Definícia. Hranol- je to mnohosten, ktorého všetky vrcholy sú umiestnené v dvoch rovnobežných rovinách a v tých istých rovinách sú dve strany hranola, ktoré sú rovnakými mnohouholníkmi s príslušnými rovnobežnými stranami a všetky hrany, ktoré v nich neležia roviny sú rovnobežné.

Volajú sa dve rovnaké tváre hranolové základne(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Všetky ostatné plochy hranola sú tzv bočné steny(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Všetky bočné plochy tvoria bočný povrch hranola .

Všetky bočné strany hranola sú rovnobežníky .

Hrany, ktoré neležia na základniach, sa nazývajú bočné hrany hranola ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Uhlopriečka hranola nazýva sa segment, ktorého konce sú dva vrcholy hranola, ktoré neležia na jednej z jeho plôch (AD 1).

Dĺžka úsečky spájajúcej podstavy hranola a kolmá na obe podstavy súčasne je tzv. výška hranola .

Označenie:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najskôr sú v poradí obchádzania označené vrcholy jednej základne a potom v rovnakom poradí vrcholy druhej; konce každej bočnej hrany sú označené rovnakými písmenami, iba vrcholy ležiace v jednej základni sú označené písmenami bez indexu a v druhom - s indexom)

Názov hranola je spojený s počtom uhlov na obrázku ležiacom pri jeho základni, napríklad na obrázku 1 je základňa päťuholník, takže hranol je tzv. päťuholníkový hranol. Ale odvtedy taký hranol má 7 plôch, potom to sedemsten(2 strany sú základne hranola, 5 strán sú rovnobežníky, sú jeho bočné strany)

Medzi rovnými hranolmi vyniká konkrétny typ: pravidelné hranoly.

Priamy hranol sa nazýva správne, ak sú jeho základne pravidelné mnohouholníky.

Rovnobežníkovité

kváder- pravý rovnobežnosten, ktorého základňou je obdĺžnik.

Vlastnosti a vety:

,

kde d je uhlopriečka štvorca;
a - strana námestia.

Myšlienka hranolu je daná:

• rôzne architektonické štruktúry;
• Detské hračky;
• krabice na balenie;
• dizajnérske predmety atď.

Celková a bočná plocha hranola

S plná \u003d S strana + 2S hlavná,

kde S plný- celková plocha, S strana- bočná plocha, S hlavná- základná plocha

Plocha bočného povrchu rovného hranola sa rovná súčinu obvodu základne a výšky hranola.

S strana\u003d P hlavná * h,

kde S strana je plocha bočného povrchu rovného hranola,

P hlavná - obvod základne priameho hranolu,

h je výška rovného hranola, rovná sa bočnej hrane.

Objem hranola

Objem hranola sa rovná súčinu plochy základne a výšky.

Oblasť bočného povrchu hranola. Ahoj! V tejto publikácii budeme analyzovať skupinu úloh zo stereometrie. Zvážte kombináciu telies - hranol a valec. Tento článok v súčasnosti dopĺňa celú sériu článkov súvisiacich s úvahami o typoch úloh v stereometrii.

Ak sa v banke úloh objavia nové úlohy, v budúcnosti budú na blogu samozrejme pribúdať. Ale toho, čo už je, je celkom dosť na to, aby ste sa v rámci skúšky naučili riešiť všetky problémy s krátkou odpoveďou. Materiálu vystačí na roky dopredu (program v matematike je statický).

Predložené úlohy súvisia s výpočtom plochy hranola. Všimol som si, že nižšie uvažujeme o priamom hranole (a teda o priamom valci).

Bez toho, aby sme poznali nejaké vzorce, chápeme, že bočným povrchom hranola sú všetky jeho bočné strany. V priamom hranole sú bočné strany obdĺžniky.

Bočný povrch takéhoto hranola sa rovná súčtu plôch všetkých jeho bočných plôch (tj obdĺžnikov). Ak hovoríme o pravidelnom hranole, v ktorom je vpísaný valec, potom je jasné, že všetky strany tohto hranola sú ROVNATNÉ obdĺžniky.

Formálne môže byť plocha bočného povrchu pravidelného hranola vyjadrená takto:

27064. Pravidelný štvorhranný hranol je opísaný okolo valca, ktorého základný polomer a výška sú rovné 1. Nájdite plochu bočnej plochy hranola.

Bočný povrch tohto hranola pozostáva zo štyroch obdĺžnikov rovnakej plochy. Výška čela je 1, okraj základne hranola je 2 (to sú dva polomery valca), takže plocha bočného čela je:

Bočný povrch:

73023. Nájdite plochu bočnej plochy pravidelného trojuholníkového hranolu opísanú okolo valca, ktorého polomer základne je √0,12 a ktorého výška je 3.

Plocha bočnej plochy tohto hranola sa rovná súčtu plôch troch bočných plôch (obdĺžnikov). Ak chcete nájsť oblasť bočnej plochy, musíte poznať jej výšku a dĺžku základnej hrany. Výška je tri. Nájdite dĺžku okraja základne. Zvážte projekciu (pohľad zhora):

Máme pravidelný trojuholník, do ktorého je vpísaná kružnica s polomerom √0,12. Z pravého trojuholníka AOC nájdeme AC. A potom AD (AD=2AC). Podľa definície dotyčnice:

Takže AD \u003d 2AC \u003d 1.2. Plocha bočného povrchu sa teda rovná:

27066. Nájdite plochu bočného povrchu pravidelného šesťhranného hranolu opísaného okolo valca, ktorého základný polomer je √75 a ktorého výška je 1.

Požadovaná plocha sa rovná súčtu plôch všetkých bočných plôch. Pre pravidelný šesťhranný hranol sú bočné strany rovnaké obdĺžniky.

Ak chcete nájsť oblasť tváre, musíte poznať jej výšku a dĺžku základnej hrany. Výška je známa, rovná sa 1.

Nájdite dĺžku okraja základne. Zvážte projekciu (pohľad zhora):

Máme pravidelný šesťuholník, do ktorého je vpísaná kružnica s polomerom √75.

Uvažujme pravouhlý trojuholník ABO. Poznáme nohu OB (to je polomer valca). môžeme určiť aj uhol AOB, rovná sa 300 (trojuholník AOC je rovnostranný, OB je osička).

Použime definíciu dotyčnice v pravouhlom trojuholníku:

AC \u003d 2AB, keďže OB je medián, to znamená, že delí AC na polovicu, čo znamená AC \u003d 10.

Plocha bočnej plochy je teda 1∙10=10 a plocha bočnej plochy je:

76485. Nájdite plochu bočného povrchu pravidelného trojuholníkového hranola vpísaného do valca, ktorého základný polomer je 8√3 a ktorého výška je 6.

Plocha bočného povrchu špecifikovaného hranola troch rovnako veľkých plôch (obdĺžnikov). Na nájdenie plochy potrebujete poznať dĺžku hrany podstavy hranola (vieme výšku). Ak vezmeme do úvahy projekciu (pohľad zhora), potom máme pravidelný trojuholník vpísaný do kruhu. Strana tohto trojuholníka je vyjadrená polomerom ako:

Podrobnosti o tomto vzťahu. Takže to bude rovné

Potom sa plocha bočnej plochy rovná: 24∙6=144. A požadovaná oblasť:

245354. Pravidelný štvorhranný hranol je ohraničený v blízkosti valca, ktorého polomer základne je 2. Bočný povrch hranola je 48. Nájdite výšku valca.

Všetko je jednoduché. Máme štyri bočné plochy rovnaké v ploche, teda plocha jednej plochy je 48:4=12. Pretože polomer základne valca je 2, potom okraj základne hranola bude skorý 4 - rovná sa priemeru valca (sú to dva polomery). Poznáme plochu tváre a jedného okraja, druhý je výška bude rovná 12:4=3.

27065. Nájdite plochu bočnej plochy pravidelného trojuholníkového hranolu opísanú okolo valca, ktorého základný polomer je √3 a ktorého výška je 2.

S pozdravom Alexander.

"Lekcia Pytagorovej vety" - Pytagorova veta. Určte typ štvoruholníka KMNP. Zahriať sa. Úvod do vety. Určte typ trojuholníka: Plán lekcie: Historická odbočka. Riešenie jednoduchých problémov. A nájdite rebrík dlhý 125 stôp. Vypočítajte výšku CF lichobežníka ABCD. Dôkaz. Zobrazujú sa obrázky. Dôkaz vety.

"Objem hranola" - Pojem hranol. priamy hranol. Objem pôvodného hranola sa rovná súčinu S · h. Ako zistiť objem priameho hranolu? Hranol je možné rozdeliť na rovné trojuholníkové hranoly s výškou h. Nakreslite výšku trojuholníka ABC. Riešenie problému. Ciele lekcie. Základné kroky pri dokazovaní vety o priamom hranole? Štúdium vety o objeme hranola.

"Prism polyhedra" - Definujte mnohosten. DABC je štvorsten, konvexný mnohosten. Použitie hranolov. Kde sa používajú hranoly? ABCDMP je osemsten, ktorý sa skladá z ôsmich trojuholníkov. ABCDA1B1C1D1 je rovnobežnosten, konvexný mnohosten. Konvexný mnohosten. Koncept mnohostenu. Mnohosten A1A2..AnB1B2..Bn je hranol.

"Prism class 10" - Hranol je mnohosten, ktorého steny sú v rovnobežných rovinách. Použitie hranola v každodennom živote. Sstrana = Pbased. + h Pre priamy hranol: Sp.p = Pmain. h + 2Smain. Naklonený. Správne. Rovno. Hranol. Vzorce na nájdenie oblasti. Použitie hranola v architektúre. Sp.p \u003d strana S + na základe 2 S.

"Dôkaz Pytagorovej vety" - Geometrický dôkaz. Význam Pytagorovej vety. Pytagorova veta. Euklidov dôkaz. "V pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh." Dôkazy vety. Význam vety je v tom, že z nej alebo s jej pomocou možno odvodiť väčšinu geometrických teorémov.

Polyhedra

Hlavným predmetom štúdia stereometrie sú trojrozmerné telesá. Telo je časť priestoru ohraničená nejakou plochou.

mnohosten Teleso, ktorého povrch pozostáva z konečného počtu rovinných mnohouholníkov, sa nazýva. Mnohosten sa nazýva konvexný, ak leží na jednej strane roviny každého plochého mnohouholníka na jeho povrchu. Spoločná časť takejto roviny a plocha mnohostenu je tzv hrana. Plochy konvexného mnohostenu sú ploché konvexné mnohouholníky. Strany tvárí sú tzv okraje mnohostenu a vrcholy vrcholy mnohostenu.

Napríklad kocka pozostáva zo šiestich štvorcov, ktoré sú jej plochami. Obsahuje 12 hrán (strany štvorcov) a 8 vrcholov (vrcholy štvorcov).

Najjednoduchšie mnohosteny sú hranoly a pyramídy, ktoré budeme ďalej študovať.

Hranol

Definícia a vlastnosti hranola

hranol sa nazýva mnohosten pozostávajúci z dvoch plochých mnohouholníkov ležiacich v rovnobežných rovinách kombinovaných paralelným posunom a všetkých segmentov spájajúcich príslušné body týchto mnohouholníkov. Polygóny sa nazývajú hranolové základne a segmenty spájajúce zodpovedajúce vrcholy polygónov sú bočné okraje hranola.

Výška hranola nazývaná vzdialenosť medzi rovinami jeho základov (). Segment spájajúci dva vrcholy hranola, ktoré nepatria k tej istej ploche, sa nazýva hranolová uhlopriečka(). Prizma je tzv n-uhlie ak je jeho základňa n-uholník.

Každý hranol má nasledujúce vlastnosti, ktoré vyplývajú zo skutočnosti, že základne hranola sú spojené paralelným posunom:

1. Základy hranola sú rovnaké.

2. Bočné okraje hranola sú rovnobežné a rovnaké.

Povrch hranola je tvorený podstavcami a bočný povrch. Bočnú plochu hranola tvoria rovnobežníky (vyplýva to z vlastností hranola). Plocha bočnej plochy hranola je súčtom plôch bočných plôch.

rovný hranol

Prizma je tzv rovno ak sú jeho bočné okraje kolmé na základne. V opačnom prípade sa hranol tzv šikmé.

Plochy rovného hranolu sú obdĺžniky. Výška rovného hranola sa rovná jeho bočným stranám.

plný hranolový povrch je súčet plochy bočného povrchu a plôch báz.

Správny hranol sa nazýva pravý hranol s pravidelným mnohouholníkom na základni.

Veta 13.1. Plocha bočnej plochy rovného hranola sa rovná súčinu obvodu a výšky hranola (alebo ekvivalentne bočnej hrane).

Dôkaz. Bočné plochy rovného hranola sú obdĺžniky, ktorých základňami sú strany mnohouholníkov na základniach hranola a výškami sú bočné hrany hranola. Potom, podľa definície, plocha bočného povrchu je:

,

kde je obvod podstavy priameho hranolu.

Rovnobežníkovité

Ak rovnobežníky ležia na základniach hranola, potom sa nazýva rovnobežnosten. Všetky strany rovnobežnostena sú rovnobežníky. V tomto prípade sú protiľahlé strany rovnobežnostena rovnobežné a rovnaké.

Veta 13.2. Uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú v jednom bode a priesečník je rozdelený na polovicu.

Dôkaz. Zoberme si napríklad dve ľubovoľné uhlopriečky a . Pretože strany rovnobežnostenu sú rovnobežníky, potom a , čo znamená, že podľa T asi dve priamky rovnobežné s treťou . Okrem toho to znamená, že čiary a ležia v rovnakej rovine (rovine). Táto rovina pretína rovnobežné roviny a pozdĺž rovnobežných čiar a . Štvoruholník je teda rovnobežník a podľa vlastnosti rovnobežníka sa jeho uhlopriečky a pretínajú a priesečník je rozdelený na polovicu, čo bolo potrebné dokázať.

Pravý hranol, ktorého základňou je obdĺžnik, sa nazýva kváder. Všetky steny kvádra sú obdĺžniky. Dĺžky nerovnobežných hrán pravouhlého rovnobežnostena sa nazývajú jeho lineárne rozmery (rozmery). K dispozícii sú tri veľkosti (šírka, výška, dĺžka).

Veta 13.3. V kvádri je štvorec ľubovoľnej uhlopriečky rovný súčtu štvorcov jeho troch rozmerov (dokázané dvojitým aplikovaním pytagorejského T).

Nazýva sa pravouhlý rovnobežnosten, v ktorom sú všetky hrany rovnaké kocka.

Úlohy

13.1 Koľko uhlopriečok má n- uhlíkový hranol

13.2 V naklonenom trojuholníkovom hranole sú vzdialenosti medzi bočnými okrajmi 37, 13 a 40. Nájdite vzdialenosť medzi väčšou bočnou plochou a protiľahlou bočnou hranou.

13.3 Cez stranu spodnej podstavy pravidelného trojuholníkového hranola je nakreslená rovina, ktorá pretína bočné plochy pozdĺž segmentov, pričom uhol medzi nimi je . Nájdite uhol sklonu tejto roviny k základni hranola.

Video kurz „Get an A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné zloženie skúšky z matematiky o 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 profilu POUŽÍVAJTE v matematike. Vhodné aj na absolvovanie Základného USE v matematike. Ak chcete skúšku zvládnuť s 90-100 bodmi, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani humanista.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Všetky relevantné úlohy časti 1 z úloh Bank of FIPI boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám USE-2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky skúšobných úloh. Textové úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov USE úloh. Stereometria. Prefíkané triky na riešenie, užitočné cheaty, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly - k úlohe 13. Pochopenie namiesto napchávania. Vizuálne vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.