Téma číslo 2.

Prevod algebraických výrazov

ja. Teoretický materiál

Základné pojmy

Algebraické vyjadrenie: celočíselné, zlomkové, racionálne, iracionálne.

Rozsah, platné hodnoty výrazu.

Hodnota algebraického výrazu.

Monóm, polynóm.

Skrátené vzorce násobenia.

Faktorizácia, bracketing spoločného činiteľa.

Základná vlastnosť zlomku.

Stupeň, vlastnosti stupňa.

Kortym, vlastnosti koreňov.

Transformácia racionálnych a iracionálnych výrazov.

Výraz zložený z čísel a premenných pomocou znakov sčítania, odčítania, násobenia, delenia, umocnenia na racionálnu mocninu, odmocniny a pomocou zátvoriek sa nazýva algebraické.

napríklad: ;
;
;

;
;
;
.

Ak algebraický výraz neobsahuje delenie na premenné a extrakciu koreňa z premenných (najmä umocňovanie zlomkovým exponentom), potom sa nazýva celý.

napríklad:
;
;
.

Ak sa algebraický výraz skladá z čísel a premenných pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia, umocňovania s prirodzeným exponentom a delenia a delenia na výrazy s premennými, ide o tzv. zlomkové.

napríklad:
;
.

Označujú sa celočíselné a zlomkové výrazy racionálny výrazov.

napríklad: ;
;

.

Ak algebraický výraz používa extrakciu koreňa z premenných (alebo zvýšenie premenných na zlomkovú mocninu), potom sa takýto algebraický výraz nazýva iracionálny.

napríklad:
;
.

Hodnoty premenných, pre ktoré má algebraický výraz zmysel, sa nazývajú platné hodnoty premenných.

Volá sa množina všetkých prípustných hodnôt premenných doména definície.

Oblasťou celého algebraického výrazu je množina reálnych čísel.

Definičný obor zlomkového algebraického výrazu je množina všetkých reálnych čísel okrem tých, ktoré menia menovateľa na nulu.

napríklad: dáva zmysel, keď
;

dáva zmysel, keď
, teda kedy
.

Oblasť iracionálneho algebraického výrazu je množina všetkých reálnych čísel, okrem tých, ktoré menia na záporné číslo výraz pod znamienkom odmocniny párneho stupňa alebo pod znamienkom umocnenia na zlomok.

napríklad:
dáva zmysel, keď
;

dáva zmysel, keď
, teda kedy
.

Číselná hodnota získaná dosadením prípustných hodnôt premenných do algebraického výrazu sa nazýva hodnotu algebraického výrazu.

napríklad: výraz
pri
,
naberá na hodnote
.

Nazýva sa algebraický výraz obsahujúci iba čísla, prirodzené mocniny premenných a ich súčin monomiálny.

napríklad:
;
;
.

Monomial, zapísaný v prvom rade ako súčin číselného faktora a mocniny rôznych premenných, sa redukuje na štandardná forma.

napríklad:
;
.

Číselný faktor štandardného zápisu jednočlena sa nazýva monomiálny koeficient. Súčet exponentov všetkých premenných sa nazýva monomiálny stupeň.

Pri vynásobení jednočlena jednočlenom a zvýšením jednočlenu na prirodzenú mocninu dostaneme jednočlen, ktorý je potrebné zredukovať na štandardný tvar.

Súčet monočlenov je tzv polynóm.

napríklad:
; ;
.

Ak sú všetky členy polynómu napísané v štandardnom tvare a vykoná sa redukcia podobných členov, potom výsledný polynóm štandardnej formy.

napríklad: .

Ak je v polynóme len jedna premenná, potom sa volá najväčší exponent tejto premennej polynomický stupeň.

napríklad: polynóm má piaty stupeň.

Zavolá sa hodnota premennej, pre ktorú je hodnota polynómu nulová polynómový koreň.

napríklad: polynomické korene
sú čísla 1,5 a 2.

Skrátené vzorce násobenia

Špeciálne prípady použitia skrátených vzorcov na násobenie

Štvorcový rozdiel:
alebo

Druhá mocnina súčtu:
alebo

Druhá mocnina rozdielu:
alebo

Súčet kociek:
alebo

Rozdiel kociek:
alebo

Sum Cube:
alebo

Diferenčná kocka:
alebo

Premena polynómu na súčin viacerých faktorov (polynómov alebo monočlenov) sa nazýva faktorizácia polynómu.

Napríklad:.

Metódy faktorizácie polynómu

napríklad: .

Používanie vzorcov na násobenie v skratke.

napríklad: .

Metóda zoskupovania. Komutatívne a asociatívne zákony vám umožňujú zoskupovať členy polynómu rôznymi spôsobmi. Jeden zo spôsobov vedie k tomu, že rovnaký výraz sa získa v zátvorkách, ktoré sa zase vyberú zo zátvoriek.

Napríklad:.

Akýkoľvek zlomkový algebraický výraz možno zapísať ako podiel dvoch racionálnych výrazov s premennou v menovateli.

napríklad:
.

Zlomok, v ktorom sú čitateľ a menovateľ racionálne výrazy a menovateľ obsahuje premennú, sa nazýva racionálny zlomok.

napríklad:
;
;
.

Ak sa čitateľ a menovateľ racionálneho zlomku vynásobí alebo vydelí rovnakým nenulovým číslom, jednočlenným alebo mnohonásobným číslom, hodnota zlomku sa nezmení. Tento výraz sa nazýva základná vlastnosť zlomku:

.

Zavolá sa akcia delenia čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom redukcia frakcií:

.

napríklad:
;
.

Práca n multiplikátory, z ktorých každý sa rovná a, kde a je ľubovoľný algebraický výraz alebo reálne číslo a n je prirodzené číslo, je tzv stupňaa :

.

Algebraický výraz a volal základ stupňa, číslo
n – indikátor.

napríklad:
.

Definíciou sa predpokladá, že pre ľubovoľné a, nerovná sa nule:

a
.

Ak
, potom
.

stupňa vlastnosti

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

Ak ,
, potom výraz n-tý stupeň, ktorý sa rovná a, sa volá koreňn tý stupeňa . Bežne sa to označuje
. V čom a volal radikálny prejav, n volal koreňový indikátor.

napríklad:
;
;
.

Vlastnosti koreňanstupeň a

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

Zovšeobecnením pojmu stupeň a koreň dostaneme pojem stupňa s racionálnym exponentom:

.

najmä
.

Akcie vykonávané na koreňoch

napríklad: .

II. Praktický materiál

Príklady plnenia úloh

Príklad 1. Nájdite hodnotu zlomku
.

odpoveď: .

Príklad 2. Zjednodušte výraz
.

Transformujme výraz v prvých zátvorkách:

, ak
.

Transformujme výraz v druhej zátvorke:

.

Výsledok z prvej zátvorky vydeľte výsledkom z druhej zátvorky:

odpoveď:

Príklad 3. Zjednodušte výraz:

.

Príklad 4. Zjednodušte výraz.

Prevedieme prvý zlomok:

.

Transformujme druhý zlomok:

.

V dôsledku toho dostaneme:
.

Príklad 5 Zjednodušte výraz
.

rozhodnutie. Poďme konať:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

odpoveď:
.

Príklad 6 Dokázať identitu
.

1)
;

2)
;

Príklad 7 Zjednodušte výraz:

.

rozhodnutie. Vykonávame akcie:

;

2)
.

Príklad 8 Dokázať identitu
.

rozhodnutie. Vykonávame akcie:

1)
;

2)

;

3)
.

Úlohy na samostatnú prácu

1. Zjednodušte výraz:

a)
;

b)
;

2. Zvážte:

a)
;

b)
;.dokument

Predmetč. 5.1. Goniometrické rovnice I. Teoretickémateriál Základné pojmy Goniometrická rovnica... pomocou rôznych algebraické a goniometrické vzorce a transformácií. II. Praktické materiál Príklady úloh...

Teoretický materiál pre externé skupiny a stretnutia študentov obsah lekcia 1 lekcia informatiky 2 informácie

Lekcia

Teoretickémateriál pre..., transformácií, prenos a používanie. Informácie sú vedomosti vyslovený... a predtým nahromadené, témyčím prispievame k pokrokovým... ich pravde s pomocou algebraické metódy. Výroky a vyhlásenia...

Téma „Vypracovanie programu voliteľného predmetu v rámci predprofilového školenia“ Dokončené

dokument

... teoretickéštúdia realizovateľnosti projektu jún-august 2005 3. Výber materiál... ukazuje použitie definície modulu, kedy transformáciaalgebraickévýrazov. Modul v rovniciach: - ... motivovať študenta propagáciou témy najviac, intraprofile...

Učebná pomôcka

... Predmet 1. Identické transformáciíalgebraickévýrazov Predmet 2. Algebraické teoretickémateriál

A Kondaurovej vybrané kapitoly z teórie a metód vyučovania matematiky doplnkové matematické vzdelávanie školákov

Učebná pomôcka

... Predmet 1. Identické transformáciíalgebraickévýrazov(vrátane použitia substitúcií, konceptu modulu čísla). Predmet 2. Algebraické... pedagógov. Dištančné prednášky sú teoretickémateriál ktoré môžu byť prezentované v...

Základné vlastnosti sčítania a násobenia čísel.

Komutatívna vlastnosť sčítania: pri preusporiadaní pojmov sa hodnota súčtu nemení. Pre všetky čísla a a b platí rovnosť

Asociačná vlastnosť sčítania: ak chcete k súčtu dvoch čísel pridať tretie číslo, môžete k prvému číslu pridať súčet druhého a tretieho čísla. Pre všetky čísla a, b a c platí rovnosť

Komutatívna vlastnosť násobenia: permutácia faktorov nemení hodnotu súčinu. Pre všetky čísla a, b a c platí rovnosť

Asociačná vlastnosť násobenia: ak chcete vynásobiť súčin dvoch čísel tretím číslom, môžete prvé číslo vynásobiť súčinom druhého a tretieho.

Pre všetky čísla a, b a c platí rovnosť

Distributívna vlastnosť: Ak chcete vynásobiť číslo súčtom, môžete toto číslo vynásobiť každým výrazom a pridať výsledky. Pre všetky čísla a, b a c platí rovnosť

Z komutatívnych a asociatívnych vlastností sčítania vyplýva, že v ľubovoľnom súčte si môžete termíny ľubovoľne preusporiadať a ľubovoľne ich kombinovať do skupín.

Príklad 1 Vypočítajme súčet 1,23+13,5+4,27.

Na tento účel je vhodné spojiť prvý termín s tretím. Dostaneme:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Z komutatívnych a asociatívnych vlastností násobenia vyplýva: v akomkoľvek produkte môžete faktory ľubovoľným spôsobom preusporiadať a ľubovoľne ich spájať do skupín.

Príklad 2 Zistime hodnotu súčinu 1,8 0,25 64 0,5.

Kombináciou prvého faktora so štvrtým a druhého s tretím dostaneme:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Distribučná vlastnosť je platná aj vtedy, keď je číslo vynásobené súčtom troch alebo viacerých členov.

Napríklad pre všetky čísla a, b, c a d platí rovnosť

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Vieme, že odčítanie môže byť nahradené sčítaním pridaním opačného čísla k mínusovému číslu:

To umožňuje, aby sa číselný výraz v tvare a-b považoval za súčet čísel a a -b, číselný výraz v tvare a + b-c-d za súčet čísel a, b, -c, -d atď. uvažované vlastnosti akcií platia aj pre takéto sumy.

Príklad 3 Zistime hodnotu výrazu 3,27-6,5-2,5+1,73.

Tento výraz je súčtom čísel 3,27, -6,5, -2,5 a 1,73. Aplikovaním adičných vlastností dostaneme: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Príklad 4 Vypočítajme súčin 36·().

Násobiteľ si možno predstaviť ako súčet čísel a -. Pomocou distribučnej vlastnosti násobenia dostaneme:

36()=36-36=9-10=-1.

identity

Definícia. Dva výrazy, ktorých zodpovedajúce hodnoty sú rovnaké pre akékoľvek hodnoty premenných, sa považujú za identicky rovnaké.

Definícia. Rovnosť, ktorá platí pre akékoľvek hodnoty premenných, sa nazýva identita.

Nájdite hodnoty výrazov 3(x+y) a 3x+3y pre x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Dostali sme rovnaký výsledok. Z distribučnej vlastnosti vyplýva, že vo všeobecnosti sú pre akékoľvek hodnoty premenných zodpovedajúce hodnoty výrazov 3(x+y) a 3x+3y rovnaké.

Zvážte teraz výrazy 2x+y a 2xy. Pre x=1, y=2 nadobúdajú rovnaké hodnoty:

Môžete však zadať hodnoty x a y tak, že hodnoty týchto výrazov sa nebudú rovnať. Napríklad, ak x=3, y=4, potom

Výrazy 3(x+y) a 3x+3y sú zhodne rovnaké, ale výrazy 2x+y a 2xy zhodne rovnaké.

Rovnosť 3(x+y)=x+3y, platí pre všetky hodnoty x a y, je identita.

Za identity sa považujú aj skutočné číselné rovnosti.

Identity sú teda rovnosti vyjadrujúce hlavné vlastnosti akcií na číslach:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Možno uviesť ďalšie príklady identít:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Identitné transformácie výrazov

Nahradenie jedného výrazu iným, jemu zhodne rovným, sa nazýva identická transformácia alebo jednoducho premena výrazu.

Identické transformácie výrazov s premennými sa vykonávajú na základe vlastností operácií s číslami.

Ak chcete nájsť hodnotu výrazu xy-xz vzhľadom na hodnoty x, y, z, musíte vykonať tri kroky. Napríklad s x=2,3, y=0,8, z=0,2 dostaneme:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Tento výsledok je možné získať iba v dvoch krokoch s použitím výrazu x(y-z), ktorý sa identicky rovná výrazu xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Výpočty sme zjednodušili nahradením výrazu xy-xz identicky rovnakým výrazom x(y-z).

Identitné transformácie výrazov sa široko používajú pri výpočte hodnôt výrazov a riešení iných problémov. Niektoré identické transformácie už boli vykonané, napríklad redukcia podobných výrazov, otvorenie zátvoriek. Pripomeňme si pravidlá vykonávania týchto transformácií:

ak chcete získať podobné výrazy, musíte pridať ich koeficienty a vynásobiť výsledok spoločnou písmenom;

ak je pred zátvorkami znamienko plus, zátvorky možno vynechať, pričom znamienko každého výrazu uzavretého v zátvorkách sa zachová;

ak je pred zátvorkami znamienko mínus, zátvorky možno vynechať zmenou znamienka každého výrazu uzavretého v zátvorkách.

Príklad 1 Pridajme podobné výrazy v súčte 5x+2x-3x.

Používame pravidlo na zníženie podobných výrazov:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Táto transformácia je založená na distribučnej vlastnosti násobenia.

Príklad 2 Rozviňme zátvorky vo výraze 2a+(b-3c).

Použitie pravidla pre otváranie zátvoriek, pred ktorými je znamienko plus:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Vykonaná transformácia je založená na asociatívnej vlastnosti sčítania.

Príklad 3 Rozviňme zátvorky vo výraze a-(4b-c).

Použime pravidlo na rozšírenie zátvoriek, pred ktorými je znamienko mínus:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Vykonaná transformácia je založená na distributívnej vlastnosti násobenia a asociatívnej vlastnosti sčítania. Ukážme to. Predstavme si druhý člen -(4b-c) v tomto výraze ako súčin (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Aplikovaním týchto vlastností akcií dostaneme:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Numerické a algebraické výrazy. Konverzia výrazov.

Čo je výraz v matematike? Prečo sú potrebné konverzie výrazov?

Otázka, ako sa hovorí, je zaujímavá... Faktom je, že tieto pojmy sú základom celej matematiky. Celá matematika pozostáva z výrazov a ich transformácií. Nie je to veľmi jasné? Nechaj ma vysvetliť.

Povedzme, že máte zlý príklad. Veľmi veľké a veľmi zložité. Povedzme, že si dobrý v matematike a nebojíš sa ničoho! Môžete odpovedať hneď?

Budeš musieť rozhodnúť tento príklad. Postupne, krok za krokom, tento príklad zjednodušiť. Podľa určitých pravidiel, samozrejme. Tie. urobiť konverzia výrazu. Ako úspešne vykonávate tieto transformácie, takže ste silný v matematike. Ak neviete, ako robiť správne premeny, v matematike vám to nejde nič...

Aby ste sa vyhli takejto nepríjemnej budúcnosti (alebo súčasnosti ...), nezaškodí pochopiť túto tému.)

Na začiatok si to poďme zistiť čo je výraz v matematike. Čo číselný výraz a čo je algebraický výraz.

Čo je výraz v matematike?

Vyjadrenie v matematike je veľmi široký pojem. Takmer všetko, čím sa v matematike zaoberáme, je súbor matematických výrazov. Akékoľvek príklady, vzorce, zlomky, rovnice a tak ďalej - to všetko pozostáva z matematické výrazy.

3+2 je matematický výraz. c 2 - d 2 je tiež matematický výraz. A zdravý zlomok a dokonca jedno číslo - to všetko sú matematické výrazy. Rovnica je napríklad:

5x + 2 = 12

pozostáva z dvoch matematických výrazov spojených znamienkom rovnosti. Jeden výraz je vľavo, druhý vpravo.

Vo všeobecnosti pojem matematický výraz“ sa používa najčastejšie, aby sa nemrmlalo. Budú sa vás pýtať, čo je napríklad obyčajný zlomok? A ako odpovedať?!

Odpoveď 1: „Je to... m-m-m-m... taká vec ... v ktorej ... môžem napísať zlomok lepšie? Ktorý chceš?"

Druhá možnosť odpovede: „Obyčajný zlomok je (veselo a radostne!) matematický výraz , ktorá sa skladá z čitateľa a menovateľa!"

Druhá možnosť je o niečo pôsobivejšia, však?)

Na tento účel sa používa veta „ matematický výraz "veľmi dobré. Správne aj solídne. Ale pre praktickú aplikáciu sa musíte dobre orientovať." špecifické druhy výrazov v matematike .

Konkrétny typ je iná vec. Toto je celkom iná vec! Každý typ matematického výrazu má môj súbor pravidiel a techník, ktoré musia byť použité pri rozhodovaní. Na prácu so zlomkami - jedna sada. Pre prácu s goniometrickými výrazmi - druhá. Pre prácu s logaritmami - tretí. Atď. Niekde sa tieto pravidlá zhodujú, niekde sa výrazne líšia. Ale nebojte sa týchto hrozných slov. Logaritmy, trigonometria a ďalšie záhadné veci si osvojíme v príslušných častiach.

Tu si osvojíme (alebo - opakujte, ako chcete ...) dva hlavné typy matematických výrazov. Číselné výrazy a algebraické výrazy.

Číselné výrazy.

Čo číselný výraz? Ide o veľmi jednoduchý koncept. Už samotný názov napovedá, že ide o výraz s číslami. je to tak. Matematický výraz zložený z čísel, zátvoriek a znamienok aritmetických operácií sa nazýva číselný výraz.

7-3 je číselný výraz.

(8+3,2) 5,4 je tiež číselný výraz.

A toto monštrum:

aj číselný výraz, áno...

Obyčajné číslo, zlomok, akýkoľvek príklad výpočtu bez x a iných písmen - to všetko sú číselné výrazy.

Hlavná prednosť číselné výrazy v ňom žiadne písmená. žiadne. Iba čísla a matematické ikony (ak je to potrebné). Je to jednoduché, však?

A čo sa dá robiť s číselnými výrazmi? Číselné výrazy sa zvyčajne dajú spočítať. Na to musíte niekedy otvárať zátvorky, meniť znamienka, skracovať, prehadzovať pojmy – t.j. urobiť konverzie výrazov. Ale o tom viac nižšie.

Tu sa budeme zaoberať takým vtipným prípadom, keď s číselným vyjadrením nemusíš nič robiť. No vôbec nič! Táto pekná operácia Nerobiť nič)- sa vykoná, keď výraz nedáva zmysel.

Kedy číselný výraz nedáva zmysel?

Samozrejme, ak pred sebou vidíme nejaký druh abrakadabra, ako napr

potom neurobíme nič. Keďže nie je jasné, čo s tým. Nejaký nezmysel. Pokiaľ, spočítať počet plusov ...

Ale sú tam navonok celkom slušné prejavy. Napríklad toto:

(2+3) : (16 - 2 8)

Tento výraz je však tiež nedáva zmysel! Z jednoduchého dôvodu, že v druhej zátvorke - ak počítate - dostanete nulu. Nemôžete deliť nulou! Toto je v matematike zakázaná operácia. Preto ani s týmto výrazom netreba nič robiť. Pre každú úlohu s takýmto výrazom bude odpoveď vždy rovnaká: "Výraz nedáva zmysel!"

Aby som dal takúto odpoveď, musel som, samozrejme, vypočítať, čo bude v zátvorkách. A niekedy v zátvorke taký zvrat ... No s tým sa nedá nič robiť.

V matematike nie je toľko zakázaných operácií. V tomto vlákne je len jeden. Delenie nulou. Ďalšie zákazy vyplývajúce z koreňov a logaritmov sú diskutované v príslušných témach.

Takže predstava o tom, čo je číselný výraz- dostal. koncepcia číselný výraz nedáva zmysel- uvedomil si. Poďme ďalej.

Algebraické výrazy.

Ak sa v číselnom výraze objavia písmená, tento výraz sa zmení na... Výraz sa zmení na... Áno! Sa stane algebraický výraz. Napríklad:

5a2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 + 4 x - 4; (a + b) 2; ...

Takéto výrazy sa nazývajú aj doslovné výrazy. Alebo výrazy s premennými. Je to prakticky to isté. Výraz 5a + c, napríklad - doslovný aj algebraický a výraz s premennými.

koncepcia algebraický výraz -širšie ako číselné. to zahŕňa a všetky číselné výrazy. Tie. číselný výraz je tiež algebraický výraz, len bez písmen. Každý sleď je ryba, ale nie každá ryba je sleď...)

Prečo? doslovný- To je jasné. No, keďže existujú písmená ... Fráza výraz s premennými tiež nie veľmi mätúce. Ak chápete, že pod písmenami sú skryté čísla. Pod písmenami sa môžu skrývať najrôznejšie čísla ... A 5, a -18 a čokoľvek sa vám páči. To znamená, že list môže nahradiť pre rôzne čísla. Preto sa písmená volajú premenné.

Vo výraze y+5, Napríklad, pri- premenlivý. Alebo len povedzte " premenná", bez slova „hodnota“. Na rozdiel od päťky, ktorá je konštantnou hodnotou. Alebo jednoducho - konštantný.

Termín algebraický výraz znamená, že na prácu s týmto výrazom musíte použiť zákony a pravidlá algebra. Ak aritmetika potom pracuje s konkrétnymi číslami algebra- so všetkými číslami naraz. Jednoduchý príklad na vysvetlenie.

V aritmetike sa to dá napísať

Ale ak napíšeme podobnú rovnosť prostredníctvom algebraických výrazov:

a + b = b + a

okamžite sa rozhodneme všetky otázky. Pre všetky čísla mŕtvica. Pre nekonečné množstvo vecí. Pretože pod písmenami a a b implicitne všetkyčísla. A nielen čísla, ale dokonca aj iné matematické výrazy. Takto funguje algebra.

Kedy nedáva algebraický výraz zmysel?

O číselnom vyjadrení je všetko jasné. Nulou sa deliť nedá. A pomocou písmen je možné zistiť, čím sa delíme?!

Vezmime si ako príklad nasledujúci výraz premennej:

2: (a - 5)

Dáva to zmysel? Ale kto ho pozná? a- ľubovoľné číslo...

Akýkoľvek, akýkoľvek... Ale má to jeden význam a, pre ktorý tento výraz presne tak nedáva zmysel! A aké je to číslo? Áno! Je 5! Ak premenná a nahraďte (hovoria - "náhrada") číslom 5, v zátvorkách sa ukáže nula. ktoré nemožno rozdeliť. Ukazuje sa teda, že náš výraz nedáva zmysel, ak a = 5. Ale pre iné hodnoty a dáva to zmysel? Môžete nahradiť iné čísla?

určite. V takýchto prípadoch sa jednoducho hovorí, že výraz

2: (a - 5)

dáva zmysel pre akúkoľvek hodnotu a, okrem a = 5 .

Celá sada čísel môcť náhrada do daného výrazu sa nazýva platný rozsah tento výraz.

Ako vidíte, nie je nič zložité. Pozrieme sa na výraz s premennými a pomyslíme si: pri akej hodnote premennej sa získa zakázaná operácia (delenie nulou)?

A potom sa určite pozrite na otázku zadania. čo sa pýtajú?

nedáva zmysel, odpoveďou bude naša zakázaná hodnota.

Ak sa pýtajú, pri akej hodnote premennej výraz má význam(cíťte rozdiel!), odpoveď bude všetky ostatné čísla okrem zakázaného.

Prečo potrebujeme význam výrazu? Je tam, nie je... Aký je rozdiel?! Faktom je, že tento pojem sa na strednej škole stáva veľmi dôležitým. Extrémne dôležité! Toto je základ pre také pevné koncepty, ako je rozsah platných hodnôt alebo rozsah funkcie. Bez toho nebudete môcť riešiť vážne rovnice alebo nerovnice vôbec. Páči sa ti to.

Konverzia výrazov. Transformácie identity.

Oboznámili sme sa s číselnými a algebraickými výrazmi. Pochopte, čo znamená fráza „výraz nedáva zmysel“. Teraz musíme prísť na to, čo konverzia výrazu. Odpoveď je jednoduchá, poburujúce.) Ide o akúkoľvek akciu s výrazom. A to je všetko. Tieto premeny robíte už od prvej triedy.

Vezmite si cool číselný výraz 3+5. Ako sa to dá previesť? Áno, veľmi jednoduché! Vypočítať:

Tento výpočet bude transformáciou výrazu. Rovnaký výraz môžete napísať iným spôsobom:

Tu sme nič nerátali. Stačí napísať výraz v inej forme. Toto bude tiež transformácia výrazu. Dá sa to napísať takto:

A toto je tiež premena výrazu. Týchto premien môžete urobiť toľko, koľko chcete.

akýkoľvek akcia na výraz akýkoľvek jeho zápis v inej forme sa nazýva transformácia výrazu. A všetky veci. Všetko je veľmi jednoduché. Ale je tu jedna vec veľmi dôležité pravidlo. Tak dôležité, že sa dá bezpečne zavolať hlavné pravidlo celá matematika. Porušenie tohto pravidla nevyhnutne vedie k chybám. Rozumieme sa?)

Povedzme, že sme svoj výraz svojvoľne zmenili takto:

Transformácia? určite. Výraz sme napísali v inej forme, čo je tu zlé?

Nie je to tak.) Faktom je, že premeny "Hocičo" matematika vôbec nezaujíma.) Celá matematika je postavená na transformáciách, pri ktorých sa mení vzhľad, ale podstata výrazu sa nemení. Tri plus päť môže byť napísané v akomkoľvek tvare, ale musí to byť osem.

premeny, výrazy, ktoré nemenia podstatu volal identické.

presne tak identické premeny a dovoľte nám, krok za krokom, premeniť zložitý príklad na jednoduché vyjadrenie podstata príkladu. Ak urobíme chybu v reťazci transformácií, urobíme NIE identickú transformáciu, potom sa rozhodneme ďalší príklad. S ďalšími odpoveďami, ktoré nesúvisia so správnymi.)

Tu je hlavným pravidlom riešenia akýchkoľvek úloh: súlad s identitou transformácií.

Pre názornosť som uviedol príklad s číselným vyjadrením 3 + 5. V algebraických výrazoch sú identické transformácie dané vzorcami a pravidlami. Povedzme, že v algebre existuje vzorec:

a(b+c) = ab + ac

Takže v každom príklade môžeme namiesto výrazu a(b+c) kľudne napíš výraz ab+ac. A naopak. Toto je identická transformácia. Matematika nám dáva na výber z týchto dvoch výrazov. A ktorý napísať závisí od konkrétneho príkladu.

Ďalší príklad. Jednou z najdôležitejších a nevyhnutných transformácií je základná vlastnosť zlomku. Viac podrobností si môžete pozrieť na odkaze, ale tu len pripomínam pravidlo: ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia (vydelia) rovnakým číslom alebo výrazom, ktorý sa nerovná nule, zlomok sa nezmení. Tu je príklad identických transformácií pre túto vlastnosť:

Ako iste tušíte, v tomto reťazci sa dá pokračovať donekonečna...) Veľmi dôležitá vlastnosť. Je to to, čo vám umožňuje zmeniť všetky druhy príkladov príšer na biele a nadýchané.)

Existuje mnoho vzorcov definujúcich identické transformácie. Ale čo je najdôležitejšie - celkom rozumné množstvo. Jednou zo základných transformácií je faktorizácia. Používa sa vo všetkej matematike – od základnej až po pokročilú. Začnime ním. v ďalšej lekcii.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

ja Výrazy, v ktorých možno spolu s písmenami použiť čísla, znaky aritmetických operácií a zátvorky, sa nazývajú algebraické výrazy.

Príklady algebraických výrazov:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Keďže písmeno v algebraickom výraze môže byť nahradené rôznymi číslami, písmeno sa nazýva premenná a samotný algebraický výraz sa nazýva výraz s premennou.

II. Ak sú v algebraickom výraze písmená (premenné) nahradené ich hodnotami a vykonajú sa zadané akcie, výsledné číslo sa nazýva hodnota algebraického výrazu.

Príklady. Nájdite hodnotu výrazu:

1) a + 2b-c pre a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6.

rozhodnutie.

1) a + 2b-c pre a = -2; b = 10; c = -3,5. Namiesto premenných dosadíme ich hodnoty. Dostaneme:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6. Uvedené hodnoty dosadíme. Pamätajte, že modul záporného čísla sa rovná jeho opačnému číslu a modul kladného čísla sa rovná tomuto samotnému číslu. Dostaneme:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Hodnoty písmena (premennej), pre ktoré má algebraický výraz zmysel, sa nazývajú platné hodnoty písmena (premenná).

Príklady. Pri akých hodnotách premennej výraz nedáva zmysel?

rozhodnutie. Vieme, že nie je možné deliť nulou, preto každý z týchto výrazov nebude dávať zmysel s hodnotou písmena (premennej), ktorá mení menovateľa zlomku na nulu!

V príklade 1) je to hodnota a = 0. Ak namiesto a dosadíme 0, potom číslo 6 bude potrebné vydeliť 0, ale to sa nedá. Odpoveď: výraz 1) nedáva zmysel, keď a = 0.

V príklade 2) menovateľ x - 4 = 0 pri x = 4, preto túto hodnotu x = 4 nemožno vziať. Odpoveď: výraz 2) nedáva zmysel pre x = 4.

V príklade 3) je menovateľ x + 2 = 0 pre x = -2. Odpoveď: výraz 3) nedáva zmysel pri x = -2.

V príklade 4) je menovateľ 5 -|x| = 0 pre |x| = 5. A keďže |5| = 5 a |-5| \u003d 5, potom nemôžete vziať x \u003d 5 a x \u003d -5. Odpoveď: výraz 4) nemá zmysel pre x = -5 a pre x = 5.
IV. Dva výrazy sa považujú za identicky rovnaké, ak sú pre akékoľvek prípustné hodnoty premenných zodpovedajúce hodnoty týchto výrazov rovnaké.

Príklad: 5 (a - b) a 5a - 5b sú totožné, pretože rovnosť 5 (a - b) = 5a - 5b bude platiť pre všetky hodnoty a a b. Rovnosť 5 (a - b) = 5a - 5b je identita.

identita je rovnosť, ktorá platí pre všetky prípustné hodnoty premenných v nej zahrnutých. Príklady vám už známych identít sú napríklad vlastnosti sčítania a násobenia, vlastnosť distribúcie.

Nahradenie jedného výrazu iným, jemu zhodne rovným, sa nazýva identická transformácia alebo jednoducho premena výrazu. Identické transformácie výrazov s premennými sa vykonávajú na základe vlastností operácií s číslami.

Príklady.

a) preveďte výraz na identicky rovný pomocou distribučnej vlastnosti násobenia:

1) 10 (1,2x + 2,3r); 2) 1,5 (a-2b + 4c); 3) a·(6m-2n + k).

rozhodnutie. Pripomeňme si distribučnú vlastnosť (zákon) násobenia:

(a+b) c=a c+b c(distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie: ak chcete vynásobiť súčet dvoch čísel tretím číslom, môžete každý člen vynásobiť týmto číslom a výsledky sčítať).
(a-b) c=a c-b c(distributívny zákon násobenia vzhľadom na odčítanie: ak chcete vynásobiť rozdiel dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť týmto zníženým a odčítaným číslom oddelene a odpočítať druhé od prvého výsledku).

1) 10 (1,2x + 2,3r) \u003d 10 1,2x + 10 2,3r \u003d 12x + 23r.

2) 1,5 (a-2b + 4c) = 1,5a-3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transformovať výraz na identicky rovný pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) sčítania:

4) x + 4,5 + 2 x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

rozhodnutie. Aplikujeme zákony (vlastnosti) pridania:

a+b=b+a(posunutie: súčet sa nemení od preskupenia pojmov).
(a+b)+c=a+(b+c)(asociatívne: ak chcete k súčtu dvoch výrazov pridať tretie číslo, môžete k prvému číslu pridať súčet druhého a tretieho).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

v) transformovať výraz na identicky rovný pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) násobenia:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2r · (-jeden); 9) 3a · (-3) · 2s.

rozhodnutie. Aplikujme zákony (vlastnosti) násobenia:

a b = b a(posun: permutácia faktorov nemení súčin).
(a b) c=a (b c)(kombinatívne: ak chcete vynásobiť súčin dvoch čísel tretím číslom, môžete prvé číslo vynásobiť súčinom druhého a tretieho).

Medzi rôznymi výrazmi, ktoré sa berú do úvahy v algebre, zaujímajú dôležité miesto súčty monomilov. Tu sú príklady takýchto výrazov:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Termíny v polynóme sa nazývajú členy polynómu. Mononomy sa označujú aj ako polynómy, pričom monomizmus považujeme za polynóm pozostávajúci z jedného člena.

Napríklad polynóm
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
možno zjednodušiť.

Všetky výrazy reprezentujeme ako monomály štandardného tvaru:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Vo výslednom polynóme dávame podobné výrazy:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Výsledkom je polynóm, ktorého všetky členy sú monomály štandardného tvaru a medzi nimi nie sú žiadne podobné. Takéto polynómy sa nazývajú polynómy štandardného tvaru.

pozadu polynomický stupeňštandardná forma preberá najväčšiu z právomocí svojich členov. Takže dvojčlen \(12a^2b - 7b \) má tretí stupeň a trojčlen \(2b^2 -7b + 6 \) má druhý stupeň.

Termíny polynómov štandardnej formy obsahujúce jednu premennú sú zvyčajne usporiadané v zostupnom poradí podľa jej exponentov. Napríklad:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Súčet niekoľkých polynómov možno previesť (zjednodušiť) na polynóm štandardnej formy.

Niekedy je potrebné členy polynómu rozdeliť do skupín, pričom každú skupinu uzatvoríme do zátvoriek. Keďže zátvorky sú opakom zátvoriek, je ľahké ich formulovať pravidlá otvárania zátvoriek:

Ak je znamienko + umiestnené pred zátvorkami, potom sa výrazy v zátvorkách píšu s rovnakými znamienkami.

Ak je pred zátvorkami umiestnený znak "-", potom sa výrazy v zátvorkách píšu s opačnými znakmi.

Transformácia (zjednodušenie) súčinu jednočlenu a mnohočlenu

Pomocou distributívnej vlastnosti násobenia možno súčin jednočlenu a mnohočlenu transformovať (zjednodušiť) na mnohočlen. Napríklad:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Súčin monočlenu a mnohočlenu sa zhodne rovná súčtu súčinov tohto monočlenu a každého z členov mnohočlenu.

Tento výsledok je zvyčajne formulovaný ako pravidlo.

Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte tento monočlen vynásobiť každým z členov polynómu.

Toto pravidlo sme opakovane použili na násobenie súčtom.

Súčin polynómov. Transformácia (zjednodušenie) súčinu dvoch polynómov

Vo všeobecnosti sa súčin dvoch polynómov rovná súčtu súčinu každého člena jedného polynómu a každého člena druhého.

Zvyčajne použite nasledujúce pravidlo.

Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty.

Skrátené vzorce násobenia. Štvorce súčtu, rozdielu a rozdielu

Niektoré výrazy v algebraických transformáciách sa musia zaoberať častejšie ako iné. Snáď najbežnejšie výrazy sú \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) a \(a^2 - b^2 \), teda druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdielu a druhá mocnina rozdielu. Všimli ste si, že názvy týchto výrazov sa zdajú byť neúplné, takže napríklad \((a + b)^2 \) nie je, samozrejme, len druhá mocnina súčtu, ale druhá mocnina súčtu a a b. Druhá mocnina súčtu a a b však nie je taká častá, spravidla namiesto písmen a a b obsahuje rôzne, niekedy dosť zložité výrazy.

Výrazy \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sa dajú ľahko previesť (zjednodušiť) na polynómy štandardného tvaru, v skutočnosti ste sa už s takouto úlohou stretli pri násobení polynómov :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Výsledné identity je užitočné zapamätať si a použiť ich bez prechodných výpočtov. Pomáhajú tomu krátke slovné formulácie.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - druhá mocnina súčtu sa rovná súčtu druhých mocnín a dvojitého súčinu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - druhá mocnina rozdielu je súčet druhých mocnín bez zdvojnásobenia súčinu.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - rozdiel štvorcov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu.

Tieto tri identity umožňujú pri transformáciách nahradiť ich ľavé časti pravými a naopak - pravé časti ľavými. Najťažšie je v tomto prípade vidieť zodpovedajúce výrazy a pochopiť, čím sú v nich premenné a a b nahradené. Pozrime sa na niekoľko príkladov použitia skrátených vzorcov na násobenie.