Pre a=b=R platí rovnica (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 opisuje kružnicu s polomerom R so stredom v bode O"(x_0,y_0) .

Parametrická rovnica elipsy

Parametrická rovnica elipsy v kanonickom súradnicovom systéme má tvar

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Vskutku, dosadením týchto výrazov do rovnice (3.49) dospejeme k hlavnej trigonometrickej identite \cos^2t+\sin^2t=1 .

Príklad 3.20. nakresliť elipsu \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 v kanonickom súradnicovom systéme Oxy . Nájdite poloosi, ohniskovú vzdialenosť, excentricitu, pomer strán, ohniskový parameter, rovnice smerovej čiary.

rozhodnutie. Porovnaním danej rovnice s kanonickou určíme poloosi: a=2 - hlavná poloos, b=1 - vedľajšia poloos elipsy. Postavíme hlavný obdĺžnik so stranami 2a=4,~2b=2 so stredom v počiatku (obr.3.39). Vzhľadom na symetriu elipsy ju pasujeme do hlavného obdĺžnika. V prípade potreby určíme súradnice niektorých bodov elipsy. Napríklad dosadením x=1 do rovnice elipsy dostaneme

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Preto body so súradnicami \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- patrí do elipsy.

Vypočítajte kompresný pomer k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ohnisková vzdialenosť 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); výstrednosť e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ohniskový parameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Zostavíme priamkové rovnice: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Šípka vľavo~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Definícia 7.1. Množina všetkých bodov v rovine, pre ktoré je súčet vzdialeností dvoch pevných bodov F 1 a F 2 danou konštantou, sa nazýva elipsa.

Definícia elipsy poskytuje nasledujúci spôsob, ako ju geometricky zostrojiť. Na rovine fixujeme dva body F 1 a F 2 a nezápornú konštantnú hodnotu označíme 2a. Nech je vzdialenosť medzi bodmi F 1 a F 2 rovná 2c. Predstavte si, že neroztiahnuteľná niť dĺžky 2a je upevnená napríklad v bodoch F 1 a F 2 pomocou dvoch ihiel. Je jasné, že je to možné len pre a ≥ c. Potiahnutím nite ceruzkou nakreslite čiaru, ktorá bude elipsou (obr. 7.1).

Opísaná množina teda nie je prázdna, ak a ≥ c. Keď a = c, elipsa je segment s koncami F 1 a F 2 a keď c = 0, t.j. ak sa pevné body uvedené v definícii elipsy zhodujú, ide o kružnicu s polomerom a. Ak vynecháme tieto degenerované prípady, budeme ďalej spravidla predpokladať, že a > c > 0.

Pevné body F 1 a F 2 v definícii 7.1 elipsy (pozri obr. 7.1) sú tzv. elipsové triky, vzdialenosť medzi nimi, označená 2c, - ohnisková vzdialenosť, a segmenty F 1 M a F 2 M, spájajúce ľubovoľný bod M na elipse s jej ohniskami, - ohniskové polomery.

Tvar elipsy je úplne určený ohniskovou vzdialenosťou |F 1 F 2 | = 2с a parametrom a, a jeho polohou v rovine - dvojicou bodov F 1 a F 2 .

Z definície elipsy vyplýva, že je symetrická k priamke prechádzajúcej ohniskami F 1 a F 2, ako aj k priamke, ktorá delí úsečku F 1 F 2 na polovicu a je na ňu kolmá (obr. 7.2, a). Tieto riadky sú tzv osi elipsy. Bod O ich priesečníka je stredom symetrie elipsy a je tzv stred elipsy, a priesečníky elipsy s osami symetrie (body A, B, C a D na obr. 7.2, a) - vrcholy elipsy.

Volá sa číslo a hlavná poloos elipsy, a b = √ (a 2 - c 2) - jeho vedľajšia os. Je ľahké vidieť, že pre c > 0 sa hlavná poloos a rovná vzdialenosti od stredu elipsy k tým jej vrcholom, ktoré sú na rovnakej osi ako ohniská elipsy (vrcholy A a B na obr. 7.2, a) a vedľajšia poloos b sa rovná vzdialenosti od stredu elipsy k jej ďalším dvom vrcholom (vrcholy C a D na obr. 7.2, a).

Elipsová rovnica. Uvažujme nejakú elipsu v rovine s ohniskami v bodoch F 1 a F 2, hlavná os 2a. Nech 2c je ohnisková vzdialenosť, 2c = |F 1 F 2 |

V rovine zvolíme pravouhlý súradnicový systém Oxy tak, aby sa jeho počiatok zhodoval so stredom elipsy a ohniská boli na úsečka(obr. 7.2, b). Tento súradnicový systém je tzv kanonický pre uvažovanú elipsu a zodpovedajúce premenné sú kanonický.

Vo vybranom súradnicovom systéme majú ohniská súradnice F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi bodmi zapíšeme podmienku |F 1 M| + |F 2 M| = 2a v súradniciach:

√((x - c) 2 + y 2) + √ ((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7,2)

Táto rovnica je nepohodlná, pretože obsahuje dva štvorcové radikály. Poďme to teda transformovať. Druhý radikál v rovnici (7.2) prenesieme na pravú stranu a umocníme ho:

(x - c) 2 + y2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y2.

Po otvorení zátvoriek a zmenšení podobných výrazov dostaneme

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

kde ε = c/a. Operáciu kvadratúry zopakujeme, aby sme odstránili aj druhý radikál: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, alebo, vzhľadom na hodnotu zadaného parametra ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a2 + y2 = a2-c2. Pretože a 2 - c 2 = b 2 > 0, potom

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Rovnicu (7.4) spĺňajú súradnice všetkých bodov ležiacich na elipse. Ale pri odvodzovaní tejto rovnice boli použité neekvivalentné transformácie pôvodnej rovnice (7.2) - dve kvadratúry, ktoré odstraňujú štvorcové radikály. Umocnenie rovnice je ekvivalentná transformácia, ak obe strany obsahujú veličiny s rovnakým znamienkom, ale to sme pri našich transformáciách nekontrolovali.

Ekvivalenciu transformácií nemusíme kontrolovať, ak vezmeme do úvahy nasledujúce. Dvojica bodov F 1 a F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, v rovine definuje rodinu elips s ohniskami v týchto bodoch. Každý bod roviny, okrem bodov úsečky F 1 F 2 , patrí do niektorej elipsy zadanej rodiny. V tomto prípade sa žiadne dve elipsy nepretínajú, pretože súčet ohniskových polomerov jednoznačne určuje konkrétnu elipsu. Takže opísaná rodina elipsy bez priesečníkov pokrýva celú rovinu, okrem bodov úsečky F 1 F 2 . Uvažujme množinu bodov, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (7.4) s danou hodnotou parametra a. Môže byť táto množina rozdelená medzi niekoľko elips? Niektoré body množiny patria do elipsy s hlavnou polosou a. Nech je v tejto množine bod ležiaci na elipse s hlavnou polosou a. Potom súradnice tohto bodu zodpovedajú rovnici

tie. rovnice (7.4) a (7.5) majú spoločné riešenia. Je však ľahké overiť, že systém

pre ã ≠ a nemá riešenia. Na to stačí vylúčiť napríklad x z prvej rovnice:

čo po transformáciách vedie k rovnici

nemajúce riešenia pre ã ≠ a, pretože . Takže, (7.4) je rovnica elipsy s hlavnou polosou a > 0 a vedľajšou poloosou b = √ (a 2 - c 2) > 0. Je tzv. kanonická rovnica elipsy.

Pohľad na elipsu. Vyššie uvedená geometrická metóda konštrukcie elipsy poskytuje dostatočnú predstavu o vzhľade elipsy. Ale tvar elipsy možno skúmať aj pomocou jej kanonickej rovnice (7.4). Napríklad, ak vezmeme do úvahy y ≥ 0, môžete vyjadriť y pomocou x: y = b√(1 - x 2 /a 2) a po preskúmaní tejto funkcie zostavte jej graf. Existuje aj iný spôsob, ako zostrojiť elipsu. Kruh s polomerom a so stredom v počiatku kanonického súradnicového systému elipsy (7.4) je opísaný rovnicou x 2 + y 2 = a 2 . Ak je stlačený s koeficientom a/b > 1 pozdĺž os y, potom dostanete krivku, ktorá je opísaná rovnicou x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, t.j. elipsa.

Poznámka 7.1. Ak je ten istý kruh stlačený koeficientom a/b

Výstrednosť elipsy. Pomer ohniskovej vzdialenosti elipsy k jej hlavnej osi sa nazýva výstrednosť elipsy a označuje sa ε. Pre danú elipsu

kanonická rovnica (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Ak v (7.4) parametre aab súvisia nerovnicou a

Pre c = 0, keď sa elipsa zmení na kruh, a ε = 0. V ostatných prípadoch 0

Rovnica (7.3) je ekvivalentná s rovnicou (7.4), pretože rovnice (7.4) a (7.2) sú ekvivalentné. Preto (7.3) je tiež elipsová rovnica. Vzťah (7.3) je navyše zaujímavý tým, že dáva jednoduchý bezradikálový vzorec pre dĺžku |F 2 M| jeden z polomerov ohniska bodu M(x; y) elipsy: |F 2 M| = a + εx.

Podobný vzorec pre druhý ohniskový polomer možno získať z úvah o symetrii alebo opakovaním výpočtov, v ktorých sa pred kvadratúrou rovnice (7.2) prvý radikál prenesie na pravú stranu a nie druhý. Takže pre ľubovoľný bod M(x; y) na elipse (pozri obr. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F2M| = a + εx, (7,6)

a každá z týchto rovníc je elipsová rovnica.

Príklad 7.1. Nájdime kanonickú rovnicu elipsy s hlavnou polosou 5 a excentricitou 0,8 a zostrojme ju.

Keď poznáme hlavnú poloosi elipsy a = 5 a excentricitu ε = 0,8, nájdeme jej vedľajšiu poloos b. Pretože b \u003d √ (a 2 - c 2) a c \u003d εa \u003d 4, potom b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Takže kanonická rovnica má tvar x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Na zostrojenie elipsy je vhodné nakresliť obdĺžnik so stredom v počiatku kanonického súradnicového systému, ktorého strany sú rovnobežné s osami symetrie elipsy a rovnajú sa jej zodpovedajúce osi (obr. 7.4). Tento obdĺžnik sa pretína s

osi elipsy v jej vrcholoch A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) a je do nej vpísaná samotná elipsa. Na obr. 7.4 ukazuje aj ohniská F 1.2 (±4; 0) elipsy.

Geometrické vlastnosti elipsy. Prepíšme prvú rovnicu v (7.6) ako |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Všimnite si, že hodnota a / ε - x pre a > c je kladná, pretože ohnisko F 1 nepatrí do elipsy. Táto hodnota je vzdialenosť k zvislej čiare d: x = a/ε od bodu M(x; y) naľavo od tejto čiary. Elipsovú rovnicu možno zapísať ako

|F1M|/(a/ε - x) = ε

To znamená, že táto elipsa pozostáva z tých bodov M (x; y) roviny, pre ktoré je pomer dĺžky ohniskového polomeru F 1 M k vzdialenosti od priamky d konštantnou hodnotou rovnou ε (obr. 7.5).

Čiara d má "dvojitú" - vertikálnu čiaru d", symetrickú k d vzhľadom na stred elipsy, ktorá je daná rovnicou x \u003d -a / ε. Vzhľadom na d je elipsa opísaná rovnakým spôsobom ako v prípade d. Obidve riadky d a d" sa nazývajú elipsové smerové čiary. Smerové čiary elipsy sú kolmé na os symetrie elipsy, na ktorej sa nachádzajú jej ohniská, a sú oddelené od stredu elipsy vzdialenosťou a / ε = a 2 / c (pozri obr. 7.5).

Vzdialenosť p od smerovej čiary k ohnisku, ktoré je k nej najbližšie, sa nazýva ohniskový parameter elipsy. Tento parameter sa rovná

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Elipsa má ešte jednu dôležitú geometrickú vlastnosť: ohniskové polomery F 1 M a F 2 M zvierajú s dotyčnicou k elipse v bode M rovnaké uhly (obr. 7.6).

Táto vlastnosť má jasný fyzikálny význam. Ak je zdroj svetla umiestnený v ohnisku F 1, potom lúč vychádzajúci z tohto ohniska po odraze od elipsy pôjde pozdĺž druhého ohniskového polomeru, pretože po odraze bude v rovnakom uhle ku krivke ako pred odrazom. . Všetky lúče opúšťajúce ohnisko F 1 budú teda sústredené v druhom ohnisku F 2 a naopak. Na základe tohto výkladu sa táto vlastnosť tzv optická vlastnosť elipsy.

Riadky druhého rádu.
Elipsa a jej kanonická rovnica. Kruh

Po dôkladnom preštudovaní rovné čiary v rovine pokračujeme v štúdiu geometrie dvojrozmerného sveta. Stávky sú dvojnásobné a pozývam vás na návštevu malebnej galérie elips, hyperbol, parabol, ktoré sú typickými predstaviteľmi linky druhého rádu. Prehliadka sa už začala a najskôr krátka informácia o celej expozícii na rôznych poschodiach múzea:

Pojem algebraickej priamky a jej poradie

Čiara na rovine sa nazýva algebraické, ak je v afinný súradnicový systém jeho rovnica má tvar , kde je polynóm pozostávajúci z členov tvaru ( je reálne číslo, sú nezáporné celé čísla).

Ako vidíte, rovnica algebraickej priamky neobsahuje sínus, kosínus, logaritmy a iné funkčné beau monde. Iba "x" a "y" v celé číslo nezáporné stupňa.

Poradie riadkov sa rovná maximálnej hodnote výrazov, ktoré sú v ňom zahrnuté.

Podľa zodpovedajúcej vety pojem algebraickej čiary, ako aj jej poradie, nezávisia od výberu afinný súradnicový systém , preto pre jednoduchosť uvažujeme, že všetky nasledujúce výpočty prebiehajú v Kartézske súradnice .

Všeobecná rovnica riadok druhého rádu má tvar , kde sú ľubovoľné reálne čísla (je zvykom písať s násobilkou - "dva") a koeficienty nie sú súčasne rovné nule.

Ak , potom sa rovnica zjednoduší na , a ak koeficienty nie sú súčasne rovné nule, potom je to presne toto všeobecná rovnica „plochej“ priamky , ktorý predstavuje riadok prvého poriadku.

Mnohí pochopili význam nových pojmov, ale napriek tomu, aby sme materiál 100% asimilovali, strčíme prsty do zásuvky. Ak chcete určiť poradie riadkov, opakujte všetky termíny jeho rovnice a pre každú z nich nájsť súčet právomocí prichádzajúce premenné.

Napríklad:

výraz obsahuje „x“ až po 1. stupeň;
výraz obsahuje "Y" na 1. mocnine;
v člene nie sú žiadne premenné, takže súčet ich mocnín je nulový.

Teraz poďme zistiť, prečo rovnica nastavuje čiaru druhý objednať:

pojem obsahuje "x" v 2. stupni;
člen má súčet stupňov premenných: 1 + 1 = 2;
pojem obsahuje "y" v 2. stupni;
všetky ostatné výrazy - menší stupňa.

Maximálna hodnota: 2

Ak k našej rovnici dodatočne pridáme, povedzme, potom to už určí riadok tretieho rádu. Je zrejmé, že všeobecný tvar čiarovej rovnice 3. rádu obsahuje „úplnú množinu“ členov, pričom súčet stupňov premenných sa rovná trom:
, kde koeficienty nie sú súčasne rovné nule.

V prípade, že sa pridá jeden alebo viac vhodných výrazov, ktoré obsahujú , potom sa o tom porozprávame riadky 4. rádu, atď.

S algebraickými čiarami 3., 4. a vyšších rádov sa budeme musieť vysporiadať viackrát, najmä pri oboznamovaní sa s polárny súradnicový systém .

Vráťme sa však k všeobecnej rovnici a pripomeňme si jej najjednoduchšie školské variácie. Príkladmi sú parabola, ktorej rovnica sa dá ľahko zredukovať na všeobecnú formu, a hyperbola s ekvivalentnou rovnicou. Nie všetko je však také hladké....

Významnou nevýhodou všeobecnej rovnice je, že takmer vždy nie je jasné, ktorú čiaru definuje. Ani v tom najjednoduchšom prípade si hneď neuvedomíte, že ide o hyperbolu. Takéto rozloženia sú dobré iba na maškaráde, preto sa v priebehu analytickej geometrie zvažuje typický problém redukcia priamkovej rovnice 2. rádu na kanonickú formu .

Aký je kanonický tvar rovnice?

Toto je všeobecne akceptovaná štandardná forma rovnice, keď je v priebehu niekoľkých sekúnd jasné, aký geometrický objekt definuje. Okrem toho je kanonická forma veľmi vhodná na riešenie mnohých praktických úloh. Teda napríklad podľa kanonickej rovnice „plochý“ rovný , po prvé je okamžite jasné, že ide o priamku, a po druhé, bod, ktorý k nej patrí, a smerový vektor sú jednoducho viditeľné.

Je zrejmé, že akékoľvek riadok 1. poriadku predstavuje priamku. Na druhom poschodí nás už nečaká školník, ale oveľa pestrejšia spoločnosť deviatich sôch:

Klasifikácia línií druhého rádu

Pomocou špeciálneho súboru akcií sa každá riadková rovnica druhého rádu zredukuje na jeden z nasledujúcich typov:

(a sú kladné reálne čísla)

1) je kanonická rovnica elipsy;

2) je kanonická rovnica hyperboly;

3) je kanonická rovnica paraboly;

4) – imaginárny elipsa;

5) - pár pretínajúcich sa čiar;

6) - pár imaginárny pretínajúce sa čiary (s jediným skutočným priesečníkom na začiatku);

7) - pár rovnobežných čiar;

8) - pár imaginárny rovnobežné čiary;

9) je dvojica zhodných čiar.

Niektorí čitatelia môžu mať dojem, že zoznam je neúplný. Napríklad v odseku číslo 7 rovnica nastavuje dvojicu priamy , rovnobežné s osou a vzniká otázka: kde je rovnica, ktorá určuje priamky rovnobežné s osou y? Odpovedz nepovažuje sa za kánonu. Priame čiary predstavujú rovnaký štandardný prípad otočený o 90 stupňov a dodatočný záznam v klasifikácii je nadbytočný, pretože neprináša nič zásadne nové.

Existuje teda deväť a iba deväť rôznych typov liniek 2. rádu, no v praxi sú najbežnejšie elipsa, hyperbola a parabola .

Najprv sa pozrime na elipsu. Ako obvykle sa sústredím na tie body, ktoré majú veľký význam pre riešenie problémov, a ak potrebujete podrobné odvodenie vzorcov, dôkazy viet, pozrite si napríklad učebnicu Bazyleva / Atanasjana alebo Aleksandrova.

Elipsa a jej kanonická rovnica

Pravopis ... prosím neopakujte chyby niektorých používateľov Yandexu, ktorí sa zaujímajú o "ako postaviť elipsu", "rozdiel medzi elipsou a oválom" a "elebov výstrednosť".

Kanonická rovnica elipsy má tvar , kde sú kladné reálne čísla a . Definíciu elipsy sformulujem neskôr, ale zatiaľ je čas dať si pauzu od rozprávania a vyriešiť bežný problém:

Ako postaviť elipsu?

Áno, vezmite si to a nakreslite to. Zadanie je bežné a značná časť študentov sa s kresbou celkom kompetentne nevyrovná:

Príklad 1

Zostrojte elipsu danú rovnicou

rozhodnutie: najprv uvedieme rovnicu do kanonického tvaru:

Prečo priniesť? Jednou z výhod kanonickej rovnice je, že vám umožňuje okamžite určiť vrcholy elipsy, ktoré sú na bodoch . Je ľahké vidieť, že súradnice každého z týchto bodov spĺňajú rovnicu.

V tomto prípade :


Segment čiary volal hlavná os elipsa;
úsečka – vedľajšej osi;
číslo volal hlavná poloos elipsa;
číslo – vedľajšia os.
v našom príklade: .

Aby ste si rýchlo predstavili, ako vyzerá táto alebo tá elipsa, stačí sa pozrieť na hodnoty „a“ ​​a „be“ jej kanonickej rovnice.

Všetko je v poriadku, úhľadné a krásne, ale je tu jedna výhrada: dokončil som kresbu pomocou programu. A môžete kresliť s akoukoľvek aplikáciou. V krutej realite však na stole leží károvaný papier a okolo rúk nám tancujú myši. Ľudia s umeleckým talentom sa samozrejme môžu hádať, ale máte aj myši (aj keď menšie). Nie nadarmo ľudstvo vynašlo pravítko, kružidlo, uhlomer a ďalšie jednoduché zariadenia na kreslenie.

Z tohto dôvodu je nepravdepodobné, že budeme schopní presne nakresliť elipsu, pričom poznáme iba vrcholy. Stále v poriadku, ak je elipsa malá, napríklad s poloosami. Prípadne môžete zmenšiť mierku a podľa toho aj rozmery výkresu. Vo všeobecnosti je však veľmi žiaduce nájsť ďalšie body.

Existujú dva prístupy ku konštrukcii elipsy – geometrický a algebraický. Nemám rád stavanie pomocou kružidla a pravítka kvôli krátkemu algoritmu a značnému neporiadku kresby. V prípade núdze si prosím pozrite učebnicu, ale v skutočnosti je oveľa racionálnejšie použiť nástroje algebry. Z rovnice elipsy na návrhu rýchlo vyjadríme:

Rovnica sa potom rozdelí na dve funkcie:
– definuje horný oblúk elipsy;
– definuje spodný oblúk elipsy.

Elipsa daná kanonickou rovnicou je symetrická vzhľadom na súradnicové osi, ako aj vzhľadom na počiatok. A to je skvelé – symetria je takmer vždy predzvesťou pozornosti. Je zrejmé, že sa stačí zaoberať 1. súradnicovým štvrťrokom, takže potrebujeme funkciu . Navrhuje nájsť ďalšie body pomocou úsečiek . Na kalkulačke sme narazili na tri SMS:

Samozrejme, je tiež príjemné, že ak dôjde k závažnej chybe vo výpočtoch, potom sa to okamžite prejaví počas výstavby.

Označte body na výkrese (červená farba), symetrické body na ostatných oblúkoch (modrá farba) a opatrne spojte celú spoločnosť čiarou:


Počiatočný náčrt je lepšie nakresliť tenko a tenko a až potom zatlačte na ceruzku. Výsledkom by mala byť celkom slušná elipsa. Mimochodom, chceli by ste vedieť, čo je to za krivku?

Definícia elipsy. Ohniská elipsy a excentricita elipsy

Elipsa je špeciálny prípad oválu. Slovo „ovál“ by sa nemalo chápať vo filistínskom zmysle („dieťa nakreslilo ovál“ atď.). Ide o matematický pojem s podrobnou formuláciou. Účelom tejto lekcie nie je uvažovať o teórii oválov a ich rôznych typoch, ktorým sa v štandardnom kurze analytickej geometrie prakticky nevenuje pozornosť. A v súlade s aktuálnejšími potrebami okamžite prejdeme k prísnej definícii elipsy:

Elipsa- je to množina všetkých bodov roviny, súčet vzdialeností ku každému z dvoch daných bodov, tzv. triky elipsa, je konštantná hodnota, ktorá sa číselne rovná dĺžke hlavnej osi tejto elipsy: .
V tomto prípade je vzdialenosť medzi ohniskami menšia ako táto hodnota: .

Teraz to bude jasnejšie:

Predstavte si, že modrá bodka „jazdí“ na elipse. Takže bez ohľadu na to, ktorý bod elipsy vezmeme, súčet dĺžok segmentov bude vždy rovnaký:

Uistime sa, že v našom príklade je hodnota súčtu skutočne rovná ôsmim. V duchu umiestnite bod "em" do pravého vrcholu elipsy, potom: , čo bolo potrebné skontrolovať.

Ďalší spôsob, ako nakresliť elipsu, je založený na definícii elipsy. Vyššia matematika je občas príčinou napätia a stresu, takže je čas na ďalšiu vybíjanú. Vezmite prosím kus papiera alebo veľký hárok kartónu a pripevnite ho na stôl dvoma klincami. To budú triky. Na vyčnievajúce hlavičky nechtov priviažte zelenú niť a ceruzkou ju potiahnite až na doraz. Krk ceruzky bude v určitom bode, ktorý patrí do elipsy. Teraz začnite viesť ceruzku cez list papiera, pričom držte zelenú niť veľmi napnutú. Pokračujte v procese, kým sa nevrátite na východiskový bod ... výborné ... výkres môže lekár odovzdať na overenie učiteľovi =)

Ako nájsť ohnisko elipsy?

Vo vyššie uvedenom príklade som zobrazil „pripravené“ zaostrovacie body a teraz sa naučíme, ako ich extrahovať z hĺbky geometrie.

Ak je elipsa daná kanonickou rovnicou, potom jej ohniská majú súradnice , kde to je vzdialenosť od každého ohniska k stredu symetrie elipsy.

Výpočty sú jednoduchšie ako dusená repa:

! S významom "ce" nie je možné identifikovať konkrétne súradnice trikov! Opakujem, toto je VZDIALENOSŤ od každého ohniska do stredu(ktorý vo všeobecnom prípade nemusí byť umiestnený presne v mieste pôvodu).
A preto ani vzdialenosť medzi ohniskami nemôže byť viazaná na kanonickú polohu elipsy. Inými slovami, elipsu je možné presunúť na iné miesto a hodnota zostane nezmenená, pričom ohniská prirodzene zmenia svoje súradnice. Prosím, majte to na pamäti pri ďalšom skúmaní témy.

Excentricita elipsy a jej geometrický význam

Excentricita elipsy je pomer, ktorý môže nadobúdať hodnoty v rámci .

V našom prípade:

Poďme zistiť, ako závisí tvar elipsy od jej excentricity. Pre to opraviť ľavý a pravý vrchol uvažovanej elipsy, to znamená, že hodnota hlavnej poloosi zostane konštantná. Potom bude mať vzorec excentricity tvar: .

Začnime približovať hodnotu excentricity k jednote. To je možné len vtedy, ak . Čo to znamená? ...pamätné triky . To znamená, že ohniská elipsy sa "rozptýlia" pozdĺž osi x k bočným vrcholom. A keďže „zelené segmenty nie sú gumené“, elipsa sa nevyhnutne začne sploštiť a zmení sa na tenšiu a tenšiu klobásu navlečenú na osi.

teda čím je excentricita elipsy bližšie k jednej, tým je elipsa podlhovastejšia..

Teraz simulujme opačný proces: ohniská elipsy išli k sebe, blížili sa k stredu. To znamená, že hodnota "ce" sa zmenšuje, a preto excentricita smeruje k nule: .
V tomto prípade sa „zelené segmenty“ naopak „preplnia“ a začnú „tlačiť“ líniu elipsy nahor a nadol.

teda čím bližšie je hodnota excentricity k nule, tým viac elipsa vyzerá... pozrite sa na obmedzujúci prípad, keď sa ohniská úspešne zjednotia v pôvodnom bode:

Kruh je špeciálny prípad elipsy

V prípade rovnosti poloosí totiž nadobudne tvar kanonická rovnica elipsy, ktorá sa reflexne transformuje na známu kruhovú rovnicu zo školy so stredom v počiatku polomeru „a“.

V praxi sa častejšie používa zápis s „hovoriacim“ písmenom „er“:. Polomer sa nazýva dĺžka segmentu, pričom každý bod kruhu je vzdialený od stredu o vzdialenosť polomeru.

Všimnite si, že definícia elipsy zostáva úplne správna: ohniská sa zhodujú a súčet dĺžok zhodných segmentov pre každý bod na kruhu je konštantná hodnota. Keďže vzdialenosť medzi ohniskami je excentricita akéhokoľvek kruhu je nulová.

Kruh sa stavia jednoducho a rýchlo, stačí sa vyzbrojiť kompasom. Občas je však potrebné zistiť súradnice niektorých jej bodov, v tomto prípade ideme známou cestou – rovnicu privedieme do veselej Matanovej podoby:

je funkciou horného polkruhu;
je funkciou spodného polkruhu.

Potom nájdeme požadované hodnoty, diferencovateľné , integrovať a robiť iné dobré veci.

Článok je, samozrejme, len orientačný, ale ako sa dá vo svete žiť bez lásky? Kreatívna úloha pre samostatné riešenie

Príklad 2

Napíšte kanonickú rovnicu elipsy, ak je známe jedno z jej ohnísk a vedľajšia os (stred je v počiatku). Nájdite vrcholy, ďalšie body a nakreslite čiaru na výkrese. Vypočítajte excentricitu.

Riešenie a kreslenie na konci hodiny

Pridajme akciu:

Otočte a preložte elipsu

Vráťme sa ku kanonickej rovnici elipsy, totiž k podmienke, ktorej hádanka trápi zvedavé mysle už od prvej zmienky o tejto krivke. Tu sme uvažovali o elipse , ale v praxi nemôže rovnica ? Koniec koncov, aj tu sa zdá byť ako elipsa!

Takáto rovnica je zriedkavá, ale vyskytuje sa. A definuje elipsu. Rozptýlime mystika:

V dôsledku konštrukcie sa získa naša natívna elipsa otočená o 90 stupňov. t.j. - Toto nekanonický záznam elipsa . Záznam!- rovnica neuvádza žiadnu inú elipsu, keďže na osi nie sú žiadne body (ohniská), ktoré by vyhovovali definícii elipsy.