Poučenie

Zvoľte radikálne číslo taký faktor, ktorého odstránenie spod koreň platný výraz - inak operácia stratí . Napríklad, ak pod znakom koreň s exponentom rovným trom (odmocnina kocky) stojí za to číslo 128, potom možno spod značky vytiahnuť napr. číslo 5. V rovnakej dobe, koreň číslo 128 bude potrebné vydeliť 5 kociek: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Ak je pod znamienkom prítomnosť zlomkového čísla koreň neodporuje podmienkam problému, je to možné v tejto forme. Ak potrebujete jednoduchšiu možnosť, najprv rozdeľte radikálny výraz na také celočíselné faktory, z ktorých odmocnina jedného bude celé číslo číslo m) Napríklad: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Použite na výber faktorov koreňového čísla, ak vo vašej mysli nie je možné vypočítať stupeň čísla. To platí najmä pre koreň m s exponentom väčším ako dva. Ak máte prístup na internet, môžete vykonávať výpočty pomocou kalkulačiek zabudovaných do vyhľadávačov Google a Nigma. Napríklad, ak potrebujete nájsť najväčší celočíselný faktor, ktorý možno vybrať zo znamenia kubického koreň pre číslo 250, potom prejdite na webovú stránku Google a zadajte dotaz „6 ^ 3“, aby ste skontrolovali, či je možné vybrať pod značkou koreňšesť. Vyhľadávací nástroj zobrazí výsledok rovný 216. Žiaľ, 250 nemožno bez zvyšku deliť týmto číslo. Potom zadajte dopyt 5^3. Výsledkom bude 125, a to vám umožní rozdeliť 250 na faktory 125 a 2, čo znamená, že sa vylúči zo znamienka. koreň číslo 5 odchádza odtiaľ číslo 2.

Zdroje:

• ako to vybrať spod koreňa
• Druhá odmocnina produktu

Vytiahnite zospodu koreň jeden z faktorov je nevyhnutný v situáciách, keď potrebujete zjednodušiť matematický výraz. Existujú prípady, keď nie je možné vykonať potrebné výpočty pomocou kalkulačky. Napríklad, ak sa namiesto čísel použijú písmená premenných.

Poučenie

Rozložte radikálny výraz na jednoduché faktory. Pozrite sa, ktorý z faktorov sa opakuje rovnaký počet krát, ako je uvedené v indikátoroch koreň, alebo viac. Napríklad musíte vziať odmocninu čísla a do štvrtej mocniny. V tomto prípade môže byť číslo reprezentované ako a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. indikátor koreň v tomto prípade bude zodpovedať faktor a3. Musí byť vyňatý z označenia.

Ak je to možné, extrahujte koreň výsledných radikálov oddelene. extrakcia koreň je algebraická operácia inverzná k umocňovaniu. extrakcia koreňľubovoľnú mocninu z čísla, nájdite číslo, ktoré po zvýšení na túto ľubovoľnú mocninu bude mať za následok dané číslo. Ak extrakcia koreň nemožno vyrobiť, ponechajte radikálny výraz pod znakom koreň Ako to je. V dôsledku vyššie uvedených akcií vykonáte odstránenie zospodu znamenie koreň.

Podobné videá

Poznámka

Buďte opatrní pri písaní radikálneho výrazu ako faktorov - chyba v tejto fáze povedie k nesprávnym výsledkom.

Užitočné rady

Pri extrakcii koreňov je vhodné použiť špeciálne tabuľky alebo tabuľky logaritmických koreňov - tým sa výrazne skráti čas na nájdenie správneho riešenia.

Zdroje:

• znak extrakcie koreňov v roku 2019

Zjednodušenie algebraických výrazov je potrebné v mnohých odvetviach matematiky, vrátane riešenia rovníc vyšších stupňov, diferenciácie a integrácie. Používa niekoľko metód vrátane faktorizácie. Ak chcete použiť túto metódu, musíte nájsť a vybrať spoločnú faktor pozadu zátvorkách.

Poučenie

Vyňatie spoločného faktora pre zátvorkách- jedna z najbežnejších metód rozkladu. Táto technika sa používa na zjednodušenie štruktúry dlhých algebraických výrazov, t.j. polynómy. Všeobecné môže byť číslo, jednočlenné alebo dvojčlenné, a na jeho nájdenie sa používa distributívna vlastnosť násobenia.

Číslo: Pozrite sa pozorne na koeficienty každého polynómu, aby ste zistili, či ich možno deliť rovnakým číslom. Napríklad vo výraze 12 z³ + 16 z² - 4 je zrejmé faktor 4. Po prepočte dostanete 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Inými slovami, toto číslo je najmenší spoločný celočíselný deliteľ zo všetkých koeficientov.

Mononomický: Určte, či je v každom z členov polynómu rovnaká premenná. Predpokladajme, že je to tak, teraz sa pozrite na koeficienty, ako v predchádzajúcom prípade. Príklad: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Každý prvok tohto polynómu obsahuje premennú z. Okrem toho sú všetky koeficienty násobkami 3. Preto spoločným faktorom bude jednočlenný 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

Binomický.Pre zátvorkách všeobecný faktor dvoch, premennej a čísla, čo je všeobecný polynóm. Preto ak faktor-binomické nie je zrejmé, potom musíte nájsť aspoň jeden koreň. Zvýraznite voľný člen polynómu, ide o koeficient bez premennej. Teraz použite substitučnú metódu na spoločné vyjadrenie všetkých celočíselných deliteľov voľného člena.

Zvážte: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Skontrolujte, či je niektorý z celočíselných deliteľov 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Nájdite z1 jednoduchou substitúciou = 1 a z2 = 2, takže zátvorkách dvojčlenky (z - 1) a (z - 2) môžu byť odstránené. Ak chcete nájsť zostávajúci výraz, použite postupné rozdelenie do stĺpca.

Na kruhu ukázala, ako možno získať odmocniny v stĺpci. Môžete vypočítať koreň s ľubovoľnou presnosťou, nájsť toľko číslic, koľko chcete, v jeho desiatkovom zápise, aj keď sa to ukáže ako iracionálne. Algoritmus bol zapamätaný, ale zostali otázky. Nebolo jasné, odkiaľ metóda pochádza a prečo dáva správny výsledok. Toto v knihách nebolo, alebo som možno len hľadal v nesprávnych knihách. Výsledkom je, že ako veľa z toho, čo dnes viem a dokážem, som to priniesol sám. Zdieľam tu svoje poznatky. Mimochodom, stále neviem, kde je uvedené zdôvodnenie algoritmu)))

Najprv vám teda na príklade poviem „ako systém funguje“ a potom vysvetlím, prečo vlastne funguje.

Zoberme si číslo (číslo je prevzaté „zo stropu“, práve mi to prišlo na myseľ).

1. Jeho čísla rozdelíme do dvojíc: tie, ktoré sú naľavo od desatinnej čiarky, zoskupíme po dve sprava doľava a tie napravo – dve zľava doprava. Dostaneme .

2. Z prvej skupiny číslic vľavo vytiahneme druhú odmocninu - v našom prípade je to tak (je jasné, že presnú odmocninu nemožno vytiahnuť, vezmeme číslo, ktorého druhá mocnina je čo najbližšie k nášmu číslu tvorenému prvá skupina číslic, ale neprekračuje ju). V našom prípade to bude číslo. Ako odpoveď píšeme - toto je najvyššia číslica koreňa.

3. Zvýšime číslo, ktoré je už v odpovedi - toto je - na druhú a odpočítame od prvej skupiny čísel vľavo - od čísla. V našom prípade zostáva

4. Nasledovnú skupinu dvoch čísel pripisujeme vpravo: . Číslo už v odpovedi sa vynásobí , dostaneme .

5. Teraz pozorne sledujte. K číslu napravo musíme pridať jednu číslicu a číslo vynásobiť , teda rovnakou priradenou číslicou. Výsledok by mal byť čo najbližšie k , ale opäť nie viac ako toto číslo. V našom prípade to bude číslo, píšeme ho ako odpoveď vedľa vpravo. Toto je ďalšia číslica v desiatkovom zápise našej druhej odmocniny.

6. Odčítaním súčinu od dostaneme .

7. Ďalej zopakujeme známe operácie: výslednému číslu priradíme nasledujúcu skupinu číslic napravo, vynásobíme, > priradíme jednu číslicu doprava tak, že po vynásobení dostaneme číslo menšie, ale najbližšie k it - toto je číslica - ďalšia číslica v desiatkovom zápise koreňa.

Výpočty budú napísané takto:

A teraz sľúbené vysvetlenie. Algoritmus je založený na vzorci

Komentáre: 50

1. 2 Anton:

   Príliš chaotický a mätúci. Všetko rozober a očísluj. Plus: vysvetlite, kde v každej akcii nahrádzame potrebné hodnoty. Nikdy predtým som nevypočítal koreň v stĺpci - ťažko som na to prišiel.

2. 5 Júlia:

3. 6 :

   Julia, 23 je momentálne napísaná vpravo, toto sú prvé dve (vľavo) už prijaté číslice odmocniny, ktoré sú v odpovedi. Vynásobíme 2 podľa algoritmu. Opakujeme kroky opísané v odseku 4.

4. 7zzz:

   chyba v „6. Od 167 odpočítame súčin 43 * 3 = 123 (129 nada), dostaneme 38.“
   nie je jasné, ako po čiarke dopadlo 08 ...

5. 9 Fedotov Alexander:

   A ešte v dobe pred kalkulačkou nás v škole učili nielen druhú mocninu, ale aj odmocninu v stĺpci extrahovať, ale to je už namáhavejšia a namáhavejšia práca. Jednoduchšie bolo použiť Bradisove tabuľky alebo posuvné pravítko, ktoré sme študovali už na strednej škole.

6. 10 :

   Alexander, máte pravdu, môžete extrahovať do stĺpca a koreňov veľkých stupňov. Budem písať len o tom, ako nájsť odmocninu kocky.

7. 12 Sergej Valentinovič:

   Milá Elizabeth Alexandrovna! Koncom 70-tych rokov som vyvinul schému automatického (teda nie výberom) výpočtu štvorcov. root na sčítacom stroji Felix. V prípade záujmu môžem poslať popis.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Výber druhej odmocniny do stĺpca)))
   Algoritmus sa zjednoduší, ak použijete 2. číselný systém, ktorý sa študuje v informatike, ale je užitočný aj v matematike. A.N. Kolmogorov citoval tento algoritmus v populárnych prednáškach pre školákov. Jeho článok možno nájsť v zbierke „Čebyšev“ (Matematický časopis, odkaz naň hľadajte na internete)
   Pri tejto príležitosti povedzte:
   G. Leibniz sa svojho času ponáhľal s myšlienkou prechodu z 10. číselnej sústavy na binárnu kvôli jej jednoduchosti a dostupnosti pre začiatočníkov (školákov). Ale porušiť zavedené tradície je ako rozbiť brány pevnosti čelom: je to možné, ale je to zbytočné. Tak to dopadá, ako podľa bradatého filozofa najcitovanejšieho za starých čias: tradície všetkých mŕtvych generácií potláčajú vedomie živých.

   Uvidíme sa nabudúce.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   )) Sergey Valentinovich, áno, mám záujem ... ((

   Stavím sa, že toto je Felixova variácia babylonskej metódy extrakcie štvorcového koňa postupnými aproximáciami. Tento algoritmus bol prepísaný Newtonovou metódou (tangenciálna metóda)

   Zaujímalo by ma, či som sa nepomýlil v predpovedi?

10. 18 :

    2Vlad z Engelsstadtu

    Áno, binárny algoritmus by mal byť jednoduchší, to je celkom zrejmé.

    O Newtonovej metóde. Možno áno, ale aj tak je to zaujímavé

11. 20 Cyril:

    Ďakujem mnohokrát. Algoritmus však stále neexistuje, nie je známe, odkiaľ pochádza, ale výsledok je správny. MNOHOKRAT DAKUJEM! Hľadal som to už dlho

12. 21 Alexander:

    A ako bude prebiehať extrakcia odmocniny z čísla, kde je druhá skupina zľava doprava veľmi malá? napríklad obľúbené číslo každého je 4 398 046 511 104. po prvom odčítaní nie je možné pokračovať vo všetkom podľa algoritmu. Vysvetli, prosím.

13. 22 Alexey:

    Áno, poznám to takto. Pamätám si, že som to čítal v knihe „Algebra“ nejakého starého vydania. Potom, analogicky, sám odvodil, ako extrahovať odmocninu kocky v tom istom stĺpci. Ale tam je to už komplikovanejšie: každá číslica už nie je určená v jednom (ako v prípade štvorca), ale v dvoch odčítaniach, a dokonca aj tam zakaždým, keď potrebujete vynásobiť dlhé čísla.

14. 23 Artem:

    V príklade odmocnenia z 56789,321 sú preklepy. Skupina čísel 32 sa priradí dvakrát k číslam 145 a 243, v čísle 2388025 je potrebné druhú 8 nahradiť 3. Potom posledné odčítanie treba zapísať takto: 2431000 - 2383025 = 47975.
    Okrem toho, pri delení zvyšku zdvojnásobenou hodnotou odpovede (bez čiarky) dostaneme ďalší počet platných číslic (47975/(2*238305) = 0,100658819…), ktorý by sa mal pridať k odpovedi (√56789,321 = 238,305… = 238,305100659).

15. 24 Sergey:

    Algoritmus zrejme pochádza z knihy Isaaca Newtona „Všeobecná aritmetika alebo kniha o aritmetickej syntéze a analýze“. Tu je úryvok z nej:

    O KOREŇOCH

    Ak chcete extrahovať druhú odmocninu z čísla, v prvom rade by ste mali dať bodku cez číslo cez jednotku, počnúc jednotkami. Potom je potrebné napísať súkromne alebo do odmocniny číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná alebo je chybou najbližšie k číslam alebo číslici pred prvým bodom. Po odčítaní tohto štvorca sa postupne nájdu zvyšné číslice odmocniny tak, že sa zvyšok vydelí dvojnásobkom hodnoty už extrahovanej časti odmocniny a od zvyšku štvorca sa vždy odpočíta posledná nájdená číslica a jej desaťnásobný súčin o menovaný deliteľ.

16. 25 Sergey:

    Opravte názov knihy „Všeobecná aritmetika alebo kniha o aritmetickej syntéze a analýze“

17. 26 Alexander:

    Ďakujem za zaujímavý obsah. Tento spôsob sa mi ale zdá o niečo komplikovanejší, ako je potrebné napríklad pre školáka. Používam jednoduchšiu metódu založenú na expanzii kvadratickej funkcie pomocou prvých dvoch derivácií. Jeho vzorec je:
    sqrt(x)=A1+A2-A3 kde
    A1 je celé číslo, ktorého druhá mocnina je najbližšie k x;
    A2 je zlomok, v čitateli x-A1, v menovateli 2*A1.
    Pre väčšinu čísel, s ktorými sa stretnete v školskom kurze, to stačí na získanie výsledku s presnosťou na stotinu.
    Ak potrebujete presnejší výsledok, vezmite
    A3 je zlomok, v čitateli A2 na druhú, v menovateli 2 * A1 + 1.
    Na uplatnenie samozrejme potrebujete tabuľku druhých mocnín celých čísel, ale to v škole nie je problém. Zapamätanie si tohto vzorca je celkom jednoduché.
    Mätie ma však, že som A3 dostal empiricky ako výsledok experimentov s tabuľkovým procesorom a celkom nerozumiem, prečo má tento výraz takú podobu. Možno viete poradiť?

18. 27 Alexander:

    Áno, zvažoval som aj tieto úvahy, ale diabol sa skrýva v detailoch. Píšete:
    "pretože a2 a b sa už dosť líšia." Otázka je presne ako málo.
    Tento vzorec funguje dobre na čísla druhej desiatky a oveľa horšie (nie do stotín, len do desatiniek) na čísla prvej desiatky. Prečo sa to deje, je už ťažké pochopiť bez použitia derivátov.

19. 28 Alexander:

    Vysvetlím, kde vidím výhodu vzorca, ktorý som navrhol. Nevyžaduje nie celkom prirodzené delenie čísel do dvojíc číslic, ktoré sa, ako ukazuje skúsenosť, často vykonáva s chybami. Jeho význam je zrejmý, ale pre človeka znalého analýzy je to triviálne. Funguje dobre na číslach od 100 do 1000, najbežnejších v škole.

20. 29 Alexander:

    Mimochodom, trochu som kopal a našiel som presný výraz pre A3 v mojom vzorci:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 Vasil stryzhak:

    V našej dobe, rozšírenom používaní výpočtovej techniky, otázka extrakcie štvorcového koňa z čísla z praktického hľadiska nestojí za to. Ale pre milovníkov matematiky sú samozrejme zaujímavé rôzne možnosti riešenia tohto problému. V školských osnovách by sa spôsob tohto výpočtu bez získavania dodatočných finančných prostriedkov mal uskutočňovať na rovnakej úrovni ako násobenie a delenie v stĺpci. Výpočtový algoritmus by mal byť nielen zapamätaný, ale aj zrozumiteľný. Klasická metóda poskytnutá v tomto materiáli na diskusiu s odhalením podstaty plne vyhovuje vyššie uvedeným kritériám.
    Významnou nevýhodou metódy, ktorú navrhol Alexander, je použitie tabuľky druhých mocnín celých čísel. Na akú väčšinu čísiel, s ktorými sa stretne v školskom kurze, je obmedzený, autor mlčí. Čo sa týka vzorca, celkovo na mňa robí dojem vzhľadom na relatívne vysokú presnosť výpočtu.

22. 31 Alexander:

    za 30 vasil stryzhak
    Nič mi nechýbalo. Predpokladá sa, že tabuľka štvorcov je do 1000. Za mojich čias v škole sa to jednoducho učili v škole naspamäť a bolo to vo všetkých učebniciach matematiky. Tento interval som výslovne pomenoval.
    Čo sa týka výpočtovej techniky, tá sa nepoužíva hlavne na hodinách matematiky, pokiaľ nie je špeciálna téma používania kalkulačky. Kalkulačky sú teraz zabudované do zariadení, ktorých použitie pri skúške je zakázané.

23. 32 vasil stryzhak:

    Alexander, ďakujem za vysvetlenie! Myslel som, že pre navrhovanú metódu je teoreticky potrebné zapamätať si alebo použiť tabuľku druhých mocnín všetkých dvojciferných čísel. Potom pre radikálne čísla, ktoré nie sú zahrnuté v intervale od 100 do 10 000, môžete použiť spôsob ich zvyšovania alebo znižovania o požadovaný počet objednávok posunutím čiarky.

24. 33 Vasil stryzhak:

25. 39 ALEXANDER:

    MÔJ PRVÝ PROGRAM V JAZYKU „YAMB“ NA SOVIETSKOM STROJI „ISKRA 555“ BOL NAPÍSANÝ TAK, ABY SOM Z ČÍSLA VYŤAŽAL ŠTVOREC PODĽA EXTRAKCIE DO STĹPČOVÉHO ALGORIMU! a teraz som zabudol, ako to extrahovať ručne!

Pozrime sa na tento algoritmus na príklade. Poďme nájsť

1. krok. Číslo pod koreňom rozdelíme na dve číslice (sprava doľava):

2. krok. Z prvej plochy vytiahneme druhú odmocninu, teda z čísla 65, dostaneme číslo 8. Pod prvú stranu napíšeme druhú mocninu čísla 8 a odčítame. Druhú tvár (59) pripisujeme zvyšku:

(číslo 159 je prvý zvyšok).

3. krok. Nájdený koreň zdvojnásobíme a výsledok zapíšeme vľavo:

4. krok. Vo zvyšku (159) oddelíme jednu číslicu sprava, zľava dostaneme počet desiatok (rovná sa 15). Potom 15 vydelíme zdvojenou prvou číslicou odmocniny, teda 16, keďže 15 nie je deliteľné 16, potom v kvociente dostaneme nulu, ktorú zapíšeme ako druhú číslicu odmocniny. Takže v kvociente sme dostali číslo 80, ktoré opäť zdvojnásobíme a zničíme ďalšiu tvár

(číslo 15901 je druhý zvyšok).

5. krok. V druhom zvyšku oddelíme jednu číslicu sprava a výsledné číslo 1590 vydelíme 160. Výsledok (číslo 9) zapíšeme ako tretiu číslicu odmocniny a priradíme číslu 160. Výsledné číslo 1609 vynásobíme 9 a nájdeme nasledujúci zvyšok (1420):

Ďalšie akcie sa vykonávajú v poradí uvedenom v algoritme (koreň možno extrahovať s požadovaným stupňom presnosti).

Komentujte. Ak je koreňový výraz desatinný zlomok, potom sa jeho celočíselná časť rozdelí na dve číslice sprava doľava, zlomková časť sa rozdelí na dve číslice zľava doprava a odmocnina sa extrahuje podľa určeného algoritmu.

DIDAKTICKÝ MATERIÁL

1. Vezmite druhú odmocninu čísla: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Čo je druhá odmocnina?

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Tento koncept je veľmi jednoduchý. Prirodzené, povedal by som. Matematici sa snažia nájsť reakciu na každú akciu. Existuje sčítanie a odčítanie. Existuje násobenie a delenie. Existuje kvadratúra ... Takže existuje tiež extrahovanie druhej odmocniny! To je všetko. Táto akcia ( brať druhú odmocninu) je v matematike označená touto ikonou:

Samotná ikona sa nazýva krásne slovo " radikálny".

Ako extrahovať koreň? Je lepšie zvážiť príklady.

Aká je druhá odmocnina z 9? A aké druhé číslo nám dá 9? 3 na druhú nám dáva 9! tieto:

Aká je druhá odmocnina nuly? Žiaden problém! Aké číslo dáva druhá mocnina nule? Áno, on sám dáva nulu! znamená:

Chytený čo je druhá odmocnina? Potom zvážime príklady:

Odpovede (v neporiadku): 6; jeden; 4; deväť; 5.

Rozhodnuté? Naozaj, je to oveľa jednoduchšie!

Ale... Čo robí človek, keď vidí nejakú úlohu s koreňmi?

Človek začína túžiť ... Neverí v jednoduchosť a ľahkosť koreňov. Aj keď sa zdá, že vie čo je druhá odmocnina...

Je to preto, že človek pri štúdiu koreňov ignoroval niekoľko dôležitých bodov. Potom sa tieto výstrelky brutálne pomstia na testoch a skúškach ...

Bod jedna. Korene treba rozpoznať zrakom!

Aká je druhá odmocnina zo 49? Sedem? Správny! Ako si vedel, že ich je sedem? Druhá mocnina sedem a 49? Správne! Vezmite prosím na vedomie, že extrahovať koreň zo 49 sme museli urobiť opačnú operáciu - štvorec 7! A uistite sa, že nezmeškáme. Alebo by mohli chýbať...

V tom spočíva obtiažnosť extrakcia koreňov. Kvadratúra akékoľvek číslo je možné bez problémov. Vynásobte číslo samo o sebe v stĺpci - a to je všetko. Ale pre extrakcia koreňov taká jednoduchá a bezproblémová technológia neexistuje. Účet pre zdvihnúť odpovedzte a skontrolujte, či nie je zasiahnutá druhou mocninou.

Tento zložitý tvorivý proces – výber odpovede – sa výrazne zjednoduší, ak vy zapamätaj sištvorce populárnych čísel. Ako násobilka. Ak, povedzme, potrebujete vynásobiť 4 x 6 - nesčítate štyri 6-krát, však? Okamžite sa objaví odpoveď 24. Aj keď, nie každý ju má, áno ...

Pre slobodnú a úspešnú prácu s odmocninami stačí poznať druhé mocniny čísel od 1 do 20. Navyše, tam a späť. Tie. mali by ste byť schopní ľahko pomenovať povedzme 11 na druhú a druhú odmocninu zo 121. Na dosiahnutie tohto zapamätania existujú dva spôsoby. Prvým je naučiť sa tabuľku štvorcov. Veľmi to pomôže s príkladmi. Druhým je vyriešiť viac príkladov. Je skvelé zapamätať si tabuľku štvorcov.

A žiadne kalkulačky! Len na overenie. V opačnom prípade počas skúšky nemilosrdne spomalíte ...

takze čo je druhá odmocnina A ako extrahovať korene- Myslím, že je to pochopiteľné. Teraz poďme zistiť, Z ČOHO ich môžete extrahovať.

Bod dva. Root, nepoznám ťa!

Z akých čísel môžete odvodiť odmocniny? Áno, takmer akýkoľvek. Je ľahšie pochopiť, čo je zakázané extrahovať ich.

Skúsme vypočítať tento koreň:

Aby ste to dosiahli, musíte vybrať číslo, ktorého odmocnenie nám dá -4. Vyberáme.

Čo nie je vybrané? 2 2 dáva +4. (-2) 2 dáva opäť +4! To je všetko... Neexistujú žiadne čísla, ktoré nám po odmocnení dajú záporné číslo! Aj keď čísla poznám. Ale to ti nepoviem.) Choďte na vysokú školu a zistite to sami.

Rovnaký príbeh bude s ľubovoľným záporným číslom. Preto záver:

Výraz, v ktorom je záporné číslo pod odmocninou - nedáva zmysel! Toto je zakázaná operácia. Rovnako zakázané ako delenie nulou. Majte túto skutočnosť na pamäti! Alebo inak povedané:

Zo záporných čísel nemôžete získať druhé odmocniny!

Ale zo všetkého ostatného - môžete. Napríklad je možné vypočítať

Na prvý pohľad je to veľmi ťažké. Zbierajte zlomky, ale umocnite ... Nebojte sa. Keď sa budeme zaoberať vlastnosťami koreňov, takéto príklady sa zredukujú na rovnakú tabuľku štvorcov. Život bude jednoduchší!

Dobre zlomky. Stále sa však stretávame s výrazmi ako:

Je to v poriadku. Všetky rovnaké. Druhá odmocnina z dvoch je číslo, ktoré nám po odmocnení dá dvojku. Len číslo je úplne nepárne ... Tu je:

Zaujímavé je, že tento zlomok nikdy nekončí... Takéto čísla sa nazývajú iracionálne. V odmocninách je to najbežnejšia vec. Mimochodom, preto sa nazývajú výrazy s koreňmi iracionálny. Je jasné, že neustále písať taký nekonečný zlomok je nepohodlné. Preto to namiesto nekonečného zlomku nechajú takto:

Ak pri riešení príkladu dostanete niečo, čo nie je extrahovateľné, ako napríklad:

potom to necháme tak. Toto bude odpoveď.

Musíte jasne pochopiť, čo je pod ikonami

Samozrejme, ak sa vezme koreň čísla hladká, musíte tak urobiť. Odpoveď na úlohu vo forme napr

celkom úplná odpoveď.

A samozrejme musíte poznať približné hodnoty z pamäte:

Tieto znalosti veľmi pomáhajú pri hodnotení situácie v zložitých úlohách.

Bod tri. Najprefíkanejší.

Hlavný zmätok v práci s korienkami prináša práve tento výstrelok. Je to on, kto o sebe pochybuje... Poďme sa s týmto výstrelkom poriadne vysporiadať!

Na začiatok opäť extrahujeme druhú odmocninu ich štyroch. Čože, už som ťa dostal s týmto koreňom?) Nič, teraz to bude zaujímavé!

Aké číslo dá štvorec 4? No, dva, dva - počujem nespokojné odpovede ...

Správny. Dva. Ale tiež mínus dva dá 4 na druhú ... Medzitým odpoveď

správne a odpoveď

najväčšia chyba. Páči sa ti to.

Tak aká je dohoda?

Skutočne, (-2) 2 = 4. A podľa definície druhej odmocniny štyroch mínus dva celkom vhodné... Toto je tiež druhá odmocnina zo štyroch.

Ale! V školskom kurze matematiky je zvykom brať do úvahy druhé odmocniny iba nezáporné čísla! Teda nula a všetko pozitívne. Bol vytvorený aj špeciálny termín: z čísla a- Toto nezápornéčíslo, ktorého štvorec je a. Negatívne výsledky pri extrakcii aritmetickej druhej odmocniny sa jednoducho zahodia. V škole všetky odmocniny - aritmetika. Aj keď to nie je konkrétne uvedené.

Dobre, to je pochopiteľné. Ešte lepšie je nemotať sa okolo negatívnych výsledkov... To ešte nie je zmätok.

Zmätok začína pri riešení kvadratických rovníc. Napríklad musíte vyriešiť nasledujúcu rovnicu.

Rovnica je jednoduchá, napíšeme odpoveď (ako sme sa naučili):

Táto odpoveď (mimochodom celkom správna) je len skrátený zápis dva odpovede:

Stop stop! O niečo vyššie som napísal, že druhá odmocnina je číslo vždy nie negatívne! A tu je jedna z odpovedí - negatívne! Porucha. Toto je prvý (ale nie posledný) problém, ktorý spôsobuje nedôveru ku koreňom ... Poďme tento problém vyriešiť. Zapíšme si odpovede (čisto pre pochopenie!) takto:

Zátvorky nemenia podstatu odpovede. Len som to oddelil zátvorkami znamenia od koreň. Teraz je jasne vidieť, že samotný koreň (v zátvorkách) je stále nezáporné číslo! A znamenia sú výsledok riešenia rovnice. Pri riešení akejkoľvek rovnice totiž musíme písať všetky x, ktoré po dosadení do pôvodnej rovnice poskytne správny výsledok. Odmocnina z piatich (kladná!) je vhodná pre našu rovnicu s plusom aj mínusom.

Páči sa ti to. Ak ty stačí vziať druhú odmocninu z čohokoľvek ty vždy dostať jeden nezáporný výsledok. Napríklad:

Pretože to - aritmetická druhá odmocnina.

Ale ak vyriešite nejakú kvadratickú rovnicu, ako napríklad:

potom vždy ukázalo sa dva odpoveď (s plusom a mínusom):

Pretože je to riešenie rovnice.

Nádej, čo je druhá odmocnina s bodmi si to vystihol správne. Teraz zostáva zistiť, čo sa dá robiť s koreňmi, aké sú ich vlastnosti. A aké sú módne vlny a podvodné krabice ... prepáčte, kamene!)

To všetko - v ďalších lekciách.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Fakt 1.
\(\bullet\) Vezmite nejaké nezáporné číslo \(a\) (tj \(a\geqslant 0\) ). Potom (aritmetika) odmocnina z čísla \(a\) sa volá také nezáporné číslo \(b\), pri kvadratúre dostaneme číslo \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(rovnaké ako )\quad a=b^2\] Z definície vyplýva, že \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Tieto obmedzenia sú dôležitou podmienkou existencie druhej odmocniny a treba si ich pamätať!
Pripomeňme, že každé číslo pri druhej mocnine dáva nezáporný výsledok. To znamená, \(100^2=10000\geqslant 0\) a \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Čo je \(\sqrt(25)\) ? Vieme, že \(5^2=25\) a \((-5)^2=25\) . Keďže podľa definície musíme nájsť nezáporné číslo, \(-5\) nie je vhodné, preto \(\sqrt(25)=5\) (keďže \(25=5^2\) ).
Nájdenie hodnoty \(\sqrt a\) sa nazýva prevzatie druhej odmocniny čísla \(a\) a číslo \(a\) sa nazýva koreňový výraz.
\(\bullet\) Na základe definície sú výrazy \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) atď. nedávajú zmysel.

Fakt 2.
Pre rýchle výpočty bude užitočné naučiť sa tabuľku druhých mocnín prirodzených čísel od \(1\) do \(20\) : \[\begin(pole)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(pole)\]

Fakt 3.
Čo sa dá robiť s odmocninami?
\(\bullet\) Súčet alebo rozdiel druhých odmocnín sa NEROVNÁ odmocnine súčtu alebo rozdielu, t.j. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Ak teda potrebujete vypočítať napríklad \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , najprv musíte nájsť hodnoty \(\sqrt(25)\) a \(\sqrt (49)\ ) a potom ich spočítajte. teda \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ak pri pridávaní \(\sqrt a+\sqrt b\) nemožno nájsť hodnoty \(\sqrt a\) alebo \(\sqrt b\), potom sa takýto výraz ďalej nekonvertuje a zostane tak, ako je. Napríklad v súčte \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) nájdeme \(\sqrt(49)\) - toto je \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nemôže byť prevedené akýmkoľvek spôsobom, Preto \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Ďalej tento výraz, žiaľ, nemožno nijako zjednodušiť.\(\bullet\) Súčin/podiel odmocnín sa rovná druhej odmocnine súčinu/podielu, t.j. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (za predpokladu, že obe časti rovnosti dávajú zmysel)
Príklad: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Pomocou týchto vlastností je vhodné nájsť druhé odmocniny veľkých čísel ich rozkladom.
Zvážte príklad. Nájdite \(\sqrt(44100)\) . Od \(44100:100=441\) , potom \(44100=100\cdot 441\) . Podľa kritéria deliteľnosti je číslo \(441\) deliteľné \(9\) (keďže súčet jeho číslic je 9 a je deliteľné 9), preto \(441:9=49\) , tj \(441=9\ cdot 49\) .
Takto sme dostali: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pozrime sa na ďalší príklad: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Na príklade výrazu \(5\sqrt2\) (skratka pre výraz \(5\cdot \sqrt2\) si ukážeme, ako zadávať čísla pod odmocninu). Pretože \(5=\sqrt(25)\) , potom \ Všimnite si tiež, že napr.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

prečo je to tak? Vysvetlíme na príklade 1). Ako ste už pochopili, nemôžeme nejako previesť číslo \(\sqrt2\) . Predstavte si, že \(\sqrt2\) je nejaké číslo \(a\) . Preto výraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) nie je nič iné ako \(a+3a\) (jedno číslo \(a\) plus tri ďalšie rovnaké čísla \(a\) ). A vieme, že toto sa rovná štyrom takýmto číslam \(a\) , teda \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Často sa hovorí „nedá extrahovať koreň“, keď nie je možné zbaviť sa znamienka \(\sqrt () \ \) koreňa (radikálu) pri hľadaní hodnoty nejakého čísla. Môžete napríklad odmocniť číslo \(16\), pretože \(16=4^2\) , takže \(\sqrt(16)=4\) . Ale extrahovať koreň z čísla \(3\) , teda nájsť \(\sqrt3\) , je nemožné, pretože neexistuje také číslo, ktoré by odmocnilo dalo \(3\) .
Takéto čísla (alebo výrazy s takýmito číslami) sú iracionálne. Napríklad čísla \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) atď. sú iracionálne.
Iracionálne sú aj čísla \(\pi\) (číslo „pi“, približne rovné \(3,14\) ), \(e\) (toto číslo sa nazýva Eulerovo číslo, približne rovné \(2) ,7\) ) atď.
\(\bullet\) Upozorňujeme, že každé číslo bude racionálne alebo iracionálne. A spolu všetky racionálne a všetky iracionálne čísla tvoria množinu tzv množina reálnych (reálnych) čísel. Táto množina je označená písmenom \(\mathbb(R)\) .
To znamená, že všetky čísla, ktoré v súčasnosti poznáme, sa nazývajú reálne čísla.

Fakt 5.
\(\bullet\) Modul reálneho čísla \(a\) je nezáporné číslo \(|a|\) rovné vzdialenosti od bodu \(a\) po \(0\) na reálnom riadok. Napríklad \(|3|\) a \(|-3|\) sa rovnajú 3, pretože vzdialenosti od bodov \(3\) a \(-3\) po \(0\) sú rovnaké a rovné \(3 \) .
\(\bullet\) Ak \(a\) je nezáporné číslo, potom \(|a|=a\) .
Príklad: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ak \(a\) je záporné číslo, potom \(|a|=-a\) .
Príklad: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Hovorí sa, že pre záporné čísla modul „zje“ mínus a kladné čísla, ako aj číslo \(0\) , modul zostane nezmenený.
ALE toto pravidlo platí len pre čísla. Ak máte pod znakom modulu neznámu \(x\) (alebo nejakú inú neznámu), napríklad \(|x|\) , o ktorej nevieme, či je kladná, rovná sa nule alebo záporná, potom zbaviť sa modulu nemôžeme. V tomto prípade tento výraz zostane takto: \(|x|\) . \(\bullet\) Platia nasledujúce vzorce: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(poskytnutý) a\geqslant 0\]Často sa robí nasledujúca chyba: hovoria, že \(\sqrt(a^2)\) a \((\sqrt a)^2\) sú to isté. To platí len vtedy, keď \(a\) je kladné číslo alebo nula. Ale ak \(a\) je záporné číslo, potom to nie je pravda. Stačí zvážiť takýto príklad. Zoberme si číslo \(-1\) namiesto \(a\). Potom \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale výraz \((\sqrt (-1))^2\) vôbec neexistuje (pretože je pod znamienkom odmocniny nie je možné zadať záporné čísla!).
Preto upozorňujeme na skutočnosť, že \(\sqrt(a^2)\) sa nerovná \((\sqrt a)^2\) ! Príklad: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), pretože \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Keďže \(\sqrt(a^2)=|a|\) , potom \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (výraz \(2n\) označuje párne číslo)
To znamená, že pri extrakcii koreňa z čísla, ktoré je v určitom stupni, sa tento stupeň zníži na polovicu.
Príklad:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (všimnite si, že ak modul nie je nastavený, potom sa ukáže, že koreň čísla sa rovná \(-25) \) ; ale pamätáme si , čo podľa definície koreňa nemôže byť: pri extrakcii koreňa by sme mali vždy dostať kladné číslo alebo nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (keďže akékoľvek číslo na párnu mocninu nie je záporné)

Fakt 6.
Ako porovnať dve druhé odmocniny?
\(\bullet\) Platí pre odmocniny: ak \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPríklad:
1) porovnajte \(\sqrt(50)\) a \(6\sqrt2\) . Najprv transformujeme druhý výraz na \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Od \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Medzi ktorými celými číslami je \(\sqrt(50)\) ?
Pretože \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) a \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Porovnajte \(\sqrt 2-1\) a \(0,5\) . Predpokladajme \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\začiatok(zarovnané) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pridajte jeden na obe strany))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((obe časti štvorec)\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(zarovnané)\] Vidíme, že sme dostali nesprávnu nerovnosť. Preto bol náš predpoklad nesprávny a \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Všimnite si, že pridanie určitého čísla na obe strany nerovnosti neovplyvní jej znamienko. Násobenie/delenie oboch častí nerovnosti kladným číslom tiež neovplyvní jej znamienko, ale násobenie/delenie záporným číslom obráti znamienko nerovnosti!
Obe strany rovnice/nerovnice možno odmocniť LEN AK obe strany nie sú záporné. Napríklad v nerovnosti z predchádzajúceho príkladu môžete odmocniť obe strany, v nerovnosti \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Všimnite si to \[\začiatok (zarovnané) &\sqrt 2\približne 1,4\\ &\sqrt 3\približne 1,7 \koniec (zarovnané)\] Poznanie približného významu týchto čísel vám pomôže pri porovnávaní čísel! \(\bullet\) Aby ste mohli extrahovať odmocninu (ak je extrahovaná) z nejakého veľkého čísla, ktoré nie je v tabuľke štvorcov, musíte najprv určiť, medzi ktorými „stovkami“ to je, potom medzi ktorými „desiatkami“, a potom určiť poslednú číslicu tohto čísla. Ukážme si ako to funguje na príklade.
Vezmite \(\sqrt(28224)\) . Vieme, že \(100^2=10\000\) , \(200^2=40\000\) atď. Všimnite si, že \(28224\) je medzi \(10\,000\) a \(40\,000\) . Preto je \(\sqrt(28224)\) medzi \(100\) a \(200\) .
Teraz určme, medzi ktorými „desiatkami“ je naše číslo (teda napríklad medzi \(120\) a \(130\) ). Z tabuľky štvorcov tiež vieme, že \(11^2=121\) , \(12^2=144\) atď., potom \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Vidíme teda, že \(28224\) je medzi \(160^2\) a \(170^2\) . Preto je číslo \(\sqrt(28224)\) medzi \(160\) a \(170\) .
Skúsme určiť poslednú číslicu. Spomeňme si, aké jednociferné čísla pri umocňovaní dávajú na konci \ (4 \) ? Sú to \(2^2\) a \(8^2\) . Preto \(\sqrt(28224)\) skončí buď na 2 alebo 8. Poďme to skontrolovať. Nájdite \(162^2\) a \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Preto \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Na správne vyriešenie skúšky z matematiky je v prvom rade potrebné naštudovať si teoretický materiál, ktorý prináša množstvo teorémov, vzorcov, algoritmov atď. Na prvý pohľad sa môže zdať, že je to celkom jednoduché. Nájsť zdroj, v ktorom by bola teória pre Jednotnú štátnu skúšku z matematiky prezentovaná jednoducho a zrozumiteľne pre študentov s akoukoľvek úrovňou prípravy, je však v skutočnosti pomerne náročná úloha. Školské učebnice nie je možné mať vždy po ruke. A nájsť základné vzorce na skúšku z matematiky môže byť náročné aj na internete.

Prečo je také dôležité študovať teóriu z matematiky, a to nielen pre tých, ktorí robia skúšku?

1. Pretože vám to rozširuje obzory. Štúdium teoretického materiálu z matematiky je užitočné pre každého, kto chce získať odpovede na širokú škálu otázok súvisiacich s poznaním sveta. Všetko v prírode je usporiadané a má jasnú logiku. To je presne to, čo sa odráža vo vede, prostredníctvom ktorej je možné pochopiť svet.
2. Pretože rozvíja intelekt. Štúdiom referenčných materiálov na skúšku z matematiky, ako aj riešením rôznych problémov sa človek naučí myslieť a logicky uvažovať, správne a jasne formulovať myšlienky. Rozvíja schopnosť analyzovať, zovšeobecňovať, vyvodzovať závery.

Pozývame vás osobne zhodnotiť všetky výhody nášho prístupu k systematizácii a prezentácii vzdelávacích materiálov.