Pre funkciu f(x) mnohých premenných je bod x vektor, f'(x) je vektor prvých derivácií (gradientu) funkcie f(x), f ′ ′(x) je symetrická matica druhých parciálnych derivácií (Hesseho matica − Hessova) funkcií f(x).
Pre funkciu niekoľkých premenných sú podmienky optimality formulované nasledovne.
Nevyhnutná podmienka pre lokálnu optimalitu. Nech f(x) je diferencovateľné v bode x * R n . Ak x * je lokálny extrémny bod, potom f'(x *) = 0.
Rovnako ako predtým, body, ktoré sú riešením systému rovníc, sa nazývajú stacionárne. Charakter stacionárneho bodu x * súvisí so znamienkovou určitosťou Hessovej matice f′ ′(x).
Znamenková určitosť matice A závisí od znamienok kvadratickej formy Q(α)=< α A, α >pre všetky nenulové α∈R n .
Tu a ďalej označujeme skalárny súčin vektorov x a y. A-priory,

Matica A je kladne (nezáporne) definitívna, ak Q(α)>0 (Q(α)≥0) pre všetky nenulové α∈R n ; negatívne (nepozitívne) určité, ak Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 pre nejaké nenulové α∈R n a Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Dostatočný stav pre lokálnu optimalitu. Nech f(x) je dvakrát diferencovateľné v bode x * R n a f’(x *)=0, t.j. x * − stacionárny bod. Potom, ak je matica f (x *) kladne (záporne) definitívna, potom x * je bod lokálneho minima (maxima); ak je matica f′′(x *) neurčitá, potom x * je sedlový bod.
Ak je matica f′′(x *) nezáporná (nepozitívne) definitívna, potom na určenie povahy stacionárneho bodu x * je potrebné štúdium derivácií vyššieho rádu.
Na kontrolu znamienkovej jednoznačnosti matice sa spravidla používa Sylvesterovo kritérium. Podľa tohto kritéria je symetrická matica A pozitívne definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky jej uhlové minority kladné. V tomto prípade je uhlová minor matice A determinantom matice zostavenej z prvkov matice A, stojacej na priesečníku riadkov a stĺpcov s rovnakými (a prvými) číslami. Na kontrolu symetrickej matice A na negatívnu definitívnosť je potrebné skontrolovať maticu (−A) na pozitívnu definitívnosť.
Algoritmus na určenie bodov lokálnych extrémov funkcie mnohých premenných je teda nasledujúci.
1. Nájdite f′(x).
2. Systém je vyriešený

V dôsledku toho sa vypočítajú stacionárne body x i.
3. Nájdite f′′(x), nastavte i=1.
4. Nájdite f′′(x i)
5. Vypočítajú sa uhlové minority matice f′′(x i). Ak nie sú všetky uhlové minority nenulové, potom na určenie povahy stacionárneho bodu x i je potrebné štúdium derivátov vyššieho rádu. V tomto prípade sa vykoná prechod na bod 8.
V opačnom prípade prejdite na krok 6.
6. Analyzujú sa znaky uhlových minorov f′′(x i). Ak je f′′(x i) pozitívne definitné, potom x i je bod lokálneho minima. V tomto prípade sa vykoná prechod na bod 8.
V opačnom prípade prejdite na položku 7.
7. Vypočítajú sa uhlové minority matice -f′′(x i) a analyzujú sa ich znamienka.
Ak je -f′′(x i) − kladne definitné, potom f′′(x i) je záporne definitné a x i je lokálny maximálny bod.
V opačnom prípade je f′′(x i) neurčité a x i je sedlový bod.
8. Kontroluje sa podmienka určenia charakteru všetkých stacionárnych bodov i=N.
Ak je splnená, výpočty sú dokončené.
Ak podmienka nie je splnená, potom sa predpokladá i=i+1 a vykoná sa prechod na krok 4.

Príklad č. 1. Určte body lokálnych extrémov funkcie f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2









Keďže všetky rohové minory sú nenulové, charakter x 2 je určený f′′(x).
Keďže matica f′′(x 2) je kladne definitná, x 2 je bod lokálneho minima.
Odpoveď: funkcia f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 má lokálne minimum v bode x = (5/3; 8/3).

Extrémny bod funkcie je bod v doméne funkcie, kde hodnota funkcie nadobúda minimálnu alebo maximálnu hodnotu. Hodnoty funkcie v týchto bodoch sa nazývajú extrémy (minimum a maximum) funkcie.

Definícia. Bodka X1 rozsah funkcie f(X) sa nazýva maximálny bod funkcie , ak je hodnota funkcie v tomto bode väčšia ako hodnoty funkcie v dostatočne blízkych bodoch, ktoré sa nachádzajú napravo a naľavo od nej (to znamená nerovnosť f(X0 ) > f(X 0 + Δ X) X1 maximálne.

Definícia. Bodka X2 rozsah funkcie f(X) sa nazýva minimálny bod funkcie, ak je hodnota funkcie v tomto bode menšia ako hodnoty funkcie v dostatočne blízkych bodoch, ktoré sa nachádzajú napravo a naľavo od nej (to znamená nerovnosť f(X0 ) < f(X 0 + Δ X) ). V tomto prípade sa hovorí, že funkcia má v bode X2 minimálne.

Povedzme pointu X1 - maximálny bod funkcie f(X). Potom v intervale až X1 funkcia sa zvyšuje, takže derivácia funkcie je väčšia ako nula ( f "(X) > 0 ) a v intervale po X1 funkcia sa znižuje, takže derivácia funkcie menej ako nula ( f "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Predpokladajme tiež, že bod X2 - minimálny bod funkcie f(X). Potom v intervale až X2 funkcia je klesajúca a derivácia funkcie je menšia ako nula ( f "(X) < 0 ), а в интервале после X2 funkcia je rastúca a derivácia funkcie je väčšia ako nula ( f "(X) > 0). V tomto prípade aj v bode X2 derivácia funkcie je nulová alebo neexistuje.

Fermatova veta (nevyhnutné kritérium pre existenciu extrému funkcie). Ak bod X0 - extrémny bod funkcie f(X), potom sa v tomto bode derivácia funkcie rovná nule ( f "(X) = 0 ) alebo neexistuje.

Definícia. Volajú sa body, v ktorých sa derivácia funkcie rovná nule alebo neexistuje kritických bodov .

Príklad 1 Uvažujme o funkcii.

V bode X= 0 derivácia funkcie sa rovná nule, teda bod X= 0 je kritický bod. Ako však vidno na grafe funkcie, zväčšuje sa v celej oblasti definície, teda bod X= 0 nie je extrémnym bodom tejto funkcie.

Teda podmienky, že derivácia funkcie v bode je rovná nule alebo neexistuje, sú pre extrém nevyhnutnými, ale nie postačujúcimi podmienkami, keďže možno uviesť aj iné príklady funkcií, pre ktoré sú tieto podmienky splnené, ale funkcia nemá v príslušnom bode extrém. Takže musí mať dostatočné indikácie, ktoré umožňujú posúdiť, či v konkrétnom kritickom bode existuje extrém a ktorý - maximum alebo minimum.

Veta (prvé postačujúce kritérium pre existenciu extrému funkcie). Kritický bod X0 f(X) , ak derivácia funkcie pri prechode týmto bodom zmení znamienko a ak sa znamienko zmení z „plus“ na „mínus“, potom maximálny bod a ak z „mínus“ na „plus“, potom minimálny bod .

Ak je blízko bodu X0 , naľavo a napravo od neho si derivácia zachováva svoje znamienko, to znamená, že funkcia buď iba klesá, alebo rastie len v niektorom okolí bodu X0 . V tomto prípade v bode X0 neexistuje žiadny extrém.

takze na určenie extrémnych bodov funkcie musíte urobiť nasledovné :

1. Nájdite deriváciu funkcie.
2. Prirovnajte deriváciu k nule a určte kritické body.
3. Mentálne alebo na papieri označte kritické body na číselnej osi a určte znamienka derivácie funkcie vo výsledných intervaloch. Ak sa znamienko derivácie zmení z „plus“ na „mínus“, potom je kritický bod maximálny bod a ak z „mínus“ na „plus“, potom je kritický bod minimálny bod.
4. Vypočítajte hodnotu funkcie v extrémnych bodoch.

Príklad 2 Nájdite extrémy funkcie .

rozhodnutie. Poďme nájsť deriváciu funkcie:

Prirovnajte deriváciu k nule, aby ste našli kritické body:

.

Pretože pre žiadne hodnoty „x“ sa menovateľ nerovná nule, potom prirovnáme čitateľa k nule:

Mám jeden kritický bod X= 3. Znamienko derivácie určíme v intervaloch ohraničených týmto bodom:

v rozsahu od mínus nekonečna do 3 - znamienko mínus, to znamená, že funkcia klesá,

v rozsahu od 3 do plus nekonečno - znamienko plus, to znamená, že funkcia sa zvyšuje.

Teda bod X= 3 je minimálny bod.

Nájdite hodnotu funkcie v minimálnom bode:

Nájdeme teda extrémny bod funkcie: (3; 0) a je to minimálny bod.

Veta (druhé postačujúce kritérium pre existenciu extrému funkcie). Kritický bod X0 je extrémnym bodom funkcie f(X), ak sa druhá derivácia funkcie v tomto bode nerovná nule ( f ""(X) ≠ 0 ), navyše, ak je druhá derivácia väčšia ako nula ( f ""(X) > 0 ), potom maximálny bod a ak je druhá derivácia menšia ako nula ( f ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Poznámka 1. Ak v bode X0 prvý aj druhý derivát zaniknú, potom v tomto bode nie je možné posudzovať prítomnosť extrému na základe druhého postačujúceho znaku. V tomto prípade musíte použiť prvé dostatočné kritérium pre extrém funkcie.

Poznámka 2. Druhé postačujúce kritérium pre extrém funkcie je tiež neaplikovateľné, keď prvá derivácia neexistuje v stacionárnom bode (vtedy neexistuje ani druhá derivácia). V tomto prípade je tiež potrebné použiť prvé dostatočné kritérium pre extrém funkcie.

Lokálny charakter extrémov funkcie

Z uvedených definícií vyplýva, že extrém funkcie má lokálny charakter – ide o najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v porovnaní s najbližšími hodnotami.

Predpokladajme, že zvážite svoje zárobky v časovom rozpätí jedného roka. Ak ste v máji zarobili 45 000 rubľov a v apríli 42 000 rubľov a v júni 39 000 rubľov, potom sú májové zárobky maximom zárobkovej funkcie v porovnaní s najbližšími hodnotami. Ale v októbri ste zarobili 71 000 rubľov, v septembri 75 000 rubľov a v novembri 74 000 rubľov, takže októbrové zárobky sú minimom zárobkovej funkcie v porovnaní s blízkymi hodnotami. A môžete ľahko vidieť, že maximum medzi hodnotami apríl-máj-jún je menšie ako minimum september-október-november.

Všeobecne povedané, funkcia môže mať niekoľko extrémov na intervale a môže sa ukázať, že akékoľvek minimum funkcie je väčšie ako akékoľvek maximum. Takže pre funkciu znázornenú na obrázku vyššie, .

To znamená, že by sme si nemali myslieť, že maximum a minimum funkcie sú jej maximálne a minimálne hodnoty v celom uvažovanom segmente. V bode maxima má funkcia najväčšiu hodnotu len v porovnaní s tými hodnotami, ktoré má vo všetkých bodoch dostatočne blízko maximálnemu bodu a v minimálnom bode najmenšiu hodnotu len v porovnaní s týmito hodnotami. že má vo všetkých bodoch dostatočne blízko k minimálnemu bodu.

Preto môžeme spresniť koncept extrémnych bodov funkcie uvedenej vyššie a nazvať minimálne body lokálne minimálne body a maximálne body - lokálne maximálne body.

Spoločne hľadáme extrémy funkcie

Príklad 3

Riešenie Funkcia je definovaná a spojitá na celej číselnej osi. Jeho derivát existuje aj na celom číselnom rade. Preto v tomto prípade iba tie, na ktorých , t.j. slúžia ako kritické body. , odkiaľ a . Kritické body a rozdeľte celý definičný obor funkcie na tri intervaly monotónnosti: . V každom z nich vyberieme jeden kontrolný bod a v tomto bode nájdeme znamienko derivácie.

Pre interval môže byť referenčný bod : nájdeme . Ak vezmeme bod v intervale, dostaneme , a vezmeme bod v intervale, dostaneme . Takže v intervaloch a , av intervale . Podľa prvého dostatočného znamienka extrému v bode neexistuje extrém (keďže derivácia si zachováva znamienko v intervale ) a funkcia má v bode minimum (keďže derivácia pri prechode mení znamienko z mínusu na plus cez tento bod). Nájdite zodpovedajúce hodnoty funkcie: , a . V intervale funkcia klesá, pretože v tomto intervale , a v intervale sa zvyšuje, pretože v tomto intervale.

Na objasnenie konštrukcie grafu nájdeme jeho priesečníky so súradnicovými osami. Keď dostaneme rovnicu, ktorej korene a , t.j. nájdeme dva body (0; 0) a (4; 0) grafu funkcie. Pomocou všetkých prijatých informácií zostavíme graf (pozri na začiatku príkladu).

Príklad 4 Nájdite extrémy funkcie a vytvorte jej graf.

Definičný obor funkcie je celý číselný rad okrem bodu, t.j. .

Na skrátenie štúdia môžeme využiť fakt, že táto funkcia je párna, od r . Preto je jeho graf symetrický okolo osi Oj a štúdia môže byť vykonaná len pre interval .

Nájdenie derivátu a kritické body funkcie:

1) ;

2) ,

ale funkcia sa v tomto bode preruší, takže nemôže ísť o extrémny bod.

Daná funkcia má teda dva kritické body: a . Berúc do úvahy paritu funkcie, kontrolujeme iba bod druhým dostatočným znamienkom extrému. Aby sme to dosiahli, nájdeme druhú deriváciu a určiť jeho znamienko na : dostaneme . Pretože a , potom je minimálny bod funkcie, pričom .

Aby sme získali úplnejší obraz o grafe funkcie, zistime jej správanie na hraniciach oblasti definície:

(tu symbol označuje túžbu X na nulu vpravo a X zostáva pozitívny; podobne znamená ašpiráciu X na nulu vľavo a X zostáva negatívny). Teda ak , tak . Ďalej nájdeme

,

tie. Ak potom .

Graf funkcie nemá žiadne priesečníky s osami. Obrázok je na začiatku príkladu.

Pokračujeme spolu v hľadaní extrémov funkcie

Príklad 8 Nájdite extrémy funkcie.

rozhodnutie. Nájdite doménu funkcie. Keďže nerovnosť musí platiť, získame z .

Poďme nájsť prvú deriváciu funkcie:

Poďme nájsť kritické body funkcie.

MIESTNE MAXIMUM

MIESTNE MAXIMUM

(miestne maximum) Hodnota funkcie, ktorá je väčšia ako akákoľvek susedná hodnota jej argumentu alebo množiny argumentov, dy/dx= 0 je nevyhnutnou podmienkou pre dosiahnutie lokálneho maxima y=f(x); za tejto podmienky je postačujúcou podmienkou na dosiahnutie lokálneho maxima d2y/dx2 0. Lokálne maximum môže byť aj absolútne maximum, ak neexistuje žiadna hodnota X, pod ktorým pri viac. Nemusí to však platiť vždy. Zvážte funkciu y = x3–3x.dy/dx = 0 kedy x2= jeden; a d2y/dx2=6x. pri má maximum pri x = - 1, ale to je len lokálne, nie absolútne maximum, od r pri sa môže stať nekonečne veľkým, keď dostane dostatočne veľkú kladnú hodnotu X. Pozri tiež: obrázok pre maximálny počet článkov.

ekonomika. Slovník. - M.: "INFRA-M", Vydavateľstvo "Ves Mir". J. Black. Obecná redakcia: doktor ekonómie Osadchaya I.M.. 2000 .

Ekonomický slovník. 2000 .

Pozrite si, čo je „LOCAL MAXIMUM“ v iných slovníkoch:

miestne maximum-- [A.S. Goldberg. Anglický ruský energetický slovník. 2006] Témy energia vo všeobecnosti EN miestne maximum ... Technická príručka prekladateľa

miestne maximum- lokalusis maksimumas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. miestne maximum vok. Lokalmaximum, n rus. miestne maximum, m pranc. maximálne miestne, m … Automatikos terminų žodynas

miestne maximum- vietinė smailė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. miestne maximum; miestny vrchol vok. locales Maximum, n rus. miestne maximum, m pranc. maximálne lokálne, m; pic local, m … Fizikos terminų žodynas

Miestne maximum, lokálne minimum- (lokálne maximum, lokálne minimum) pozri Extrém funkcie... Ekonomický a matematický slovník

- (maximum) Najvyššia hodnota funkcie, ktorú má pre akúkoľvek hodnotu svojich argumentov. Maximum môže byť lokálne alebo absolútne. Napríklad funkcia y=1–x2 má absolútne maximum y=1 pri x=0; neexistuje žiadna iná hodnota x, ktorá ... ... Ekonomický slovník

- (lokálne minimum) Hodnota funkcie, ktorá je menšia ako akákoľvek susedná hodnota jej argumentu alebo množiny argumentov, dy/dx = 0, je nevyhnutnou podmienkou na dosiahnutie lokálneho minima y=f(x); s výhradou tejto podmienky postačujúce ... ... Ekonomický slovník

Extrém (lat. extrém extrém) v matematike je maximálna alebo minimálna hodnota funkcie na danej množine. Bod, v ktorom sa dosiahne extrém, sa nazýva extrémny bod. V súlade s tým, ak sa dosiahne minimálny extrémny bod ... ... Wikipedia

Algoritmy lokálneho vyhľadávania sú skupinou algoritmov, v ktorých sa vyhľadávanie vykonáva iba na základe aktuálneho stavu a predchádzajúce stavy sa neberú do úvahy a nezapamätávajú sa. Hlavným cieľom hľadania nie je nájsť optimálnu cestu k ... ... Wikipédii

- (globálne maximum) Hodnota funkcie, ktorá sa rovná alebo je vyššia ako jej hodnoty prijaté pre akékoľvek iné hodnoty argumentov. Postačujúca podmienka pre maximum funkcie jedného argumentu, ktorá spočíva v tom, že jeho prvá derivácia v ... ... Ekonomický slovník

- (angl. trend direction, trend) smer, trend vývoja politického procesu, fenomén. Má matematický výraz. Najpopulárnejšia definícia trendu (trendu) je definícia z Dowovej teórie. Vzostupný trend...... Politická veda. Slovná zásoba.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Hovorí sa, že $f$ má miestne maximum v bode $x_(0) \in E$, ak existuje susedstvo $U$ bodu $x_(0)$ také, že pre všetky $x \in U$ je nerovnosť $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Lokálne maximum je tzv prísny , ak je možné okolie $U$ zvoliť tak, že pre všetky $x \in U$ odlišné od $x_(0)$ je $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definícia
Nech $f$ je reálna funkcia na otvorenej množine $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Hovorí sa, že $f$ má miestne minimum v bode $x_(0) \in E$, ak existuje susedstvo $U$ bodu $x_(0)$ také, že pre všetky $x \in U$ je nerovnosť $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Miestne minimum sa považuje za prísne, ak je možné vybrať susedstvo $U$ tak, aby sa pre všetky $x \in U$ líšilo od $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\vpravo)$.

Lokálny extrém spája koncepty lokálneho minima a lokálneho maxima.

Veta (nevyhnutná podmienka pre extrém diferencovateľnej funkcie)
Nech $f$ je reálna funkcia na otvorenej množine $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ak v bode $x_(0) \in E$ má funkcia $f$ lokálny extrém aj v tomto bode, potom $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Rovnosť k nule diferenciál je ekvivalentná skutočnosti, že všetky sú rovné nule, t.j. $$\displaystyle\frac(\čiastočné f)(\čiastočné x_(i))\ľavé (x_(0)\vpravo)=0,$$

V jednorozmernom prípade je to . Označme $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, kde $h$ je ľubovoľný vektor. Funkcia $\phi$ je definovaná pre dostatočne malé modulo hodnoty $t$. Navyše, vzhľadom na , je to diferencovateľné a $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Nech $f$ má lokálne maximum x $0$. Preto funkcia $\phi$ pri $t = 0$ má lokálne maximum a podľa Fermatovej vety $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Takže sme dostali, že $df \left(x_(0)\right) = 0$, t.j. funkcia $f$ v bode $x_(0)$ sa rovná nule na ľubovoľnom vektore $h$.

Definícia
Body, v ktorých sa diferenciál rovná nule, t.j. tie, v ktorých sú všetky parciálne derivácie rovné nule, sa nazývajú stacionárne. kritických bodov funkcie $f$ sú tie body, v ktorých $f$ nie je diferencovateľné alebo sa rovná nule. Ak je bod stacionárny, tak z toho ešte nevyplýva, že funkcia má v tomto bode extrém.

Príklad 1
Nech $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Potom $\displaystyle\frac(\čiastočné f)(\čiastočné x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\čiastočné f)(\čiastočné y) = 3 \cdot y^(2 )$, takže $\left(0,0\right)$ je stacionárny bod, ale funkcia v tomto bode nemá extrém. Skutočne, $f \left(0,0\right) = 0$, ale je ľahké vidieť, že v akomkoľvek okolí bodu $\left(0,0\right)$ funkcia nadobúda kladné aj záporné hodnoty.

Príklad 2
Funkcia $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ má počiatok súradníc ako stacionárny bod, ale je jasné, že v tomto bode neexistuje extrém.

Veta (dostatočná podmienka pre extrém).
Nech je funkcia $f$ dvakrát spojito diferencovateľná na otvorenej množine $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Nech $x_(0) \in E$ je stacionárny bod a $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x_(i) \čiastočné x_(j)) \ľavé(x_(0)\vpravo)h^(i)h^(j).$ $ Potom

1. ak $Q_(x_(0))$ je , potom funkcia $f$ v bode $x_(0)$ má lokálny extrém, konkrétne minimum, ak je tvar kladne určitý a maximum, ak je tvar negatívne-určité;
2. ak je kvadratický tvar $Q_(x_(0))$ neurčitý, potom funkcia $f$ v bode $x_(0)$ nemá extrém.

Využime rozšírenie podľa Taylorovho vzorca (12.7 s. 292) . Ak vezmeme do úvahy, že parciálne derivácie prvého rádu v bode $x_(0)$ sú rovné nule, dostaneme $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\vpravo) = \ frac(1)(2) \súčet_(i=1)^n \súčet_(j=1)^n \frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x_(i) \ čiastočné x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ kde $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ a $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ pre $h \rightarrow 0$, potom je pravá strana kladná pre akýkoľvek vektor $h$ dostatočne malej dĺžky.
Dospeli sme teda k záveru, že v nejakom okolí bodu $x_(0)$ je nerovnosť $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ splnená, ak len $ x \neq x_ (0)$ (vložíme $x=x_(0)+h$\vpravo). To znamená, že v bode $x_(0)$ má funkcia prísne lokálne minimum a tým je dokázaná prvá časť našej vety.
Predpokladajme teraz, že $Q_(x_(0))$ je neurčitý tvar. Potom sú tu vektory $h_(1)$, $h_(2)$ také, že $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Potom dostaneme $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ vľavo[ ​​\lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Pre dostatočne malý $t>0$ je pravá strana pozitívne. To znamená, že v akomkoľvek okolí bodu $x_(0)$ funkcia $f$ nadobúda hodnoty $f \left(x\right)$ väčšie ako $f \left(x_(0)\right)$.
Podobne získame, že v akomkoľvek okolí bodu $x_(0)$ funkcia $f$ nadobúda hodnoty menšie ako $f \left(x_(0)\right)$. To spolu s predchádzajúcim znamená, že funkcia $f$ nemá extrém v bode $x_(0)$.

Uvažujme konkrétny prípad tejto vety pre funkciu $f \left(x,y\right)$ dvoch premenných definovaných v niektorom okolí bodu $\left(x_(0),y_(0)\right) $ a má spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu. Nech $\left(x_(0),y_(0)\right)$ je stacionárny bod a nech $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x \čiastočné y) \left(x_( 0) , y_(0)\vpravo), a_(22)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné y^(2)) \vľavo(x_(0), y_(0)\vpravo ). $$ Potom predchádzajúca veta nadobúda nasledujúci tvar.

Veta
Nech $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. potom:

1. ak $\Delta>0$, potom funkcia $f$ má lokálny extrém v bode $\left(x_(0),y_(0)\right)$, konkrétne minimum, ak $a_(11)> 0 $ a maximálne, ak $a_(11)<0$;
2. ak $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Príklady riešenia problémov

Algoritmus na nájdenie extrému funkcie mnohých premenných:

1. Nájdeme stacionárne body;
2. Vo všetkých stacionárnych bodoch nájdeme diferenciál 2. rádu
3. Pomocou postačujúcej podmienky pre extrém funkcie viacerých premenných uvažujeme diferenciál druhého rádu v každom stacionárnom bode

1. Preskúmajte funkciu do extrému $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   rozhodnutie

   Nájdite parciálne derivácie 1. rádu: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Zložte a vyriešte systém: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\čiastočné f)(\čiastočné y)= 0\koniec (prípady) \Šípka doprava \začiatok(prípady)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cbodka y^(2) - 6 \cbodka x = 0\koniec (prípady) \šípka doprava \začiatok (prípady)x^(2) - 2 \cbodka y= 0\\4 \cbodka y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Z 2. rovnice vyjadríme $x=4 \cdot y^(2)$ — dosadíme do 1. rovnice: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ vpravo )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Výsledkom sú 2 stacionárne body:
   1) $y=0 \šípka doprava x = 0, M_(1) = \vľavo(0, 0\vpravo)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Šípka doprava y^(3)=\frac(1)(8) \Šípka doprava y = \frac(1)(2) \Šípka doprava x=1 , M_(2) = \vľavo(\frac(1)(2), 1\vpravo)$
   Skontrolujme splnenie dostatočnej extrémnej podmienky:
   $$\displaystyle \frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x^(2))=6 \cdot x; \frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x \čiastočné y)=-6; \frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Pre bod $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x \čiastočné y) \vľavo(0,0\vpravo)=-6; C_(1)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Pre bod $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x \čiastočné y) \vľavo(1,\frac(1)(2)\vpravo)=-6; C_(2)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, takže v bode $M_(2)$ je extrém a keďže $A_(2)>0 $, potom je to minimum.
   Odpoveď: Bod $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ je minimálny bod funkcie $f$.
   

2. Preskúmajte funkciu pre extrém $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   rozhodnutie

   Nájdite stacionárne body: $$\displaystyle \frac(\čiastočné f)(\čiastočné x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\čiastočné f)(\čiastočné y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2,$$
   Zostavte a vyriešte systém: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Šípka doprava \začiatok(prípady)2 \cbodka y - 4= 0\\2 \cbodka y + 2 \cbodka x - 2 = 0\koniec (prípady) \šípka doprava \začiatok (prípady) y = 2\\y + x = 1\koniec (prípady) \šípka doprava x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ je stacionárny bod.
   Skontrolujeme splnenie dostatočnej extrémnej podmienky: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x \čiastočné y) \ľavé(-1,2\vpravo)=2; C=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné y^(2)) \ľavé(-1,2\vpravo)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Odpoveď: neexistujú žiadne extrémy.
   

Časový limit: 0

Navigácia (iba čísla úloh)

0 zo 4 dokončených úloh

Informácie

Urobte si tento kvíz a otestujte si svoje znalosti o téme, ktorú ste práve čítali, Lokálne extrémy funkcií mnohých premenných.

Test ste už absolvovali. Nemôžete to znova spustiť.

Test sa načítava...

Pre spustenie testu sa musíte prihlásiť alebo zaregistrovať.

Na spustenie tohto testu musíte vykonať nasledujúce testy:

výsledky

Správne odpovede: 0 zo 4

Tvoj čas:

Čas vypršal

Získali ste 0 z 0 bodov (0)

Vaše skóre bolo zaznamenané vo výsledkovej tabuľke

1. S odpoveďou
2. Odhlásený

Úloha 1 zo 4

1 .

Počet bodov: 1

Preskúmajte funkciu $f$ pre extrémy: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

správne


Nesprávne


1. Úloha 2 zo 4

   2 .

   Počet bodov: 1

   Má funkciu $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

MAXIMÁLNY A MINIMÁLNY BODY

body, v ktorých nadobúda najväčšie alebo najmenšie hodnoty v oblasti definície; takéto body sa nazývajú aj body absolútneho maxima alebo absolútneho minima. Ak je f definované na topologickom priestor X, potom bod x 0 volal bod miestneho maxima (miestneho minima), ak taký bod existuje x 0,že za obmedzenie uvažovanej funkcie na túto štvrť, bod x 0 je absolútny maximálny (minimálny) bod. Rozlišujte body prísneho a neprísneho maxima (mini m u m a) (absolútne aj lokálne). Napríklad bod tzv bod neprísneho (striktného) lokálneho maxima funkcie f, ak takéto okolie bodu existuje x 0,čo platí pre všetkých (respektíve f(x) x0). )/

Pre funkcie definované na doménach konečných rozmerov v zmysle diferenciálneho počtu existujú podmienky a kritériá, aby daný bod bol lokálnym maximálnym (minimálnym) bodom. Nech je funkcia f definovaná v určitom okolí boxu x 0 reálnej osi. Ak x 0 - bod neprísneho lokálneho maxima (minimum) a v tomto bode existuje f"( x0), potom sa rovná nule.

Ak je daná funkcia f diferencovateľná v okolí bodu x 0, snáď okrem tohto bodu samotného, ​​v ktorom je spojitý, a derivácie f" na každej strane bodu x0 zachováva konštantný znak v tomto susedstve, potom aby sa x0 bol bod prísneho lokálneho maxima (lokálneho minima), je potrebné a postačujúce, aby derivácia zmenila znamienko z plus na mínus, t.j. aby f "(x)> 0 v x<.x0 a f"(x)<0 при x>x0(respektíve od mínus do plus: f"(X) <0 pri x<x0 a f"(x)>0 keď x>x 0). Nie však pre každú funkciu diferencovateľnú v okolí bodu x 0, v tomto bode možno hovoriť o zmene znamienka derivátu. . "

Ak funkcia f má v bode x 0 t deriváty, navyše s cieľom x 0 je bod prísneho lokálneho maxima, je potrebné a postačujúce, aby τ bolo párne a aby f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Nechajte funkciu f( x 1 ..., x str] je definovaný v n-rozmernom okolí bodu a je v tomto bode diferencovateľný. Ak x (0) je bodom neprísneho lokálneho maxima (minima), potom sa funkcia f v tomto bode rovná nule. Táto podmienka je ekvivalentná rovnosti nuly v tomto bode všetkých parciálnych derivácií 1. rádu funkcie f. Ak má funkcia 2. spojité parciálne derivácie v x (0), všetky jej 1. derivácie zanikajú v x (0) a diferenciál 2. rádu v x (0) je záporný (kladný) kvadratický tvar, potom x(0) je bod prísneho lokálneho maxima (minimum). Známe sú podmienky pre diferencovateľné funkcie M. a M. T., keď sú na zmeny v argumentoch kladené určité obmedzenia: sú splnené obmedzujúce rovnice. Nevyhnutné a postačujúce podmienky pre maximum (minimum) reálnej funkcie, ktorá má zložitejšiu štruktúru, sa študujú v špeciálnych odvetviach matematiky: napr. konvexná analýza, matematické programovanie(pozri tiež Maximalizácia a minimalizácia funkcií). Funkcie M. a m.t. definované na varietách sú študované v počet variácií vo všeobecnosti, a M. a m.t. pre funkcie definované na funkčných priestoroch, t.j. pre funkcionály, v variačný počet. Existujú aj rôzne metódy numerického približného zisťovania M. a m.t.

Lit.: Il'in V. A., Poznya E. G., Základy matematickej analýzy, 3. vydanie, 1. časť, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudrjavcev.

Matematická encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pozrite si, čo znamená „MAXIMÁLNY A MINIMÁLNY BOD“ v iných slovníkoch:

Diskrétny Pontryaginov princíp maxima pre časovo diskrétne riadiace procesy. Pre takýto proces nemusí byť M. p. splnený, hoci pre jeho spojitý analóg, ktorý sa získa nahradením operátora konečnej diferencie diferenciálnym ... ... Matematická encyklopédia

Veta vyjadrujúca jednu z hlavných vlastností modulu analýzy. funkcie. Nech f(z) je pravidelná analytická alebo holomorfná funkcia p-komplexných premenných v doméne D priestoru komplexných čísel, ktorý je iný ako konštanta, M. m. s. v ... ... Matematická encyklopédia

Najväčšie a teda najmenšie hodnoty funkcie, ktorá nadobúda skutočné hodnoty. Zavolá sa bod definičného oboru funkcie, v ktorom zaberá maximum alebo minimum. respektíve maximálny bod alebo minimálny bod ... ... Matematická encyklopédia

Pozrite si Maximum a minimum funkcie, Maximum a minimum bodu... Matematická encyklopédia

Hodnota spojitej funkcie, ktorá je maximom alebo minimom (pozri Maximálne a minimálne body). Termín LE... Matematická encyklopédia

Indikátor- (Indikátor) Indikátor je informačný systém, látka, zariadenie, zariadenie, ktoré zobrazuje zmeny v akomkoľvek parametri Indikátory grafov devízových trhov, čo sú to a kde sa dajú stiahnuť? Popis indikátorov MACD, ... ... Encyklopédia investora

Tento výraz má iné významy, pozri Extrém (významy). Extrém (lat. extrém extrém) v matematike je maximálna alebo minimálna hodnota funkcie na danej množine. Bod, v ktorom sa dosiahne extrém, je ... ... Wikipedia

Počet je odvetvie matematickej analýzy, ktoré študuje koncepty derivácie a diferenciálu a ako ich možno použiť na štúdium funkcií. Obsah 1 Diferenciálny počet funkcií jednej premennej ... Wikipedia

Lemniskát a jeho triky Bernoulliho lemniskát je rovinná algebraická krivka. Definované ako ťažisko bodov, produkt ... Wikipedia

Divergencia- (Divergencia) Divergencia ako indikátor Obchodná stratégia s divergenciou MACD Obsah Obsah Časť 1. on. Časť 2. Divergencia ako. Divergencia je termín používaný v ekonómii na označenie pohybu pozdĺž divergentného ... ... Encyklopédia investora