Uvažujme systém m lineárnych rovníc obsahujúcich n premenných

(1)

Tento systém možno stručne napísať takto:

Alebo v maticovom tvare: Ax = B.

V úlohách lineárneho programovania sa uvažuje o neistých sústavách rovníc, t.j. má nekonečné množstvo riešení. Potom poradie r matice systému

,
menší ako počet premenných: rn. To znamená, že maximálny počet lineárne nezávislých rovníc v (1) sa rovná r. Budeme predpokladať, že v sústave (1) je počet lineárne nezávislých rovníc rovný m, t.j. r = m. Z algebry je známe, že v tomto prípade existuje m premenných, koeficientov ktoré v sústave (1) tvoria maticu s nenulovým determinantom. Takýto determinant sa nazýva základný minor a zodpovedajúce premenné sa nazývajú základné. Zvyšných n – m premenných sa nazývajú voľné premenné. Základné premenné je možné vyjadriť prostredníctvom voľných premenných pomocou rovníc systému (1), priradiť ľubovoľné hodnoty voľným premenným a nájsť hodnoty základných premenných pomocou Cramerových vzorcov. Výsledkom je jedno z riešení systému (1).

Definícia 1. Riešenie systému lineárnych rovníc (1), získané s nulovými hodnotami voľných premenných, sa nazýva základné riešenie.

Základné premenné, a teda nenulové zložky základného riešenia, zodpovedajú lineárne nezávislým stĺpcom matice koeficientov sústavy lineárnych rovníc. To nám umožňuje poskytnúť inú definíciu základného riešenia systému lineárnych rovníc.

Definícia 2. Základným riešením sústavy lineárnych rovníc je riešenie tejto sústavy, ktorej nenulové zložky zodpovedajú lineárne nezávislým stĺpcom matice koeficientov tejto sústavy.

Základné premenné môžu byť rôzne skupiny obsahujúce m premenných z n premenných špecifikovaných v (1). Maximálny možný počet spôsobov výberu m premenných zo množiny obsahujúcej n premenných sa rovná počtu kombinácií . Môžu však nastať prípady, keď sa zodpovedajúci determinant matice zloženej z koeficientov pre vybraných m premenných v systéme (1) rovná nule. Preto počet skupín základných premenných nepresahuje . Pre každú skupinu základných premenných možno nájsť zodpovedajúce základné riešenie systému (1). Z vyššie uvedených úvah vyplýva teorém:

Veta. Počet základných riešení neurčitého systému (1), v ktorom je poradie matice systémur = m < nnepresahuje .

Príklad. Nájdite všetky základné riešenia sústavy rovníc (2):

(2)

Riešenie. Je zrejmé, že r = m = 2, n = 4. Celkový počet skupín základných premenných nie je väčší ako = 6. Prvý, druhý a štvrtý stĺpec koeficientov premenných v matici systému sú však proporcionálne, preto sa determinanty druhého rádu, zložené z koeficientov ľubovoľných dvoch z týchto troch stĺpcov, rovnajú nule. Zostávajúce sady:
,
A
.

Pre množinu premenných
determinant zložený z ich koeficientov d = = –2 0. Tieto premenné teda možno považovať za základné premenné,
- zadarmo. Voľným premenným priraďme nulové hodnoty:
Riešime systém:

(3)
, kde
.

Vo všeobecnosti má lineárna rovnica tvar:

Rovnica má riešenie: ak je aspoň jeden z koeficientov neznámych odlišný od nuly. V tomto prípade sa akýkoľvek -rozmerný vektor nazýva riešením rovnice, ak sa pri dosadení jeho súradníc rovnica stane identitou.

Všeobecné charakteristiky riešenej sústavy rovníc

Príklad 20.1

Opíšte sústavu rovníc.

Riešenie:

1. Ide o protichodnú rovnicu?(Ak koeficienty, v tomto prípade rovnica má tvar: a nazýva sa kontroverzný.)

• Ak systém obsahuje niečo protichodné, potom je takýto systém nekonzistentný a nemá riešenie.

2. Nájdite všetky povolené premenné. (Neznámy sa volápovolenej pre sústavu rovníc, ak je zahrnutá v jednej z rovníc sústavy s koeficientom +1, ale nie je zahrnutá v zostávajúcich rovniciach (t. j. je zahrnutá s koeficientom rovným nule).

3. Je systém rovníc vyriešený? (Systém rovníc sa nazýva vyriešený, ak každá rovnica systému obsahuje vyriešenú neznámu, medzi ktorými nie sú žiadne zhodné)

Vyriešené neznáme, prevzaté z každej rovnice systému, tvoria úplný súbor vyriešených neznámych systémov. (v našom príklade je to toto)

Povolené neznáme zahrnuté v kompletnej sade sú tiež tzv základné() a nie sú súčasťou súpravy - zadarmo ().

Vo všeobecnom prípade má vyriešený systém rovníc tvar:

V tejto fáze je hlavnou vecou pochopiť, čo to je vyriešené neznáme(zahrnuté v základe a zadarmo).

Všeobecné Konkrétne Základné riešenia

Všeobecné riešenie vyriešený systém rovníc je množina vyjadrení vyriešených neznámych cez voľné členy a voľné neznáme:

Súkromné ​​rozhodnutie sa nazýva riešenie, ktoré sa získa zo všeobecného riešenia pre konkrétne hodnoty voľných premenných a neznámych.

Základné riešenie je konkrétne riešenie získané zo všeobecného riešenia pre nulové hodnoty voľných premenných.

• Základné riešenie (vektor) je tzv degenerovať, ak počet jeho nenulových súradníc je menší ako počet povolených neznámych.
• Základné riešenie je tzv nedegenerované, ak sa počet jeho nenulových súradníc rovná počtu povolených neznámych systému zahrnutého v kompletnej množine.

Veta (1)

Vyriešený systém rovníc je vždy konzistentný(pretože má aspoň jedno riešenie); Navyše, ak systém nemá voľné neznáme,(to znamená, že v systéme rovníc sú v základe zahrnuté všetky povolené) potom je to definované(má jedinečné riešenie); ak existuje aspoň jedna voľná premenná, potom systém nie je definovaný(má nekonečný počet riešení).

Príklad 1. Nájdite všeobecné, základné a ľubovoľné konkrétne riešenie sústavy rovníc:

Riešenie:

1. Kontrolujeme, či je systém autorizovaný?

• Systém je vyriešený (keďže každá z rovníc obsahuje vyriešenú neznámu)

2. Do množiny zaraďujeme povolené neznáme – jednu z každej rovnice.

3. Všeobecné riešenie zapíšeme podľa toho, aké povolené neznáme sme do množiny zaradili.

4. Nájdenie konkrétneho riešenia. Aby sme to dosiahli, porovnávame voľné premenné, ktoré sme do množiny nezahrnuli, s ľubovoľnými číslami.

odpoveď: súkromné ​​riešenie(jedna z možností)

5. Nájdenie základného riešenia. Aby sme to urobili, prirovnáme voľné premenné, ktoré sme do množiny nezahrnuli, na nulu.

Elementárne transformácie lineárnych rovníc

Systémy lineárnych rovníc sú pomocou elementárnych transformácií redukované na ekvivalentné rozlíšené systémy.

Veta (2)

Ak nejaký vynásobte rovnicu sústavy nejakým nenulovým číslom a zvyšok rovníc ponechajte nezmenený, potom . (to znamená, že ak vynásobíte ľavú a pravú stranu rovnice rovnakým číslom, dostanete rovnicu ekvivalentnú tejto rovnici)

Veta (3)

Ak pridať ďalšie do ľubovoľnej rovnice systému a potom ponechajte všetky ostatné rovnice nezmenené dostaneme systém ekvivalentný tomuto. (to znamená, že ak pridáte dve rovnice (sčítaním ich ľavej a pravej strany), dostanete rovnicu ekvivalentnú údajom)

Dôsledok viet (2 a 3)

Ak pridať ďalšiu rovnicu k rovnici vynásobenej určitým číslom a ponechajte všetky ostatné rovnice nezmenené, potom dostaneme systém ekvivalentný tomuto.

Vzorce na prepočet systémových koeficientov

Ak máme sústavu rovníc a chceme ju pretransformovať na vyriešenú sústavu rovníc, pomôže nám v tom Jordan-Gaussova metóda.

Jordanova transformácia s rozlišovacím prvkom umožňuje získať pre sústavu rovníc vyriešenú neznámu v rovnici s číslom . (príklad 2).

Jordanova transformácia pozostáva z elementárnych transformácií dvoch typov:

Povedzme, že z neznámej v spodnej rovnici chceme urobiť vyriešenú neznámu. Aby sme to dosiahli, musíme vydeliť , takže súčet je .

Príklad 2 Prepočítajme si systémové koeficienty

Pri delení rovnice číslom číslom sa jej koeficienty prepočítajú pomocou vzorcov:

Ak chcete vylúčiť z rovnice s číslom , musíte rovnicu s číslom vynásobiť a pridať k tejto rovnici.

Veta (4) O znížení počtu rovníc systému.

Ak systém rovníc obsahuje triviálnu rovnicu, možno ju zo systému vylúčiť a získa sa systém ekvivalentný pôvodnej.

Veta (5) O nekompatibilite sústavy rovníc.

Ak sústava rovníc obsahuje nekonzistentnú rovnicu, potom je nekonzistentná.

Algoritmus Jordanovej-Gaussovej metódy

Algoritmus na riešenie systémov rovníc pomocou metódy Jordan-Gauss pozostáva z niekoľkých podobných krokov, z ktorých každý sa vykonáva v nasledujúcom poradí:

1. Skontroluje, či systém nie je konzistentný. Ak systém obsahuje nekonzistentnú rovnicu, potom je nekonzistentný.
2. Kontroluje sa možnosť zníženia počtu rovníc. Ak sústava obsahuje triviálnu rovnicu, prečiarkne sa.
3. Ak je systém rovníc vyriešený, zapíšte si všeobecné riešenie systému a ak je to potrebné, konkrétne riešenia.
4. Ak systém nie je vyriešený, potom v rovnici, ktorá neobsahuje vyriešenú neznámu, sa vyberie rozlišovací prvok a s týmto prvkom sa vykoná Jordanova transformácia.
5. Potom sa vráťte k bodu 1

Príklad 3 Riešte sústavu rovníc Jordanovou-Gaussovou metódou.

Nájsť: dve všeobecné a dve zodpovedajúce základné riešenia

Riešenie:

Výpočty sú uvedené v tabuľke nižšie:

Napravo od tabuľky sú akcie s rovnicami. Šípky označujú, ku ktorej rovnici je pridaná rovnica s rozlišovacím prvkom, vynásobená vhodným koeficientom.

Prvé tri riadky tabuľky obsahujú koeficienty neznámych a pravé strany pôvodného systému. Výsledky prvej Jordanovej transformácie s rozlišovacím prvkom rovným jednej sú uvedené v riadkoch 4, 5, 6. Výsledky druhej Jordanovej transformácie s rozlišovacím prvkom rovným (-1) sú uvedené v riadkoch 7, 8, 9 Keďže tretia rovnica je triviálna, možno ju vynechať.

Táto online kalkulačka nájde všeobecné riešenie systému lineárnych rovníc pomocou Jordan-Gaussovej metódy. Uvádza sa podrobné riešenie. Ak chcete vypočítať, vyberte počet rovníc a počet premenných. Potom zadajte údaje do buniek a kliknite na tlačidlo "Vypočítať".

Nižšie nájdete teoretickú časť hľadania riešenia sústavy lineárnych rovníc pomocou Jordan-Gaussovej metódy.

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Zastúpenie čísel:

Celé čísla a/alebo bežné zlomky
Celé čísla a/alebo desatinné čísla

Počet miest za oddeľovačom desatinných miest

×

POZOR

Vymazať všetky bunky?

Zavrieť Vymazať

Pokyny na zadávanie údajov.Čísla sa zadávajú ako celé čísla (príklady: 487, 5, -7623 atď.), desatinné miesta (napr. 67., 102,54 atď.) alebo zlomky. Zlomok je potrebné zadať v tvare a/b, kde a a b (b>0) sú celé čísla alebo desatinné miesta. Príklady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 atď.

Jordan-Gaussova metóda

Jordan-Gaussova metóda je metóda riešenia sústav lineárnych rovníc a tiež metóda hľadania inverznej matice. Táto metóda je modifikáciou Gaussovej metódy.

Prvý stupeň Jordan-Gaussovej metódy je podobný Gaussovej metóde (priamy Gaussov pohyb), ktorú si môžete podrobne pozrieť na stránke „Gaussova metóda online“. Druhý stupeň (reverzný) Jordan-Gaussovej metódy spočíva vo vynulovaní všetkých prvkov matice koeficientov sústavy lineárnych rovníc nad vedúcimi prvkami. Všimnite si, že tu uvažujeme o ľubovoľnom systéme lineárnych rovníc, kde sa počet premenných nemusí rovnať počtu obmedzení.

Zvážte nasledujúci systém lineárnych rovníc:

(1)

Napíšme systém (1) v maticovom tvare:

Ax=b

(2)

(3)

A- nazývaná matica koeficientov systému, b- pravá strana obmedzení, X− vektor premenných, ktoré sa majú nájsť. Nechajte hodnosť ( A)=p.

Zostavme rozšírenú maticu systému:

Ak sa ,..., rovnajú nule, potom systém lineárnych rovníc má riešenie, ale ak sa aspoň jedno z týchto čísel líši od nuly, potom je systém nekonzistentný. Inými slovami, systém (2) je konzistentný vtedy a len vtedy, ak je poradie matice A rovná hodnote rozšírenej matice ( A|b).

Nechaj . Potom v opačnom poradí, počnúc od vedúceho prvku, aplikujeme spätný Gaussov pohyb. Podstatou spätného pohybu je vynulovanie všetkých prvkov rozšírenej matice, ktoré sú vyššie ako vedúce prvky.

Obnovme teda všetky prvky v stĺpci p, nad prvkom. Od ≠0 pridávame riadky 1,2,... p− 1 s čiarou p, vynásobeny resp.

Rozšírená matica bude mať nasledujúcu formu:

Rozdeľte každý riadok jeho zodpovedajúcim vodiacim prvkom (ak vodiaci prvok existuje):

Potom je možné riešenie zapísať takto:

Typ maticového záznamu: Ax=b, Kde

Označme podľa a ij prvkov i-tý riadok a j stĺpec.

Prvé štádium. Gaussovský pohyb vpred

a jedenásť . Ak to chcete urobiť, pridajte riadky 2,3 k riadku 1, vynásobené 1/2,-3/2:

Vylúčme prvky 3. stĺpca matice nad prvkom a 33. Ak to chcete urobiť, pridajte riadky 1, 2 s riadkom 3, vynásobené -3/2, -5/4, v tomto poradí:

Každý riadok matice vydelíme zodpovedajúcim vodiacim prvkom (ak vodiaci prvok existuje):

Typ maticového záznamu: Ax=b, Kde

Označme podľa a ij prvkov i-tý riadok a j stĺpec.

Prvé štádium. Priamy Gaussov pohyb.

Vylúčme prvky 1. stĺpca matice pod prvkom a jedenásť . Ak to chcete urobiť, pridajte riadky 2, 3 k riadku 1, vynásobte ich 4/3, 5/3:

Druhá fáza. Gaussov obrat

Vylúčme prvky 2. stĺpca matice nad prvkom a 22. Ak to chcete urobiť, pridajte riadok 1 k riadku 2 vynásobenému -3/10:

Vyjadrime premenné X 1 , X 2 vzhľadom na ostatné premenné.

Potom môže byť vektorové riešenie reprezentované takto:

,

X 3 je ľubovoľné reálne číslo.

§1. Sústavy lineárnych rovníc.

Systém zobrazenia

nazývaný systém m lineárne rovnice s n neznámy.

Tu
- neznámy, - koeficienty pre neznáme,
- voľné členy rovníc.

Ak sú všetky voľné členy rovníc rovné nule, systém sa nazýva homogénne.Rozhodnutím systém sa nazýva zbierka čísel
, pri ich dosadení do systému namiesto neznámych sa všetky rovnice zmenia na identity. Systém je tzv kĺb, ak má aspoň jedno riešenie. Kompatibilný systém, ktorý má jedinečné riešenie, sa nazýva istý. Tieto dva systémy sa nazývajú ekvivalent, ak sa množiny ich riešení zhodujú.

Systém (1) môže byť reprezentovaný v maticovej forme pomocou rovnice

(2)

.

§2. Kompatibilita sústav lineárnych rovníc.

Rozšírenú maticu systému (1) nazvime maticou

Kronecker-Capelliho veta. Systém (1) je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa poradie matice systému rovná hodnote rozšírenej matice:

.

§3. Systémové riešenien lineárne rovnice sn neznámy.

Uvažujme o nehomogénnom systéme n lineárne rovnice s n neznámy:

(3)

Cramerova veta.Ak je hlavným determinantom systému (3)
, potom má systém jedinečné riešenie určené vzorcami:

tie.
,

Kde - determinant získaný z determinantu výmena stĺpca do stĺpca voľných členov.

Ak
a aspoň jeden z nich ≠0, potom systém nemá žiadne riešenia.

Ak
, potom má systém nekonečne veľa riešení.

Sústavu (3) je možné riešiť pomocou jej maticového tvaru (2). Ak je matica hodnosť A rovná sa n, t.j.
, potom matica A má inverznú
. Násobenie maticovej rovnice
do matice
vľavo dostaneme:

.

Posledná rovnosť vyjadruje spôsob riešenia sústav lineárnych rovníc pomocou inverznej matice.

Príklad. Riešte sústavu rovníc pomocou inverznej matice.

Riešenie. Matrix
nedegenerované, od r
, čo znamená, že existuje inverzná matica. Vypočítajme inverznú maticu:
.

,

Cvičenie. Vyriešte systém Cramerovou metódou.

§4. Riešenie ľubovoľných sústav lineárnych rovníc.

Nech je daný nehomogénny systém lineárnych rovníc tvaru (1).

Predpokladajme, že systém je konzistentný, t.j. podmienka Kronecker-Capelliho vety je splnená:
. Ak je matica hodnosť
(počet neznámych), potom má systém unikátne riešenie. Ak
, potom má systém nekonečne veľa riešení. Nechaj ma vysvetliť.

Nech hodnosť matice r(A)= r< n. Pretože
, potom je tam nejaký nenulový menší poriadok r. Nazvime to základný moll. Neznáme, ktorých koeficienty tvoria malú bázu, sa budú nazývať základné premenné. Zvyšné neznáme nazývame voľné premenné. Preusporiadajme rovnice a prečíslujme premenné tak, aby sa táto vedľajšia nachádzala v ľavom hornom rohu matice systému:

.

najprv r priamky sú lineárne nezávislé, ostatné sú vyjadrené cez ne. Preto môžu byť tieto čiary (rovnice) vyradené. Dostaneme:

Dajme voľným premenným ľubovoľné číselné hodnoty: . Na ľavej strane nechajme len základné premenné a tie voľné presunieme na pravú stranu.

Mám systém r lineárne rovnice s r neznámy, ktorého determinant je odlišný od 0. Má jedinečné riešenie.

Táto sústava sa nazýva všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc (1). Inak: vyjadrenie základných premenných cez voľné sa nazýva všeobecné rozhodnutie systémov. Z toho môžete získať nekonečné množstvo súkromné ​​riešenia, pričom voľným premenným dáva ľubovoľné hodnoty. Zavolá sa konkrétne riešenie získané zo všeobecného pre nulové hodnoty voľných premenných základné riešenie. Počet rôznych základných riešení nepresahuje
. Základné riešenie s nezápornými zložkami je tzv podporujúce systémové riešenie.

Príklad.

,r=2.

Premenné
- základný,
- zadarmo.

Sčítajme rovnice; vyjadrime sa
cez
:

- spoločné rozhodnutie.

- súkromné ​​riešenie pre
.

- základné riešenie, odkaz.

§5. Gaussova metóda.

Gaussova metóda je univerzálna metóda na štúdium a riešenie ľubovoľných systémov lineárnych rovníc. Spočíva v redukcii systému na diagonálny (alebo trojuholníkový) tvar postupným odstraňovaním neznámych pomocou elementárnych transformácií, ktoré neporušujú rovnocennosť systémov. Premenná sa považuje za vylúčenú, ak je obsiahnutá len v jednej rovnici systému s koeficientom 1.

Elementárne transformácie systémy sú:

Násobenie rovnice číslom iným ako nula;

Pridanie rovnice vynásobenej ľubovoľným číslom s inou rovnicou;

Preusporiadanie rovníc;

Zamietnutie rovnice 0 = 0.

Elementárne transformácie možno vykonávať nie na rovniciach, ale na rozšírených maticiach výsledných ekvivalentných systémov.

Príklad.

Riešenie. Zapíšme si rozšírenú maticu systému:

.

Vykonaním elementárnych transformácií zredukujeme ľavú stranu matice na jednotkový tvar: na hlavnej diagonále vytvoríme jednotky a mimo nej nuly.

Komentujte. Ak pri vykonávaní elementárnych transformácií dostaneme rovnicu tvaru 0 = k(Kde Komu0), potom je systém nekonzistentný.

Riešenie sústav lineárnych rovníc metódou postupnej eliminácie neznámych možno zapísať v tvare tabuľky.

Ľavý stĺpec tabuľky obsahuje informácie o vylúčených (základných) premenných. Zvyšné stĺpce obsahujú koeficienty neznámych a voľné členy rovníc.

Rozšírená matica systému je zaznamenaná v zdrojovej tabuľke. Ďalej začneme vykonávať Jordanove transformácie:

1. Vyberte premennú , ktorý sa stane základom. Príslušný stĺpec sa nazýva kľúčový stĺpec. Vyberte rovnicu, v ktorej táto premenná zostane a bude vylúčená z iných rovníc. Príslušný riadok tabuľky sa nazýva kľúčový riadok. Koeficient , stojaci na priesečníku kľúčového radu a kľúčového stĺpca, sa nazýva kľúč.

2. Prvky kľúčového reťazca sú rozdelené na kľúčový prvok.

3. Kľúčový stĺpec je vyplnený nulami.

4. Zvyšné prvky sa vypočítajú pomocou pravidla obdĺžnika. Zostavte obdĺžnik, na protiľahlých vrcholoch ktorého je kľúčový prvok a prepočítaný prvok; od súčinu prvkov nachádzajúcich sa na uhlopriečke obdĺžnika s kľúčovým prvkom sa odpočíta súčin prvkov druhej uhlopriečky a výsledný rozdiel sa vydelí kľúčovým prvkom.

Príklad. Nájdite všeobecné riešenie a základné riešenie sústavy rovníc:

Riešenie.

Všeobecné riešenie systému:

Základné riešenie:
.

Jediná substitučná transformácia vám umožňuje prejsť z jedného základu systému na druhý: namiesto jednej z hlavných premenných sa do základu zavedie jedna z voľných premenných. Ak to chcete urobiť, vyberte kľúčový prvok v stĺpci voľnej premennej a vykonajte transformácie podľa vyššie uvedeného algoritmu.

§6. Hľadanie riešení podpory

Referenčné riešenie sústavy lineárnych rovníc je základné riešenie, ktoré neobsahuje záporné zložky.

Referenčné riešenia systému sa nachádzajú Gaussovou metódou pri splnení nasledujúcich podmienok.

1. V pôvodnom systéme musia byť všetky voľné výrazy nezáporné:
.

2. Kľúčový prvok je vybraný spomedzi kladných koeficientov.

3. Ak má premenná zavedená do bázy niekoľko kladných koeficientov, potom kľúčovou líniou je tá, v ktorej je pomer voľného člena ku kladnému koeficientu najmenší.

Poznámka 1. Ak sa v procese odstraňovania neznámych objaví rovnica, v ktorej sú všetky koeficienty kladné a voľný člen
, potom systém nemá žiadne nezáporné riešenia.

Poznámka 2. Ak v stĺpcoch koeficientov pre voľné premenné nie je jediný kladný prvok, potom nie je možný prechod na iné referenčné riešenie.

Príklad.

Príklad 1. Nájdite všeobecné riešenie a nejaké konkrétne riešenie systému

Riešenie Robíme to pomocou kalkulačky. Vypíšme rozšírené a hlavné matice:

Bodkovanou čiarou je oddelená hlavná matica A. Neznáme sústavy píšeme hore, pričom treba pamätať na možné preusporiadanie členov v rovniciach sústavy. Určením hodnosti rozšírenej matice súčasne nájdeme hodnosť hlavnej. V matici B sú prvý a druhý stĺpec proporcionálne. Z dvoch proporčných stĺpcov môže do základnej mollovej spadať iba jeden, preto presuňte napríklad prvý stĺpec za bodkovanú čiaru s opačným znamienkom. Pre systém to znamená prenos členov z x 1 na pravú stranu rovníc.

Zredukujme maticu na trojuholníkový tvar. Budeme pracovať len s riadkami, keďže vynásobiť riadok matice iným číslom ako nula a pridať ho do iného riadku pre sústavu znamená vynásobiť rovnicu rovnakým číslom a pripočítať ju ďalšou rovnicou, čím sa nezmení riešenie systém. Pracujeme s prvým riadkom: prvý riadok matice vynásobíme (-3) a postupne pridáme k druhému a tretiemu riadku. Potom vynásobte prvý riadok (-2) a pridajte ho k štvrtému.

Druhý a tretí riadok sú proporcionálne, preto je možné jeden z nich, napríklad druhý, prečiarknuť. To je ekvivalentné prečiarknutiu druhej rovnice systému, pretože je dôsledkom tretej.

Teraz pracujeme s druhým riadkom: vynásobíme ho (-1) a pripočítame k tretiemu.

Vedľajšia zakrúžkovaná bodkovanou čiarou má najvyššie poradie (z možných vedľajších) a je nenulová (rovná sa súčinu prvkov na hlavnej diagonále), pričom táto vedľajšia patrí do hlavnej aj rozšírenej matice, preto rangA = rangB = 3.
Menší je základný. Zahŕňa koeficienty pre neznáme x 2 , x 3 , x 4 , čo znamená, že neznáme x 2 , x 3 , x 4 sú závislé a x 1 , x 5 sú voľné.
Transformujme maticu, pričom na ľavej strane ponecháme iba základnú minoritu (čo zodpovedá bodu 4 vyššie uvedeného algoritmu riešenia).

Systém s koeficientmi tejto matice je ekvivalentný pôvodnému systému a má tvar

Pomocou metódy eliminácie neznámych zistíme:
, ,

Získali sme vzťahy vyjadrujúce závislé premenné x 2, x 3, x 4 cez voľné x 1 a x 5, čiže sme našli všeobecné riešenie:

Priradením ľubovoľných hodnôt voľným neznámym získame ľubovoľný počet konkrétnych riešení. Poďme nájsť dve konkrétne riešenia:
1) nech x 1 = x 5 = 0, potom x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) dajte x 1 = 1, x 5 = -1, potom x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Našli sa teda dve riešenia: (0,1,-3,3,0) – jedno riešenie, (1,4,-7,7,-1) – iné riešenie.

Príklad 2. Preskúmajte kompatibilitu, nájdite všeobecné a jedno konkrétne riešenie systému

Riešenie. Preusporiadajme prvú a druhú rovnicu tak, aby bola jedna v prvej rovnici a napíšme maticu B.

Nuly vo štvrtom stĺpci dostaneme operáciou s prvým riadkom:

Teraz získame nuly v treťom stĺpci pomocou druhého riadku:

Tretí a štvrtý riadok sú proporcionálne, takže jeden z nich možno prečiarknuť bez zmeny poradia:
Vynásobte tretí riadok (–2) a pridajte ho k štvrtému:

Vidíme, že poradie hlavnej a rozšírenej matice je rovné 4 a poradie sa zhoduje s počtom neznámych, preto má systém jedinečné riešenie:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Príklad 3. Skontrolujte kompatibilitu systému a nájdite riešenie, ak existuje.

Riešenie. Zostavíme rozšírenú maticu systému.

Preusporiadame prvé dve rovnice tak, aby v ľavom hornom rohu bola 1:
Vynásobte prvý riadok (-1) a pridajte ho k tretiemu:

Vynásobte druhý riadok (-2) a pridajte ho k tretiemu:

Systém je nekonzistentný, keďže v hlavnej matici sme dostali riadok pozostávajúci z núl, ktorý sa pri nájdení poradia prečiarkne, no v rozšírenej matici zostáva posledný riadok, teda r B > r A .

Cvičenie. Preskúmajte tento systém rovníc z hľadiska kompatibility a vyriešte ho pomocou maticového počtu.
Riešenie

Príklad. Dokážte kompatibilitu sústavy lineárnych rovníc a riešte ju dvoma spôsobmi: 1) Gaussovou metódou; 2) Cramerova metóda. (odpoveď zadajte v tvare: x1,x2,x3)
Riešenie :doc :doc :xls
odpoveď: 2,-1,3.

Príklad. Je daná sústava lineárnych rovníc. Dokážte jeho kompatibilitu. Nájdite všeobecné riešenie systému a jedno konkrétne riešenie.
Riešenie
odpoveď: x3 = -1 + x4 + x5; x2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3 x 5

Cvičenie. Nájdite všeobecné a konkrétne riešenia každého systému.
Riešenie. Tento systém študujeme pomocou Kronecker-Capelliho vety.
Vypíšme rozšírené a hlavné matice:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Tu je matica A zvýraznená tučným písmom.
Zredukujme maticu na trojuholníkový tvar. Budeme pracovať len s riadkami, keďže vynásobiť riadok matice iným číslom ako nula a pridať ho do iného riadku pre sústavu znamená vynásobiť rovnicu rovnakým číslom a pripočítať ju ďalšou rovnicou, čím sa nezmení riešenie systém.
Vynásobme 1. riadok (3). Vynásobte 2. riadok (-1). Pridajme 2. riadok k 1.:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Vynásobme 2. riadok (2). Vynásobte 3. riadok (-3). Pridajme 3. riadok k 2.:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Vynásobte 2. riadok (-1). Pridajme 2. riadok k 1.:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Vybraná vedľajšia má najvyššie poradie (z možných vedľajších) a je nenulová (rovná sa súčinu prvkov na obrátenej diagonále) a táto vedľajšia patrí do hlavnej aj rozšírenej matice, preto zazvonilo( A) = rang(B) = 3 Keďže poradie hlavnej matice sa rovná hodnote rozšírenej matice, potom systém je kolaboratívny.
Táto minorita je základná. Zahŕňa koeficienty pre neznáme x 1 , x 2 , x 3 , čo znamená, že neznáme x 1 , x 2 , x 3 sú závislé (základné) a x 4 , x 5 sú voľné.
Transformujme maticu, pričom vľavo ponecháme iba základnú vedľajšiu.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Systém s koeficientmi tejto matice je ekvivalentný pôvodnému systému a má tvar:
27 x 3 =
- x 2 + 13 x 3 = - 1 + 3 x 4 - 6 x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Pomocou metódy eliminácie neznámych zistíme:
Získali sme vzťahy vyjadrujúce závislé premenné x 1 , x 2 , x 3 cez voľné x 4 , x 5 , čiže sme zistili spoločné rozhodnutie:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3 x 4 + 6 x 5
x 1 = - 1 + 3 x 4 - 8 x 5
neistý, pretože má viac ako jedno riešenie.

Cvičenie. Vyriešte sústavu rovníc.
Odpoveď:x 2 = 2 – 1,67 x 3 + 0,67 x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Priradením ľubovoľných hodnôt voľným neznámym získame ľubovoľný počet konkrétnych riešení. Systém je neistý