Cvičenie. Body A (2.1), B (1.-2), C (-1.0) sú vrcholy trojuholníka ABC.
a) Nájdite rovnice strán trojuholníka ABC.
b) Nájdite rovnicu jedného z mediánov trojuholníka ABC.
c) Nájdite rovnicu pre jednu z výšok trojuholníka ABC.
d) Nájdite rovnicu jednej z priesečníkov trojuholníka ABC.
e) Nájdite oblasť trojuholníka ABC.

Riešenie urobte to pomocou kalkulačky.
Súradnice trojuholníka sú uvedené: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Vektorové súradnice
Súradnice vektorov nájdeme podľa vzorca:
X = xj-xi; Y = y j - y i

Napríklad pre vektor AB

X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Moduly vektorov

3) Uhol medzi rovnými čiarami
Uhol medzi vektormi a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) možno nájsť podľa vzorca:

kde a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Nájdite uhol medzi stranami AB a AC

γ = arccos(0,6) = 53,13 0
4) Vektorová projekcia
Vektorová projekcia b na vektor a možno nájsť pomocou vzorca:

Nájdite priemet vektora AB na vektor AC

5) Oblasť trojuholníka



Riešenie


Podľa vzorca dostaneme:

6) Rozdelenie segmentu v tomto smere
Vektor polomeru r bodu A, ktorý delí segment AB vo vzťahu k AA:AB = m 1:m 2 , je určený vzorcom:

Súradnice bodu A nájdeme podľa vzorca:




Stredná rovnica trojuholníka
Stred strany BC označíme písmenom M. Súradnice bodu M potom nájdeme podľa vzorcov na delenie úsečky na polovicu.


M(0;-1)
Rovnicu pre medián AM nájdeme pomocou vzorca pre rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva dané body. Medián AM prechádza bodmi A(2;1) a M(0;-1), preto:

alebo

alebo
y=x-1 alebo y-x+1=0
7) Rovnica s priamkou


Rovnica priamky AB

alebo

alebo
y = 3x -5 alebo y -3x +5 = 0
Line AC rovnica

alebo

alebo
y = 1/3 x + 1/3 alebo 3y-x-1 = 0
Rovnica priamky BC

alebo

alebo
y = -x-1 alebo y + x +1 = 0
8) Dĺžka výšky trojuholníka nakresleného z vrcholu A
Vzdialenosť d od bodu M 1 (x 1; y 1) k priamke Ax + By + C \u003d 0 sa rovná absolútnej hodnote množstva:

Nájdite vzdialenosť medzi bodom A(2;1) a priamkou BC (y + x +1 = 0)

9) Výšková rovnica cez vrchol C
Priamka prechádzajúca bodom M 0 (x 0 ;y 0) a kolmá na priamku Ax + By + C = 0 má smerový vektor (A;B), a preto je reprezentovaná rovnicami:


Túto rovnicu možno nájsť aj iným spôsobom. Na tento účel nájdeme sklon k 1 priamky AB.
Rovnica AB: y = 3x -5 t.j. k1 = 3
Nájdite sklon k kolmici z podmienky kolmosti dvoch priamok: k 1 *k = -1.
Ak namiesto k 1 nahradíme sklon tejto priamky, dostaneme:
3k = -1, odkiaľ k = -1/3
Keďže kolmica prechádza bodom C(-1,0) a má k = -1 / 3, budeme hľadať jej rovnicu v tvare: y-y 0 = k(x-x 0).
Nahradením x 0 \u003d -1, k \u003d -1 / 3, y 0 \u003d 0 dostaneme:
y-0 = -1/3 (x-(-1))
alebo
y = -1/3 x - 1/3
Rovnica osy trojuholníka
Nájdite priesečník uhla A. Priesečník priesečníka so stranou BC označíme M.
Použime vzorec:

AB rovnica: y -3x +5 = 0, rovnica AC: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Osa rozdelí uhol na polovicu, teda uhol NAK ≈ 26,5 0
Tangenta sklonu AB je 3 (pretože y -3x +5 = 0). Uhol sklonu je 72
^NKA≈ 180 0 – 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26,5 0) ≈ 45,5 0
tg(45,50) = 1
Osa prechádza bodom A(2,1), pomocou vzorca máme:
y – y 0 \u003d k (x – x 0)
y – 1 = 1 (x – 2)
alebo
y=x-1
Stiahnuť ▼

Príklad. Súradnice vrcholov trojuholníka ABC sú dané: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Vyžaduje sa: 1) vypočítajte dĺžku strany BC; 2) zostavte rovnicu pre stranu BC; 3) nájdite vnútorný uhol trojuholníka vo vrchole B; 4) vytvorte rovnicu pre výšku AK nakreslenú z vrcholu A; 5) nájdite súradnice ťažiska homogénneho trojuholníka (priesečník jeho mediánov); 6) urobte výkres v súradnicovom systéme.

Cvičenie. Dané súradnice vrcholov trojuholníka ABC: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Požadovaný:

1. napíšte rovnicu pre medián nakreslenú z vrcholu B a vypočítajte jeho dĺžku.
2. napíšte rovnicu pre výšku nakreslenú z vrcholu A a vypočítajte jej dĺžku.
3. nájdite kosínus vnútorného uhla B trojuholníka ABC.

Urobte si kresbu.

Stiahnite si riešenie

Príklad č. 3. Sú dané vrcholy A(1;1), B(7;4), C(4;5) trojuholníka. Nájdite: 1) dĺžku strany AB; 2) vnútorný uhol A v radiánoch s presnosťou 0,001. Urobte si kresbu.
Stiahnuť ▼

Príklad č. 4. Sú dané vrcholy A(1;1), B(7;4), C(4;5) trojuholníka. Nájdite: 1) rovnicu výšky nakreslenej cez vrchol C ; 2) rovnica mediánu vedená cez vrchol C; 3) priesečník výšok trojuholníka; 4) dĺžka výšky zníženej od vrcholu C. Urobte nákres.
Stiahnuť ▼

Príklad č. 5. Vrcholy trojuholníka ABC sú dané: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Určte: 1) dĺžku strany AB; 2) rovnica strán AB a AC a ich sklony; 3) oblasť trojuholníka.

Súradnice vektorov zistíme podľa vzorca: X = x j - x i ; Y = y j - y i
tu X,Y súradnice vektora; x i , y i - súradnice bodu A i ; x j , y j - súradnice bodu A j
Napríklad pre vektor AB
X \u003d x 2 – x 1; Y = y2 - y1
X = 7-(-5) = 12; Y = -9-0 = -9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Dĺžka strán trojuholníka
Dĺžka vektora a(X;Y) je vyjadrená v súradniciach podľa vzorca:


Oblasť trojuholníka
Nech sú body A 1 (x 1; y 1), A 2 (x 2; y 2), A 3 (x 3; y 3) vrcholmi trojuholníka, potom jeho obsah vyjadruje vzorec:

Na pravej strane je determinant druhého rádu. Oblasť trojuholníka je vždy kladná.
Riešenie. Ak vezmeme A ako prvý vrchol, nájdeme:

Podľa vzorca dostaneme:

Rovnica priamky
Priamku prechádzajúcu bodmi A 1 (x 1; y 1) a A 2 (x 2; y 2) znázorňujú rovnice:

Rovnica priamky AB
Kanonická rovnica priamky:

alebo

alebo
y = -3 / 4 x -15 / 4 alebo 4 roky + 3 x +15 = 0
Sklon priamky AB je k = -3 / 4
Line AC rovnica

alebo

alebo
y = 13 / 16x + 65 / 16 alebo 16 rokov -13x - 65 = 0
Sklon priamky AB je k = 13/16

Cvičenie. Dané súradnice vrcholov pyramídy ABCD. Požadovaný:

1. Napíšte vektory do systému ort a nájdite moduly týchto vektorov.
2. Nájdite uhol medzi vektormi.
3. Nájdite projekciu vektora na vektor.
4. Nájdite oblasť tváre ABC.
5. Nájdite objem pyramídy ABCD.

Riešenie
Príklad #1
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0,-1,-2), A 4 (-2,3,-1): Príklad č. 2
A 1 (5.2.1), A 2 (-3.9.3), A 3 (-1.3.5), A 4 (-1,-5.2): Príklad č. 3
A1 (-1,0,2), A2 (-2,0,6), A3 (-3,1,2), A4 (-1,2,4): Príklad #4

Cvičenie. Nájdite ostrý uhol medzi priamkami x + y -5 = 0 a x + 4y - 8 = 0 .
Odporúčania na riešenie. Problém je vyriešený pomocou služby Uhol medzi dvoma čiarami.
Odpoveď: 30,96o

Príklad #1. Sú uvedené súradnice bodov A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1). Nájdite dĺžku hrany A1A2. Napíšte rovnicu pre hranu A1A4 a plochu A1A2A3. Napíšte rovnicu pre výšku spadnutú z bodu A4 do roviny A1A2A3. Nájdite oblasť trojuholníka A1A2A3. Nájdite objem trojuholníkovej pyramídy A1A2A3A4.

Súradnice vektorov zistíme podľa vzorca: X = x j - x i ; Y = yj-yi; Z = z j - z i
tu X,Y,Z súradnice vektora; x i , y i , z i - súradnice bodu A i ; x j , y j , z j - súradnice bodu A j ;
Takže pre vektor A 1 A 2 budú nasledovné:
X \u003d x 2 – x 1; Y \u003d y 2 - y 1; Z \u003d z 2 – z 1
X = 2-1; Y = 1 až 0; Z = 1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
Dĺžka vektora a(X;Y;Z) je vyjadrená v súradniciach podľa vzorca:

Úloha 1. Súradnice vrcholov trojuholníka ABC sú dané: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Nájdite: 1) dĺžku strany AB; 2) rovnice strán AB a BC a ich sklony; 3) uhol B v radiánoch s presnosťou na dve desatinné miesta; 4) rovnica výšky CD a jej dĺžky; 5) rovnica mediánu AE a súradnice bodu K priesečníka tohto mediánu s výškou CD; 6) rovnica priamky prechádzajúcej bodom K rovnobežne so stranou AB; 7) súradnice bodu M, umiestneného symetricky k bodu A vzhľadom na priamku CD.

Riešenie:

1. Vzdialenosť d medzi bodmi A(x 1 ,y 1) a B(x 2 ,y 2) je určená vzorcom

Použitím (1) nájdeme dĺžku strany AB:

2. Rovnica priamky prechádzajúcej bodmi A (x 1, y 1) a B (x 2, y 2) má tvar

(2)

Dosadením súradníc bodov A a B do (2) dostaneme rovnicu strany AB:

Po vyriešení poslednej rovnice pre y nájdeme rovnicu strany AB vo forme rovnej priamky so sklonom:

kde

Dosadením súradníc bodov B a C do (2) dostaneme rovnicu priamky BC:

Alebo

3. Je známe, že dotyčnica uhla medzi dvoma priamkami, ktorých uhlové koeficienty sú rovnaké, sa vypočíta podľa vzorca

(3)

Požadovaný uhol B tvoria priamky AB a BC, ktorých uhlové koeficienty nájdeme: Aplikovaním (3) dostaneme

Alebo rád.

4. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere má tvar

(4)

Výška CD je kolmá na stranu AB. Na zistenie sklonu výšky CD použijeme podmienku kolmosti čiar. Odvtedy Dosadením do (4) súradníc bodu C a zisteného uhlového koeficientu výšky dostaneme

Pre zistenie dĺžky výšky CD najprv určíme súradnice bodu D - priesečníka priamok AB a CD. Spoločné riešenie systému:

Nájsť tie. D(8;0).

Pomocou vzorca (1) zistíme dĺžku CD výšky:

5. Aby sme našli rovnicu pre medián AE, najprv určíme súradnice bodu E, ktorý je stredom strany BC, pomocou vzorcov na rozdelenie segmentu na dve rovnaké časti:

(5)

teda

Dosadením súradníc bodov A a E do (2) nájdeme strednú rovnicu:

Aby sme našli súradnice priesečníka výšky CD a mediánu AE, spoločne riešime sústavu rovníc

nachádzame .

6. Keďže požadovaná čiara je rovnobežná so stranou AB, jej sklon sa bude rovnať sklonu čiary AB. Dosadením do (4) súradníc nájdeného bodu K a sklonu, ktorý dostaneme

3x + 4r - 49 = 0 (KF)

7. Keďže priamka AB je kolmá na priamku CD, požadovaný bod M, ktorý sa nachádza symetricky k bodu A vzhľadom na priamku CD, leží na priamke AB. Okrem toho bod D je stredom segmentu AM. Použitím vzorcov (5) nájdeme súradnice požadovaného bodu M:

Trojuholník ABC, nadmorská výška CD, medián AE, čiara KF a bod M sú postavené v súradnicovom systéme xOy na obr. 1.

Úloha 2. Zostavte rovnicu pre umiestnenie bodov, ktorých pomer vzdialeností k danému bodu A (4; 0) a k danej priamke x \u003d 1 sa rovná 2.

Riešenie:

V súradnicovom systéme xOy zostrojíme bod A(4;0) a priamku x = 1. Nech M(x;y) je ľubovoľný bod požadovaného lokusu bodov. Pustime kolmicu MB na danú priamku x = 1 a určíme súradnice bodu B. Keďže bod B leží na danej priamke, jeho súradnica sa rovná 1. Súradnica bodu B sa rovná poradnici bodu M. Preto B(1; y) (obr. 2).

Podľa stavu problému |MA|: |MV| = 2. Vzdialenosti |MA| a |MB| zistíme podľa vzorca (1) problému 1:

Umocnením ľavej a pravej strany dostaneme

alebo

Výsledná rovnica je hyperbola, v ktorej skutočná poloos je a = 2 a imaginárna poloos je

Definujme ohniská hyperboly. Pre hyperbolu je rovnosť splnená.Preto a sú ohniská hyperboly. Ako vidíte, daný bod A(4;0) je správnym ohniskom hyperboly.

Určme excentricitu výslednej hyperboly:

Asymptotné rovnice hyperboly majú tvar a . Preto alebo a sú asymptoty hyperboly. Pred zostrojením hyperboly zostrojíme jej asymptoty.

Úloha 3. Zostavte rovnicu pre polohu bodov rovnako vzdialených od bodu A (4; 3) a priamky y \u003d 1. Zredukujte výslednú rovnicu na najjednoduchší tvar.

Riešenie: Nech M(x; y) je jeden z bodov požadovaného lokusu bodov. Klesneme kolmicu MB z bodu M na danú priamku y = 1 (obr. 3). Určme súradnice bodu B. Je zrejmé, že úsečka bodu B sa rovná úsečke bodu M a ordináta bodu B je 1, teda B (x; 1). Podľa stavu problému |MA|=|MV|. Preto pre každý bod M (x; y), ktorý patrí do požadovaného lokusu bodov, platí rovnosť:

Výsledná rovnica definuje parabolu s vrcholom v bode Aby sme rovnicu paraboly zredukovali na jej najjednoduchší tvar, nastavíme a y + 2 = Y, potom rovnica paraboly nadobudne tvar:

Ako sa naučiť riešiť problémy v analytickej geometrii?
Typický problém s trojuholníkom v rovine

Táto lekcia bola vytvorená o priblížení sa k rovníku medzi geometriou roviny a geometriou priestoru. V súčasnosti je potrebné systematizovať nahromadené informácie a odpovedať na veľmi dôležitú otázku: ako sa naučiť riešiť problémy v analytickej geometrii?Ťažkosť spočíva v tom, že v geometrii existuje nekonečné množstvo problémov a žiadna učebnica nemôže obsahovať všetky príklady. Nie je derivácia funkcie s piatimi pravidlami diferenciácie, tabuľkou a niekoľkými technikami...

Existuje riešenie! Nebudem hovoriť nahlas, že som vyvinul nejakú grandióznu techniku, ale podľa môjho názoru existuje efektívny prístup k uvažovanému problému, ktorý umožňuje aj s plnou kanvicou dosiahnuť dobré a vynikajúce výsledky. Prinajmenšom sa v mojej hlave veľmi jasne formoval všeobecný algoritmus na riešenie geometrických problémov.

ČO POTREBUJETE VEDIEŤ A SCHOPNIŤ
úspešne riešiť problémy v geometrii?

Z toho sa nedá ujsť - aby ste si náhodne nestrkali gombíky nosom, musíte ovládať základy analytickej geometrie. Preto, ak ste práve začali študovať geometriu alebo ste ju úplne zabudli, začnite s lekciou Vektory pre figuríny. Okrem vektorov a akcií s nimi musíte poznať základné pojmy rovinnej geometrie, najmä rovnica priamky v rovine A . Geometria priestoru je reprezentovaná článkami Rovinná rovnica, Rovnice priamky v priestore, Základné úlohy na priamke a rovine a niektoré ďalšie lekcie. Zakrivené línie a priestorové plochy druhého rádu stoja trochu od seba a nie je s nimi toľko špecifických problémov.

Predpokladajme, že študent už má základné vedomosti a zručnosti pri riešení najjednoduchších problémov analytickej geometrie. Ale stane sa to takto: prečítate si stav problému a ... chcete celú vec úplne uzavrieť, hodiť ju do vzdialeného kúta a zabudnúť na ňu ako na nočnú moru. Navyše to zásadne nezávisí od úrovne vašej kvalifikácie, sám sa z času na čas stretávam s úlohami, pri ktorých riešenie nie je zrejmé. Ako postupovať v takýchto prípadoch? Netreba sa báť úlohy, ktorej nerozumiete!

Po prvé, by mala byť nastavená na je to "rovinný" alebo priestorový problém? Napríklad, ak sa v podmienke objavia vektory s dvoma súradnicami, potom je to, samozrejme, geometria roviny. A ak učiteľ naložil vďačnému poslucháčovi pyramídu, tak je tu jednoznačne geometria priestoru. Výsledky prvého kroku sú už celkom dobré, pretože sa nám podarilo odrezať obrovské množstvo informácií nepotrebných pre túto úlohu!

Po druhé. Podmienka sa vás spravidla týka nejakého geometrického útvaru. Naozaj, prejdite sa po chodbách svojej rodnej univerzity a uvidíte veľa úzkostných tvárí.

V „plochých“ problémoch, nehovoriac o zjavných bodoch a líniách, je najobľúbenejšou postavou trojuholník. Budeme to analyzovať veľmi podrobne. Nasleduje rovnobežník a obdĺžnik, štvorec, kosoštvorec, kruh a iné postavy sú oveľa menej bežné.

V priestorových úlohách môžu lietať rovnaké ploché postavy + samotné lietadlá a bežné trojuholníkové pyramídy s rovnobežnostenami.

Otázka druhá - Viete všetko o tejto postave? Predpokladajme, že podmienka je o rovnoramennom trojuholníku a veľmi matne si pamätáte, o aký trojuholník ide. Otvárame školskú učebnicu a čítame o rovnoramennom trojuholníku. Čo robiť ... doktor povedal kosoštvorec, takže kosoštvorec. Analytická geometria je analytická geometria, ale problém pomôže vyriešiť geometrické vlastnosti samotných postáv nám známe zo školských osnov. Ak neviete, aký je súčet uhlov trojuholníka, môžete dlho trpieť.

Po tretie. VŽDY sa snažte postupovať podľa plánu(na prievan / čistý / duševne), aj keď to podmienka nevyžaduje. Sám Euklides pri „plochých“ úlohách nariadil vziať si pravítko s ceruzkou do ruky – a to nielen kvôli pochopeniu stavu, ale aj kvôli samotestovaniu. V tomto prípade je najvhodnejšia mierka 1 jednotka = 1 cm (2 bunky tetrády). Nehovorme o nedbalých študentoch a matematikoch, ktorí sa točia v hroboch – v takýchto problémoch je takmer nemožné urobiť chybu. Pre priestorové úlohy vykonávame schematický výkres, ktorý tiež pomôže analyzovať stav.

Výkres alebo schematický výkres často okamžite umožňuje vidieť spôsob riešenia problému. Samozrejme, na to potrebujete poznať základy geometrie a rezať vlastnosti geometrických tvarov (pozri predchádzajúci odsek).

štvrtý. Vývoj algoritmu riešenia. Mnohé geometrické úlohy sú viacpriechodové, preto je veľmi vhodné rozdeliť riešenie a jeho návrh na body. Algoritmus vám často príde na myseľ po prečítaní podmienky alebo dokončení výkresu. V prípade ťažkostí začíname OTÁZKOU problému. Napríklad podľa podmienky „je potrebné postaviť priamku ...“. Tu je najlogickejšia otázka: „Čo stačí vedieť na vybudovanie tejto linky?“. Predpokladajme, že "poznáme bod, potrebujeme poznať smerový vektor." Kladieme si nasledujúcu otázku: „Ako nájsť tento smerový vektor? Kde?" atď.

Niekedy je tam "zástrčka" - úloha nie je vyriešená a to je všetko. Dôvody pre zátku môžu byť nasledovné:

- Vážna medzera v základných vedomostiach. Inými slovami, neviete alebo (a) nevidíte veľmi jednoduchú vec.

- Neznalosť vlastností geometrických útvarov.

- Úloha bola náročná. Áno, stáva sa. Nemá zmysel celé hodiny naparovať a zbierať slzy do vreckovky. Opýtajte sa svojho učiteľa, spolužiakov alebo položte otázku na fóre o radu. Okrem toho je lepšie uviesť svoje vyhlásenie konkrétne - o tej časti riešenia, ktorej nerozumiete. Výkrik v podobe "Ako vyriešiť problém?" nevyzerá dobre... a predovšetkým pre svoju vlastnú povesť.

Piata etapa. Riešime-kontrolujeme, riešime-kontrolujeme, riešime-kontrolujeme-dajme odpoveď. Je užitočné skontrolovať každú položku úlohy ihneď po jeho vykonaní. To vám pomôže okamžite nájsť chybu. Prirodzene, nikto nezakazuje rýchlo vyriešiť celý problém, ale existuje riziko prepisovania všetkého znova (často aj niekoľkých strán).

Tu sú snáď všetky hlavné úvahy, ktorými je vhodné sa riadiť pri riešení problémov.

Praktickú časť hodiny predstavuje geometria v rovine. Budú len dva príklady, ale nebude to stačiť =)

Poďme si prejsť vláknom algoritmu, ktorý som práve preskúmal vo svojej malej vedeckej práci:

Príklad 1

Sú uvedené tri vrcholy rovnobežníka. Nájsť top.

Začnime to zisťovať:

Krok jedna: je zrejmé, že hovoríme o „plochom“ probléme.

krok dva: Problém sa týka rovnobežníka. Každý si pamätá taký rovnobežník? Netreba sa usmievať, veľa ľudí sa vzdeláva vo veku 30-40-50 a viac rokov, takže aj jednoduché fakty sa dajú vymazať z pamäte. Definícia rovnobežníka sa nachádza v príklade č. 3 lekcie Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ.

Krok tri: Urobme si kresbu, na ktorej si označíme tri známe vrcholy. Je zábavné, že je ľahké okamžite vytvoriť požadovaný bod:

Konštrukcia je, samozrejme, dobrá, ale riešenie musí byť formalizované analyticky.

Krok štyri: Vývoj algoritmu riešenia. Prvá vec, ktorá príde na myseľ, je, že bod možno nájsť ako priesečník čiar. Ich rovnice sú nám neznáme, takže sa musíme zaoberať týmto problémom:

1) Protiľahlé strany sú rovnobežné. Podľa bodov nájdite smerový vektor týchto strán. Toto je najjednoduchšia úloha, ktorá sa v lekcii zvažovala. Vektory pre figuríny.

Poznámka: správnejšie je povedať „rovnica priamky obsahujúcej stranu“, ale ďalej budem pre stručnosť používať výrazy „rovnica strany“, „riadiaci vektor strany“ atď.

3) Protiľahlé strany sú rovnobežné. Z bodov nájdeme smerový vektor týchto strán.

4) Zostavte rovnicu priamky bodovým a smerovým vektorom

V odsekoch 1-2 a 3-4 sme vlastne ten istý problém riešili dvakrát, mimochodom, rozoberáme ho v príklade č.3 lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Dalo sa ísť aj dlhšie - najprv nájsť rovnice priamok a až potom z nich „vytiahnuť“ smerové vektory.

5) Teraz sú známe rovnice priamok. Zostáva poskladať a vyriešiť príslušnú sústavu lineárnych rovníc (pozri príklady č. 4, 5 tej istej lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine).

Bod nájdený.

Úloha je celkom jednoduchá a jej riešenie je zrejmé, existuje však aj kratšia cesta!

Druhý spôsob riešenia:

Uhlopriečky rovnobežníka sú rozdelené na polovicu ich priesečníka. Bod som označil, ale aby som kresbu nezapratal, uhlopriečky som nekreslil sám.

Zostavte rovnicu strany po bodoch :

Ak chcete skontrolovať, mentálne alebo na návrhu, nahraďte súradnice každého bodu vo výslednej rovnici. Teraz nájdime svah. Aby sme to dosiahli, prepíšeme všeobecnú rovnicu vo forme rovnice so sklonom:

Takže faktor sklonu je:

Podobne nájdeme rovnice strán. Nevidím veľký zmysel maľovať to isté, takže okamžite dám hotový výsledok:

2) Nájdite dĺžku strany. Toto je najjednoduchšia úloha diskutovaná v lekcii. Vektory pre figuríny. Na body použijeme vzorec:

Pomocou rovnakého vzorca je ľahké nájsť dĺžky ostatných strán. Kontrola sa vykonáva veľmi rýchlo pomocou bežného pravítka.

Používame vzorec .

Poďme nájsť vektory:

Takto:

Mimochodom, po ceste sme našli dĺžky strán.

Ako výsledok:

No zdá sa, že je to pravda, pre presvedčivosť si môžete do rohu pripevniť uhlomer.

Pozor! Nezamieňajte si uhol trojuholníka s uhlom medzi rovnými čiarami. Uhol trojuholníka môže byť tupý, ale uhol medzi priamkami nie (pozri posledný odsek článku Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine). Vzorce z predchádzajúcej lekcie sa však dajú použiť aj na nájdenie uhla trojuholníka, ale drsné je, že tieto vzorce vždy dávajú ostrý uhol. S ich pomocou som tento problém vyriešil na návrhu a dostal som výsledok. A na čistopis by ste si museli zapísať ďalšie výhovorky, že.

4) Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom rovnobežným s priamkou.

Štandardná úloha, podrobne rozobratá v príklade č. 2 lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Zo všeobecnej rovnice priamky vytiahnite smerový vektor. Zostavme rovnicu priamky bodom a smerovacím vektorom:

Ako zistiť výšku trojuholníka?

5) Urobme rovnicu výšky a nájdeme jej dĺžku.

Pred prísnymi definíciami niet úniku, takže musíte kradnúť zo školskej učebnice:

výška trojuholníka nazývaná kolmica vedená z vrcholu trojuholníka k čiare obsahujúcej opačnú stranu.

To znamená, že je potrebné zostaviť rovnicu kolmice vedenej z vrcholu na stranu. Táto úloha je uvažovaná v príkladoch č. 6, 7 lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Z rovnice odstráňte normálny vektor. Zostavíme výškovú rovnicu pre bod a smerový vektor:

Upozorňujeme, že nepoznáme súradnice bodu.

Niekedy sa výšková rovnica zistí z pomeru sklonov kolmých čiar: . V tomto prípade potom: . Zostavíme výškovú rovnicu pre bod a sklon (pozri začiatok lekcie Rovnica priamky na rovine):

Dĺžku výšky možno zistiť dvoma spôsobmi.

Existuje kruhový objazd:

a) nájsť - priesečník výšky a strany;
b) nájdite dĺžku úsečky o dva známe body.

Ale v triede Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine zvažoval sa vhodný vzorec pre vzdialenosť od bodu k priamke. Bod je známy: , rovnica priamky je tiež známa: , teda:

6) Vypočítajte obsah trojuholníka. Vo vesmíre sa plocha trojuholníka tradične počíta pomocou krížový súčin vektorov, ale tu je v rovine daný trojuholník. Používame školský vzorec:
Plocha trojuholníka je polovica súčinu jeho základne krát jeho výška.

V tomto prípade:

Ako nájsť stred trojuholníka?

7) Zostavte rovnicu mediánu.

Stredný trojuholník Nazýva sa úsečka spájajúca vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany.

a) Nájdite bod - stred strany. Používame stredové súradnicové vzorce. Súradnice koncov segmentu sú známe: , potom súradnice stredu:

Takto:

Mediánovú rovnicu skladáme po bodoch :

Ak chcete rovnicu skontrolovať, musíte do nej nahradiť súradnice bodov.

8) Nájdite priesečník výšky a mediánu. Myslím, že každý sa už naučil, ako vykonávať tento prvok krasokorčuľovania bez pádu: