli v predchádzajúcich odsekoch a, vidíte, boli vnímané celkom prirodzene, keďže sú nám známe. Vyššie sme sa dozvedeli aj o pre nás novej transformácii - umocnení oboch strán rovnice na rovnakú mocninu, čo je typické pre iracionálne rovnice, vo všeobecnom prípade to nie je ekvivalentné. Stojí za to hovoriť o všetkých týchto transformáciách podrobne, aby ste poznali všetky jemné body, ktoré vznikajú počas ich implementácie, a vyhli sa chybám.

Budeme analyzovať transformácie iracionálnych rovníc v nasledujúcom poradí:

  1. Nahradenie výrazov identicky rovnakými výrazmi, ktoré nemenia ODZ.
  2. Pridanie rovnakého čísla na obe strany rovnice alebo odčítanie rovnakého čísla od oboch strán rovnice.
  3. Pridanie rovnakého výrazu, ktorý nemení hodnotu vlastnosti, na obe strany rovnice, alebo odčítanie rovnakého výrazu, ktorý nemení hodnotu vlastnosti, od oboch strán rovnice.
  4. Prenášanie pojmov z jednej strany rovnice na druhú s opačným znamienkom.
  5. Násobenie a delenie oboch strán rovnice rovnakým číslom iným ako nula.
  6. Násobenie a delenie oboch strán rovnice rovnakým výrazom, ktorý nemení rozsah prípustných hodnôt premennej a nezmení sa na nulu.
  7. Zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú moc.

Takže okruh otázok je načrtnutý. Začnime ich chápať na príkladoch.

Prvá transformácia, ktorá nás zaujíma, je nahradenie výrazov v rovnici identicky rovnakými výrazmi. Vieme, že je ekvivalentné, ak VA pre rovnicu získanú ako výsledok transformácie je rovnaká ako VA pre pôvodnú rovnicu. Z toho je zrejmé, že existujú dva hlavné dôvody výskytu chýb pri vykonávaní tejto transformácie: prvým je zmena OD, ktorá nastáva v dôsledku transformácie, druhým je nahradenie výrazu výrazom. ktorá sa mu nerovná. Preskúmajme tieto aspekty podrobne a v poradí, pričom zvážime príklady typických transformácií tohto typu.

Najprv si prejdeme typické transformácie rovníc, ktoré spočívajú v nahradení výrazu identicky rovnakým výrazom, ktoré sú vždy ekvivalentné. Tu je príslušný zoznam.

  • Preskupenie podmienok a faktorov. Táto transformácia môže byť vykonaná na ľavej aj pravej strane iracionálnej rovnice. Môže sa použiť napríklad na zoskupenie a následnú redukciu podobných výrazov, aby sa zjednodušil tvar rovnice. Preskupenie pojmov alebo faktorov je samozrejme ekvivalentnou transformáciou rovnice. Je to pochopiteľné: pôvodný výraz a výraz s preskupenými pojmami alebo činiteľmi sú identicky rovnaké (ak sa preskupenie vykoná správne) a je zrejmé, že takáto transformácia nemení ODZ. Uveďme si príklad. Na ľavej strane iracionálnej rovnice v súčine x·3·x môžete zameniť prvý a druhý faktor x a 3, čo vám následne umožní reprezentovať polynóm pod znamienkom odmocniny v štandardnej forme. A na pravej strane rovnice v súčte 4+x+5 môžete zameniť výrazy 4 a x, čo vám v budúcnosti umožní sčítať čísla 4 a 5. Po týchto preskupeniach bude mať iracionálna rovnica tvar , výsledná rovnica je ekvivalentná pôvodnej.
  • Rozširujúce zátvorky. Ekvivalencia tejto transformácie rovníc je zrejmá: výrazy pred a po otvorení zátvoriek sú identicky rovnaké a majú rovnaký rozsah prípustných hodnôt. Zoberme si napríklad iracionálnu rovnicu . Jeho riešenie vyžaduje otvorenie zátvoriek. Otvorením zátvoriek na ľavej strane rovnice, ako aj na pravej strane rovnice, sa dostaneme k ekvivalentnej rovnici.
  • Zoskupovanie pojmov a/alebo faktorov. Táto transformácia rovnice v podstate predstavuje nahradenie akéhokoľvek výrazu, ktorý je súčasťou rovnice, identicky rovnakým výrazom so zoskupenými výrazmi alebo faktormi. Očividne sa tým ODZ nemení. To znamená, že naznačená transformácia rovnice je ekvivalentná. Pre ilustráciu si zoberme iracionálnu rovnicu. Preusporiadanie pojmov (hovorili sme o tom o dva odseky vyššie) a zoskupenie pojmov nám umožňuje prejsť na ekvivalentnú rovnicu. Účel takéhoto zoskupenia pojmov je jasne viditeľný – vykonať nasledujúcu ekvivalentnú transformáciu, ktorá umožní zavedenie novej premennej.
  • Vymedzenie spoločného faktora. Je jasné, že výrazy pred vysadením spoločného súčiniteľa zo zátvoriek a po vysadení spoločného súčiniteľa zo zátvoriek sú identicky rovnaké. Je tiež jasné, že uvedenie spoločného faktora mimo zátvorky nezmení VA. Preto vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek vo výraze, ktorý je súčasťou rovnice, je ekvivalentnou transformáciou rovnice. Táto transformácia sa používa napríklad na reprezentáciu ľavej strany rovnice ako súčinu, aby sa vyriešila faktorizáciou. Tu je konkrétny príklad. Zvážte iracionálnu rovnicu. Ľavá strana tejto rovnice môže byť reprezentovaná ako súčin. Aby ste to dosiahli, musíte zo zátvoriek odstrániť spoločný faktor. V dôsledku tejto transformácie sa získa iracionálna rovnica , ekvivalentný pôvodnému, ktorý je možné vyriešiť faktorizáciou.
  • Nahradenie číselných výrazov ich hodnotami. Je jasné, že ak rovnica obsahuje určitý číselný výraz a tento číselný výraz nahradíme jeho hodnotou (správne vypočítanou), potom bude takéto nahradenie ekvivalentné. V podstate je totiž výraz nahradený identicky rovnakým výrazom a zároveň sa ODZ rovnice nemení. Teda nahrádzanie v iracionálnej rovnici súčtom dvoch čísel −3 a 1 a hodnotou tohto súčtu, ktorá sa rovná −2, dostaneme ekvivalentnú iracionálnu rovnicu. Podobne je možné vykonať ekvivalentnú transformáciu iracionálnej rovnice vykonávajúce operácie s číslami pod znamienkom koreňa (1+2=3 a ), táto transformácia nás privedie k ekvivalentnej rovnici .
  • Vykonávanie operácií s monočlenmi a polynómami nachádzajúcimi sa v zápise iracionálnej rovnice. Je jasné, že správna implementácia týchto akcií povedie k ekvivalentnej rovnici. V tomto prípade bude výraz skutočne nahradený identicky rovnakým výrazom a OD sa nezmení. Napríklad v iracionálnej rovnici môžete pridať monočlánky x 2 a 3 x 2 a prejsť na ekvivalentnú rovnicu . Ďalší príklad: odčítanie polynómov na ľavej strane iracionálnej rovnice je ekvivalentná transformácia, ktorá vedie k ekvivalentnej rovnici .

Naďalej uvažujeme o transformáciách rovníc, ktoré spočívajú v nahradení výrazov identicky rovnakými výrazmi. Takéto transformácie môžu byť tiež nerovnaké, pretože môžu zmeniť ODZ. Predovšetkým môže dôjsť k rozšíreniu ODZ. Môže k tomu dôjsť pri redukcii podobných pojmov, pri redukcii zlomkov, pri nahradení súčinu niekoľkými nulovými faktormi alebo zlomku s čitateľom rovným nule nulou a najčastejšie pri použití vzorcov zodpovedajúcich vlastnostiam koreňov. Mimochodom, neopatrné používanie vlastností koreňov môže viesť aj k zúženiu ODZ. A ak sú pri riešení rovníc prijateľné transformácie, ktoré rozširujú ODZ (môžu spôsobiť výskyt cudzích koreňov, ktoré sú určitým spôsobom eliminované), potom je potrebné opustiť transformácie, ktoré zužujú ODZ, pretože môžu spôsobiť stratu koreňov. Zastavme sa pri týchto bodoch.

Prvá iracionálna rovnica je . Jej riešenie začína prevedením rovnice do tvaru na základe jednej z vlastností stupňov. Táto transformácia je ekvivalentná, pretože výraz je nahradený identicky rovnakým výrazom a ODZ sa nemení. Ale ďalší prechod na rovnicu, uskutočnený na základe definície koreňa, už môže byť nerovnakou transformáciou rovnice, pretože pri takejto transformácii sa ODZ rozširuje. Ukážme úplné riešenie tejto rovnice.

Druhá iracionálna rovnica, ktorá sa dobre hodí na ilustráciu toho, že transformácie iracionálnych rovníc pomocou vlastností koreňov a definície koreňa môžu byť nerovnaké, má tvar . Je dobré, ak si nedovolíte rozbehnúť riešenie takto

Alebo tak

Začnime prvým prípadom. Prvou transformáciou je prechod z pôvodnej iracionálnej rovnice do rovnice spočíva v nahradení výrazu x+3 výrazom . Tieto výrazy sú identicky rovnaké. Ale pri takejto náhrade sa ODZ zužuje z množiny (−∞, −3)∪[−1, +∞) na množinu [−1, +∞) . A dohodli sme sa, že upustíme od reforiem, ktoré zužujú DLZ, pretože môžu viesť k strate koreňov.

Čo je zlé v druhom prípade? Rozšírenie ODZ pri poslednom prechode z na číslo -3? Nielen toto. Veľkým problémom je prvý prechod z pôvodnej iracionálnej rovnice do rovnice . Podstatou tohto prechodu je nahradenie výrazu x+3 výrazom . Ale tieto výrazy nie sú identicky rovnaké: pre x+3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , z čoho vyplýva, že .

Ako teda vyriešiť túto iracionálnu rovnicu ? Tu je najlepšie okamžite zaviesť novú premennú , v tomto prípade (x+3)·(x+1)=t 2. Uveďme podrobné riešenie.

Zhrňme si prvú z analyzovaných transformácií rovníc – nahradenie výrazu, ktorý je súčasťou rovnice, výrazom s ním identickým. Pri každom jej realizácii je potrebné splniť dve podmienky: po prvé, aby bol výraz nahradený identicky rovnocenným výrazom, a po druhé, aby nedošlo k zúženiu ODZ. Ak takáto výmena nezmení ODZ, výsledkom transformácie bude ekvivalentná rovnica. Ak sa počas takejto výmeny ODZ rozšíri, môžu sa objaviť cudzie korene a je potrebné dbať na ich odfiltrovanie.

Prejdime k druhej transformácii zoznamu – pripočítanie rovnakého čísla na obe strany rovnice a odčítanie rovnakého čísla z oboch strán rovnice. Toto je ekvivalentná transformácia rovnice. Zvyčajne sa k nemu uchyľujeme, keď sú na ľavej a pravej strane rovnice rovnaké čísla; odpočítaním týchto čísel od oboch strán rovnice sa ich môžeme v budúcnosti zbaviť. Napríklad na ľavej aj pravej strane iracionálnej rovnice existuje termín 3. Odčítaním trojky od oboch strán rovnice vznikne rovnica, ktorá po vykonaní manipulácií s číslami nadobudne tvar a ďalej zjednodušené na . Podľa výsledku má predmetná transformácia niečo spoločné s prenosom člena z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom, ale o tejto transformácii trochu neskôr. Existujú aj iné príklady použitia tejto transformácie. Napríklad v iracionálnej rovnici je pridanie čísla 3 na obe strany nevyhnutné na usporiadanie dokonalého štvorca na ľavej strane rovnice a na ďalšiu transformáciu rovnice na zavedenie novej premennej.

Zovšeobecnením práve diskutovanej transformácie je pridanie na obe strany rovnice alebo odčítanie rovnakého výrazu z oboch strán rovnice. Táto transformácia rovníc je ekvivalentná, keď sa ODZ nemení. Táto transformácia sa vykonáva hlavne preto, aby sa následne zbavili identických členov, ktoré sú súčasne na ľavej aj pravej strane rovnice. Uveďme si príklad. Predpokladajme, že máme iracionálnu rovnicu. Je zrejmé, že na ľavej aj pravej strane rovnice je člen. Je rozumné odčítať tento výraz z oboch strán rovnice: . V našom prípade takýto prechod nezmení ODZ, takže vykonaná transformácia je ekvivalentná. A to sa robí s cieľom ďalej prejsť k jednoduchšej iracionálnej rovnici.

Ďalšou transformáciou rovníc, ktorej sa v tomto odseku dotkneme, je presun členov z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom. Táto transformácia rovnice je vždy ekvivalentná. Rozsah jeho aplikácie je pomerne široký. S jeho pomocou môžete napríklad izolovať radikál alebo zhromaždiť podobné členy v jednej časti rovnice, aby ste ich potom mohli zmenšiť a tým zjednodušiť tvar rovnice. Uveďme si príklad. Riešiť iracionálnu rovnicu môžete posunúť výrazy −1 na pravú stranu a zmeniť ich znamienko, čím získate ekvivalentnú rovnicu , čo sa dá ďalej riešiť napríklad umocnením oboch strán rovnice.

Posúvame sa ďalej po ceste zvažovania transformácií rovníc, aby sme obe strany rovnice vynásobili alebo vydelili rovnakým číslom, odlišným od nuly. Táto transformácia je ekvivalentnou transformáciou rovnice. Násobenie oboch strán rovnice rovnakým číslom sa používa predovšetkým na prechod od zlomkov k celým číslam. Napríklad tak, že v iracionálnej rovnici aby ste sa zbavili zlomkov, mali by ste obe časti vynásobiť 8, čím získate ekvivalentnú rovnicu , ktorý sa ďalej redukuje na formu . Rozdelenie oboch strán rovnice sa vykonáva hlavne za účelom zníženia číselných koeficientov. Napríklad obe strany iracionálnej rovnice Odporúča sa deliť číselnými koeficientmi 18 a 12, to znamená 6, takéto delenie dáva ekvivalentnú rovnicu , z ktorej môžeme neskôr prejsť k rovnici , ktorý má menšie, ale aj celočíselné koeficienty.

Ďalšou transformáciou rovnice je násobenie a delenie oboch strán rovnice rovnakým výrazom. Táto transformácia je ekvivalentná, keď výraz, ktorým sa násobenie alebo delenie vykonáva, nemení rozsah prípustných hodnôt premennej a nezmení sa na nulu. Násobenie oboch strán rovnakým výrazom je zvyčajne podobné ako násobenie oboch strán rovnice rovnakým číslom. Najčastejšie sa k tejto transformácii pristupuje s cieľom zbaviť sa zlomkov ďalšími transformáciami. Ukážme si to na príklade.

Nebudeme ignorovať iracionálne rovnice, na vyriešenie ktorých sa musíme uchýliť k deleniu oboch strán rovnice rovnakým výrazom. Trochu vyššie sme poznamenali, že takéto rozdelenie je ekvivalentnou transformáciou, ak neovplyvňuje ODZ a tento výraz na ODZ nezaniká. Niekedy sa však rozdelenie musí uskutočniť výrazom, ktorý v ODZ zaniká. Je to celkom možné, ak súčasne oddelene skontrolujete nuly tohto výrazu, aby ste zistili, či medzi nimi nie sú nejaké korene riešenej rovnice, inak sa tieto korene môžu pri takomto delení stratiť.

Poslednou transformáciou iracionálnych rovníc, ktorej sa v tomto odseku dotkneme, je zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú mocninu. Túto transformáciu možno nazvať typickou pre iracionálne rovnice, pretože sa prakticky nepoužíva pri riešení rovníc iných typov. O tejto premene sme sa už zmienili v aktuálnom článku, keď sme skúmali . Existuje tiež veľa príkladov tejto transformácie. Nebudeme sa tu opakovať, len pripomenieme, že vo všeobecnom prípade táto transformácia nie je ekvivalentná. Môže to viesť k objaveniu sa cudzích koreňov. Preto, ak sme sa počas procesu riešenia obrátili na túto transformáciu, nájdené korene sa musia skontrolovať na prítomnosť cudzích koreňov medzi nimi.

O strate koreňov

Čo môže spôsobiť stratu koreňov pri riešení rovnice? Hlavným dôvodom straty koreňov je transformácia rovnice, ktorá zužuje OD. Aby sme pochopili tento bod, pozrime sa na príklad.

Zoberme si iracionálnu rovnicu , ktorý sme už riešili v rámci aktuálneho článku. Začali sme to riešiť varovaním pred vykonaním nasledujúcich transformácií rovnice

Úplne prvou transformáciou je prechod z rovnice do rovnice – zužuje ODZ. V skutočnosti je ODZ pre pôvodnú rovnicu (−∞, −3)∪[−1, +∞) a pre výslednú rovnicu je [−1, +∞) . To znamená vylúčenie intervalu (−∞, −3) z úvahy a v dôsledku toho stratu všetkých koreňov rovnice z tohto intervalu. V našom prípade sa pri vykonávaní tejto transformácie stratia všetky korene rovnice, z ktorých sú dva a .

Ak teda transformácia rovnice vedie k zúženiu OD, potom sa stratia všetky korene rovnice nachádzajúce sa v časti, na ktorú došlo k zúženiu. Preto vyzývame, aby sme sa neuchyľovali k reformám, ktoré zužujú DZ. Je tu však jedno upozornenie.

Táto klauzula sa vzťahuje na transformácie, pri ktorých sa ODZ zužuje o jedno alebo viac čísel. Najtypickejšou transformáciou, pri ktorej z ODZ vypadne niekoľko jednotlivých čísel, je delenie oboch strán rovnice rovnakým výrazom. Je jasné, že pri vykonávaní takejto transformácie sa môžu stratiť iba korene, ktoré sú medzi touto konečnou množinou čísel, ktoré pri zúžení ODZ vypadnú. Ak teda oddelene skontrolujete všetky čísla v tejto množine, aby ste zistili, či sú medzi nimi korene rovnice, ktorá sa rieši napríklad substitúciou, a nájdené korene zahrniete do odpovede, potom môžete vykonať zamýšľanú transformáciu bez strachu zo straty koreňov. Ilustrujme si to na príklade.

Uvažujme o iracionálnej rovnici, ktorá už bola tiež vyriešená v predchádzajúcom odseku. Na vyriešenie tejto rovnice zavedením novej premennej je užitočné najprv vydeliť obe strany rovnice 1+x. Týmto delením z ODZ vypadne číslo −1. Nahradením tejto hodnoty do pôvodnej rovnice sa získa nesprávna číselná rovnosť (), čo znamená, že −1 nie je koreňom rovnice. Po takejto kontrole môžete bezpečne vykonať zamýšľané rozdelenie bez obáv zo straty koreňa.

Na záver tohto bodu poznamenávame, že najčastejšie pri riešení iracionálnych rovníc vedie delenie oboch strán rovnice rovnakým výrazom, ako aj transformácie na základe vlastností koreňov k zúženiu OD. Takže pri vykonávaní takýchto transformácií musíte byť veľmi opatrní a nedovoľte, aby sa korene stratili.

O cudzích koreňoch a metódach ich skríningu

Riešenie veľkého počtu rovníc sa uskutočňuje transformáciou rovníc. Určité transformácie môžu viesť ku dôsledkovým rovniciam a medzi riešeniami dôsledkovej rovnice môžu byť korene, ktoré sú cudzie pôvodnej rovnici. Cudzie korene nie sú koreňmi pôvodnej rovnice, preto by sa nemali objaviť v odpovedi. Inými slovami, musia byť odstránené.

Ak teda v reťazci transformácií riešenej rovnice existuje aspoň jedna dôsledková rovnica, musíte sa postarať o detekciu a odfiltrovanie cudzích koreňov.

Metódy detekcie a skríningu cudzích koreňov závisia od dôvodov, ktoré spôsobujú ich potenciálny vzhľad. A existujú dva dôvody pre možný výskyt cudzích koreňov pri riešení iracionálnych rovníc: prvým je rozšírenie ODZ v dôsledku transformácie rovnice, druhým je zvýšenie oboch strán rovnice na rovnomernú mocninu. Pozrime sa na zodpovedajúce metódy.

Začnime metódami na preosievanie cudzích koreňov, keď dôvodom ich možného vzhľadu je iba rozšírenie ODZ. V tomto prípade sa skríning cudzích koreňov vykonáva jedným z nasledujúcich troch spôsobov:

  • Podľa ODZ. Na tento účel sa nájde ODZ premennej pre pôvodnú rovnicu a skontroluje sa príslušnosť nájdených koreňov. Tie korene, ktoré patria do ODZ, sú koreňmi pôvodnej rovnice a tie, ktoré nepatria do ODZ, sú cudzie korene pôvodnej rovnice.
  • Cez podmienky ODZ. Podmienky, ktoré určujú ODZ premennej pre pôvodnú rovnicu, sa zapíšu a nájdené korene sa do nich jeden po druhom dosadia. Tie korene, ktoré spĺňajú všetky podmienky, sú korene a tie, ktoré nespĺňajú aspoň jednu podmienku, sú cudzie korene pre pôvodnú rovnicu.
  • Prostredníctvom substitúcie do pôvodnej rovnice (alebo do akejkoľvek ekvivalentnej rovnice). Nájdené korene sa postupne dosadia do pôvodnej rovnice, tie z nich, po ktorých dosadení sa rovnica zmení na správnu číselnú rovnosť, sú korene a tie z nich, po dosadení ktorých dostaneme výraz, ktorý nedáva zmysel. , sú cudzie korene pre pôvodnú rovnicu.

Pri riešení nasledujúcej iracionálnej rovnice odfiltrujme cudzie korene pomocou každej z uvedených metód, aby sme získali všeobecnú predstavu o každej z nich.

Je jasné, že cudzie korene neidentifikujeme a neodstránime zakaždým pomocou všetkých známych metód. Na odstránenie cudzích koreňov si v každom konkrétnom prípade zvolíme najvhodnejšiu metódu. Napríklad v nasledujúcom príklade je najvhodnejšie odfiltrovať cudzie korene cez podmienky ODZ, pretože za týchto podmienok je ťažké nájsť ODZ vo forme číselnej množiny.

Teraz hovorme o preosievaní cudzích koreňov, keď sa riešenie iracionálnej rovnice vykonáva zvýšením oboch strán rovnice na rovnomernú mocninu. Tu preosievanie cez ODZ alebo cez podmienky ODZ už nepomôže, pretože nám nedovolí vyradiť cudzie korene, ktoré vznikajú z iného dôvodu - kvôli zvýšeniu oboch strán rovnice na rovnakú rovnomernú moc. Prečo sa objavujú cudzie korene, keď sú obe strany rovnice umocnené na rovnakú párnu mocninu? Výskyt cudzích koreňov v tomto prípade vyplýva zo skutočnosti, že zvýšenie oboch častí nesprávnej číselnej rovnosti na rovnakú párnu mocninu môže poskytnúť správnu číselnú rovnosť. Napríklad nesprávna číselná rovnosť 3=−3 po umocnení oboch strán sa stane správnou číselnou rovnosťou 3 2 =(−3) 2, čo je rovnaké ako 9=9.

Prišli sme na dôvody objavenia sa cudzích koreňov pri zvýšení oboch strán rovnice na rovnakú moc. Zostáva uviesť, ako sa v tomto prípade eliminujú cudzie korene. Skríning sa vykonáva hlavne dosadením nájdených potenciálnych koreňov do pôvodnej rovnice alebo do akejkoľvek rovnice, ktorá je jej ekvivalentná. Ukážme si to na príklade.

Ale stojí za to mať na pamäti ešte jednu metódu, ktorá vám umožňuje vyradiť cudzie korene v prípadoch, keď sú obe strany iracionálnej rovnice s osamelým radikálom povýšené na rovnakú rovnomernú moc. Pri riešení iracionálnych rovníc , kde 2·k je párne číslo, zvýšením oboch strán rovníc na rovnakú mocninu je možné odstrániť cudzie korene pomocou podmienky g(x)≥0 (to znamená v skutočnosti vyriešiť iracionálnu rovnicu určením koreň). Táto metóda často prichádza na záchranu, keď sa ukáže, že odfiltrovanie cudzích koreňov prostredníctvom substitúcie zahŕňa zložité výpočty. Nasledujúci príklad je toho dobrým príkladom.

Literatúra

  1. Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. Za 2 hod.. Časť 1. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
  2. Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník Za 2 hod.časť 1. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.
  3. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: i. - ISBN 5-09-013651-3.
  4. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; upravil A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - M.: Školstvo, 2010.- 368 s.: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.
  5. Matematika. Zvýšená úroveň jednotnej štátnej skúšky-2012 (C1, C3). Tematické testy. Rovnice, nerovnice, systémy / editovali F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. - Rostov na Done: Legion-M, 2011. - 112 s. - (Príprava na jednotnú štátnu skúšku) ISBN 978-5-91724-094-7
  6. Absolvent 2004. Matematika. Zbierka úloh na prípravu na jednotnú štátnu skúšku. Časť 1. I. V. Bojkov, L. D. Romanová.

Ako je už známe (kapitola II, § 2), rovnica

sa nazýva iracionálny, ak existuje iracionálna funkcia neznámych.

Pri riešení iracionálnych rovníc a systémov, ktoré zahŕňajú iracionálne rovnice v oblasti reálnych čísel, sa za prijateľné považujú tie a len tie systémy reálnych hodnôt, v ktorých sú hodnoty radikálových vyjadrení všetkých koreňov párneho stupňa nezáporné. systémy hodnôt neznámych; hodnotami koreňov párneho stupňa rozumieme ich aritmetické hodnoty a hodnotami koreňov nepárneho stupňa skutočné hodnoty týchto koreňov. Uvažujme o algebraických metódach riešenia iracionálnych rovníc.

1. Oslobodenie iracionálnej rovnice od radikálov zvýšením oboch jej častí na rovnakú mocnosť. Pri riešení iracionálnej rovnice týmto spôsobom sa spravidla postupne izoluje jeden radikál (t. j. vybraný radikál sa ponechá v jednej časti a všetky ostatné členy rovnice sa prenesú do inej časti) a potom sa obe časti rovnice sú umocnené na mocninu, ktorej exponent sa rovná indikátoru izolovaného radikálu. Najkomplexnejší radikál je zvyčajne izolovaný zakaždým. Toto pokračuje, kým sa úplne nezbavia radikálov. Výsledkom je algebraická rovnica, ktorá je dôsledkom danej iracionálnej. Potom je vyriešená výsledná algebraická rovnica.

V niektorých prípadoch (pozri príklad 4 nižšie), aby sa rýchlo zbavili radikálov, je vhodné oddeliť nie jeden, ale dva radikály naraz.

Pri riešení iracionálnych rovníc týmto spôsobom sa oblasť definície rovnice môže rozšíriť, pretože pre niektoré systémy neznámych hodnôt

Niektoré radikály zahrnuté v danej rovnici nemusia dávať zmysel v oblasti reálnych čísel, ale tieto systémy neznámych hodnôt môžu byť platné pre výslednú algebraickú rovnicu. Rozšírenie oblasti definície rovnice, ako je známe, môže viesť k objaveniu sa cudzích riešení, ktoré nebudú patriť do oblasti definície danej rovnice (pozri príklad 2 nižšie).

Okrem toho zvýšenie oboch strán rovnice na rovnomernú moc môže tiež viesť k objaveniu sa cudzích riešení, ktoré patria do oblasti definície danej rovnice. Výskyt týchto vonkajších riešení nebude spôsobený rozšírením oblasti definície tejto rovnice, ale dôvodmi inej povahy (pozri príklad 3 nižšie).

Preto po nájdení riešení algebraickej rovnice získanej z danej iracionálnej rovnice je potrebné dosadením každého z nich do danej rovnice skontrolovať, ktoré z nich ju spĺňajú a ktoré sú jej cudzie.

Príklady. 1. Vyriešte rovnicu

Riešenie. Vyberme radikál, t. j. necháme ho na ľavej strane rovnice a posunieme radikál na pravú stranu. Budeme mať: alebo po zjednodušení: Zníženie o 2 a opätovné oddelenie radikálu, budeme mať:

Umocnením oboch strán tejto rovnice dostaneme:

Riešenia tejto rovnice sú Substitúcia do danej rovnice dbáme na to, aby ju každé z týchto riešení spĺňalo.

2. Vyriešte rovnicu

Riešenie. Presunutím V na pravú stranu rovnice máme:

Odmocnime obe strany tejto rovnice:

Umocnením oboch strán výslednej rovnice dostaneme: alebo po zjednodušení:

Riešenia tejto rovnice sú teda:

Druhé z týchto riešení vyhovuje danej rovnici a prvé je jej cudzie.

Vznik cudzieho riešenia je spôsobený rozšírením domény definície rovnice. V skutočnosti číslo 0 nie je zahrnuté v oblasti definície danej rovnice, ale je zahrnuté v oblasti definície rovnice. Hodnota nemôže byť riešením danej rovnice, pretože nepatrí do jej domény.

3. Vyriešte rovnicu

Riešenie. Umocnením oboch strán rovnice dostaneme:

Riešenia tejto rovnice sú: Prvé z týchto riešení vyhovuje danej rovnici a druhé je jej cudzie.

Vznik cudzieho riešenia nie je spôsobený rozšírením oblasti definície danej rovnice, ale tým, že rovnica nie je ekvivalentná pôvodnej, ale iba

z toho odvoditeľné. Je to dôsledok nielen danej rovnice, ale aj rovnice

Riešenie vyhovuje rovnici. Riešenie tejto rovnice je cudzie.

4. Vyriešte rovnicu

Riešenie. Presuňme radikálov do jednej časti

Umocnením oboch strán tejto rovnice dostaneme:

alebo po zjednodušení:

Test ukazuje, že spĺňa danú rovnicu.

2. Redukcia iracionálnej rovnice na zmiešaný racionálny systém zavedením nových neznámych.

Súbor jednej alebo viacerých rovníc formulára

a jednu alebo viac nerovností tvaru

sa nazýva zmiešaný systém, ak je požiadavkou zistiť, ktoré systémy hodnôt neznámych spĺňajú súčasne všetky tieto rovnice a nerovnosti. Systém hodnôt neznámych, ktorý spĺňa všetky rovnice a nerovnice zmiešaného systému, sa nazýva riešenie zmiešaného systému. Riešiť zmiešaný systém znamená zistiť, či má alebo nemá riešenia, a ak áno, potom ich nájsť všetky.

Veta. Akákoľvek iracionálna rovnica

(kliknutím zobrazíte sken)

Keďže v rovnici (1) pre akýkoľvek prípustný systém hodnôt neznámych, radikál párneho stupňa označuje aritmetickú hodnotu koreňa a nepárny stupeň jedinú skutočnú hodnotu koreňa, potom pomocné neznáme môžu nadobúdať iba skutočné hodnoty. a okrem toho

Pridajme nerovnice do systému (2). Získame zmiešaný racionálny systém

(pozri sken)

Dokážme teraz, že riešenie iracionálnej rovnice (1) sa redukuje na riešenie zmiešanej racionálnej sústavy (3).

V skutočnosti, ak existuje riešenie rovnice (1), potom

existuje riešenie pre zmiešaný systém (3).

Naopak, ak je systém reálnych čísel riešením zmiešaného systému (3), potom

Navyše, keďže ide o aritmetickú hodnotu koreňa moci

Rovnako reálne číslo je jedinou skutočnou hodnotou odmocniny mocniny t.j.

Zo vzťahov (4), (5) a (6) vyplýva, že

a preto je číselná sústava riešením rovnice (1).

Z uvedeného vyplýva, že na vyriešenie rovnice (1) stačí nájsť všetky riešenia zmiešanej sústavy (3). Systémy neznámych hodnôt zahrnuté v nájdených riešeniach systému (3) budú riešeniami rovnice (1) a vyčerpávajú všetky riešenia rovnice (1). Ak sa ukáže, že zmiešaný systém (3) je nekonzistentný, potom rovnica (1) nemá riešenia. V uvažovanom prípade iracionálna rovnica zahŕňa

boli zahrnuté iba jednoduché radikály. Ak ľavá strana iracionálnej rovnice obsahuje radikály, ktorých radikálové vyjadrenia obsahujú radikály, ale operácia extrakcie koreňa sa vykonáva konečný počet krát, potom postupným zavádzaním pomocných neznámych je riešením takejto rovnice redukované aj na riešenie zmiešaného racionálneho systému.

Príklady. 1. Vyriešte rovnicu:

Riešenie. Za predpokladu, že

vytvoriť zmiešaný racionálny systém

Dosadením do druhej rovnice dostaneme systém ekvivalentný systému (7):

Od druhej rovnice sústavy (8) odčítame tretiu rovnicu po častiach, čím dostaneme rovnicu s celočíselnými koeficientmi:

Priame overenie ukazuje, že deliteľ 2 voľného člena vyhovuje rovnici, t.j. rovnica (9) má riešenie. Preto rovnicu (9) môžeme zapísať takto:

a preto

Riešenia rovnice (10) sú a Preto rovnica (9) v obore reálnych čísel má len jedno riešenie.Toto riešenie spĺňa nerovnosť

Nahradením hodnoty do rovníc nájdeme hodnoty, a to:

Zmiešaná racionálna sústava (7) má teda jedinečné riešenie, z čoho vyplýva, že aj daná iracionálna rovnica má jedinečné riešenie v obore reálnych čísel

2. Vyriešte rovnicu

Riešenie. Umiestňovanie

vytvorme zmiešaný racionálny systém

Relatívne vyriešenie prvej rovnice a dosadením zistenej hodnoty do tretej rovnice dostaneme zmiešaný systém ekvivalentný systému (11):

Nahradením hodnôt z druhej a štvrtej rovnice do tretej rovnice (12) dostaneme systém ekvivalentný systému (12):

Umocnením oboch strán tretej rovnice systému (13) získame systém, ktorý je dôsledkom systému (13):

Z posledných troch rovníc tohto systému dostaneme: alebo po zjednodušení:

Je zrejmé, že to, čo môže byť riešením danej rovnice, keďže žiadny systém hodnôt nemôže splniť tretiu rovnicu systému, nespĺňa danú rovnicu. V dôsledku toho má daná iracionálna rovnica jedinečné riešenie v oblasti reálnych čísel

Niekedy je vhodné pri riešení iracionálnej rovnice kombinovať metódu vnášania nových neznámych s metódou umocňovania oboch strán rovnice.

Príklad. Vyriešte rovnicu

Riešenie. Za predpokladu, že máme:

Rovnicu (15) nahradíme zmiešanou sústavou

Oddelením radikálu v druhej rovnici systému (16) a kvadratúrou oboch strán rovnice dostaneme: alebo po zjednodušení:

Obidve tieto riešenia teda spĺňajú rovnicu a nerovnosť. Dosadením hodnôt do prvej rovnice sústavy (16) dostaneme nasledujúce dve rovnice:

Preto má zmiešaný systém (16) štyri riešenia:

a preto aj rovnica (15) má štyri riešenia, a to:

Umelé techniky. V praxi riešenia iracionálnych rovníc sa niekedy úspešne využívajú individuálne, takzvané umelé techniky. Pozrime sa na niektoré z nich s príkladmi.

a) Vyriešte rovnicu

Riešenie. Vynásobme obe strany rovnice koeficientom konjugovaným na jej ľavú stranu. Bude mať:

alebo po transformáciách:

Sčítaním rovníc (17) a (18) po častiach dostaneme:

Obidve riešenia vyhovujú danej rovnici, čo sa dá ľahko overiť ich dosadením do rovnice,

b) Vyriešte rovnicu

Riešenie. Zoberme si identitu

a napíš to takto:

Rovnosť (20) je splnená pre všetky hodnoty, najmä pre hodnoty, ktoré spĺňajú rovnicu (19). Ak teda nahradíme jeho druhý faktor na ľavej strane identity (20), čo je ľavá strana rovnice (19), výrazom, dostaneme rovnicu

ktorému budú vyhovovať všetky riešenia rovnice (19).

Rovnica (21) je teda dôsledkom rovnice (19), a preto riešenia rovnice (19) treba hľadať medzi riešeniami rovnice (21). Rovnicu (21) napíšeme takto:

To ukazuje, že rovnica (21) sa delí na dve rovnice:

Z uvedeného vyplýva, že riešenia rovnice (19) treba hľadať medzi riešeniami rovnice (22) a riešeniami rovnice (23). Riešenie rovnice (22) je Toto riešenie spĺňa aj danú rovnicu (19). Aby sme našli ďalšie riešenia rovnice (19), pridáme časti rovníc (19) a (23). Dostaneme rovnicu

ktorým budú vyhovovať všetky riešenia rovnice (19), odlišné od riešenia

Metodický vývoj pre voliteľný predmet

"Metódy riešenia iracionálnych rovníc"

ÚVOD

Navrhovaný výberový predmet „Metódy riešenia iracionálnych rovníc“ je určený pre žiakov 11. ročníka všeobecnovzdelávacej školy a je predmetovo orientovaný, zameraný na rozšírenie teoretických a praktických vedomostí žiakov. Výberový predmet je postavený na vedomostiach a zručnostiach, ktoré študenti získajú štúdiom matematiky na strednej škole.

Špecifikom tohto predmetu je, že je určený predovšetkým študentom, ktorí si chcú rozšíriť, prehĺbiť, systematizovať, zovšeobecniť svoje matematické vedomosti a osvojiť si bežné metódy a techniky riešenia iracionálnych rovníc. Program obsahuje otázky, ktoré čiastočne presahujú rámec súčasných matematických programov a neštandardné metódy, ktoré umožňujú efektívnejšie riešiť rôzne problémy.

Väčšina úloh USE vyžaduje, aby absolventi ovládali rôzne metódy riešenia rôznych typov rovníc a ich sústav. Učivo týkajúce sa rovníc a sústav rovníc tvorí významnú časť školského kurzu matematiky. Relevantnosť výberu témy výberového predmetu je daná dôležitosťou témy „Iracionálne rovnice“ v školskom kurze matematiky a zároveň nedostatkom času na zváženie neštandardných metód a prístupov k riešeniu iracionálnych rovníc, ktoré sa nachádzajú v úlohách skupiny „C“ jednotnej štátnej skúšky.

Spolu so základnou úlohou vyučovania matematiky - zabezpečiť u študentov silné a uvedomelé zvládnutie systému matematických vedomostí a zručností - tento voliteľný predmet zabezpečuje formovanie trvalého záujmu o predmet, rozvoj matematických schopností, zvyšovanie úrovne matematická kultúra študentov, vytvárajúca základ pre úspešné absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky a ďalšie vzdelávanie na univerzitách .

Účel kurzu:

Zvýšiť úroveň porozumenia a praktického výcviku v riešení iracionálnych rovníc;

Študovať techniky a metódy riešenia iracionálnych rovníc;

Rozvíjať schopnosť analyzovať, zdôrazňovať hlavnú vec, vytvárať prvky kreatívneho hľadania na základe techník zovšeobecňovania;

Rozšíriť vedomosti študentov o tejto téme, zlepšiť ich zručnosti pri riešení rôznych problémov, aby úspešne zložili jednotnú štátnu skúšku.

Ciele kurzu:

Rozšírenie vedomostí o metódach a technikách riešenia algebraických rovníc;

Zovšeobecňovanie a systematizácia vedomostí pri štúdiu v 10.-11. ročníku a príprave na jednotnú štátnu skúšku;

Rozvoj schopnosti samostatne získavať a aplikovať vedomosti;

Oboznámenie žiakov s prácou s matematickou literatúrou;

Rozvoj logického myslenia študentov, ich algoritmickej kultúry a matematickej intuície;

Zlepšenie matematickej kultúry študentov.

Program voliteľného predmetu zahŕňa štúdium rôznych metód a prístupov k riešeniu iracionálnych rovníc a rozvíjanie praktických zručností v danej problematike. Kurz trvá 17 hodín.

Program je komplikovaný, presahuje obvyklý priebeh štúdia, podporuje rozvoj abstraktného myslenia a rozširuje študentskú oblasť poznania. Zároveň zachováva kontinuitu s existujúcimi programami a je ich logickým pokračovaním.

Výchovno-tematický plán

№p/p

Téma lekcie

Počet hodín

Riešenie rovníc s prihliadnutím na rozsah prijateľných hodnôt

Riešenie iracionálnych rovníc povýšením na prirodzené sily

Riešenie rovníc zavedením pomocných premenných (metóda nahradenia)

Riešenie rovnice s radikálom tretieho stupňa.

Identické transformácie pri riešení iracionálnych rovníc

Netradičné úlohy. Problémy skupiny „C“ jednotnej štátnej skúšky

Formy kontroly: domáce testy, samostatná práca, eseje a výskumné práce.

Štúdiom tohto voliteľného predmetu by študenti mali byť schopní riešiť rôzne iracionálne rovnice pomocou štandardných a neštandardných metód a techník;

    zvládnuť algoritmus riešenia štandardných iracionálnych rovníc;

    vedieť využívať vlastnosti rovníc na riešenie neštandardných úloh;

    vedieť vykonávať transformácie identity pri riešení rovníc;

    jasne rozumie témam jednotnej štátnej skúšky, hlavným metódam ich riešenia;

    získať skúsenosti s výberom metód riešenia neštandardných problémov.

HLAVNÁ ČASŤ.

Rovnice, v ktorých je neznáma veličina pod radikálovým znamienkom, sa nazývajú iracionálny.

Medzi najjednoduchšie iracionálne rovnice patria rovnice v tvare:

Hlavná myšlienka riešenia iracionálnej rovnice spočíva v jej redukcii na racionálnu algebraickú rovnicu, ktorá je buď ekvivalentná pôvodnej iracionálnej rovnici, alebo je jej dôsledkom. Pri riešení iracionálnych rovníc vždy hovoríme o hľadaní skutočných koreňov.

Pozrime sa na niekoľko spôsobov riešenia iracionálnych rovníc.

1. Riešenie iracionálnych rovníc berúc do úvahy rozsah prípustných hodnôt (APV).

Oblasť prípustných hodnôt iracionálnej rovnice pozostáva z tých hodnôt neznámych, pre ktoré sú všetky výrazy pod znamienkom párneho stupňa nezáporné.

Niekedy vám znalosť ODZ umožňuje dokázať, že rovnica nemá žiadne riešenia a niekedy vám umožňuje nájsť riešenia rovnice priamym dosadením čísel z ODZ..

Príklad 1 . Vyriešte rovnicu.

Riešenie . Po nájdení ODZ tejto rovnice sme dospeli k záveru, že ODZ pôvodnej rovnice je jednoprvková množina. Nahrádzaniex=2do tejto rovnice dospejeme k záveru, žex=2je koreň pôvodnej rovnice.

Odpoveď : 2 .

Príklad 2

Rovnica nemá riešenia, pretože Pre každú platnú hodnotu premennej nemôže byť súčet dvoch nezáporných čísel záporný.

Príklad 3
+ 3 =
.

ODZ:

Rovnica ODZ je prázdna množina.

Odpoveď: rovnica nemá korene.

Príklad 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ODZ:

ODZ:
. Kontrolou sme presvedčení, že x=1 je koreňom rovnice.

odpoveď: 1.

Dokážte, že rovnica nemá

korene.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Vyriešte rovnicu.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. B zvýšenie oboch strán rovnice na prirodzenú silu , teda prechod z rovnice

(1)

do rovnice

. (2)

Nasledujúce tvrdenia sú pravdivé:

1) pre akúkoľvek rovnicu (2) je dôsledkom rovnice (1);

2) ak ( n je nepárne číslo), potom rovnice (1) a (2 ) sú rovnocenné;

3) ak ( n je párne číslo), potom rovnica (2) je ekvivalentná rovnici

, (3)

a rovnica (3) je ekvivalentná množine rovníc

. (4)

Najmä rovnica

(5)

je ekvivalentná sústave rovníc (4).

Príklad 1. Vyriešte rovnicu

.

Rovnica je ekvivalentná systému

z čoho vyplýva, že x=1 a koreň nespĺňa druhú nerovnosť. Kompetentné riešenie zároveň nevyžaduje overenie.

odpoveď:x=1.

Príklad 2. Vyriešte rovnicu.

Riešenie prvej rovnice tohto systému, ktorá je ekvivalentná rovnici , dostaneme korene a . Avšak pri týchto hodnotách X nerovnosť neplatí, a preto táto rovnica nemá korene.

Odpoveď: bez koreňov.

Príklad 3. Vyriešte rovnicu

Izoláciou prvého radikálu dostaneme rovnicu

ekvivalentné pôvodnému.

Vyrovnaním oboch strán tejto rovnice, keďže sú obe kladné, dostaneme rovnicu

,

čo je dôsledkom pôvodnej rovnice. Umocnením oboch strán tejto rovnice za podmienky, že sa dostaneme k rovnici

.

Táto rovnica má korene, . Prvý koreň spĺňa počiatočnú podmienku, ale druhý nie.

Odpoveď: x=2.

Ak rovnica obsahuje dva alebo viac radikálov, potom sa najprv izolujú a potom sa odmocnia.

Príklad 1

Izoláciou prvého radikálu dostaneme rovnicu ekvivalentnú danej rovnici. Odmocnime obe strany rovnice:

Po vykonaní potrebných transformácií odmocníme výslednú rovnicu



Po kontrole sme si to všimli

nie je v rozsahu prijateľných hodnôt.

odpoveď: 8.

odpoveď: 2

Odpoveď: 3; 1.4.

3. Mnohé iracionálne rovnice sa riešia zavedením pomocných premenných.

Vhodným prostriedkom na riešenie iracionálnych rovníc je niekedy metóda zavedenia novej premennej, príp "metóda výmeny" Metóda sa zvyčajne aplikuje, keď v rov. nejaký výraz sa objavuje opakovane v závislosti od neznámeho množstva. Potom má zmysel tento výraz označiť nejakým novým písmenom a pokúsiť sa najprv vyriešiť rovnicu vzhľadom na zavedenú neznámu a potom nájsť pôvodnú neznámu.

Úspešný výber novej premennej robí štruktúru rovnice prehľadnejšou. Nová premenná je niekedy zrejmá, inokedy trochu zastretá, ale „pociťovaná“ a niekedy sa „prejavuje“ až v procese transformácie.

Príklad 1

Nechaj
t>0, potom

t =
,

t2 +5t-14=0,

ti = -7, ti = 2. t=-7 teda nespĺňa podmienku t>0

,

x 2-2x-5=0,

x 1 = 1-
x 2 = 1+
.

odpoveď: 1-
; 1+
.

Príklad 2 Vyriešte iracionálnu rovnicu

Náhrada:

Opačná výmena: /

odpoveď:

Príklad 3 Vyriešte rovnicu .

Urobme náhrady: , . Pôvodná rovnica sa prepíše do tvaru , z ktorého to zistíme A = 4b A . Ďalej zdvihnite obe strany rovnice na druhú, dostaneme: Odtiaľto X= 15. Zostáva len skontrolovať:

- správny!

odpoveď: 15.

Príklad 4. Vyriešte rovnicu

Uvedením získame podstatne jednoduchšiu iracionálnu rovnicu. Odmocnime obe strany rovnice: .

; ;

; ; , .

Kontrola nájdených hodnôt a ich nahradenie do rovnice ukazuje, že ide o koreň rovnice a je to cudzí koreň.

Návrat k pôvodnej premennej X, dostaneme rovnicu, teda kvadratickú rovnicu, ktorej riešením nájdeme dva korene: ,. Oba korene spĺňajú pôvodnú rovnicu.

Odpoveď: , .

Výmena je užitočná najmä vtedy, ak sa v dôsledku toho dosiahne nová kvalita, napríklad sa iracionálna rovnica zmení na racionálnu.

Príklad 6. Vyriešte rovnicu.

Prepíšme rovnicu takto: .

Je vidieť, že ak zavedieme novú premennú , potom rovnica nadobudne tvar , kde je cudzí koreň a .

Z rovnice dostaneme , .

Odpoveď: , .

Príklad 7. Vyriešte rovnicu .

Predstavme si novú premennú, .

Výsledkom je, že pôvodná iracionálna rovnica nadobúda tvar kvadratickej

,

odkiaľ s prihliadnutím na obmedzenie získame . Vyriešením rovnice dostaneme koreň. Odpoveď: 2,5.

Úlohy na samostatné riešenie.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.Metóda zavedenia dvoch pomocných premenných.

Rovnice formulára (Tu a , b , c , d – nejaké čísla m , n – prirodzené čísla) a množstvo ďalších rovníc možno často vyriešiť zavedením dvoch pomocných neznámych: a , kde a následný prechod na ekvivalentný systém racionálnych rovníc.

Príklad 1. Vyriešte rovnicu.

Zvýšenie oboch strán tejto rovnice na štvrtú mocnosť nesľubuje nič dobré. Ak dáme , pôvodná rovnica sa prepíše takto: . Keďže sme zaviedli dve nové neznáme, musíme nájsť ďalšiu súvisiacu rovnicu r A z. Aby sme to dosiahli, zvýšime rovnosti na štvrtú mocninu a všimneme si, že . Musíme teda vyriešiť sústavu rovníc

Umocnením dostaneme:

Po substitúcii máme: alebo . Potom má systém dve riešenia: , ; , , a systém nemá žiadne riešenia.

Zostáva vyriešiť sústavu dvoch rovníc s jednou neznámou

a systém Prvý z nich dáva, druhý dáva.

Odpoveď: , .

Príklad 2

Nechaj







odpoveď:

5. Rovnice s radikálom tretieho stupňa.
Pri riešení rovníc obsahujúcich radikály 3. stupňa môže byť užitočné použiť sčítanie podľa identít:

Príklad 1 .
Zvýšme obe strany tejto rovnice na tretiu mocninu a použijeme vyššie uvedenú identitu:

Všimnite si, že výraz v zátvorkách sa rovná 1, čo vyplýva z pôvodnej rovnice. Ak to vezmeme do úvahy a prinesieme podobné podmienky, získame:
Otvorme zátvorky, pridáme podobné členy a vyriešime kvadratickú rovnicu. Jeho koreneA. Ak predpokladáme (podľa definície), že nepárne korene možno extrahovať aj zo záporných čísel, potom obe získané čísla sú riešeniami pôvodnej rovnice.
odpoveď:.

6.Vynásobenie oboch strán rovnice konjugovaným vyjadrením jednej z nich.

Niekedy sa dá iracionálna rovnica vyriešiť pomerne rýchlo, ak sa obe strany vynásobia dobre zvolenou funkciou. Samozrejme, keď sa obe strany rovnice vynásobia určitou funkciou, môžu sa objaviť cudzie riešenia, ktoré sa môžu ukázať ako nuly samotnej funkcie. Preto navrhovaná metóda vyžaduje povinný výskum výsledných hodnôt.

Príklad 1 Vyriešte rovnicu

Riešenie: Vyberieme funkciu

Vynásobme obe strany rovnice vybranou funkciou:

Uveďme podobné pojmy a získajme ekvivalentnú rovnicu

Pridajme pôvodnú rovnicu a dostaneme poslednú

odpoveď: .

7. Identické transformácie pri riešení iracionálnych rovníc

Pri riešení iracionálnych rovníc je často potrebné aplikovať identické transformácie spojené s použitím známych vzorcov. Bohužiaľ, tieto činy sú niekedy rovnako nebezpečné ako zvýšenie rovnomernej moci – riešenia možno získať alebo stratiť.

Pozrime sa na niekoľko situácií, v ktorých sa tieto problémy vyskytujú, a naučíme sa, ako ich rozpoznať a predchádzať im.

ja Príklad 1. Vyriešte rovnicu.

Riešenie. Tu platí vzorec .

Len treba myslieť na bezpečnosť jeho používania. Je ľahké vidieť, že jeho ľavá a pravá strana majú rôzne oblasti definície a že táto rovnosť je pravdivá iba za predpokladu. Preto je pôvodná rovnica ekvivalentná systému

Vyriešením rovnice tohto systému získame korene a . Druhý koreň nevyhovuje množine nerovností systému, a preto je cudzím koreňom pôvodnej rovnice.

odpoveď: -1 .

II.Ďalšiu nebezpečnú transformáciu pri riešení iracionálnych rovníc určuje vzorec.

Ak použijete tento vzorec zľava doprava, ODZ sa rozšíri a môžete získať riešenia tretích strán. Na ľavej strane musia byť obe funkcie nezáporné; a vpravo ich produkt musí byť nezáporný.

Pozrime sa na príklad, kde je problém implementovaný pomocou vzorca.

Príklad 2. Vyriešte rovnicu.

Riešenie. Skúsme vyriešiť túto rovnicu faktoringom

Všimnite si, že s touto akciou sa riešenie ukázalo ako stratené, pretože vyhovuje pôvodnej rovnici a už nevyhovuje výslednej: nedáva zmysel pre . Preto je lepšie túto rovnicu riešiť obyčajnou kvadratúrou

Vyriešením rovnice tohto systému získame korene a . Oba korene vyhovujú systémovej nerovnosti.

odpoveď: , .

III Existuje ešte nebezpečnejšia akcia - zníženie o spoločný faktor.

Príklad 3. Vyriešte rovnicu .

Nesprávna úvaha: Znížte obe strany rovnice o , dostaneme .

Nie je nič nebezpečnejšie a nesprávne ako táto akcia. Najprv sa stratilo vhodné riešenie pôvodnej rovnice; po druhé, boli zakúpené dve riešenia tretích strán. Ukazuje sa, že nová rovnica nemá nič spoločné s tou pôvodnou! Uveďme správne riešenie.

Riešenie. Presuňme všetky pojmy na ľavú stranu rovnice a rozpočítajme ju do faktorov

.

Táto rovnica je ekvivalentná systému

ktorý má unikátne riešenie.

odpoveď: 3 .

ZÁVER.

V rámci voliteľného predmetu sú ukázané neštandardné techniky riešenia zložitých problémov, ktoré úspešne rozvíjajú logické myslenie a schopnosť nájsť spomedzi mnohých riešení také, ktoré je pre študenta pohodlné a racionálne. Tento kurz vyžaduje od študentov veľa samostatnej práce, pomáha pripraviť študentov na ďalšie vzdelávanie a zlepšuje úroveň matematickej kultúry.

V práci boli rozoberané hlavné metódy riešenia iracionálnych rovníc, niektoré prístupy k riešeniu rovníc vyšších stupňov, ktorých využitie sa predpokladá pri riešení úloh Jednotnej štátnej skúšky, ako aj pri nástupe na vysoké školy a v ďalšom matematickom vzdelávaní. Odhalil sa aj obsah základných pojmov a tvrdení súvisiacich s teóriou riešenia iracionálnych rovníc. Po určení najbežnejšej metódy riešenia rovníc sme identifikovali jej použitie v štandardných a neštandardných situáciách. Okrem toho sa zvažovali typické chyby pri vykonávaní transformácií identity a spôsoby ich prekonania.

Po absolvovaní predmetu budú mať študenti možnosť osvojiť si rôzne metódy a techniky riešenia rovníc, naučiť sa systematizovať a zovšeobecňovať teoretické informácie, samostatne hľadať riešenia určitých problémov a v súvislosti s tým zostaviť množstvo úloh a cvičení. na tieto témy. Výber komplexného materiálu pomôže školákom vyjadriť sa vo výskumných aktivitách.

Pozitívom kurzu je možnosť ďalšieho uplatnenia študovaného materiálu študentmi pri zložení jednotnej štátnej skúšky a nástupe na vysoké školy.

Negatívom je, že nie každý študent je schopný zvládnuť všetky techniky tohto kurzu, aj keď by chcel, vzhľadom na náročnosť väčšiny riešených problémov.

LITERATÚRA:

    Sharygin I.F. "Matematika pre tých, ktorí vstupujú na univerzity." - 3. vydanie, - M.: Drop, 2000.

    Rovnice a nerovnice. Referenčná príručka./ Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. –M.: Skúška, 1998.

    Cherkasov O.Yu., Yakushev A.G. "Matematika: intenzívny prípravný kurz na skúšky." – 8. vydanie, rev. a dodatočné – M.:Iris, 2003. – (domáci učiteľ)

    Balayan E.N. Komplexné cvičenia a varianty tréningových úloh na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky. Rostov na Done: Phoenix Publishing House, 2004.

    Skanavi M.I. "Zbierka úloh z matematiky pre tých, ktorí vstupujú na univerzity." - M., „Vyššia škola“, 1998.

    Igusman O.S. "Matematika na ústnej skúške." - M., Iris, 1999.

    Skúšobné materiály na prípravu na jednotnú štátnu skúšku – 2008 – 2012.

    V.V. Kochagin, M.N. Kochagina „Jednotná štátna skúška - 2010. Matematika. Tútor" Moskva "Osvietenie" 2010

    V.A.Gusev, A.G.Mordkovich „Matematika. Referenčné materiály" Moskva "Osvietenie" 1988

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

  • Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

  • Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
  • Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
  • Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
  • Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

  • V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov v Ruskej federácii – sprístupniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
  • V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

SÚVISIACE ČLÁNKY