Nech sú dané dve roviny

Prvá rovina má normálový vektor (A 1; B 1; C 1), druhá rovina (A 2; B 2; C 2).

Ak sú roviny rovnobežné, tak vektory a sú kolineárne, t.j. = l pre nejaké číslo l. Takže

─ podmienka rovnobežnosti roviny.

Podmienka zhody lietadiel:

,

keďže v tomto prípade vynásobením druhej rovnice číslom l = dostaneme prvú rovnicu.

Ak nie je splnená podmienka rovnobežnosti, potom sa roviny pretínajú. Najmä ak sú roviny kolmé, potom sú kolmé aj vektory. Preto sa ich skalárny súčin rovná 0, t.j. = 0, alebo

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 \u003d 0.

To je nevyhnutná a postačujúca podmienka, aby roviny boli kolmé.

Uhol medzi dvoma rovinami.

Uhol medzi dvoma rovinami

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

je uhol medzi ich normálovými vektormi a , tak

cosj = =
.

priamka v priestore.

Vektorovo-parametrická rovnica priamky.

Definícia. Smer vektor rovno Volá sa ľubovoľný vektor ležiaci na priamke alebo rovnobežnej s ňou.

Zostavte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom M 0 (x 0; y 0; z 0) so smerovým vektorom = (a 1; a 2; a 3).

Odložte od bodu M 0 vektor . Nech M(x; y; z) je ľubovoľný bod danej priamky a ─ jeho vektor polomeru bodu М 0 . Potom , , Preto . Táto rovnica sa nazýva vektorovo-parametrická rovnica priamky.

Parametrické rovnice priamky.

Vo vektorovo-parametrickej rovnici priamky prejde do súradnicových vzťahov (x; y; z) \u003d (x 0; y 0; z 0) + (a 1; a 2; a 3) t. Odtiaľto sa dostaneme parametrické rovnice priamky

x \u003d x 0 + a 1 t,

y = y 0 + a 2 t, (4)

Kanonické rovnice priamky.

Z rovníc (4) vyjadríme t:

t =, t = , t = ,

kam sa dostaneme kanonické rovnice priamky

= = (5)

Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body.

Nech sú dané dva body M 1 (x 1; y 1; z 1) a M 2 (x 2; y 2; z 2). Ako smerový vektor priamky môžete použiť vektor = (x2 - x 1; y2 - y1; z2 - z 1). Keďže priamka prechádza bodom M 1 (x 1; y 1; z 1), potom jej kanonické rovnice podľa (5) budú zapísané v tvare

(6)

Uhol medzi dvoma čiarami.

Uvažujme dve priamky so smerovými vektormi = (a 1; a 2; a 3) a .

Uhol medzi čiarami sa rovná uhlu medzi ich smerovými vektormi, takže

cosj = =
(7)

Podmienka kolmosti čiar:

a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 = 0.

Stav rovnobežných čiar:

l,

. (8)

Vzájomné usporiadanie čiar v priestore.

Nech sú uvedené dva riadky
a
.

Je zrejmé, že čiary ležia v rovnakej rovine vtedy a len vtedy, ak vektory , a koplanárny, t.j.

= 0 (9)

Ak sú v (9) prvé dva riadky proporcionálne, potom sú čiary rovnobežné. Ak sú všetky tri riadky proporcionálne, potom sa riadky zhodujú. Ak je splnená podmienka (9) a prvé dva riadky nie sú proporcionálne, potom sa čiary pretínajú.

Ak
¹ 0, potom sú čiary zošikmené.

Problémy na priamke a rovine v priestore.

Priamka je priesečník dvoch rovín.

Nech sú dané dve roviny

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

Ak roviny nie sú rovnobežné, podmienka je porušená

.

Nech je napríklad ¹ .

Nájdite rovnicu priamky, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú.

Ako smerový vektor požadovanej priamky môžeme vziať vektor

= × = =
.

Aby sme našli bod patriaci do požadovanej čiary, zafixujeme nejakú hodnotu

z = z 0 a riešenie sústavy

,

dostaneme hodnoty x \u003d x 0, y \u003d y 0. Požadovaný bod je teda M (x 0; y 0; z 0).

Požadovaná rovnica

.

Vzájomné usporiadanie priamky a roviny.

Nech je daná priamka x = x 0 + a 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t

a lietadlo

A 1 x + B 1 y + C1 z + D 1 \u003d 0.

Na nájdenie spoločných bodov priamky a roviny je potrebné vyriešiť sústavu ich rovníc

A1 (x 0 + a 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A1ai + B1a2 + C1a3)t + (Ai x 0 + B1y0 + C1z0 + D1) = 0.

Ak A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 ¹ 0, potom má systém jedinečné riešenie

t = t 0 = -
.

V tomto prípade sa priamka a rovina pretínajú v jednom bode M 1 (x 1; y 1; z 1), kde

x 1 \u003d x 0 + a 1 t 0, y 1 \u003d y 0 + a 2 t 0, z 1 \u003d z 0 + a 3 t 0.

Ak A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 ¹ 0, potom priamka a rovina nemajú spoločné body , t.j. sú paralelné.

Ak A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 \u003d 0, potom čiara patrí do roviny.

Uhol medzi čiarou a rovinou.

Vzájomné usporiadanie rovín v priestore

Pri vzájomnom usporiadaní dvoch rovín v priestore je možný jeden z dvoch vzájomne sa vylučujúcich prípadov.

1. Dve roviny majú spoločný bod. Potom podľa axiómy priesečníka dvoch rovín majú spoločnú priamku. Axióma R5 hovorí: ak majú dve roviny spoločný bod, potom priesečník týchto rovín je ich spoločná priamka. Z tejto axiómy vyplýva, že pre roviny Takéto roviny sa nazývajú pretínajúce sa.

Tieto dve roviny nemajú spoločný bod.

3. Dve roviny sa zhodujú

3. Vektory v rovine a v priestore

Vektor je riadená úsečka. Jeho dĺžka sa považuje za dĺžku segmentu. Ak sú dané dva body M1 (x1, y1, z1) a M2 (x2, y2, z2), potom vektor

Ak sú dané dva vektory a potom

1. Dĺžky vektorov

2. Súčet vektorov:

3. Súčet dvoch vektorov a a b je uhlopriečka rovnobežníka postaveného na týchto vektoroch, vychádzajúceho zo spoločného bodu ich aplikácie (pravidlo rovnobežníka); alebo vektor spájajúci začiatok prvého vektora s koncom posledného - podľa pravidla trojuholníka. Súčet troch vektorov a, b, c je uhlopriečka kvádra postaveného na týchto vektoroch (pravidlo kvádra).

Zvážte:

• 1. Počiatok súradníc je v bode A;
• 2. Strana kocky je jeden segment.
• 3. Os OX smerujeme pozdĺž AB hrany, OY pozdĺž AD hrany a os OZ pozdĺž AA1 hrany.

Pre spodnú rovinu kocky

Def. Dve roviny v priestore sa nazývajú rovnobežné, ak sa nepretínajú, inak sa pretínajú.

Veta 1: Ak sú dve pretínajúce sa priamky jednej roviny rovnobežné s dvomi priamkami inej roviny, potom sú tieto roviny rovnobežné.

dôkaz:

Nech a dostaneme roviny, a1 a a2 - priamky v rovine pretínajúcej sa v bode A, b1 a b2 - priamky s nimi rovnobežné, resp.

lietadlá. Predpokladajme, že roviny a nie sú rovnobežné, t.j. pretínajú pozdĺž nejakej čiary. Podľa vety sú priamky a1 a a2 rovnobežné s priamkami b1 a b2 rovnobežné s rovinou, a preto nie sú

pretínajú priamku c ležiacu v tejto rovine. Bodom A v rovine teda prechádzajú dve priamky (a1 a a2), rovnobežné s priamkou c. Ale to je podľa paralelnej axiómy nemožné. Dospeli sme k rozporu CTD.

Kolmé roviny: Dve pretínajúce sa roviny sa nazývajú kolmé, ak ich tretia rovina, kolmá na priesečník týchto rovín, pretína pozdĺž kolmých čiar.

Veta 2: Ak rovina prechádza priamkou kolmou na inú rovinu, potom sú tieto roviny kolmé.

dôkaz:

Nech je rovina, β je na ňu kolmá priamka, nech je rovina prechádzajúca priamkou β, c je priamka, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú. Dokážme, že roviny a sú kolmé. Narysujme v rovine cez priesečník priamky s rovinou priamku a,

kolmo na priamku. Nakreslíme čiary a a do roviny. Je kolmá na priamku c, pretože priamka c je kolmá na priamky a a b. Keďže priamky a a b sú kolmé, roviny a sú kolmé. h.t.d.

42. Normálna rovnica roviny a jej vlastnosti

Normálna (normalizovaná) rovinná rovnica

vo vektorovej forme:

kde je jednotkový vektor, je vzdialenosť P. od počiatku. Rovnicu (2) možno získať z rovnice (1) vynásobením normalizačným faktorom

(znamenia a opak).

43. Rovnice priamky v priestore: Všeobecné rovnice, kanonické a parametrické rovnice.

Kanonické rovnice:

Odvodíme rovnicu priamky prechádzajúcej daným bodom a rovnobežnej s daným smerovým vektorom. Všimnite si, že bod leží na tejto priamke práve vtedy, ak sú vektory a kolineárne. To znamená, že súradnice týchto vektorov sú proporcionálne:

Tieto rovnice sa nazývajú kanonické. Všimnite si, že jedna alebo dve súradnice smerového vektora môžu byť nulové. Ale vnímame to ako proporciu: chápeme to ako rovnosť.

Všeobecné rovnice:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

Ak koeficienty A1-C1 nie sú úmerné A2-C2, čo je ekvivalentné nastaveniu ako priesečníku rovín

Parametrické:

Odložením z bodových vektorov pre rôzne hodnoty, kolineárne k smerovaciemu vektoru, dostaneme rôzne body našej priamky na konci odložených vektorov. Z rovnosti vyplýva:

Premenná sa nazýva parameter. Pretože pre ktorýkoľvek bod čiary existuje zodpovedajúca hodnota parametra a keďže rôzne body čiary zodpovedajú rôznym hodnotám parametra, medzi hodnotami parametrov a bodmi čiary existuje zhoda jedna ku jednej. . Keď parameter prechádza všetkými reálnymi číslami od do, príslušný bod prechádza celým riadkom.

44. Pojem lineárneho priestoru. Axiómy. Príklady lineárnych priestorov

Príkladom lineárneho priestoru je množina všetkých geometrických vektorov.

Lineárne, alebo vektorpriestor nad ihriskom P- toto je neprázdna sada L, na ktorých sú zavedené operácie

sčítanie, to znamená, že každá dvojica prvkov množiny je spojená s prvkom tej istej množiny, označená ako

násobenie skalárom (teda prvkom poľa P), to znamená, že akýkoľvek prvok a akýkoľvek prvok sa bude zhodovať s prvkom z označeným.

V tomto prípade sú na operáciu kladené tieto podmienky:

Pre akékoľvek ( komutatívnosť sčítania);

Pre akékoľvek ( adičná asociativita);

existuje taký prvok, že pre ľubovoľný ( existencia neutrálneho prvku vzhľadom na sčítanie), najmä L nie prázdny;

pre akékoľvek existuje prvok taký, že (existencia opačného prvku).

(asociativita násobenia skalárom);

(násobenie neutrálnym (násobením) elementom poľaPuloží vektor).

(distributivita násobenia vektorom vzhľadom na sčítanie skalárov);

(distributivita násobenia skalárom vzhľadom na sčítanie vektora).

Nastaviť prvky L volal vektory a prvky poľa P-skaláry. Vlastnosti 1-4 sa zhodujú s axiómami abelovskej skupiny.

Najjednoduchšie vlastnosti

Vektorový priestor je abelovská grupa sčítaním.

Neutrálny prvok je jediný, ktorý vyplýva z vlastností skupiny.

pre hocikoho .

Pretože každý opačný prvok je jediný, ktorý vyplýva z vlastností skupiny.

pre hocikoho .

pre akékoľvek a

pre hocikoho .

Prvky lineárneho priestoru sa nazývajú vektory. Priestor sa nazýva reálny, ak operácia násobenia vektorov číslom v ňom je definovaná len pre reálne čísla, a komplexná, ak je táto operácia definovaná len pre komplexné čísla.

45. Základ a rozmer lineárneho priestoru, súvislosť medzi nimi.

Konečný súčet zobrazenia

sa nazýva lineárna kombinácia prvkov s koeficientmi.

Lineárna kombinácia sa nazýva netriviálna, ak je aspoň jeden z jej koeficientov nenulový.

Prvky sa nazývajú lineárne závislé, ak existuje ich netriviálna lineárna kombinácia rovnajúca sa θ. V opačnom prípade sa tieto prvky nazývajú lineárne nezávislé.

Nekonečná podmnožina vektorov z L sa nazýva lineárne závislá, ak je nejaká jej konečná podmnožina lineárne závislá, a lineárne nezávislá, ak je ktorákoľvek z jej konečných podmnožín lineárne nezávislá.

Počet prvkov (kardinalita) maximálnej lineárne nezávislej podmnožiny priestoru nezávisí od výberu tejto podmnožiny a nazýva sa hodnosť alebo dimenzia priestoru a samotná táto podmnožina sa nazýva základ (Hamelova báza). alebo lineárny základ). Prvky bázy sa tiež nazývajú bázové vektory. Základné vlastnosti:

Ľubovoľných n lineárne nezávislých prvkov n-rozmerného priestoru tvorí základ tohto priestoru.

Akýkoľvek vektor môže byť reprezentovaný (jedinečne) ako konečná lineárna kombinácia základných prvkov:

46. ​​Vektorové súradnice v danom základe. Lineárne operácie s vektormi v súradnicovom tvare

položka 4. Lineárne operácie s vektormi vkoordinovaťformulárzáznamy.

Nech je základný priestor a sú jeho dva ľubovoľné vektory. Dovoliť a byť reprezentácia týchto vektorov v súradnicovej forme. Nech je ďalej ľubovoľné reálne číslo. V týchto zápisoch platí nasledujúca veta.

Veta. (O lineárnych operáciách s vektormi v súradnicovom tvare.)

Nech Ln je ľubovoľný n-rozmerný priestor, B = (e1,….,en) je v ňom pevná báza. Potom každý vektor x patriaci do Ln má v tomto základe vzájomnú zhodu so stĺpcom jeho súradníc.

Video kurz „Get an A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné zloženie skúšky z matematiky o 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 profilu POUŽÍVAJTE v matematike. Vhodné aj na absolvovanie Základného USE v matematike. Ak chcete skúšku zvládnuť s 90-100 bodmi, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani humanista.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Všetky relevantné úlohy časti 1 z úloh Bank of FIPI boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám USE-2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky skúšobných úloh. Textové úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov USE úloh. Stereometria. Prefíkané triky na riešenie, užitočné cheaty, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly - k úlohe 13. Pochopenie namiesto napchávania. Vizuálne vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.

Pre dve roviny sú možné tieto varianty vzájomného usporiadania: sú rovnobežné alebo sa pretínajú v priamke.

Zo stereometrie je známe, že dve roviny sú rovnobežné, ak sú dve priesečníky jednej roviny rovnobežné s dvomi pretínajúcimi sa priamkami inej roviny. Tento stav sa nazýva znak rovnobežných rovín.

Ak sú dve roviny rovnobežné, potom pretínajú niektorú tretiu rovinu pozdĺž rovnobežných čiar. Na základe toho rovnobežné roviny R a Q ich stopy sú rovnobežné priamky (obr. 50).

Keď dve lietadlá R a Q rovnobežne s osou X, ich horizontálne a čelné stopy s ľubovoľným vzájomným usporiadaním rovín budú rovnobežné s osou x, teda vzájomne rovnobežné. V dôsledku toho je za takýchto podmienok rovnobežnosť stôp dostatočným znakom charakterizujúcim rovnobežnosť samotných rovín. Pre rovnobežnosť takýchto rovín sa musíte uistiť, že ich profilové stopy sú tiež rovnobežné. P w a Q w. lietadlá R a Q na obrázku 51 sú rovnobežné a na obrázku 52 nie sú rovnobežné, napriek tomu P v || Q v , a P h y || Q h .

V prípade, že sú roviny rovnobežné, horizontály jednej roviny sú rovnobežné s horizontálami druhej. V tomto prípade musia byť čelá jednej roviny rovnobežné s čelami druhej roviny, pretože tieto roviny majú rovnobežné stopy s rovnakým názvom.

Na zostrojenie dvoch rovín, ktoré sa navzájom pretínajú, je potrebné nájsť priamku, pozdĺž ktorej sa tieto dve roviny pretínajú. Na zostrojenie tejto priamky stačí nájsť dva body, ktoré k nej patria.

Niekedy, keď je rovina daná stopami, je ľahké nájsť tieto body pomocou diagramu a bez dodatočných konštrukcií. Tu je známy smer definovanej priamky a jej konštrukcia je založená na použití jedného bodu na diagrame.

Koniec práce -

Táto téma patrí:

Deskriptívna geometria. Poznámky k prednáške prednáška. O projekciách

Prednáška informácie o projekciách koncept projekcií čítania výkresu .. centrálna projekcia .. predstavu o centrálnej projekcii možno získať štúdiom obrazu, ktorý poskytuje ľudské oko..

Ak potrebujete ďalší materiál k tejto téme, alebo ste nenašli to, čo ste hľadali, odporúčame použiť vyhľadávanie v našej databáze prác:

Čo urobíme s prijatým materiálom:

Ak sa tento materiál ukázal byť pre vás užitočný, môžete si ho uložiť na svoju stránku v sociálnych sieťach:

pípanie

Všetky témy v tejto sekcii:

Pojem projekcie
Deskriptívna geometria je veda, ktorá je teoretickým základom kreslenia. V tejto vede sa študujú metódy zobrazovania rôznych tiel a ich prvkov v rovine.

Paralelná projekcia
Paralelná projekcia je typ projekcie, ktorý využíva paralelné premietacie lúče. Pri konštrukcii paralelných projekcií je potrebné nastaviť

Priemet bodu do dvoch premietacích rovín
Uvažujme priemety bodov do dvoch rovín, pre ktoré zoberieme dve na seba kolmé roviny (obr. 4), ktoré budeme nazývať horizontálne frontálne a roviny. Plochá priesečník údajov

Chýba os projekcie
Aby sme vysvetlili, ako na modeli získať projekcie bodu na kolmé premietacie roviny (obr. 4), je potrebné vziať si kus hrubého papiera vo forme podlhovastého obdĺžnika. Treba to ohnúť medzi

Priemet bodu do troch premietacích rovín
Zvážte profilovú rovinu projekcií. Projekcie na dve na seba kolmé roviny väčšinou určujú polohu postavy a umožňujú zistiť jej skutočné rozmery a tvar. Ale sú chvíle, kedy

Súradnice bodu
Polohu bodu v priestore možno určiť pomocou troch čísel, ktoré sa nazývajú jeho súradnice. Každá súradnica zodpovedá vzdialenosti bodu od nejakej roviny pr

Projekcia priamky
Na definovanie čiary sú potrebné dva body. Bod je definovaný dvoma priemetmi na vodorovnú a prednú rovinu, t. j. priamka sa určí pomocou priemetov jej dvoch bodov na vodorovnú rovinu.

Rovné stopy
Stopa priamky je bod jej priesečníka s nejakou rovinou alebo plochou (obr. 20). Vodorovná stopa čiary je bod H

Rôzne polohy linky
Čiara sa nazýva čiara vo všeobecnej polohe, ak nie je ani rovnobežná, ani kolmá na žiadnu premietaciu rovinu. Priemetne čiary vo všeobecnej polohe tiež nie sú ani rovnobežné, ani kolmé.

Vzájomné usporiadanie dvoch priamych línií
Sú možné tri prípady usporiadania čiar v priestore: 1) čiary sa pretínajú, to znamená, že majú spoločný bod; 2) priamky sú rovnobežné, to znamená, že nemajú spoločný bod, ale ležia v rovnakej rovine

Kolmé čiary
Zvážte vetu: ak je jedna strana pravého uhla rovnobežná s rovinou premietania (alebo v nej leží), potom sa pravý uhol premietne do tejto roviny bez skreslenia. Ponúkame dôkaz pre

Určenie polohy roviny
Pre ľubovoľne umiestnenú premietaciu rovinu jej body vypĺňajú všetky tri premietacie roviny. Preto nemá zmysel hovoriť o projekcii celej roviny, musíte zvážiť iba projekcie

Stopy lietadla
Stopa roviny P je priamka jej priesečníka s danou rovinou alebo plochou (obr. 36). Priamka priesečníka roviny P s vodorovnou rovinou sa nazýva

Rovinné obrysy a čelá
Medzi čiarami, ktoré ležia v určitej rovine, možno rozlíšiť dve triedy čiar, ktoré zohrávajú dôležitú úlohu pri riešení rôznych problémov. Ide o priame čiary, ktoré sa nazývajú horizontály.

Konštrukcia rovinných stôp
Uvažujme konštrukciu stôp roviny P, ktorá je daná dvojicou pretínajúcich sa priamok I a II (obr. 45). Ak je čiara v rovine P, potom jej stopy ležia na stopách rovnakého mena

Rôzne polohy roviny
Rovina vo všeobecnej polohe je rovina, ktorá nie je ani rovnobežná, ani kolmá na žiadnu z projekčných rovín. Stopy takejto roviny tiež nie sú ani rovnobežné, ani kolmé.

Priamka rovnobežná s rovinou
Môže existovať niekoľko polôh priamky vzhľadom na určitú rovinu. 1. Čiara leží v nejakej rovine. 2. Čiara je rovnobežná s nejakou rovinou. 3. Priamy prevod

Priamka, ktorá pretína rovinu
Na nájdenie priesečníka priamky a roviny je potrebné zostrojiť priesečníky dvoch rovín. Uvažujme priamku I a rovinu P (obr. 54).

Hranol a pyramída
Uvažujme rovný hranol, ktorý stojí na vodorovnej rovine (obr. 56). Jej bočné zrná

Valec a kužeľ
Valec je útvar, ktorého povrch sa získa otáčaním priamky m okolo osi i, ktorá sa nachádza v rovnakej rovine s touto priamkou. V prípade, keď je čiara m

Lopta, torus a prsteň
Keď je niektorá os rotácie I priemerom kružnice, získa sa guľová plocha (obr. 66).

Čiary používané pri kreslení
Pri kreslení sa používajú tri hlavné typy čiar (plné, prerušované a prerušované) rôznych hrúbok (obr. 76).

Umiestnenie pohľadov (projekcie)
Pri kreslení sa používa šesť typov, ktoré sú znázornené na obrázku 85. Obrázok znázorňuje priemety písmena „L“.

Odchýlka od vyššie uvedených pravidiel pre usporiadanie pohľadov
V niektorých prípadoch sú povolené odchýlky od pravidiel konštrukcie projekcií. Medzi týmito prípadmi možno rozlíšiť: čiastočné pohľady a pohľady umiestnené bez prepojenia projekcie s inými pohľadmi.

Počet projekcií, ktoré definujú toto teleso
Poloha telies v priestore, tvar a veľkosť sú zvyčajne určené malým počtom vhodne zvolených bodov. Ak pri zobrazovaní projekcie tela dávajte pozor

Otáčanie bodu okolo osi kolmej na rovinu priemetov
Obrázok 91 znázorňuje os rotácie I, ktorá je kolmá na vodorovnú rovinu, a bod A ľubovoľne umiestnený v priestore. Pri rotácii okolo osi I tento bod opisuje

Určenie prirodzenej dĺžky segmentu rotáciou
Segment rovnobežný s akoukoľvek projekčnou rovinou sa naň premieta bez skreslenia. Ak otočíte segment tak, aby bol rovnobežný s jednou z projekčných rovín, môžete definovať

Konštrukciu projekcií rezu je možné vykonať dvoma spôsobmi
1. Môžete nájsť body stretnutia hrán mnohostenu s rovinou rezu a potom spojiť priemetne nájdených bodov. V dôsledku toho sa získajú projekcie požadovaného mnohouholníka. V tomto prípade,

Pyramída
Obrázok 98 zobrazuje priesečník povrchu pyramídy s rovinou čelnej projekcie P. Obrázok 98b zobrazuje čelný priemet a bodu stretnutia rebra KS s rovinou

šikmé rezy
Šikmé rezy sa rozumejú ako súbor úloh na zostavenie prirodzených typov rezov telesa posudzovaných projekčnou rovinou. Na vykonanie šikmej sekcie je potrebné rozobrať

Hyperbola ako rez povrchom kužeľa čelnou rovinou
Nech je potrebné zostrojiť rez plochy kužeľa stojaceho na vodorovnej rovine rovinou P, ktorá je rovnobežná s rovinou V. Obrázok 103 znázorňuje čelnú

Rez povrchu valca
Existujú nasledujúce prípady rezu plochy pravého kruhového valca rovinou: 1) kruh, ak je rovina sečnice P kolmá na os valca a je rovnobežná so základňami.

Rez povrchu kužeľa
Vo všeobecnom prípade zahŕňa kruhová kužeľová plocha dve úplne identické dutiny, ktoré majú spoločný vrchol (obr. 107c). Generátory jednej dutiny sú pokračovaním

Časť povrchu lopty
Akákoľvek časť povrchu gule rovinou je kružnica, ktorá sa premieta bez skreslenia iba vtedy, ak je rovina rezu rovnobežná s rovinou priemetov. Vo všeobecnom prípade my

šikmé rezy
Nech je potrebné zostrojiť prirodzený pohľad na rez čelne vyčnievajúcou rovinou telesa. Obrázok 110a uvažuje teleso ohraničené tromi valcovými plochami (1, 3 a 6), plocha

Pyramída
Ak chcete nájsť stopy priamky na povrchu nejakého geometrického telesa, musíte kresliť cez priamu pomocnú rovinu a potom nájsť rez povrchu telesa touto rovinou. Želané bude

Valcová špirála
Vytvorenie špirály. Zoberme si obrázok 113a, kde sa bod M pohybuje rovnomerne pozdĺž určitej kružnice, ktorá je rezom kruhového valca rovinou P. Tu je táto rovina

Dve telesá revolúcie
Metóda kreslenia pomocných rovín sa používa pri konštrukcii priesečníka plôch dvoch rotačných telies. Podstata tejto metódy je nasledovná. Vykonajte pomocnú rovinu

Sekcie
Existuje niekoľko definícií a pravidiel, ktoré sa vzťahujú na sekcie. Úsek je plochý obrazec, ktorý bol získaný ako výsledok priesečníka daného telesa s niektorými

škrty
Definície a pravidlá, ktoré platia pre strihy. Rez je taký podmienený obraz objektu, keď sa jeho časť nachádza medzi okom pozorovateľa a rovinou rezu

Čiastočné prerezanie alebo roztrhnutie
Rez sa nazýva úplný, ak je zobrazený predmet orezaný celý, zostávajúce rezy sa nazývajú čiastočné alebo rezy. Na obrázku 120 sú v ľavom pohľade a v pláne urobené plné rezy. účes