Na definičnom obore mocninnej funkcie y = x p platia tieto vzorce:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Vlastnosti mocninných funkcií a ich grafy

Mocninná funkcia s exponentom rovným nule, p = 0

Ak je exponent mocninnej funkcie y = x p rovný nule, p = 0 , potom je mocninná funkcia definovaná pre všetky x ≠ 0 a je konštantná, rovná jednej:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Mocninná funkcia s prirodzeným nepárnym exponentom, p = n = 1, 3, 5, ...

Uvažujme mocninnú funkciu y = x p = x n s prirodzeným nepárnym exponentom n = 1, 3, 5, ... . Takýto indikátor možno zapísať aj ako: n = 2k + 1, kde k = 0, 1, 2, 3, ... je nezáporné celé číslo. Nižšie sú uvedené vlastnosti a grafy takýchto funkcií.

Graf mocninnej funkcie y = x n s prirodzeným nepárnym exponentom pre rôzne hodnoty exponentu n = 1, 3, 5, ... .

doména: -∞ < x < ∞
Viaceré hodnoty: -∞ < y < ∞
Parita: nepárne, y(-x) = - y(x)
Monotónne: zvyšuje monotónne
Extrémy: nie
Konvexné:
pri -∞< x < 0 выпукла вверх
na 0< x < ∞ выпукла вниз
Body zlomu: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Obmedzenia:
;
Súkromné ​​hodnoty:
pri x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pre x = 0, y(0) = 0 n = 0
pre x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrátená funkcia:
pre n = 1 je funkcia inverzná k sebe samej: x = y
pre n ≠ 1 je inverzná funkcia koreňom stupňa n:

Mocninná funkcia s prirodzeným párnym exponentom, p = n = 2, 4, 6, ...

Uvažujme mocninnú funkciu y = x p = x n s prirodzeným párnym exponentom n = 2, 4, 6, ... . Takýto ukazovateľ možno zapísať aj ako: n = 2k, kde k = 1, 2, 3, ... je prirodzené číslo. Vlastnosti a grafy takýchto funkcií sú uvedené nižšie.

Graf mocninnej funkcie y = x n s prirodzeným párnym exponentom pre rôzne hodnoty exponentu n = 2, 4, 6, ... .

doména: -∞ < x < ∞
Viaceré hodnoty: 0 ≤ r< ∞
Parita: párne, y(-x) = y(x)
Monotónne:
pre x ≤ 0 monotónne klesá
pre x ≥ 0 monotónne rastie
Extrémy: minimum, x=0, y=0
Konvexné: konvexné nadol
Body zlomu: nie
Priesečníky so súradnicovými osami: x = 0, y = 0
Obmedzenia:
;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
pre x = 0, y(0) = 0 n = 0
pre x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrátená funkcia:
pre n = 2, druhá odmocnina:
pre n ≠ 2, koreň stupňa n:

Mocninná funkcia s celočíselným záporným exponentom, p = n = -1, -2, -3, ...

Uvažujme mocninnú funkciu y = x p = x n s exponentom celého záporného čísla n = -1, -2, -3, ... . Ak dáme n = -k, kde k = 1, 2, 3, ... je prirodzené číslo, môžeme ho znázorniť ako:

Graf mocninnej funkcie y = x n so záporným celočíselným exponentom pre rôzne hodnoty exponentu n = -1, -2, -3, ... .

Nepárny exponent, n = -1, -3, -5, ...

Nižšie sú uvedené vlastnosti funkcie y = x n s nepárnym záporným exponentom n = -1, -3, -5, ... .

doména: x ≠ 0
Viaceré hodnoty: y ≠ 0
Parita: nepárne, y(-x) = - y(x)
Monotónne: klesá monotónne
Extrémy: nie
Konvexné:
pri x< 0 : выпукла вверх
pre x > 0 : konvexné nadol
Body zlomu: nie
Priesečníky so súradnicovými osami: nie
Znamenie:
pri x< 0, y < 0
pre x > 0, y > 0
Obmedzenia:
; ; ;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrátená funkcia:
pre n = -1,
pre n< -2 ,

Párny exponent, n = -2, -4, -6, ...

Nižšie sú uvedené vlastnosti funkcie y = x n s párnym záporným exponentom n = -2, -4, -6, ... .

doména: x ≠ 0
Viaceré hodnoty: y > 0
Parita: párne, y(-x) = y(x)
Monotónne:
pri x< 0 : монотонно возрастает
pre x > 0 : monotónne klesajúci
Extrémy: nie
Konvexné: konvexné nadol
Body zlomu: nie
Priesečníky so súradnicovými osami: nie
Znamenie: y > 0
Obmedzenia:
; ; ;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrátená funkcia:
pre n = -2,
pre n< -2 ,

Mocninná funkcia s racionálnym (zlomkovým) exponentom

Uvažujme mocninnú funkciu y = x p s racionálnym (zlomkovým) exponentom , kde n je celé číslo, m > 1 je prirodzené číslo. Navyše n, m nemajú spoločných deliteľov.

Menovateľ zlomkového ukazovateľa je nepárny

Nech je menovateľ zlomkového exponentu nepárny: m = 3, 5, 7, ... . V tomto prípade je výkonová funkcia x p definovaná pre kladné aj záporné hodnoty x. Zvážte vlastnosti takých mocninných funkcií, keď je exponent p v určitých medziach.

p je záporné, p< 0

Nech je racionálny exponent (s nepárnym menovateľom m = 3, 5, 7, ... ) menší ako nula: .

Grafy exponenciálnych funkcií s racionálnym záporným exponentom pre rôzne hodnoty exponentu, kde m = 3, 5, 7, ... je nepárne.

Nepárny čitateľ, n = -1, -3, -5, ...

Tu sú vlastnosti mocninnej funkcie y = x p s racionálnym záporným exponentom , kde n = -1, -3, -5, ... je nepárne záporné celé číslo, m = 3, 5, 7 ... je nepárne prirodzené číslo.

doména: x ≠ 0
Viaceré hodnoty: y ≠ 0
Parita: nepárne, y(-x) = - y(x)
Monotónne: klesá monotónne
Extrémy: nie
Konvexné:
pri x< 0 : выпукла вверх
pre x > 0 : konvexné nadol
Body zlomu: nie
Priesečníky so súradnicovými osami: nie
Znamenie:
pri x< 0, y < 0
pre x > 0, y > 0
Obmedzenia:
; ; ;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
pre x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrátená funkcia:

Párny čitateľ, n = -2, -4, -6, ...

Vlastnosti mocninovej funkcie y = x p s racionálnym záporným exponentom, kde n = -2, -4, -6, ... je párne záporné celé číslo, m = 3, 5, 7 ... je nepárne prirodzené číslo .

doména: x ≠ 0
Viaceré hodnoty: y > 0
Parita: párne, y(-x) = y(x)
Monotónne:
pri x< 0 : монотонно возрастает
pre x > 0 : monotónne klesajúci
Extrémy: nie
Konvexné: konvexné nadol
Body zlomu: nie
Priesečníky so súradnicovými osami: nie
Znamenie: y > 0
Obmedzenia:
; ; ;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
pre x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrátená funkcia:

Hodnota p je kladná, menšia ako jedna, 0< p < 1

Graf mocninovej funkcie s racionálnym exponentom (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Nepárny čitateľ, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

doména: -∞ < x < +∞
Viaceré hodnoty: -∞ < y < +∞
Parita: nepárne, y(-x) = - y(x)
Monotónne: zvyšuje monotónne
Extrémy: nie
Konvexné:
pri x< 0 : выпукла вниз
pre x > 0 : konvexné nahor
Body zlomu: x = 0, y = 0
Priesečníky so súradnicovými osami: x = 0, y = 0
Znamenie:
pri x< 0, y < 0
pre x > 0, y > 0
Obmedzenia:
;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = -1, y(-1) = -1
pre x = 0, y(0) = 0
pre x = 1, y(1) = 1
Obrátená funkcia:

Párny čitateľ, n = 2, 4, 6, ...

Prezentované sú vlastnosti mocninnej funkcie y = x p s racionálnym exponentom , ktorý je v rámci 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

doména: -∞ < x < +∞
Viaceré hodnoty: 0 ≤ r< +∞
Parita: párne, y(-x) = y(x)
Monotónne:
pri x< 0 : монотонно убывает
pre x > 0 : monotónne rastúce
Extrémy: minimum pri x = 0, y = 0
Konvexné: konvexné smerom nahor pri x ≠ 0
Body zlomu: nie
Priesečníky so súradnicovými osami: x = 0, y = 0
Znamenie: pre x ≠ 0, y > 0
Obmedzenia:
;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = -1, y(-1) = 1
pre x = 0, y(0) = 0
pre x = 1, y(1) = 1
Obrátená funkcia:

Exponent p je väčší ako jedna, p > 1

Graf mocninnej funkcie s racionálnym exponentom (p > 1 ) pre rôzne hodnoty exponentu, kde m = 3, 5, 7, ... je nepárne.

Nepárny čitateľ, n = 5, 7, 9, ...

Vlastnosti mocninnej funkcie y = x p s racionálnym exponentom väčším ako jedna: . Kde n = 5, 7, 9, ... je nepárne prirodzené číslo, m = 3, 5, 7 ... je nepárne prirodzené číslo.

doména: -∞ < x < ∞
Viaceré hodnoty: -∞ < y < ∞
Parita: nepárne, y(-x) = - y(x)
Monotónne: zvyšuje monotónne
Extrémy: nie
Konvexné:
pri -∞< x < 0 выпукла вверх
na 0< x < ∞ выпукла вниз
Body zlomu: x = 0, y = 0
Priesečníky so súradnicovými osami: x = 0, y = 0
Obmedzenia:
;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = -1, y(-1) = -1
pre x = 0, y(0) = 0
pre x = 1, y(1) = 1
Obrátená funkcia:

Párny čitateľ, n = 4, 6, 8, ...

Vlastnosti mocninnej funkcie y = x p s racionálnym exponentom väčším ako jedna: . Kde n = 4, 6, 8, ... je párne prirodzené číslo, m = 3, 5, 7 ... je nepárne prirodzené číslo.

doména: -∞ < x < ∞
Viaceré hodnoty: 0 ≤ r< ∞
Parita: párne, y(-x) = y(x)
Monotónne:
pri x< 0 монотонно убывает
pre x > 0 monotónne narastá
Extrémy: minimum pri x = 0, y = 0
Konvexné: konvexné nadol
Body zlomu: nie
Priesečníky so súradnicovými osami: x = 0, y = 0
Obmedzenia:
;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = -1, y(-1) = 1
pre x = 0, y(0) = 0
pre x = 1, y(1) = 1
Obrátená funkcia:

Menovateľ zlomkového ukazovateľa je párny

Nech je menovateľ zlomkového exponentu párny: m = 2, 4, 6, ... . V tomto prípade mocninná funkcia x p nie je definovaná pre záporné hodnoty argumentu. Jeho vlastnosti sa zhodujú s vlastnosťami mocninnej funkcie s iracionálnym exponentom (pozri nasledujúcu časť).

Mocninná funkcia s iracionálnym exponentom

Uvažujme mocninnú funkciu y = x p s iracionálnym exponentom p . Vlastnosti takýchto funkcií sa líšia od vlastností uvedených vyššie v tom, že nie sú definované pre záporné hodnoty argumentu x. Pre kladné hodnoty argumentu závisia vlastnosti iba od hodnoty exponentu p a nezávisia od toho, či je p celé číslo, racionálne alebo iracionálne.

y = x p pre rôzne hodnoty exponentu p .

Mocninná funkcia so zápornou p< 0

doména: x > 0
Viaceré hodnoty: y > 0
Monotónne: klesá monotónne
Konvexné: konvexné nadol
Body zlomu: nie
Priesečníky so súradnicovými osami: nie
Obmedzenia: ;
súkromná hodnota: Pre x = 1, y(1) = 1 p = 1

Mocninná funkcia s kladným exponentom p > 0

Indikátor je menší ako jedna 0< p < 1

doména: x ≥ 0
Viaceré hodnoty: y ≥ 0
Monotónne: zvyšuje monotónne
Konvexné: konvexne nahor
Body zlomu: nie
Priesečníky so súradnicovými osami: x = 0, y = 0
Obmedzenia:
Súkromné ​​hodnoty: Pre x = 0, y(0) = 0 p = 0.
Pre x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indikátor je väčší ako jedno p > 1

doména: x ≥ 0
Viaceré hodnoty: y ≥ 0
Monotónne: zvyšuje monotónne
Konvexné: konvexné nadol
Body zlomu: nie
Priesečníky so súradnicovými osami: x = 0, y = 0
Obmedzenia:
Súkromné ​​hodnoty: Pre x = 0, y(0) = 0 p = 0.
Pre x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.

Pozri tiež:

Vybavte si vlastnosti a grafy mocninných funkcií so záporným celočíselným exponentom.

Pre párne n, :

Príklad funkcie:

Všetky grafy takýchto funkcií prechádzajú cez dva pevné body: (1;1), (-1;1). Charakteristickým znakom funkcií tohto typu je ich parita, grafy sú symetrické vzhľadom na os op-y.

Ryža. 1. Graf funkcie

Pre nepárne n:

Príklad funkcie:

Všetky grafy takýchto funkcií prechádzajú cez dva pevné body: (1;1), (-1;-1). Charakteristickým rysom funkcií tohto typu je ich zvláštnosť, grafy sú symetrické vzhľadom na pôvod.

Ryža. 2. Graf funkcií

Pripomeňme si hlavnú definíciu.

Stupeň nezáporného čísla a s racionálnym kladným exponentom sa nazýva číslo.

Stupeň kladného čísla a s racionálnym záporným exponentom sa nazýva číslo.

Pre nasledujúcu rovnosť platí:

Napríklad: ; - výraz neexistuje podľa definície stupňa so záporným racionálnym exponentom; existuje, pretože exponent je celé číslo,

Prejdime k úvahe o mocenských funkciách s racionálnym záporným exponentom.

Napríklad:

Na vykreslenie tejto funkcie môžete vytvoriť tabuľku. Urobíme inak: najprv zostavíme a preštudujeme graf menovateľa - poznáme ho (obrázok 3).

Ryža. 3. Graf funkcie

Graf funkcie menovateľa prechádza pevným bodom (1;1). Pri konštrukcii grafu pôvodnej funkcie zostáva tento bod, keď aj koreň smeruje k nule, funkcia smeruje k nekonečnu. A naopak, keďže x smeruje k nekonečnu, funkcia smeruje k nule (obrázok 4).

Ryža. 4. Graf funkcií

Zvážte ešte jednu funkciu z rodiny skúmaných funkcií.

Je dôležité, že podľa definície

Uvažujme graf funkcie v menovateli: , poznáme graf tejto funkcie, zväčšuje sa v definičnom obore a prechádza bodom (1; 1) (obrázok 5).

Ryža. 5. Graf funkcií

Pri zostavovaní grafu pôvodnej funkcie zostáva bod (1; 1), keď aj koreň smeruje k nule, funkcia smeruje k nekonečnu. A naopak, keďže x smeruje k nekonečnu, funkcia smeruje k nule (obrázok 6).

Ryža. 6. Graf funkcií

Uvažované príklady pomáhajú pochopiť, ako prebieha graf a aké sú vlastnosti skúmanej funkcie - funkcie so záporným racionálnym exponentom.

Grafy funkcií tejto rodiny prechádzajú bodom (1;1), funkcia klesá v celom definičnom obore.

Rozsah funkcie:

Funkcia nie je ohraničená zhora, ale zdola. Funkcia nemá maximálnu ani minimálnu hodnotu.

Funkcia je spojitá, preberá všetky kladné hodnoty od nuly po plus nekonečno.

Konvexná funkcia dole (obrázok 15.7)

Na krivke sa zoberú body A a B, cez ne sa pretiahne úsečka, celá krivka je pod úsečkou, táto podmienka je splnená pre ľubovoľné dva body krivky, preto je funkcia konvexná smerom nadol. Ryža. 7.

Ryža. 7. Konvexnosť funkcie

Je dôležité pochopiť, že funkcie tejto rodiny sú zdola ohraničené nulou, ale nemajú najmenšiu hodnotu.

Príklad 1 - nájdite maximum a minimum funkcie na intervale a zvyšuje sa sX a klesá priX }