Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie

autonómna vzdelávacia inštitúcia federálneho štátu

vyššie odborné vzdelanie

Severná (arktická) federálna univerzita pomenovaná po M.V. Lomonosov"

Katedra matematiky

KURZOVÁ PRÁCA

Podľa disciplíny Matematika

Pyatysheva Anastasia Andreevna

Dozorca

čl. učiteľ

Borodkina T.A.

Archangeľsk 2014

ÚLOHA NA KURZ PRÁCE

Aplikácie určitého integrálu

ÚVODNÉ ÚDAJE:

21. y=x3, y=; 22.

ÚVOD

V tejto práci na kurze mám tieto úlohy: vypočítať plochy útvarov ohraničené grafmi funkcií, ohraničené priamkami danými rovnicami, tiež ohraničené priamkami danými rovnicami v polárnych súradniciach, vypočítať dĺžky oblúkov kriviek dané rovnicou rovnice v pravouhlom súradnicovom systéme, dané parametrickými rovnicami danými rovnicami v polárnych súradniciach, ako aj vypočítať objemy telies ohraničených plochami, ohraničených grafmi funkcií, a vytvorených rotáciou obrazcov ohraničených grafmi funkcií okolo polárna os. Vybral som si semestrálnu prácu na tému „Určitý integrál. V tejto súvislosti som sa rozhodol zistiť, ako ľahko a rýchlo môžete použiť integrálne výpočty a ako presne môžete vypočítať úlohy, ktoré mi boli pridelené.

INTEGRAL je jeden z najdôležitejších pojmov matematiky, ktorý vznikol v súvislosti s potrebou na jednej strane nájsť funkcie ich deriváciami (napr. nájsť funkciu, ktorá vyjadruje dráhu, ktorú prejde pohybujúci sa bod, podľa tzv. rýchlosť tohto bodu) a na druhej strane na meranie plôch, objemov, dĺžok oblúkov, práce síl za určité časové obdobie atď.

Odhalením témy seminárnej práce som sa zaoberal nasledujúcim plánom: definícia určitého integrálu a jeho vlastností; dĺžka oblúka krivky; oblasť krivočiareho lichobežníka; povrchová plocha rotácie.

Pre akúkoľvek funkciu f(x) spojitú na segmente existuje primitívna derivácia na tomto segmente, čo znamená, že existuje neurčitý integrál.

Ak je funkcia F(x) akýmkoľvek priradením k spojitej funkcii f(x), potom je tento výraz známy ako Newton-Leibnizov vzorec:

Hlavné vlastnosti určitého integrálu:

Ak sa dolná a horná hranica integrácie rovnajú (a=b), potom sa integrál rovná nule:

Ak f(x)=1, potom:

Pri prestavovaní hraníc integrácie sa jednoznačný integrál zmení na opačný:

Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka určitého integrálu:

Ak sú funkcie integrovateľné na, potom ich súčet je integrovateľný na a integrál súčtu sa rovná súčtu integrálov:

Existujú aj základné integračné metódy, ako je zmena premennej,:

Oprava diferenciálu:

Vzorec integrácie po častiach umožňuje zredukovať výpočet integrálu na výpočet integrálu, ktorý sa môže ukázať ako jednoduchší:

Geometrický význam určitého integrálu je, že pre spojitú a nezápornú funkciu je to v geometrickom zmysle plocha zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

Okrem toho pomocou určitého integrálu môžete nájsť oblasť oblasti ohraničenú krivkami, priamkami a tam, kde

Ak je krivočiary lichobežník ohraničený krivkou danou parametrickými priamkami x = a a x = b a osou Ox, potom jeho obsah nájdeme podľa vzorca, kde sú určené z rovnosti:

. (12)

Hlavná oblasť, ktorej oblasť sa nachádza pomocou určitého integrálu, je krivočiary sektor. Toto je oblasť ohraničená dvoma lúčmi a krivkou, kde r a sú polárne súradnice:

Ak je krivka grafom funkcie, kde a funkcia jej derivácie je v tomto segmente spojitá, potom povrchovú plochu obrázku vytvorenú rotáciou krivky okolo osi Ox možno vypočítať podľa vzorca:

. (14)

Ak je funkcia a jej derivácia spojitá na segmente, potom má krivka dĺžku rovnajúcu sa:

Ak je rovnica krivky uvedená v parametrickom tvare

kde x(t) a y(t) sú spojité funkcie so spojitými deriváciami a potom dĺžku krivky nájdeme podľa vzorca:

Ak je krivka daná rovnicou v polárnych súradniciach, kde a sú na segmente spojité, potom možno dĺžku oblúka vypočítať takto:

Ak sa krivočiary lichobežník otáča okolo osi Ox, ohraničený súvislým úsečkou a priamkami x \u003d a a x \u003d b, potom sa objem telesa vytvoreného rotáciou tohto lichobežníka okolo osi Ox bude rovnať :

Ak je krivočiary lichobežník ohraničený grafom spojitej funkcie a priamkami x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Ak je obrazec ohraničený krivkami a (je „vyšší“ ako priamymi čiarami x = a, x = b, potom sa objem rotačného telesa okolo osi Ox bude rovnať:

a okolo osi y (:

Ak sa krivočiary sektor otočí okolo polárnej osi, potom oblasť výsledného telesa možno nájsť podľa vzorca:

2. RIEŠENIE PROBLÉMOV

Úloha 14: Vypočítajte plochy útvarov ohraničené funkčnými grafmi:

1) Riešenie:

Obrázok 1 - Graf funkcií

X sa zmení z 0 na

x 1 = -1 a x 2 = 2 - integračné limity (je to vidieť na obrázku 1).

3) Vypočítajte plochu obrázku pomocou vzorca (10).

Odpoveď: S = .

Úloha 15: Vypočítajte plochy útvarov ohraničené priamkami danými rovnicami:

1) Riešenie:

Obrázok 2 - Graf funkcií

Zvážte funkciu na intervale.

Obrázok 3 - Tabuľka premenných pre funkciu

Potom sa na toto obdobie zmestí 1 oblúk. Tento oblúk pozostáva zo strednej časti (S 1) a bočných častí. Stredová časť pozostáva z požadovanej časti a obdĺžnika (S pr):. Vypočítajme plochu jednej centrálnej časti oblúka.

2) Nájdite hranice integrácie.

a y = 6, teda

Pre interval, hranice integrácie.

3) Nájdite plochu obrázku pomocou vzorca (12).

krivočiary integrálny lichobežník

Úloha 16: Vypočítajte plochy útvarov ohraničené priamkami danými rovnicami v polárnych súradniciach:

1) Riešenie:

Obrázok 4 - Graf funkcií,

Obrázok 5 - Tabuľka funkcií premenných,

2) Nájdite hranice integrácie.

teda -

3) Nájdite plochu obrázku pomocou vzorca (13).

Odpoveď: S=.

Úloha 17: Vypočítajte dĺžky oblúkov kriviek daných rovnicami v pravouhlom súradnicovom systéme:

1) Riešenie:

Obrázok 6 - Graf funkcie

Obrázok 7 - Tabuľka funkčných premenných

2) Nájdite hranice integrácie.

sa líši od ln po ln, je to zrejmé z podmienky.

3) Nájdite dĺžku oblúka pomocou vzorca (15).

odpoveď: l =

Úloha 18: Vypočítajte dĺžky oblúkov kriviek daných parametrickými rovnicami: 1)

1) Riešenie:

Obrázok 8- Graf funkcií

Obrázok 11 - Tabuľka funkčných premenných

2) Nájdite hranice integrácie.

ts sa líši od, je to zrejmé zo stavu.

Nájdite dĺžku oblúka pomocou vzorca (17).

Úloha 20: Vypočítajte objemy telies ohraničených povrchmi:

1) Riešenie:

Obrázok 12 - Graf funkcií:

2) Nájdite hranice integrácie.

Z sa mení z 0 na 3.

3) Nájdite objem postavy pomocou vzorca (18)

Úloha 21: Vypočítajte objemy telies ohraničených funkčnými grafmi, os rotácie Ox: 1)

1) Riešenie:

Obrázok 13 - Graf funkcií

Obrázok 15 - Tabuľka grafu funkcií

2) Nájdite hranice integrácie.

Body (0;0) a (1;1) sú spoločné pre oba grafy, preto ide o hranice integrácie, čo je zrejmé z obrázku.

3) Nájdite objem obrazca pomocou vzorca (20).

Úloha 22: Vypočítajte plochu telies tvorenú rotáciou útvarov ohraničených funkčnými grafmi okolo polárnej osi:

1) Riešenie:

Obrázok 16 - Graf funkcie

Obrázok 17 - Tabuľka premenných pre graf funkcie

2) Nájdite hranice integrácie.

c sa mení z

3) Nájdite plochu obrázku pomocou vzorca (22).

Odpoveď: 3,68

ZÁVER

V procese dokončovania mojej kurzovej práce na tému „Určitý integrál“ som sa naučil, ako vypočítať plochy rôznych telies, nájsť dĺžky rôznych oblúkov kriviek a tiež vypočítať objemy. Táto myšlienka práce s integrálmi mi pomôže v mojej budúcej profesionálnej činnosti, ako rýchlo a efektívne vykonávať rôzne činnosti. Veď integrál sám o sebe je jedným z najdôležitejších pojmov matematiky, ktorý vznikol v súvislosti s potrebou na jednej strane nájsť funkcie ich deriváciami (napríklad nájsť funkciu, ktorá vyjadruje dráhu, ktorú prejde a pohyblivého bodu, podľa rýchlosti tohto bodu) a na druhej strane na meranie plôch, objemov, dĺžok oblúkov, práce síl za určitý čas atď.

ZOZNAM POUŽITÝCH ZDROJOV

1. Napísal, D.T. Poznámky k prednáške z vyššej matematiky: 1. časť - 9. vyd. - M.: Iris-press, 2008. - 288 s.

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. Vyššia matematika. Diferenciálny a integrálny počet: V.2 - M.: Drofa, 2004. - 512 s.

3. V. A. Zorich, Matematická analýza. Časť I. - Ed. 4. - M.: MTSNMO, 2002. - 664 s.

4. Kuznecov D.A. "Zbierka úloh z vyššej matematiky" Moskva, 1983

5. Nikolsky S. N. "Prvky matematickej analýzy". - M.: Nauka, 1981.

Podobné dokumenty

Výpočet plôch rovinných útvarov. Nájdenie určitého integrálu funkcie. Určenie plochy pod krivkou, plochy postavy uzavretej medzi krivkami. Výpočet objemov rotačných telies. Limita integrálneho súčtu funkcie. Určenie objemu valca.

prezentácia, pridané 18.09.2013


Vlastnosti výpočtu objemov telies ohraničených plochami pomocou geometrického významu dvojitého integrálu. Určenie plôch rovinných útvarov ohraničených priamkami pomocou integračnej metódy v priebehu matematickej analýzy.

prezentácia, pridané 17.09.2013


Derivácia určitého integrálu vzhľadom na premennú hornú hranicu. Výpočet určitého integrálu ako limity integrálneho súčtu podľa Newton-Leibnizovho vzorca, zmena premennej a integrácia po častiach. Dĺžka oblúka v polárnych súradniciach.

kontrolné práce, doplnené 22.08.2009


Momenty a ťažiská rovinných kriviek. Guldenova veta. Plocha vytvorená rotáciou oblúka rovinnej krivky okolo osi, ktorá leží v rovine oblúka a nepretína ju, sa rovná súčinu dĺžky oblúka a dĺžky kružnice.

prednáška, pridané 04.09.2003


Technika a hlavné fázy zisťovania parametrov: plocha krivočiareho lichobežníka a sektora, dĺžka oblúka krivky, objem telies, plocha rotačných telies, práca premenlivá sila. Poradie a mechanizmus výpočtu integrálov pomocou balíka MathCAD.

kontrolné práce, doplnené 21.11.2010


Nevyhnutná a postačujúca podmienka existencie určitého integrálu. Rovnosť určitého integrálu algebraického súčtu (rozdielu) dvoch funkcií. Veta o strednej hodnote – dôsledok a dôkaz. Geometrický význam určitého integrálu.

prezentácia, pridané 18.09.2013


Problém numerickej integrácie funkcií. Výpočet približnej hodnoty určitého integrálu. Hľadanie určitého integrálu pomocou metód obdĺžnika, stredného obdĺžnika, lichobežníka. Chyba vzorcov a porovnanie metód z hľadiska presnosti.

tréningový manuál, pridaný 7.1.2009


Metódy výpočtu integrálov. Vzorce a overenie neurčitého integrálu. Oblasť krivočiareho lichobežníka. Neurčitý, určitý a zložitý integrál. Základné aplikácie integrálov. Geometrický význam určitých a neurčitých integrálov.

prezentácia, pridané 15.01.2014


Výpočet plochy obrazca ohraničeného danými čiarami pomocou dvojitého integrálu. Výpočet dvojitého integrálu prechodom na polárne súradnice. Technika na určenie krivočiareho integrálu druhého druhu pozdĺž danej priamky a toku vektorového poľa.

kontrolné práce, doplnené 14.12.2012


Pojem určitého integrálu, výpočet plochy, objemu telesa a dĺžky oblúka, statického momentu a ťažiska krivky. Výpočet plochy v prípade pravouhlej krivočiarej oblasti. Aplikácia krivočiarych, plošných a trojných integrálov.

Domov > Prednáška

Prednáška 18. Aplikácie určitého integrálu.

18.1. Výpočet plôch rovinných útvarov.

Je známe, že určitý integrál na segmente je oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničeného grafom funkcie f(x). Ak sa graf nachádza pod osou x, t.j. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, potom má oblasť znamienko „+“.

Vzorec sa používa na zistenie celkovej plochy.

Oblasť obrazca ohraničená niekoľkými čiarami možno nájsť pomocou určitých integrálov, ak sú známe rovnice týchto čiar.

Príklad. Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami y \u003d x, y \u003d x 2, x \u003d 2.

Požadovanú oblasť (na obrázku vytieňovanú) možno nájsť podľa vzorca:

18.2. Nájdenie oblasti krivočiareho sektora.

Na nájdenie oblasti krivočiareho sektora zavedieme polárny súradnicový systém. Rovnica krivky, ktorá ohraničuje sektor v tomto súradnicovom systéme, má tvar  = f(), kde  je dĺžka vektora polomeru spájajúceho pól s ľubovoľným bodom na krivke a  je uhol sklonu. tohto polomerového vektora k polárnej osi.

Oblasť zakriveného sektora možno nájsť podľa vzorca

18.3. Výpočet dĺžky oblúka krivky.

y y = f(x)

S i y i

Dĺžku lomenej čiary, ktorá zodpovedá oblúku, možno nájsť ako
.

Potom je dĺžka oblúka
.

Z geometrických dôvodov:

V rovnakom čase

Potom sa to dá ukázať

Tie.

Ak je rovnica krivky daná parametricky, potom pri zohľadnení pravidiel pre výpočet derivácie parametricky danej krivky dostaneme

,

kde x = (t) a y = (t).

Ak je nastavený priestorová krivka a x = (t), y = (t) az = Z(t), potom

Ak je krivka nastavená na polárne súradnice, potom

,  = f().

Príklad: Nájdite obvod daný rovnicou x 2 + y 2 = r 2 .

1 spôsob. Vyjadrime premennú y z rovnice.

Poďme nájsť derivát

Potom S = 2r. Dostali sme známy vzorec pre obvod kruhu.

2 spôsobom. Ak danú rovnicu znázorníme v polárnom súradnicovom systéme, dostaneme: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, t.j. funkcia  = f() = r,
potom

18.4. Výpočet objemov telies.

Výpočet objemu telesa zo známych plôch jeho rovnobežných rezov.

Nech existuje teleso s objemom V. Plocha ľubovoľného prierezu telesa, Q, je známa ako spojitá funkcia Q = Q(x). Rozdeľme teleso na „vrstvy“ prierezmi prechádzajúcimi bodmi x i delenia úsečky . Pretože funkcia Q(x) je spojitá na niektorom medzisegmente partície, potom nadobúda svoje maximálne a minimálne hodnoty. Označme ich podľa toho M i a m i .

Ak na týchto najväčších a najmenších úsekoch postavíme valce s generátormi rovnobežnými s osou x, potom sa objemy týchto valcov budú v tomto poradí rovnať M i x i a m i x i tu x i = x i - x i -1 .

Po vytvorení takýchto konštrukcií pre všetky segmenty priečky získame valce, ktorých objemy sú, resp.
a
.

Keďže krok rozdelenia  má tendenciu k nule, tieto sumy majú spoločný limit:

Objem tela teda možno nájsť podľa vzorca:

Nevýhodou tohto vzorca je, že na zistenie objemu je potrebné poznať funkciu Q(x), ktorá je pre zložité telesá veľmi problematická.

Príklad: Nájdite objem gule s polomerom R.

V prierezoch gule sa získajú kružnice s premenlivým polomerom y. V závislosti od aktuálnej súradnice x je tento polomer vyjadrený vzorcom
.

Potom má funkcia plochy prierezu tvar: Q(x) = .

Získame objem lopty:

Príklad: Nájdite objem ľubovoľnej pyramídy s výškou H a základnou plochou S.

Pri prekročení pyramídy s rovinami kolmými na výšku dostaneme v reze figúry podobné základni. Koeficient podobnosti týchto obrázkov sa rovná pomeru x / H, kde x je vzdialenosť od roviny rezu k vrcholu pyramídy.

Z geometrie je známe, že pomer plôch podobných útvarov sa rovná štvorcu koeficientu podobnosti, t.j.

Odtiaľ dostaneme funkciu prierezových plôch:

Ako zistiť objem pyramídy:

18.5. Objem rotačných telies.

Uvažujme krivku danú rovnicou y = f(x). Predpokladajme, že funkcia f(x) je spojitá na segmente . Ak krivočiary lichobežník jemu zodpovedajúci so základňami a a b rotuje okolo osi Ox, tak dostaneme tzv. telo revolúcie.

Pretože každá časť telesa rovinou x = const je kruh s polomerom , potom objem rotačného telesa možno ľahko nájsť pomocou vyššie uvedeného vzorca:

18.6. Povrchová plocha rotačného telesa.

M a B

Definícia: Plocha rotácie krivka AB okolo danej osi sa nazýva hranica, ku ktorej smerujú plochy rotačných plôch prerušovaných čiar vpísaných do krivky AB, keď najväčšia z dĺžok článkov týchto prerušovaných čiar inklinuje k nule.

Rozdeľme oblúk AB na n častí bodmi M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Vrcholy výslednej lomenej čiary majú súradnice x i a y i . Keď sa prerušovaná čiara otáča okolo osi, získame povrch pozostávajúci z bočných plôch zrezaných kužeľov, ktorých plocha sa rovná P i. Túto oblasť možno nájsť pomocou vzorca:

Tu S i je dĺžka každého akordu.

Aplikujeme Lagrangeovu vetu (porov. Lagrangeova veta) k vzťahu
.

Uveďme niektoré aplikácie určitého integrálu.

Výpočet plochy plochej postavy

Oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničená krivkou (kde
), rovný
,
a segmentovať
osi
, sa vypočíta podľa vzorca

.

Plocha postavy ohraničená krivkami
a
(kde
) rovno
a
vypočítané podľa vzorca

.

Ak je krivka daná parametrickými rovnicami
, potom oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničeného touto krivkou, rovné čiary
,
a segmentovať
osi
, sa vypočíta podľa vzorca

,

kde a sú určené z rovníc
,
, a
pri
.

Oblasť zakriveného sektora ohraničená krivkou danou v polárnych súradniciach rovnicou
a dva polárne polomery
,
(
), sa zistí podľa vzorca

.

Príklad 1.27. Vypočítajte plochu obrazca ohraničeného parabolou
a priamy
(Obrázok 1.1).

	rozhodnutie. Nájdite priesečníky priamky a paraboly. Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu , . Kde , . Potom podľa vzorca (1.6) máme .

Výpočet dĺžky oblúka rovinnej krivky

Ak krivka
na segmente
- hladký (to znamená derivát
je spojitá), potom sa pomocou vzorca zistí dĺžka zodpovedajúceho oblúka tejto krivky

.

Pri parametrickom zadávaní krivky
(
- plynule diferencovateľné funkcie) dĺžka oblúka krivky zodpovedajúca monotónnej zmene parametra od predtým , sa vypočíta podľa vzorca

Príklad 1.28. Vypočítajte dĺžku oblúka krivky
,
,
.

rozhodnutie. Poďme nájsť deriváty vzhľadom na parameter :
,
. Potom podľa vzorca (1.7) dostaneme

.

2. Diferenciálny počet funkcií viacerých premenných

Nech každý usporiadaný pár čísel
z nejakej oblasti
zodpovedá určitému číslu
. Potom volal funkcia dvoch premenných a ,
-nezávislé premenné alebo argumenty ,
-doména definície funkcie, ale súbor všetky funkčné hodnoty - jeho rozsah a označujú
.

Geometricky je doménou funkcie zvyčajne nejaká časť roviny
ohraničené čiarami, ktoré môžu alebo nemusia patriť do tejto oblasti.

Príklad 2.1. Nájsť doménu
funkcie
.

	rozhodnutie. Táto funkcia je definovaná v týchto bodoch roviny , v ktorom , alebo . Body roviny, pre ktoré , tvoria hranicu regiónu . Rovnica definuje parabolu (obr. 2.1; keďže parabola nepatrí do plochy , je znázornené ako bodkovaná čiara). Ďalej je ľahké priamo overiť, že body, pre ktoré , ktorý sa nachádza nad parabolou. región je otvorený a dá sa špecifikovať pomocou systému nerovností:

Ak je premenlivý dať nejakú podporu
, a nechajte to konštantné, potom funkciu
dostane prírastok
volal funkcia súkromného prírastku podľa premennej :

Podobne, ak premenná dostane prírastok
, a zostáva konštantná, potom funkcia
dostane prírastok
volal funkcia súkromného prírastku podľa premennej :

Ak existujú limity:

,

,

volajú sa parciálne derivácie funkcie
podľa premenných a resp.

Poznámka 2.1. Parciálne derivácie funkcií ľubovoľného počtu nezávislých premenných sú definované podobne.

Poznámka 2.2. Keďže parciálna derivácia vzhľadom na akúkoľvek premennú je deriváciou vzhľadom na túto premennú, za predpokladu, že ostatné premenné sú konštantné, potom všetky pravidlá pre derivovanie funkcií jednej premennej sú použiteľné na hľadanie parciálnych derivácií funkcií ľubovoľného počtu premenných.

Príklad 2.2.
.

rozhodnutie. Nájdeme:

,

.

Príklad 2.3. Nájdite čiastočné deriváty funkcií
.

rozhodnutie. Nájdeme:

,

,

.

Plne funkčný prírastok
sa nazýva rozdiel

Hlavná časť prírastku celkovej funkcie
, lineárne závislé od prírastkov nezávislých premenných
a
,sa nazýva celkový diferenciál funkcie a označené
. Ak má funkcia spojité parciálne derivácie, potom celkový diferenciál existuje a rovná sa

,

kde
,
- ľubovoľné prírastky nezávislých premenných, nazývané ich diferenciály.

Podobne pre funkciu troch premenných
celkový diferenciál je daný

.

Nechajte funkciu
má v bode
parciálne derivácie prvého rádu vzhľadom na všetky premenné. Potom sa volá vektor gradient funkcie
v bode
a označené
alebo
.

Poznámka 2.3. Symbol
sa nazýva Hamiltonov operátor a vyslovuje sa „numbla“.

Príklad 2.4. Nájdite gradient funkcie v bode
.

rozhodnutie. Poďme nájsť parciálne derivácie:

,
,

a vypočítajte ich hodnoty v bode
:

,
,
.

teda
.

derivát funkcie
v bode
v smere vektora
nazývaný limit pomeru
pri
:

, kde
.

Ak je funkcia
je diferencovateľný, potom sa derivácia v tomto smere vypočíta podľa vzorca:

,

kde ,- uhly, ktorý vektor formy s osami
a
resp.

V prípade funkcie troch premenných
smerová derivácia je definovaná podobne. Zodpovedajúci vzorec má tvar

,

kde
- smerové kosínusy vektora .

Príklad 2.5. Nájdite deriváciu funkcie
v bode
v smere vektora
, kde
.

rozhodnutie. Poďme nájsť vektor
a jeho smerové kosíny:

,
,
,
.

Vypočítajte hodnoty parciálnych derivácií v bode
:

,
,
;
,
,
.

Dosadením do (2.1) dostaneme

.

Parciálne derivácie druhého rádu nazývané parciálne derivácie prevzaté z parciálnych derivácií prvého rádu:

,

,

,

Parciálne deriváty
,
volal zmiešané . Hodnoty zmiešaných derivátov sú rovnaké v bodoch, kde sú tieto deriváty spojité.

Príklad 2.6. Nájdite parciálne derivácie druhého rádu funkcie
.

rozhodnutie. Vypočítajte prvé parciálne derivácie prvého rádu:

,
.

Keď ich znova rozlíšime, dostaneme:

,
,

,
.

Pri porovnaní posledných výrazov to vidíme
.

Príklad 2.7. Dokážte, že funkcia
spĺňa Laplaceovu rovnicu

.

rozhodnutie. Nájdeme:

,
.

,
.

.

Bodka
volal miestny maximálny bod (minimálne ) funkcie
, ak za všetky body
, iný ako
a príslušnosť k jeho dostatočne malej štvrti, nerovnosť

(
).

Maximum alebo minimum funkcie sa nazýva jej extrém . Zavolá sa bod, v ktorom sa dosiahne extrém funkcie extrémny bod funkcie .

Veta 2.1 (Nevyhnutné podmienky pre extrém ). Ak bod
je extrémnym bodom funkcie
, potom aspoň jeden z týchto derivátov neexistuje.

Body, pre ktoré sú tieto podmienky splnené, sa nazývajú stacionárne alebo kritický . Extrémne body sú vždy stacionárne, ale stacionárny bod nemusí byť extrémnym bodom. Aby bol stacionárny bod extrémnym bodom, musia byť splnené dostatočné extrémne podmienky.

Najprv si predstavme nasledujúci zápis :

,
,
,
.

Veta 2.2 (Dostatočné podmienky pre extrém ). Nechajte funkciu
je dvakrát diferencovateľná v okolí bodu
a bodka
je pre funkciu nehybný
. potom:

1.Ak
, potom bod
je extrémom funkcie a
bude maximálny bod na
(
)a minimálny bod pri
(
).

2.Ak
, potom v bode

neexistuje žiadny extrém.

3.Ak
, potom môže a nemusí existovať extrém.

Príklad 2.8. Preskúmajte funkciu pre extrém
.

rozhodnutie. Keďže v tomto prípade vždy existujú parciálne derivácie prvého rádu, na nájdenie stacionárnych (kritických) bodov riešime sústavu:

,
,

kde
,
,
,
. Takto sme dostali dva stacionárne body:
,
.

,
,
.

Pre bod
dostaneme:, to znamená, že v tomto bode neexistuje žiadny extrém. Pre bod
dostaneme: a
, teda

v tomto bode táto funkcia dosiahne lokálne minimum: .

Oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničená zhora grafom funkcie y=f(x), vľavo a vpravo - rovno x=a a x=b respektíve zospodu - os Vôl, sa vypočíta podľa vzorca

Plocha krivočiareho lichobežníka ohraničeného vpravo grafom funkcie x=φ(y), hore a dole - rovné y=d a y=c respektíve vľavo - os Oj:

Oblasť krivočiareho útvaru ohraničená zhora grafom funkcie y 2 \u003d f 2 (x), dole - graf funkcie y 1 \u003d f 1 (x), vľavo a vpravo - rovno x=a a x=b:

Oblasť krivočiareho útvaru ohraničená vľavo a vpravo funkčnými grafmi x 1 \u003d φ 1 (y) a x 2 \u003d φ 2 (y), hore a dole - rovné y=d a y=c v tomto poradí:

Uvažujme prípad, keď priamka ohraničujúca krivočiary lichobežník zhora je daná parametrickými rovnicami x = φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t), kde a ≤ t ≤ p, φ 1 (α) = a, φ1(p)=b. Tieto rovnice definujú nejakú funkciu y=f(x) na segmente [ a, b]. Plocha krivočiareho lichobežníka sa vypočíta podľa vzorca

Prejdime k novej premennej x = φ 1 (t), potom dx = φ" 1 (t) dt, a y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), teda \begin(displaymath)

Oblasť v polárnych súradniciach

Zvážte krivočiary sektor OAB, ohraničený priamkou danou rovnicou ρ=ρ(φ) v polárnych súradniciach dva lúče OA a OB, pre ktoré φ=α , φ=β .

Sektor delíme na elementárne sektory OM k-1 M k ( k = 1, …, n, M° = A, Mn = B). Označiť podľa Δφ k uhol medzi lúčmi OM k-1 a OM k zvieranie uhlov s polárnou osou φk-1 a φ k resp. Každý zo základných sektorov OM k-1 M k nahradiť kruhovým sektorom s polomerom ρ k \u003d ρ (φ "k), kde φ" k- hodnota uhla φ z intervalu [ φk-1, φk] a stredový uhol Δφ k. Oblasť posledného sektora je vyjadrená vzorcom .

vyjadruje plochu "stupňovitého" sektora, ktorý približne nahrádza daný sektor OAB.

Oblasť sektora OAB sa nazýva hranica oblasti „stupňovitého“ sektora na n→∞ a λ=max Δφ k → 0:

Ako , potom

Dĺžka oblúka krivky

Nechajte na intervale [ a, b] je daná diferencovateľná funkcia y=f(x), ktorého grafom je oblúk . Úsečka [ a,b] rozdelená do nčasti bodky x 1, x2, …, xn-1. Tieto body budú zodpovedať bodom M1, M2, …, Mn-1 oblúky, spojte ich prerušovanou čiarou, ktorá sa nazýva prerušovaná čiara vpísaná do oblúka. Obvod tejto prerušovanej čiary je označený s n, t.j

Definícia. Dĺžka oblúka čiary je hranicou obvodu lomenej čiary, ktorá je do nej vpísaná, keď počet odkazov M k-1 M k sa zvyšuje na neurčito a dĺžka najväčšieho z nich má tendenciu k nule:

kde λ je dĺžka najväčšieho spojenia.

Dĺžku oblúka spočítame od niektorých jeho bodov, napr. A. Nech v bode M(x,y) dĺžka oblúka je s a na mieste M"(x+Δx,y+Δy) dĺžka oblúka je s+Δs, kde, i>Δs - dĺžka oblúka. Z trojuholníka MNM" nájdite dĺžku akordu: .

Z geometrických úvah vyplýva, že

to znamená, že nekonečne malý oblúk úsečky a tetiva, ktorá ho prepína, sú ekvivalentné.

Transformujme vzorec vyjadrujúci dĺžku akordu:

Prechodom na limitu v tejto rovnosti dostaneme vzorec pre deriváciu funkcie s=s(x):

z ktorých nájdeme

Tento vzorec vyjadruje diferenciál oblúka rovinnej krivky a má jednoduché geometrický význam: vyjadruje Pytagorovu vetu pre nekonečne malý trojuholník MTN (ds=MT, ).

Diferenciál oblúka priestorovej krivky je daný

Uvažujme oblúk priestorovej čiary daný parametrickými rovnicami

kde a ≤ t ≤ p, φ i (t) (i = 1, 2, 3) sú diferencovateľné funkcie argumentu t, potom

Integrácia tejto rovnosti cez interval [ α, β ], získame vzorec na výpočet dĺžky tohto priamkového oblúka

Ak čiara leží v rovine Oxy, potom z=0 pre všetkých t∈[α, β], Preto

V prípade, keď je rovná čiara daná rovnicou y=f(x) (a≤x≤b), kde f(x) je diferencovateľná funkcia, posledný vzorec má tvar

Nech je rovná čiara daná rovnicou ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) v polárnych súradniciach. V tomto prípade máme parametrické rovnice priamky x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, kde sa ako parameter berie polárny uhol φ . Pokiaľ ide o

potom vzorec vyjadrujúci dĺžku oblúka úsečky ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) v polárnych súradniciach má tvar

telesný objem

Nájdite objem telesa, ak je známa plocha akéhokoľvek prierezu tohto telesa kolmého na určitý smer.

Rozdeľme toto teleso na elementárne vrstvy rovinami kolmými na os Vôl a definované rovnicami x=konšt. Pre akékoľvek pevné x∈ známa oblasť S=S(x) prierez tohto telesa.

Elementárna vrstva odrezaná rovinami x=x k-1, x = x k (k = 1, …, n, x 0 = a, xn=b), nahradíme ho valcom s výškou ∆x k =x k -x k-1 a základná plocha S(ξk), ξ k ∈.

Objem špecifikovaného elementárneho valca je vyjadrený vzorcom Δvk =E(ξk)Δxk. Poďme si zhrnúť všetky takéto produkty

čo je integrálny súčet pre danú funkciu S=S(x) na segmente [ a, b]. Vyjadruje objem stupňovitého telesa, pozostávajúceho z elementárnych valcov a približne nahrádzajúceho dané teleso.

Objem daného telesa je hranica objemu zadaného stupňovitého telesa pri λ→0 , kde λ - dĺžka najväčšieho zo základných segmentov ∆x k. Označiť podľa V objem daného telesa, potom podľa definície

Na druhej strane,

Preto sa objem telesa pre dané prierezy vypočíta podľa vzorca

Ak je teleso tvorené rotáciou okolo osi Vôl krivočiary lichobežník ohraničený zhora oblúkom súvislej čiary y=f(x), kde a≤x≤b, potom S(x)=πf 2 (x) a posledný vzorec je:

Komentujte. Objem telesa získaný rotáciou krivočiareho lichobežníka ohraničeného vpravo funkčným grafom x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), okolo osi Oj vypočítané podľa vzorca

Plocha rotácie

Zvážte povrch získaný otáčaním oblúka čiary y=f(x) (a≤x≤b) okolo osi Vôl(predpokladajme, že funkcia y=f(x) má spojitú deriváciu). Opravujeme hodnotu x∈, argument funkcie sa zvýši dx, čo zodpovedá "elementárnemu prstencu" získanému otáčaním elementárneho oblúka Δl. Tento "prstenec" je nahradený valcovým prstencom - bočným povrchom tela tvoreným rotáciou obdĺžnika so základňou rovnajúcou sa diferenciálu oblúka dl a výška h=f(x). Odrezaním posledného krúžku a jeho rozložením dostaneme pás so šírkou dl a dĺžka 2πy, kde y=f(x).

Preto je rozdiel plochy povrchu vyjadrený vzorcom

Tento vzorec vyjadruje plochu povrchu získanú otáčaním oblúka priamky y=f(x) (a≤x≤b) okolo osi Vôl.