Sústavy lineárnych homogénnych rovníc
Formulácia problému. Nájdite nejaký základ a určte rozmer lineárneho priestoru riešení sústavy
Plán riešenia.
1. Zapíšte si maticu systému:
a pomocou elementárnych transformácií transformujeme maticu do trojuholníkového tvaru, t.j. do takej formy, keď sú všetky prvky pod hlavnou uhlopriečkou rovné nule. Hodnosť systémovej matice sa rovná počtu lineárne nezávislých riadkov, t.j. v našom prípade počtu riadkov, v ktorých zostávajú nenulové prvky:
Rozmer priestoru riešenia je . Ak , potom homogénna sústava má jedinečné nulové riešenie, ak , potom má sústava nekonečný počet riešení.
2. Vyberte základné a voľné premenné. Voľné premenné sú označené . Potom základné premenné vyjadríme ako voľné, čím získame všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych rovníc.
3. Základ priestoru riešenia systému zapíšeme tak, že jednu z voľných premenných sekvenčne nastavíme na jednu a zvyšok na nulu. Rozmer lineárneho priestoru riešenia systému sa rovná počtu bázových vektorov.
Poznámka. Transformácie elementárnej matice zahŕňajú:
1. násobenie (delenie) reťazca iným násobiteľom ako nula;
2. pričítanie k ľubovoľnému riadku iného riadku, vynásobené ľubovoľným číslom;
3. permutácia čiar v miestach;
4. transformácie 1–3 pre stĺpce (v prípade riešenia sústav lineárnych rovníc sa elementárne transformácie stĺpcov nepoužívajú).
Úloha 3. Nájdite nejaký základ a určte rozmer lineárneho priestoru riešení sústavy.
Vypíšeme maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do trojuholníkového tvaru:
Predpokladáme teda
Keď sme analyzovali koncepty n-rozmerného vektora a zaviedli operácie s vektormi, zistili sme, že množina všetkých n-rozmerných vektorov generuje lineárny priestor. V tomto článku si povieme o najdôležitejších súvisiacich pojmoch – o dimenzii a základe vektorového priestoru. Zvažujeme aj vetu o expanzii ľubovoľného vektora z hľadiska bázy a súvislosti medzi rôznymi bázami n-rozmerného priestoru. Poďme podrobne analyzovať riešenia typických príkladov.
Navigácia na stránke.
Koncept dimenzie a základu vektorového priestoru.
Pojmy dimenzia a báza vektorového priestoru priamo súvisia s pojmom lineárne nezávislý systém vektorov, preto odporúčame v prípade potreby odkázať na článok lineárna závislosť sústavy vektorov, vlastnosti lineárnej závislosti a nezávislosti.
Definícia.
Rozmer vektorového priestoru sa nazýva číslo rovné maximálnemu počtu lineárne nezávislých vektorov v tomto priestore.
Definícia.
Vektorový priestorový základ je usporiadaná množina lineárne nezávislých vektorov tohto priestoru, ktorých počet sa rovná rozmeru priestoru.
Na základe týchto definícií uvádzame niekoľko argumentov.
Uvažujme priestor n-rozmerných vektorov.
Ukážme, že rozmer tohto priestoru je rovný n .
Zoberme si systém n jednotkových vektorov tvaru
Zoberme si tieto vektory ako riadky matice A. V tomto prípade bude matica A matica identity n krát n. Hodnosť tejto matice je n (ak je to potrebné, pozri článok). Preto systém vektorov 
je lineárne nezávislý a do tohto systému nemožno pridať žiadny vektor bez narušenia jeho lineárnej nezávislosti. Od počtu vektorov v systéme rovná sa teda n rozmer priestoru n-rozmerných vektorov je n a jednotkových vektorov sú základom tohto priestoru.
Z posledného tvrdenia a definície základu to môžeme usúdiť každý systém n-rozmerných vektorov, ktorých počet vektorov je menší ako n, nie je základ.
Teraz si vymeníme prvý a druhý vektor systému . Je ľahké ukázať, že výsledný systém vektorov 
je tiež základom n-rozmerného vektorového priestoru. Zostavme maticu, vezmime ju ako riadky vektorov tohto systému. Túto maticu možno získať z matice identity prehodením prvého a druhého riadku, takže jej poradie bude n . Teda systém n vektorov je lineárne nezávislý a je základom n-rozmerného vektorového priestoru.
Ak prehodíme iné vektory sústavy , dostaneme ďalší základ.
Ak vezmeme lineárne nezávislý systém nejednotkových vektorov, potom je tiež základom n-rozmerného vektorového priestoru.
teda vektorový priestor dimenzie n má toľko báz, koľko je lineárne nezávislých systémov n n-rozmerných vektorov.
Ak hovoríme o dvojrozmernom vektorovom priestore (teda o rovine), tak jeho základom sú ľubovoľné dva nekolineárne vektory. Základom trojrozmerného priestoru sú ľubovoľné tri nekoplanárne vektory.
Pozrime sa na pár príkladov.
Príklad.
Sú vektory základom 3D vektorového priestoru?
Riešenie.
Preskúmajme tento systém vektorov pre lineárnu závislosť. Aby sme to dosiahli, zostavíme maticu, ktorej riadky budú súradnicami vektorov, a nájdeme jej poradie: 
Vektory a, b a c sú teda lineárne nezávislé a ich počet sa rovná rozmeru vektorového priestoru, preto sú základom tohto priestoru.
odpoveď:
Áno sú.
Príklad.
Môže byť systém vektorov základom vektorového priestoru?
Riešenie.
Tento systém vektorov je lineárne závislý, pretože maximálny počet lineárne nezávislých trojrozmerných vektorov je tri. Preto tento systém vektorov nemôže byť základom trojrozmerného vektorového priestoru (hoci podsystém pôvodného systému vektorov základom je).
odpoveď:
Nie on nemôže.
Príklad.
Uistite sa, že vektory 
môže byť základom štvorrozmerného vektorového priestoru.
Riešenie.
Urobme maticu a vezmime ju ako riadky pôvodných vektorov: 
Poďme nájsť: 
Sústava vektorov a, b, c, d je teda lineárne nezávislá a ich počet sa rovná rozmeru vektorového priestoru, preto sú a, b, c, d jej základom.
odpoveď:
Pôvodné vektory sú skutočne základom štvorrozmerného priestoru.
Príklad.
Tvoria vektory základ 4-rozmerného vektorového priestoru?
Riešenie.
Aj keď je pôvodný systém vektorov lineárne nezávislý, počet vektorov v ňom nestačí na to, aby bol základom štvorrozmerného priestoru (základ takéhoto priestoru tvoria 4 vektory).
odpoveď:
Nie, nie.
Dekompozícia vektora z hľadiska bázy vektorového priestoru.
Nechať ľubovoľné vektory sú základom n-rozmerného vektorového priestoru. Ak k nim pridáme nejaký n-rozmerný vektor x, tak výsledná sústava vektorov bude lineárne závislá. Z vlastností lineárnej závislosti vieme, že aspoň jeden vektor lineárne závislého systému je lineárne vyjadrený v podmienkach ostatných. Inými slovami, aspoň jeden z vektorov lineárne závislého systému sa rozloží na zvyšok vektorov.
Tak sa dostávame k veľmi dôležitej vete.
Veta.
Akýkoľvek vektor n-rozmerného vektorového priestoru je jedinečne rozložený z hľadiska bázy.
Dôkaz.
Nechaj - základ n -rozmerného vektorového priestoru. K týmto vektorom pridajme n-rozmerný vektor x. Potom bude výsledný systém vektorov lineárne závislý a vektor x možno lineárne vyjadriť pomocou vektorov : , kde sú nejaké čísla. Dostali sme teda rozšírenie vektora x z hľadiska základu. Zostáva dokázať, že tento rozklad je jedinečný.
Predpokladajme, že existuje ďalší rozklad , kde 
- nejaké čísla. Odčítajte od ľavej a pravej časti poslednej rovnosti, ľavú a pravú časť rovnosti:
Keďže systém bázových vektorov je lineárne nezávislá, potom podľa definície lineárnej nezávislosti sústavy vektorov je výsledná rovnosť možná len vtedy, keď sú všetky koeficienty rovné nule. Preto, , čo dokazuje jedinečnosť expanzie vektora z hľadiska základu.
Definícia.
Koeficienty sa nazývajú súradnice vektora x v zákl .
Po oboznámení sa s vetou o expanzii vektora z hľadiska bázy začíname chápať podstatu výrazu „dostali sme n-rozmerný vektor 
". Tento výraz znamená, že uvažujeme o vektore x n-rozmerného vektorového priestoru, ktorého súradnice sú dané na nejakom základe. Zároveň chápeme, že ten istý vektor x v inej báze n-rozmerného vektorového priestoru bude mať súradnice odlišné od .
Zvážte nasledujúci problém.
Nech v nejakej báze n-rozmerného vektorového priestoru dostaneme systém n lineárne nezávislých vektorov 
a vektor . Potom vektory sú tiež základom tohto vektorového priestoru.
Potrebujeme nájsť súradnice vektora x v základe . Označme tieto súradnice ako .
Vektor x v základe má nápad. Túto rovnosť zapíšeme v súradnicovom tvare:
Táto rovnosť je ekvivalentná systému n lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými :
Hlavná matica tohto systému má tvar 
Označme to ako A. Stĺpce matice A sú vektory lineárne nezávislého systému vektorov , takže poradie tejto matice je n, teda jej determinant je nenulový. Táto skutočnosť naznačuje, že systém rovníc má jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť akoukoľvek metódou, napríklad alebo .
Takže požadované súradnice sa nájdu vektor x v zákl .
Poďme analyzovať teóriu na príkladoch.
Príklad.
V nejakom základe trojrozmerného vektorového priestoru sú vektory 
Uistite sa, že vektorový systém je tiež základom tohto priestoru a nájdite súradnice vektora x v tomto základe.
Riešenie.
Aby bol systém vektorov základom trojrozmerného vektorového priestoru, musí byť lineárne nezávislý. Zistime to určením hodnosti matice A , ktorej riadky sú vektory . Poradie zistíme Gaussovou metódou 
preto Rank(A) = 3 , čo ukazuje lineárnu nezávislosť systému vektorov .
Základom sú teda vektory. Nech má vektor x súradnice v tomto základe. Potom, ako sme si ukázali vyššie, vzťah súradníc tohto vektora je daný sústavou rovníc 
Nahradením hodnôt známych z podmienky získame 
Vyriešime to Cramerovou metódou: 
Vektor x v základe má teda súradnice 
.
odpoveď:
Príklad.
V nejakom základe 
štvorrozmerný vektorový priestor je daný lineárne nezávislým systémom vektorov 
To je známe 
. Nájdite súradnice vektora x v základe .
Riešenie.
Keďže systém vektorov 
je lineárne nezávislý predpokladom, potom je základom štvorrozmerného priestoru. Potom rovnosť znamená, že vektor x v zákl má súradnice. Označte súradnice vektora x v základe Ako .
Systém rovníc, ktorý definuje vzťah súradníc vektora x v bázach A má formu 
Do nej nahradíme známe hodnoty a nájdeme požadované súradnice: 
odpoveď:
.
Komunikácia medzi základňami.
Nech sú v nejakej báze n-rozmerného vektorového priestoru dané dva lineárne nezávislé systémy vektorov 
A
to znamená, že sú tiež základňami tohto priestoru.
Ak 
- vektorové súradnice v základe , potom vzťah súradníc 
A je daný sústavou lineárnych rovníc (hovorili sme o tom v predchádzajúcom odseku): 
, ktorý v maticovom tvare možno zapísať ako 
Podobne pre vektor môžeme písať 
Predchádzajúce maticové rovnosti je možné spojiť do jednej, ktorá v podstate definuje vzťah vektorov dvoch rôznych báz 
Podobne môžeme vyjadriť všetky bázové vektory cez základ 
:
Definícia.
Matrix 
volal prechodová matica od základu na základ , potom rovnosť 
Vynásobením oboch strán tejto rovnice vpravo
dostaneme 
Poďme nájsť maticu prechodu, pričom sa nebudeme zdržiavať hľadaním inverznej matice a násobením matíc (pozri v prípade potreby články a): 
Zostáva zistiť vzťah súradníc vektora x v daných bázach.
Nech má teda vektor x súradnice v základe 
a v základe má vektor x súradnice , teda 
Keďže ľavé časti posledných dvoch rovníc sú rovnaké, môžeme dať rovnítko medzi pravé časti: 
Ak vynásobíme obe strany napravo o
potom dostaneme 
Na druhej strane 
(nájdite si inverznú maticu sami).
Posledné dve rovnosti nám dávajú požadovaný vzťah súradníc vektora x v základoch a .
odpoveď:
Matica prechodu od základu k základu má tvar 
;
súradnice vektora x v bázach a súvisia vzťahmi 
alebo .
Uvažovali sme o pojmoch dimenzie a bázy vektorového priestoru, naučili sme sa rozložiť vektor podľa bázy a objavili sme spojenie medzi rôznymi bázami n-rozmerného priestoru vektorov prostredníctvom prechodovej matice.
Strana 1
Podpriestor, jeho základ a dimenzia.
Nechaj L je lineárny priestor nad poľom P A A je podmnožinou L. Ak A sám tvorí lineárny priestor nad poľom P pre rovnaké operácie ako L, To A nazývaný podpriestor priestoru L.
Podľa definície lineárneho priestoru tak, že A bol podpriestor na kontrolu uskutočniteľnosti A operácie:
1) : 
;
2) 
: 
;
a skontrolujte, či operácie v A podlieha ôsmim axiómam. To druhé však bude nadbytočné (vzhľadom na to, že tieto axiómy platia v L), t.j. nasledujúci
Veta. Nech L je lineárny priestor nad poľom P a 
. Množina A je podpriestorom L vtedy a len vtedy, ak sú splnené tieto požiadavky:
1. : ;
2. : .
Vyhlásenie. Ak L – n-rozmerný lineárny priestor a A teda jeho podpriestor A je tiež konečnorozmerný lineárny priestor a jeho rozmer nepresahuje n.
P 
príklad 1. Je množina S všetkých vektorov roviny, z ktorých každý leží na jednej zo súradnicových osí 0x alebo 0y, podpriestorom priestoru segmentových vektorov V 2?
Riešenie: Nechaj 
, 
A 
, 
. Potom 
. Preto S nie je podpriestor 
.
Príklad 2 V 2 množina vektorových segmentov roviny S všetky rovinné vektory, ktorých začiatky a konce ležia na danej priamke l toto lietadlo?
Riešenie.
E 
sli vektor 
vynásobte skutočným číslom k, potom dostaneme vektor 
, patriaci tiež S. If 
A 
sú potom dva vektory z S 
(podľa pravidla sčítania vektorov na priamke). Preto S je podpriestor 
.
Príklad 3 Je lineárny podpriestor lineárneho priestoru V 2 kopa A všetky vektory roviny, ktorej konce ležia na danej priamke l, (predpokladajme, že pôvod akéhokoľvek vektora sa zhoduje s pôvodom)?
R 
Riešenie.
V prípade, že prím l neprechádza cez pôvod A lineárny podpriestor priestoru V 2
nie je, pretože 
.
V prípade, že prím l
prechádza počiatkom, množinou A je lineárny podpriestor priestoru V 2
,
pretože 
a pri násobení ľubovoľného vektora 
na reálne číslo α
mimo poľa R dostaneme 
. Teda lineárne priestorové požiadavky na súpravu A dokončené.
Príklad 4 Nech je daný systém vektorov 
z lineárneho priestoru L nad ihriskom P. Dokážte, že množina všetkých možných lineárnych kombinácií 
s koeficientmi 
od P je podpriestor L(toto je podpriestor A sa nazýva podpriestor generovaný systémom vektorov alebo lineárny plášť tento systém vektorov, a sú označené takto: 
alebo 
).
Riešenie. Skutočne, od , potom pre akékoľvek prvky X,
r
A máme: 
, 
, Kde 
, 
. Potom
Pretože , To 
, Preto 
.
Overme si realizovateľnosť druhej podmienky vety. Ak X je ľubovoľný vektor z A A t- ľubovoľné číslo od P, To . Pretože 
A 
,, To 
, , Preto 
. Teda podľa vety množina A je podpriestor lineárneho priestoru L.
Pre konečne-dimenzionálne lineárne priestory to platí aj naopak.
Veta. Akýkoľvek podpriestor A lineárny priestor L nad ihriskom 
je lineárne rozpätie nejakého systému vektorov.
Pri riešení problému hľadania základu a rozmeru lineárnej škrupiny sa používa nasledujúca veta.
Veta. Lineárny škrupinový základ 
sa zhoduje so základom systému vektorov . Rozmer lineárneho plášťa sa zhoduje s hodnosťou systému vektorov .
Príklad 4 Nájdite základ a rozmer podpriestoru 
lineárny priestor R 3
[
X]
, Ak 
, 
, 
, 
.
Riešenie. Je známe, že vektory a ich súradnicové riadky (stĺpce) majú rovnaké vlastnosti (vzhľadom na lineárnu závislosť). Vytvárame matricu A=
zo súradnicových stĺpcov vektorov 
v základe 
.
Nájdite hodnosť matice A.
. M 3
=
. 
.
Preto hodnosť r(A)=
3. Takže hodnosť systému vektorov sa rovná 3. Preto sa rozmer podpriestoru S rovná 3 a jeho základňa pozostáva z troch vektorov 
(pretože v základnom moll 
zahrnuté sú len súradnice týchto vektorov)., . Tento systém vektorov je lineárne nezávislý. Naozaj, nech.
A 
.
Dá sa overiť, že systém 
lineárne závislé pre ľubovoľný vektor X od H. To dokazuje 
maximálny lineárne nezávislý systém podpriestorových vektorov H, t.j. - základ v H a tlmené H=n 2
.
Strana 1
1. Nechajte podpriestor L = L(A 1 , A 2 , …, a m), tj L je lineárny plášť systému A 1 , A 2 , …, a m; vektory A 1 , A 2 , …, a m je systém generátorov tohto podpriestoru. Potom základ L je základom systému vektorov A 1 , A 2 , …, a m, teda základ sústavy generátorov. Rozmer L sa rovná hodnosti systému generátorov.
2. Nechajte podpriestor L je súčet podpriestorov L 1 a L 2. Systém generovania podpriestorov možno získať spojením systémov generovania podpriestorov, po ktorých sa nájde základ súčtu. Veľkosť súčtu sa zistí podľa nasledujúceho vzorca:
matná(L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – matná(L 1 Z L 2).
3. Nech je súčet podpriestorov L 1 a L 2 priamka, tzn L = L 1 Á L 2. V čom L 1 Z L 2 = {O) A matná(L 1 Z L 2) = 0. Základ priameho súčtu sa rovná spojeniu základov sčítancov. Dimenzia priameho súčtu sa rovná súčtu dimenzií pojmov.
4. Uveďme dôležitý príklad podpriestoru a lineárnej variety.
Predstavte si homogénny systém m lineárne rovnice s n neznámy. Veľa riešení M 0 tohto systému je podmnožinou množiny R n a je uzavretá pod sčítaním vektorov a ich násobením reálnym číslom. To znamená, že ide o súpravu M 0 - podpriestor priestoru R n. Základom podpriestoru je fundamentálna množina riešení homogénneho systému, rozmer podpriestoru sa rovná počtu vektorov v fundamentálnej množine riešení systému.
Kopa M spoločné systémové riešenia m lineárne rovnice s n neznáma je tiež podmnožinou množiny R n a rovná sa súčtu množiny M 0 a vektor A, Kde A je nejaké konkrétne riešenie pôvodného systému a zostavy M 0 je množina riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc sprevádzajúcich túto sústavu (od pôvodnej sústavy sa líši len voľnými členmi),
M = A + M 0 = {A = m, m Î M 0 }.
To znamená, že mnohí M je lineárna varieta priestoru R n s posunovým vektorom A a smer M 0 .
Príklad 8.6. Nájdite základ a dimenziu podpriestoru daného homogénnym systémom lineárnych rovníc:
Riešenie. Poďme nájsť všeobecné riešenie tohto systému a jeho základný súbor riešení: 
s 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), s 2 = (12, –8, 0, 1, 0), s 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
Podpriestorová báza je tvorená vektormi s 1 , s 2 , s 3, jeho rozmer je tri.
Koniec práce -
Táto téma patrí:
Lineárna algebra
Štátna univerzita Kostroma pomenovaná po N.A. Nekrasovovi.
Ak potrebujete ďalší materiál k tejto téme, alebo ste nenašli to, čo ste hľadali, odporúčame použiť vyhľadávanie v našej databáze diel:
Čo urobíme s prijatým materiálom:
Ak sa tento materiál ukázal byť pre vás užitočný, môžete si ho uložiť na svoju stránku v sociálnych sieťach:
| tweetovať |
Všetky témy v tejto sekcii:
BBK 22,174ya73-5
M350 Vytlačené rozhodnutím redakčnej a vydavateľskej rady KSU. N. A. Nekrasova Recenzent A. V. Čerednikov
BBK 22,174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korževina 2013 ã KSU im. N. A. Nekrašová, 2013
únia (alebo súčet)
Definícia 1.9 Zjednotenie množín A a B je množina A È B, pozostávajúca z tých prvkov a len tých prvkov, ktoré patria do
Križovatka (alebo produkt)
Definícia 1.10. Priesečníkom množín A a B je množina A Ç B, ktorá pozostáva z tých a len tých prvkov patriacich do tej istej
Rozdiel
Definícia 1.11 Rozdiel množín A a B je množina A B, pozostávajúca len z tých prvkov, ktoré patria do množiny A
karteziánsky súčin (alebo priamy súčin)
Definícia 1.14. Usporiadaný pár (alebo pár) (a, b) sú dva prvky a, b brané v určitom poradí. Páry (a1
Vlastnosti množinových operácií
Vlastnosti operácií zjednotenia, prieniku a doplnku sa niekedy nazývajú zákony množinovej algebry. Uveďme hlavné vlastnosti operácií na množinách. Nech je univerzálna sada U
Metóda matematickej indukcie
Metóda matematickej indukcie sa používa na dôkaz tvrdení, v ktorých je zahrnutý prirodzený parameter n. Metóda matematickej indukcie – metóda dokazovania matematiky
Komplexné čísla
Pojem čísla je jedným z hlavných výdobytkov ľudskej kultúry. Najprv sa objavili prirodzené čísla N = (1, 2, 3, …, n, …), potom celé čísla Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), racionálne Q
Geometrická interpretácia komplexných čísel
Je známe, že záporné čísla boli zavedené v súvislosti s riešením lineárnych rovníc s jednou premennou. V konkrétnych úlohách bola záporná odpoveď interpretovaná ako hodnota smerovanej veličiny (
Trigonometrický tvar komplexného čísla
Vektor môže byť špecifikovaný nielen súradnicami v pravouhlom súradnicovom systéme, ale aj dĺžkou a
Operácie s komplexnými číslami v trigonometrickom tvare
Je vhodnejšie vykonávať sčítanie a odčítanie komplexných čísel v algebraickom tvare a násobenie a delenie v goniometrickom tvare. 1. Násobenia Nech dve k
Umocňovanie
Ak z = r(cosj + i×sinj), potom zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), kde n Î
Exponenciálny tvar komplexného čísla
Z matematickej analýzy je známe, že e = , e je iracionálne číslo. Eile
Koncepcia vzťahu
Definícia 2.1. N-árny (alebo n-árny) vzťah P na množinách A1, A2, …, An je ľubovoľná podmnožina
Vlastnosti binárnych vzťahov
Nech je binárna relácia P daná na neprázdnej množine A, t.j. P Í A2. Definícia 2.9 Binárna relácia P na množine
Vzťah ekvivalencie
Definícia 2.15. Binárna relácia na množine A sa nazýva relácia ekvivalencie, ak je reflexívna, symetrická a tranzitívna. Ekvivalentný pomer
Funkcie
Definícia 2.20. Binárny vzťah ƒ н A ´ B sa nazýva funkcia z množiny A do množiny B, ak pre ľubovoľné x
Všeobecné pojmy
Definícia 3.1. Matica je obdĺžniková tabuľka čísel, ktorá obsahuje m riadkov a n stĺpcov. Čísla m a n sa nazývajú poradie (alebo
Pridanie matíc rovnakého typu
Môžete pridať iba matice rovnakého typu. Definícia 3.12. Súčet dvoch matíc A = (aij) a B = (bij), kde i = 1,
Vlastnosti sčítania matice
1) komutivita: "A, B: A + B \u003d B + A; 2) asociativita:" A, B, C: (A + B) + C \u003d A
Násobenie matice číslom
Definícia 3.13. Súčinom matice A = (aij) a reálneho čísla k je matica C = (сij) pre ktorú
Vlastnosti násobenia matice číslom
1) "A: 1 × A = A; 2) " α, β Î R, " A: (αβ) × A = α × (β × A) = β ×
Maticové násobenie
Definujeme násobenie dvoch matíc; Aby sme to dosiahli, musíme zaviesť niektoré ďalšie koncepty. Definícia 3.14. Matice A a B sa nazývajú konzistentné
Vlastnosti násobenia matíc
1) Maticové násobenie nie je komutatívne: A×B ≠ B×A. Túto vlastnosť možno demonštrovať na príkladoch. Príklad 3.6. A)
Maticová transpozícia
Definícia 3.16. Maticu Аt získanú z danej matice nahradením každého jej riadku stĺpcom s rovnakým číslom nazývame transponovaná do danej matice A
Determinanty matíc druhého a tretieho rádu
Každá štvorcová matica A rádu n má priradené číslo, ktoré sa nazýva determinant tejto matice. Označenie: D, |A|, det A,
Definícia 4.6.
1. Pre n = 1 sa matica A skladá z jedného čísla: |A| = a11. 2. Nech je známy determinant pre maticu poriadku (n – 1). 3. Definujte
Vlastnosti kvalifikátora
Na výpočet determinantov rádov väčších ako 3 sa používajú vlastnosti determinantov a Laplaceova veta. Veta 4.1 (Laplaceova). Determinant štvorcovej matice
Praktický výpočet determinantov
Jedným zo spôsobov, ako vypočítať determinanty objednávky vyššie ako tri, je rozšíriť ju o nejaký stĺpec alebo riadok. Príklad 4.4 Vypočítajte determinant D =
Koncept maticovej hodnosti
Nech A je matica m 'n. V tejto matici volíme ľubovoľne k riadkov a k stĺpcov, kde 1 ≤ k ≤ min(m, n).
Zisťovanie hodnosti matice metódou ohraničenia maloletých
Jednou z metód na zistenie hodnosti matice je sčítanie maloletých. Táto metóda je založená na určení poradia matice. Podstata metódy je nasledovná. Ak existuje aspoň jeden prvok
Nájdenie hodnosti matice pomocou elementárnych transformácií
Zvážte iný spôsob, ako nájsť hodnosť matice. Definícia 5.4. Nasledujúce transformácie sa nazývajú elementárne maticové transformácie: 1. násobenie
Koncept inverznej matice a ako ju nájsť
Nech je daná štvorcová matica A. Definícia 5.7. Matica A–1 sa nazýva inverzná k matici A, ak A×A–1
Algoritmus na nájdenie inverznej matice
Zvážte jeden zo spôsobov, ako nájsť inverznú hodnotu danej matice pomocou algebraických sčítaní. Nech je daná štvorcová matica A. 1. Nájdite determinant matice |A|. EÚ
Nájdenie inverznej matice pomocou elementárnych transformácií
Zvážte iný spôsob, ako nájsť inverznú maticu pomocou elementárnych transformácií. Sformulujme potrebné pojmy a vety. Definícia 5.11 Názov matice B
Cramerova metóda
Uvažujme systém lineárnych rovníc, v ktorom sa počet rovníc rovná počtu neznámych, to znamená m = n a systém vyzerá takto:
Metóda inverznej matice
Metóda inverznej matice je použiteľná pre systémy lineárnych rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych a determinant hlavnej matice sa nerovná nule. Maticový notačný systém
Gaussova metóda
Na popísanie tejto metódy, ktorá je vhodná na riešenie ľubovoľných sústav lineárnych rovníc, sú potrebné nové koncepcie. Definícia 6.7. 0× rovnica
Popis Gaussovej metódy
Gaussova metóda - metóda postupného odstraňovania neznámych - spočíva v tom, že pomocou elementárnych transformácií sa pôvodný systém redukuje na ekvivalentný systém stupňovitých alebo t
Štúdium sústavy lineárnych rovníc
Skúmať systém lineárnych rovníc znamená bez riešenia systému odpovedať na otázku: je systém konzistentný alebo nie, a ak áno, koľko riešení má? Odpovedzte na toto v
Homogénne sústavy lineárnych rovníc
Definícia 6.11 Systém lineárnych rovníc sa nazýva homogénny, ak sa jeho voľné členy rovnajú nule. Homogénna sústava m lineárnych rovníc
Vlastnosti riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc
1. Ak je vektor а = (a1, a2, …, an) riešením homogénnej sústavy, potom vektor k×а = (k×a1, k&t
Základná množina riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc
Nech M0 je množina riešení homogénnej sústavy (4) lineárnych rovníc. Definícia 6.12 Vektory c1, c2, ..., c
Lineárna závislosť a nezávislosť sústavy vektorov
Nech a1, a2, …, am je množina m kusov n-rozmerných vektorov, ktorá sa bežne označuje ako systém vektorov, a k1
Vlastnosti lineárnej závislosti sústavy vektorov
1) Systém vektorov obsahujúci nulový vektor je lineárne závislý. 2) Systém vektorov je lineárne závislý, ak niektorý z jeho podsystémov je lineárne závislý. Dôsledok. Ak si
Jednotkový vektorový systém
Definícia 7.13. Sústava jednotkových vektorov v priestore Rn je sústava vektorov e1, e2, …, en
Dve lineárne teorémy závislosti
Veta 7.1. Ak je väčší systém vektorov lineárne vyjadrený v podmienkach menšieho, potom je väčší systém lineárne závislý. Sformulujme túto vetu podrobnejšie: nech a1
Základ a hodnosť systému vektorov
Nech S je sústava vektorov v priestore Rn; môže byť buď konečný alebo nekonečný. S" je podsystém systému S, S" Ì S. Dajme dva
Hodnosť vektorového systému
Uveďme dve ekvivalentné definície hodnosti systému vektorov. Definícia 7.16. Hodnosť systému vektorov je počet vektorov v akomkoľvek základe tohto systému.
Praktické zistenie hodnosti a základu sústavy vektorov
Z danej sústavy vektorov zostavíme maticu tak, že vektory usporiadame do riadkov tejto matice. Maticu privedieme do stupňovitého tvaru pomocou elementárnych transformácií nad riadkami tejto matice. O
Definícia vektorového priestoru nad ľubovoľným poľom
Nech P je ľubovoľné pole. Príklady nám známych polí sú pole racionálnych, reálnych, komplexných čísel. Definícia 8.1. Volá sa množina V
Najjednoduchšie vlastnosti vektorových priestorov
1) o je nulový vektor (prvok), jednoznačne definovaný v ľubovoľnom vektorovom priestore nad poľom. 2) Pre každý vektor a О V existuje jednoznačnosť
Podpriestormi. Lineárne rozdeľovače
Nech V je vektorový priestor, L Ì V (L je podmnožina V). Definícia 8.2. Podmnožina L vektora pro
Priesečník a súčet podpriestorov
Nech V je vektorový priestor nad poľom P, L1 a L2 sú jeho podpriestormi. Definícia 8.3. Poddotaz križovatky
Lineárne rozdeľovače
Nech V je vektorový priestor, L podpriestor a nech a je ľubovoľný vektor z priestoru V. Definícia 8.6.
Konecnorozmerné vektorové priestory
Definícia 8.7. Vektorový priestor V sa nazýva n-rozmerný, ak obsahuje lineárne nezávislý systém vektorov pozostávajúci z n vektorov a pre
Základy konečnej dimenzie vektorového priestoru
V je konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom P, S je sústava vektorov (konečných alebo nekonečných). Definícia 8.10. Základom systému S
Súradnice vektora vzhľadom na daný základ
Uvažujme konečnorozmerný vektorový priestor V dimenzie n, jeho základ tvoria vektory e1, e2, …, en. Nechajte sa prod
Vektorové súradnice v rôznych základniach
Nech V je n-rozmerný vektorový priestor, v ktorom sú dané dve bázy: e1, e2, ..., en je stará báza, e "1, e
Euklidovské vektorové priestory
Daný vektorový priestor V nad poľom reálnych čísel. Tento priestor môže byť buď konečný-dimenzionálny vektorový priestor dimenzie n alebo nekonečne-dimenzionálny.
Bodový súčin v súradniciach
V n-rozmernom euklidovskom vektorovom priestore V je daná báza e1, e2, …, en. Vektory x a y sa rozložia na vektory
Metrické pojmy
V euklidovských vektorových priestoroch možno prejsť od zavedeného skalárneho súčinu k pojmom normy vektora a uhla medzi vektormi. Definícia 8.16. Norma (
Vlastnosti normy
1) ||a|| = 0 w a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, pretože ||la|| =
Ortonormálny základ euklidovského vektorového priestoru
Definícia 8.21. Báza euklidovského vektorového priestoru sa nazýva ortogonálna, ak sú vektory bázy párovo ortogonálne, to znamená, ak a1, a
Proces ortogonalizácie
Veta 8.12. Každý n-rozmerný euklidovský priestor má ortonormálny základ. Dôkaz. Nech a1, a2
Bodový produkt na ortonormálnom základe
Je daná ortonormálna báza e1, e2, …, en euklidovského priestoru V. Keďže (ei, ej) = 0 pre i
Ortogonálny doplnok podpriestoru
V je euklidovský vektorový priestor, L je jeho podpriestor. Definícia 8.23. O vektore a sa hovorí, že je ortogonálny k podpriestoru L, ak je vektor
Vzťah medzi súradnicami vektora a súradnicami jeho obrazu
Lineárny operátor j je daný v priestore V a jeho matica M(j) sa nachádza v nejakej báze e1, e2, …, en. Toto nech je základ
Podobné matice
Uvažujme množinu Pn´n štvorcových matíc rádu n s prvkami z ľubovoľného poľa P. Na túto množinu zavedieme relatívnu
Vlastnosti vzťahu podobnosti matice
1. Reflexivita. Akákoľvek matica je sama sebe podobná, t.j. A ~ A. 2. Symetria. Ak je matica A podobná B, potom B je podobná A, t.j.
Vlastnosti vlastných vektorov
1. Každý vlastný vektor patrí len jednej vlastnej hodnote. Dôkaz. Nech x je vlastný vektor s dvoma vlastnými hodnotami
Charakteristický polynóm matice
Daná je matica A Î Pn´n (alebo A Î Rn´n). Definujte
Podmienky, za ktorých je matica podobná diagonálnej matici
Nech A je štvorcová matica. Môžeme predpokladať, že ide o maticu nejakého lineárneho operátora daného v nejakej báze. Je známe, že v inom základe je matica lineárneho operátora
Jordan normálna forma
Definícia 10.5. Jordanova bunka rádu k súvisiaca s číslom l0 je matica rádu k, 1 ≤ k ≤ n,
Redukcia matice na Jordanovu (normálnu) formu
Veta 10.3. Jordanova normálna forma je jednoznačne definovaná pre maticu až do poradia, v ktorom sú Jordanove bunky umiestnené na hlavnej diagonále. Atď
Bilineárne formy
Definícia 11.1. Bilineárna forma je funkcia (zobrazenie) f: V ´ V ® R (alebo C), kde V je ľubovoľný vektor n
Vlastnosti bilineárnych foriem
Akákoľvek bilineárna forma môže byť reprezentovaná ako súčet symetrických šikmo symetrických foriem. So zvolenou bázou e1, e2, …, en vo vektore
Transformácia matice bilineárnej formy pri prechode na novú bázu. Hodnosť bilineárnej formy
Nech dve bázy e = (e1, e2, …, en) a f = (f1, f2,
Kvadratické formy
Nech A(x, y) je symetrická bilineárna forma definovaná na vektorovom priestore V. Definícia 11.6. Podľa kvadratickej formy
Redukcia kvadratickej formy na kanonickú formu
Daný kvadratický tvar (2) A(x, x) = , kde x = (x1
Zákon zotrvačnosti kvadratických foriem
Zistilo sa, že počet nenulových kanonických koeficientov kvadratickej formy sa rovná jej hodnote a nezávisí od výberu nedegenerovanej transformácie, ktorou forma A(x
Nevyhnutná a postačujúca podmienka na to, aby bol kvadratický tvar znamienkovo určitý
Vyhlásenie 11.1. Aby kvadratická forma A(x, x) uvedená v n-rozmernom vektorovom priestore V bola znamienkovo definitná, je potrebné
Nevyhnutná a dostatočná podmienka pre kvázi sa meniace kvadratické formy
Vyhlásenie 11.3. Aby kvadratická forma A(x, x) definovaná v n-rozmernom vektorovom priestore V bola kvázi-alternatívna (tj.
Sylvesterovo kritérium pre znamienkovú určitosť kvadratickej formy
Nech je tvar A(x, x) v základe e = (e1, e2, …, en) definovaný maticou A(e) = (aij)
Záver
Lineárna algebra je povinnou súčasťou každého pokročilého matematického programu. Akákoľvek iná sekcia predpokladá prítomnosť vedomostí, zručností a schopností stanovených počas vyučovania tejto disciplíny.
Bibliografický zoznam
Burmistrová E.B., Lobanov S.G. Lineárna algebra s prvkami analytickej geometrie. - M .: Vydavateľstvo Vysokej školy ekonomickej, 2007. Beklemishev D.V. Kurz analytickej geometrie a lineárnej algebry.
Lineárna algebra
Učebná pomôcka Editor a korektor G. D. Neganova Počítačová sadzba T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina
Lineárny priestor V sa nazýva n-rozmerný, ak obsahuje systém n lineárne nezávislých vektorov a ľubovoľný systém viacerých vektorov je lineárne závislý. Volá sa číslo n dimenzia (počet dimenzií) lineárny priestor V a označuje sa \operatorname(dim)V. Inými slovami, rozmer priestoru je maximálny počet lineárne nezávislých vektorov v tomto priestore. Ak takéto číslo existuje, potom sa hovorí, že priestor je konečný-dimenzionálny. Ak pre akékoľvek prirodzené číslo n v priestore V existuje systém pozostávajúci z n lineárne nezávislých vektorov, potom sa takýto priestor nazýva nekonečno-rozmerný (píšu: \operatorname(dim)V=\infty). V nasledujúcom texte, pokiaľ nie je uvedené inak, sa budú brať do úvahy konečne-dimenzionálne priestory.
Základ n-rozmerný lineárny priestor je usporiadaná množina n lineárne nezávislých vektorov ( bázové vektory).
Veta 8.1 o expanzii vektora z hľadiska bázy. Ak je základ n-rozmerného lineárneho priestoru V, potom akýkoľvek vektor \mathbf(v)\in V môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia základných vektorov:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
a navyše jedinečným spôsobom, t.j. kurzov \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_n sú definované jednoznačne. Inými slovami, každý priestorový vektor môže byť základne a navyše jedinečným spôsobom rozšírený.
V skutočnosti sa rozmer priestoru V rovná n. Vektorový systém \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n lineárne nezávislé (to je základ). Po pridaní ľubovoľného vektora \mathbf(v) k základu dostaneme lineárne závislý systém \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(keďže tento systém pozostáva z (n + 1) vektorov n-rozmerného priestoru). Vlastnosťou 7 lineárne závislých a lineárne nezávislých vektorov získame záver vety.
Dôsledok 1. Ak \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n je základom priestoru V , teda V=\názov operátora(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), t.j. lineárny priestor je lineárny rozsah základných vektorov.
Vskutku, dokázať rovnosť V=\názov operátora(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n) dve sady, stačí ukázať, že inklúzie V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n) a sú vykonávané v rovnakom čase. Na jednej strane totiž každá lineárna kombinácia vektorov v lineárnom priestore patrí do samotného lineárneho priestoru, t.j. \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\podmnožina V. Na druhej strane, podľa vety 8.1 môže byť akýkoľvek priestorový vektor reprezentovaný ako lineárna kombinácia bázových vektorov, t.j. V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). To znamená rovnosť uvažovaných množín.
Dôsledok 2. Ak \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n je lineárne nezávislý systém vektorov v lineárnom priestore V a ľubovoľný vektor \mathbf(v)\in V môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, potom priestor V má rozmer n a systém \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n je jeho základom.
V priestore V skutočne existuje systém n lineárne nezávislých vektorov a ľubovoľný systém \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_n viacerých vektorov (k>n) je lineárne závislý, pretože každý vektor z tohto systému je lineárne vyjadrený pomocou vektorov \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. znamená, \operatorname(dim) V=n A \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- základ V .
Veta 8.2 o doplnení sústavy vektorov do bázy. Akýkoľvek lineárne nezávislý systém k vektorov v n-rozmernom lineárnom priestore (1\leqslant k Nech je skutočne lineárne nezávislý systém vektorov v n-rozmernom priestore V~(1\leqslant k Poznámky 8.4 1. Základ lineárneho priestoru je definovaný nejednoznačne. Napríklad, ak \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n je základom priestoru V , potom sústavy vektorov \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_n pretože ľubovoľné \lambda\ne0 je tiež základom V . Počet bázových vektorov v rôznych bázach toho istého konečnorozmerného priestoru je samozrejme rovnaký, keďže tento počet sa rovná rozmeru priestoru. 2. V niektorých priestoroch, ktoré sa často vyskytujú v aplikáciách, sa jeden z možných základov, ktorý je z praktického hľadiska najvhodnejší, nazýva štandardný. 3. Veta 8.1 nám umožňuje povedať, že báza je úplný systém prvkov lineárneho priestoru v tom zmysle, že akýkoľvek priestorový vektor je lineárne vyjadrený pomocou bázových vektorov. 4. Ak je množina \mathbb(L) lineárne rozpätie \operatorname(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), potom vektory \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k sa nazývajú generátory množiny \mathbb(L) . Dôsledok 1 vety 8.1 na základe rovnosti V=\meno operátora(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) nám umožňuje povedať, že základ je minimálny generátorový systém lineárny priestor V , pretože nie je možné znížiť počet generátorov (odstráňte aspoň jeden vektor z množiny \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) bez porušenia rovnosti V=\meno operátora(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. Veta 8.2 nám umožňuje povedať, že základ je maximálne lineárne nezávislý systém vektorov lineárny priestor, keďže základom je lineárne nezávislý systém vektorov a nemôže byť doplnený žiadnym vektorom bez straty lineárnej nezávislosti. 6. Na nájdenie základu a rozmeru lineárneho priestoru je vhodné použiť 2. dôsledok vety 8.1. V niektorých učebniciach sa definuje základ, a to: lineárne nezávislý systém \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n vektory lineárneho priestoru sa nazývajú bázou, ak je ľubovoľný vektor priestoru lineárne vyjadrený pomocou vektorov \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Počet bázových vektorov určuje rozmer priestoru. Samozrejme, tieto definície sú ekvivalentné tým, ktoré sú uvedené vyššie. Uvádzame rozmer a základ vyššie uvedených príkladov lineárnych priestorov. 1. Nulový lineárny priestor \(\mathbf(o)\) neobsahuje lineárne nezávislé vektory. Preto sa predpokladá, že rozmer tohto priestoru je nulový: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Tento priestor nemá žiadny základ. 2. Medzery V_1,\,V_2,\,V_3 majú rozmery 1, 2, 3 v tomto poradí. Akýkoľvek nenulový vektor priestoru V_1 totiž tvorí lineárne nezávislý systém (pozri bod 1. Poznámky 8.2) a akékoľvek dva nenulové vektory priestoru V_1 sú kolineárne, t.j. sú lineárne závislé (pozri príklad 8.1). Preto \dim(V_1)=1 a základom priestoru V_1 je ľubovoľný nenulový vektor. Podobne dokážeme, že \dim(V_2)=2 a \dim(V_3)=3 . Základom priestoru V_2 sú akékoľvek dva nekolineárne vektory v určitom poradí (jeden z nich sa považuje za prvý základný vektor, druhý - druhý). Základom priestoru V_3 sú ľubovoľné tri nekoplanárne (neležiace v rovnakých alebo rovnobežných rovinách) vektory zobraté v určitom poradí. Štandardným základom vo V_1 je jednotkový vektor \vec(i) na riadku. Štandardný základ vo V_2 je základ \vec(i),\,\vec(j), pozostávajúce z dvoch vzájomne kolmých jednotkových vektorov roviny. Štandardný základ v priestore V_3 je základ \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), zložený z troch jednotkových párovo kolmých vektorov tvoriacich pravú trojicu. 3. Priestor \mathbb(R)^n obsahuje najviac n lineárne nezávislých vektorov. Skutočne, zoberme k stĺpcov z \mathbb(R)^n a urobme z nich maticu s veľkosťou n\krát k. Ak k>n , potom sú stĺpce lineárne závislé podľa vety 3.4 na hodnote matice. teda \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. V priestore \mathbb(R)^n nie je ťažké nájsť n lineárne nezávislých stĺpcov. Napríklad stĺpce matice identity \mathbf(e)_1=\začiatok (pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\koniec (pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \začiatok (pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ ! sú lineárne nezávislé. teda \dim(\mathbb(R)^n)=n. Zavolá sa priestor \mathbb(R)^n n-rozmerný reálny aritmetický priestor. Uvedená množina vektorov sa považuje za štandardný základ priestoru \mathbb(R)^n . Podobne je dokázané, že \dim(\mathbb(C)^n)=n, takže sa volá priestor \mathbb(C)^n n-rozmerný komplexný aritmetický priestor. 4. Pripomeňme, že akékoľvek riešenie homogénnej sústavy Ax=o možno znázorniť ako x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), Kde r=\meno operátora(rg)A, a \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- základný rozhodovací systém. teda \(Ax=o\)=\názov operátora(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), t.j. základom priestoru \(Ax=0\) riešení homogénneho systému je jeho základný systém riešení a rozmer priestoru je \dim\(Ax=o\)=n-r , kde n je počet neznáme a r je poradie matice systému. 5. V priestore M_(2\times3) matíc veľkosti 2\times3 možno vybrať 6 matíc: \začiatok(zhromaždené)\mathbf(e)_1= \začiatok(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\koniec(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \začiatok(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \začiatok (pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(zhromaždené) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \_5+f(e) \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \začiatok(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix) sa rovná nulovej matici iba v triviálnom prípade \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Čítaním rovnosti (8.5) sprava doľava dôjdeme k záveru, že ľubovoľná matica z M_(2\times3) je lineárne vyjadrená v termínoch zvolených 6 matíc, t.j. M_(2\times)= \operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). teda \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6 a matriky \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6 sú (štandardným) základom tohto priestoru. Podobne je dokázané, že \dim(M_(m\krát n))=m\cdot n. 6. Pre ľubovoľné prirodzené číslo n v priestore P(\mathbb(C)) polynómov s komplexnými koeficientmi možno nájsť n lineárne nezávislých prvkov. Napríklad polynómy \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1) sú lineárne nezávislé, pretože ich lineárna kombinácia a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) sa rovná nulovému polynómu (o(z)\equiv0) iba v triviálnom prípade a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Keďže tento systém polynómov je lineárne nezávislý pre akékoľvek prirodzené n, priestor P(\mathbb(C)) je nekonečne rozmerný. Podobne sme dospeli k záveru, že priestor P(\mathbb(R)) polynómov s reálnymi koeficientmi má nekonečnú dimenziu. Priestor P_n(\mathbb(R)) polynómov stupňa najviac n je konečnorozmerný. Skutočne, vektory \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^n tvoria (štandardný) základ pre tento priestor, pretože sú lineárne nezávislé a akýkoľvek polynóm v P_n(\mathbb(R)) môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia týchto vektorov: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)Príklady báz pre lineárne priestory
ktoré sú lineárne nezávislé. Skutočne, ich lineárna kombinácia
7. Priestor C(\mathbb(R)) spojitých funkcií je nekonečnerozmerný. V skutočnosti pre všetky prirodzené n polynómy 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), považované za spojité funkcie, tvoria lineárne nezávislé systémy (pozri predchádzajúci príklad).
Vo vesmíre T_(\omega)(\mathbb(R)) trigonometrické binomy (frekvencie \omega\ne0 ) s reálnymi bázickými koeficientmi tvoria monočleny \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Sú lineárne nezávislé, pretože ide o rovnosť a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0 možné len v triviálnom prípade (a=b=0) . Akákoľvek funkcia formulára f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t je lineárne vyjadrený z hľadiska základných: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. Priestor \mathbb(R)^X reálnych funkcií definovaných na množine X môže byť v závislosti od oblasti X konečnorozmerný alebo nekonečnerozmerný. Ak X je konečná množina, potom priestor \mathbb(R)^X je konečnorozmerný (napr. X=\(1,2,\ldots,n\)). Ak X je nekonečná množina, potom priestor \mathbb(R)^X je nekonečne-rozmerný (napríklad priestor \mathbb(R)^N sekvencií).
9. V priestore \mathbb(R)^(+) môže slúžiť ako základ každé kladné číslo \mathbf(e)_1, ktoré sa nerovná 1. Vezmime si napríklad číslo \mathbf(e)_1=2 . Akékoľvek kladné číslo r možno vyjadriť pomocou \mathbf(e)_1 , t.j. prítomný vo forme \alpha\cdot \mathbf(e)_1\colon r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, kde \alpha_1=\log_2r . Preto je rozmer tohto priestoru 1 a číslo \mathbf(e)_1=2 je základ.
10. Nechajte \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n je základom reálneho lineárneho priestoru V . Lineárne skalárne funkcie na V definujeme nastavením:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\začiatok(prípady)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\koniec(prípady)
Zároveň vďaka linearite funkcie \mathcal(E)_i pre ľubovoľný vektor dostaneme \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
Je teda definovaných n prvkov (kovektorov). \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_n duálny priestor V^(\ast) . Dokážme to \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- základ V^(\ast) .
Najprv ukážeme, že systém \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n lineárne nezávislé. Naozaj, vezmite si lineárnu kombináciu týchto covektorov (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))= a prirovnať ju k nulovej funkcii
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\v V.
Dosadzovanie do tejto rovnosti \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, dostaneme \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Preto systém prvkov \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_n priestor V^(\ast) je lineárne nezávislý, pretože rovnosť \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o) možné len v triviálnom prípade.
Po druhé, dokážeme, že akákoľvek lineárna funkcia f\in V^(\ast) môže byť reprezentovaná ako lineárna kombinácia kovektorov \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. Skutočne, pre akýkoľvek vektor \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_n vďaka linearite funkcie f dostaneme:
\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(zarovnané)
tie. funkcia f je reprezentovaná ako lineárna kombinácia f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_n funkcie \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(čísla \beta_i=f(\mathbf(e)_i) sú koeficienty lineárnej kombinácie). Preto systém covektorov \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n je základom duálneho priestoru V^(\ast) a \dim(V^(\ast))=\dim(V)(pre konečnorozmerný priestor V ).
Ak si všimnete chybu, preklep alebo máte návrhy, napíšte do komentárov.
