Hlavná veta analýzy

Hlavná veta analýzy alebo Newtonov-Leibnizov vzorec dáva vzťah medzi dvoma operáciami: zobratím určitého integrálu a výpočtom primitívnej derivácie

Znenie

Zvážte integrál funkcie r = f(X) v rámci konštantného počtu a až po číslo X, ktorú budeme považovať za premennú. Integrál zapíšeme v nasledujúcom tvare:

Tento typ integrálu sa nazýva integrál s premenlivou hornou hranicou. Pomocou vety o strednom v určitom integráli je ľahké ukázať, že daná funkcia je spojitá a diferencovateľná. A tiež derivácia tejto funkcie v bode x sa rovná samotnej integrovateľnej funkcii. Z toho vyplýva, že každá spojitá funkcia má primitívnu funkciu vo forme kvadratúry: . A keďže trieda primitívnych derivátov funkcie f sa líši o konštantu, je ľahké ukázať, že: určitý integrál funkcie f sa rovná rozdielu medzi hodnotami primitív v bodoch b a a

Nadácia Wikimedia. 2010.

• Plejády
• 6174 (číslo)

Pozrite sa, čo je „Hlavná veta analýzy“ v iných slovníkoch:

Základná reziduálna veta- Reziduálna veta je výkonný nástroj na výpočet integrálu meromorfnej funkcie cez uzavretý obrys. Často sa používa aj na výpočet reálnych integrálov. Ide o zovšeobecnenie Cauchyho integrálnej vety a integrálu ... ... Wikipedia

Základná veta algebry- tvrdí, že každý nekonštantný polynóm (jednej premennej) s komplexnými koeficientmi má aspoň jeden koreň v obore komplexných čísel. Ekvivalentná formulácia vety je nasledovná: Pole komplexných čísel ... ... Wikipedia

Newtonova veta- Vzorec Newtona Leibniza alebo hlavná veta analýzy dáva vzťah medzi dvoma operáciami: prijatím určitého integrálu a výpočtom primitívnej derivácie. Ak je spojitý na segmente a jeho priradená k tomuto segmentu, potom má ... Wikipedia

Newtonov-Leibnizov vzorec

Newtonov - Leibnizov vzorec- Hlavná veta analýzy alebo vzorec Newtona Leibniza dáva vzťah medzi dvoma operáciami: prijatie určitého integrálu a výpočet primitívnej formulácie Uvažujme integrál funkcie y \u003d f (x) v rozsahu od konštantného čísla a do ... . .. Wikipedia

Integrálne- Určitý integrál ako plocha obrazca Tento výraz má iné významy, pozri Integrál (jednoznačné). Integrál funkcie ... Wikipedia - pre funkciu je to súbor všetkých primitívnych prvkov danej funkcie. Ak je funkcia definovaná a spojitá na intervale a jeho primitívnej funkcii, teda na, potom ... Wikipedia

Raz sme išli s otcom autom ďaleko. A to je dobrý dôvod na rozumnú konverzáciu.

Hovoríme o „základných vetách“. Základnou vetou aritmetiky je, že každé celé číslo možno rozložiť na súčin prvočísel, a to jedinečným spôsobom. Základnou vetou algebry je, že polynóm má toľko koreňov, koľko je jeho stupňa (hoci s formuláciami je peklo). A potom mi hlavná teoréma analýzy akosi vyletela z hlavy.

Otec navrhol, že základnou vetou analýzy je Newton-Leibnizova veta. "O čom to je?" Opýtal som sa. Otec: "Nepamätám si presné znenie, ale niečo o tom, že integrácia je operácia inverzná k diferenciácii."

Počkať, nie je to podľa definície?

Ako vždy pri týchto základných teorémoch, to, čo hovoria, sa zdá byť zrejmé, keď ste si tým už prešli. Ale v skutočnosti je to hlavná veta, ktorá nám umožňuje považovať integráciu a diferenciáciu za inverzné operácie. Hlboko protivedecké uvažovanie pôjde ďalej, kde každý matematik nájde 100 500 formálnych chýb, ale to teraz nie je dôležité.

Čo je to diferenciácia? To je, keď nakreslíme dotyčnicu v každom bode funkcie a nájdeme dotyčnicu uhla, pod ktorým prechádza k horizontu, takto:

Teraz, ak je každému bodu priradená nájdená dotyčnica, získa sa nová funkcia, ktorá sa nazýva derivácia. Dovoľte mi pripomenúť, že číslo eže derivácia funkcie e x rovná sa e x, to znamená, že v každom bode sa dotyčnica uhla rovná hodnote samotnej funkcie.

Čo je integrácia? Toto je nájdenie oblasti čísla pod krivkou funkcie ohraničenej nejakými vertikálnymi hranicami a a b a horizontálna os:

Ak vydelíte rastúcim počtom obdĺžnikov a pozriete sa na hranicu súčtu plôch, dostanete iba plochu tohto čísla. Táto oblasť sa nazýva určitý integrál funkcie r = f(x) na segmente [ a; b] a je označený takto:

Úprimne povedané, nie je vôbec zrejmé, že kecy o uhloch a kecy o oblasti sú vo všeobecnosti nejako prepojené.

A takto sú prepojené. Inverzná derivácia funkcie sa nazýva primitívna derivácia. Prvok od f(x) je taká funkcia g(x)že jeho derivát g´(x) = f(x). Napríklad funkcia r = X 2 + 8 derivát r = 2X. Takže pre funkciu r = X funkciu r = (X 2 / 2) + 4 je primitívna.

Je ľahké vidieť, že takýchto funkcií je nekonečné množstvo. Napríklad derivácia funkcie r = X 2 + 28 je tiež r = 2X. Takže pre funkciu r = X funkcia ( X 2 / 2) + 14 je tiež primitívny derivát. Je to logické, pretože derivácia je uhol v každom bode a je prirodzené, že sa nemení v závislosti od výšky, do ktorej vertikálne zdvihneme celý graf funkcie ako celok. Takže pre funkciu X primitívne je X 2/2 plus koľko len chceš.

Ukázalo sa teda, že nájdete oblasť obrázku pod funkciou r = f(x) v rozmedzí od a predtým b, musíte prevziať hodnoty ktoréhokoľvek z jeho primitívnych derivátov g(x) v bodoch b a a a odčítajte jeden od druhého:

Tu g- hoci akýkoľvek, ale stále nejaký jeden primitív, preto bude preň rovnaké „koľko chcete“, budú sa navzájom odpočítavať a neovplyvnia výsledok. Môžete si vziať nejakú jednoduchú funkciu, napr r = 2X, kde sa oblasť bez integrálov dá ľahko vypočítať a skontrolovať. Tvorba!

Tento vzorec sa nazýva základná veta analýzy alebo Newtonova-Leibnizova veta. Ak sa to dokáže, potom už môžeme nález primitívnej integrácie nazvať a diferenciáciu a integráciu vo všeobecnosti považovať za vzájomne inverzné operácie.

§ 5. Hlavná veta analýzy

1. Hlavná veta. Koncept integrácie a do určitej miery aj diferenciácie bol dobre rozvinutý pred prácou Newtona a Leibniza. Ale bolo absolútne nevyhnutné urobiť jeden veľmi jednoduchý objav, aby sa dal impulz pre obrovský vývoj novovytvorenej matematickej analýzy. Ukázalo sa, že dva zdanlivo navzájom nesúvislé obmedzujúce procesy, jeden používaný na diferenciáciu a druhý na integráciu funkcií, spolu úzko súvisia. V skutočnosti sú vzájomné

				spätné operácie,
				dobré pre operácie ako
				sčítanie a odčítanie, smart
				rezanie a delenie. Rozdiel-
				sociálne a integrálne
				čísla sú
				niečo jednotné.
				Veľký úspech New
				tón a Leibniz je
				v tom po prvý raz oni
Ryža. 274. Int hrané ako funkcia top				ale pochopili a použili
				túto hlavnú vetu analýzy
				pozadu. Bezpochyby sú otvorené

kravata ležať n ale priama cesta je vedecký vývoj, a nie je to vôbec prekvapujúce Pozoruhodný rozdiel Títo jednotlivci dospeli nezávisle a takmer súčasne k jasnému pochopeniu vyššie uvedených okolností.

Aby sme mohli presne sformulovať hlavnú vetu, uvažujeme integrál funkcie y = f(x) v rozsahu od konštantného čísla a po číslo x, ktoré budeme považovať za premenné. Aby nedošlo k zámene hornej hranice integrácie x s premennou pod znamienkom integrálu, zapíšeme integrál v nasledujúcom tvare (pozri stranu 428):

F(x)=Z

čím demonštrujeme náš zámer študovať integrál ako funkciu F(x) jeho hornej hranice (obr. 274). Táto funkcia F (x) je plocha pod krivkou y = f(u) z bodu u = a do bodu u = x. Niekedy sa integrál F(x) s premennou hornou hranicou nazýva „neurčitý integrál“.

Hlavná veta analýzy znie takto:

Derivácia neurčitého integrálu (1) vzhľadom na jeho hornú hranicu x sa rovná hodnote funkcie f(u) v bode u = x:

F° (x) = f (x).

HLAVNÁ TEOREM ANALÝZY

Inými slovami, integračný proces vedúci od funkcie f(x) k funkcii F(x) je „zničený“ inverzným procesom diferenciácie aplikovaným na funkciu F(x).

Na intuitívnom základe nie je dôkaz tohto tvrdenia zložitý. Je založená na interpretácii integrálu F(x) ako plochy a bola by zakrytá, keby sme sa pokúsili vykresliť funkciu F(x) a interpretovať deriváciu F0(x) ako zodpovedajúcu strmosť. Ak odhliadneme od predtým zavedenej geometrickej interpretácie derivácie, zachováme geometrickú interpretáciu integrálu F (x) ako plochy a staneme sa analytickou metódou na derivovanie funkcie F (x). Rozdiel

F (x1) − F (x)

je jednoducho plocha pod krivkou y = f(u) medzi limitami u = x1 a u = x (obr. 275), pričom je ľahké pochopiť, že číselná hodnota tejto plochy leží medzi číslami (x1 − x )m a (x1 − x) M:

(x1 − x) m 6 F (x1 ) − F (x) 6 (x1 − x) M,

kde M a m sú najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie f(u) v intervale od u = x do u = x1 . V skutočnosti tieto produkty dávajú plochy dvoch obdĺžnikov, z ktorých jeden obsahuje uvažovanú krivočiaru oblasť a druhý je v nej obsiahnutý.

Ryža. 275. O dôkaze hlavnej vety

to znamená

m 6 F (x1 ) − F (x) 6 M. x1 − x

Predpokladajme, že funkcia f(u) je spojitá, takže keďže x1 smeruje k x, obe veličiny M aj m smerujú k hodnote funkcie f(u) v bode u = x, t.j. k hodnote f(x). V tomto prípade možno zvážiť

468 MATEMATICKÝ ROZBOR Ch. VIII

dokázané, že
F0 (x) = limit	F (x1) − F (x)
x1→x	x1 − x

Intuitívny význam tohto výsledku je, že pri jeho zvyšovaní sa rýchlosť zmeny plochy pod krivkou y = f(x) rovná výške krivky v bode x.

V niektorých príručkách je obsah tejto hlavnej vety nejasný kvôli zle zvolenej terminológii. Totiž, mnohí autori najprv zavedú pojem derivácie a potom definujú „neurčitý integrál“ jednoducho ako výsledok inverznej operácie s ohľadom na deriváciu: hovoria, že funkcia G(x) je neurčitý integrál funkcie f (x) ak

G0 (x) = f(x).

Tento spôsob prezentácie teda priamo spája diferenciáciu so slovom „integrál“. Až neskôr sa zavádza pojem „určitý integrál“, ktorý sa považuje za oblasť alebo ako hranicu postupnosti súčtov a nie je dostatočne zdôraznené, že slovo „integrál“ teraz znamená niečo úplne iné ako predtým. A teraz sa ukazuje, že to najpodstatnejšie, čo je v teórii obsiahnuté, získava len pokradmu – zadnými dvierkami a študent naráža na vážne ťažkosti v úsilí pochopiť podstatu veci. Funkcie G(x), pre ktoré G0 (x) = f(x) radšej nazývame nie „neurčité integrály“, ale primitívne derivácie funkcie f(x). Potom môže byť hlavná veta formulovaná takto:

Funkcia F (x), ktorá je integrálom funkcie f(x) s konštantnou dolnou a premennou hornou hranicou x, je jednou z primitívnych derivácií funkcie f(x).

Hovoríme „jednu z“ primitívnych funkcií z toho dôvodu, že ak je G(x) primitívnou funkciou funkcie f(x), potom je okamžite jasné, že akákoľvek funkcia v tvare H(x) = G(x) + c (c - ľubovoľná konštanta) je tiež primitívna, pretože H0 (x) = G0 (x). Opak je tiež pravdou. Dve primitívne funkcie G(x)

a H(x) sa môžu navzájom líšiť iba konštantným členom. Rozdiel U(x) = G(x) − H(x) má totiž U0 (x) = G0 (x) − H0 (x) = f(x) − f(x) = 0 ako deriváciu, t.j. , To znamená, že tento rozdiel je konštantný, pretože je zrejmé, že ak je graf funkcie v každom jej bode vodorovný, potom samotná funkcia, reprezentovaná grafom, musí byť určite konštantná.

To vedie k veľmi dôležitému pravidlu pre výpočet integrálu medzi a a b - za predpokladu, že poznáme nejakú primitívnu funkciu G(x) funkcie f(x). Podľa nášho hlavného

HLAVNÁ TEOREM ANALÝZY

teorém, funkcia

existuje aj primitívna funkcia funkcie f(x). Takže F(x) =

G(x) + c, kde c je konštanta. Hodnota tejto konštanty bude určená,

ak vezmeme do úvahy, že F (a) = f(u) du = 0. To znamená:

0 = G(a) + c, teda c = −G(a). Potom určitý integrál medzi a a x zhodne spĺňa rovnosť

F (x) = f(u) du = G(x) − G(a);

nahradenie x cez b vedie k vzorcu

f(u) du = G(b) − G(a),

bez ohľadu na to, ktorá z priraďovacích funkcií bola „spustená“. Inými slovami: vypočítať určitú in-

integrál f(x) dx, stačí nájsť funkciu G(x), pre ktorú

roj G0 (x) = f(x) a potom urobte rozdiel G(b) − G(a).

2. Prvé aplikácie. Integrácia funkcií xr , cos x, sin x. arctg x funkcia. Tu nie je možné poskytnúť vyčerpávajúcu predstavu o úlohe hlavnej vety a obmedzíme sa na uvedenie niekoľkých výrazných príkladov. V problémoch mechaniky a fyziky alebo samotnej matematiky je veľmi často potrebné vypočítať číselnú hodnotu nejakého určitého integrálu. Priamy pokus nájsť integrál ako limitu môže byť neprekonateľne ťažký. Na druhej strane, ako sme videli v § 3, akékoľvek rozlišovanie sa vykonáva pomerne jednoducho a je možné bez problémov nahromadiť veľmi veľké množstvo rozlišovacích vzorcov. Každú takúto formulu G0 (x) = f(x), naopak, môžeme považovať za formulu definujúcu primitívnu funkciu G(x) funkcie f(x).

Vzorec (3) umožňuje pomocou známej primitívnej funkcie vypočítať integrál funkcie f(x) v určitom danom intervale.

Ak chceme napríklad nájsť integrály mocnin x2, x3 alebo xn vo všeobecnosti, potom najjednoduchšie je postupovať tak, ako je uvedené v § 1. Podľa vzorca na deriváciu mocniny je derivácia xn nxn−1,

470 MATEMATICKÝ ROZBOR Ch. VIII

teda derivácia funkcie

G(x) = n x
	1 (n 6 = -1)

existuje funkcia

G0 (x) = n n + + 1 1 xn = xn.

xn+1

V tomto prípade je funkcia n + 1 primitívna funkcia

vzhľadom na funkciu f(x) = xn , a preto okamžite dostaneme vzorec

x n dx = G(b) − G(a) = b n+1 − a n+1 . n + 1

Tento argument je neporovnateľne jednoduchší ako ťažkopádny postup priameho výpočtu integrálu ako limity súčtu.

Ako všeobecnejší prípad sme v § 3 zistili, že pre každé racionálne s, kladné aj záporné, sa derivácia funkcie xs rovná sxs−1 , a preto pre s = r + 1 je funkcia

x r+1

má deriváciu f(x) = G0 (x) = xr (predpokladáme, že r 6= −1,

x r+1

to znamená, že s 6 = 0). Takže funkcia r + 1 je priraďovacia funkcia, resp

"neurčitý integrál" xr a dostaneme (pre kladné aab a pre r 6= −1) vzorec

xr dx =	b r+1 − a r+1

Vo vzorci (4) musíme predpokladať, že funkcia xr pod integrálom je definovaná a spojitá v integračnom intervale, takže bod x = 0 musí byť vylúčený, ak r< 0. Вот потому мы и вынуждены допустить, что в этом случае a и b положительны.

Ak dáme G(x) = − cos x, potom dostaneme G0 (x) = sin x, a preto vzniká vzťah

sin xdx = -(cos a - cos 0) = 1 - cos a.

Podobne, ak G(x) = sin x, potom G0 (x) = cos x, a teda

cos xdx \u003d sin a - sin 0 \u003d sin a.

§ 5 HLAVNÁ ANALÝZA 471

Zvlášť zaujímavý výsledok je získaný zo vzorca na diferenciáciu funkcie arctg x:

	Pretože funkcia arctg x je primitívna vzhľadom na funkciu
							1+x2

potom na základe vzorca (3) môžeme písať

arctan b − arctan 0 = Z 0	1 + x2dx.

Ale arctan 0 = 0 (nulová hodnota dotyčnice zodpovedá nulovej hodnote uhla). Takže máme

arctg b = Z 0

1+x2

najmä

význam

dotyčnica,

1, zápas

na 45◦, čo v radiánovej miere zodpovedá

kladie p . Teda my

dostaneme

úžasné

1 + x2dx.

relácie

akej oblasti

harmonogram

1 + x 2 v rozsahu od x = 0 do x =

1 sa rovná štvrtine plochy jednotky

276. Oblasť pod Krížom

žiadny kruh.

v rámci

3. Vzorec

Leibniz

1+x2

vedie

pre p . Najnovší výsledok

z najkrajších

matematické vzorce objavené v 17. storočí – na znamienkovú premennú

na Leibnizovu sériu, ktorá umožňuje vypočítať p:

4 p = 1 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + 9 1 − 11 1 + . . .

+ symbol. . . treba chápať v tom zmysle, že postupnosť konečných „čiastkových súm“ získaná, keď pravá strana

rovnosti, berie sa len n členov súčtu, smeruje k limitu p at

neobmedzené zvýšenie n.

MATEMATICKÁ ANALÝZA

Aby sme dokázali tento pozoruhodný vzorec, stačí si spomenúť na vzorec pre súčet konečnej geometrickej progresie

1 − qn = 1 + q + q2 + . . . + qn-1,

kde "zvyškový člen" Rn je vyjadrený vzorcom

Rn = (-1)n x 2n2.

Rovnosť (8) môže byť integrovaná v rozsahu od 0 do 1. Podľa pravidla a) z § 3 musíme vziať súčet integrálov jednotlivých členov na pravej strane. Na základe (4) to vieme

xm dx =

bm+1

− ráno + 1

najmä dostaneme

xm dx =

odkiaľ, kam

1+x2

1 − 3 +

a následne

− 7

+ . . . + (-1)n-1

2n − 1 + Tn ,

p R0

1+x2

Tn = (

Podľa vzorca (5) je ľavá strana formulára

ly (9) je

rozdiel medzi

a súkromná suma

(−1)n−1

Sn = 1 -

− Sn = Tn . Zostáva dokázať, že Tn má tendenciu k nule ako

zvýšenie n. Máme nerovnosť

x 2n 6 x 2n .

1+x2

Pripomínajúc vzorec (13) § 1, ktorý zakladá nerovnosť

f(x) dx 6 g(x) dx pre f(x) 6 g(x) a< b,

Koncept integrácie a do určitej miery aj diferenciácie bol dobre rozvinutý pred prácou Newtona a Leibniza. Ale bolo absolútne nevyhnutné urobiť jeden veľmi jednoduchý objav, aby sa dal impulz pre obrovský vývoj novovytvorenej matematickej analýzy. Ukázalo sa, že dva zdanlivo navzájom nesúvisiace limitné procesy, jeden používaný na diferenciáciu a druhý na integráciu funkcií, spolu úzko súvisia. V skutočnosti sú to vzájomne inverzné operácie, ako napríklad operácie sčítania a odčítania, násobenia a delenia. Diferenciálny a integrálny počet je jedna vec.

Veľkým úspechom Newtona a Leibniza je, že po prvýkrát jasne pochopili a použili túto základnú vetu analýzy. Ich objav nepochybne ležal v priamej ceste prírodného vedeckého rozvoja a nie je vôbec prekvapujúce, že k jasnému pochopeniu vyššie uvedenej okolnosti dospeli rôzne osoby nezávisle a takmer súčasne.

Ryža. 274. Integrál ako funkcia hornej hranice

Aby sme mohli presne formulovať hlavnú vetu, uvažujeme integrál funkcie v rozsahu od konštantného čísla a po číslo x, ktoré budeme považovať za premenné. Aby nedošlo k zámene hornej hranice integrácie x s premennou vystupujúcou pod znakom integrálu, zapíšeme integrál v nasledujúcom tvare (pozri s. 459):

čím demonštrujeme náš zámer študovať integrál ako funkciu jeho hornej hranice (obr. 274). Táto funkcia je oblasť pod krivkou z bodu do bodu. Niekedy sa integrál s premennou hornou hranicou nazýva „neurčitý integrál“.

Hlavná veta analýzy znie takto: Derivácia neurčitého integrálu (1) vzhľadom na jeho hornú hranicu x sa rovná hodnote funkcie v bode.

Inými slovami, integračný proces vedúci od funkcie k funkcii je „zničený“ inverzným procesom diferenciácie aplikovaným na funkciu.

Ryža. 275. O dôkaze hlavnej vety

Na intuitívnom základe nie je dôkaz tohto tvrdenia zložitý. Je založená na interpretácii integrálu ako plochy a bola by zakrytá, keby sme sa pokúsili vykresliť funkciu a interpretovať deriváciu ako zodpovedajúci sklon. Ak ponecháme bokom predtým stanovenú geometrickú interpretáciu derivácie, zachováme geometrickú interpretáciu integrálu ako plochy a staneme sa analytickou metódou na diferenciáciu funkcie. Rozdiel

pod krivkou je jednoducho plocha medzi limitmi (obr. 275) a nie je ťažké pochopiť, že číselná hodnota tejto plochy je uzavretá medzi číslami

kde sú (resp. najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v intervale od do) Tieto produkty skutočne dávajú plochy dvoch obdĺžnikov, z ktorých jeden obsahuje uvažovanú krivočiaru oblasť a druhý je v nej obsiahnutý.

To znamená:

Predpokladajme, že funkcia je spojitá, takže obe veličiny smerujú k hodnote funkcie

v bode , teda k hodnote V tomto prípade môžeme považovať za preukázané, že

Intuitívny význam tohto výsledku je, že pri jeho zvyšovaní sa rýchlosť zmeny plochy pod krivkou rovná výške krivky v bode x.

V niektorých príručkách je obsah tejto hlavnej vety nejasný kvôli zle zvolenej terminológii. Totiž, mnohí autori najprv zavedú pojem derivácie a potom definujú „neurčitý integrál“ jednoducho ako výsledok operácie inverznej k derivácii: hovoria, že funkcia je neurčitý integrál funkcie, ak

Tento spôsob prezentácie teda priamo spája diferenciáciu so slovom „integrál“. Až neskôr sa zavádza pojem „určitý integrál“, ktorý sa považuje za oblasť alebo ako hranicu postupnosti súčtov a nie je dostatočne zdôraznené, že slovo „integrál“ teraz znamená niečo úplne iné ako predtým. A teraz sa ukazuje, že to najpodstatnejšie, čo je v teórii obsiahnuté, získava len pokradmu – zadnými dvierkami a študent naráža na vážne ťažkosti v úsilí pochopiť podstatu veci. Uprednostňujeme funkcie, pre ktoré nehovoríme „neurčité integrály“, ale primitívne funkcie funkcie. Potom možno hlavnú vetu formulovať takto:

Funkcia, ktorá je integrálom funkcie s konštantnou dolnou a premenlivou hornou hranicou x, je jednou z primitívnych funkcií funkcie.

Hovoríme „jednu z“ primitívnych funkcií z toho dôvodu, že ak je priradenou funkciou, potom je okamžite jasné, že akákoľvek funkcia tvaru (c je ľubovoľná konštanta) je tiež primitívna, pretože aj opačné tvrdenie je pravdivé. Dve primitívne funkcie sa môžu navzájom líšiť iba konštantným členom. Skutočne, rozdiel má ako derivát, t.j. tento rozdiel je konštantný, pretože je zrejmé, že ak je funkcia grafu v každom

Koncept integrácie a do určitej miery aj diferenciácie bol dobre rozvinutý pred prácou Newtona a Leibniza. Ale bolo absolútne nevyhnutné urobiť jeden veľmi jednoduchý objav, aby sa dal impulz pre obrovský vývoj novovytvorenej matematickej analýzy. Ukázalo sa, že dva zdanlivo navzájom nesúvisiace obmedzujúce procesy, jeden používaný na diferenciáciu a druhý na integráciu funkcií, spolu úzko súvisia. V skutočnosti sú to vzájomne inverzné operácie, ako napríklad operácie sčítania a odčítania, násobenia a delenia. Diferenciálny a integrálny počet je jedna vec.

Veľkým úspechom Newtona a Leibniza je, že to prvýkrát jasne rozpoznali a použili hlavná veta analýzy. Ich objav nepochybne ležal v priamej ceste prírodného vedeckého rozvoja a nie je vôbec prekvapujúce, že k jasnému pochopeniu vyššie uvedenej okolnosti dospeli rôzne osoby nezávisle a takmer súčasne.

Aby sme mohli presne formulovať hlavnú vetu, uvažujeme integrál funkcie y=f(x) v rozsahu od konštantného čísla a po číslo x, ktoré budeme považovať za premenné. Aby nedošlo k zámene hornej hranice integrácie x s premennou vystupujúcou pod znamienkom integrálu, zapíšeme integrál v nasledujúcom tvare (pozri s. 435):

čím demonštrujeme náš zámer študovať integrál ako funkciu F(x) jeho hornej hranice (obr. 274). Táto funkcia F(x) je plocha pod krivkou y=f(u) z bodu u = a k veci u=x. Niekedy sa integrál F(x) s premennou hornou hranicou nazýva „neurčitý integrál“.

Hlavná veta analýzy znie takto: Derivácia neurčitého integrálu (1) vzhľadom na jeho hornú hranicu x sa rovná hodnote funkcie f (u) v bode u = x:

F "(x) \u003d f (x).

Inými slovami, integračný proces vedúci od funkcie f(x) k funkcii F(x) je „zničený“ inverzným procesom diferenciácie aplikovaným na funkciu F(x).

Na intuitívnom základe nie je dôkaz tohto tvrdenia zložitý. Je založená na interpretácii integrálu F(x) ako plochy a bola by zakrytá, keby sme sa pokúsili vykresliť funkciu F(x) a interpretovať deriváciu F"(x) ako zodpovedajúcu strmosť. Ak ponecháme bokom predchádzajúce zavedená geometrická interpretácia derivácie, zachováme geometrickú interpretáciu integrálu F (x) ako plochy a funkcia derivácie F (x) sa stane analytickou metódou.

F (x 1) - F (x)

je len oblasť pod krivkou y=f(u) medzi limitmi u = x 1 a u=x(Obr. 275), pričom je ľahké pochopiť, že číselná hodnota tejto oblasti je uzavretá medzi číslami (x 1 - x) m a (x 1 - x) M:

(x 1 - x) m≤ F (x 1) - F (x) ≤ (x 1 - x) M,

kde M a m sú najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie f (u) v intervale od u = x do u = x 1 . V skutočnosti tieto produkty dávajú plochy dvoch obdĺžnikov, z ktorých jeden obsahuje uvažovanú krivočiaru oblasť a druhý je v nej obsiahnutý.

To znamená:

Predpokladajme, že funkcia f (u) je spojitá, takže ako x 1 smeruje k x, obe veličiny M aj m smerujú k hodnote funkcie f (u) v bode u \u003d x, t.j. k hodnote f (x). V tomto prípade to možno považovať za preukázané

Intuitívny význam tohto výsledku je, že ako sa rýchlosť zmeny plochy pod krivkou zvyšuje, y=f(x) rovná výške krivky v bode x.

V niektorých príručkách je obsah tejto hlavnej vety zakrytý zle zvolenou terminológiou. Mnohí autori totiž najskôr zavedú pojem derivácie a potom definujú „neurčitý integrál“ jednoducho ako výsledok operácie inverznej k derivácii: hovoria, že funkcia G (x) je neurčitý integrál funkcie f (x ) ak

G"(x) = f(x).

Tento spôsob prezentácie teda priamo spája diferenciáciu so slovom „integrál“. Až neskôr sa zavádza pojem „určitý integrál“, ktorý sa považuje za oblasť alebo ako hranicu postupnosti súčtov a nie je dostatočne zdôraznené, že slovo „integrál“ teraz znamená niečo úplne iné ako predtým. A teraz sa ukazuje, že to najdôležitejšie, čo je v teórii obsiahnuté, získava len potajomky od zadných dvierok a študent naráža na vážne ťažkosti v úsilí pochopiť podstatu veci. Preferujeme funkcie G(x) pre ktoré G "(x) \u003d f (x), nenazývajte „neurčité integrály“, ale primitívne funkcie z funkcie f(x). Potom môže byť hlavná veta formulovaná takto:

Funkcia F (x), ktorá je integrálom funkcie f (x) s konštantnou dolnou a premenlivou hornou hranicou x, je jednou z primitívnych derivácií funkcie f (x).

Hovoríme „jednu z“ primitívnych funkcií z toho dôvodu, že ak G(x) je priraďovacou funkciou f(x), potom je okamžite jasné, že akákoľvek funkcia tvaru H(x) = G(x) + c(c je ľubovoľná konštanta) je tiež primitívna, keďže H "(x) = G" (x). Opak je tiež pravdou. Dve primitívne funkcie G(x) a H(x) sa môžu navzájom líšiť iba konštantným členom. Skutočne, rozdiel U(x) = G(x) - H(x) má ako derivát U "(x) \u003d G" (x) - H" (x) \u003d f (x) - f (x) \u003d 0, teda tento rozdiel je konštantný, keďže je zrejmé, že ak je graf funkcie v každom jej bode vodorovný, potom aj samotná funkcia, reprezentovaná grafom, musí byť určite konštantná.