Uvažujme v priestore rovinu Q. Jej poloha je úplne určená určením vektora N kolmého na túto rovinu a nejakého pevného bodu ležiaceho v rovine Q. Vektor N kolmý na rovinu Q sa nazýva normálový vektor tejto roviny. Ak A, B a C označíme projekcie normálového vektora N, tak

Odvoďme rovnicu roviny Q, ktorá prechádza daným bodom a má daný normálový vektor. Za týmto účelom uvažujme vektor spájajúci bod s ľubovoľným bodom roviny Q (obr. 81).

Pre ľubovoľnú polohu bodu M v rovine Q je vektor MXM kolmý na normálový vektor N roviny Q. Preto skalárny súčin Zapíšme skalárny súčin z hľadiska projekcií. Od , a vektor , teda

a preto

Ukázali sme, že súradnice ktoréhokoľvek bodu roviny Q spĺňajú rovnicu (4). Je ľahké vidieť, že súradnice bodov, ktoré neležia v rovine Q, nespĺňajú túto rovnicu (v druhom prípade ). Preto sme dostali požadovanú rovnicu roviny Q. Rovnica (4) sa nazýva rovnica roviny prechádzajúcej daným bodom. Je prvého stupňa vzhľadom na aktuálne súradnice

Takže sme ukázali, že každá rovina zodpovedá rovnici prvého stupňa vzhľadom na aktuálne súradnice.

Príklad 1. Napíšte rovnicu roviny prechádzajúcej bodom kolmým na vektor.

rozhodnutie. Tu . Na základe vzorca (4) dostaneme

alebo po zjednodušení

Pridaním rôznych hodnôt koeficientom A, B a C rovnice (4) môžeme získať rovnicu ktorejkoľvek roviny prechádzajúcej bodom . Množina rovín prechádzajúcich daným bodom sa nazýva zhluk rovín. Rovnica (4), v ktorej koeficienty A, B a C môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty, sa nazýva rovnica zväzku rovín.

Príklad 2. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu tromi bodmi (obr. 82).

rozhodnutie. Napíšme rovnicu pre skupinu rovín prechádzajúcich bodom

je všeobecná rovnica roviny v priestore

Normálny rovinný vektor

Normálny vektor roviny je nenulový vektor ortogonálny ku každému vektoru ležiacemu v rovine.

Rovnica roviny prechádzajúcej bodom s daným normálovým vektorom

je rovnica roviny prechádzajúcej bodom M0 s daným normálovým vektorom

Smerové vektory roviny

Dva nekolineárne vektory rovnobežné s rovinou sa nazývajú smerové vektory roviny

Parametrické rovinné rovnice

– parametrická rovnica roviny vo vektorovom tvare

je parametrická rovnica roviny v súradniciach

Rovnica roviny prechádzajúcej daným bodom a dvoma smerovými vektormi

-pevný bod

len bodka lol

sú koplanárne, takže ich zmiešaný súčin je 0.

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi

– rovinná rovnica cez tri body

Rovnica roviny v segmentoch

- rovinná rovnica v segmentoch

Dôkaz

Aby sme to dokázali, používame skutočnosť, že naša rovina prechádza cez A, B, C a normálový vektor

Dosadíme súradnice bodu a vektora n do rovnice roviny s normálovým vektorom

Rozdeľte všetko a získajte

Tak to ide.

Rovnica normálnej roviny

je uhol medzi ox a normálovým vektorom k rovine vychádzajúcim z O.

je uhol medzi oy a normálovým vektorom k rovine, vychádzajúcej z O.

je uhol medzi oz a normálovým vektorom k rovine, vychádzajúcej z O.

je vzdialenosť od začiatku súradníc k rovine.

Dôkazy alebo nejaké podobné kecy

Znak je oproti D.

Podobne pre ostatné kosiny. Koniec.

Vzdialenosť od bodu k rovine

Bod S, rovina

je orientovaná vzdialenosť od bodu S k rovine

Ak , potom S a O ležia na opačných stranách roviny

Ak , potom S a O ležia na rovnakej strane

Vynásobte číslom n

Vzájomné usporiadanie dvoch línií v priestore

Uhol medzi rovinami

Na priesečníku sa vytvoria dva páry vertikálnych dihedrálnych uhlov, najmenší sa nazýva uhol medzi rovinami

Rovná čiara v priestore

Čiara v priestore môže byť uvedená ako

Priesečník dvoch rovín:

Parametrické rovnice priamky

- parametrická rovnica priamky vo vektorovom tvare

je parametrická rovnica priamky v súradniciach

Kanonická rovnica

je kanonická rovnica priamky.

Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body

– kanonická rovnica priamky vo vektorovom tvare;

Vzájomné usporiadanie dvoch línií v priestore

Vzájomné usporiadanie priamky a roviny v priestore

Uhol medzi čiarou a rovinou

Vzdialenosť od bodu k čiare v priestore

a je smerový vektor našej priamky.

je ľubovoľný bod patriaci k danej priamke

- bod, ku ktorému hľadáme vzdialenosť.

Vzdialenosť medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami

Vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

M1 - bod patriaci do prvého riadku

M2 je bod patriaci do druhej čiary

Krivky a plochy druhého rádu

Elipsa je množina bodov v rovine, pričom súčet vzdialeností od ktorých k dvom daným bodom (ohniskám) je konštantná hodnota.

Kanonická rovnica elipsy

Nahradme to za

Deliť podľa

Vlastnosti elipsy

Priesečník so súradnicovými osami

Symetria asi

1. Pôvod

Elipsa je krivka ležiaca v ohraničenej časti roviny

Elipsu možno získať z kruhu jeho natiahnutím alebo stlačením

Parametrická rovnica elipsy:

- režiséri

Hyperbola

Hyperbola je množina bodov v rovine, pre ktorú je modul rozdielu vzdialeností k 2 daným bodom (ohniskám) konštantnou hodnotou (2a)

Všetko robíme rovnako ako s elipsou, dostaneme

Nahradiť s

Deliť podľa

Vlastnosti hyperboly

;

- režiséri

Asymptota

Asymptota je priamka, ku ktorej sa krivka neurčito približuje a ustupuje do nekonečna.

Parabola

vlastnosti parabotu

Vzťah medzi elipsou, hyperbolou a parabolou.

Vzťah medzi týmito krivkami má algebraické vysvetlenie: všetky sú dané rovnicami druhého stupňa. V ľubovoľnom súradnicovom systéme majú rovnice týchto kriviek tvar: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, kde a, b, c, d, e, f sú čísla

Transformácia pravouhlých kartézskych súradnicových systémov

Paralelný preklad súradnicového systému

-O' v starom súradnicovom systéme

– súradnice bodu v starom súradnicovom systéme

– súradnice bodu v novom súradnicovom systéme

Súradnice bodu v novom súradnicovom systéme.

Otáčanie v karteziánskom súradnicovom systéme

– nový súradnicový systém

Matica prechodu zo starého základu na nový

- (pod prvým stĺpcom ja’ , pod druhým j’ ) prechodová matica zo zákl ja,j na základ ja’ ,j’

Všeobecný prípad

1 možnosť

1. Rotácia súradnicového systému

Možnosť 2

1. Rotácia súradnicového systému

   Paralelný preklad pôvodu

Všeobecná rovnica čiar druhého rádu a jej redukcia na kanonickú formu

je všeobecná forma krivkových rovníc druhého rádu

Klasifikácia kriviek druhého rádu

elipsoidný

Prierezy elipsoidom

- elipsa

- elipsa

Elipsoidy revolúcie

Revolučné elipsoidy sú buď sploštené alebo predĺžené sféroidy, v závislosti od toho, okolo čoho sa otáčame.

Jednopásmový hyperboloid

Úseky jednopásového hyperboloidu

– hyperbola s reálnou osou oy

je hyperbola so skutočnou osou x

Ukazuje sa elipsa pre ľubovoľné h. Tak to ide.

Jednopásové rotačné hyperboloidy

Jednovrstvový rotačný hyperboloid možno získať otáčaním hyperboly okolo jej imaginárnej osi.

Dvojvrstvový hyperboloid

Úseky dvojvrstvového hyperboloidu

- hyperbola s akciou. axisoz

je hyperbola so skutočnou osou oz

Kužeľ

- dvojica pretínajúcich sa čiar

- dvojica pretínajúcich sa čiar

Eliptický paraboloid

- parabola

- parabola

Rotácie

Ak , potom eliptický paraboloid je rotačná plocha vytvorená rotáciou paraboly okolo jej osi symetrie.

Hyperbolický paraboloid

Parabola

- parabola

h>0 hyperbola s reálnou osou rovnobežnou s x

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Pod valcom rozumieme povrch, ktorý vznikne, keď sa v priestore bude pohybovať priamka, ktorá nemení svoj smer, ak sa priamka pohybuje vzhľadom na oz, potom rovnica valca je rovnica rezu rovinou xoy.

Eliptický valec

hyperbolický valec

parabolický valec

Priamočiare generátory plôch druhého rádu

Čiary ležiace úplne na povrchu sa nazývajú priamočiare generátory povrchu.

Povrchy revolúcie

Do riti lol

Displej

zobrazením Nazvime si pravidlo, podľa ktorého je každý prvok množiny A spojený s jedným alebo viacerými prvkami množiny B. Ak je každému priradený jeden prvok množiny B, potom sa zavolá mapovanie jednoznačné, inak nejednoznačný.

Transformácia množina sa nazýva mapovanie množiny jedna k jednej

Injekcia

Injekcia alebo mapovanie jedna ku jednej množine A do množiny B

(rôzne prvky a zodpovedajú rôznym prvkom B), napríklad y=x^2

surjekcia

Surjekcia alebo zobrazenie množiny A na množinu B

Pre každé B existuje aspoň jedno A (napríklad sínus)

Každý prvok množiny B zodpovedá iba jednému prvku množiny A. (napríklad y=x)

V tomto článku sa budeme zaoberať normálnou rovnicou roviny. Uveďme príklady zostrojenia normálovej rovnice roviny podľa uhla sklonu normálového vektora roviny od osí Ox, Oy, Oz a podľa vzdialenosti r z východiska do lietadla. Uveďme metódu redukcie všeobecnej rovnice priamky na normálnu formu. Zvážte číselné príklady.

Nech je v priestore daný kartézsky pravouhlý súradnicový systém. Potom normálna rovnica roviny Ω reprezentovaný nasledujúcim vzorcom:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0,

(1)

kde r− vzdialenosť od začiatku k rovine Ω , a α,β,γ sú uhly medzi jednotkovým vektorom n, ortogonálne k rovine Ω a súradnicové osi Ox, Oy, Oz, respektíve (obr. 1). (Ak r>0, potom vektor n smerujúce k lietadlu Ω , ak rovina prechádza počiatkom, potom smer vektora nľubovoľne zvolené).

Odvodíme vzorec (1). Nech je v priestore daný kartézsky pravouhlý súradnicový systém a rovina Ω (Obr. 1). Nakreslite čiaru cez počiatok Q, kolmo na rovinu Ω a priesečník bude označený R. Na tomto riadku vyberieme jednotkový vektor n, pričom smer sa zhoduje s vektorom . (Ak bodky O a R zápas, potom smer n možno brať ľubovoľne).

Vyjadríme rovnicu roviny Ω cez nasledujúce parametre: dĺžka segmentu a uhly sklonu α, β, γ medzi vektorom n a osí Ox, Oy, Oz, resp.

Od vektora n je jednotkový vektor, potom jeho projekcie na Ox, Oy, Oz bude mať tieto súradnice:

Bodový súčin vektorov n a má nasledujúci tvar:

Vzhľadom na to n={cosα, cosβ, cosγ}, , dostaneme:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0.

(7)

Získali sme normálnu rovnicu roviny Ω . Rovnica (7) (alebo (1)) sa tiež nazýva normalizovaná rovinná rovnica. Vektor n volal rovinný normálový vektor.

Ako je uvedené vyššie, číslo r v rovnici (1) ukazuje vzdialenosť roviny od počiatku. Preto, keď máme normálnu rovnicu roviny, je ľahké určiť vzdialenosť roviny od začiatku. Ak chcete skontrolovať, či je daná rovnica roviny rovnicou v normálnom tvare, musíte skontrolovať dĺžku normálového vektora tejto roviny a znamienko čísla r, t.j. ak | n|=1 a r>0, potom je táto rovnica normálnou (normalizovanou) rovnicou roviny.

Príklad 1. Daná nasledujúca rovinná rovnica:

Určme dĺžku vektora n:

Keďže rovnice (1) a (8) musia určovať rovnakú priamku (výrok 2 článku „Všeobecná rovnica roviny“), potom existuje také číslo t, čo

Zjednodušte výraz a nájdite t:

t 2 A 2 +t 2 B 2 +t 2 C 2 =t 2 (A 2 +B 2 +C 2)=1,

.

(11)

Menovateľ v (11) je iný ako nula, pretože aspoň jeden z koeficientov A, B, C sa nerovná nule (inak by (8) nereprezentovalo rovnicu priamky).

Zistite, aké znamenie t. Venujme pozornosť štvrtej rovnosti v (9). Ako r je vzdialenosť od začiatku k rovine, potom r≥0. Potom produkt tD musí mať záporné znamienko. Tie. znamenie t v (11) musí byť oproti znamienku D.

Nahradenie do (1) namiesto cosα, cosβ, cosγ a −r hodnoty z (9), dostaneme daň+tBy+tCz+tD=0. Tie. aby ste dostali všeobecnú rovnicu roviny do normálneho tvaru, musíte danú rovnicu vynásobiť faktorom (11). Nazýva sa faktor (11). normalizačný faktor.

Príklad 2. Je uvedená všeobecná rovnica roviny

Ako D>0, potom podpíšte t negatívne:

Všimnite si, že číslo je vzdialenosť od začiatku k priamke (12).

Poloha roviny v priestore bude úplne určená, ak nastavíme jej vzdialenosť od začiatku O, t.j. dĺžku kolmice OT, spustenej z bodu O k rovine, a jednotkového vektora n°, kolmého na rovinu. a smeruje z počiatku O do roviny (obr. 110).

Keď sa bod M pohybuje po rovine, potom sa jeho vektor polomeru zmení tak, že je vždy viazaný nejakou podmienkou. Pozrime sa, aká je táto podmienka. Je zrejmé, že pre akýkoľvek bod ležiaci v rovine máme:

Táto podmienka platí len pre body v rovine; je porušená, ak bod M leží mimo roviny. Rovnosť (1) teda vyjadruje vlastnosť, ktorá je spoločná všetkým bodom roviny a len im. Podľa § 7 písm. 11 máme:

a preto rovnicu (1) možno prepísať takto:

Rovnica (D) vyjadruje podmienku, za ktorej bod ) leží v danej rovine, a nazýva sa normálna rovnica tejto roviny. Vektor polomeru ľubovoľného bodu M roviny sa nazýva aktuálny vektor polomeru.

Rovnica (1) roviny je napísaná vo vektorovej forme. Keď sa pozrieme na súradnice a umiestnime počiatok súradníc do počiatku vektorov - bodu O, všimneme si, že projekcie jednotkového vektora na súradnicové osi sú kosínusy uhlov zložených osami s týmto vektorom a projekcie vektora polomeru bodu M

sú súradnice bodu, t.j. máme:

Rovnica (D) prechádza do súradnicovej:

Pri prevode vektorovej rovnice (Г) roviny do súradnicovej rovnice (2) sme použili vzorec (15) § 9 kap. 11, ktorý vyjadruje skalárny súčin pomocou vektorových projekcií. Rovnica (2) vyjadruje podmienku, za ktorej leží bod M(x, y, z) v danej rovine, a nazýva sa normálová rovnica tejto roviny v súradnicovom tvare. Výsledná rovnica (2) je prvého stupňa vzhľadom na , t.j. akákoľvek rovina môže byť reprezentovaná rovnicou prvého stupňa vzhľadom na aktuálne súradnice.

Všimnite si, že odvodené rovnice (1") a (2) zostávajú v platnosti aj vtedy, keď daná rovina prechádza počiatkom. V tomto prípade ktorýkoľvek z dvoch jednotkových vektorov kolmých na rovinu a líšiacich sa jedným z iného smeru.

Komentujte. Normálnu rovnicu roviny (2) možno odvodiť bez použitia vektorovej metódy.

Vezmite ľubovoľnú rovinu a nakreslite cez počiatok kolmý na ňu priamku I. Na tejto priamke nastavte kladný smer od počiatku do roviny (ak zvolená rovina prechádzala počiatkom, potom by mohol byť zvolený akýkoľvek smer na priamke) .

Poloha tejto roviny v priestore je úplne určená jej vzdialenosťou od začiatku, t. j. dĺžkou segmentu osi l od počiatku po priesečník s rovinou (na obr. 111 - segment) a uhlami medzi os a súradnicové osi. Keď sa bod pohybuje po rovine svojimi súradnicami, jeho súradnice sa menia tak, že sú vždy viazané nejakou podmienkou. Pozrime sa, aká je táto podmienka.

Postavme na obr. 111 súradnicová lomená čiara OPSM ľubovoľného bodu M roviny. Zoberme si priemet tejto prerušovanej čiary na os l. Poznamenávame, že priemet prerušovanej čiary sa rovná priemetu jeho uzatváracieho segmentu (kapitola I, § 3), máme.

Rovinná rovnica. Ako napísať rovnicu pre rovinu?
Vzájomné usporiadanie rovín. Úlohy

Priestorová geometria nie je oveľa komplikovanejšia ako „plochá“ geometria a naše lety do vesmíru začínajú týmto článkom. Aby človek porozumel téme, musí jej dobre rozumieť vektory Okrem toho je žiaduce poznať geometriu roviny - bude tam veľa podobností, veľa analógií, takže informácie budú oveľa lepšie strávené. V sérii mojich lekcií sa 2D svet otvára článkom Rovnica priamky na rovine. Teraz však Batman vystúpil z TV s plochou obrazovkou a štartuje z kozmodrómu Bajkonur.

Začnime s kresbami a symbolmi. Schematicky môže byť rovina nakreslená ako rovnobežník, ktorý vytvára dojem priestoru:

Rovina je nekonečná, no my máme možnosť znázorniť len jej kúsok. V praxi sa okrem rovnobežníka kreslí aj ovál či dokonca oblak. Z technických dôvodov je pre mňa pohodlnejšie znázorniť lietadlo takto a v tejto polohe. Skutočné roviny, ktoré budeme uvažovať v praktických príkladoch, môžu byť usporiadané akýmkoľvek spôsobom - mentálne vezmite kresbu do rúk a otočte ju v priestore, čím dáte rovine akýkoľvek sklon, akýkoľvek uhol.

Notový zápis: je zvykom označovať lietadlá malými gréckymi písmenami, zrejme aby nedošlo k ich zámene rovno v lietadle alebo s priamo v priestore. Som zvyknutý používať písmeno . Na výkrese je to písmeno "sigma" a vôbec nie diera. Aj keď, dierované lietadlo, je to určite veľmi zábavné.

V niektorých prípadoch je vhodné použiť rovnaké grécke písmená s dolnými indexmi na označenie lietadiel, napríklad .

Je zrejmé, že rovina je jednoznačne určená tromi rôznymi bodmi, ktoré neležia na rovnakej priamke. Preto sú pomerne obľúbené trojpísmenové označenia lietadiel – podľa bodov k nim patriacich napr. Písmená sú často uzavreté v zátvorkách: , aby nedošlo k zámene roviny s iným geometrickým útvarom.

Pre skúsených čitateľov dám menu skratiek:

• Ako napísať rovnicu pre rovinu pomocou bodu a dvoch vektorov?
• Ako napísať rovnicu pre rovinu pomocou bodu a normálového vektora?

a nebudeme chradnúť v dlhom čakaní:

Všeobecná rovnica roviny

Všeobecná rovnica roviny má tvar , kde koeficienty sú súčasne nenulové.

Množstvo teoretických výpočtov a praktických problémov platí ako pre bežnú ortonormálnu, tak aj pre afinnú základňu priestoru (ak je ropa ropa, vráťte sa k lekcii Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ). Pre jednoduchosť budeme predpokladať, že všetky udalosti sa vyskytujú na ortonormálnom základe a karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme.

A teraz si potrénujme trochu priestorovej predstavivosti. Nevadí, ak to máte zlé, teraz to trochu rozvinieme. Aj hranie na nervy si vyžaduje cvik.

V najvšeobecnejšom prípade, keď sa čísla nerovnajú nule, rovina pretína všetky tri súradnicové osi. Napríklad takto:

Ešte raz opakujem, že rovina pokračuje donekonečna všetkými smermi a my máme možnosť znázorniť len jej časť.

Zvážte najjednoduchšie rovnice rovín:

Ako rozumieť tejto rovnici? Premýšľajte o tom: „Z“ VŽDY, pre akékoľvek hodnoty „X“ a „Y“ sa rovná nule. Toto je rovnica "natívnej" súradnicovej roviny. Formálne možno rovnicu prepísať takto: , odkiaľ je jasne vidieť, že nám je jedno, aké hodnoty „x“ a „y“ naberajú, je dôležité, aby sa „z“ rovnalo nule.

Podobne:
je rovnica súradnicovej roviny ;
je rovnica súradnicovej roviny.

Skúsme si problém trochu skomplikovať, uvažujme rovinu (tu a ďalej v odseku predpokladáme, že číselné koeficienty sa nerovnajú nule). Prepíšme rovnicu v tvare: . Ako tomu rozumieť? "X" je VŽDY, pretože akákoľvek hodnota "y" a "z" sa rovná určitému číslu. Táto rovina je rovnobežná s rovinou súradníc. Napríklad rovina je rovnobežná s rovinou a prechádza bodom.

Podobne:
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou súradníc;
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou súradníc.

Pridať členov: . Rovnicu možno prepísať takto: , to znamená, že „Z“ môže byť čokoľvek. Čo to znamená? „X“ a „y“ sú spojené pomerom, ktorý nakreslí určitú priamku v rovine (samozrejme rovnica priamky v rovine?). Keďže Z môže byť čokoľvek, táto čiara sa „replikuje“ v akejkoľvek výške. Rovnica teda definuje rovinu rovnobežnú so súradnicovou osou

Podobne:
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná so súradnicovou osou;
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná so súradnicovou osou.

Ak sú voľné členy nula, potom budú roviny priamo prechádzať cez príslušné osi. Napríklad klasická „priama úmernosť“:. Nakreslite rovnú čiaru v rovine a mentálne ju vynásobte hore a dole (keďže „z“ je ľubovoľné). Záver: rovina daná rovnicou prechádza súradnicovou osou.

Uzatvárame prehľad: rovnica roviny prechádza cez pôvod. No tu je úplne zrejmé, že bod spĺňa danú rovnicu.

A nakoniec prípad, ktorý je znázornený na výkrese: - rovina je priateľská so všetkými súradnicovými osami, pričom vždy „odreže“ trojuholník, ktorý sa môže nachádzať v ktoromkoľvek z ôsmich oktantov.

Lineárne nerovnosti v priestore

Na pochopenie informácií je potrebné dobre študovať lineárne nerovnosti v rovine pretože veľa vecí bude podobných. Tento odsek bude obsahovať stručný prehľad s niekoľkými príkladmi, keďže tento materiál je v praxi pomerne zriedkavý.

Ak rovnica definuje rovinu, potom nerovnosti
opýtať sa polovičné medzery. Ak nerovnosť nie je striktná (posledné dve v zozname), tak riešenie nerovnosti okrem polpriestoru zahŕňa aj samotnú rovinu.

Príklad 5

Nájdite jednotkový normálový vektor roviny .

rozhodnutie: Jednotkový vektor je vektor, ktorého dĺžka je jedna. Označme tento vektor . Je celkom jasné, že vektory sú kolineárne:

Najprv odstránime normálový vektor z rovnice roviny: .

Ako nájsť jednotkový vektor? Ak chcete nájsť jednotkový vektor, potrebujete každý vektorová súradnica delená dĺžkou vektora.

Prepíšme normálny vektor do formulára a nájdime jeho dĺžku:

Podľa vyššie uvedeného:

Odpoveď:

Check: , ktorý bol povinný skontrolovať.

Čitatelia, ktorí si pozorne preštudovali posledný odsek lekcie, si to pravdepodobne všimli súradnice jednotkového vektora sú presne smerové kosínusy vektora:

Odbočme od rozobraného problému: keď dostanete ľubovoľný nenulový vektor a podľa podmienky je potrebné nájsť jej smerové kosínusy (pozri posledné úlohy lekcie Bodový súčin vektorov), potom v skutočnosti nájdete aj jednotkový vektor kolineárny s daným. V skutočnosti dve úlohy v jednej fľaši.

Potreba nájsť jednotkový normálový vektor vzniká v niektorých problémoch matematickej analýzy.

Prišli sme na lov normálneho vektora, teraz odpovieme na opačnú otázku:

Ako napísať rovnicu pre rovinu pomocou bodu a normálového vektora?

Táto tuhá konštrukcia normálneho vektora a bodu je dobre známa terčom šípok. Natiahnite ruku dopredu a v duchu vyberte ľubovoľný bod v priestore, napríklad malú mačku v príborníku. Je zrejmé, že cez tento bod môžete nakresliť jednu rovinu kolmú na vašu ruku.

Rovnica roviny prechádzajúcej bodom kolmým na vektor je vyjadrená vzorcom: