V skutočnosti sú vzorce (1) a (2) krátkym záznamom podmienenej pravdepodobnosti na základe kontingenčnej tabuľky znakov. Vráťme sa k uvažovanému príkladu (obr. 1). Povedzme, že vieme, že istá rodina si kúpi širokouhlý televízor. Aká je pravdepodobnosť, že si táto rodina takýto televízor skutočne kúpi?
Ryža. 1. Správanie kupujúcich širokouhlých TV
V tomto prípade musíme vypočítať podmienenú pravdepodobnosť P (nákup bol uskutočnený | nákup bol plánovaný). Keďže vieme, že rodina plánuje kúpu, vzorový priestor netvorí všetkých 1 000 rodín, ale iba tie, ktoré si plánujú kúpiť širokouhlý televízor. Z 250 takýchto rodín si 200 skutočne kúpilo tento televízor. Preto pravdepodobnosť, že si rodina skutočne kúpi širokouhlý televízor, ak to plánovala, možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:
P (uskutočnený nákup | plánovaný nákup) = počet rodín, ktoré plánujú a kupujú si širokouhlý televízor / počet rodín, ktoré plánujú kúpiť širokouhlý televízor = 200 / 250 = 0,8
Rovnaký výsledok je daný vzorcom (2):
kde je udalosť ALE je, že rodina plánuje kúpiť širokouhlý televízor, a event AT- že to skutočne kúpi. Nahradením skutočných údajov do vzorca dostaneme:
rozhodovací strom
Na obr. 1 rodiny boli rozdelené do štyroch kategórií: tí, ktorí si plánovali kúpiť širokouhlý televízor a tí, ktorí si ho nekúpili, a tí, ktorí si takýto televízor kúpili, a tí, ktorí nie. Podobnú klasifikáciu je možné vykonať pomocou rozhodovacieho stromu (obr. 2). Strom zobrazený na obr. 2 má dve pobočky, ktoré zodpovedajú rodinám, ktoré si plánovali kúpiť širokouhlý televízor, a rodinám, ktoré tak neurobili. Každá z týchto pobočiek je rozdelená na dve ďalšie vetvy, ktoré zodpovedajú rodinám, ktoré si kúpili a nekúpili širokouhlý televízor. Pravdepodobnosti napísané na koncoch dvoch hlavných vetiev sú bezpodmienečné pravdepodobnosti udalostí ALE a ALE'. Pravdepodobnosti napísané na koncoch štyroch dodatočných vetiev sú podmienené pravdepodobnosťou každej kombinácie udalostí ALE a AT. Podmienené pravdepodobnosti sa vypočítajú vydelením spoločnej pravdepodobnosti udalostí zodpovedajúcou nepodmienenou pravdepodobnosťou každej z nich.
Ryža. 2. Rozhodovací strom
Napríklad na výpočet pravdepodobnosti, že si rodina kúpi širokouhlý televízor, ak to plánovala urobiť, je potrebné určiť pravdepodobnosť udalosti nákup naplánovaný a dokončený a potom ho vydeľte pravdepodobnosťou udalosti plánovaná kúpa. Pohyb po rozhodovacom strome znázornenom na obr. 2, dostaneme nasledujúcu (podobnú predchádzajúcej) odpoveď:
Štatistická nezávislosť
V príklade nákupu širokouhlého televízora je pravdepodobnosť, že náhodne vybraná rodina kúpila širokouhlý televízor vzhľadom na to, že to plánovala urobiť, 200/250 = 0,8. Pripomeňme, že bezpodmienečná pravdepodobnosť, že si náhodne vybraná rodina kúpila širokouhlý televízor, je 300/1000 = 0,3. Z toho vyplýva veľmi dôležitý záver. A priori informácia, že rodina plánovala nákup, ovplyvňuje pravdepodobnosť samotného nákupu. Inými slovami, tieto dve udalosti na sebe závisia. Na rozdiel od tohto príkladu existujú štatisticky nezávislé udalosti, ktorých pravdepodobnosti na sebe nezávisia. Štatistická nezávislosť je vyjadrená identitou: P(A|B) = P(A), kde P(A|B)- pravdepodobnosť udalosti ALE za predpokladu, že došlo k udalosti AT, P(A) je bezpodmienečná pravdepodobnosť udalosti A.
Upozorňujeme, že udalosti ALE a AT P(A|B) = P(A). Ak v kontingenčnej tabuľke prvkov, ktorá má veľkosť 2 × 2, je táto podmienka splnená aspoň pre jednu kombináciu udalostí ALE a AT, bude platiť pre akúkoľvek inú kombináciu. V našom príklade udalosti plánovaná kúpa a nákup dokončený nie sú štatisticky nezávislé, pretože informácie o jednej udalosti ovplyvňujú pravdepodobnosť inej.
Pozrime sa na príklad, ktorý ukazuje, ako testovať štatistickú nezávislosť dvoch udalostí. Opýtajme sa 300 rodín, ktoré si kúpili širokouhlý televízor, či sú s jeho kúpou spokojní (obr. 3). Zistite, či miera spokojnosti s nákupom a typ televízora súvisia.
Ryža. 3. Údaje o spokojnosti zákazníkov pre širokouhlé televízory
Podľa týchto údajov
V rovnakom čase,
P (spokojný zákazník) = 240 / 300 = 0,80
Pravdepodobnosť, že zákazník je spokojný s nákupom a že si rodina kúpila HDTV, je teda rovnaká a tieto udalosti sú štatisticky nezávislé, keďže spolu nesúvisia.
Pravidlo násobenia pravdepodobnosti
Vzorec na výpočet podmienenej pravdepodobnosti vám umožňuje určiť pravdepodobnosť spoločnej udalosti A a B. Rozlíšenie vzorca (1)
vzhľadom na spoločnú pravdepodobnosť P (A a B), získame všeobecné pravidlo pre násobenie pravdepodobností. Pravdepodobnosť udalosti A a B sa rovná pravdepodobnosti udalosti ALE za predpokladu, že udalosť AT AT:
(3) P(A a B) = P(A|B) * P(B)
Zoberme si napríklad 80 domácností, ktoré si kúpili širokouhlý HDTV (obrázok 3). Z tabuľky vyplýva, že 64 rodín je s kúpou spokojných a 16 nie. Predpokladajme, že sú z nich náhodne vybrané dve rodiny. Určte pravdepodobnosť, že obaja kupujúci budú spokojní. Pomocou vzorca (3) dostaneme:
P(A a B) = P(A|B) * P(B)
kde je udalosť ALE je, že druhá rodina je spokojná s ich nákupom, a event AT- že prvá rodina je s ich nákupom spokojná. Pravdepodobnosť, že prvá rodina je s nákupom spokojná, je 64/80. Pravdepodobnosť, že je s kúpou spokojná aj druhá rodina, však závisí od odozvy prvej rodiny. Ak sa prvá rodina po prieskume nevráti do vzorky (výber bez vrátenia), počet respondentov klesne na 79. Ak bola prvá rodina s nákupom spokojná, pravdepodobnosť, že bude spokojná aj druhá rodina je 63/ 79, keďže len 63 zostalo vo vzorke spokojných s nákupom rodín. Nahradením konkrétnych údajov do vzorca (3) dostaneme nasledujúcu odpoveď:
P(A a B) = (63/79) (64/80) = 0,638.
Pravdepodobnosť, že obe rodiny sú s nákupom spokojné, je teda 63,8 %.
Predpokladajme, že po prieskume sa prvá rodina vráti do vzorky. Určte pravdepodobnosť, že obe rodiny budú s ich nákupom spokojné. V tomto prípade je pravdepodobnosť, že obe rodiny sú s nákupom spokojné, rovnaká a rovná sa 64/80. Preto P(A a B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Pravdepodobnosť spokojnosti oboch rodín s nákupom je teda 64,0 %. Tento príklad ukazuje, že výber druhej rodiny nezávisí od výberu prvej. Teda nahradenie podmienenej pravdepodobnosti vo vzorci (3). P(A|B) pravdepodobnosť P(A), získame vzorec na vynásobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí.
Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí. Ak udalosti ALE a AT sú štatisticky nezávislé, pravdepodobnosť udalosti A a B sa rovná pravdepodobnosti udalosti ALE vynásobené pravdepodobnosťou udalosti AT.
(4) P(A a B) = P(A)P(B)
Ak toto pravidlo platí pre udalosti ALE a AT, čo znamená, že sú štatisticky nezávislé. Existujú teda dva spôsoby, ako určiť štatistickú nezávislosť dvoch udalostí:
- Vývoj ALE a AT sú navzájom štatisticky nezávislé vtedy a len vtedy P(A|B) = P(A).
- Vývoj ALE a B sú navzájom štatisticky nezávislé vtedy a len vtedy P(A a B) = P(A)P(B).
Ak je v kontingenčnej tabuľke prvkov, ktorá má veľkosť 2 × 2, jedna z týchto podmienok splnená aspoň pre jednu kombináciu udalostí ALE a B, bude platiť pre akúkoľvek inú kombináciu.
Bezpodmienečná pravdepodobnosť elementárnej udalosti
(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)
kde udalosti B 1 , B 2 , … B k sa navzájom vylučujú a vyčerpávajú.
Aplikáciu tohto vzorca ilustrujeme na príklade z obr.1. Pomocou vzorca (5) dostaneme:
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)
kde P(A)- pravdepodobnosť, že nákup bol plánovaný, P(B 1)- pravdepodobnosť, že sa nákup uskutočnil, P(B 2)- pravdepodobnosť, že sa nákup neuskutoční.
BAYESOVA TEORÉMA
Podmienená pravdepodobnosť udalosti berie do úvahy informáciu, že nastala nejaká iná udalosť. Tento prístup možno použiť ako na spresnenie pravdepodobnosti, berúc do úvahy novo prijaté informácie, tak aj na výpočet pravdepodobnosti, že pozorovaný efekt je výsledkom nejakej špecifickej príčiny. Postup na spresnenie týchto pravdepodobností sa nazýva Bayesova veta. Prvýkrát ho vyvinul Thomas Bayes v 18. storočí.
Predpokladajme, že vyššie uvedená spoločnosť skúma trh pre nový model televízora. V minulosti bolo 40 % televízorov vytvorených spoločnosťou úspešných a 60 % modelov nebolo uznaných. Pred oznámením vydania nového modelu si marketéri starostlivo preštudujú trh a zachytia dopyt. V minulosti bola úspešnosť 80 % modelov, ktoré získali uznanie, predpovedaná vopred, zatiaľ čo 30 % priaznivých predpovedí sa ukázalo ako mylných. Pre nový model dalo marketingové oddelenie priaznivú predpoveď. Aká je pravdepodobnosť, že bude dopyt po novom modeli televízora?
Bayesovu vetu možno odvodiť z definícií podmienenej pravdepodobnosti (1) a (2). Na výpočet pravdepodobnosti Р(В|А) použijeme vzorec (2):
a namiesto P(A a B) nahraďte hodnotu zo vzorca (3):
P(A a B) = P(A|B) * P(B)
Nahradením vzorca (5) namiesto P(A) dostaneme Bayesovu vetu:
kde deje B 1 , B 2 , ... B k sa navzájom vylučujú a vyčerpávajú.
Uveďme nasledujúci zápis: udalosť S - TV je žiadaná, diania' - TV nie je žiadaná, udalosť F - priaznivá prognóza, udalosť F' - zlá prognóza. Povedzme, že P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Aplikovaním Bayesovej vety dostaneme:
Pravdepodobnosť dopytu po novom modeli televízora pri priaznivej predpovedi je 0,64. Pravdepodobnosť nedostatku dopytu pri priaznivej prognóze je teda 1–0,64=0,36. Proces výpočtu je znázornený na obr. štyri.
Ryža. 4. a) Bayesovské výpočty na odhad pravdepodobnosti dopytu po TV; (b) Rozhodovací strom na skúmanie dopytu po novom modeli TV
Uvažujme o príklade aplikácie Bayesovej vety pre lekársku diagnostiku. Pravdepodobnosť, že človek trpí určitou chorobou, je 0,03. Lekársky test vám umožňuje skontrolovať, či je to tak. Ak je človek skutočne chorý, pravdepodobnosť presnej diagnózy (tvrdenie, že človek je chorý, keď je naozaj chorý) je 0,9. Ak je človek zdravý, pravdepodobnosť falošne pozitívnej diagnózy (uvádza, že človek je chorý, keď je zdravý) je 0,02. Povedzme, že lekársky test vyšiel pozitívne. Aká je pravdepodobnosť, že je človek skutočne chorý? Aká je pravdepodobnosť presnej diagnózy?
Uveďme nasledujúci zápis: udalosť D - človek je chorý, udalosť D' - človek je zdravý, udalosť T - pozitívna diagnóza, udalosť T' - diagnoza je negativna. Z podmienok úlohy vyplýva, že Р(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Použitím vzorca (6) dostaneme:
Pravdepodobnosť, že človek s pozitívnou diagnózou je skutočne chorý, je 0,582 (pozri aj obr. 5). Všimnite si, že menovateľ Bayesovho vzorca sa rovná pravdepodobnosti pozitívnej diagnózy, t.j. 0,0464.
ako ontologická kategória odráža mieru možnosti vzniku akejkoľvek entity v akýchkoľvek podmienkach. Na rozdiel od matematických a logických výkladov tohto pojmu sa ontologická V. nespája s nevyhnutnosťou kvantitatívneho vyjadrenia. Hodnota V. sa odhaľuje v kontexte chápania determinizmu a povahy vývoja vôbec.
Veľká definícia
Neúplná definícia ↓
PRAVDEPODOBNOSŤ
pojem, ktorý charakterizuje veličiny. miera možnosti výskytu určitej udalosti pri určitom. podmienky. Vo vedeckom poznania existujú tri výklady V. Klasický pojem V., ktorý vzišiel z matematického. analýzu hazardných hier a najúplnejšie ju rozpracovali B. Pascal, J. Bernoulli a P. Laplace, považuje V. za pomer počtu priaznivých prípadov k celkovému počtu všetkých rovnako možných. Napríklad pri hode kockou, ktorá má 6 strán, možno očakávať, že každá z nich príde s V rovnajúcim sa 1/6, pretože žiadna zo strán nemá oproti tej druhej výhody. Takáto symetria výsledkov skúseností sa berie do úvahy najmä pri organizovaní hier, ale pri skúmaní objektívnych udalostí vo vede a praxi je pomerne zriedkavá. klasické Interpretácia V. ustúpila štatistickej. V. koncepty, v ktorých jadre sú platné. pozorovanie vzhľadu určitej udalosti počas trvania. skúsenosti za presne stanovených podmienok. Prax potvrdzuje, že čím častejšie sa udalosť vyskytuje, tým väčšia je miera objektívnej možnosti jej vzniku, alebo V. Preto štatistické. Výklad V. vychádza z pojmu súvisí. frekvencie, rez môže byť určený empiricky. V. ako teoretické. pojem sa však v mnohých smeroch nikdy nezhoduje s empiricky určenou frekvenciou. prípadoch sa prakticky len málo líši od príbuzného. frekvencia zistená ako výsledok trvania. pozorovania. Mnohí štatistici považujú V. za „dvojníka“ odkazuje. frekvencia, hrana je určená štatistickým. štúdium výsledkov pozorovania
alebo experimenty. Menej realistická bola definícia V. ako limitu súvisí. frekvencie hromadných podujatí, prípadne kolektívov, ktoré navrhol R. Mises. Ako ďalší rozvoj frekvenčného prístupu k V. sa predkladá dispozičná, resp. sklonová interpretácia V. (K. Popper, J. Hecking, M. Bunge, T. Setl). Podľa tohto výkladu V. charakterizuje vlastnosť vytvárania podmienok napr. experimentovať. inštalácia, aby sa získala sekvencia masívnych náhodných udalostí. Je to tento postoj, ktorý dáva vznik fyzickému dispozície, alebo predispozície, V. to-rykh možno kontrolovať pomocou rel. frekvencie.
Štatistické Vo vedeckom výklade dominuje V. vedomosti, pretože odzrkadľujú špecif. povaha vzorov, ktoré sú vlastné hromadným javom náhodnej povahy. V mnohých fyzikálnych, biologických, ekonomických, demografických a iných spoločenských procesov, je potrebné brať do úvahy pôsobenie mnohých náhodných faktorov, to-žito sa vyznačujú stabilnou frekvenciou. Identifikácia tejto stabilnej frekvencie a veličín. jeho posúdenie pomocou V. umožňuje odhaliť nevyhnutnosť, ktorá si razí cestu kumulatívnym pôsobením mnohých nehôd. Tu nachádza svoj prejav dialektika premeny náhody na nevyhnutnosť (pozri F. Engels, v knihe: K. Marx a F. Engels, Soch., zv. 20, s. 535-36).
Logické alebo induktívne uvažovanie charakterizuje vzťah medzi premisami a záverom nedemonštratívneho a najmä induktívneho uvažovania. Na rozdiel od dedukcie, premisy indukcie nezaručujú pravdivosť záveru, ale len ho robia viac-menej pravdepodobným. Túto vierohodnosť s presne formulovanými premisami možno niekedy odhadnúť pomocou V. Hodnota tohto V. sa najčastejšie zisťuje porovnávaním. pojmy (väčšie, menšie alebo rovné) a niekedy aj číselným spôsobom. Logika interpretácia sa často používa na analýzu induktívneho uvažovania a budovanie rôznych systémov pravdepodobnostnej logiky (R. Carnap, R. Jeffrey). V sémantike logické pojmy. V. sa často definuje ako miera potvrdenia jedného tvrdenia inými (napríklad hypotéza jeho empirických údajov).
V súvislosti s rozvojom teórií rozhodovania a hier, tzv. personalistický výklad V. Hoci V. v tomto prípade vyjadruje mieru viery subjektu a výskyt určitej udalosti, samotné V. treba zvoliť tak, aby boli splnené axiómy výpočtu V. Preto , V. takýmto výkladom vyjadruje ani nie tak mieru subjektívnej, ako skôr rozumnú vieru . Následne rozhodnutia urobené na základe takéhoto V. budú racionálne, pretože nezohľadňujú psychologické. vlastnosti a sklony subjektu.
Z epistemologického sp. rozdiel medzi štatistikou., log. a personalistické interpretácie V. spočíva v tom, že ak prvá charakterizuje objektívne vlastnosti a vzťahy hromadných javov náhodného charakteru, tak posledné dve rozoberajú črty subjektívneho, poznávacieho. ľudské činnosti v podmienkach neistoty.
PRAVDEPODOBNOSŤ
jeden z najdôležitejších pojmov vedy, charakterizujúci špeciálne systémové videnie sveta, jeho štruktúru, vývoj a poznanie. Špecifickosť pravdepodobnostného pohľadu na svet odhaľuje zaradenie pojmov náhoda, nezávislosť a hierarchia (predstavy úrovní v štruktúre a determinácii systémov) medzi základné pojmy bytia.
Predstavy o pravdepodobnosti vznikli v staroveku a súviseli s charakteristikami nášho poznania, pričom sa uznávala prítomnosť pravdepodobnostných poznatkov, ktoré sa líšia od spoľahlivých poznatkov a od nepravdivých. Vplyv myšlienky pravdepodobnosti na vedecké myslenie, na rozvoj poznania priamo súvisí s rozvojom teórie pravdepodobnosti ako matematickej disciplíny. Vznik matematickej doktríny pravdepodobnosti sa datuje do 17. storočia, kedy sa rozvíjalo jadro pojmov, ktoré umožňujú. kvantitatívne (číselné) charakteristiky a vyjadrujúce pravdepodobnostnú predstavu.
Intenzívne aplikácie pravdepodobnosti na rozvoj poznania spadajú na 2. poschodie. 19- 1. poschodie. 20. storočie Pravdepodobnosť vstúpila do štruktúr takých základných prírodných vied, akými sú klasická štatistická fyzika, genetika, kvantová teória, kybernetika (teória informácie). Pravdepodobnosť teda zosobňuje tú etapu vývoja vedy, ktorá je dnes definovaná ako neklasická veda. Na odhalenie novosti, čŕt pravdepodobnostného spôsobu myslenia, je potrebné vychádzať z analýzy predmetu teórie pravdepodobnosti a základov jej mnohých aplikácií. Teória pravdepodobnosti je zvyčajne definovaná ako matematická disciplína, ktorá študuje zákony hromadných náhodných javov za určitých podmienok. Náhodnosť znamená, že v rámci masového charakteru existencia každého elementárneho javu nezávisí a nie je determinovaná existenciou iných javov. Zároveň samotná masová povaha javov má stabilnú štruktúru, obsahuje určité zákonitosti. Hromadný jav je pomerne striktne rozdelený na subsystémy a relatívny počet elementárnych javov v každom zo subsystémov (relatívna frekvencia) je veľmi stabilný. Táto stabilita sa porovnáva s pravdepodobnosťou. Hromadný jav ako celok charakterizuje rozdelenie pravdepodobností, t. j. priradenie podsystémov a im zodpovedajúcich pravdepodobností. Jazykom teórie pravdepodobnosti je jazyk rozdelenia pravdepodobnosti. V súlade s tým je teória pravdepodobnosti definovaná ako abstraktná veda o operáciách s rozdeleniami.
Pravdepodobnosť vyvolala vo vede myšlienky o štatistických zákonitostiach a štatistických systémoch. Posledne menované sú systémy vytvorené z nezávislých alebo kvázi nezávislých entít, ich štruktúra je charakterizovaná rozdeleniami pravdepodobnosti. Ako je však možné vytvárať systémy z nezávislých subjektov? Zvyčajne sa predpokladá, že na vytvorenie systémov, ktoré majú integrálne charakteristiky, je potrebné, aby medzi ich prvkami existovali dostatočne stabilné väzby, ktoré stmelujú systémy. Stabilita štatistických systémov je daná prítomnosťou vonkajších podmienok, vonkajšieho prostredia, skôr vonkajších ako vnútorných síl. Samotná definícia pravdepodobnosti je vždy založená na stanovení podmienok pre vznik počiatočného hromadného javu. Ďalšou dôležitou myšlienkou, ktorá charakterizuje pravdepodobnostnú paradigmu, je myšlienka hierarchie (podriadenosti). Táto myšlienka vyjadruje vzťah medzi charakteristikami jednotlivých prvkov a integrálnymi charakteristikami systémov: tie druhé sú akoby postavené na prvých.
Význam pravdepodobnostných metód v poznávaní spočíva v tom, že nám umožňujú skúmať a teoreticky vyjadrovať zákonitosti štruktúry a správania objektov a systémov, ktoré majú hierarchickú, „dvojúrovňovú“ štruktúru.
Analýza charakteru pravdepodobnosti je založená na jej frekvencii, štatistickej interpretácii. Zároveň vo vede veľmi dlho dominovalo také chápanie pravdepodobnosti, ktoré sa nazývalo logická, čiže induktívna pravdepodobnosť. Logická pravdepodobnosť sa zaujíma o otázky platnosti samostatného, individuálneho úsudku za určitých podmienok. Je možné posúdiť mieru potvrdenia (spoľahlivosť, pravdivosť) induktívneho záveru (hypotetického záveru) v kvantitatívnej forme? V priebehu formovania teórie pravdepodobnosti sa takéto otázky opakovane diskutovali a začali hovoriť o stupňoch potvrdenia hypotetických záverov. Táto miera pravdepodobnosti je určená informáciami, ktorými daný človek disponuje, jeho skúsenosťami, názormi na svet a psychologickým zmýšľaním. Vo všetkých takýchto prípadoch nie je veľkosť pravdepodobnosti prístupná prísnym meraniam a prakticky leží mimo kompetencie teórie pravdepodobnosti ako konzistentnej matematickej disciplíny.
Objektívna, frekvenčná interpretácia pravdepodobnosti bola vo vede založená so značnými ťažkosťami. Spočiatku bolo chápanie podstaty pravdepodobnosti silne ovplyvnené tými filozofickými a metodologickými názormi, ktoré boli charakteristické pre klasickú vedu. Historicky sa formovanie pravdepodobnostných metód vo fyzike vyskytlo pod rozhodujúcim vplyvom myšlienok mechaniky: štatistické systémy boli považované jednoducho za mechanické. Keďže zodpovedajúce problémy neboli riešené striktnými metódami mechaniky, objavili sa konštatovania, že odvolávanie sa na pravdepodobnostné metódy a štatistické zákonitosti je výsledkom neúplnosti našich vedomostí. V dejinách vývoja klasickej štatistickej fyziky sa uskutočnili početné pokusy ospravedlniť ju na základe klasickej mechaniky, ale všetky zlyhali. Základom pravdepodobnosti je, že vyjadruje znaky štruktúry určitej triedy systémov, iných ako sú systémy mechaniky: stav prvkov týchto systémov je charakterizovaný nestabilitou a špeciálnou (na mechaniku neredukovateľnou) povahou interakcií. .
Vstup pravdepodobnosti do poznania vedie k popretiu konceptu rigidného determinizmu, k popretiu základného modelu bytia a poznania vyvinutého v procese formovania klasickej vedy. Základné modely reprezentované štatistickými teóriami sú iného, všeobecnejšieho charakteru: zahŕňajú myšlienky náhodnosti a nezávislosti. Myšlienka pravdepodobnosti je spojená s odhalením vnútornej dynamiky objektov a systémov, ktorú nemožno úplne určiť vonkajšími podmienkami a okolnosťami.
Koncept pravdepodobnostnej vízie sveta, založenej na absolutizácii predstáv o nezávislosti (ako predtým paradigma rigidného určenia), teraz odhalil svoje obmedzenia, ktoré najvýraznejšie ovplyvňujú prechod modernej vedy na analytické metódy komplexného štúdia. organizované systémy a fyzikálne a matematické základy sebaorganizačných javov.
Veľká definícia
Neúplná definícia ↓
Pravdepodobnosť udalosť je pomer počtu elementárnych výsledkov, ktoré uprednostňujú danú udalosť, k počtu všetkých rovnako možných výsledkov skúsenosti, v ktorých sa táto udalosť môže vyskytnúť. Pravdepodobnosť udalosti A označujeme P(A) (tu P je prvé písmeno francúzskeho slova probabilite - pravdepodobnosť). Podľa definície
(1.2.1)
kde je počet základných výsledkov v prospech udalosti A; - počet všetkých rovnako možných elementárnych výstupov skúsenosti, tvoriacich ucelenú skupinu udalostí.
Táto definícia pravdepodobnosti sa nazýva klasická. Vznikla v počiatočnom štádiu vývoja teórie pravdepodobnosti.
Pravdepodobnosť udalosti má nasledujúce vlastnosti:
1. Pravdepodobnosť určitej udalosti sa rovná jednej. Označme určitú udalosť písmenom . Na určitú udalosť teda
(1.2.2)
2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová. Nemožnú udalosť označujeme písmenom . Na nemožnú udalosť teda
(1.2.3)
3. Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je vyjadrená ako kladné číslo menšie ako jedna. Vzhľadom k tomu, nerovnosti , alebo sú splnené pre náhodnú udalosť, potom
(1.2.4)
4. Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti spĺňa nerovnosti
(1.2.5)
Vyplýva to zo vzťahov (1.2.2) -(1.2.4).
Príklad 1 Urna obsahuje 10 loptičiek rovnakej veľkosti a hmotnosti, z toho 4 červené a 6 modrých. Z urny sa vytiahne jedna loptička. Aká je pravdepodobnosť, že vytiahnutá guľa je modrá?
Riešenie. Udalosť „vytiahnutá loptička sa ukázala ako modrá“ bude označená písmenom A. Tento test má 10 rovnako možných základných výsledkov, z ktorých 6 je v prospech udalosti A. Podľa vzorca (1.2.1) dostaneme 
Príklad 2 Všetky prirodzené čísla od 1 do 30 sú napísané na rovnakých kartičkách a vložené do urny. Po dôkladnom premiešaní kariet sa jedna karta vyberie z urny. Aká je pravdepodobnosť, že číslo na vytiahnutej karte je násobkom 5?
Riešenie. Označte A udalosť "číslo na prevzatej karte je násobkom 5". V tejto štúdii je 30 rovnako možných základných výsledkov, z ktorých 6 uprednostňuje udalosť A (čísla 5, 10, 15, 20, 25, 30). v dôsledku toho 
Príklad 3 Hodia sa dve kocky, vypočíta sa súčet bodov na horných plochách. Nájdite pravdepodobnosť udalosti B, ktorá spočíva v tom, že horné strany kociek budú mať spolu 9 bodov.
Riešenie. V tejto štúdii je 6 2 = 36 rovnako možných základných výsledkov. Udalosť B je uprednostňovaná 4 výsledkami: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), takže 
Príklad 4. Náhodne sa vyberie prirodzené číslo nepresahujúce 10. Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je prvočíslo?
Riešenie. Označte písmenom C udalosť „zvolené číslo je prvočíslo“. V tomto prípade n = 10, m = 4 (prvé čísla 2, 3, 5, 7). Preto požadovaná pravdepodobnosť 
Príklad 5 Hodia sa dve symetrické mince. Aká je pravdepodobnosť, že obe mince majú na horných stranách číslice?
Riešenie. Označme písmenom D udalosť „na vrchnej strane každej mince bolo číslo“. V tomto teste sú 4 rovnako možné základné výsledky: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Zápis (G, C) znamená, že na prvej minci je erb, na druhej - číslo). Udalosť D je zvýhodnená jedným základným výsledkom (C, C). Pretože m = 1, n = 4, potom 
Príklad 6 Aká je pravdepodobnosť, že číslice v náhodne vybranom dvojcifernom čísle sú rovnaké?
Riešenie. Dvojciferné čísla sú čísla od 10 do 99; takýchto čísel je celkovo 90. 9 čísel má rovnaké číslice (sú to čísla 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Pretože v tomto prípade m = 9, n = 90, potom 
,
kde A je udalosť „číslo s rovnakými číslicami“.
Príklad 7 Z písmen slova diferenciál jedno písmeno sa vyberie náhodne. Aká je pravdepodobnosť, že toto písmeno bude: a) samohláska b) spoluhláska c) písmeno h?
Riešenie. V slove diferenciál je 12 písmen, z toho 5 samohlások a 7 spoluhlások. Listy h toto slovo nie. Označme deje: A – „hláska“, B – „súhláska“, C – „písmeno h". Počet priaznivých základných výsledkov: - pre udalosť A, - pre udalosť B, - pre udalosť C. Od n \u003d 12, potom
a .
Príklad 8 Hodia sa dve kocky, zaznamená sa počet bodov na hornej strane každej kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že obe kocky majú rovnaký počet bodov.
Riešenie. Označme túto udalosť písmenom A. Udalosť A uprednostňuje 6 základných výsledkov: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Celkovo sú rovnako možné elementárne výsledky, ktoré tvoria kompletnú skupinu udalostí, v tomto prípade n=6 2 =36. Takže požadovaná pravdepodobnosť 
Príklad 9 Kniha má 300 strán. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne otvorená stránka bude mať poradové číslo, ktoré je násobkom 5?
Riešenie. Z podmienok úlohy vyplýva, že všetkých rovnako možných elementárnych výsledkov, ktoré tvoria ucelenú skupinu udalostí, bude n = 300. Z nich m = 60 uprednostňuje výskyt špecifikovanej udalosti. V skutočnosti číslo, ktoré je násobkom 5, má tvar 5k, kde k je prirodzené číslo a , odkiaľ 
. v dôsledku toho 
, kde A – udalosť „stránka“ má poradové číslo, ktoré je násobkom 5“.
Príklad 10. Hodia sa dve kocky, vypočíta sa súčet bodov na horných plochách. Čo je pravdepodobnejšie, že celkovo získate 7 alebo 8?
Riešenie. Označme udalosti: A - "vypadlo 7 bodov", B - "vypadlo 8 bodov". Udalosť A uprednostňuje 6 základných výsledkov: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) a udalosť B – podľa 5 výsledkov: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Existuje n = 6 2 = 36 všetkých rovnako možných elementárnych výsledkov. a .
Takže P(A)>P(B), to znamená, že získanie celkového počtu 7 bodov je pravdepodobnejšia udalosť ako získanie celkového počtu 8 bodov.
Úlohy
1. Náhodne sa vyberie prirodzené číslo nepresahujúce 30. Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je násobkom 3?
2. V urne ačervená a b modré gule rovnakej veľkosti a hmotnosti. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vytiahnutá loptička z tejto urny je modrá?
3. Náhodne sa vyberie číslo nepresahujúce 30. Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je deliteľom zo?
4. V urne a modrá a bčervené gule rovnakej veľkosti a hmotnosti. Z tejto urny sa vyberie jedna loptička a odloží sa. Táto lopta je červená. Potom sa z urny vytiahne ďalšia loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že druhá guľa je tiež červená.
5. Náhodne sa vyberie prirodzené číslo nepresahujúce 50. Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je prvočíslo?
6. Hodia sa tri kocky, vypočíta sa súčet bodov na horných plochách. Čo je pravdepodobnejšie - získať spolu 9 alebo 10 bodov?
7. Hodia sa tri kocky, vypočíta sa súčet padnutých bodov. Čo je pravdepodobnejšie, že získate celkovo 11 (udalosť A) alebo 12 bodov (udalosť B)?
Odpovede
1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - pravdepodobnosť získania celkovo 9 bodov; p 2 \u003d 27/216 - pravdepodobnosť získania celkovo 10 bodov; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Otázky
1. Čo sa nazýva pravdepodobnosť udalosti?
2. Aká je pravdepodobnosť určitej udalosti?
3. Aká je pravdepodobnosť nemožnej udalosti?
4. Aké sú hranice pravdepodobnosti náhodnej udalosti?
5. Aké sú hranice pravdepodobnosti akejkoľvek udalosti?
6. Aká definícia pravdepodobnosti sa nazýva klasická?
Lepší profesionál by sa mal dobre orientovať v kurzoch, rýchlo a správne vyhodnotiť pravdepodobnosť udalosti koeficientom a v prípade potreby byť schopný previesť kurzy z jedného formátu do druhého. V tejto príručke budeme hovoriť o tom, aké typy koeficientov sú, a pomocou príkladov budeme analyzovať, ako môžete vypočítajte pravdepodobnosť zo známeho koeficientu a naopak.
Aké sú typy koeficientov?
Stávkové kancelárie ponúkajú tri hlavné typy kurzov: desiatkový kurz, zlomkový kurz(angličtina) a americké šance. Najbežnejšie kurzy v Európe sú desiatkové. Americké kurzy sú populárne v Severnej Amerike. Zlomkové kurzy sú najtradičnejším typom, okamžite odrážajú informáciu o tom, koľko musíte staviť, aby ste získali určitú sumu.
Desatinný kurz
Desatinné čísla alebo inak sa volajú európske kurzy- toto je obvyklý číselný formát reprezentovaný desatinným zlomkom s presnosťou na stotiny a niekedy dokonca tisíciny. Príkladom desiatkovej nepárny je 1,91. Výpočet vášho zisku s desatinným kurzom je veľmi jednoduchý, stačí vynásobiť výšku vašej stávky týmto kurzom. Napríklad v zápase "Manchester United" - "Arsenal" je víťazstvo "MU" stanovené koeficientom - 2,05, remíza sa odhaduje s koeficientom - 3,9 a víťazstvo "Arsenal" sa rovná - 2,95. Povedzme, že sme si istí, že United vyhrajú a vsadíme na nich 1 000 $. Potom sa náš možný príjem vypočíta takto:
2.05 * $1000 = $2050;
Nie je to naozaj také ťažké? Rovnakým spôsobom sa počíta možný príjem pri stávke na remízu a víťazstvo Arsenalu.
Kresliť: 3.9 * $1000 = $3900;
Výhra Arsenalu: 2.95 * $1000 = $2950;
Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou desatinných kurzov?
Predstavte si teraz, že potrebujeme určiť pravdepodobnosť udalosti podľa desiatkového kurzu stanoveného stávkovou kanceláriou. To je tiež veľmi jednoduché. Za týmto účelom delíme jednotku týmto koeficientom.
Zoberme si údaje, ktoré už máme, a vypočítajme pravdepodobnosť každej udalosti:
Výhra Manchestru United: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Kresliť: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Výhra Arsenalu: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;
zlomkové kurzy (angličtina)
Ako už názov napovedá zlomkový koeficient reprezentovaný obyčajným zlomkom. Príkladom anglickej odd je 5/2. Čitateľ zlomku obsahuje číslo, ktoré predstavuje potenciálnu výšku čistej výhry, a menovateľ obsahuje číslo označujúce sumu, ktorú musíte staviť, aby ste túto výhru dostali. Jednoducho povedané, musíme staviť 2 doláre, aby sme vyhrali 5 dolárov. Kurz 3/2 znamená, že aby sme získali 3 doláre čistej výhry, musíme staviť 2 doláre.
Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou zlomkových kurzov?
Pravdepodobnosť udalosti zlomkovými koeficientmi tiež nie je ťažké vypočítať, stačí vydeliť menovateľa súčtom čitateľa a menovateľa.
Pre zlomok 5/2 vypočítame pravdepodobnosť: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Pre zlomok 3/2 vypočítame pravdepodobnosť:
americké kurzy
americké kurzy nepopulárne v Európe, ale veľmi nepopulárne v Severnej Amerike. Možno je tento typ koeficientov najťažší, ale to je len na prvý pohľad. V skutočnosti v tomto type koeficientov nie je nič zložité. Teraz sa pozrime na všetko v poriadku.
Hlavnou črtou amerických kurzov je, že môžu byť buď pozitívne a negatívne. Príkladom amerických kurzov je (+150), (-120). Americký kurz (+150) znamená, že na to, aby sme zarobili 150 USD, musíme staviť 100 USD. Inými slovami, kladný americký multiplikátor odráža potenciálny čistý zisk pri stávke 100 USD. Záporný americký koeficient odráža výšku stávky, ktorú je potrebné uskutočniť, aby ste získali čistú výhru 100 $. Napríklad koeficient (- 120) nám hovorí, že stávkou 120 $ vyhráme 100 $.
Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou amerických kurzov?
Pravdepodobnosť udalosti podľa amerických kurzov sa vypočíta podľa nasledujúcich vzorcov:
(-(M)) / ((-(M)) + 100), kde M je záporný americký koeficient;
100/(P+100), kde P je kladný americký koeficient;
Napríklad máme koeficient (-120), potom sa pravdepodobnosť vypočíta takto:
(-(M))/((-(M)) + 100); namiesto "M" dosadíme hodnotu (-120);
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;
Pravdepodobnosť udalosti s americkým koeficientom (-120) je teda 54,5 %.
Napríklad máme koeficient (+150), potom sa pravdepodobnosť vypočíta takto:
100/(P+100); namiesto "P" dosadíme hodnotu (+150);
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;
Pravdepodobnosť udalosti s americkým koeficientom (+150) je teda 40 %.
Ako, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť ho na desatinný koeficient?
Ak chcete vypočítať desatinný koeficient pre známe percento pravdepodobnosti, musíte vydeliť 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách. Napríklad, ak je pravdepodobnosť udalosti 55 %, potom sa desatinný koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovnať 1,81.
100 / 55% = 1,81
Ako, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť ho na zlomkový koeficient?
Ak chcete vypočítať zlomkový koeficient zo známeho percenta pravdepodobnosti, musíte jeden odpočítať od delenia 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách. Napríklad, máme percento pravdepodobnosti 40%, potom sa zlomkový koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovnať 3/2.
(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Zlomkový koeficient je 1,5/1 alebo 3/2.
Ako to pri znalosti percenta pravdepodobnosti preložiť do amerického koeficientu?
Ak je pravdepodobnosť udalosti väčšia ako 50%, výpočet sa vykoná podľa vzorca:
- ((V) / (100 - V)) * 100, kde V je pravdepodobnosť;
Napríklad máme 80% pravdepodobnosť udalosti, potom sa americký koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovnať (-400).
- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);
Ak je pravdepodobnosť udalosti menšia ako 50%, výpočet sa vykoná podľa vzorca:
((100 - V) / V) * 100, kde V je pravdepodobnosť;
Napríklad, ak máme percento pravdepodobnosti udalosti 20 %, potom americký koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovný (+400).
((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;
Ako previesť koeficient do iného formátu?
Sú chvíle, keď je potrebné previesť koeficienty z jedného formátu do druhého. Napríklad máme zlomkový koeficient 3/2 a musíme ho previesť na desatinné číslo. Ak chcete previesť zlomkový kurz na desatinný kurz, najprv určíme pravdepodobnosť udalosti pomocou zlomkového kurzu a potom túto pravdepodobnosť prevedieme na desatinný kurz.
Pravdepodobnosť udalosti so zlomkovým koeficientom 3/2 je 40 %.
2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;
Teraz preložíme pravdepodobnosť udalosti na desatinný koeficient, preto vydelíme 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách:
100 / 40% = 2.5;
Čiže zlomkový kurz 3/2 sa rovná desiatkovému kurzu 2,5. Podobným spôsobom sa napríklad americké kurzy prepočítavajú na zlomkové, desiatkové na americké atď. Najťažšie na tom všetkom sú práve výpočty.
Chápem, že každý chce vopred vedieť, ako sa športové podujatie skončí, kto vyhrá a kto prehrá. S týmito informáciami môžete bez obáv tipovať športové podujatia. Je to však vôbec možné a ak áno, ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti?
Pravdepodobnosť je relatívna hodnota, preto nemôže s presnosťou hovoriť o žiadnej udalosti. Táto hodnota vám umožňuje analyzovať a vyhodnotiť potrebu staviť na konkrétnu súťaž. Definícia pravdepodobností je celá veda, ktorá si vyžaduje starostlivé štúdium a pochopenie.
Koeficient pravdepodobnosti v teórii pravdepodobnosti
V športových stávkach existuje niekoľko možností pre výsledok súťaže:
- víťazstvo prvého tímu;
- víťazstvo druhého tímu;
- kresliť;
- Celkom
Každý výsledok súťaže má svoju pravdepodobnosť a frekvenciu, s akou sa táto udalosť uskutoční, za predpokladu, že sa zachovajú počiatočné charakteristiky. Ako už bolo spomenuté, nie je možné presne vypočítať pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti - môže, ale nemusí sa zhodovať. Vaša stávka teda môže vyhrať alebo prehrať.
Nie je možné presne 100% predpovedať výsledky súťaže, pretože výsledok zápasu ovplyvňuje veľa faktorov. Stávkové kancelárie prirodzene nepoznajú vopred výsledok zápasu a iba predpokladajú výsledok, rozhodujú sa o svojom systéme analýzy a ponúkajú určité kurzy na stávky.
Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti?
Povedzme, že kurz stávkovej kancelárie je 2,1/2 – dostaneme 50 %. Ukazuje sa, že koeficient 2 sa rovná pravdepodobnosti 50 %. Rovnakým princípom môžete získať pomer pravdepodobnosti zvratu - 1 / pravdepodobnosť.
Mnoho hráčov si myslí, že po niekoľkých opakovaných prehrách určite príde k výhre - to je mylný názor. Pravdepodobnosť výhry stávky nezávisí od počtu prehier. Aj keď v hre o mince hodíte niekoľko hláv za sebou, pravdepodobnosť hádzania chvostov zostáva rovnaká – 50 %.
