Matematická analýza je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá štúdiom funkcií založených na myšlienke nekonečne malej funkcie.

Základné pojmy matematickej analýzy sú množstvo, množina, funkcia, infinitezimálna funkcia, limita, derivácia, integrál.

Hodnota všetko, čo sa dá zmerať a vyjadriť číslom, sa nazýva.

veľa je súbor niektorých prvkov spojených nejakým spoločným znakom. Prvky množiny môžu byť čísla, postavy, predmety, koncepty atď.

Množiny sa označujú veľkými písmenami a prvky množiny malými písmenami. Prvky súpravy sú uzavreté v zložených zátvorkách.

Ak prvok X patrí do sady X, potom napíšte X∈X (∈ - patrí).
Ak je množina A súčasťou množiny B, napíšte A ⊂ B (⊂ - je obsiahnutý).

Množinu možno definovať jedným z dvoch spôsobov: enumeráciou a definujúcou vlastnosťou.

Enumerácia napríklad definuje nasledujúce množiny:

• A=(1,2,3,5,7) - množina čísel
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) je množina niektorých prvkov x 1 ,x 2,...,x n
• N=(1,2,...,n) je množina prirodzených čísel
• Z=(0,±1,±2,...,±n) je množina celých čísel

Volá sa množina (-∞;+∞). číselný rad a každé číslo je bodom tejto priamky. Nech a je ľubovoľný bod na reálnej čiare a δ je kladné číslo. Interval (a-δ; a+δ) sa nazýva δ-okolie bodu a.

Množina X je ohraničená zhora (zdola), ak existuje také číslo c, že ​​pre ľubovoľné x ∈ X je splnená nerovnosť x≤с (x≥c). Číslo c sa v tomto prípade volá horný (spodný) okraj množiny X. Množina ohraničená hore aj dole sa nazýva obmedzené. Najmenšia (najväčšia) z horných (spodných) plôch súpravy sa nazýva presná horná (spodná) plocha túto sadu.

Základné číselné sady

N	(1,2,3,...,n) Množina všetkých
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Nastav celé čísla. Množina celých čísel zahŕňa množinu prirodzených čísel.
Q	Kopa racionálne čísla. Okrem celých čísel existujú aj zlomky. Zlomok je vyjadrením tvaru , kde p je celé číslo, q- prirodzený. Desatinné miesta možno zapísať aj ako . Napríklad: 0,25 = 25/100 = 1/4. Celé čísla možno zapísať aj ako . Napríklad vo forme zlomku s menovateľom „jedna“: 2 = 2/1. Akékoľvek racionálne číslo teda možno zapísať ako desatinný zlomok – konečne alebo nekonečne periodický.
R	Veľa zo všetkých reálne čísla. Iracionálne čísla sú nekonečné neperiodické zlomky. Tie obsahujú: Dve množiny (racionálne a iracionálne čísla) spolu tvoria množinu reálnych (alebo reálnych) čísel.

Ak množina neobsahuje žiadne prvky, potom sa volá prázdna sada a zaznamenané Ø .

Prvky logickej symboliky

Zápis ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

kvantifikátor

Pri písaní matematických výrazov sa často používajú kvantifikátory.

kvantifikátor sa nazýva logický symbol, ktorý kvantitatívne charakterizuje prvky, ktoré za ním nasledujú.

• ∀- všeobecný kvantifikátor, sa používa namiesto slov „pre všetkých“, „pre kohokoľvek“.
• ∃- existenciálny kvantifikátor, sa používa namiesto slov „existuje“, „má“. Používa sa aj kombinácia symbolov ∃!, ktorá sa číta tak, že existuje iba jeden.

Operácie na súpravách

Dva množiny A a B sú rovnaké(A=B), ak pozostávajú z rovnakých prvkov.
Napríklad, ak A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), potom A=B.

únia (súčet) množiny A a B sa nazývajú množina A ∪ B, ktorej prvky patria aspoň do jednej z týchto množín.
Napríklad, ak A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), potom A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Križovatka (produkt) množiny A a B sa nazývajú množina A ∩ B, ktorej prvky patria do množiny A aj do množiny B.
Napríklad, ak A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), potom A ∩ B = (2,4)

rozdiel množiny A a B sa nazývajú množina AB, ktorej prvky patria do množiny A, ale do množiny B nepatria.
Ak napríklad A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), potom AB = (1,2)

Symetrický rozdiel množiny A a B sa nazývajú množina A Δ B, čo je spojenie rozdielov množín AB a BA, teda A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Napríklad, ak A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), potom A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5.6)

Vlastnosti množinových operácií

Vlastnosti permutability

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

asociatívna vlastnosť

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Počitateľné a nepočítateľné množiny

Aby bolo možné porovnať akékoľvek dve množiny A a B, medzi ich prvkami sa vytvorí korešpondencia.

Ak je táto korešpondencia jedna k jednej, potom sa množiny nazývajú ekvivalentné alebo ekvivalentné, A B alebo B A.

Príklad 1

Súbor bodov nohy BC a prepona AC trojuholníka ABC majú rovnakú mocnosť.

Matematická množina

Kopa- jeden z kľúčových predmetov matematiky, najmä teória množín. „Pod množinou rozumieme zjednotenie do jedného celku určitých, úplne rozlíšiteľných predmetov našej intuície alebo myslenia“ (G. Kantor). Nejde v plnom zmysle o logickú definíciu pojmu množina, ale len o vysvetlenie (pretože definovať pojem znamená nájsť taký generický pojem, v ktorom je tento pojem zahrnutý ako druh, ale množina je možno najširší pojem matematiky a logiky).

teórie

Existujú dva hlavné prístupy ku konceptu súboru - naivný a axiomatická teória množín.

Axiomatická teória množín

Dnes je množina definovaná ako model, ktorý spĺňa ZFC axiómy (Zermelo-Fraenkelove axiómy s axiómou výberu). S týmto prístupom v niektorých matematických teóriách vznikajú kolekcie objektov, ktoré nie sú množinami. Takéto zbierky sa nazývajú triedy (rôznych rádov).

Nastaviť prvok

Objekty, ktoré tvoria množinu, sa nazývajú nastaviť prvky alebo stanovené body. Sady sú najčastejšie označené veľkými písmenami latinskej abecedy, jej prvky - malými. Ak a je prvkom množiny A, napíšte a ∈ A (a patrí do A). Ak a nie je prvkom množiny A, napíšte a ∉ A (a nepatrí do A).

Niektoré druhy súprav

• Usporiadaná množina je množina, na ktorej je daný poradový vzťah.
• Sada (najmä objednaný pár). Na rozdiel od množiny sa píše v zátvorkách: ( x 1, x 2, x 3, …) a prvky sa môžu opakovať.

Podľa hierarchie:

Sada súprav Podmnožina Nadmnožina

Obmedzením:

Operácie na súpravách

Literatúra

• Stoll R.R. Súpravy. Logika. axiomatických teórií. - M .: Školstvo, 1968. - 232 s.

pozri tiež

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je "Matematická množina" v iných slovníkoch:

Vitaliho množina je prvým príkladom množiny reálnych čísel, ktorá nemá Lebesgueovu mieru. Tento príklad, ktorý sa stal klasikou, publikoval v roku 1905 taliansky matematik J. Vitali vo svojom článku „Sul problema della misura dei gruppi di punti ... ... Wikipedia

- (priemerná hodnota) náhodnej veličiny je číselná charakteristika náhodnej veličiny. Ak náhodná premenná uvedená v priestore pravdepodobnosti (pozri Teória pravdepodobnosti), potom jej M. o. MX (alebo EX) je definovaný ako Lebesgueov integrál: kde... Fyzická encyklopédia

Náhodná premenná je jej číselná charakteristika. Ak má náhodná premenná X distribučnú funkciu F(x), potom jej M. o. bude: . Ak je rozdelenie X diskrétne, potom М.о.: , kde x1, x2, ... sú možné hodnoty diskrétnej náhodnej premennej X; p1... Geologická encyklopédia

Matematická podpora ACS- , rovnako ako softvér, softvér, súbor matematických programov a algoritmov, jeden z podporných podsystémov. Zvyčajne obsahuje veľa programov na riešenie špecifických problémov na počítači v kombinácii s hlavným programom ... ... Ekonomický a matematický slovník

softvér ACS- rovnako ako softvér, softvér, súbor matematických programov a algoritmov, jeden z podporných podsystémov. Zvyčajne obsahuje veľa programov na riešenie špecifických problémov na počítači, ktoré spája hlavný program dispečera. ... ... Technická príručka prekladateľa

- (matematické) pozri teóriu množín...

Matematický model je matematickým vyjadrením reality. Matematické modelovanie je proces vytvárania a štúdia matematických modelov. Všetky prírodné a spoločenské vedy využívajúce matematický aparát, v skutočnosti ... ... Wikipedia

Matematická disciplína venovaná teórii a metódam riešenia úloh hľadania extrémov funkcií na množinách konečnorozmerného vektorového priestoru definovaného lineárnymi a nelineárnymi obmedzeniami (rovnosťami a nerovnicami). M. p. ...... Matematická encyklopédia

Matematická disciplína venovaná teórii a metódam riešenia úloh hľadania extrémov funkcií na množinách definovaných lineárnymi a nelineárnymi obmedzeniami (rovnice a nerovnice). M. p. sekcia vedy o ... ... Veľká sovietska encyklopédia

Tento výraz má iné významy, pozri Dôkaz. V matematike je dôkaz reťazou logických záverov, ktoré ukazujú, že pre určitý súbor axióm a pravidiel odvodzovania je určité tvrdenie pravdivé. V závislosti od ... Wikipedia

knihy

• Matematické modelovanie ekonomiky, Malykhin V.I. Kniha rozoberá hlavné matematické modely ekonomiky: model individuálneho spotrebiteľa (založený na úžitkovej funkcii), model výrobnej spoločnosti (založený na výrobnej funkcii),...

Stručný súhrn

Som vzdelaním teoretický fyzik, ale mám dobrý matematický základ. Na magistráte bola jedným z predmetov filozofia, bolo potrebné si vybrať tému a odovzdať na ňu prácu. Keďže väčšina možností bola viac ako raz obmusoleny, rozhodol som sa vybrať niečo exotickejšie. Nepredstieram novosť, len sa mi podarilo nazhromaždiť všetku / takmer všetku dostupnú literatúru na túto tému. Filozofi a matematici môžu po mne hádzať kameňom, budem len vďačný za konštruktívnu kritiku.

P.S. Veľmi "suchý jazyk", ale po vysokoškolskom programe celkom čitateľný. Definície paradoxov boli z väčšej časti prevzaté z Wikipédie (zjednodušené znenie a hotové značky TeX).

Úvod

Samotná teória množín a paradoxy, ktoré sú s ňou spojené, sa objavili nie tak dávno, len niečo pred sto rokmi. Počas tohto obdobia sa však prešla dlhá cesta, teória množín sa tak či onak stala vlastne základom väčšiny častí matematiky. Jeho paradoxy, spojené s Cantorovou nekonečnosťou, sa podarilo vysvetliť doslova za polstoročie.

Mali by ste začať s definíciou.

Čo je to množstvo? Otázka je celkom jednoduchá, odpoveď na ňu je celkom intuitívna. Množina je množina prvkov reprezentovaných jedným objektom. Kantor vo svojom diele Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre uvádza definíciu: „množinou“ rozumieme spojenie do určitého celku určitých dobre rozlíšiteľných predmetov našej kontemplácie alebo nášho myslenia (ktoré sa budú nazývať „prvky“ množiny). Ako vidíte, podstata sa nezmenila, rozdiel je len v časti, ktorá závisí od svetonázoru determinantu. História teórie množín, ako v logike, tak aj v matematike, je veľmi kontroverzná. V skutočnosti jej základ položil Kantor v 19. storočí, potom Russell a ostatní pokračovali v práci.

Paradoxy (logika a teória množín) - (z iného gréčtiny παράδοξος - neočakávané, zvláštne z iného gréčtiny παρα-δοκέω - zdá sa mi) - formálne logické rozpory, ktoré vznikajú vo zmysluplnej teórii množín a formálnej logike pri zachovaní logickej správnosti uvažovania. Paradoxy vznikajú, keď sú dve vzájomne sa vylučujúce (protichodné) tvrdenia rovnako preukázateľné. Paradoxy sa môžu objaviť tak vo vedeckej teórii, ako aj v bežnom uvažovaní (napríklad Russellov paradox o množine všetkých normálnych množín uvádza Russell: „Dedinský holič oholí všetkých a len tých obyvateľov svojej dediny, ktorí sa neholia sami. oholil sa sám?"). Keďže formálno-logický rozpor ničí uvažovanie ako prostriedok na objavovanie a dokazovanie pravdy (v teórii, v ktorej sa objavuje paradox, je dokázateľná každá veta, pravdivá aj nepravdivá), vzniká problém s identifikáciou zdrojov takýchto rozporov. nájsť spôsoby, ako ich odstrániť. Problém filozofického chápania konkrétnych riešení paradoxov je jedným z dôležitých metodologických problémov formálnej logiky a logických základov matematiky.

Cieľom tejto práce je študovať paradoxy teórie množín ako dedičov starovekých antinómií a celkom logické dôsledky prechodu na novú úroveň abstrakcie – nekonečno. Úlohou je zvážiť hlavné paradoxy, ich filozofickú interpretáciu.

Základné paradoxy teórie množín

Holič holí len ľudí, ktorí sa neholia sami. Holí sa sám?

Pokračujme krátkym exkurzom do histórie.

Niektoré z logických paradoxov sú známe už od staroveku, ale vzhľadom na skutočnosť, že matematická teória bola obmedzená len na aritmetiku a geometriu, nebolo možné ich korelovať s teóriou množín. V 19. storočí sa situácia radikálne zmenila: Kantor dosiahol vo svojich dielach novú úroveň abstrakcie. Zaviedol pojem nekonečna, čím vytvoril nový odbor matematiky a umožnil tak porovnávanie rôznych nekonečností pomocou pojmu „moc množiny“. Tým však vytvoril mnoho paradoxov. Prvým je tzv Buraliho-Fortiho paradox. V matematickej literatúre existujú rôzne formulácie založené na odlišnej terminológii a predpokladanom súbore známych teorémov. Tu je jedna z formálnych definícií.

Dá sa dokázať, že ak je ľubovoľná množina radových čísel, potom súčet je radové číslo väčšie alebo rovné každému z prvkov . Predpokladajme teraz, že je to množina všetkých radových čísel. Potom je poradové číslo väčšie alebo rovné ktorémukoľvek z čísel v . Ale potom a je radové číslo, navyše je už prísne väčšie, a preto sa nerovná žiadnemu z čísel v . To však odporuje podmienke, ktorou je množina všetkých radových čísel.

Podstatou paradoxu je, že pri vytvorení množiny všetkých radových čísel vzniká nový radový typ, ktorý ešte nebol medzi „všetkými“ transfinitnými radovými číslovkami, ktoré existovali pred vytvorením množiny všetkých radových čísel. Tento paradox objavil sám Cantor, nezávisle ho objavil a publikoval taliansky matematik Burali-Forti, jeho chyby opravil Russell, po čom formulácia získala svoju konečnú podobu.

Spomedzi všetkých pokusov vyhnúť sa takýmto paradoxom a do určitej miery sa ich pokúsiť vysvetliť si najväčšiu pozornosť zaslúži myšlienka už spomínaného Russella. Navrhol vylúčiť z matematiky a logiky impredikatívne vety, v ktorých definícia prvku množiny závisí od toho druhého, čo spôsobuje paradoxy. Pravidlo znie asi takto: „žiadna množina nemôže obsahovať prvky definované len množinou, ako aj prvky, ktoré vo svojej definícii túto množinu predpokladajú.“ Takéto obmedzenie definície množiny nám umožňuje vyhnúť sa paradoxom, no zároveň výrazne zužuje rozsah jej aplikácie v matematike. Navyše to nestačí na vysvetlenie ich povahy a dôvodov ich vzhľadu, zakorenených v dichotómii myslenia a jazyka, v črtách formálnej logiky. Toto obmedzenie možno do istej miery vysledovať ako analógiu s tým, čo v neskoršom období kognitívni psychológovia a lingvisti začali nazývať „kategorizáciou základnej úrovne“: definícia je zredukovaná na najľahšie pochopiteľný a najštudovateľnejší koncept.

Cantorov paradox. Predpokladajme, že množina všetkých množín existuje. V tomto prípade platí, že každá množina je podmnožinou . Ale z toho vyplýva, že mohutnosť žiadnej množiny nepresahuje mohutnosť . Ale na základe axiómy množiny všetkých podmnožín, pre , rovnako ako každá množina, existuje množina všetkých podmnožín , a podľa Cantorovej vety, ktorá je v rozpore s predchádzajúcim tvrdením. Preto nemôže existovať, čo je v rozpore s „naivnou“ hypotézou, že každá syntakticky správna logická podmienka definuje množinu, t. j. takú, ktorá pre akýkoľvek vzorec neobsahuje voľno. Pozoruhodný dôkaz absencie takýchto rozporov na základe axiomatizovanej Zermelo-Fraenkelovej teórie množín podáva Potter.

Z logického hľadiska sú oba uvedené paradoxy totožné s „Klamárom“ alebo „Holičom“: vyslovený úsudok smeruje nielen k niečomu objektívnemu vo vzťahu k nemu, ale aj k nemu samému. Pozor si však treba dať nielen na logickú stránku, ale aj na koncept nekonečna, ktorý je tu prítomný. Literatúra sa odvoláva na dielo Poincarého, v ktorom píše: „viera v existenciu skutočného nekonečna... robí tieto nepredikatívne definície nevyhnutnými“ .

Vo všeobecnosti sú hlavné body:

1. v týchto paradoxoch sa porušuje pravidlo jasne oddeľovať „sféry“ predikátu a podmetu; miera zámeny je blízka nahradeniu jedného pojmu druhým;
2. zvyčajne sa v logike predpokladá, že v procese uvažovania si subjekt a predikát zachovávajú svoj objem a obsah, v tomto prípade dochádza k prechodu z jednej kategórie do druhej, čo má za následok nesúlad;
3. prítomnosť slova „všetko“ dáva zmysel pre konečný počet prvkov, ale v prípade ich nekonečného počtu je možné mať taký, ktorý by na svoje definovanie vyžadoval definíciu množiny;
4. sú porušené základné logické zákony:
   1. zákon identity je porušený pri odhalení neidentity subjektu a predikátu;
   2. zákon protirečenia – keď sa vyvodzujú dva protichodné úsudky s rovnakým právom;
   3. zákon vylúčenej tretiny - keď táto tretina musí byť uznaná a nie vylúčená, pretože ani prvá ani druhá nemôže byť uznaná jedno bez druhého, pretože sú rovnako platné.

Russellov paradox. Tu je jedna z jeho možností. Nech je množina všetkých množín, ktoré neobsahujú seba ako svoj prvok. Obsahuje sám seba ako prvok? Ak áno, potom by to podľa definície nemal byť prvok – rozpor. Ak nie - potom to musí byť podľa definície prvok - opäť rozpor. Tento výrok je logicky odvodený od Cantorovho paradoxu, ktorý ukazuje ich vzťah. Filozofická podstata sa však prejavuje jasnejšie, pretože „samohyb“ pojmov sa odohráva priamo „pred našimi očami“.

Paradox Tristrama Shandyho. V Sternovom diele The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman hrdina zisťuje, že mu trvalo celý rok, kým vyrozprával udalosti prvého dňa svojho života, a ďalší rok, kým opísal druhý deň. V tejto súvislosti sa hrdina sťažuje, že materiál jeho biografie sa bude hromadiť rýchlejšie, ako ho dokáže spracovať, a nikdy ho nebude môcť dokončiť. „Teraz tvrdím,“ namieta Russell, „že keby žil večne a jeho práca by sa mu nestala príťažou, aj keby bol jeho život naďalej taký bohatý na udalosti ako na začiatku, potom by ani jedna časť jeho životopisu nebola nezostanú nenapísané.

Shandy skutočne dokázal opísať udalosti --tého dňa --tý rok, a tak by v jeho autobiografii bol zachytený každý deň. Inými slovami, ak by život trval nekonečne dlho, potom by mal toľko rokov ako dní.

Russell kreslí analógiu medzi týmto románom a Zenom s jeho korytnačkou. Podľa jeho názoru riešenie spočíva v tom, že celok je ekvivalentný svojej časti v nekonečne. Tie. len „axióma zdravého rozumu“ vedie k rozporu. Riešenie problému však leží v oblasti čistej matematiky. Je zrejmé, že existujú dve množiny - roky a dni, medzi ktorých prvkami existuje korešpondencia jedna k jednej - bijekcia. Potom, pod podmienkou nekonečného života hlavného hrdinu, existujú dve nekonečné množiny rovnakej sily, čo, ak berieme moc ako zovšeobecnenie pojmu počet prvkov v množine, rieši paradox.

Paradox (teorém) Banach-Tarského alebo paradox zdvojnásobenia lopty- teorém v teórii množín, ktorý hovorí, že trojrozmerná guľa je rovnako zložená z dvoch jej kópií.

Dve podmnožiny euklidovského priestoru sa nazývajú rovnako zložené, ak je možné jednu rozdeliť na konečný počet častí, presunúť ich a poskladať z nich druhú. Presnejšie povedané, dve množiny a sú rovnako zložené, ak môžu byť reprezentované ako konečné spojenie disjunktných podmnožín a také, že pre každú je podmnožina zhodná.

Ak použijeme teorém výberu, definícia znie takto:

Z axiómy výberu vyplýva, že existuje rozdelenie povrchu jednotkovej gule na konečný počet častí, ktoré možno transformáciou trojrozmerného euklidovského priestoru, pri ktorej sa nemení tvar týchto komponentov, poskladať na dve časti. gule s jednotkovým polomerom.

Je zrejmé, že vzhľadom na požiadavku, aby tieto časti boli merateľné, toto tvrdenie nie je možné. Slávny fyzik Richard Feynman vo svojej biografii povedal, ako sa mu raz podarilo vyhrať spor o rozdelení pomaranča na konečný počet častí a jeho opätovnom zložení.

V určitých bodoch sa tento paradox používa na vyvrátenie axiómy výberu, ale problémom je, že to, čo považujeme za elementárnu geometriu, nie je podstatné. Tie pojmy, ktoré považujeme za intuitívne, by sa mali rozšíriť na úroveň vlastností transcendentálnych funkcií.

Aby sa ešte viac oslabila dôvera tých, ktorí veria, že axióma výberu je nesprávna, treba spomenúť vetu Mazurkiewicza a Sierpinského, ktorá hovorí, že existuje neprázdna podmnožina euklidovskej roviny, ktorá má dve disjunktné podmnožiny, z ktorých každá možno rozdeliť na konečný počet častí, aby sa dali izometriami preložiť na obal množiny . Dôkaz nevyžaduje použitie axiómy výberu. Ďalšie konštrukcie založené na axióme istoty dávajú riešenie Banachovho-Tarského paradoxu, ale nie sú také zaujímavé.

1. Richardov paradox: Vyžaduje sa pomenovanie „najmenšieho čísla, ktoré nie je uvedené v tejto knihe“. Rozpor je v tom, že na jednej strane sa to dá urobiť, keďže v tejto knihe je uvedený najmenší počet. Vychádzajúc z nej možno menovať aj najmenšieho nemenovaného. Tu však vzniká problém: kontinuum je nespočítateľné, medzi ľubovoľné dve čísla môžete vložiť nekonečné množstvo medzičísel. Na druhej strane, ak by sme toto číslo mohli pomenovať, automaticky by sa presunulo z triedy, ktorá nie je uvedená v knihe, do triedy uvedenej.
2. Grellingov-Nilsonov paradox: slová alebo znaky môžu označovať nejakú vlastnosť a zároveň ju mať alebo nie. Najtriviálnejšia formulácia znie takto: je slovo „heterologický“ (čo znamená „nevzťahuje sa na seba“) heterologické?... Je veľmi podobné Russellovmu paradoxu kvôli prítomnosti dialektického rozporu: dualita formy a obsahu je porušené. V prípade slov, ktoré majú vysokú úroveň abstrakcie, nie je možné rozhodnúť, či sú tieto slová heterologické.
3. Skolem paradox: pomocou Gödelovej vety o úplnosti a Löwenheimovej-Skolemovej vety zistíme, že axiomatická teória množín zostáva pravdivá, aj keď sa na jej interpretáciu predpokladá (dostupná) iba spočítateľná množina množín. Axiomatická teória zároveň zahŕňa už spomínanú Cantorovu vetu, ktorá nás privádza k nespočetným nekonečným množinám.

Riešenie paradoxov

Vytvorenie teórie množín viedlo k tomu, čo sa považuje za tretiu krízu matematiky, ktorá ešte nie je pre všetkých uspokojivo vyriešená. Historicky prvý prístup bol množinový. Bol založený na použití skutočného nekonečna, keď sa predpokladalo, že každá nekonečná postupnosť je dokončená v nekonečne. Myšlienkou bolo, že v teórii množín sa často muselo pracovať s množinami, ktoré mohli byť súčasťou iných väčších množín. Úspešné akcie boli v tomto prípade možné iba v jednom prípade: dané množiny (konečné a nekonečné) sú dokončené. Istý úspech bol evidentný: Zermelo-Fraenkelova axiomatická teória množín, celá matematická škola Nicolasa Bourbakiho, ktorá existuje už viac ako pol storočia a stále vyvoláva veľa kritiky.

Logizmus bol pokusom zredukovať všetku známu matematiku na pojmy aritmetiky a potom zredukovať aritmetické pojmy na pojmy matematickej logiky. Frege sa tým podrobne zaoberal, ale po dokončení práce na práci bol nútený poukázať na svoju nedôslednosť, keď Russell poukázal na rozpory v teórii. Ten istý Russell, ako už bolo spomenuté, sa pokúsil eliminovať používanie neprediktívnych definícií pomocou „teórie typov“. Jeho koncepty množiny a nekonečna, ako aj axióma redukovateľnosti sa však ukázali ako nelogické. Hlavným problémom bolo, že sa nebrali do úvahy kvalitatívne rozdiely medzi formálnou a matematickou logikou, ako aj prítomnosť nadbytočných pojmov, vrátane pojmov intuitívneho charakteru.
V dôsledku toho teória logicizmu nemohla odstrániť dialektické rozpory paradoxov spojených s nekonečnosťou. Existovali len princípy a metódy, ktoré umožňovali zbaviť sa aspoň nepredikatívnych definícií. Podľa jeho vlastných úvah bol Russell Cantorovým dedičom.

Na konci XIX - začiatkom XX storočia. šírenie formalistického pohľadu na matematiku súviselo s rozvojom axiomatickej metódy a programu zdôvodňovania matematiky, ktorý predložil D. Hilbert. Na dôležitosť tohto faktu poukazuje fakt, že prvým z dvadsiatich troch problémov, ktoré matematickej komunite predložil, bol problém nekonečna. Formalizácia bola nevyhnutná, aby sa dokázala konzistentnosť klasickej matematiky, „pričom sa z nej vylúčila všetka metafyzika“. Vzhľadom na prostriedky a metódy používané Hilbertom sa jeho cieľ ukázal ako zásadne nemožný, no jeho program mal obrovský vplyv na celý nasledujúci vývoj základov matematiky. Hilbert pracoval na tomto probléme dlho, keď najprv skonštruoval axiomatiku geometrie. Keďže riešenie úlohy sa ukázalo ako celkom úspešné, rozhodol sa aplikovať axiomatickú metódu na teóriu prirodzených čísel. V súvislosti s tým napísal: „Sledujem dôležitý cieľ: som to ja, kto by sa chcel zaoberať otázkami základov matematiky ako takej a premeniť každé matematické tvrdenie na striktne odvoditeľný vzorec.“ Zároveň sa plánovalo zbaviť sa nekonečna jeho zmenšením na určitý konečný počet operácií. K tomu sa obrátil k fyzike s jej atomizmom, aby ukázal celú nekonzistentnosť nekonečných veličín. V skutočnosti Hilbert nastolil otázku vzťahu medzi teóriou a objektívnou realitou.

Viac-menej úplnú predstavu o konečných metódach podáva Hilbertov študent J. Herbran. Konečným uvažovaním rozumie také uvažovanie, ktoré spĺňa tieto podmienky: logické paradoxy

Vždy sa berie do úvahy len konečný a určitý počet objektov a funkcií;

Funkcie majú presnú definíciu a táto definícia nám umožňuje vypočítať ich hodnotu;

Nikdy netvrdí „Tento objekt existuje“, pokiaľ nie je známy spôsob, ako ho skonštruovať;

Množina všetkých objektov X akejkoľvek nekonečnej zbierky sa nikdy nezohľadňuje;

Ak je známe, že akákoľvek úvaha alebo teorém platí pre všetky tieto X , potom to znamená, že túto všeobecnú úvahu možno zopakovať pre každú konkrétnu X a túto všeobecnú úvahu samotnú treba považovať len za model pre takéto konkrétne uvažovanie.

V čase poslednej publikácie z tejto oblasti však už Gödel svoje výsledky dostal, v podstate opäť objavil a schválil prítomnosť dialektiky v procese poznávania. V podstate ďalší rozvoj matematiky ukázal zlyhanie Hilbertovho programu.

Čo konkrétne Gödel dokázal? Existujú tri hlavné výsledky:

1. Gödel ukázal nemožnosť matematického dôkazu konzistencie akéhokoľvek systému, ktorý by bol dostatočne veľký na to, aby zahŕňal všetku aritmetiku, dôkaz, ktorý by nepoužíval žiadne iné pravidlá odvodenia ako tie, ktoré sa nachádzajú v samotnom systéme. Takýto dôkaz, ktorý používa silnejšie inferenčné pravidlo, môže byť užitočný. Ak sú však tieto pravidlá inferencie silnejšie ako logické prostriedky aritmetického počtu, potom nebude existovať žiadna dôvera v konzistentnosť predpokladov použitých v dôkaze. V každom prípade, ak použité metódy nie sú konečné, potom sa Hilbertov program ukáže ako neuskutočniteľný. Gödel len ukazuje nekonzistentnosť výpočtov na nájdenie konečného dôkazu konzistentnosti aritmetiky.

2. Godel poukázal na základné obmedzenia možností axiomatickej metódy: systém Principia Mathematica, ako každý iný systém, s ktorým je aritmetika postavená, je v podstate neúplný, t. j. pre každý konzistentný systém aritmetických axióm existujú skutočné aritmetické vety, ktoré sú nie odvodené z axióm tohto systému.

3. Gödelova veta ukazuje, že žiadne rozšírenie aritmetického systému ho nemôže urobiť úplným, a aj keď ho naplníme nekonečnou množinou axióm, potom v novom systéme bude vždy pravda, ale nie odvoditeľná pomocou tohto systému, pozície. Axiomatický prístup k aritmetike prirodzených čísel nemôže pokryť celú oblasť skutočných aritmetických výrokov a to, čo rozumieme pod procesom matematického dokazovania, nie je obmedzené na použitie axiomatickej metódy. Po Godelovej vete stratilo zmysel očakávať, že koncepciu presvedčivého matematického dôkazu možno dať raz a navždy naznačené formy.

Posledným z tejto série pokusov o vysvetlenie teórie množín bol intuicionizmus.

Vo svojej evolúcii prešiel niekoľkými štádiami - polointuicionizmus, vlastný intuicionizmus, ultraintuicionizmus. V rôznych fázach sa matematici obávali rôznych problémov, ale jedným z hlavných problémov matematiky je problém nekonečna. Matematické pojmy nekonečna a kontinuity sú predmetom filozofického rozboru už od svojho vzniku (idey atomistov, apórie Zena z Eley, infinitezimálne metódy v antike, infinitezimálny kalkul v modernej dobe atď.). Najväčšiu kontroverziu vyvolalo používanie rôznych typov nekonečna (potenciálneho, skutočného) ako matematických objektov a ich interpretácia. Všetky tieto problémy podľa nášho názoru vygeneroval hlbší problém – úloha subjektu vo vedeckom poznaní. Faktom je, že krízový stav v matematike je generovaný epistemologickou neistotou porovnania sveta objektu (nekonečna) a sveta subjektu. Matematik ako subjekt má možnosť výberu prostriedkov poznania – buď potenciálneho alebo skutočného nekonečna. Využitie potenciálneho nekonečna ako stávajúceho sa mu dáva možnosť uskutočniť, postaviť nekonečnú množinu konštrukcií, ktoré možno postaviť na konečných, bez konečného kroku, bez dokončenia konštrukcie, je to len možné. Využitie aktuálneho nekonečna mu dáva možnosť pracovať s nekonečnom ako už realizovateľným, dotvoreným v jeho konštrukcii, ako skutočne daným zároveň.

V štádiu semi-intuicionizmu nebol problém nekonečna ešte nezávislý, ale bol votkaný do problému konštrukcie matematických objektov a spôsobov, ako ho ospravedlniť. Proti prijatiu axiómy slobodnej voľby bol namierený polointuicionizmus A. Poincarého a predstaviteľov parížskej školy teórie funkcií Baire, Lebesgue a Borel, pomocou ktorej sa dokazuje Zermelova veta, ktorá tvrdí, že akákoľvek súbor môže byť vyrobený úplne objednaný, ale bez uvedenia teoretického spôsobu určenia prvkov akejkoľvek podmnožiny požadovaných súborov. Neexistuje spôsob, ako skonštruovať matematický objekt a neexistuje žiadny matematický objekt samotný. Matematici verili, že prítomnosť alebo absencia teoretickej metódy na zostavenie sledu predmetov štúdia môže slúžiť ako základ na potvrdenie alebo vyvrátenie tejto axiómy. V ruskej verzii bol semi-intuicionistický koncept vo filozofických základoch matematiky vyvinutý takým smerom, ako je efektivizmus vyvinutý N. N. Luzin. Efektivizmus je opozíciou k hlavným abstrakciám Cantorovej doktríny nekonečna – aktuálnosť, voľba, transfinitná indukcia atď.

Pre efektivizmus je abstrakcia potenciálnej uskutočniteľnosti epistemologicky cennejšia ako abstrakcia skutočného nekonečna. Vďaka tomu je možné na základe efektívnej koncepcie rastu funkcií zaviesť pojem transfinitných radových čísel (nekonečných radových čísel). Epistemologické nastavenie efektivity pre zobrazovanie spojitého (kontinua) bolo založené na diskrétnych prostriedkoch (aritmetika) a deskriptívnej teórii množín (funkcií) vytvorenej N. N. Luzinom. Intuicionizmus Holanďana L. E. Ya. Brouwera, G. Weyla, A. Heitinga vníma voľne vznikajúce sekvencie rôznych typov ako tradičný predmet štúdia. V tomto štádiu riešenia vlastných matematických problémov, vrátane reštrukturalizácie celej matematiky na nový základ, intuicionisti nastolili filozofickú otázku o úlohe matematika ako poznávajúceho subjektu. Aké je jeho postavenie, kde je slobodnejší a aktívnejší pri výbere prostriedkov poznania? Intuicionisti boli prví (a vo fáze semi-intuicionizmu), ktorí kritizovali koncept skutočného nekonečna, Cantorovu teóriu množín, vidiac v ňom porušenie schopnosti subjektu ovplyvňovať proces vedeckého hľadania riešenia konštruktívneho problému. . V prípade použitia potenciálneho nekonečna subjekt sám seba neklame, pretože myšlienka potenciálneho nekonečna je pre neho intuitívne oveľa jasnejšia ako myšlienka skutočného nekonečna. Pre intuicionistu sa objekt považuje za existujúci, ak je daný priamo matematikovi alebo ak je známy spôsob jeho konštrukcie. V každom prípade môže subjekt začať proces dokončovania konštrukcie množstva prvkov svojej sady. Neskonštruovaný objekt pre intuicionistov neexistuje. Subjekt pracujúci so skutočným nekonečnom bude zároveň zbavený tejto príležitosti a pocíti dvojitú zraniteľnosť prijatej pozície:

1) nikdy nie je možné uskutočniť túto nekonečnú konštrukciu;

2) rozhodne sa pracovať so skutočným nekonečnom ako s konečným objektom a v tomto prípade stráca svoju špecifickosť pojmu nekonečno. Intuicionizmus vedome obmedzuje možnosti matematika tým, že môže konštruovať matematické objekty výlučne prostriedkami, ktoré sú síce získané pomocou abstraktných pojmov, ale sú efektívne, presvedčivé, dokázateľné, funkčne konštruktívne presne v praxi a samy o sebe sú intuitívne jasné ako konštrukcie, konštrukcie, o spoľahlivosti ktorých v praxi niet pochýb. Intuicionizmus, opierajúci sa o koncept potenciálneho nekonečna a konštruktívne výskumné metódy, sa zaoberá matematikou stávania sa, teória množín sa odvoláva na matematiku bytia.

Pre intuicionistu Brouwera ako predstaviteľa matematického empirizmu je logika sekundárna, kritizuje ju a zákon vylúčeného stredu.

Vo svojich sčasti mystických dielach nepopiera existenciu nekonečna, ale nepripúšťa jeho aktualizáciu, iba potencializáciu. Hlavná je pre neho interpretácia a zdôvodnenie prakticky používaných logických prostriedkov a matematické uvažovanie. Obmedzenie prijaté intuicionistami prekonáva neistotu používania pojmu nekonečno v matematike a vyjadruje túžbu prekonať krízu v základoch matematiky.

Ultra-intuicionizmus (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov a iní) je poslednou etapou vývoja intuicionizmu, v ktorej sa modernizujú, výrazne dopĺňajú a pretvárajú jeho hlavné myšlienky, bez toho, aby sa menila jeho podstata, ale prekonávali nedostatky a posilňovali pozitívne stránky, vedené matematická prísnosť kritérií. Slabinou intuicionistického prístupu bolo úzke chápanie úlohy intuície ako jediného zdroja zdôvodnenia správnosti a účinnosti matematických metód. Berúc „intuitívnu jasnosť“ ako kritérium pravdivosti v matematike, intuicionisti metodologicky ochudobnili možnosti matematika ako predmetu poznania, zredukovali jeho činnosť len na mentálne operácie založené na intuícii a prax do procesu matematického poznania nezahrnuli. Ultra-intuicionistický program zdôvodňovania matematiky je ruskou prioritou. Preto domáci matematici, prekonávajúc obmedzenia intuicionizmu, prijali efektívnu metodológiu materialistickej dialektiky, uznávajúc ľudskú prax ako zdroj formovania matematických pojmov a matematických metód (inferencie, konštrukcie). Ultraintuicionisti vyriešili problém existencie matematických objektov, pričom sa nespoliehali na nedefinovaný subjektívny koncept intuície, ale na matematickú prax a špecifický mechanizmus konštrukcie matematického objektu - algoritmus vyjadrený vypočítateľnou, rekurzívnou funkciou.

Ultra-intuicionizmus zvyšuje výhody intuicionizmu, ktoré spočívajú v možnosti usporiadania a zovšeobecnenia metód riešenia konštruktívnych problémov, ktoré používajú matematici akéhokoľvek smeru. Preto je intuicionizmus posledného štádia (ultraintuicionizmus) blízky konštruktivizmu v matematike. Z epistemologického hľadiska sú hlavné myšlienky a princípy ultraintuicionizmu nasledovné: kritika klasickej axiomatiky logiky; využitie a výrazné posilnenie (na výslovný pokyn A.A. Markova) úlohy abstrakcie identifikácie (mentálnej abstrakcie od odlišných vlastností predmetov a súčasná izolácia všeobecných vlastností predmetov) ako spôsobu konštrukcie a konštruktívneho chápania abstraktu. pojmy, matematické úsudky; dôkaz konzistentnosti konzistentných teórií. Po formálnej stránke je uplatnenie abstrakcie identifikácie odôvodnené jej tromi vlastnosťami (axiómami) rovnosti – reflexívnosťou, tranzitivitou a symetriou.

Vyriešiť hlavný rozpor v matematike o probléme nekonečna, ktorý viedol ku kríze jeho základov, v štádiu ultra-intuicionizmu v dielach A.N. Kolmogorov navrhol východiská z krízy riešením problému vzťahov medzi klasickou a intuicionistickou logikou, klasickou a intuicionistickou matematikou. Brouwerov intuicionizmus vo všeobecnosti popieral logiku, no keďže sa bez logiky žiaden matematik nezaobíde, v intuicionizme sa stále zachovala prax logického uvažovania, boli povolené niektoré princípy klasickej logiky, ktorej základom bola axiomatika. S.K. Kleene, R. Wesley dokonca poznamenávajú, že intuicionistickú matematiku možno opísať ako druh kalkulu a kalkul je spôsob organizácie matematických poznatkov na základe logiky, formalizácie a jej formy – algoritmizácie. Nová verzia vzťahu medzi logikou a matematikou v rámci intuicionistických požiadaviek na intuitívnu jasnosť úsudkov, najmä tých, ktoré obsahovali negáciu, A.N. Kolmogorov navrhol takto: predstavil intuicionistickú logiku, úzko súvisiacu s intuicionistickou matematikou, vo forme axiomatického implikatívneho minimálneho počtu výrokov a predikátov. Vedec tak predstavil nový model matematického poznania, prekonávajúci obmedzenia intuicionizmu v uznávaní iba intuície ako prostriedku poznania a obmedzenia logicizmu, ktorý absolutizuje možnosti logiky v matematike. Táto pozícia umožnila demonštrovať v matematickej forme syntézu intuitívneho a logického ako základ flexibilnej racionality a jej konštruktívnej účinnosti.

Epistemologický aspekt matematického poznania nám teda umožňuje hodnotiť prevratné zmeny v štádiu krízy základov matematiky na prelome 19. – 20. storočia. z nových pozícií v chápaní procesu poznávania, povahy a úlohy subjektu v ňom. Epistemologický subjekt tradičnej teórie poznania, zodpovedajúci obdobiu dominancie množinovo-teoretického prístupu v matematike, je abstraktný, neúplný, „parciálny“ subjekt, reprezentovaný v subjektovo-objektových vzťahoch, odtrhnutý abstrakciami, logikou, formalizmus od reality, racionálne, teoreticky poznajúci svoj predmet a chápaný ako zrkadlo, presne odrážajúci a kopírujúci realitu. V skutočnosti bol subjekt vylúčený z poznania ako reálny proces a výsledok interakcie s objektom. Vstup intuicionizmu do arény zápasu filozofických smerov v matematike viedol k novému chápaniu matematika ako subjektu poznania – človeka, ktorý vie, ktorého filozofickú abstrakciu treba budovať akoby nanovo. Matematik sa javil ako empirický subjekt, chápaný už ako integrálna reálna osoba, vrátane všetkých tých vlastností, ktoré boli v epistemologickom subjekte abstrahované - empirická konkrétnosť, premenlivosť, historickosť; je to jednanie a poznávanie v reálnom poznaní, tvorivý, intuitívny, invenčný subjekt. Filozofia intuicionistickej matematiky sa stala základom, základom modernej epistemologickej paradigmy, postavenej na koncepte flexibilnej racionality, v ktorej je človek integrálnym (holistickým) subjektom poznania, disponujúcim novými kognitívnymi kvalitami, metódami, postupmi; syntetizuje svoju abstraktno-epistemologickú a logicko-metodologickú povahu a formu a zároveň dostáva existenciálno-antropologické a „historicko-metafyzické“ chápanie.

Dôležitým bodom je aj intuícia v poznávaní a najmä pri formovaní matematických pojmov. Opäť je tu boj s filozofiou, pokusy o vylúčenie zákona vylúčeného stredu, ktorý nemá v matematike zmysel a prichádza doň z filozofie. Prítomnosť nadmerného dôrazu na intuíciu a nedostatok jasných matematických zdôvodnení však neumožnili preniesť matematiku na pevný základ.

Po vzniku rigoróznej koncepcie algoritmu v 30. rokoch 20. storočia však štafetu po intuicionizme prevzal matematický konštruktivizmus, ktorého predstavitelia výrazne prispeli k modernej teórii vypočítateľnosti. Okrem toho boli v 70. a 80. rokoch objavené významné súvislosti medzi niektorými myšlienkami intuicionistov (aj tými, ktoré sa predtým zdali absurdné) a matematickou teóriou toposu. Matematika nájdená v niektorých topoi je veľmi podobná tej, ktorú sa snažili vytvoriť intuicionisti.

V dôsledku toho možno vysloviť tvrdenie: väčšina vyššie uvedených paradoxov v teórii množín s vlastným vlastníctvom jednoducho neexistuje. Či je takýto prístup definitívny, je diskutabilné, ukáže až ďalšia práca v tejto oblasti.

Záver

Dialekticko-materialistická analýza ukazuje, že paradoxy sú dôsledkom dichotómie jazyka a myslenia, výrazom hlbokej dialektiky (Gödelova veta umožnila prejaviť dialektiku v procese poznania) a epistemologických ťažkostí spojených s pojmami predmet a subjekt. oblasť vo formálnej logike, množina (trieda) v logike a teórii množín, s využitím princípu abstrakcie, ktorý umožňuje zavádzanie nových (abstraktných) objektov (nekonečno), s metódami na definovanie abstraktných objektov vo vede atď. nemožno poskytnúť univerzálny spôsob, ako odstrániť všetky paradoxy.

Či už skončila tretia kríza matematiky (lebo bola v kauzálnej súvislosti s paradoxmi; dnes sú paradoxy neoddeliteľnou súčasťou) - tu sa názory líšia, hoci formálne známe paradoxy boli do roku 1907 odstránené. Teraz však v matematike existujú ďalšie okolnosti, ktoré možno považovať buď za krízu, alebo za predzvesť krízy (napríklad absencia presného zdôvodnenia integrálu cesty).

Čo sa týka paradoxov, veľmi dôležitú úlohu v matematike zohral známy paradox klamárov, ako aj celý rad paradoxov v takzvanej naivnej (predchádzajúcej axiomatickej) teórii množín, ktoré spôsobili krízu základov (jeden z týchto paradoxov zohral tzv. osudová úloha v živote H. Fregeho) . Ale možno jedným z najviac podceňovaných javov v modernej matematike, ktorý možno nazvať paradoxným aj krízovým, je riešenie prvého Hilbertovho problému Paulom Cohenom z roku 1963. Presnejšie, nie samotný fakt rozhodnutia, ale charakter tohto rozhodnutia.

Literatúra

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512,1895.
2. I.N. Burova. Paradoxy teórie množín a dialektiky. Veda, 1976.
3. M.D. Potter. Teória množín a jej filozofia: kritický úvod. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Žukov N.I. Filozofické základy matematiky. Minsk: Universitetskoe, 1990.
5. Feynman R.F., S. Ilyin. Samozrejme, žartujete, pán Feynman!: Dobrodružstvá úžasného muža, ktoré rozprával R. Laytonovi. Kolibrík, 2008.
6. O. M. Miževič. Dva spôsoby, ako prekonať paradoxy v teórii množín G. Kantora. Logické a filozofické štúdie, (3):279-299, 2005.
7. S. I. Masalová. FILOZOFIA INTUICIIONISTICKEJ MATEMATIKY. Bulletin DSTU, (4), 2006.
8. Chechulin V.L. Teória množín s vlastným vlastníctvom (základy a niektoré aplikácie). Perm. štát un-t. – Perm, 2012.
9. S. N. Tronin. Stručné zhrnutie prednášok z disciplíny "Filozofia matematiky". Kazaň, 2012.
10. Grishin V.N., Bochvar D.A. Štúdie teórie množín a neklasickej logiky. Veda, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: táto nekonečná girlanda. Bahrakh-M, 2001.
12. Kabakov F.A., Mendelson E. Úvod do matematickej logiky. Vydavateľstvo "Nauka", 1976.
13. ÁNO. Bochvar. K otázke paradoxov matematickej logiky a teórie množín. Matematická zbierka, 57 (3): 369-384, 1944.

Opis predmetnej oblasti (tvorba jej ontológie) začína výberom objektov a ich klasifikáciou, ktorá tradične spočíva v zostavení stromu podtried a priradení jedincov k nim. Zároveň sa pojem „trieda“ v skutočnosti používa vo význame „množina“: odkazovanie na objekt na triedu sa považuje za zahrnutie objektu ako prvku do zodpovedajúcej množiny. Účelom tohto textu je ukázať, že takýto jednotný prístup k popisu štruktúry predmetnej oblasti je výrazným zjednodušením a neumožňuje fixovať rôznorodosť sémantických vzťahov objektov.

Pozrime sa na tri možnosti klasifikácie jednotlivca Bug:

1. Zviera - pes - husky - Bug.
2. Služba - jazda - Bug.
3. Chovateľská stanica - tím psov - Zhuchka.

Prvá postupnosť podriadených entít je jednoznačne opísaná špecifikovaním tried a podtried: chyba je jednotlivec triedy „ako“, trieda „podobná“ je podtrieda psov a tá je podtriedou triedy „zviera“. . V tomto prípade sa s triedou „zvieratá“ zaobchádza ako so súborom všetkých zvierat a s triedou „páči sa mi“ ako s podmnožinou množiny „psy“. Takýto popis, napriek tomu, že je celkom jasný, je však významovo tautologický, sebareferenčný: jedinca Chrobáka nazývame husky, ak je zaradený do množiny husky, a samotný súbor husky je definovaný ako tzv. súhrn všetkých jedincov huskyho - teda zaradenie do množiny zmysluplného duplicitného mena. Okrem toho, popis triedneho súboru je úplne vyčerpaný popisom jednotlivca spadajúceho pod pojem definujúci triedu. Treba tiež poznamenať, že fungovanie takýchto tried-súborov nezávisí od počtu prvkov v nich: Chrobákov husky bude husky, aj keď zostane jediným, posledným husky na Zemi. Okrem toho môžeme s takými triedami-súbormi pracovať aj v prípade, že v nich nie sú jednotlivci: môžeme vytvoriť ontológiu už vyhynutých dinosaurov, vymyslieť triedu, ktorá až v budúcnosti bude obsahovať jedinečné navrhované zariadenie, alebo zostaviť model. tematickej oblasti mýtických zvierat, hrdinov rozprávok, hoci mohutnosť všetkých tried sa bude rovnať nule.

Ak teda hovoríme o obsahovej stránke analyzovanej klasifikácie (zviera - pes - husky - Chrobák), potom ju (obsahovú stránku) nemožno nijako vyjadriť vzťahom množín a podmnožín. V tomto prípade máme do činenia s konceptualizáciou – výberom konceptov a nadviazanie rodovo-druhových vzťahov medzi nimi. Zároveň skutočný počet prvkov pojmovej triedy, teda rozsah pojmu, sa v jej definícii nevyskytuje a uvádza sa (a aj to nie zmysluplne) len vtedy, keď padne jeden pojem („ako“). pod iným („psom“), teda keď ako druh rodu. Áno, môžeme konštatovať, že rozsah pojmu „pes“ je väčší ako rozsah pojmu „páči sa“, ale skutočný číselný pomer týchto množín nemá žiadny ontologický význam. Prekročenie objemu triedy objemu podtriedy v rodovo-druhových vzťahoch len odráža skutočnosť, že podľa definície rodu by mala zahŕňať viacero druhov – inak stráca táto klasifikácia zmysel. To znamená, že nás v rodovo-druhovej pojmovej klasifikácii zaujíma obsah pojmov – ako sa líši typ „pes“ od typu „mačka“ (ktorý pre nich tiež spadá pod generický pojem „zviera“) a nie to, ako súvisia objemy súborov rodu a druhov, a ešte viac objemy konkrétnych pojmov („pes“ a „mačka“). A na odlíšenie pojmových tried od skutočne spočítateľných množín by bolo správnejšie hovoriť o spadajúce pod pojem a nie o začlenenie do triedy/súboru. Je jasné, že vo formálnom zápise môžu tvrdenia „patrí do pojmu X“ a „je prvkom triedy X“ vyzerať rovnako, ale nepochopenie podstatného rozdielu medzi týmito dvoma opismi môže viesť k vážnym chybám v konštrukcia ontológie.

V druhom variante (služba - jazda - Bug) tiež nemáme záujem porovnávať pojem "jazda" s akoukoľvek množinou: sémantický obsah výroku "Chrobák - jazda" nezávisí od toho, či ide o jedinú jazdu. jeden alebo ich je veľa. Zdá sa, že tu máme do činenia s rodovo-druhovými vzťahmi: pojem „šoférovanie“ možno považovať za druh súvisiaci s generickým pojmom „služba“. Spojenie jednotlivca „Chrobák“ s pojmom „jazda“ sa však výrazne líši od spojenia s pojmom „akože“: druhý, konceptuálny, koncept je imanentný a vždy inherentný jednotlivcovi a prvý odráža miestne na čas špecializácia. Chyba sa nenarodila ako jazdec a možno s vekom ňou prestane byť a presunie sa do kategórie strážcov a vo všeobecnosti v starobe stratí akúkoľvek „profesiu“. To znamená, že ak hovoríme o špecializácii, vždy môžeme rozlíšiť udalosti získania a straty spojenia s konkrétnym pojmom. Napríklad Chrobák by mohol byť uznaný ako absolútny šampión plemena a potom by o tento titul prišiel, čo je v zásade nemožné pri koncepčných konceptoch: Chrobák od narodenia po smrť, teda po celú dobu jeho existencie ako jednotlivec, je pes a husky. Takže človek zostáva celý život pojmom „človek“, ale situačne (od udalosti k udalosti) môže spadať pod špecializované pojmy „školák“, „študent“, „lekár“, „manžel“ atď. poznamenané, spojenie s týmito pojmami ani v najmenšom neznamená zaradenie do určitej množiny (hoci to tak môže vyzerať) - priradenie špecializačného pojmu je vždy výsledkom špecifického vzťahu jednotlivca k iným jednotlivcom: vstupu do škola, univerzita, získanie diplomu, registrácia manželstva a pod vzťahový. Z uvedených príkladov vyplýva ďalší podstatný rozdiel medzi pojmovým zaradením a špecializáciou: jednotlivec môže mať viacero špecializácií (chrobák môže byť záprahový pes a šampión plemena, človek je študent a manžel), ale nemôže súčasne zadajte viac ako jednu koncepčnú hierarchiu (chyba nemôže byť pes a mačka).

A až v tretej verzii popisu Zhuchky - ako patriacej do určitej chovateľskej stanice a ako člen špecifického tímu ťahajúceho sane cez tundru - je jednoducho potrebné spomenúť množstvo. Iba v tomto prípade máme právo povedať, že jednotlivec je prvkom konkrétneho súboru s počítateľným počtom prvkov a nespadá pod pojem, ktorý možno znázorniť ako abstraktný súbor, ktorý podmienečne stanovuje rozsah tento koncept. A tu je dôležité, aby jednotlivec bol súčasťou iného jednotlivca, ktorý bol pôvodne definovaný ako súbor: chovateľská stanica a tím sú nevyhnutne neprázdnou skupinou psov a počet prvkov tohto súboru je nevyhnutne zahrnutý v ich definíciách. ako jednotlivci. To znamená, že v tomto prípade by sme mali hovoriť o vzťahu časť-celok: Chrobák je súčasťou chovateľskej stanice a tímu. Navyše, vstup alebo nevstúpenie Buga do konkrétneho tímu mení jeho (tímový) obsah: ak sme mali tím-dvojka, tak po odstránení Buga sa tím zmení na jeden tím. V takýchto prípadoch máme do činenia nielen s počítateľnou množinou (psy v chovateľskej stanici), ale aj s jedincom, ktorého podstata sa mení, keď sa mení zloženie jeho prvkov, je determinované týmto zložením, tj. systém. Ak je chovateľská stanica len individuálna skupina, opísaná prostredníctvom súboru prvkov, ktoré sú v nej zahrnuté, potom je tím systémom, ktorého podstata závisí od počtu a špecifík jeho častí.

Následne pri konštrukcii ontológie predmetnej oblasti možno vyčleniť skutočné množiny objektov, definované presne ako súbor určitého počtu jednotlivcov. Sú to: trieda v škole, tovar v škatuli v sklade, časti bloku elektronických zariadení atď. Tieto množiny môžu byť podmnožinami iných skutočných spočítateľných množín: všetci žiaci v škole, všetok tovar v sklade, všetky časti zariadenia. Pri rozlišovaní týchto množín je podstatné, aby (tieto množiny) vystupovali ako samostatné individuality (tím, dávka tovaru, súbor dielov), ktorých hlavným atribútom je práve počet prvkov v nich obsiahnutých. Okrem toho môže zmena tohto atribútu viesť k zmene stavu objektu, napríklad zvýšením počtu prvkov, zmeniť kvarteto na kvinteto alebo pluk na brigádu. Je tiež dôležité, aby sa popis týchto množinových objektov, komplexných objektov, neobmedzoval len na popis jednotlivcov v nich zahrnutých, hoci môže obsahovať označenie prípustného typu týchto objektov (sláčikové kvarteto, konské záprahy). A takéto vzťahy – nie medzi abstraktnými množinami, ale medzi množinami, ktoré sú jednotlivcami, komplexnými objektmi – sú presnejšie opísané ako vzťahy časť-celok, a nie trieda-podtrieda.

Tradičnú klasifikáciu jednotlivcov ich zaraďovaním do určitých tried-súborov teda nemožno považovať za homogénnu. Je potrebné rozlišovať medzi (1) zahrnutím jednotlivcov ako častí do komplexného objektu (celku), ktorého sémantická špecifickosť sa neobmedzuje len na popis jeho prvkov. Zároveň (1.1.) možno objekt-celok považovať len za pomenovanú množinu indivíduí (časti v balíku, súbor obrazov), pre ktoré je v skutočnosti dôležitý len počet častí. Takéto predmety môžu byť tzv skupiny (alebo zbierky)). Aj (1.2.) objekt-celok môže byť zmysluplne (a nielen kvantitatívne) určený svojimi časťami a v dôsledku toho mať atribúty, ktoré časti nemajú. Takáto integrita sa tradične nazýva systémov, a časti systémov - prvky. Druhou možnosťou opisu objektov ich priradením do podtried je (2) spadnutie indivíduí pod pojem, čo možno len formálne, tautologicky opísať ako zaradenie indivíduí do množiny, ktorej sila sa rovná sile pojmu. Koncepčný popis jednotlivcov možno klasifikovať do (2.1) koncepčný, ktorá globálne určuje typ jednotlivca a (2.2) špecializovaný (vzťahový), lokálne v čase a priestore (udalosti) spájajúci jednotlivca s inými objektmi.

Uvedená úvaha v prvom rade nastoľuje otázku dostatočnosti a primeranosti tradičného prístupu k popisu predmetnej oblasti pomocou klasifikácie založenej na teórii množín. A navrhuje sa záver: na zafixovanie celej škály objektových vzťahov v ontológiách sú potrebné diferencovanejšie klasifikačné nástroje (skupiny, systémy, konceptuálne a špecializované koncepty). Formalizmus teórie množín možno použiť len ako lokálne zjednodušenie pre potreby inferencie, a nie ako hlavnú metódu popisu.